Články

5.5: Delenie na ( mathbb {Z} _ {b} ) - matematika


Ďalším výsledkom je zmena hry! Hovorí nám, že existuje jedinečný prvok (a ^ {- 1} ) taký, že (aa ^ {- 1} = _ {b} 1 ) práve vtedy, ak (a ) je v zmenšenom množina zvyškov (modulo (b )). Delenie je teda dobre definované v redukovanej množine zvyškov modulo (b ). Krúžok je štruktúra sčítania a jeho inverzného odčítania plus násobenie, kde však násobenie nemusí mať inverzný priebeh. Podrobnejší popis týchto algebraických konštrukcií je uvedený v časti ??. Čísla (1 ) a (- 1 ) sú vždy v redukovanej množine zvyškov modulo (b ). Táto množina sa niekedy nazýva množina jednotiek (pozri definíciu ??) z ( mathbb {Z} _ {b} ).

Návrh 5.16

Nech ( mathbb {R} ) je redukovaná množina zvyškov modulo (b ). Potom

  1. pre každé (a in mathbb {R} ) existuje jedinečný (a ') v ( mathbb {R} ) taký, že (a'a = _ {b} aa ′ = _ {b} 1 )
  2. pre každý (a notin mathbb {R} ) neexistuje žiadny (x in mathbb {Z} _ {b} ) taký, aby (ax = _ {b} 1 )
  3. nech ( mathbb {R} = {x_ {i} } _ {i = 1} ^ { varphi (b)} ), potom tiež ( mathbb {R} = {x-1 } _ {i = 1} ^ { varphi (b)} ).
Dôkaz

Výrok 1: Existencia riešenia bezprostredne vyplýva z Lemmy spoločnosti Be ́zout, konkrétne (a ′ = _ {b} x ) rieši pre (x ) v (ax + o = 1 ). Toto riešenie musí byť v ( mathbb {R} ), pretože (a ) je zase riešením (a′x + o = 1 ), a teda z Be ́zoutovej Lemmy vyplýva, že ( gcd (a ', b) = 1 ). Predpokladajme, že máme dve riešenia (ax = _ {b} 1 ) a (ay = _ {b} 1 ), potom jedinečnosť vyplýva z uplatnenia redukčnej vety 2.7 na rozdiel týchto rovníc.

Výrok 2: Podľa hypotézy ( gcd (a, b)> 1 ). Máme to, že (ax = _ {b} 1 ) je ekvivalentné (ax + by = 1 ), čo je v rozpore s Be ́zoutovou lemmou.

Výrok 3: Je to podobné ako v prípade Lemma 5.3. Od (1) vieme, že všetky inverzie sú v (R ). Pokiaľ je teda tvrdenie nepravdivé, musia existovať dva prvky (R ). Pokiaľ je teda tvrdenie nepravdivé, musia existovať dva prvky (R ) s rovnakou inverznou hodnotou: (ax = _ {b} cx ). To je nemožné zrušením.

Lemma 5,17

Nech (p ) je prvočíslo. Potom (a ^ 2 = _ {p} 1 ) práve vtedy, ak (a = _ {p} pm 1 )

Dôkaz

Máme

[a ^ 2 = _ {p} 1 Leftrightarrow a ^ {2} -1 = _ {p} (a + 1) (a-1) = _ {p} 0 Leftrightarrow p | (a + 1) (a-1) nonumber ]

Pretože (p ) je prvočíslo, dodatok 2.12 hovorí, že buď ​​(p | a + 1 ) (a tak (a = _ {p} -1 )) alebo (p | a-1 ) ( a tak (a = _ {p} +1 )).

Možno je prekvapujúce, že táto posledná lemma je nepravdivá, ak (p ) nie je prvočíslo. Napríklad (4 ^ 2 = _ {15} 1 ), ale (4 ne _ {15} pm 1 ).

Veta 5.18 (Wilsonova veta)

Ak (p ) prime v ( mathbb {Z} ), potom ((p-1)! = _ {P} -1 ). Ak je (b ) zložené, potom ((b-1)! Ne _ {b} -1 )

Dôkaz

To platí pre (p = 2 ). Ak (p> 2 ), potom tvrdenie 5.16 (3) a lemma 5.17 znamená, že každý faktor (a_ {i} ) v produkte ((p-1)! ) Iný ako (- 1 ) alebo (1 ) má jedinečnú inverznú hodnotu (a_ {i} ') odlišnú od seba. Faktory (a_ {i} ') prechádzajú všetkými faktormi (2 ) až (p-2 ) presne raz. V produkte teda môžeme spárovať každý (a_ {i} ) odlišný od ( pm 1 ) s jeho inverznou hodnotou. Toto dáva

[(p-1)! = _ {p} (+1) (- 1) prod a_ {i} a_ {i} '= _ {p} -1 nonumber ]

Druhá časť je ľahšia. Ak je (b ) zložené, zostáva najmenej zvyškov (a ) a (b ) väčších ako (1 ), takže (ad = _ {b} 0 ). Teraz buď môžeme zvoliť (a ) a (b ) zreteľne a potom ((b-1)! ) Obsahuje produkt (ad ), a teda sa rovná nule mod (b ). Alebo je to nemožné a (b = a ^ 2 ). Ale potom stále ( gcd ((b-1) !, b) ge a ). Ak použijeme Be ́zout, musíme mať ((b-1)! ) Mod (b ) musí byť násobkom (a ).

Wilsonovu vetu je možné použiť na testovanie primality čísla (n ). Toto však vyžaduje (n ) násobenie, ktoré je v praxi nákladnejšie ako pokus vydeliť (n ) všetkými číslami menšími ako ( sqrt {n} ). Upozorňujeme však, že ak chcete vypočítať zoznam všetkých prvočísel medzi (1 ) a (N ), Wilsonovu vetu je možné použiť oveľa efektívnejšie. Po výpočte ((k-1)! = _ {K} ) na určenie, či (k ) je prvočíslo, stačí iba (1 ) násobenie a (1 ) delenie na určenie, či (k +1 ) je prime.

Tu je odber, ktorý bude dôležitý pre kapitolu ??. Konkrétne máme nasledujúci výsledok.

Dodatok 5.19

Nech (p ) je prvočíslo.

