Články

5.1: Korene a radikály - matematika


Učebné ciele

  • Určte a vyhodnotte druhé a druhé kocky.
  • Určte doménu funkcií obsahujúcich odmocniny a kocky.
  • Vyhodnoťte (n ) korene.
  • Zjednodušte radikály pomocou pravidla produktu a kvocientu pre radikály.

Hranaté a kockové korene

Pripomeňme, že a námestie koreň1 čísla je číslo, ktoré po vynásobení poskytne pôvodné číslo. Napríklad (5 ) je druhá odmocnina z (25 ), pretože (5 ^ {2} = 25 ). Pretože ((- 5) ^ {2} = 25 ), môžeme povedať, že (- 5 ) je tiež druhá odmocnina z (25 ). Každé kladné reálne číslo má dve druhé odmocniny, jednu kladnú a jednu zápornú. Z tohto dôvodu používame radikálne znamienko (√ ) na označenie hlavný (nezáporný) štvorec koreň2 a záporné znamienko pred radikálom (- √ ) na označenie zápornej druhej odmocniny.

Nula je jediné skutočné číslo s jednou druhou odmocninou.

( sqrt {0} = 0 text {pretože} 0 ^ {2} = 0 )

Príklad ( PageIndex {1} ):

Ohodnotiť.

  1. ( sqrt {121} )
  2. (- sqrt {81} )

Riešenie

  1. ( sqrt {121} = sqrt {11 ^ {2}} = 11 )
  2. (- sqrt {81} = - sqrt {9 ^ {2}} = - 9 )

Ak radicand3, číslo vo vnútri radikálového znamienka, možno považovať za druhú mocninu iného čísla, potom je druhá odmocnina čísla zrejmá. V tomto prípade máme nasledujúcu vlastnosť:

( sqrt {a ^ {2}} = a quad text {if} quad a geq 0 )

Alebo všeobecnejšie

( sqrt {a ^ {2}} = | a | quad text {if} quad a v R )

Absolútna hodnota je dôležitá, pretože (a ) môže byť záporné číslo a znak radikálu označuje druhú odmocninu. Napríklad,

Využite absolútnu hodnotu na zabezpečenie pozitívneho výsledku.

Príklad ( PageIndex {2} ):

Zjednodušte: ( sqrt {(x - 2) ^ {2}} ).

Riešenie

Tu môže byť premenný výraz (x - 2 ) záporný, nulový alebo kladný. Pretože znamienko závisí od neznámej veličiny (x ), musíme zabezpečiť, aby sme dostali druhú odmocninu pomocou absolútnej hodnoty.

Odpoveď:

(| x - 2 | )

Dôležitosť použitia absolútnej hodnoty v predchádzajúcom príklade je zrejmá, keď hodnotíme použitie hodnôt, ktoré robia radicand záporný. Napríklad keď (x = 1 ),

Ďalej zvážime druhú odmocninu záporného čísla. Aby ste určili druhú odmocninu (- 25 ), musíte nájsť číslo, ktoré má pri výsledku na druhú (- 25 ):

Akékoľvek reálne číslo na druhú však vždy vedie k kladnému číslu. Druhá odmocnina záporného čísla je v súčasnosti nedefinovaná. Zatiaľ uvedieme, že ( sqrt {- 25} ) nie je reálne číslo. Preto odmocnina funkcie4 dané znakom (f (x) = sqrt {x} ) nie je definované ako skutočné číslo, ak sú hodnoty (x ) - záporné. Najmenšia hodnota v doméne je nula. Napríklad (f (0) = sqrt {0} = 0 ) a (f (4) = sqrt {4} = 2 ). Pripomeňme graf funkcie druhej odmocniny.

Doména aj rozsah pozostávajú z reálnych čísel väčších alebo rovných nule: ([0, ∞) ). Aby sme určili doménu funkcie, ktorá obsahuje druhú odmocninu, pozrieme sa na radicand a nájdeme hodnoty, ktoré vedú k negatívnym výsledkom.

Príklad ( PageIndex {3} ):

Určte doménu funkcie definovanej pomocou (f (x) = sqrt {2 x + 3} ).

Riešenie

Tu je radikál (2x + 3 ). Tento výraz musí byť nulový alebo kladný. Inými slovami,

(2 x + 3 geq 0 )

Riešiť pre (x ).

Odpoveď:

Doména: ( doľava [- frac {3} {2}, infty doprava) )

A kocka koreň5 čísla je číslo, ktoré po trojnásobnom vynásobení poskytne pôvodné číslo. Ďalej označujeme koreň kocky pomocou symbolu ( sqrt [3] {} ), kde (3 ) sa nazýva index6. Napríklad,

( sqrt [3] {64} = 4, text {pretože} 4 ^ {3} = 64 )

Produkt troch rovnakých faktorov bude pozitívny, ak je faktor pozitívny, a negatívny, ak je faktor negatívny. Z tohto dôvodu bude mať každé reálne číslo iba jeden skutočný koreň kocky. Preto sa nevzťahujú technické podrobnosti spojené s hlavným koreňom. Napríklad,

Všeobecne platí, že vzhľadom na akékoľvek reálne číslo (a ) máme nasledujúcu vlastnosť:

( sqrt [3] {a ^ {3}} = a quad text {if} quad a v R )

Pri zjednodušovaní koreňov kocky hľadajte faktory, ktoré sú dokonalými kockami.

Príklad ( PageIndex {4} ):

Ohodnotiť.

  1. ( sqrt [3] {8} )
  2. ( sqrt [3] {0} )
  3. ( sqrt [3] { frac {1} {27}} )
  4. ( sqrt [3] {- 1} )
  5. ( sqrt [3] {- 125} )

Riešenie

  1. ( sqrt [3] {8} = sqrt [3] {2 ^ {3}} = 2 )
  2. ( sqrt [3] {0} = sqrt [3] {0 ^ {3}} = 0 )
  3. ( sqrt [3] { frac {1} {27}} = sqrt [3] { doľava ( frac {1} {3} doprava) ^ {3}} = frac {1} { 3} )
  4. ( sqrt [3] {- 1} = sqrt [3] {(- 1) ^ {3}} = - 1 )
  5. ( sqrt [3] {- 125} = sqrt [3] {(- 5) ^ {3}} = - 5 )

Môže sa stať, že radicand nie je dokonalý štvorec alebo kocka. Ak celé číslo nie je dokonalou silou indexu, bude jeho koreň iracionálny. Napríklad ( sqrt [3] {2} ) je iracionálne číslo, ktoré je možné odhadnúť na väčšine kalkulačiek pomocou koreňového tlačidla ( sqrt [x] {} ). V závislosti od kalkulačky typicky zadávame v indexe pred stlačením tlačidla a potom radica takto:

(3 quad sqrt [x] {y} quad2 quad = )

Preto máme

( sqrt [3] {2} približne 1 260, quad text {pretože} quad 1,260 ^ { wedge} 3 približne 2 )

Pretože korene kocky môžu byť záporné, nulové alebo kladné, nepoužívame žiadne absolútne hodnoty.

Príklad ( PageIndex {5} ):

Zjednodušte: ( sqrt [3] {(y - 7) ^ {3}} ).

Riešenie

Koreň kocky množstva na kocky je toto množstvo.

Odpoveď:

(y-7 )

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Vyhodnotiť: ( sqrt [3] {- 1 000} ).

Odpoveď

(=10)

www.youtube.com/v/B06NIs-3gig

Ďalej zvážte koreň kocky funkcie7:

(f (x) = sqrt [3] {x} quad color {Cerulean} {kocka : root : funkcia.} )

Pretože koreň kocky môže byť buď záporný alebo kladný, usudzujeme, že doména sa skladá zo všetkých reálnych čísel. Načrtnite graf vynesením bodov. Vyberte kladné a záporné hodnoty pre (x ) a tiež nulu a potom vypočítajte zodpovedajúce hodnoty (y ).

(X) (f (x) ) (f (x) = sqrt [3] {x} ) ( color {Cerulean} {zoradené : páry} )
(-8) ( color {Cerulean} {- 2} )((-8,-2))
(-1) ( color {Cerulean} {- 1} )((-1,-1))
(0) ( color {cerulean} {0} ) (f (0) = sqrt [3] {0} = 0 )((0,0))
(1) ( color {cerulean} {1} ) (f (1) = sqrt [3] {1} = 1 )((1,1))
(8) ( color {cerulean} {2} ) (f (8) = sqrt [3] {8} = 2 )((8,2))
Tabuľka ( PageIndex {1} )

Vyneste body a nakreslite graf funkcie koreňa kocky.

