Články

2.4: Riešenie lineárnych rovníc - časť II


Učebné ciele

  • Riešiť všeobecné lineárne rovnice.
  • Identifikujte a riešte podmienené rovnice, identity a rozpory.
  • Vymažte desatinné miesta a zlomky z rovníc.
  • Vyriešte doslovné rovnice alebo vzorce pre danú premennú.

Kombinácia podobných výrazov a zjednodušenie

Lineárne rovnice zvyčajne nie sú uvedené v štandardnej forme, takže ich riešenie vyžaduje ďalšie kroky. Tieto ďalšie kroky zahŕňajú zjednodušenie výrazov na každej strane znaku rovnosti pomocou poradia operácií.

Rovnaké podmienky

Často sa stretneme s lineárnymi rovnicami, kde možno výrazy na každej strane znaku rovnosti zjednodušiť. Spravidla ide o kombinovanie rovnakých výrazov. Ak je to tak, potom je najlepšie každú stranu pred riešením najskôr zjednodušiť.

Príklad ( PageIndex {1} )

Vyriešiť:

(- 4a + 2 − a = 3−2 ).

Riešenie:

Najskôr skombinujte podobné výrazy na každej strane znaku rovnosti.

Odpoveď:

Riešením je ( frac {1} {5} ).

Opačné podmienky

Keď dostaneme lineárnu rovnicu v tvare (ax + b = cx + d ), začneme kombináciou podobných výrazov na opačných stranách znamienka rovnosti. Ak chcete kombinovať výrazy podobné opačnej strane, pomocou vlastnosti sčítania alebo odčítania rovnosti efektívne „presuňte výrazy“ z jednej strany na druhú, aby ich bolo možné kombinovať.

Príklad ( PageIndex {2} )

Vyriešiť:

(- 2r − 3 = 5r + 11 ).

Riešenie:

Ak chcete „posunúť“ výraz (5r ) na ľavú stranu, odčítajte ho na oboch stranách.

( begin {aligned} -2r-3 & = 5r + 11 -2r-3 color {Cerulean} {- 5r} & = 5r + 11 color {Cerulean} {- 5r} & color {Cerulean} {Odčítať : 5r : od : obaja : strany.} -7y-3 & = 11 koniec {zarovnané} )

Od tejto chvíle riešte pomocou techník vyvinutých predtým.

Vždy skontrolujte správnosť riešenia nahradením roztoku späť do pôvodnej rovnice a zjednodušením zistenia, či získate pravdivé tvrdenie.

( begin {aligned} -2r-3 & = 5r + 11 -2 ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {) - 3} & = 5 ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {) + 1} 4-3 & = - 10 + 11 1 & = 1 quad color {Cerulean} { začiarknutie} end {zarovnané} )

Odpoveď:

Riešením je (- 2 ).

Všeobecné pokyny pre riešenie lineárnych rovníc

Pri riešení lineárnych rovníc je cieľom zistiť, aká hodnota, ak existuje, vytvorí pravdivé tvrdenie, keď bude nahradená pôvodnou rovnicou. Urobte to tak, že premennú izolujete pomocou nasledujúcich krokov:

Krok 1: Zjednodušte obe strany rovnice pomocou operačného poriadku a skombinujte všetky výrazy podobné tej istej strane.

Krok 2: Použite príslušné vlastnosti rovnosti na spojenie výrazov podobných na opačnej strane s premenným výrazom na jednej strane rovnice a konštantným výrazom na druhej strane.

Krok 3: Ak chcete izolovať premennú, podľa potreby ju rozdeľte alebo vynásobte.

Krok 4: Skontrolujte, či odpoveď vyrieši pôvodnú rovnicu.

Príklad ( PageIndex {3} )

Vyriešiť:

(- frac {1} {2} (10r-2) + 3 = 14 )

Riešenie:

Pred riešením zjednodušte lineárny výraz na ľavej strane.

Skontrolovať,

( begin {aligned} - frac {1} {2} (10 ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {) - 2) +3} & = 14 - frac { 1} {2} (- 20-2) + 3 & = 14 - frac {1} {2} (- 22) + 3 & = 14 11 + 3 & = 14 14 & = 14 quad color {Cerulean} { začiarknutie} end {zarovnané} )

Odpoveď:

Riešením je (- 2 ).

Príklad ( PageIndex {4} )

Vyriešiť:

(5 (3x + 2) -2 = -2 (1-7x) ).

Riešenie:

Najskôr zjednodušte výrazy na oboch stranách znaku rovnosti.

Odpoveď:

Riešením je (- 10 ). Šek sa ponecháva ako cvičenie.

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Vyriešiť:

(6−3 (4x − 1) = 4x − 7 ).

Odpoveď

(x = 1 )

Podmienené rovnice, identity a rozpory

Existujú tri rôzne typy rovníc. Až do tohto okamihu sme riešili podmienené rovnice. Toto sú rovnice, ktoré platia pre konkrétne hodnoty. Identita je rovnica, ktorá platí pre všetky možné hodnoty premennej. Napríklad,

(x = x quad color {Cerulean} {Identita} )

má množinu riešení pozostávajúcu zo všetkých reálnych čísel, (R ). Rozpor je rovnica, ktorá nikdy nie je pravdivá, a teda nemá žiadne riešenia. Napríklad,

(x + 1 = x quad color {cerulean} {rozpor} )

nemá riešenie. Prázdnu množinu (∅ ) používame na označenie, že neexistujú žiadne riešenia.

Ak je konečným výsledkom riešenia rovnice pravdivé tvrdenie, napríklad (0 = 0 ), potom je rovnica identita a akékoľvek reálne číslo je riešením. Ak výsledkom riešenia bude nepravdivé tvrdenie, napríklad (0 = 1 ), potom je rovnica rozporom a neexistuje riešenie.

Príklad ( PageIndex {5} )

Vyriešiť:

(4 (x + 5) + 6 = 2 (2x + 3) ).

Riešenie:

( begin {aligned} 4 (x + 5) + 6 & = 2 (2x + 3) & color {Cerulean} {Distribute.} 4x color {OliveGreen} {+ 20 + 6} & = 4x + 6 & color {Cerulean} {Combine : same-side : like : terms.} 4x + 26 & = 4x + 6 & color {Cerulean} {Combine : opačná strana : like : terms. } 4x + 26 color {Cerulean} {- 4x} & = 4x + 6 color {Cerulean} {- 4x} 26 & = 6 quad color {red} {x} & color {Cerulean} {False} end {zarovnané} )

Odpoveď:

(∅ ). Riešenie vedie k nepravdivému tvrdeniu; preto je rovnica rozpor a neexistuje riešenie.

Príklad ( PageIndex {6} )

Vyriešiť:

(3 (3y + 5) + 5 = 10 (y + 2) −y ).

Riešenie:

( begin {aligned} 3 (3y + 5) + 5 & = 10 (y + 2) -y & color {Cerulean} {Distribute.} 9y color {OliveGreen} {+ 15 + 5} & = 10 rokov + 20 rokov a color {Cerulean} {Kombinovať : rovnaká strana : ako : termíny.} 9y + 20 & = 9y + 20 & color {Cerulean} {Kombinovať : opačná strana : like : terms.} 9y + 20 color {Cerulean} {- 9y} & = 9y + 20 color {Cerulean} {- 9y} 20 & = 20 quad color {Cerulean} { checkmark} & color {Cerulean} {True} end {zarovnané} )

Odpoveď:

(R ). Riešenie vedie k pravdivému tvrdeniu; preto je rovnica identita a akékoľvek reálne číslo je riešením.

Ak je ťažké uveriť, že akékoľvek reálne číslo je riešením rovnice v predchádzajúcom príklade, vyberte svoje obľúbené reálne číslo a v rovnici ho nahraďte tak, aby viedlo k pravdivému výroku. Vyberte (x = 7 ) a skontrolujte:

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Vyriešiť:

(- 2 (3x + 1) - (x − 3) = - 7x + 1 ).