Pre každé (a in mathbb {Z} _ {p} ) existuje jedinečný (a ′ = _ {p} -a ) taký, že (a + a ′ = _ {p} 0 ).

Pre každé (a in mathbb {Z} _ {p} ) a (a ne 0 ) existuje jedinečný (a ′ = a ^ {- 1} ), takže (aa ′ = _ {P} 1 ).

Sčítanie a násobenie je dobre definované v ( mathbb {Z} _ {b} ) (pozri cvičenia 5.1 a 5.2). Keď je teda (p ) prvočíslo, môžeme ich sčítať, vynásobiť, odčítať a deliť na ( mathbb {Z} _ {p} ). Slovami kapitoly ??, keď (p ) je prvočíslo, potom ( mathbb {Z} _ {p} ) je pole. Je zaujímavým faktom, že to isté neplatí pre zložené číslo (b ). Podľa Propozície 5.16 potrebujeme, aby redukovaná množina zvyškov pre množenie bola invertovateľná. Zároveň na to, aby bola množina uzavretá pri násobení, potrebujeme všetko ( mathbb {Z} _ {b} ) (myslite na (1 + 1 + bodky )). Sčítanie a násobenie operácií v ( mathbb {Z} _ {b} ) teda navzájom spolupracujú, iba ak (b ) je prvočíslo.


Počet prvkov v kvociente prsteň nad $ mathbb Z_5 [x] $ a $ mathbb Z_ [x] $

a) Koľko prvkov má krúžok kvocientu $ displaystyle frac < mathbb Z_5 [x]> < langle x ^ 2 + 1 rangle> $?

Vidím, že polynom, $ displaystyle p (x) = x ^ 2 + 1 = (x-2) (x-3) $ je redukovateľný v poli celých čísel modulo $ 5 $, ale nemôže pokračovať ďalej.

Kde bol polynóm neredukovateľný nad poľom celých čísel modulo $ 11 $.

Pozrel som sa na niektoré riešenia, ktoré hovoria, že prvky v tomto kvociente krúžkov budú typu $ ax + b $ a potom máme možnosti $ 11 $ pre každý z dvoch a následne $ 121 $ prvkov.

Nemohol som sledovať, prečo budú mať prvky formu $ ax + b $. Prosím vysvetli.


Katedra matematiky, Indický technologický inštitút Roorkee, Roorkee, 247667, India

* Zodpovedajúci autor: Amit Sharma

Prijaté Októbra 2017 Revidované Marca 2018 Uverejnený Septembra 2018

V tomto článku študujeme triedu skreslených cyklických kódov pomocou skresleného polynomického kruhu nad $ R = mathbb_4 + u mathbb_4u ^ 2 = 1 $, s automorfizmom $ θ $ a odvodením $ δ_θ $. Zovšeobecňujeme pojem cyklické kódy na skreslenie cyklických kódov s odvodením a nazývame také kódy ako $ δ_θ $ -cyklické kódy. Niektoré vlastnosti zošikmeného polynomického krúžku $ R [x, θ, <δ_θ>] $ sú uvedené. Ukázalo sa, že cyklický kód $ δ_θ $ je ľavým $ R [x, θ, <δ_θ>] $ - submodul $ frac<δ_θ>]> < langle x ^ n-1 rangle> $. Prezentuje sa forma matice kontroly parity voľných $ δ_θ $ -cyklických kódov párnej dĺžky $ n $. Tieto kódy sa ďalej zovšeobecňujú na zdvojnásobenie cyklických kódov $ δ_θ $ nad $ R $. Získali sme niekoľko nových dobrých kódov nad $ mathbb_4 $ prostredníctvom sivých obrázkov a zvyškových kódov týchto kódov. Nové získané kódy boli nahlásené a pridané do databázy $ mathbb_4 $ -kódy [2].

Referencie:

M. Araya, M. Harada, H. Ito a K. Saito, O klasifikácii kódov Z4, Adv. Matematika. Commun., 11 (2017), 747-756. doi: 10,3934 / amc.2017054. Študovňa Google

N. Aydin a T. Asamov, databáza kódov Z4, J. Comb. Inf. Syst. Sci., 34 (2009), 1-12. Študovňa Google

M. Bhaintwal, skosenie kvázicyklických kódov cez Galoisove krúžky, Des. Kódy Cryptogr., 62 (2012), 85-101. doi: 10,1007 / s10623-011-9494-0. Študovňa Google

I. F. Blake, kódy niektorých krúžkov, Informácie a kontrola., 20 (1972), 396-404. doi: 10,1016 / S0019-9958 (72) 90223-9. Študovňa Google

I. F. Blake, kódy nad kruhmi celých zvyškov, Informácie a kontrola., 29 (1975), 295-300. doi: 10,1016 / S0019-9958 (75) 80001-5. Študovňa Google

W. Bosma, J. J. Cannon, C. Fieker a A. Steel, Príručka funkcií magmy, Vydanie, 2 (2010), 5017 strán. Študovňa Google

D. Boucher a F. Ulmer, kódovanie so skosenými polynomiálnymi krúžkami, J. of Symbolic Comput., 44 (2009), 1644-1656. doi: 10.1016 / j.jsc.2007.11.008. Študovňa Google

D. Boucher, W. Geiselmann a F. Ulmer, cyklické kódy Skew, Appl. Algebra Engrg. Comm. Comput., 18 (2007), 379-389. doi: 10.1007 / s00200-007-0043-z. Študovňa Google

D. Boucher a F. Ulmer, kódy ako moduly nad skosenými polynomiálnymi krúžkami, V Proc. z 12 th IMA International Conference, Cryptography and Coding, Cirencester, UK, LNCS, 5921 (2009), 38 - 55. doi: 10.1007 / 978-3-642-10868-6_3. Študovňa Google

D. Boucher, P. Sol $ akút$ a F. Ulmer, skosené konštacyklické kódy cez Galoisove krúžky, Adv. Matematika. Commun., 2 (2008), 273-292. doi: 10,3934 / amc.2008.2.273. Študovňa Google

D. Boucher a F. Ulmer, lineárne kódy využívajúce skosené polynómy s automatickými tvarmi a deriváciami, Des. Kódy Cryptogr., 70 (2014), 405-431. doi: 10,1007 / s10623-012-9704-4. Študovňa Google