Graf vyhovuje testu vertikálnej čiary a je skutočne funkciou. Rozsah sa navyše skladá zo všetkých reálnych čísel.

Príklad ( PageIndex {6} ):

Vzhľadom na (g (x) = sqrt [3] {x + 1} + 2 ) nájdite (g (- 9), g (- 2), g (- 1) ) a (g (0) ). Načrtnite graf (g ).

Riešenie

Nahraďte (x ) danými hodnotami.

(X) (g (x) ) (g (x) = sqrt [3] {x + 1} + 2 ) ( color {Cerulean} {zoradené : páry} )
(-9) ( color {cerulean} {0} )((-9,0))
(-2) ( color {cerulean} {1} )((-2,1))
(-1) ( color {cerulean} {2} )((-1,2))
(0) ( color {cerulean} {3} ) (g ( color {OliveGreen} {0} color {black} {)} = sqrt [3] { color {OliveGreen} {0} color {black} {+} 1} + 2 = sqrt [3] {1} + 2 = 1 + 2 = 3 )((0,3))
Tabuľka ( PageIndex {2} )

Graf môžeme tiež načrtnúť pomocou nasledujúcich prekladov:

( begin {array} {l} {y = sqrt [3] {x} quad quad quad quad color {Cerulean} {Basic : cube : root : function}} { y = sqrt [3] {x + 1} quad quad : color {Cerulean} {Horizontal : shift : left : 1 : unit}} {y = sqrt [3] { x + 1} + 2 : : : color {Cerulean} {Vertikálne : shift : hore : 2 : jednotky}} koniec {pole} )

Odpoveď:

(n ) korene

Pre akékoľvek celé číslo (n ≥ 2 ) definujeme an (n ) th koreň8 kladného reálneho čísla ako číslo, ktoré po zvýšení na (n ) mocninu poskytne pôvodné číslo. Pri zadaní nezáporného reálneho čísla (a ) máme nasledujúcu vlastnosť:

( sqrt [n] {a ^ {n}} = a, quad text {if} quad a geq 0 )

Tu n sa nazýva index a (a ^ {n} ) sa nazýva radicand. Ďalej môžeme celý výraz ( sqrt [n] {A} ) označiť ako a radikálne9. Keď je index celé číslo väčšie alebo rovné (4 ), hovoríme „štvrtý koreň“, „piaty koreň“ atď. (N ). Koreň ľubovoľného čísla je zrejmý, ak môžeme zapísať radicand s exponentom rovným indexu.

Príklad ( PageIndex {7} ):

Zjednodušiť:

  1. ( sqrt [4] {81} )
  2. ( sqrt [5] {32} )
  3. ( sqrt [7] {1} )
  4. ( sqrt [4] { frac {1} {16}} )

Riešenie

  1. ( sqrt [4] {81} = sqrt [4] {3 ^ {4}} = 3 )
  2. ( sqrt [5] {32} = sqrt [5] {2 ^ {5}} = 2 )
  3. ( sqrt [7] {1} = sqrt [7] {1 ^ {7}} = 1 )
  4. ( sqrt [4] { frac {1} {16}} = sqrt [4] { doľava ( frac {1} {2} doprava) ^ {4}} = frac {1} { 2} )

Poznámka

Ak je index (n = 2 ), potom radikál označuje druhú odmocninu a je zvykom písať radikál bez indexu; ( sqrt [2] {a} = sqrt {a} ).

Už sme sa postarali o to, aby sme definovali druhú odmocninu reálneho čísla. V tomto okamihu rozširujeme túto myšlienku na n-té korene, keď je n párne. Napríklad (3 ) je štvrtým koreňom (81 ), pretože (3 ^ {4} = 81 ). A keďže ((- - 3) ^ {4} = 81 ), môžeme povedať, že (- 3 ) je tiež štvrtým koreňom (81 ). Preto používame radikálne znamienko ( sqrt [n] {} ) na označenie príkazca (nezáporný) (n ) th koreň10 keď (n ) je párne. V takom prípade pre akékoľvek reálne číslo (a ) použijeme nasledujúcu vlastnosť:

( sqrt [n] {a ^ {n}} = | a | quad color {Cerulean} {Kedy : n : je : párne} )

Napríklad,

Záporný (n ) ten koreň, keď je (n ) párny, bude označený pomocou záporného znamienka pred radikálnym (- sqrt [n] {} ).

Videli sme, že druhá odmocnina záporného čísla nie je skutočná, pretože akékoľvek reálne číslo, ktoré je druhé, bude mať za následok kladné číslo. V skutočnosti vzniká podobný problém pre akýkoľvek párny index:

Vidíme, že štvrtý koreň (- 81 ) nie je reálne číslo, pretože štvrtá mocnina ľubovoľného reálneho čísla je vždy kladná.

Odporúčame vyskúšať všetky tieto možnosti na kalkulačke. Čo to hovorí?

Príklad ( PageIndex {8} ):

Zjednodušiť.

  1. ( sqrt [4] {(- 10) ^ {4}} )
  2. ( sqrt [4] {- 10 ^ {4}} )
  3. ( sqrt [6] {(2 r + 1) ^ {6}} )

Riešenie

Keďže indexy sú párne, na zaistenie negatívnych výsledkov použite absolútne hodnoty.

  1. ( sqrt [4] {(- 10) ^ {4}} = | - 10 | = 10 )
  2. ( sqrt [4] {- 10 ^ {4}} = sqrt [4] {- 10 000} ) nie je skutočné číslo.
  3. ( sqrt [6] {(2 r. + 1) ^ {6}} = | 2 r. + 1 | )

Ak je index (n ) nepárny, rovnaké problémy sa nevyskytujú. Súčin nepárneho počtu pozitívnych faktorov je pozitívny a súčin nepárneho počtu negatívnych faktorov záporný. Preto keď je index (n ) nepárny, existuje iba jeden skutočný (n ) ten koreň pre akékoľvek reálne číslo (a ). A máme túto vlastnosť:

( sqrt [n] {a ^ {n}} = a quad color {Cerulean} {Keď : n : je : nepárne} )

Príklad ( PageIndex {9} ):

Zjednodušiť.

  1. ( sqrt [5] {(- 10) ^ {5}} )
  2. ( sqrt [5] {- 32} )
  3. ( sqrt [7] {(2 r + 1) ^ {7}} )

Riešenie

Pretože indexy sú nepárne, absolútna hodnota sa nepoužíva.

  1. ( sqrt [5] {(- 10) ^ {5}} = - 10 )
  2. ( sqrt [5] {- 32} = sqrt [5] {(- 2) ^ {5}} = - 2 )
  3. ( sqrt [7] {(2 r. + 1) ^ {7}} = 2 r. + 1 )

Stručne povedané, pre každé reálne číslo (a ) máme,

( begin {aligned} sqrt [n] {a ^ {n}} & = | a | color {Cerulean} : : : {When : n : is : even} sqrt [n] {a ^ {n}} & = a quad : color {Cerulean} {Keď : n : je : nepárne} end {zarovnané} )

Keď (n ) je nepárne, (n ) ten koreň je pozitívne alebo negatívne v závislosti od znamenia radicand.

Keď (n ) je párne, (n ) ten koreň je pozitívne alebo nie skutočné v závislosti od znamenia radicand.

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Zjednodušte: (- 8 sqrt [5] {- 32} ).

Odpoveď

(16)

www.youtube.com/v/Ik1xXgq18f0

Zjednodušenie radikálov

Nebude vždy platiť, že radicand je dokonalá sila daného indexu. Ak nie je, použijeme produktové pravidlo pre radikálov11 a pravidlo kvocientu pre radikálov12 aby sme ich zjednodušili. Vzhľadom na skutočné čísla ( sqrt [n] {A} ) a ( sqrt [n] {B} ),

Pravidlo produktu pre radikály: ( sqrt [n] {A cdot B} = sqrt [n] {A} cdot sqrt [n] {B} )
Pravidlo kvocientu pre radikály: ( sqrt [n] { frac {A} {B}} = frac { sqrt [n] {A}} { sqrt [n] {B}} )
Tabuľka ( PageIndex {3} )

A radikál je zjednodušene13 ak neobsahuje žiadne faktory, ktoré by sa dali zapísať ako dokonalá sila indexu.