Odpoveď

(R )

Zúčtovanie desatinných miest a zlomkov

Koeficienty lineárnych rovníc môžu byť akékoľvek reálne čísla, dokonca aj desatinné miesta a zlomky. Keď sa používajú desatinné miesta a zlomky, je možné použiť vlastnosť násobenia rovnosti na vyčistenie koeficientov v jednom kroku. Ak sú dané desatinné koeficienty, vynásobte ich príslušnou silou 10, aby sa desatinné miesta vymazali. Ak sú dané zlomkové koeficienty, potom obe strany rovnice vynásobte najmenším spoločným násobkom menovateľa (LCD).

Príklad ( PageIndex {7} )

Vyriešiť:

(2,3x + 2,8 = -1,2x + 9,8 ).

Riešenie:

Všimnite si, že všetky desatinné koeficienty sú vyjadrené číslicami na desatine; to naznačuje, že môžeme vymazať desatinné miesta vynásobením oboch strán znakom (10 ​​). Dajte pozor, aby ste (10 ​​) rozdelili ku každému výrazu na oboch stranách rovnice.

( begin {aligned} color {Cerulean} {10 cdot} color {black} {(2,3x + 2,8)} & = color {Cerulean} {10 cdot} color {black} {- 1,2 x + 9.8} & color {Cerulean} {Vynásobiť : obe : strany : by : 10.} color {Cerulean} {10 cdot} color {čierna} {2,3x +} color { Cerulean} {10 cdot} color {black} {2.8} & = color {Cerulean} {10 cdot} color {black} {(- 1,2x) +} color {Cerulean} {10 cdot} color {black} {9.8} 23x + 28 & = - 12x + 98 & color {Cerulean} {Integer : coefficients} 23x + 28 color {Cerulean} {+ 12x} & = - 12x + 98 color {Cerulean} {+ 12x} & color {Cerulean} {Solve.} 35x + 28 & = 98 35x + 28 color {Cerulean} {- 28} & = 98 color {Cerulean} {- 28} 35x & = 70 frac {35x} { color {Cerulean} {35}} & = frac {70} { color {Cerulean} {35}} x & = 2 end {zarovnané } )

Odpoveď:

Riešením je (2 ).

Príklad ( PageIndex {8} )

Vyriešiť:

( frac {1} {3} x + frac {1} {5} = frac {1} {5} x − 1 ).

Riešenie:

Vymažte zlomky vynásobením oboch strán najmenším spoločným násobkom daných menovateľov. V tomto prípade LCM ((3, 5) = 15 ).

Odpoveď:

Riešením je (- 9 ).

Je dôležité vedieť, že tieto techniky fungujú iba pre rovnice. Pri zjednodušovaní výrazov sa nepokúšajte vyčistiť zlomky. Ako pripomienka

( begin {array} {c | c} { underline { color {Cerulean} {Expression}}} & { underline { color {Cerulean} {Equation}}} { frac {1} { 2} x + frac {5} {3}} a { frac {1} {2} x + frac {5} {3} = 0} end {pole} )

Riešte rovnice a zjednodušte výrazy. Ak vynásobíte výraz znakom (6 ), problém sa zmení. Ak však obe strany rovnice vynásobíte číslom 6, získate ekvivalentnú rovnicu.

( begin {array} {c | c} { podčiarknutie { color {red} {nesprávne}}} & { podčiarknutie { color {Cerulean} {správne}}} { frac {1} { 2} x + frac {5} {3}} & { frac {1} {2} x + frac {5} {3} = 0} { neq color {red} {6 cdot} color {black} { left ( frac {1} {2} x + frac {5} {3} right)}} & { color {Cerulean} {6 cdot} color {black} { left ( frac {1} {2} x + frac {5} {3} vpravo) =} color {Cerulean} {6 cdot} color {black} {0}} {= 3x + 10 quad color {red} {x}} a {3x + 10 = 10 quad color {Cerulean} { začiarknutie}} end {pole} )

Doslovné rovnice (lineárne vzorce)

Algebra nám umožňuje vyriešiť celé triedy aplikácií pomocou doslovných rovníc alebo vzorcov. Vzorce majú často viac ako jednu premennú a popisujú alebo modelujú konkrétny problém v reálnom svete. Napríklad známy vzorec (D = rt ) popisuje prejdenú vzdialenosť z hľadiska priemernej rýchlosti a času; vzhľadom na ktorékoľvek z týchto dvoch veličín môžeme určiť tretiu. Pomocou algebry môžeme vyriešiť rovnicu pre ktorúkoľvek z premenných a odvodiť ďalšie dva vzorce.

( begin {aligned} D & = rt frac {D} { color {Cerulean} {r}} & = frac {rt} { color {Cerulean} {r}} & color {Cerulean} {Rozdeliť : obe : strany : podľa : r.} frac {D} {r} & = t end {zarovnané} )

Ak obe strany vydelíme (r ), dostaneme vzorec (t = Dr ). Pomocou tohto vzorca môžete zistiť čas, vzdialenosť a rýchlosť

( begin {aligned} D & = rt frac {D} { color {Cerulean} {t}} & = frac {rt} { color {Cerulean} {t}} & color {Cerulean} {Rozdeliť : obe : strany : podľa : t.} frac {D} {t} & = r end {zarovnané} )

Ak obe strany vydelíme (t ), dostaneme vzorec (r = Dt ). Použite tento vzorec na vyhľadanie rýchlosti vzhľadom na prejdenú vzdialenosť a čas potrebný na prekonanie tejto vzdialenosti. Pomocou techník naučených až do tohto bodu máme teraz tri ekvivalentné vzorce týkajúce sa vzdialenosti, priemernej rýchlosti a času:

(D = rt qquad t = frac {D} {r} qquad r = frac {D} {t} )

Keď sa dá doslovná rovnica, je často potrebné vyriešiť jednu z premenných z hľadiska ostatných. Na izoláciu označenej premennej použite vlastnosti rovnosti.

Príklad ( PageIndex {9} )

Riešiť pre (a ):

(P = 2a + b ).

Riešenie:

Cieľom je izolovať premennú (a ).

( begin {aligned} P & = 2a + b P color {Cerulean} {- b} & = 2a + b color {Cerulean} {- b} & color {Cerulean} {Odčítať : b : from : both : sides.} P-b & = 2a frac {Pb} { color {Cerulean} {2}} & = frac {2a} { color {Cerulean} {2} } & color {Cerulean} {Deliť : both : sides : by : 2.} frac {Pb} {2} & = a end {zarovnané} )

Odpoveď:

(a = frac {P-b} {2} )

Príklad ( PageIndex {10} )

Riešiť pre (y ):

(z = frac {x + y} {2} ).

Riešenie:

Cieľom je izolovať premennú (y ).

( begin {aligned} z & = frac {x + y} {2} color {Cerulean} {2 cdot} color {black} {z} & = color {Cerulean} {2 cdot } color {black} { frac {x + y} {2}} & color {Cerulean} {Vynásobiť : obe : strany : by : 2.} 2z & = x + y 2z color {Cerulean} {- x} & = x + y color {Cerulean} {- x} & color {Cerulean} {Odčítať : x : od : obaja : strany.} 2z-x & = y end {zarovnané} )

Odpoveď:

(y = 2z-x )

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Vyriešiť pre (b ):

(2a - 3b = c ).

Odpoveď

(b = frac {2a − c} {3} )

Kľúčové jedlá

  • Riešenie všeobecných lineárnych rovníc spočíva v izolácii premennej s koeficientom (1 ) na jednej strane znamienka rovnosti.
  • Kroky riešenia lineárnych rovníc sú:
    • Zjednodušte obe strany rovnice a skombinujte všetky rovnaké výrazy.
    • Kombináciou výrazov podobných na opačnej strane získate variabilný výraz na jednej strane znamienka rovnosti a konštantný výraz na druhej strane.
    • Podľa potreby rozdeľte alebo vynásobte izoláciu premennej.
    • Skontrolujte odpoveď.
  • Väčšina lineárnych rovníc, s ktorými sa stretnete, je podmienená a má jedno riešenie.
  • Ak riešenie lineárnej rovnice vedie k pravdivému výroku ako (0 = 0 ), potom je rovnica identita a množina riešení sa skladá zo všetkých reálnych čísel (R ).
  • Ak riešenie lineárnej rovnice vedie k nesprávnemu tvrdeniu ako (0 = 5 ), potom je rovnica rozporom a neexistuje riešenie ( ).
  • Vymazajte zlomky vynásobením oboch strán lineárnej rovnice najmenším spoločným násobkom všetkých menovateľov. Distribuujte a vynásobte všetky výrazy na LCD, aby ste získali ekvivalentnú rovnicu s celočíselnými koeficientmi.
  • Daný vzorec, riešenie pre každú premennú pomocou rovnakých techník na riešenie lineárnych rovníc. Funguje to preto, lebo premenné sú jednoducho reprezentáciami reálnych čísel.