S. T. Dougherty a K. Shiromoto, kódy maximálnej vzdialenosti cez krúžky rádu 4, IEEE Trans. Teória informácií, 47 (2001), 400-404. doi: 10,1109 / 18,904544. Študovňa Google

F. Gursoy, I. Siap a B. Yildiz, Konštrukcia skreslených cyklických kódov nad $ mathbb_q + v mathbb_q $, Adv. Matematika. Commum., 8 (2014), 313-322. doi: 10,3934 / amc.2014.8.313. Študovňa Google

J. R. Hammons, P. V. Kumar, A. R. Calderbank, N. J. Sloane a P. Sol $$, $ Mathbb_4 $ - lineárnosť Kerdock, Preparata, Goethals a súvisiacich kódov, IEEE Trans. Informovať. Teória, 40 (1994), 301 - 319. doi: 10,1109 / 18,312154. Študovňa Google

S. Jitman, S. Ling a P. Udomkavanich, Skew konštacyklické kódy cez konečné reťaze, Adv. Matematika. Commun., 6 (2012), 39-63. doi: 10,3934 / amc.2012.6.39. Študovňa Google

B. R. McDonald, Konečné krúžky s identitou, Marcel Dekker Inc, New York, 1974. Google Scholar

M. Ozen, F. Z. Uzekmek, N. Aydin a N. T. Ozzaim, cyklické a niektoré konštacyklické kódy za kruhom $ frac< langle u ^ 2-1 rangle> $, Aplikácia konečných polí, 38 (2016), 27-39. doi: 10.1016 / j.ffa.2015.12.003. Študovňa Google

E. Prange, cyklické kódy na opravu chýb v dvoch symboloch, Vzdušné sily Cambridge Research Center, Cambridge, MA, Tech. Rep. AFCRC-TN, (1957), 57-103. Študovňa Google

M. Shi, L. Qian, L. Sok, N. Aydin a P. Sole, o konštacyklických kódoch nad $ frac< langle u ^ 2-1 rangle> $ a ich šedé obrázky, Aplikácia konečných polí, 45 (2017), 86-95. doi: 10.1016 / j.ffa.2016.11.016. Študovňa Google

I. Siap, T. Abualrub, N. Aydin a P. Seneviratne, Skew cyklické kódy ľubovoľnej dĺžky, Int. J. Inf. Teória kódovania, 2 (2011), 10-20. doi: 10,1504 / IJICOT.2011.044674. Študovňa Google

E. Spiegel, kódy nad $ mathbb_m $, Informácie a kontrola., 35 (1977), 48-51. doi: 10,1016 / S0019-9958 (77) 90526-5. Študovňa Google

E. Spiegel, kódy nad $ mathbb_m $ (znovu navštívené), Informácie a kontrola., 37 (1978), 100-104. doi: 10,1016 / S0019-9958 (78) 90461-8. Študovňa Google

B. Yildiz a N. Aydin, On kódy nad $ mathbb_4 + u mathbb_4 $ a ich $ mathbb_4 $ -obrazy, Int. J. Inf. Teória kódovania, 2 (2014), 226-237. doi: 10.1504 / IJICOT.2014.066107. Študovňa Google

B. Yildiz a S. Karadeniz, lineárne kódy nad $ mathbb_4 + u mathbb_4 $: identity, projekcie a formálne samostatné duálne kódy MacWilliams, Aplikácia konečných polí, 27 (2014), 24-40. doi: 10.1016 / j.ffa.2013.12.007. Študovňa Google

Referencie:

M. Araya, M. Harada, H. Ito a K. Saito, O klasifikácii kódov Z4, Adv. Matematika. Commun., 11 (2017), 747-756. doi: 10,3934 / amc.2017054. Študovňa Google

N. Aydin a T. Asamov, databáza kódov Z4, J. Comb. Inf. Syst. Sci., 34 (2009), 1-12. Študovňa Google

M. Bhaintwal, skosenie kvázicyklických kódov cez Galoisove krúžky, Des. Kódy Cryptogr., 62 (2012), 85-101. doi: 10,1007 / s10623-011-9494-0. Študovňa Google

I. F. Blake, kódy niektorých krúžkov, Informácie a kontrola., 20 (1972), 396-404. doi: 10,1016 / S0019-9958 (72) 90223-9. Študovňa Google

I. F. Blake, kódy nad celočíselnými zvyškovými kruhmi, Informácie a kontrola., 29 (1975), 295-300. doi: 10,1016 / S0019-9958 (75) 80001-5. Študovňa Google

W. Bosma, J. J. Cannon, C. Fieker a A. Steel, Príručka funkcií magmy, Vydanie, 2 (2010), 5017 strán. Študovňa Google

D. Boucher a F. Ulmer, kódovanie so skosenými polynomiálnymi krúžkami, J. of Symbolic Comput., 44 (2009), 1644-1656. doi: 10.1016 / j.jsc.2007.11.008. Študovňa Google

D. Boucher, W. Geiselmann a F. Ulmer, cyklické kódy Skew, Appl. Algebra Engrg. Comm. Comput., 18 (2007), 379-389. doi: 10.1007 / s00200-007-0043-z. Študovňa Google

D. Boucher a F. Ulmer, kódy ako moduly nad skosenými polynomiálnymi krúžkami, V Proc. z 12 th IMA International Conference, Cryptography and Coding, Cirencester, UK, LNCS, 5921 (2009), 38 - 55. doi: 10.1007 / 978-3-642-10868-6_3. Študovňa Google

D. Boucher, P. Sol $ akút$ a F. Ulmer, skosené konštacyklické kódy cez Galoisove krúžky, Adv. Matematika. Commun., 2 (2008), 273-292. doi: 10,3934 / amc.2008.2.273. Študovňa Google

D. Boucher a F. Ulmer, lineárne kódy využívajúce skosené polynómy s automatickými tvarmi a deriváciami, Des. Kódy Cryptogr., 70 (2014), 405-431. doi: 10,1007 / s10623-012-9704-4. Študovňa Google

S. T. Dougherty a K. Shiromoto, kódy maximálnej vzdialenosti cez krúžky rádu 4, IEEE Trans. Teória informácií, 47 (2001), 400-404. doi: 10,1109 / 18,904544. Študovňa Google