Príklad ( PageIndex {10} ):

Zjednodušte: ( sqrt {150} ).

Riešenie

Sem (150 ) možno napísať ako (2 cdot 3 cdot 5 ^ {2} ).

( begin {zarovnané} sqrt {150} & = sqrt {2 cdot 3 cdot 5 ^ {2}} quad quad color {Cerulean} {Použiť : : produkt : pravidlo : for : radicals.} & = sqrt {2 cdot 3} cdot sqrt {5 ^ {2}} quad : color {Cerulean} {Simplify.} & = sqrt { 6} cdot 5 & = 5 sqrt {6} end {zarovnané} )

Našu odpoveď môžeme overiť na kalkulačke:

( sqrt {150} približne 12,25 quad text {a} quad 5 sqrt {6} približne 12,25 )

Tiež stojí za zmienku, že

(12,25 ^ {2} približne 150 )

Odpoveď:

(5 štvorcový {6} )

Poznámka

(5 sqrt {6} ) je presná odpoveď a (12.25 ) je približná odpoveď. Uvádzame presné odpovede, pokiaľ nie je uvedené inak.

Príklad ( PageIndex {11} ):

Zjednodušte: ( sqrt [3] {160} ).

Riešenie

Použite prime faktorizáciu (160 ) na nájdenie najväčšieho dokonalého kockového faktora:

( begin {aligned} 160 & = 2 ^ {5} cdot 5 & = color {Cerulean} {2 ^ {3}} color {black} { cdot} 2 ^ {2} cdot 5 end {zarovnané} )

Nahraďte radicand touto faktorizáciou a potom použite pravidlo produktu pre radikály.

( begin {Zarovnané} sqrt [3] {160} & = sqrt [3] {2 ^ {3} cdot 2 ^ {2} cdot 5} quad quad color {Cerulean} {Použiť : the : product : rule : for : radicals.} & = sqrt [3] {2 ^ {3}} cdot sqrt [3] {2 ^ {2} cdot 5} quad color {Cerulean} {zjednodušiť.} & = 2 cdot sqrt [3] {20} end {zarovnané} )

Našu odpoveď si môžeme overiť na kalkulačke.

( sqrt [3] {160} približne 5,43 text {a} 2 sqrt [3] {20} približne 5,43 )

Odpoveď:

(2 sqrt [3] {20} )

Príklad ( PageIndex {12} ):

Zjednodušte: ( sqrt [5] {- 320} ).

Riešenie

Tu si všimneme, že index je nepárny a radicand je záporný; preto bude výsledok negatívny. Radicand môžeme faktorovať nasledovne:

Potom zjednodušte:

Odpoveď:

(- 2 sqrt [5] {10} )

Príklad ( PageIndex {13} ):

Zjednodušte: ( sqrt [3] {- frac {8} {64}} ).

Riešenie

V takom prípade zvážte ekvivalentný zlomok s (- 8 = (−2) ^ {3} ) v čitateli a (64 = 4 ^ {3} ) v menovateli a potom zjednodušte.

Odpoveď:

(- frac {1} {2} )

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Zjednodušiť: ( sqrt [4] { frac {80} {81}} )

Odpoveď

( frac {2 sqrt [4] {5}} {3} )

www.youtube.com/v/8CwbDBFO2FQ

Kľúčové jedlá

  • Ak chcete zjednodušiť druhú odmocninu, vyhľadajte najväčšiu dokonalú druhú odmocninu radicand a potom pre radikály použite pravidlo produktu alebo kvocientu.
  • Ak chcete zjednodušiť koreň kocky, vyhľadajte najväčší koeficient kocky radicand a potom pre radikály použite pravidlo produktu alebo kvocientu.
  • Pri práci s n-tými koreňmi určuje (n ) platnú definíciu. Používame ( sqrt [n] {a ^ {n}} = a _ {1} ), keď (n ) je nepárne a ( sqrt [n] {a ^ {n}} = | a | ) keď (n ) je párne.
  • Ak chcete zjednodušiť (n ) korene, vyhľadajte faktory, ktorých sila sa rovná indexu (n ), a potom pre radikály použite pravidlo produktu alebo kvocientu. Proces je zvyčajne efektívny, ak pracujete s primárnou faktorizáciou radicand.

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Zjednodušiť.

  1. ( sqrt {36} )
  2. ( sqrt {100} )
  3. ( sqrt { frac {4} {9}} )
  4. ( sqrt { frac {1} {64}} )
  5. (- sqrt {16} )
  6. (- sqrt {1} )
  7. ( sqrt {(- 5) ^ {2}} )
  8. ( sqrt {(- 1) ^ {2}} )
  9. ( sqrt {- 4} )
  10. ( sqrt {- 5 ^ {2}} )
  11. (- sqrt {(- 3) ^ {2}} )
  12. (- sqrt {(- 4) ^ {2}} )
  13. ( sqrt {x ^ {2}} )
  14. ( sqrt {(- x) ^ {2}} )
  15. ( sqrt {(x - 5) ^ {2}} )
  16. ( sqrt {(2 x - 1) ^ {2}} )
  17. ( sqrt [3] {64} )
  18. ( sqrt [3] {216} )
  19. ( sqrt [3] {- 216} )
  20. ( sqrt [3] {- 64} )
  21. ( sqrt [3] {- 8} )
  22. ( sqrt [3] {1} )
  23. (- sqrt [3] {(- 2) ^ {3}} )
  24. (- sqrt [3] {(- 7) ^ {3}} )
  25. ( sqrt [3] { frac {1} {8}} )
  26. ( sqrt [3] { frac {8} {27}} )
  27. ( sqrt [3] {(- r) ^ {3}} )
  28. (- sqrt [3] {y ^ {3}} )
  29. ( sqrt [3] {(r - 8) ^ {3}} )
  30. ( sqrt [3] {(2 x - 3) ^ {3}} )
Odpoveď

1. (6)

3. ( frac {2} {3} )

5. (−4)

7. (5)

9. Nie skutočné číslo

11. (−3)

13. (| x | )

15. (| x - 5 | )

17. (4)

19. (−6)

21. (−2)

23. (2)

25. ( frac {1} {2} )

27. (- y )

29. (y - 8 )

Cvičenie ( PageIndex {5} )

Určte doménu danej funkcie.

  1. (g (x) = sqrt {x + 5} )
  2. (g (x) = sqrt {x - 2} )
  3. (f (x) = sqrt {5 x + 1} )
  4. (f (x) = sqrt {3 x + 4} )
  5. (g (x) = sqrt {- x + 1} )
  6. (g (x) = sqrt {- x - 3} )
  7. (h (x) = sqrt {5 - x} )
  8. (h (x) = sqrt {2 - 3 x} )
  9. (g (x) = sqrt [3] {x + 4} )
  10. (g (x) = sqrt [3] {x - 3} )
Odpoveď

1. ([- 5, infty) )

3. ( doľava [- frac {1} {5}, infty doprava) )

5. ((- infty, 1] )

7. ((- infty, 5] )

9. ((- infty, infty) )

Cvičenie ( PageIndex {6} )

Vyhodnoťte vzhľadom na definíciu funkcie.

  1. Dané (f (x) = sqrt {x - 1} ), nájdite (f (1), f (2) ) a (f (5) )
  2. Dané (f (x) = sqrt {x + 5} ), nájdite (f (- 5), f (- 1) ) a (f (20) )
  3. Dané (f (x) = sqrt {x} + 3 ), nájdite (f (0), f (1) ) a (f (16) )
  4. Dané (f (x) = sqrt {x} - 5 ), nájdite (f (0), f (1) ) a (f (25) )
  5. Dané (g (x) = sqrt [3] {x} ), nájdite (g (- 1), g (0) ) a (g (1) )
  6. Dané (g (x) = sqrt [3] {x} - 2 ) nájsť (g (- 1), g (0) ) a (g (8) )
  7. Dané (g (x) = sqrt [3] {x + 7} ), nájdite (g (- 15), g (- 7) ) a (g (20) )
  8. Dané (g (x) = sqrt [3] {x - 1} + 2 ), vyhľadajte (g (0), g (2) ) a (g (9) )
Odpoveď

1. (f (1) = 0; f (2) = 1; f (5) = 2 )

3. (f (0) = 3; f (1) = 4; f (16) = 7 )

5. (g (- 1) = - 1; g (0) = 0; g (1) = 1 )

7. (g (- 15) = -2; g (- 7) = 0; g (20) = 3 )

Cvičenie ( PageIndex {7} )

Načrtnite graf danej funkcie a uveďte jej doménu a rozsah.