Cvičenie ( PageIndex {4} ) Hľadanie riešení

Je daná hodnota riešením lineárnej rovnice?

  1. (2 (3x + 5) −6 = 3x − 8; x = −4 )
  2. (- x + 17−8x = 9 − x; x = −1 )
  3. (4 (3x −7) -3 (x + 2) = - 1; x = frac {1} {3} )
  4. (- 5 - 2 (x − 5) = - (x + 3); x = −8 )
  5. (7-2 ( frac {1} {2} x − 6) = x − 1; x = 10 )
  6. (3x− frac {2} {3} (9x − 2) = 0; x = frac {4} {9} )
Odpoveď

1. Áno

3. Nie

5. Áno

Cvičenie ( PageIndex {5} ) Riešenie lineárnych rovníc

Vyriešiť.

  1. (4x − 7 = 7x + 5 )
  2. (- 5x + 3 = −8x −9 )
  3. (3x − 5 = 2x − 17 )
  4. (- 2r − 52 = 3r + 13 )
  5. (- 4x + 2 = 7x −20 )
  6. (4x − 3 = 6x − 15 )
  7. (9x − 25 = 12x − 25 )
  8. (12r + 15 = -6r + 23 )
  9. (1,2x − 0,7 = 3x + 4,7 )
  10. (2,1x + 6,1 = -1,3x + 4,4 )
  11. (2,02x + 4,8 = 14,782-1,2x )
  12. (- 3,6x + 5,5 + 8,2x = 6,5 + 4,6x )
  13. ( frac {1} {2} x− frac {2} {3} = x + frac {1} {5} )
  14. ( frac {1} {3} x− frac {1} {2} = - frac {1} {4} x− frac {1} {3} )
  15. (- frac {1} {10} y + frac {2} {5} = frac {1} {5} y + frac {3} {10} )
  16. (x− frac {20} {3} = frac {5} {2} x + frac {5} {6} )
  17. ( frac {2} {3} y + frac {1} {2} = frac {5} {8} y + frac {37} {24} )
  18. ( frac {1} {3} + frac {4} {3} x = frac {10} {7} x + frac {1} {3} - frac {2} {21} x )
  19. ( frac {8} {9} - frac {11} {18} x = frac {7} {6} −12x )
  20. ( frac {1} {3} −9x = frac {4} {9} + frac {1} {2} x )
  21. (12x −5 + 9x = 44 )
  22. (10–6x − 13 = 12 )
  23. (- 2 + 4x + 9 = 7x + 8-2x )
  24. (20x −5 + 12x = 6 − x + 7 )
  25. (3a + 5 − a = 2a + 7 )
  26. (- 7b + 3 = 2−5b + 1−2b )
  27. (7x − 2 + 3x = 4 + 2x − 2 )
  28. (- 3x + 8−4x + 2 = 10 )
  29. (6x + 2−3x = −2x − 13 )
  30. (3x − 0,75 + 0,21 x = 1,24 x + 7,13 )
  31. (- x − 2 + 4x = 5 + 3x − 7 )
  32. (- 2r − 5 = 8r − 6−10r )
  33. ( frac {1} {10} x− frac {1} {3} = frac {1} {30} - frac {1} {15} x− frac {7} {15} )
  34. ( frac {5} {8} - frac {4} {3} x + frac {1} {3} = - frac {3} {9} x− frac {1} {4} + frac {1} {3} x )
Odpoveď

1. (−4)

3. (−12)

5. (2)

7. (0)

9. (−3)

11. (3.1)

13. (- frac {26} {15} )

15. ( frac {1} {3} )

17. (25)

19. (- frac {5} {2} )

21. ( frac {7} {3} )

23. (−1)

25. (∅)

27. ( frac {1} {2} )

29. (−3)

31. (R )

33. (- frac {3} {5} )

Cvičenie ( PageIndex {6} ) Riešenie lineárnych rovníc obsahujúcich zátvorky

Vyriešiť.

  1. (- 5 (2r-3) + 2 = 12 )
  2. (3 (5x + 4) + 5x = −8 )
  3. (4-2 (x −5) = - 2 )
  4. (10-5 (3x +1) = 5 (x -4) )
  5. (9− (x + 7) = 2 (x − 1) )
  6. (- 5 (2x − 1) + 3 = −12 )
  7. (3x − 2 (x + 1) = x + 5 )
  8. (5x − 3 (2x − 1) = 2 (x − 3) )
  9. (- 6 (x − 1) -3x = 3 (x + 8) )
  10. (- frac {3} {5} (5x + 10) = frac {1} {2} (4x − 12) )
  11. (3,1 (2x − 3) + 0,5 = 22,2 )
  12. (4.22−3.13 (x − 1) = 5,2 (2x + 1) −11,38 )
  13. (6 (x − 2) - (7x − 12) = 14 )
  14. (- 9 (x − 3) −3x = −3 (4x + 9) )
  15. (3 - 2 (x + 4) = - 3 (4x − 5) )
  16. (12-2 (2x + 1) = 4 (x − 1) )
  17. (3 (x + 5) -2 (2x + 3) = 7x + 9 )
  18. (3 (2x − 1) −4 (3x − 2) = - 5x + 10 )
  19. (- 3 (2a − 3) + 2 = 3 (a + 7) )
  20. (- 2 (5x − 3) −1 = 5 (−2x + 1) )
  21. ( frac {1} {2} (2x + 1) - frac {1} {4} (8x + 2) = 3 (x − 4) )
  22. (- frac {2} {3} (6x − 3) - frac {1} {2} = frac {3} {2} (4x + 1) )
  23. ( frac {1} {2} (3x − 1) + frac {1} {3} (2x − 5) = 0 )
  24. ( frac {1} {3} (x − 2) + frac {1} {5} = frac {1} {9} (3x + 3) )
  25. (- 2 (2x − 7) - (x + 3) = 6 (x − 1) )
  26. (10 ​​(3x + 5) −5 (4x + 2) = 2 (5x + 20) )
  27. (2 (x − 3) −6 (2x + 1) = - 5 (2x − 4) )
  28. (5 (x − 2) - (4x − 1) = - 2 (3 − x) )
  29. (6 (3x − 2) - (12x − 1) + 4 = 0 )
  30. (- 3 (4x − 2) - (9x + 3) −6x = 0 )
Odpoveď

1. ( frac {1} {2} )

3. (8)

5. ( frac {4} {3} )

7. (∅)

9. (- frac {3} {2} )

11. (5)

13. (−14)

15. (2)

17. (0)

19. (- frac {10} {9} )

21. (3)

23. (1)

25. ( frac {17} {11} )

27. (∅)

29. ( frac {7} {6} )

Cvičenie ( PageIndex {7} ) doslovné rovnice

Riešiť pre uvedenú premennú.