F. Gursoy, I. Siap a B. Yildiz, Konštrukcia skreslených cyklických kódov nad $ mathbb_q + v mathbb_q $, Adv. Matematika. Commum., 8 (2014), 313-322. doi: 10,3934 / amc.2014.8.313. Študovňa Google

J. R. Hammons, P. V. Kumar, A. R. Calderbank, N. J. Sloane a P. Sol $$, $ Mathbb_4 $ - lineárnosť Kerdock, Preparata, Goethals a súvisiacich kódov, IEEE Trans. Informovať. Teória, 40 (1994), 301 - 319. doi: 10,1109 / 18,312154. Študovňa Google

S. Jitman, S. Ling a P. Udomkavanich, Skew konštacyklické kódy cez konečné reťaze, Adv. Matematika. Commun., 6 (2012), 39-63. doi: 10,3934 / amc.2012.6.39. Študovňa Google

B. R. McDonald, Konečné krúžky s identitou, Marcel Dekker Inc, New York, 1974. Google Scholar

M. Ozen, F. Z. Uzekmek, N. Aydin a N. T. Ozzaim, cyklické a niektoré konštacyklické kódy za kruhom $ frac< langle u ^ 2-1 rangle> $, Aplikácia konečných polí, 38 (2016), 27-39. doi: 10.1016 / j.ffa.2015.12.003. Študovňa Google

E. Prange, cyklické kódy na opravu chýb v dvoch symboloch, Vzdušné sily Cambridge Research Center, Cambridge, MA, Tech. Rep. AFCRC-TN, (1957), 57-103. Študovňa Google

M. Shi, L. Qian, L. Sok, N. Aydin a P. Sole, o konštacyklických kódoch nad $ frac< langle u ^ 2-1 rangle> $ a ich šedé obrázky, Aplikácia konečných polí, 45 (2017), 86-95. doi: 10.1016 / j.ffa.2016.11.016. Študovňa Google

I. Siap, T. Abualrub, N. Aydin a P. Seneviratne, Skew cyklické kódy ľubovoľnej dĺžky, Int. J. Inf. Teória kódovania, 2 (2011), 10-20. doi: 10,1504 / IJICOT.2011.044674. Študovňa Google

E. Spiegel, kódy nad $ mathbb_m $, Informácie a kontrola., 35 (1977), 48-51. doi: 10,1016 / S0019-9958 (77) 90526-5. Študovňa Google

E. Spiegel, kódy nad $ mathbb_m $ (znovu navštívené), Informácie a kontrola., 37 (1978), 100-104. doi: 10,1016 / S0019-9958 (78) 90461-8. Študovňa Google

B. Yildiz a N. Aydin, On kódy nad $ mathbb_4 + u mathbb_4 $ a ich $ mathbb_4 $ -obrazy, Int. J. Inf. Teória kódovania, 2 (2014), 226-237. doi: 10.1504 / IJICOT.2014.066107. Študovňa Google

B. Yildiz a S. Karadeniz, lineárne kódy nad $ mathbb_4 + u mathbb_4 $: identity, projekcie a formálne samostatné duálne kódy MacWilliams, Aplikácia konečných polí, 27 (2014), 24-40. doi: 10.1016 / j.ffa.2013.12.007. Študovňa Google

Stiahnuť ako snímku PowerPoint

$ C $ $ Phi (C) $ $ Res (C) $ $ C ^ * $
Sada generátorov Zákonníka $ (n, 4 ^2^, d_L) $ $ (n, 4 ^2^, d_L) $ $ (n, 4 ^2^, d_L) $
$$ $ C_1 $ $<(10, 4^6, 2)^<>>$ $<(5, 4^42^1, 2)^<*>>$ $ mathbf <(10, 4 ^ 82 ^ 2, 2)> ^ <**> $
$$ $ C_2 $ $<(20, 4^6, 8)>$ $(10, 4^6, 4)^*$ $(20, 4^<12>, 4)^*$
$$ $ C_3 $ $<(20, 4^6, 6)>$ $(10, 4^5, 6)^*$ $(20, 4^<10>, 6)$
$ left << doľava (x doprava), x doľava (x doprava), doľava (x doprava), doľava (x doprava)> doprava > $ $ C_4 $ $<(24, 4^8, 6)>$ $(12, 4^8, 4)^*$ $(24, 4^<16>, 4)^*$
$ left << doľava (x doprava), x doľava (x doprava), doľava (x doprava), doľava (x doprava)> doprava > $ $ C_5 $ $<(28, 4^8, 6)>$ $(14, 4^8, 5)^*$ $(28, 4^<16>, 5)^*$
$ left << doľava (x doprava), x doľava (x doprava), doľava (x doprava), doľava (x doprava)> doprava > $ $ C_6 $ $<(30, 4^8, 6)>$ $(15, 4^8, 6)^*$ $(30, 4^<16>, 6)$
$ left << doľava (x doprava), x doľava (x doprava), doľava (x doprava), doľava (x doprava)> doprava > $ $ C_7 $ $<(36, 4^8, 8)>$ $(18, 4^8, 8)^*$ $(36, 4^<16>, 8)^*$
$ C $ $ Phi (C) $ $ Res (C) $ $ C ^ * $
Sada generátorov Zákonníka $ (n, 4 ^2^, d_L) $ $ (n, 4 ^2^, d_L) $ $ (n, 4 ^2^, d_L) $
$$ $ C_1 $ $<(10, 4^6, 2)^<>>$ $<(5, 4^42^1, 2)^<*>>$ $ mathbf <(10, 4 ^ 82 ^ 2, 2)> ^ <**> $
$$ $ C_2 $ $<(20, 4^6, 8)>$ $(10, 4^6, 4)^*$ $(20, 4^<12>, 4)^*$
$$ $ C_3 $ $<(20, 4^6, 6)>$ $(10, 4^5, 6)^*$ $(20, 4^<10>, 6)$
$ left << doľava (x doprava), x doľava (x doprava), doľava (x doprava), doľava (x doprava)> doprava > $ $ C_4 $ $<(24, 4^8, 6)>$ $(12, 4^8, 4)^*$ $(24, 4^<16>, 4)^*$
$ left << doľava (x doprava), x doľava (x doprava), doľava (x doprava), doľava (x doprava)> doprava > $ $ C_5 $ $<(28, 4^8, 6)>$ $(14, 4^8, 5)^*$ $(28, 4^<16>, 5)^*$
$ left << doľava (x doprava), x doľava (x doprava), doľava (x doprava), doľava (x doprava)> doprava > $ $ C_6 $ $<(30, 4^8, 6)>$ $(15, 4^8, 6)^*$ $(30, 4^<16>, 6)$
$ left << doľava (x doprava), x doľava (x doprava), doľava (x doprava), doľava (x doprava)> doprava > $ $ C_7 $ $<(36, 4^8, 8)>$ $(18, 4^8, 8)^*$ $(36, 4^<16>, 8)^*$
$ C $ $ Phi (C) $ $ Res (C) $ $ C ^ * $
Sada generátorov názov $ (n, M, d_L) $ $ (n, 4 ^2^, d_L) $ $ (n, 4 ^2^, d_L) $
$$ $ A_1 $ $<(10,128, 2)^<>>$ $<(5, 4^32^1, 2)^<*>>$ $(10, 4^62^2, 2)$
$$ $ A_2 $ $<(12, 4096, 2)^<>>$ $<(6, 4^52^1, 2)^<*>>$ $ mathbf <(12, 4 ^ <10> 2 ^ 2, 2)> ^ <**> $
$$ $ A_3 $ $<(14, 65536, 2)^<>>$ $<(7, 4^62^1, 2)^<*>>$ $<(14, 4^<12>2^2, 2)>$
$$ $ A_3 $ $<(16, 65536, 4)^<>>$ $ mathbf <(8, 4 ^ 7, 2) ^ <** >> $ $ mathbf <(16, 4 ^ <14>, 2)> ^ <**> $
$ C $ $ Phi (C) $ $ Res (C) $ $ C ^ * $
Sada generátorov názov $ (n, M, d_L) $ $ (n, 4 ^2^, d_L) $ $ (n, 4 ^2^, d_L) $
$$ $ A_1 $ $<(10,128, 2)^<>>$ $<(5, 4^32^1, 2)^<*>>$ $(10, 4^62^2, 2)$
$$ $ A_2 $ $<(12, 4096, 2)^<>>$ $<(6, 4^52^1, 2)^<*>>$ $ mathbf <(12, 4 ^ <10> 2 ^ 2, 2)> ^ <**> $
$$ $ A_3 $ $<(14, 65536, 2)^<>>$ $<(7, 4^62^1, 2)^<*>>$ $<(14, 4^<12>2^2, 2)>$
$$ $ A_3 $ $<(16, 65536, 4)^<>>$ $ mathbf <(8, 4 ^ 7, 2) ^ <** >> $ $ mathbf <(16, 4 ^ <14>, 2)> ^ <**> $