  1. (f (x) = sqrt {x + 9} )
  2. (f (x) = sqrt {x - 3} )
  3. (f (x) = sqrt {x - 1} + 2 )
  4. (f (x) = sqrt {x + 1} + 3 )
  5. (g (x) = sqrt [3] {x - 1} )
  6. (g (x) = sqrt [3] {x + 1} )
  7. (g (x) = sqrt [3] {x} - 4 )
  8. (g (x) = sqrt [3] {x} + 5 )
  9. (g (x) = sqrt [3] {x + 2} - 1 )
  10. (g (x) = sqrt [3] {x - 2} + 3 )
  11. (f (x) = - sqrt [3] {x} )
  12. (f (x) = - sqrt [3] {x - 1} )
Odpoveď

1. Doména: ([- 9, infty) ); rozsah: ([0, infty) )

3. Doména: ([1, infty) ); rozsah: ([2, infty) )

5. Doména: ( mathbb {R} ); rozsah; ( mathbb {R} )

7. Doména: ( mathbb {R} ); rozsah; ( mathbb {R} )

9. Doména: ( mathbb {R} ); rozsah; ( mathbb {R} )

11. Doména: ( mathbb {R} ); rozsah; ( mathbb {R} )

Cvičenie ( PageIndex {8} )

Zjednodušiť.

  1. ( sqrt [4] {64} )
  2. ( sqrt [4] {16} )
  3. ( sqrt [4] {625} )
  4. ( sqrt [4] {1} )
  5. ( sqrt [4] {256} )
  6. ( sqrt [4] {10 000} )
  7. ( sqrt [5] {243} )
  8. ( sqrt [5] {100 000} )
  9. ( sqrt [5] { frac {1} {32}} )
  10. ( sqrt [5] { frac {1} {243}} )
  11. (- sqrt [4] {16} )
  12. (- sqrt [6] {1} )
  13. ( sqrt [5] {- 32} )
  14. ( sqrt [5] {- 1} )
  15. ( sqrt {- 1} )
  16. ( sqrt [4] {- 16} )
  17. (- 6 sqrt [3] {- 27} )
  18. (- 5 sqrt [3] {- 8} )
  19. (2 sqrt [3] {- 1 000} )
  20. (7 sqrt [5] {- 243} )
  21. (6 sqrt [4] {- 16} )
  22. (12 sqrt [6] {- 64} )
  23. ( sqrt [3] { frac {25} {16}} )
  24. (6 sqrt { frac {16} {9}} )
  25. (5 sqrt [3] { frac {27} {125}} )
  26. (7 sqrt [5] { frac {32} {7 ^ {5}}} )
  27. (- 5 sqrt [3] { frac {8} {27}} )
  28. (- 8 sqrt [4] { frac {625} {16}} )
  29. (2 sqrt [5] {100 000} )
  30. (2 sqrt [7] {128} )
Odpoveď

1. (4)

3. (5)

5. (4)

7. (3)

9. ( frac {1} {2} )

11. (−2)

13. (−2)

15. Nie skutočné číslo

17. (18)

19. (−20)

21. Nie skutočné číslo

23. ( frac {15} {4} )

25. (3)

27. (- frac {10} {3} )

29. (20)

Cvičenie ( PageIndex {9} )

Zjednodušiť.

  1. ( sqrt {96} )
  2. ( sqrt {500} )
  3. ( sqrt {480} )
  4. ( sqrt {450} )
  5. ( sqrt {320} )
  6. ( sqrt {216} )
  7. (5 sqrt {112} )
  8. (10 ​​ sqrt {135} )
  9. (- 2 sqrt {240} )
  10. (- 3 sqrt {162} )
  11. ( sqrt { frac {150} {49}} )
  12. ( sqrt { frac {200} {9}} )
  13. ( sqrt { frac {675} {121}} )
  14. ( sqrt { frac {192} {81}} )
  15. ( sqrt [3] {54} )
  16. ( sqrt [3] {24} )
  17. ( sqrt [3] {48} )
  18. ( sqrt [3] {81} )
  19. ( sqrt [3] {40} )
  20. ( sqrt [3] {120} )
  21. ( sqrt [3] {162} )
  22. ( sqrt [3] {500} )
  23. ( sqrt [3] { frac {54} {125}} )
  24. ( sqrt [3] { frac {40} {343}} )
  25. (5 sqrt [3] {- 48} )
  26. (2 sqrt [3] {- 108} )
  27. (8 sqrt [4] {96} )
  28. (7 sqrt [4] {162} )
  29. ( sqrt [5] {160} )
  30. ( sqrt [5] {486} )
  31. ( sqrt [5] { frac {224} {243}} )
  32. ( sqrt [5] { frac {5} {32}} )
  33. ( sqrt [5] {- frac {1} {32}} )
  34. ( sqrt [6] {- frac {1} {64}} )
Odpoveď

1. (4 sqrt {6} )

3. (4 štvorcový {30} )

5. (8 sqrt {5} )

7. (20 sqrt {7} )

9. (- 8 sqrt {15} )

11. ( frac {5 sqrt {6}} {7} )

13. ( frac {15 sqrt {3}} {11} )

15. (3 sqrt [3] {2} )

17. (2 sqrt [3] {6} )

19. (2 sqrt [3] {5} )

21. (3 sqrt [3] {6} )

23. ( frac {3 sqrt [3] {2}} {5} )

25. (- 10 sqrt [3] {6} )

27. (16 sqrt [4] {6} )

29. (2 sqrt [5] {5} )

31. ( frac {2 sqrt [5] {7}} {3} )

33. (- frac {1} {2} )

Cvičenie ( PageIndex {10} )

Zjednodušiť. Uveďte presnú odpoveď a približnú odpoveď zaokrúhlenú na najbližšiu stotinu.

  1. ( sqrt {60} )
  2. ( sqrt {600} )
  3. ( sqrt { frac {96} {49}} )
  4. ( sqrt { frac {192} {25}} )
  5. ( sqrt [3] {240} )
  6. ( sqrt [3] {320} )
  7. ( sqrt [3] { frac {288} {125}} )
  8. ( sqrt [3] { frac {625} {8}} )
  9. ( sqrt [4] {486} )
  10. ( sqrt [5] {288} )
Odpoveď

1. (2 sqrt {15}; 7,75 )

3. ( frac {4 sqrt {6}} {7}; 1,40 )

5. (2 sqrt [3] {30}; 6,21 )

7. ( frac {2 sqrt [3] {36}} {5}; 1,32 )

9. (3 sqrt [4] {6}; 4,70 )

Cvičenie ( PageIndex {11} )

Nasledujúci výraz prepíšte ako radikálny výraz s hodnotou coeffecient (1 ).

  1. (2 sqrt {15} )
  2. (3 sqrt {7} )
  3. (5 štvorcový {10} )
  4. (10 ​​ sqrt {3} )
  5. (2 sqrt [3] {7} )
  6. (3 sqrt [3] {6} )
  7. (2 sqrt [4] {5} )
  8. (3 sqrt [4] {2} )
  9. Každá strana štvorca má dĺžku, ktorá sa rovná druhej odmocnine plochy štvorca. Ak je plocha štvorca (72 ) štvorcových jednotiek, nájdite dĺžku každej z jeho strán.
  10. Každý okraj kocky má dĺžku, ktorá sa rovná koreňu kocky objemu kocky. Ak je objem kocky (375 ) kubických jednotiek, nájdite dĺžku každej z jej hrán.
  11. Aktuálny (I ) meraný v ampéroch je daný vzorcom (I = sqrt { frac {P} {R}} ), kde (P ) je spotreba energie meraná vo wattoch a (R ) je odpor meraný v ohmoch. Ak má žiarovka (100) wattový odpor (160 ), nájdite potrebný prúd. (Zaokrúhlené na najbližšiu stotinu ampéra.)
  12. Čas v sekundách, počas ktorého je objekt vo voľnom páde, je daný vzorcom (t = frac { sqrt {s}} {4} ), kde (s ) predstavuje vzdialenosť v stopách, do ktorej predmet spadol. Ako dlho bude trvať, kým predmet spadne na zem z vrcholu rebríka? (Zaokrúhlené na najbližšiu desatinu sekundy.)
Odpoveď

1. ( sqrt {60} )

3. ( sqrt {250} )

5. ( sqrt [3] {56} )

7. ( sqrt [4] {80} )

9. (6 sqrt {2} ) jednotiek

11. (0,79 ) ampér

Cvičenie ( PageIndex {12} )

  1. Vysvetlite, prečo existujú dve skutočné druhé odmocniny pre akékoľvek kladné reálne číslo a jedna skutočná kocka pre každé reálne číslo.
  2. Čo je druhá odmocnina z (1 ) a čo je kocka odmocniny z (1 )? Vysvetli prečo.
  3. Vysvetlite, prečo ( sqrt {- 1} ) nie je reálne číslo a prečo ( sqrt [3] {- 1} ) je reálne číslo.
  4. Skúmajte a diskutujte o metódach používaných na výpočet druhej odmocniny pred bežným používaním elektronických kalkulačiek.
Odpoveď

1. Odpoveď sa môže líšiť

3. Odpoveď sa môže líšiť

Poznámky pod čiarou

1Číslo, ktoré po vynásobení poskytne pôvodné číslo.