  1. Riešiť pre (w ): (A = l⋅w ).
  2. Riešiť pre (a ): (F = ma ).
  3. Riešiť pre (w ): (P = 2l + 2w ).
  4. Riešiť pre (r ): (C = 2πr ).
  5. Riešiť pre (b ): (P = a + b + c ).
  6. Riešiť pre (C ): (F = frac {9} {5} C + 32 ).
  7. Riešiť pre (h ): (A = frac {1} {2} bh ).
  8. Riešiť pre (t ): (I = Prt ).
  9. Riešiť pre (y ): (sekera + o = c ).
  10. Riešiť pre (h ): (S = 2πr ^ {2} + 2πrh ).
  11. Riešiť pre (x ): (z = frac {2x + y} {5} ).
  12. Riešiť pre (c ): (a = 3b− frac {2c} {3} ).
  13. Riešiť pre (b ): (y = mx + b ).
  14. Riešiť pre (m ): (y = mx + b ).
  15. Riešiť pre (y ): (3x − 2y = 6 ).
  16. Riešiť pre (y ): (- 5x + 2y = 12 ).
  17. Riešiť pre (y ): ( frac {x} {3} - frac {y} {5} = 1 ).
  18. Riešiť pre (y ): ( frac {3} {4} x− frac {1} {5} y = frac {1} {2} ).
Odpoveď

1. (w = frac {A} {l} )

3. (w = frac {P − 2l} {2} )

5. (b = P − a − c )

7. (h = frac {2A} {b} )

9. (y = frac {−ax + c} {b} )

11. (x = frac {5z −y} {2} )

13. (b = y − mx )

15. (y = frac {3x − 6} {2} )

17. (y = frac {5x − 15} {3} )

Cvičenie ( PageIndex {8} ) doslovné rovnice

Preložiť nasledujúce vety do lineárnych rovníc a potom vyriešiť.

  1. Súčet (3x ) a (5 ) sa rovná súčtu (2x ) a (7 ).
  2. Súčet (- 5x ) a (6 ) sa rovná rozdielu (4x ) a (2 ).
  3. Rozdiel (5x ) a (25 ) sa rovná rozdielu (3x ) a (51 ).
  4. Súčet ( frac {1} {2} x ) a ( frac {3} {4} ) sa rovná ( frac {2} {3} x ).
  5. Číslo (n ) vydelené (5 ) sa rovná súčtu dvojnásobku čísla a (3 ).
  6. Záporné číslo desaťkrát (n ) sa rovná súčtu trojnásobku čísla a (13 ).
Odpoveď

1. (3x + 5 = 2x + 7 ); (x = 2 )

3. (5x − 25 = 3x − 51 ); (x = −13 )

5. ( frac {n} {5} = 2n + 3 ); (n = - frac {5} {3} )

Témy diskusného fóra Cvičenie ( PageIndex {9} )

  1. Aký je pôvod slova algebra?
  2. Čo sa považuje za hlavný predmet algebry?
  3. Prečo je riešenie rovníc tak dôležitou témou algebry?
  4. Uverejnite niektoré lineárne vzorce v reálnom svete, ktoré nie sú uvedené v tejto časti.
  5. Skúmajte a diskutujte o príspevkoch Diophanta z Alexandrie.
  6. Vytvorte svoju vlastnú identitu alebo rozpor a zdieľajte ich v diskusnej skupine. Poskytnite riešenie a vysvetlite, ako ste ho našli.
Odpoveď

1. Odpovede sa môžu líšiť

3. Odpovede sa môžu líšiť

5. Odpovede sa môžu líšiť


2.4: Riešenie lineárnych rovníc - časť II

Riešenie tejto kapitoly začneme riešením lineárnych rovníc. A lineárna rovnica je akákoľvek rovnica, ktorá môže byť napísaná vo forme

kde (a ) a (b ) sú reálne čísla a (x ) je premenná. Táto forma sa niekedy nazýva štandardná forma lineárnej rovnice. Upozorňujeme, že väčšina lineárnych rovníc nezačne v tejto podobe. Premenná tiež môže, ale nemusí byť (x ), takže sa nemusíte príliš uzamknúť, aby ste tam vždy videli (x ).

Na riešenie lineárnych rovníc budeme intenzívne využívať nasledujúce fakty.

    Ak (a = b ), potom (a + c = b + c ) pre ľubovoľné (c ). Hovorí sa len to, že môžeme pridať číslo (c ) na obe strany rovnice a rovnicu nemeníme.

Tieto fakty tvoria základ takmer všetkých techník riešenia, ktorým sa budeme v tejto kapitole venovať, takže je veľmi dôležité, aby ste ich poznali a nezabudli na ne. Jeden zo spôsobov, ako uvažovať o týchto pravidlách, je nasledujúci. Čo urobíme na jednej strane rovnice, musíme urobiť na druhú stranu rovnice. Ak si to pamätáte, budete vždy mať tieto fakty správne.

V tejto časti sa budeme venovať riešeniu lineárnych rovníc a existuje pekný jednoduchý proces riešenia lineárnych rovníc. Poďme si najskôr zhrnúť postup a potom uvedieme niekoľko príkladov.

Proces riešenia lineárnych rovníc

  1. Ak rovnica obsahuje zlomky, na vyčistenie zlomkov použite najmenší spoločný menovateľ. Urobíme to tak, že obe strany rovnice vynásobíme LCD.

Tiež, ak existujú premenné v menovateľoch zlomkov, identifikujte hodnoty premennej, ktorá poskytne delenie nulou, pretože sa budeme musieť týmto hodnotám v našom riešení vyhnúť.

Všimnite si, že zvyčajne iba vydelíme obe strany rovnice koeficientom, ak ide o celé číslo, alebo vynásobíme obe strany rovnice prevrátenou hodnotou koeficientu, ak ide o zlomok.

Pozrime sa na niekoľko príkladov.

  1. (3 vľavo ( right) = 2 left (<- 6 - x> right) - 2x )
  2. ( Displaystyle frac <> <3> + 1 = frac <<2m>> <7> )
  3. ( Displaystyle frac <5> << 2y - 6 >> = frac << 10 - y >> <<- 6r + 9 >> )
  4. ( Displaystyle frac <<2z>> <> = frac <3> <> + 2)

Pre tento problém nie sú k dispozícii žiadne zlomky, takže sa nemusíme starať o prvý krok procesu. V ďalšom kroku sa hovorí o zjednodušení oboch strán. Takže každú zátvorku vyčistíme vynásobením čísel a potom kombinujeme ako termíny.

[začať3 vľavo ( right) & = 2 left (<- 6 - x> right) - 2x 3x + 15 & = - 12 - 2x - 2x 3x + 15 & = - 12 - 4x end]

Ďalším krokom je získanie všetkých znakov (x ) na jednej strane a všetkých čísel na druhej strane. Ktorá strana riešenia (x ) bude záležať na vás a bude sa pravdepodobne líšiť podľa problému. Ako základné pravidlo zvyčajne umiestnime premenné na stranu, ktorá poskytne kladný koeficient. Robí sa to jednoducho preto, lebo často je ľahké stratiť prehľad o znamienku mínus na koeficiente, a preto ak sa uistíme, že je pozitívny, nebudeme si s tým musieť robiť starosti.

Pre náš prípad to bude znamenať sčítanie 4 (x ) na obe strany a odčítanie 15 od oboch strán. Všimnite si tiež, že aj keď tieto operácie skutočne vložíme do tejto doby, zvyčajne ich robíme v našej hlave.

V ďalšom kroku sa hovorí, že dostaneme koeficient 1 pred (x ). V takom prípade to môžeme urobiť vydelením oboch strán číslom 7.

Teraz, keď sme celú prácu vykonali správne, je riešením rovnice (x = - frac <<27>> <7> ).

Posledným a posledným krokom je potom kontrola riešenia. Ako je uvedené v obryse procesu, musíme skontrolovať riešenie v dokumente originál rovnica. To je dôležité, pretože sme mohli urobiť chybu hneď v prvom kroku, a ak by sme tak urobili a potom skontrolovali odpoveď vo výsledkoch z tohto kroku, mohlo by sa zdať, že naznačuje, že riešenie je správne, keď bude realita taká, že to neurobíme. “ Nemáme správnu odpoveď z dôvodu chyby, ktorú sme pôvodne urobili.

Problém samozrejme spočíva v tom, že pri tomto riešení môže byť kontrola trochu chaotická. Poďme na to.

Takže sme svoju prácu vykonali správne a riešením rovnice je,

Upozorňujeme, že sme tu nepoužili notáciu sady riešení. Pre jednotlivé riešenia to v tejto triede urobíme zriedka. Ak by sme však chceli riešenie, nastavená notácia pre tento problém by bola,

Pred pokračovaním k ďalšiemu problému si najskôr urobíme krátku poznámku o „chaotike“ tejto odpovede. Nečakajte, že všetky odpovede budú pekné celé čísla. Aj keď sa snažíme, aby väčšina odpovedí bola jednoduchá, často to tak nebude. NECHAJTE SA tak zamknúť myšlienkou, že odpoveď musí byť jednoduché celé číslo, z ktorého okamžite predpokladáte, že ste urobili chybu kvôli „chaosu“ odpoveď.