Martianus Frederic Ezerman, San Ling, Patrick Solé, Olfa Jemen. Od skreslených cyklických kódov až po asymetrické kvantové kódy. Pokroky v matematike komunikácií, 2011, 5 (1): 41-57. doi: 10,3934 / amc.2011.5.41

Umberto Martínez-Peñas. Ekvivalent hodnotenia a hodnotenie zdegenerovaných skreslených cyklických kódov. Pokroky v matematike komunikácií, 2017, 11 (2): 267-282. doi: 10,3934 / amc.2017018

Jérôme Ducoat, Frédérique Oggier. Na skreslení polynomiálnych kódov a mriežok z kvocientov algebry cyklického delenia. Pokroky v matematike komunikácií, 2016, 10 (1): 79-94. doi: 10,3934 / amc.2016.10.79

Cem Güneri, Ferruh Özbudak, Funda ÖzdemIr. Na doplnkových cykloch s dvojitou aditívou. Pokroky v matematike komunikácií, 2017, 11 (2): 353-357. doi: 10,3934 / amc.2017028

Nabil Bennenni, Kenza Guenda, Sihem Mesnager. Cyklické kódy DNA cez krúžky. Pokroky v matematike komunikácií, 2017, 11 (1): 83-98. doi: 10,3934 / amc.2017004

Heide Gluesing-Luerssen, Katherine Morrison, Carolyn Troha. Cyklické orbitálne kódy a podpole stabilizátora. Pokroky v matematike komunikácií, 2015, 9 (2): 177-197. doi: 10,3934 / amc.2015.9.177

Fatmanur Gursoy, Irfan Siap, Bahattin Yildiz. Konštrukcia zošikmených cyklických kódov nad $ mathbb F_q + v mathbb F_q $. Pokroky v matematike komunikácií, 2014, 8 (3): 313-322. doi: 10,3934 / amc.2014.8.313

Heide Gluesing-Luerssen, Fai-Lung Tsang. Popis maticového kruhu pre cyklické konvolučné kódy. Pokroky v matematike komunikácií, 2008, 2 (1): 55-81. doi: 10,3934 / amc.2008.2.55

Rafael Arce-Nazario, Francis N. Castro, Jose Ortiz-Ubarri. Na polomere pokrytia niektorých binárnych cyklických kódov. Pokroky v matematike komunikácií, 2017, 11 (2): 329-338. doi: 10,3934 / amc.2017025

Long Yu, Hongwei Liu. Trieda cyklických kódov $ p $ -ary a ich početné váhy. Pokroky v matematike komunikácií, 2016, 10 (2): 437-457. doi: 10,3934 / amc.2016017

Heide Gluesing-Luerssen, Uwe Helmke, José Ignacio Iglesias Curto. Algebraické dekódovanie pre dvojnásobne cyklické konvolučné kódy. Pokroky v matematike komunikácií, 2010, 4 (1): 83-99. doi: 10,3934 / amc.2010.4.83

San Ling, Buket Özkaya. Nové hranice minimálnej vzdialenosti cyklických kódov. Pokroky v matematike komunikácií, 2021, 15 (1): 1-8. doi: 10,3934 / amc.2020038

Gustavo Terra Bastos, Reginaldo Palazzo Júnior, Marinês Guerreiro. Abelianske necyklické kódy na obežnej dráhe a multišhotové podpriestorové kódy. Pokroky v matematike komunikácií, 2020, 14 (4): 631-650. doi: 10,3934 / amc.2020035