2Kladná druhá odmocnina kladného reálneho čísla označeného symbolom (√ ).

3Výraz (A ) v rámci radikálneho znaku, ( sqrt [n] {A} ).

4Funkcia definovaná ako (f (x) = sqrt {x} ).

5Číslo, ktoré sa použije trikrát ako faktor, poskytne pôvodné číslo označené symbolom ( sqrt [3] {} ).

6Kladné celé číslo (n ) v notácii ( sqrt [n] {} ), ktorá sa používa na označenie n-tého koreňa.

7Funkcia definovaná ako (f (x) = sqrt [3] {x} ).

8Číslo, ktoré keď sa zvýši na (n ) tú mocninu ((n ≥ 2) ), dá pôvodné číslo.

9Používa sa, keď sa odkazuje na výraz v tvare ( sqrt [n] {A} ).

10Pozitívny (n ) koreň, keď (n ) je párny.

11Vzhľadom na skutočné čísla ( sqrt [n] {A} ) a ( sqrt [n] {B} ), ( sqrt [n] {A cdot B} = sqrt [n] {A } cdot sqrt [n] {B} ).

12Vzhľadom na skutočné čísla ( sqrt [n] {A} ) a ( sqrt [n] {B} ), ( sqrt [n] { frac {A} {B}} = frac { sqrt [n] {A}} { sqrt [n] {B}} ) kde (B ≠ 0 ).

13Radikál, kde radikál nepozostáva zo žiadnych faktorov, ktoré by sa dali napísať ako dokonalé sily indexu.


Radikály a absolútne hodnoty - koncepcia

Carl učil matematiku na vyššej úrovni na niekoľkých školách a v súčasnosti vedie vlastnú doučovateľskú spoločnosť. Vsádza, že jeho lásku k intenzívnym outdoorovým aktivitám nikto neprekoná!

Pretože každý párny koreň musí byť kladné číslo (inak je imaginárne), pri zjednodušení koreňov pomocou premenných sa musí použiť absolútna hodnota, ktorá zabezpečí pozitívnu odpoveď. Pri práci s radikálne výrazy táto požiadavka sa nevzťahuje na žiadny nepárny koreň, pretože nepárne korene existujú pre záporné čísla. Absolútna hodnota navyše nie je potrebná, ak z koreňa vyjde párny počet premenných - odpoveď musí byť kladná.

Absolútna hodnota a druhá odmocnina, takže teraz budeme hovoriť o absolútnych hodnotách a niekedy sa stane, že skutočne potrebujeme absolútnu hodnotu, keď dáme svoju odpoveď, a tak sa teraz pozrieme na množstvo príkladov a rozhovorov o tom, kedy ich potrebujeme a kedy nie.
Dobre, takže to začne #, druhá odmocnina zo 4, jednoduchý príklad, vieme, že druhá odmocnina zo 4 je 2, pretože 2-krát 2 sa rovná 4. Dobre, druhá odmocnina z -4, potrebujeme 2 čísla, ktoré nám dajú -4 že sa to nestane v poriadku, toto nie je skutočné číslo, v poriadku, neskôr budeme skutočne hovoriť o tom, ako to môžeme urobiť, ale ešte tam nie sme v poriadku? Takže druhá odmocnina z 3 na druhú. 3 na druhú je 9, druhá odmocnina z deviatich je 3. Druhá odmocnina z negatívu 3 na druhú. Keď odmocníme záporné číslo, dostaneme kladné číslo, takže -3 krát -3 je 9 druhá odmocnina z 9 je opäť 3. Dobre, kocková odmocnina z 8 má tri 2 & # 39s v ôsmich, takže to vyjde ako 2 a koreň kocky zápornej hodnoty 8 je -2. Samotný zápor 2-krát 3-krát je záporných osem, takže to, na čo sme sa tu pozreli, je to, že keď tu máme nepárny koreň, dobrý kockový koreň, môžeme mať kladnú alebo zápornú odpoveď.
Dobre, keď máme rovnomerný koreň, všetky naše odpovede musia byť pozitívne, dobre? Toto sú numerické reprezentácie, ale teraz ideme na premenné. Dobre, tak nechajme tu druhú odmocninu x na druhú, v poriadku, ktorá sa skladá z 2 x #, takže vieme, že to môžeme zjednodušiť ako x. Problém je v tom, že nevieme, či je x kladné alebo záporné, však? Povedzme, že x bolo záporné 3, presne ako sme tu boli. Čo sa stane, je to tak, že to zarovnáme tak, že to bude kladné a potom to vezmeme druhú odmocninu, takže to skutočne zostane pozitívne, pretože nevieme, či je x kladné alebo záporné, musíme dať znaky absolútnej hodnoty z zvonka, aby bol tento výraz v poriadku, takže druhá odmocnina z x kocky. Môžeme vytiahnuť jedno x a stále zostávame s jedným x na vnútornej strane, ale vieme, že to musí byť pozitívne, pretože z druhej odmocniny nemôžeme vziať negatív, takže opäť musíme dať absolútnu hodnotu znaky v poriadku, pretože všade, kde vychádza druhá odmocnina, musí byť kladné. Dobre, a čo druhá odmocnina od x po štvrtú. Dobre, vieme, že toto je 4 xs, takže môžeme vytiahnuť 2 z nich a nechať nás s x na druhú. Potrebujeme v tomto prípade absolútne hodnoty? Nie, pretože x na druhú sa vždy stane pozitívnym, dobre? Takže kedykoľvek potrebujeme absolútne hodnoty, je v zásade jedno z hlavných pravidiel, ktoré vždy používam, vždy, keď si vezmete rovnomerný koreň, takže tu je druhá odmocnina a vlastne je to tu trochu neviditeľné 2 a kedykoľvek a rovnomerný root a máme pridanú mocninu k premennej, ok, takže tu máme jeden x, jeden x, x na druhú. Keby sme mali vybrať kocku x, potrebovali by sme absolútnu hodnotu. Ak vyberieme x x štvrtý, nevyhrali sme # 39t, pretože štvrtý bude vždy pozitívny.
Vlastne nikdy nepotrebujeme absolútnu hodnotu, keď sa zaoberáme nepárnym koreňom a urobíme jeden príklad, ďalší príklad a povieme kockový koreň x na tretí. x do tretice sú 3 x, takže toto sa v skutočnosti rovná x, ale pretože sa zaoberáme nepárnym koreňom koreňa kocky, nepotrebujeme absolútnu hodnotu, pretože v skutočnosti môžeme získať kladné alebo záporné číslo, aby sme z toho vyšli ? Takže v zásade vždy, keď máte do činenia s absolútnou ľúto druhou odmocninou premennej, ak máte párny odmocninu a dostanete von a nepárnu moc, vždy zahrniete absolútne hodnoty.


Zjednodušenie Radikáli

Racionalizovať Menovateľa

korene čísla (alebo výrazu) v radicande.

Napríklad kocka s číslom 8 predstavuje číslo, ktoré je možné vynásobiť trikrát (kockami) na 8:

Pretože, 2 * 2 * 2 = 8, kocka koreňa 8 je 2.

3 vo výraze sa nazýva koreňový index, a 8 sa nazýva radicand.