Dobre, s týmto nebudeme podrobne vysvetľovať problém.

V tomto prípade máme zlomky, aby sme nám uľahčili život, obe strany vynásobíme pomocou LCD, čo je v tomto prípade 21. Potom bude problém veľmi podobný predchádzajúcemu problému. Upozorňujeme, že menovateľmi sú iba čísla, a preto sa nebudeme musieť starať o delenie nulovými číslami.

Poďme najskôr obe strany vynásobiť pomocou LCD.

[začať21 vľavo (< frac <> <3> + 1> vpravo) & = doľava (> <7>> doprava) 21 21 doľava (< frac <> <3>> pravý) + 21 ľavý (1 pravý) & = ľavý (> <7>> pravý) 21 7 ľavý ( right) + 21 & = left (<2m> right) left (3 right) end]

Dajte pozor, aby ste správne rozložili 21 cez zátvorku na ľavej strane. Pred zjednodušením je potrebné všetko v zátvorke vynásobiť číslom 21. V tomto okamihu máme problém, ktorý je podobný predchádzajúcemu problému, a nebudeme sa tentokrát trápiť so všetkým vysvetlením.

[začať7 vľavo ( right) + 21 & = left (<2m> right) left (3 right) 7m - 14 + 21 & = 6m 7m + 7 & = 6m m & = - 7 end]

Zdá sa teda, že riešením je (m = - 7 ). Pre istotu to overíme.

[začať frac << - 7 - 2 >> <3> + 1 & mathop = limits ^? frac << 2 vľavo (<- 7> vpravo) >> <7> frac << - 9 >> <3> + 1 & mathop = limits ^? - frac <<14>> <7> - 3 + 1 & mathop = limits ^? - 2 - 2 & = - 2 hspace <0,5in> < mbox> koniec]

Tento je podobný predchádzajúcemu, ibaže teraz máme premenné v menovateli. Aby sme získali LCD, najskôr budeme musieť úplne zohľadniť menovatele každého racionálneho výrazu.

Zdá sa teda, že displej LCD je (2 < vľavo ( vpravo) ^ 2> ). Upozorňujeme tiež, že sa budeme musieť vyhnúť (y = 3 ), pretože ak by sme to zapojili do rovnice, dostali by sme delenie nulou.

Teraz mimo (y ) v menovateli tento problém funguje rovnako ako ten predchádzajúci, takže poďme urobiť prácu.

Riešenie teraz nie je (y = 3 ), takže s riešením nedostaneme delenie nulou, čo je dobrá vec. Nakoniec urobíme rýchle overenie.

V takom prípade to vyzerá, že LCD je ( vľavo ( pravá ľavá( right) ) a tiež to vyzerá, že sa budeme musieť vyhnúť (z = - 3 ) a (z = 10 ), aby sme sa uistili, že dostaneme delenie nulou.

Začnime prácou na tomto probléme.

[začať doľava ( pravá ľavá( vpravo) vľavo (< frac <<2z>> <>> right) & = left (< frac <3> <> + 2> vpravo) vľavo ( pravá ľavá( right) 2z left ( vpravo) & = 3 vľavo ( vpravo) + 2 vľavo ( pravá ľavá( vpravo) 2 - 20z & = 3z + 9 + 2 vľavo (<- 7z - 30> vpravo) koniec]

V tomto okamihu sa pozastavme a uznajme, že máme z 2 v práci tu. Nerozčuľujte sa tým. Niekedy sa tieto problémy dočasne prejavia. Mali by ste sa o ňu obávať, iba ak tam bude aj po dokončení práce na zjednodušení.

Poďme teda dokončiť problém.

Všimnite si, že z 2 v skutočnosti zrušiť. Teraz, ak by sme svoju prácu vykonali správne (z = frac <<17>> <3> ), malo by to byť riešenie, pretože nejde o jednu z dvoch hodnôt, ktorá poskytne delenie nulou. Poďme to overiť.

Kontrola môže byť niekedy trochu chaotická, ale znamená to, že Vieme, že riešenie je správne.

Dobre, v posledných niekoľkých častiach predchádzajúceho príkladu sme pokračovali v sledovaní rozdelenia nulovými problémami, a napriek tomu sme nikdy nedostali riešenie, keď to bol problém. Teraz by sme teda mali urobiť pár z týchto problémov, aby sme zistili, ako fungujú.

Prvým krokom je faktoring menovateľov, aby sa získal LCD.

LCD je teda ( vľavo ( pravá ľavá( right) ) a budeme sa musieť vyhnúť (x = - 2 ) a (x = - 3 ), aby sme nedostali delenie nulou.

Tu je práca pre tento problém.

[začať doľava ( pravá ľavá( vpravo) vľavo (< frac <2> <>> right) & = left (< frac << - x >> << left ( pravá ľavá( right) >>> right) left ( pravá ľavá( vpravo) 2 vľavo ( right) & = - x 2x + 6 & = - x 3x & = - 6 x & = - 2 end]

Takže dostaneme „riešenie“, ktoré je v zozname čísel, ktorým sa musíme vyhnúť, aby sme nedostali delenie nulou a aby sme ho nemohli použiť ako riešenie. Je to však tiež jediné možné riešenie. To je v poriadku. To len znamená, že táto rovnica má žiadne riešenie.

Displej LCD pre túto rovnicu je (x + 1 ) a budeme sa musieť vyhnúť (x = - 1 ), aby sme nedostali delenie nulou. Tu je práca pre túto rovnicu.

[začať doľava (< frac <2> <>> vpravo) vľavo ( right) & = left (<4 - frac <<2x>> <>> vpravo) vľavo ( right) 2 & = 4 left ( right) - 2x 2 & = 4x + 4 - 2x 2 & = 2x + 4 - 2 & = 2x - 1 & = x end]

Takže opäť prídeme k jedinej hodnote (x ), ktorej sme sa museli vyhnúť, aby sme nedostali delenie nulou. Preto táto rovnica má žiadne riešenie.

Ako sme teda videli, musíme byť opatrní pri vydávaní nulových čísel, keď začneme rovnicami obsahujúcimi racionálne výrazy.

V tomto bode by sme pravdepodobne tiež mali uznať, že za predpokladu, že nebudeme mať žiadne delenie nulovými číslami (ako sú napríklad tie v poslednej sade príkladov), lineárne rovnice budú mať práve jedno riešenie. Nikdy nezískame viac ako jedno riešenie a jediným riešením, ktoré nezískame, je to, že pri „riešení“ narazíme na problém nulového rozdelenia.

Pred opustením tejto časti by sme si mali uvedomiť, že mnohé z techník riešenia lineárnych rovníc sa objavia znova a znova, keď pokryjeme rôzne druhy rovníc, takže je veľmi dôležité, aby ste tomuto procesu porozumeli.


2.4: Riešenie lineárnych rovníc - časť II

Prvý špeciálny prípad diferenciálnych rovníc prvého poriadku, na ktorý sa pozrieme, je lineárna diferenciálna rovnica prvého poriadku. V tomto prípade, na rozdiel od väčšiny prípadov prvého rádu, ktorým sa budeme venovať, môžeme v skutočnosti odvodiť vzorec pre všeobecné riešenie. Všeobecné riešenie je odvodené nižšie. Navrhujeme však, aby ste si nezapamätali samotný vzorec. Namiesto zapamätania vzorca by ste si mali zapamätať a pochopiť proces, ktorý použijem na odvodenie vzorca. Väčšina problémov sa v skutočnosti dá ľahšie vyriešiť, ak použijete postup namiesto použitia vzorca.

Pozrime sa teda, ako vyriešiť lineárnu diferenciálnu rovnicu prvého poriadku. Pamätajte, že keď prechádzame týmto procesom, cieľom je dospieť k riešeniu, ktoré je v tvare (y = y ľavý (t pravý) ). Keď prechádzame týmto procesom prvýkrát, je niekedy ľahké stratiť z dohľadu cieľ.