Yunwen Liu, Longjiang Qu, Chao Li. Nové konštrukcie systematických autentifikačných kódov z troch tried cyklických kódov. Pokroky v matematike komunikácií, 2018, 12 (1): 1-16. doi: 10.3934 / amc.2018001

Gerardo Vega, Jesús E. Cuén-Ramos. Rozloženie hmotnosti skupín redukovateľných cyklických kódov prostredníctvom rozloženia hmotnosti niektorých neredukovateľných cyklických kódov. Pokroky v matematike komunikácií, 2020, 14 (3): 525-533. doi: 10,3934 / amc.2020059

Steven T. Dougherty, Cristina Fernández-Córdoba. Kódy nad $ mathbb_ <2 ^ k> $, šedá mapa a autodvojité kódy. Pokroky v matematike komunikácií, 2011, 5 (4): 571-588. doi: 10,3934 / amc.2011.5.571

Fernando Hernando, Tom Høholdt, Diego Ruano. Zoznam dekódovaní kódov maticových produktov od vnorených kódov: Aplikácia na kvázicyklické kódy. Pokroky v matematike komunikácií, 2012, 6 (3): 259-272. doi: 10,3934 / amc.2012.6.259

Sergio R. López-Permouth, Steve Szabo. Na Hammingovej váhe opakovaných koreňových cyklických a negacyklických kódov cez Galoisove krúžky. Pokroky v matematike komunikácií, 2009, 3 (4): 409-420. doi: 10,3934 / amc.2009.3.409

Ricardo A. Podestá, Denis E. Videla. Rozloženie hmotnosti neredukovateľných cyklických kódov spojené s rozložiteľnými zovšeobecnenými Paleyovými grafmi. Pokroky v matematike komunikácií, 2021 doi: 10,3934 / amc.2021002

Leetika Kathuria, Madhu Raka. Existencia cyklických samoortogonálnych kódov: Poznámka k výsledku Vera Pless. Pokroky v matematike komunikácií, 2012, 6 (4): 499-503. doi: 10,3934 / amc.2012.6.499


Ak chcete zmeniť číslo na ďalšie nižšie celé číslo (celé číslo), získajte číslo poschodie hodnotu. Minimálna hodnota pre 8,76 je 8, čo je ďalšie nižšie celé číslo. Pre záporné číslo 6,17 je jeho minimálna hodnota -7, čo je ďalšie nižšie celé číslo.

Zlomková časť čísla je odstránená znakom skrátenie to. Ak má číslo hodnotu 54,234, jeho skrátená hodnota je 54. Skrátenie funguje rovnako pri zápornom čísle. Skrátená hodnota -34,913 je -34.


Najjednoduchšie príklady skupín abelian sú cyklické skupiny, čo sú skupiny generované jedným prvkom, a teda izomorfné so Z n mathbb_n Z n pripomína, že Z n mathbb_n Z n je definované ako

Aj keď sú všetky cyklické skupiny abelianske, nie všetky abelianske skupiny sú cyklické. Napríklad skupina Kleinových štyroch Z 2 × Z 2 mathbb_2 krát mathbb_2 Z 2 × Z 2 je abelian, ale nie cyklický.

Naproti tomu skupina invertibilných matíc so skupinovým zákonom násobenia matíc netvorí abeliansku skupinu (je to nonabelian), pretože všeobecne neplatí, že M N = N M MN = NM M N = N M pre matice M, N M, N M, N. Symetrická skupina S n S_n S n je tiež neabelská pre n ≥ 3 n geq 3 n ≥ 3.

Prstene sú tiež príkladom abeliánskych skupín, pokiaľ ide o ich aditívne operácie. Ďalej jednotky krúžku tvoria abeliansku skupinu vzhľadom na jeho multiplikatívnu činnosť. Skutočné čísla napríklad tvoria aditívnu abelianovu skupinu a nenulové reálne čísla (označené R ∗ mathbb^ <*> R ∗) tvoria multiplikatívnu abeliánsku skupinu.


MAT 112 Antická a súčasná matematika

V Definícii 1.3.10 sme definovali násobenie ako opakované sčítanie. Pre kladné celé čísla sme vykonali delenie ako opakované odčítanie. Najprv zvážime tento prípad a potom zovšeobecníme algoritmus na všetky celé čísla tak, že zadáme algoritmus delenia pre záporné celé čísla.

Sledujte video na obrázku 3.2.1 o algoritme Division a potom si prečítajte podrobný popis vo zvyšku tejto časti.

Pododdiel 3.2.1 Algoritmus rozdelenia pre kladné celé čísla

V našej prvej verzii algoritmu delenia začíname nezáporným celým číslom (a ) a neustále odčítame prirodzené číslo (b ), až kým neskončíme číslom, ktoré je menšie ako (b ) a väčšie rovný alebo rovný (0 text <.> ) Zavoláme počet, koľkokrát môžeme odpočítať (b ) od (a ) delenia (a ) delením (b ) zostávajúci počet sa nazýva delenie (a ) číslom (b text <.> )

Zvyčajne používame premennú (q ) pre kvocient a premennú (r ) pre zvyšok. Máme

Algoritmus delenia počíta kvocient aj zvyšok. V Algoritme 3.2.2 a Algoritme 3.2.10 to označíme tým, že za znakom Dáme dve hodnoty oddelené čiarkou návrat.

Ak (a lt b ), potom nemôžeme odčítať (b ) od (a ) a skončiť s číslom väčším alebo rovným (b text <.> ) Teda v tomto prípade , kvocient je 0 a zvyšok je (a ) sám. Tento prípad zachytíme v kroku 1 algoritmu.

Algoritmus 3.2.2. Delenie kladných čísel.

prirodzené číslo (a ) a prirodzené číslo (b )

Dve celé čísla (q ) a (r ) také, že (a = (q cdot b) + r ) a (0 leq r lt b )

Najprv zvážime príklad, v ktorom sa algoritmus končí skôr, ako vstúpime do repeat_until slučka.

Príklad 3.2.3. Delenie (4 ) (7 ) pomocou algoritmu 3.2.2.

Nájdeme výstupné hodnoty algoritmu 3.2.2 pre vstupné hodnoty (a = 4 ) a (b = 7 text <.> )

Pretože tvrdenia (a = 4 ) a (b = 7 ) (a lt b ) sú pravdivé. Postupujeme teda podľa pokynov po potom a vráti hodnoty (q ) a (r text <,> ) konkrétne 0 a 4.