Čo znamená & Racionalizácia menovateľa & quot?

Racionalizácia menovateľa jednoducho znamená odstrániť všetky radikály z menovateľa zlomku bez zmeny hodnoty zlomku.

Keď je menovateľ racionalizovaný, pôvodná frakcia sa prevedie na najjednoduchšiu ekvivalentnú frakciu, ktorá nemá v menovateli radikály.

Odstránením všetkých radikálov z menovateľa sa všetky čísla v menovateli prevedú na racionálne čísla (odtiaľ výraz „Racionalizácia menovateľa“).

(Všimnite si, že druhá odmocnina z 2 je
iracionálne číslo - nekončiace
desatinné miesto bez opakujúceho sa vzoru.)

(Upozorňujeme, že menovateľom je teraz
racionálne číslo 2.)

Prečo racionalizovať menovateľa zlomku?

Prečo nenechať menovateľa na pokoji?

Aký je v tom rozdiel?

Aký zmysel má racionalizácia menovateľa?

Je niekedy potrebné racionalizovať čitateľa zlomku namiesto menovateľa?

Ako racionalizovať menovateľa zlomku


Video demonštrujúce Ako racionalizovať menovateľa - kliknite sem

Racionalizovať menovateľa:

Racionalizovať menovateľa:

Racionalizovať menovateľa:

Konečná odpoveď je:

Racionalizovať menovateľa:

Racionalizovať menovateľa:

Racionalizovať menovateľa:

Konečná odpoveď je:


Obsah

Kapitola 1 Poradie operácií

1.1.1 Sčítanie a násobenie Ktoré je správne?

1.1.2 Sčítanie a vykladanie Ktoré je správne?

1.1.3 Znásobte a rozdeľte zľava doprava Ktoré je správne?

1.1.4 Násobenie a súperi Ktoré je správne?

Kapitola 2 Vlastnosti čísla

2.1.1 Násobenie zlomkov Ktorý je lepší?

2.2.1 Delenie vs. násobenie recipročne Čím sa líšia?

2.2.2 Násobenie vs. delenie recipročne (s celými číslami) Čím sa líšia?

2.2.3 Násobenie vs. delenie recipročne (so zlomkami) Čím sa líšia?

2.2.4 Zjednodušenie zlomkových výrazov Ktoré je správne?

2.3.1 Doplnenie - Pridajte 3 čísla v ľubovoľnom poradí Prečo to funguje?

2.3.2 Sčítanie - Sčítanie záporných čísel Prečo to funguje?

2.3.3 Odčítanie - Odčítanie nie je asociatívne Ktoré je správne?

2.3.4 Násobenie - vynásobte 3 čísla v ľubovoľnom poradí Prečo to funguje?

2.3.5 Rozdelenie - Rozdelenie nie je asociatívne Ktoré je správne?

2.4.1 Sčítanie záporov - Ak prepíšete odčítanie ako sčítanie, môžete použiť komutatívnu vlastnosť Ktoré je správne?

2.4.2 Odčítanie - Odčítanie nie je komutatívne Čím sa líšia?

2.5.1 Distribučný majetok a poradie operácií - najskôr rozdeľte a zjednodušte v zátvorkách Prečo to funguje?

2.5.2 Bežná chyba: Distribúcia zlyhala v obidvoch podmienkach Ktoré je správne?

2.5.3 Bežná chyba: Nesprávne použitie distribučnej vlastnosti s násobením Ktoré je správne?

2.6.1 Zjednodušenie výrazov s absolútnou hodnotou Ktoré je správne?

Operácie so zápornými číslami

2.7.1 Odčítanie záporného a prepisovacieho odčítania ako sčítania opaku Ktoré je správne?

Kapitola 3 Lineárne rovnice

Riešenie viacstupňových rovníc

3.1.1 Subtraction – Subtract first vs. distribute first Which is better?

3.1.2 Fractions – Eliminate fractions first vs. find common denominator first Which is better?

Riešenie viacstupňových rovníc

3.1.3 Incorrectly performing an operation on both sides of an equation Which is correct?

3.1.4 Fractions – Subtract first vs. find a common denominator first Which is better?

3.1.5 Division – Cross-multiply vs. multiply both sides of the equation by the same value Prečo to funguje?

3.1.6 Subtract first vs. divide first (for equations of the form a(x + b) = c, where a is divisible by c) Which is better?

3.1.7 Distribute first vs. multiply first (for equations of the form a(x + b) = c, where a is a fraction) Which is better?

Solving Equations with Variables on Both Sides

3.2.1 Subtract first vs. distribute first Which is better?

3.2.2 Combining like terms Which is correct?

3.2.3 Performing same operation twice on one side Which is correct?

3.2.4 Combining terms with common factors Which is better?

Solving Literal Equations

3.3.1 Divide first vs. distribute first Which is better?

3.3.2 Move variables one at a time vs. all at once Which is better?

3.3.3 Subtract first vs. divide first Why does it work?

3.4.1 Multiply first vs. cross-multiply Prečo to funguje?

3.4.2 Equivalent fractions Which is better?

3.4.3 Unit rate Which is better?

3.4.4 Multiplying fractions vs. solving a proportion Which is correct?

Chapter 4 Graphing Linear Equations And Introduction To Functions And Relations

4.1.1 Table of values vs. slope-intercept form Which is better?

4.1.2 Choosing x-values for the table Which is better?

4.2.1 Find a slope by graphing vs. by using the slope formula Prečo to funguje?

Graphing Lines using Intercepts

4.3.1 Shortcut to finding the intercepts Prečo to funguje?

4.4.1 Choose either point Prečo to funguje?

4.4.2 Graph an equation given in point-slope form using the point-slope or the slope-intercept method Which is better?

Using Slope-Intercept Form

4.5.1 Given 2 points, find the y-intercept Which is better?

4.5.2 Forget which term represents the r-intercept Which is correct?

4.5.3 Confuse rise and run Which is correct?

4.5.4 Comparing the equations of lines with different slope values How do they differ?

4.5.5 Comparing the equations of lines with positive and negative slopes How do they differ?

4.5.6 Comparing the equations of lines with different y-intercepts How do they differ?

4.5.7 Comparing x-intercepts and y-intercepts How do they differ?

4.6.1 Given an equation in standard form, graph using slope-intercept vs. intercepts Which is better?

Slope of a Horizontal Line

4.7.1 Find slope by formula vs. t-table Prečo to funguje?

4.8.1 Find slope by formula vs. t-table Prečo to funguje?

4.9.1 Determine whether a relation is a function How do they differ?

4.9.2 Domain vs. range How do they differ?

Solving Inequalities using Multiplication and Division

5.1.1 Division by a positive vs. a negative number Which is correct?

5.1.2 Why we can ‘flip’ the inequality sign in division Prečo to funguje?

5.1.3 ‘Flipping’ the inequality sign when dividing by a positive value Which is correct?

Absolute Value Inequalities

5.2.1 Definition Prečo to funguje?

5.2.2 Greater than Prečo to funguje?

5.2.3 Addition Prečo to funguje?

5.3.1 Error shading by sign Which is correct?

5.3.2 Graphing an equation vs. graphing an inequality How do they differ?

5.3.3 Graphing inequalities with “and” vs. “or” How do they differ?

Chapter 6 Systems Of Equations

6.1.1 Substitute the first value you get into either equation to get the second value Prečo to funguje?

6.1.2 Solve for x vs. solve for y Prečo to funguje?

6.1.3 Substitute for a more or less efficient variable Which is better?

6.2.1 Substitute the first value you get into either equation to get the second value Prečo to funguje?

6.2.2 Eliminate x vs. eliminate y How do they differ?

6.2.3 Common error Which is correct?

6.2.4 Why elimination works Prečo to funguje?

Substitution vs. Elimination

6.3.1 Both methods work Which is better?

6.3.2 Identifying when substitution is preferable Which is better?

6.3.3 Identifying when elimination is preferable Which is better?

Adding and Subtracting Polynomials

7.1.1 Addition – Missing terms Which is better?

7.1.2 Subtraction – Missing terms Which is better?

Multiplying and Dividing Polynomials

7.2.1 Multiplying Polynomials – Area model vs. distributive property Prečo to funguje?

7.2.2 Multiplying Polynomials – Distributive property vs. FOIL Prečo to funguje?

7.2.3 Multiplying Polynomials – Forgetting to distribute to each term Which is correct?

7.3.1 Dividing Polynomials – Common error (no placeholders) Which is correct?

7.4.1 Finding GCF by factor tree vs. product pairs Which is better?

7.4.2 GCF of terms with variables by factor tree vs. product pairs Which is better?

7.4.3 Adding terms with common factors Which is better?

7.4.4 Adding terms with common factors Prečo to funguje?

7.5.1 Factor a trinomial in two variables How do they differ?

7.5.2 Factor a trinomial with lead coefficient not 1: Factor by trial and error vs. factor first Which is better?

7.5.3 Factor a trinomial with lead coefficient not 1: Factor by trial and error vs. splitting the middle term Which is better?