Aby sme mohli vyriešiť lineárnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu, MUSÍTE začať s diferenciálnou rovnicou vo forme zobrazenej nižšie. Ak diferenciálna rovnica nie je v tejto podobe, nebude fungovať proces, ktorý použijeme.

Kde (p (t) ) aj (g (t) ) sú spojité funkcie. Pripomeňme si, že rýchla a špinavá definícia spojitej funkcie je, že funkcia bude spojitá za predpokladu, že môžete nakresliť graf zľava doprava bez toho, aby ste niekedy vybrali ceruzku / pero. Inými slovami, funkcia je spojitá, ak v nej nie sú žiadne otvory alebo zlomy.

Teraz budeme predpokladať, že niekde na svete existuje nejaká magická funkcia, ( mu left (t right) ), nazývaná integračný faktor. V tomto okamihu si nerobte starosti s tým, čo je táto funkcia alebo odkiaľ pochádza. Zistíme, čo je ( mu left (t right) ), akonáhle budeme mať v ruke vzorec pre všeobecné riešenie.

Takže teraz, keď sme predpokladali, že existencia ( mu doľava (t doprava) ) vynásobí všetko v ( eqref) od ( mu doľava (t doprava) ). Toto dá.

[začať mu doľava (t doprava) frac <><

> + mu doľava (t doprava) p doľava (t doprava) y = mu doľava (t doprava) g doľava (t doprava) štítok koniec]

Teraz tu prichádza na rad kúzlo ( mu left (t right) ). Budeme predpokladať, že čokoľvek ( mu left (t right) ) je, uspokojí nasledujúce.

[začať mu left (t right) p left (t right) = mu ' left (t right) label koniec]

Znova si nerobte starosti s tým, ako nájdeme ( mu doľava (t doprava) ), ktoré uspokoja ( eqref). Ako uvidíme, za predpokladu, že (p (t) ) je spojité, môžeme ho nájsť. Takže dosadenie ( eqref) Teraz prichádzame k.

[začať mu doľava (t doprava) frac <><

> + mu ' doľava (t doprava) y = mu doľava (t doprava) g doľava (t doprava) štítok koniec]

V tomto okamihu musíme uznať, že ľavá strana ( eqref) nie je nič iné ako nasledujúce pravidlo produktu.

Takže môžeme nahradiť ľavú stranu ( eqref) s týmto pravidlom produktu. Keď to urobíte ( eqref) sa stáva

Teraz si pripomeňme, že ideme za (y (t) ). Teraz s tým môžeme niečo urobiť. Všetko, čo musíme urobiť, je integrovať obe strany, potom použiť malú algebru a budeme mať riešenie. Takže integrujte obe strany ( eqref) získať.

Všimnite si konštantu integrácie (c ) z ľavej strany, kde je zahrnutá integrácia. Je životne dôležité, aby to bolo zahrnuté. Ak je vynechané, dostanete zakaždým nesprávnu odpoveď.

Posledným krokom je potom nejaká algebra, ktorá sa má vyriešiť ako riešenie, (y (t) ).

Teraz z notačného hľadiska vieme, že konštanta integrácie (c ) je neznáma konštanta, a aby sme si uľahčili život, absorbujeme pred ňu znamienko mínus do konštanty a namiesto nej použijeme plus. To NEMÁ vplyv na konečnú odpoveď na riešenie. Takže s touto zmenou máme.

Zmena znaku na konštante opäť nebude mať vplyv na našu odpoveď. Ak sa rozhodnete zachovať znamienko mínus, získate rovnakú hodnotu (c ) ako my, ibaže bude mať opačné znamienko. Po pripojení (c ) dostaneme úplne rovnakú odpoveď.

V tejto časti sa hrá veľa rýchlo a voľne s konštantami integrácie, takže si budete musieť zvyknúť. Keď to urobíme, vždy sa pokúsime objasniť, čo sa deje, a pokúsime sa ospravedlniť, prečo sme urobili to, čo sme urobili.

Takže teraz, keď máme všeobecné riešenie ( eqref) musíme sa vrátiť späť a určiť, čo je táto magická funkcia ( mu left (t right) ). Toto je v skutočnosti ľahší proces, ako by ste si mysleli. Začneme s ( eqref).

[ mu left (t right) p left (t right) = mu ' left (t right) ]

Vydeľte obe strany znakom ( mu doľava (t doprava) ),

Dúfajme, že teraz poznáte ľavú stranu tejto triedy zo svojej triedy Calculus I ako nič iné ako nasledujúci derivát.

Rovnako ako v prípade procesu, predovšetkým musíme integrovať obe strany, aby sme dosiahli.

Všimnete si, že konštanta integrácie z ľavej strany, (k ), bola presunutá na pravú stranu a mala do nej opäť znamienko mínus, ako sme to robili predtým. Všimnite si tiež, že tu používame (k ), pretože sme už použili (c ) a za chvíľu budeme mať obe rovnaké rovnice. Aby sme sa vyhli nedorozumeniam, použili sme rôzne písmená na vyjadrenie skutočnosti, že budú mať pravdepodobne rôzne hodnoty.

Exponentujte obe strany, aby ste dostali ( mu doľava (t doprava) ) z prirodzeného logaritmu.

Teraz je čas opäť hrať rýchlo a voľne s konštantami. Je nepohodlné mať v exponente znak (k ), takže ho z exponenta dostaneme nasledujúcim spôsobom.

Teraz využime skutočnosť, že (k ) je neznáma konštanta. Ak (k ) je neznáma konštanta, potom aj (<< bf> ^ k> ), takže by sme to mohli jednoducho premenovať (k ) a uľahčiť si život. Získate tým nasledujúce informácie.

Teraz teda máme vzorec pre všeobecné riešenie, ( eqref) a vzorec pre integračný faktor ( eqref). Máme však problém. Máme dve neznáme konštanty a čím viac neznámych konštánt máme, tým viac problémov s nimi budeme mať neskôr. Preto by bolo pekné, keby sme našli spôsob, ako jednu z nich vylúčiť (nebudeme schopní vylúčiť obe ...).

To je v skutočnosti celkom ľahké. Najskôr nahraďte ( eqref) do ( eqref) a usporiadajte konštanty.

Takže ( eqref) sa dá napísať tak, že jediné miesto, kde sa dve neznáme konštanty objavia, je ich pomer. Potom pretože (c ) aj (k ) sú neznáme konštanty, tak aj pomer týchto dvoch konštánt. Preto jednoducho zavoláme pomer (c ) a potom vypadneme z (k ) z ( eqref) pretože sa to nakoniec absorbuje do (c ).

Riešením lineárnej diferenciálnej rovnice prvého poriadku je potom

Teraz je realita taká, že ( eqref) nie je také užitočné, ako sa môže zdať. Často je jednoduchšie len prejsť procesom, ktorý nás dostal k ( eqref) namiesto použitia vzorca. Tento vzorec nebudeme používať v žiadnom z našich príkladov. Budeme musieť použiť ( eqref) pravidelne, pretože tento vzorec je ľahšie použiteľný ako postup na jeho odvodenie.

Proces riešenia

Proces riešenia lineárnej diferenciálnej rovnice prvého poriadku je nasledovný.

    Dajte diferenciálnu rovnicu do správneho počiatočného tvaru, ( eqref).

Poďme si uviesť pár príkladov. Začnime riešením diferenciálnej rovnice, ktorú sme odvodili späť v časti Smerové pole.

Najprv musíme získať diferenciálnu rovnicu v správnom tvare.

Z toho vidíme, že (p (t) = 0,196 ), a teda ( mu left (t right) ) je potom.

Všimnite si, že oficiálne by mala existovať konštanta integrácie v exponente z integrácie. Môžeme to však vypustiť z úplne rovnakého dôvodu, že sme vypustili (k ) z ( eqref).

Teraz vynásobte všetky výrazy v diferenciálnej rovnici integračným faktorom a urobte nejaké zjednodušenie.

Integrujte obe strany a nezabudnite na konštanty integrácie, ktoré vzniknú z oboch integrálov.

Dobre. Je čas sa znova hrať s konštantami. Môžeme odčítať (k ) z oboch strán, aby sme dostali.