Kvocient delenia (4 ) (7 ) je (0 ) a zvyšok je (4 text <.> )

Pomocou algoritmu delenia nájdeme kvocient a zvyšok. V tomto príklade prechádzame cez repeat_until slučku niekoľkokrát.

Príklad 3.2.4. Delenie (30 ) (8 ) pomocou algoritmu 3.2.2.

Nájdeme výstupné hodnoty algoritmu 3.2.2 pre vstupné hodnoty (a = 30 ) a (b = 8 text <.> )

1. Ako (a = 30 ) a (b = 8 ) je výrok (a lt b ) nepravdivý. Takže pokračujeme krokom 2.

5. Ako (r = 22 ) a (q = 1 ) je výrok (r lt q ) nepravdivý. Takže pokračujeme krokom 4

5. Ako (r = 14 ) a (q = 8 ) je výrok (r lt q ) nepravdivý. Takže pokračujeme krokom 4

Pretože (r = 6 ) a (q = 8 ) je výrok (r lt q ) pravdivý. Takže pokračujeme krokom 6.

Vrátime kvocient (q = 3 ) a zvyšok (r = 6 )

Kvocient delenia (30 ) (8 ) je (3 ) a zvyšok je (6 text <.> )

Pri práci s pokynmi algoritmu 3.2.2 môže byť pohodlnejšie uviesť hodnoty všetkých relevantných premenných v každej iterácii slučky v tabuľke. Znova navštívime príklad 3.2.4, ktorý predstavuje prácu v kompaktnejšej podobe.

Príklad 3.2.5. Delenie (30 ) o (8 ) s kratším algoritmom 3.2.2.

Nájdeme výstupné hodnoty algoritmu 3.2.2 pre vstupné hodnoty (a = 30 ) a (b = 8 text <.> )

Do každého riadku tabuľky zapíšeme hodnoty všetkých premenných pre iteráciu slučky. Ak premenná nemá žiadnu hodnotu, necháme položku prázdnu. Podobne ako v prípade výstupu ponecháme položky všetkých premenných, ktoré nie sú súčasťou výstupu, prázdne.

krokov (a ) (b ) (q ) (r )
Vstup (30) (8) () ()
1.,2.,3. (30) (8) (0) (30)
4.,5. (30) (8) (0+1=1) (30-8=22)
4.,5. (30) (8) (1+1=2) (22-8=14)
4.,5. (30) (8) (1+1=3) (14-8=6)
Výkon () () (3) (6)

Takže výstup je (q = 3 ) a (r = 6 )

V príklade 3.2.6 môžete sledovať, ako sa hodnoty premenných menia, keď klikáte na jednotlivé kroky v algoritme delenia.

Príklad 3.2.6. Algoritmus delenia interaktívny.

V Checkpoint 3.2.7 podobným spôsobom rozvinieme slučku v Algoritme 3.2.2. Podľa pokynov vyhľadajte kvocient a zvyšok.

Kontrolný bod 3.2.7. Nájdite kvocient a zvyšok pomocou algoritmu delenia.

Niekedy človeka nezaujíma kvocient aj zvyšok. V takom prípade je možné použiť zjednodušený algoritmus. Určte výstup algoritmu v kontrolnom bode 3.2.8.

Kontrolný bod 3.2.8. Ďalším variantom algoritmu delenia.

Ak (a & gt0 text <,> ), potom Algoritmus 3.2.2 vráti kvocient a zvyšok delenia (a ) znakom (b text <.> ) Ak sa pokúsime použiť Algoritmus 3.2.2 keď je záporné (a ), algoritmus vždy vráti (0, a ), čo nespĺňa podmienku (0 le r ) pre výstup od (r = a lt 0 text <. > ) Takže potrebujeme iný algoritmus pre prípad (a lt 0 text <.> )

Pododdiel 3.2.2 Algoritmus divízie pre negatívne celé čísla

Keď (a lt 0 text <,> ) stále hľadáme (q ) a (r ) také, aby (a = (q cdot b) + r ) s (0 le r lt b text <.> ) Pozitívny zvyšok dostaneme, keď (a ) je záporné opakovaným pridávaním (b text <.> ) To je to isté ako opakované pridávanie (- b text <.> ) Nech (s ) je počet, koľkokrát musíme pridať (b ) do (a ), aby sme získali (0 le r lt b text <. > ) Po (s ) dodatkoch (b ) k (a ) máme

Ak necháme (q: = - s text <,> ) dostaneme (r = a- (q cdot b) ) (porovnajme to, čo sme chceli). Zastavíme, keď (0 le r lt b text <.> ) Opakovane pridávame (b ) k záporným číslam, kým (0 le r lt b ) nie je pravda. Pretože záporné číslo plus (b ) je vždy menšie ako (b ) a po každom pridaní kontrolujeme hodnotu (r ), stačí skontrolovať, či (0 le r text <. > )

Príklad 3.2.9. Delenie (- 33 ) číslom (9 ).

Proces delenia záporného čísla ilustrujeme vydelením (- 33 ) číslom (9 text <.> ) Opakovane pridávame (9 ), kým nezískame číslo od (0 ) do ( 9-1 = 8 text <.> ) Toto číslo je zvyšok. Záporná hodnota koľkokrát pridáme (9 ) je kvocient.

Ako (0 le 3 lt 9 ) sme hotoví. Zvyšok je (3 text <.> ) Pridali sme (9 ) štyrikrát, takže kvocient je (- 4 text <.> ) Máme

Teraz tento postup formalizujeme pomocou algoritmu.

Algoritmus 3.2.10. Delenie pre záporné celé čísla.

Záporné celé číslo (a ) a prirodzené číslo (b )

Dve celé čísla (q ) a (r ) také, že (a = (q cdot b) + r ) a (0 leq r lt b )


Ako napísať vetu o rozdelení

Ak chcete napísať deliacu vetu, postupujte takto:

  1. Najskôr si zapíšte celkové zdieľané alebo rozdelené číslo.
  2. Ďalej napíšte znak rozdelenia, ÷.
  3. Po podpise rozdelenia si zapíšte počet skupín, do ktorých sa suma delí.
  4. Ďalej napíšte znamienko rovnosti, =.
  5. Nakoniec napíšte číslo do každej skupiny po zdieľaní objektov.