7.5.4 Solve a quadratic equation with lead coefficient not 1: Factor out a common factor first vs. don’t Which is better?

7.5.5 Factor a trinomial with lead coefficient not 1:Factor by splitting the middle term first vs. by factoring out a common factor first Which is better?

8.1.1 Derivation of the quadratic formula by completing the square Prečo to funguje?

8.2.1 Factoring vs. quadratic formula Which is better?

8.3.1 Why not to divide by a variable Which is correct?

8.4.1 Confuse sign of a Which is correct?

8.4.2 Confuse sign of b Which is correct?

8.4.3 Confuse sign of c Which is correct?

Graphing Quadratic Equations

8.5.1 Graphing quadratic equations with positive vs. negative coefficients for X 2 How do they differ?

8.5.2 Graphing quadratic equations with fractional vs. whole-number coefficients for X 2 How do they differ?

Graphing Quadratic Equations

8.5.3 How changing the coefficient of X 2 affects the graph of a quadratic equation How do they differ?

8.5.4 How adding a constant to the quadratic equation affects the graph How do they differ?

8.5.5 How adding vs. subtracting a constant to the quadratic equation affects the graph How do they differ?

8.5.6 How adding a constant to x affects the graph How do they differ?

8.5.7 How adding vs. subtracting a constant to X affects the graph How do they differ?

Operations with Terms with Exponents

9.1.1 Adding like terms with exponents Which is correct?

Multiplication Properties: Product of Powers Property

9.2.1 Multiplication with exponents Which is correct?

Multiplication Properties: Power of a Power Property

9.3.1 Rewriting terms with the same base Which is better?

9.3.2 Rewriting terms using perfect squares Which is better?

Multiplication Properties: Power of a Product Property

9.4.1 Power of a product Prečo to funguje?

9.4.2 Apply the exponent to each number being multiplied Which is correct?

9.4.3 Order of operations vs. power of a product property Prečo to funguje?

9.4.4 Simplifying expressions with variables Which is correct?

9.4.5 Simplifying expressions with addition of integers Which is correct?

9.4.6 Simplifying expressions involving products and exponents according to the order of operations Which is correct?

Division Properties: Quotient of Powers Property

9.5.1 Division with exponents Prečo to funguje?

9.5.2 Division with exponents Which is correct?

Graphing Exponential Equations

9.6.1 Graphing linear vs. exponential functions How do they differ?

9.6.2 Graphing quadratic vs. exponential functions How do they differ?

Chapter 10 Radical Expressions and Equations

Properties of Radicals: Square Roots

10.1.1 Prime factor vs. perfect square Which is better?

10.1.2 Confusing the square root with division by 2 Which is correct?

10.1.3 Forgetting to simplify the square root of a*a as a Which is correct?

10.1.4 Estimating the value of a square root Prečo to funguje?

10.1.5 Values for which the square root of a number is greater and less than the number How do they differ?

10.1.6 Square roots with numbers and variables Prečo to funguje?

Product Property of Radicals

10.2.1 Multiplication of radicals Which is better?

10.2.2 Square root of a product vs. product of the square roots Prečo to funguje?

Quotient Property of Radicals

10.3.1 Square root of a quotient vs. quotient of the square roots Prečo to funguje?

10.3.2 Square root in the denominator of a fraction Which is better?

Addition and Subtraction of Radicals

10.4.1 Square root of a sum vs. sum of square roots Which is correct?

10.4.2 Combining two unlike radical terms Which is correct?

10.4.3 Combining three like radical terms Which is correct?

10.4.4 Factoring the radicand to combine like radical terms Which is correct?

10.4.5 Square root of a difference vs. difference of square roots Which is correct?

Multiplication and Division of Radicals

10.5.1 Simplifying expressions with sums vs. products in the radicand How do they differ?

Simplifying Radical Expressions

10.6.1 Factoring out radical terms as common factors Which is better?

10.6.2 Advantages of breaking terms into perfect squares first Which is better?

10.7.1 Distance formula and Pythagorean theorem Prečo to funguje?

Chapter 11 Rational Expressions and Equations

11.1.1 Incorrect common denominator Which is correct?

11.1.2 Simplifying the fraction first vs. finding a common denominator first Which is better?

Multiplication and Division

11.2.1 Error simplifying the numerator and denominator Which is correct?


MathHelp.com

As you can see, simplifying radicals that contain variables works exactly the same way as simplifying radicals that contain only numbers. We factor, find things that are squares (or, which is the same thing, find factors that occur in pairs), and then we pull out one copy of whatever was squared (or of whatever we'd found a pair of).

Zjednodušiť

Looking at the numerical portion of the radicand, I see that the 12 is the product of 3 and 4 , so I have a pair of 2 's (so I can take a 2 out front) but a 3 left over (which will remain behind inside the radical).

Looking at the variable portion, I have two pairs of a 's I have three pairs of b 's, with one b left over and I have one pair of c 's, with one c left over. So the root simplifies as:

You are used to putting the numbers first in an algebraic expression, followed by any variables. But for radical expressions, any variables outside the radical should go in front of the radical, as shown above. Always put everything you take out of the radical in front of that radical (if anything is left inside it).

Zjednodušiť

Writing out the complete factorization would be a bore, so I'll just use what I know about powers. The 20 factors as 4 × 5 , with the 4 being a perfect square. The r 18 has nine pairs of r' s the s is unpaired and the t 21 has ten pairs of t 's, with one t left over. Potom:

Technical point: Your textbook may tell you to "assume all variables are positive" when you simplify. Prečo? Because the square root of the square of a negative number is nie the original number.

For instance, you could start with &ndash2 , square it to get +4 , and then take the square root of +4 (which is defined to be the positive root) to get +2 . You plugged in a negative and ended up with a positive.

We're applying a process that results in our getting the same numerical value, but it's always positive (or at least non-negative). Sound familiar? It should: it's how the absolute value works: |&ndash2| = +2 . Taking the square root of the square is in fact the technical definition of the absolute value.

But this technicality can cause difficulties if you're working with values of unknown sign that is, with variables. The |&ndash2| is +2 , but what is the sign on | X | ? You can't know, because you don't know the sign of X itself &mdash unless they specify that you should "assume all variables are positive", or at least non-negative (which means "positive or zero").


Multiplying Radical Expressions

1)

2)

On the outside, we only have a 5, so that stays the same (or you can think of it as 5.1). On the inside, 3(6)=18.can be simplified to Since the 5 and 3 are both on the outside, we finish by multiplying them together.

3)

Practice: Multiply the radicals.

1)
2)
3)
4)
5)

Squares and Square Roots (A)

Teacher s can use math worksheets as test s, practice assignment s or teaching tool s (for example in group work , for scaffolding or in a learning center ). Parent s can work with their children to give them extra practice , to help them learn a new math skill or to keep their skills fresh over school breaks . Student s can use math worksheets to master a math skill through practice, in a study group or for peer tutoring .

Use the buttons below to print, open, or download the PDF version of the Squares and Square Roots (A) math worksheet. The size of the PDF file is 30794 bytes . Preview images of the first and second (if there is one) pages are shown. If there are more versions of this worksheet, the other versions will be available below the preview images. For more like this, use the search bar to look for some or all of these keywords: numeration, number, sense, mathematics, math, squares, square roots .

The Tlač button will initiate your browser's print dialog. The Otvorené button will open the complete PDF file in a new tab of your browser. The Teacher button will initiate a download of the complete PDF file including the questions and answers (if there are any). Ak Student button is present, it will initiate a download of only the question page(s). Additional options might be available by right-clicking on a button (or holding a tap on a touch screen). I don't see buttons!