(C ) aj (k ) sú neznáme konštanty, takže rozdiel je tiež neznáma konštanta. Rozdiel teda napíšeme ako (c ). Takže teraz máme

Od tohto okamihu zložíme iba jednu konštantu integrácie, keď integrujeme obe strany s vedomím, že keby sme pre každý integrál napísali jednu, ako by sme mali, obe by sa nakoniec pohltili jeden do druhého.

Posledným krokom v procese riešenia je potom rozdelenie oboch strán znakom (<< bf> ^ <0,196t >> ) alebo na násobenie oboch strán znakom (<< bf> ^ <- 0,196 t >> ). Buď bude fungovať, ale zvyčajne uprednostňujeme multiplikačnú cestu. Týmto sa získa všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.

Z riešenia tohto príkladu teraz vidíme, prečo je v tomto procese konštanta integrácie taká dôležitá. Bez toho by sme v tomto prípade dostali jediné konštantné riešenie (v (t) = 50 ). S konštantou integrácie dostaneme nekonečne veľa riešení, jedno pre každú hodnotu (c ).

Späť v časti smerového poľa, kde sme najskôr odvodili diferenciálnu rovnicu použitú v poslednom príklade, sme použili smerové pole, aby sme nám pomohli načrtnúť niektoré riešenia. Pozrime sa, či ich máme správne. Ak chcete načrtnúť niektoré riešenia, všetko, čo musíme urobiť, je zvoliť rôzne hodnoty (c ), aby sme získali riešenie. Niektoré z nich sú zobrazené v grafe nižšie.

Zdá sa teda, že sa nám celkom dobre darilo skicovať grafy späť v sekcii smerových polí.

Teraz si pripomeňme z časti Definície, že počiatočné podmienky nám umožnia vynulovať konkrétne riešenie. Riešenia diferenciálnych rovníc prvého poriadku (nielen lineárne, ako uvidíme) budú mať v sebe jednu neznámu konštantu, a preto budeme potrebovať presne jednu počiatočnú podmienku, aby sme našli hodnotu tejto konštanty, a teda našli riešenie, po ktorom sme išli. Počiatočnou podmienkou pre diferenciálne rovnice prvého poriadku bude tvar

Pripomeňme tiež, že diferenciálna rovnica spolu s dostatočným počtom počiatočných podmienok sa nazýva problém počiatočnej hodnoty (IVP).

Aby sme našli riešenie IVP, musíme najskôr nájsť všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice a potom použiť počiatočnú podmienku na identifikáciu presného riešenia, po ktorom ideme. Pretože toto je rovnaká diferenciálna rovnica, na akú sme sa pozreli v príklade 1, už máme jeho všeobecné riešenie.

Teraz, aby sme našli riešenie, po ktorom ideme, musíme identifikovať hodnotu (c ), ktorá nám dá riešenie, po ktorom ideme. Aby sme to dosiahli, jednoducho zapojíme počiatočnú podmienku, ktorá nám dá rovnicu, ktorú môžeme vyriešiť za (c ). Poďme na to

[48 = v vľavo (0 vpravo) = 50 + c hspace <0,25in> Rightarrow hspace <0,25in> c = - 2 ]

Skutočné riešenie IVP teda je.

Graf tohto riešenia je možné vidieť na obrázku vyššie.

Urobme niekoľko príkladov, ktoré sú trochu viac zapojené.

Prepíšte diferenciálnu rovnicu, aby ste dostali koeficient derivácie a.

Teraz nájdite integračný faktor.

Môžete urobiť integrál? Ak neprepíšete dotyčnicu späť na sínusy a kosínusy a potom použijete jednoduchú zámenu. Všimnite si, že by sme mohli pustiť pruhy absolútnej hodnoty na sekánte kvôli limitom na (x ). Toto je v skutočnosti dôvod pre limity na (x ). Upozorňujeme tiež, že existujú dve formy odpovede na tento integrál. Sú ekvivalentné, ako je uvedené nižšie. To, ktoré použijete, je skutočne vecou preferencie.

Upozorňujeme tiež, že sme využili nasledujúcu skutočnosť.

Je to dôležitá skutočnosť, ktorú by ste si mali pri týchto problémoch vždy pamätať. Budeme chcieť vo všetkých prípadoch čo najviac zjednodušiť integračný faktor a táto skutočnosť pomôže pri tomto zjednodušení.

Teraz späť k príkladu. Vynásobte integračný faktor diferenciálnou rovnicou a overte, že ľavá strana je produktovým pravidlom. Upozorňujeme tiež, že integračný faktor vynásobíme prepísanou diferenciálnou rovnicou a NIE pôvodnou diferenciálnou rovnicou. Uistite sa, že to robíte. Ak vynásobíte integračný faktor pôvodnou diferenciálnou rovnicou, dostanete nesprávne riešenie!

[začať sec left (x right) y '+ sec left (x right) tan left (x right) y & = 2 sec left (x right) < cos ^ 2> vľavo (x vpravo) sin vľavo (x vpravo) - < sec ^ 2> vľavo (x vpravo) < vľavo (< sec vľavo (x vpravo) y> vpravo) ^ prime> & = 2 cos left (x right) sin left (x right) - < sec ^ 2> left (x right) end]

Všimnite si použitie vzorca trigon ( sin left (<2 theta> right) = 2 sin theta cos theta ), ktorý uľahčil integrál. Ďalej vyriešte riešenie.

Nakoniec použite počiatočnú podmienku na nájdenie hodnoty (c ).

[y doľava (x doprava) = - frac <1> <2> cos doľava (x doprava) cos doľava (<2x> doprava) - sin doľava (x doprava) + 7 cos doľava (x doprava) ]

Ďalej je uvedený graf riešenia.

[t , y '+ 2y = - t + 1 hspace <0,25in> y doľava (1 doprava) = frac <1> <2> ]

Najskôr rozdeľte pomocou t, aby ste dostali diferenciálnu rovnicu do správneho tvaru.

Teraz si dajme integračný faktor ( mu doľava (t doprava) ).

Teraz musíme zjednodušiť ( mu left (t right) ). Nemôžeme však použiť ( eqref) keďže to vyžaduje koeficient jeden pred logaritmom. Takže si to pripomeň

a prepísať integračný faktor do formy, ktorá nám umožní jeho zjednodušenie.

Tu sme boli schopní pustiť pruhy absolútnej hodnoty, pretože sme zarovnali (t ) na druhú, ale často ich nemožno pustiť, takže s nimi buďte opatrní a nehádžte ich, pokiaľ neviete, že môžete. Často musia zostať stĺpce absolútnej hodnoty.

Teraz vynásobte prepísanú diferenciálnu rovnicu (nezabudnite, že tu nemôžeme použiť pôvodnú diferenciálnu rovnicu ...) integračným faktorom.

Integrujte obe strany a riešte riešenie.

Nakoniec použite počiatočnú podmienku na získanie hodnoty (c ).

[ frac <1> <2> = y ľavý (1 pravý) = frac <1> <4> - frac <1> <3> + frac <1> <2> + c hspace <0,25in> Rightarrow hspace <0,25in> , , , c = frac <1> <<12>> ]

Tu je náčrt riešenia.

Najskôr vydeľte (t ), aby ste dostali diferenciálnu rovnicu v správnom tvare.

Teraz, keď sme to urobili, môžeme nájsť integračný faktor ( mu left (t right) ).

Nezabudnite, že „-“ je súčasťou (p (t) ). Zabudnutie na toto znamienko mínus môže mať za následok problém, ktorý sa dá urobiť veľmi ľahko, a zmeniť ho na veľmi ťažký, ak nie nemožný problém, takže buďte opatrní!

Teraz to musíme len zjednodušiť, ako sme to urobili v predchádzajúcom príklade.

Opäť môžeme pustiť pruhy absolútnej hodnoty, pretože tento výraz zarovnáme na druhú.

Teraz vynásobte diferenciálnu rovnicu integračným faktorom (znova sa uistite, že je to prepísaná a nie pôvodná diferenciálna rovnica).

Integrujte obe strany a riešte riešenie.