Pokiaľ používame celé čísla, najväčšie číslo v deliacej vete bude na prvom mieste.

Tu je príklad písania deliacej vety pre slovnú úlohu.

Desať guľôčok je vložených do 5 vreciek.

Prvým krokom je zápis celkového zdieľaného počtu, čo je 10.

Druhým krokom je napísanie znamienka delenia, ÷.

Tretím krokom je zápis počtu skupín. Toto je počet vriec, do ktorých sa guličky vložia. Máme 5

Štvrtým krokom sú dva zápisu znamienka rovnosti, =.

Piatym krokom je napísanie čísla do každej skupiny. Umiestnením guľôčok do 5 rovnakých skupín zistíme, že v každej skupine je 5.

Deliaca veta je 10 ÷ 5 = 2.

Táto veta znamená, že 10 zdieľaných do 5 rovnakých skupín nám dáva 2 v každej skupine.

Tu je ďalší príklad písania deliacej vety pre slovnú úlohu.

Medzi 12 deťmi sa delí 12 jabĺk.

Pamätajte, že najväčšie číslo v deliacej vete bude na prvom mieste.

Zdieľame 12 objektov medzi 4 ľuďmi.

Každé dieťa dostane 3, a tak je naša odpoveď na rozdelenie 3.

12 ÷ 4 = 3 znamená, že 12 jabĺk zdieľaných medzi 4 deťmi dáva každému dieťaťu 3 jablká.

Tu je príklad napísania rozdelenia.

16 vtákov je rozdelených do 4 skupín.

Najväčší počet je celkom. Máme 16 vtákov, takže to napíšeme ako prvé.

Číslo za znamienkom rozdelenia je počet skupín.

Máme 16 ÷ 4, čo znamená, že 16 vtákov bolo rozdelených do 4 rovnakých skupín.

Po znaku rovnosti počítame, koľko vtákov v každej skupine dostaneme odpoveď.

V každej skupine sú 4 vtáky, takže 16 ÷ 4 = 4.

Teraz vyskúšajte našu lekciu Krátka divízia bez zvyškov kde sa naučíme používať metódu krátkeho delenia na delenie čísel.


Problémy so slovom Simple Division

Na vyriešenie slovnej úlohy s rozdelením môžeme použiť nasledujúce kroky:

  1. Uveďte čísla uvedené v otázke.
  2. Určte, ktoré číslo predstavuje celkové množstvo.
  3. Identifikujte, koľko skupín zdieľame medzi nimi alebo koľko ľudí musí ísť do každej skupiny.
  4. Celkovú sumu vydelte počtom skupín, aby ste našli množstvo v každej skupine.
  5. Alebo vydelte celkový počet potrebnými v každej skupine, aby ste zistili, koľko skupín je možné vytvoriť.

V tomto príklade & # 8216 mám 10 sladkostí zdieľať rovnomerne medzi 5 deťmi. Koľko sladkostí robia každý získať? & # 8217

Snažíme sa zistiť, koľko sladkostí dostane každé dieťa, a preto chceme vedieť, koľko sladkostí bude v každej skupine.

Najskôr identifikujeme celkom, čo je 10 sladkostí.

Teraz identifikujeme, koľko máme skupín, čo je 5. Zdieľame to rovnako medzi 5 detí.

Celkovú sumu vydelíme počtom skupín.

Zdieľame 10 sladkostí medzi 5 ľuďmi.

10 ÷ 5 = 2 a tak každé dieťa dostane každé 2 sladkosti.

Pri výučbe slovných úloh s rozdelením môžeme nakresliť 10 sladkostí a rovnomerne ich zoskupiť tak, že okolo nich nakreslíme krúžky, ktoré nám to pomôžu vizualizovať. Mohli sme tiež získať 10 pultov a rozdeliť ich rovnomerne po jednom.

Na tomto príklade vidíme, že sme mali kľúčové slová z zdieľať rovnomerne a každý, čo nám môže dať tušenie, že máme rozdelenie.

Delenie nám tiež hovorí, koľkokrát 5 ide do 10.

V tomto ďalšom príklade má & # 8216 80 zápasov. Do každého balenia dám 8. Ako vyplním všetky pakety? & # 8217

We want to see how many packets we will fill. We want to see how many groups we will create.

We first identify the total number of matches, which is 80.

We then identify the number in each packet, which is 8.

To find the total number of packets, we will divide.

80 ÷ 8 = 10 and so, we can make 10 packets.

We can think of this as working out how many times 8 goes into 80 or how many packets can be made from 80 matches.

In this next example, ‘I need 30 crayons. Each pack contains 5 crayons. How many packs should I buy?’

The total number is the larger number, which is is 30.

We are buying the crayons in equal groups of 5.

We need to work out how many groups we need. How many fives make 30?

We need to work out how many fives go into 30.

30 ÷ 5 = 6 and so, we need 6 packs.

We can check out answer. 6 lots of 5 make the 30 crayons needed because 6 × 5 = 30.

In this example we needed to find the number of groups required. So we divided the total by the number in each group.

In this example, ‘I have 21 chairs. I will arrange the chairs in rows of 7.How many rows should I make?’

Here we have the total number of chairs, which is 21.

We are arranging them into rows of 7, so each group contains 7 chairs.

We want to find the number of rows that we can make. We want to work out how many rows of 7 can be made from 21 chairs. This is how many times 7 goes into 21.

21 ÷ 7 = 3 and so, we can make 3 rows.

We can see that each row is the same size. We can teach this by taking 21 counters and sharing them into 3 equal rows.

In this example involving money, ‘Shirts cost $11 and I have $66. How many shirts can I buy?’

We want to know how many elevens go into 66.

The total is $66 and we are dividing by 11.

We want to know how many times we can spend $11.

66 ÷ 11 = 6 and so, we can spend $11 six times.

Now try our lesson on Short Division without Remainders where we learn how to use the short division method to divide numbers.


Pozri si video: Решить за 1 минуту. Решите систему x+y+z=39, y+z+u=45, z+u+x=43, u+x+y=41. (Október 2021).