The Squares and Square Roots (A) Math Worksheet Page 1 The Squares and Square Roots (A) Math Worksheet Page 2

FORMATION OF QUADRATIC EQUATION WITH GIVEN ROOTS

The least common multiplication of the denominators 3 and 2 is 6.

Make each denominator as 6 using multiplication.

Formation of quadratic equation : 

x 2  - (sum of the roots)x + product of the roots  =  0 

If one root of a quadratic equation (2 +  √3), then  form the equation given that the roots are irrational. & # xa0

(2 +  √3) is an irrational number. 

We already know the fact that irrational roots of a quadratic equation will occur  in conjugate  pairs.

That is,  if  (2 +  √3) is one root of a quadratic equation, then  (2 -  √3) will be  the other root of the same equation. 

So,  (2 +  √3) and  (2 -  √3) are the roots of the required quadratic equation. 

Formation of quadratic equation : 

x 2  - (sum of the roots)x + product of the roots  =  0 

If  α and β be the roots of x 2 + 7x + 12  =  0, find the quadratic equation whose roots are 

Given : α and β be the roots of x 2  + 7x + 12  =  0.

sum of roots  =  -coefficient of x / coefficient of x 2

α + β   =  -7 / 1

product of roots  =  constant term / coefficient of x 2

Quadratic equation with roots  ( α + β) 2 ਊnd (α - β) 2 is

x 2 - [ ( α + β) 2  + (α - β) 2 ]x +  ( α + β) 2 (α - β) 2  =  0 -----(1)

Find the values of  ( α + β) 2 and  ( α - β) 2 .

So, the required quadratic equation is

x 2  - 50 x + 49    =  0

If  α and β be the roots of x 2  + px + q  =  0, find the quadratic equation whose roots are 

Given :  α and β be the roots of x 2  + px + q  =  0.

sum of roots  =  -coefficient of x / coefficient of x 2

product of roots  =  constant term / coefficient of x 2

Quadratic equation with roots  α/βਊnd β/ α   is

So, the required quadratic equation is

Multiply each side by q. 

qx 2  - (p 2  - 2q) x + q    =  0

Okrem vyššie uvedených vecí, ak potrebujete ďalšie veci v matematike, použite tu naše vlastné vyhľadávanie google.

Ak máte spätnú väzbu k nášmu matematickému obsahu, pošlite nám e-mail: & # xa0

Vždy si ceníme vašu spätnú väzbu. & # Xa0

Môžete tiež navštíviť nasledujúce webové stránky s rôznymi témami v matematike. & # Xa0


ALGEBRA

The four operations and their signs.
The function of parentheses.
Terms versus factors .
Powers and exponents.
The order of operations.
Values and evaluations.
Evaluating algebraic expressions.

The integers.
The algebraic sign and the absolute value.
Subtracting a larger number from a smaller.
The number line.
The negative of any number.

"Adding" a negative number.
Naming terms. The rule for adding terms.
Subtracting a negative number.

The rule of symmetry. Commutative rules. Inverses.
Two rules for equations.

The definition of reciprocals. The definition of division. Rules for 0.

Parentheses. Brackets. Braces.
The relationship of b &minus a to a &minus b .

The law of inverses.
Transposing.
A logical sequence of statements.
Simple fractional equations.

Absolute value equations.
Absolute value inequalities.

Powers of a number.
Rules of exponents: When to add, when to multiply.

The definition of a polynomial in x .
Factoring polynomials.
Factoring by grouping.
Equations in which the unknown is a common factor.

Quadratics in different arguments.

Perfect square trinomials.
The square of a trinomial.
Completing the square.
Geometrical algebra.

Summary of Multiplying/Factoring.
Factoring by grouping.
The sum and difference of any two powers: a n ± b n .

Negative exponents. Exponent 0. Scientific notation.

Rational expressions. The principle of equivalent fractions. Reducing to lowest terms.

The Lowest Common Multiple (LCM) of a series of terms.

The whole is equal to the sum of the parts.
Same time problem: Upstream-downstream.
Total time problem. Job problem.

Square roots.
Equations x ² = a , and the principal square root.
Rationalizing a denominator.
Real numbers.

Roots of numbers. The index of a radical.
Fractional exponents.
Negative exponents.

The square root of a negative number.
The real and imaginary components.
Conjugate pairs.

The distance of a point from the origin.
The distance between any two points.
A proof of the Pythagorean theorem.

The equation of the first degree and its graph.
Vertical and horizontal lines.

The slope intercept form of the equation of a straight line. The general form.
Parallel and perpendicular lines.
The point-slope formula. The two-point formula.

The method of addition. The method of substitution. Cramer's Rule: The method of determinants.
Three equations in three unknowns.

Investment problems. Mixture problems.
Upstream-downstream problems.

The roots of a quadratic.
Solution by factoring.
Completing the square.
The quadratic formula.
The discriminant.
The graph of a quadratic: A parabola.

Definition. The three laws of logarithms.
Common logarithms.

Direct variation. The constant of proportionality.
Varies as the square. Varies inversely. Varies as the inverse square.


Exponents and Roots - GRE

Exponents are used to denote the repeated multiplication of a number by itself.

The following are some rules of exponents. Scroll down the page for more examples and solutions.


For example, 2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
In the expression, 2 4 , 2 is called the base , 4 is called the exponent , and we read the expression as “2 to the fourth power.”

When the exponent is 2, we call the process squaring.

Napríklad,
5 2 = 25, is read as "5 squared is 25".
6 2 = 36, is read as "6 squared is 36".

When negative numbers are raised to powers, the result may be positive or negative. A negative number raised to an even power is always positive, and a negative number raised to an odd power is always negative.

Napríklad,
(−3) 4 = −3 × −3 × −3 × −3 = 81
(−3) 3 = −3 × −3 × −3 = −27

Take note of the parenthesis: (−3) 2 = 9, but −3 2 = −9

Zero or Negative Exponents

Exponents can also be negative or zero such exponents are defined as follows.

  • For all nonzero numbers a, a 0 = 1.
  • The expression 0 0 is undefined.
  • For all nonzero numbers a,

How to work with zero and negative exponents?

Square Roots

A square root of a nonnegative number n is a number r such that r 2 = n.

For example, 5 is a square root of 25 because 5 2 = 25.

Another square root of 25 is −5 because (−5) 2 is also equals to 25.

The symbol used for square root is . (The symbol is also called the radical sign).

Every positive number a has two square roots: √a, which is positive, and -√a, which is negative.
√16 = 4 and −√16 = −4

The only square root of 0 is 0. Square roots of negative numbers are not defined in the real number system.

Perfect squares and square roots

Some numbers are called perfect squares. It is important we can recognize perfect square when working with square roots.
1 2 = 1
2 2 = 4
3 2 = 9
4 2 = 16
5 2 = 25
6 2 = 36
7 2 = 49
8 2 = 64
9 2 = 81
10 2 = 100

Rules for Square Roots

Here are some important rules regarding operations with square roots, where x > 0 and y > 0


Product Rule & Simplifying Square Roots

Príklady:
Zjednodušiť
√18
√48
3 √2 ˙ 3 √4
3 √54

Quotient Rule & Simplifying Square Roots

How to use the rules regarding operations with square roots?

Roots of Higher Order

A square root is a root of order 2. Higher-order roots of a positive number n are defined similarly.

The cube root is a root of order 3.

For Example:
8 has one cube root. The cube root of 8 is 2 because 2 3 = 8.
−8 has one cube root. The cube root of −8 is −2 because (−2) 3 = −8

The fourth root is a root of order 4.

Napríklad,
8 has two fourth roots. because 2 4 = 16 and (−2) 4 = 16

These n th roots obey rules similar to the square root.

There are some notable differences between odd order roots and even-order roots (in the real number system):

  • For odd-order roots, there is exactly one root for every number n, even when n is negative. For example, the cube root of 8 is 2 and the cube root of −8 is −2.
  • For even-order roots, there are exactly two roots for every positive number n and no roots for any negative number n. For example, the fourth root of 16 is 2 and −2 and there is no fourth root for −16.

What are radicals and how to simplify perfect square, cube, and nth roots?

Try the free Mathway calculator and problem solver below to practice various math topics. Try the given examples, or type in your own problem and check your answer with the step-by-step explanations.

We welcome your feedback, comments and questions about this site or page. Please submit your feedback or enquiries via our Feedback page.


Pozri si video: Recapitularea materiei de clasa a VII-a - exercitiul 1 (Október 2021).