[začať> y doľava (t doprava) & = int << sin left (<2t> right) , dt >> + int << - 1 + 4t , dt >> > y doľava (t doprava) & = - frac <1> <2> cos left (<2t> right) + frac <1> <2> t sin left (<2t> right) + frac <1> <4> cos left (<2t> vpravo) - t + 2 + c y doľava (t doprava) & = - frac <1> <2> cos left (<2t> right) + frac <1> <2> sin doľava (<2t> doprava) + frac <1> <4> cos left (<2t> right) - + 2 + ckoniec]

Použite počiatočnú podmienku na nájdenie hodnoty (c ).

Ďalej je uvedený graf riešenia.

Poďme si predstaviť posledný príklad, ktorý sa zameriava skôr na interpretáciu riešenia ako na hľadanie riešenia.

Najskôr vydeľte 2, aby ste dostali diferenciálnu rovnicu v správnom tvare.

[y '- frac <1> <2> y = 2 sin vľavo (<3t> vpravo) ]

Vynásobte ( mu doľava (t doprava) ) diferenciálnou rovnicou a ľavú stranu prepíšte ako pravidlo produktu.

Integrujte obe strany (pravá strana vyžaduje integráciu po častiach - môžete to urobiť dobre?) A riešte riešenie.

Použite počiatočnú podmienku na nájdenie hodnoty (c ) a všimnite si, že bude obsahovať (y_ <0> ), pretože pre ňu nemáme hodnotu.

Teraz, keď máme riešenie, pozrime sa na dlhodobé správanie (t.j. (t to infty )) riešenia. Prvé dva pojmy riešenia zostanú konečné pre všetky hodnoty (t ). Je to posledný termín, ktorý určí správanie riešenia. Exponenciál vždy pôjde do nekonečna ako (t do infty ), avšak v závislosti od znamienka koeficientu (c ) (áno, už sme ho našli, ale pre uľahčenie tejto diskusie budeme pokračovať nazvať to (c )). Nasledujúca tabuľka poskytuje dlhodobé správanie riešenia pre všetky hodnoty (c ).

Rozsah (c ) Správanie riešenia ako (t do infty )
(c ) & lt 0 (y doľava (t doprava) do - infty )
(c ) = 0 (y ľavé (t pravé) ) zostáva konečné
(c ) a viac ako 0 (y doľava (t doprava) do infty )

Toto správanie je viditeľné aj v nasledujúcom grafe niekoľkých riešení.

Teraz, pretože vieme, ako (c ) súvisí s (y_ <0> ), môžeme vzťahovať správanie riešenia k (y_ <0> ). V nasledujúcej tabuľke je uvedené správanie riešenia v zmysle (y_ <0> ) namiesto (c ).

Všimnite si, že pre ( = - frac <<24>> <<37>> ) riešenie zostane konečné. To sa nestane vždy.

Skúmanie dlhodobého správania riešení je niekedy dôležitejšie ako samotné riešenie. Predpokladajme, že vyššie uvedené riešenie poskytlo teplotu v tyčinke z kovu. V takom prípade by sme chceli riešenie, ktoré zostane z dlhodobého hľadiska konečné. Pri tomto vyšetrovaní by sme teraz mali hodnotu počiatočnej podmienky, ktorá nám poskytne toto riešenie, a čo je dôležitejšie, hodnoty počiatočnej podmienky, ktorým by sme sa museli vyhnúť, aby sme latku neroztopili.


1.2.2. Smerové polia

* Viď súbor javora „Smerové polia“

Pri riešení ODR existuje veľa metód ich vykreslenia. V tejto časti sa dozvieme, ako používať tri príkazy vykreslenia v balíku DEtools na vykreslenie riešení pre ODE. Príkaz dfieldplot vytiahne smerové / svahové pole danej funkcie. Všeobecná syntax príkazu je nasledovná:

& gt s (DEtools):
& gt dfieldplot (diferenciálna rovnica, nezávislá premenná, rozsah x, rozsah y)

Ak chcete vyjadriť diferenciálnu rovnicu, napríklad funkciu y vo vzťahu k x, musíte zadať „diff (y (x), x).“ V niektorých výukových programoch to možno vyjadriť ako „D (y) (x),“ ale pre zjednodušenie použijeme prvý výraz.
Vyskúšajte nasledovné:

Vstup by mal generovať vyššie uvedené smerové pole. Bohužiaľ musíte diferenciálne rovnice vykresliť explicitne pomocou dfieldplot. Preto je najlepšie danú diferenciálnu rovnicu vyriešiť tak, že ju vyslovíte výslovne, ak je daná implicitne.


Riešenie lineárnych rovníc obsahujúcich zlomky

Riešenie lineárnych rovníc, ktoré majú premenné na oboch stranách

Riešenie lineárnych rovníc, ktoré obsahujú zátvorky

Všeobecný postup riešenia lineárnej rovnice: str. 152

1. Ak sú prítomné zlomky, vynásobte obidve strany rovnice pomocou LCD všetkých zlomkov.
2. Zjednodušte každú stranu rovnice.
3. Pomocou sčítania a odčítania získate všetky výrazy s premennou na jednej strane a všetky konštantné výrazy
na druhej strane rovnice. Potom zjednodušte každú stranu rovnice.
4. Vydeľte obe strany rovnice koeficientom premennej.
5. Skontrolujte svoje riešenie v pôvodnej rovnici.

Tieto problémy majú presne jedno riešenie.

Tieto problémy nemajú riešenie

Tieto problémy majú ako riešenie každú hodnotu premennej. Volajú sa an identita.

Preskúmanie: Keď vyriešite lineárnu rovnicu, ak je zjednodušená rovnica:

Falošné tvrdenie, napríklad 8 = 1, nemá rovnica žiadne riešenie.
Pravdivé tvrdenie, napríklad 12 = 12, je rovnica totožnosti.
Akákoľvek hodnota premennej je riešením.
Pravdivé tvrdenie, napríklad x = 4, má iba jedno riešenie.


Tento doplnkový zdroj OCW poskytuje materiál mimo oficiálnych učebných osnov MIT.

MIT OpenCourseWare je bezplatná a otvorená publikácia materiálu z tisícov kurzov MIT, ktorá zahŕňa celé osnovy MIT.

Žiadna registrácia ani registrácia. Voľne prechádzajte a používajte materiály OCW svojim vlastným tempom. Neexistuje žiadna registrácia a dátum začatia ani ukončenia.

Vedomosti sú vašou odmenou. Použite OCW na vedenie svojho celoživotného vzdelávania alebo na výučbu ostatných. Za používanie OCW neponúkame kredit ani certifikáciu.

Vyrobené na zdieľanie. Stiahnite si súbory na neskôr. Poslať priateľom a kolegom. Upravte, remixujte a znova použite (nezabudnite uviesť ako zdroj OCW.)


Elementárne diferenciálne rovnice

Kancelária: ACD 114A
Telefón: (860) 405-9294
Úradné hodiny: na požiadanie
Pravidlá otvorených dverí: Môžete sa kedykoľvek obrátiť na akýkoľvek aspekt kurzu, kedykoľvek, v dňoch, keď som v kampuse - utorok, štvrtok a piatok.

MATH 2410 pokrýva materiál z kapitol učebnice. Témy zahŕňajú rovnice prvého a druhého rádu, systémy, Laplaceove transformácie.


Čas / miesto stretnutia triedy: utorok, štvrtok 14:00 - 15:15 Učebňa ACD 206.

Z dôvodu prepuknutia vírusu Corona sa všetky hodiny po jarných prázdninách uskutočnia online v obvyklom čase hodín, Ut 14:00 - 15:15.

Učebnicou pre tento kurz je „Prvý kurz v diferenciálnych rovniciach s modelovacími aplikáciami“, autor: Dennis G. Zill, 11. vydanie.

Domáce úlohy z matematiky 2410 sú pridelené na konci každej triedy a zhromažďujú sa každý štvrtok. Celková váha domácich úloh je 150 bodov z celkových 500 bodov za kurz.

Časový plán skúšky: 1. skúška: štvrtok 21. februára & nbsp 14:00 - 15:15, miestnosť: ACD 206
Skúška 2: Štvrtok 28. marca & nbsp 14:00 - 15:15, Miestnosť: ACD 206
Záverečná skúška: utorok 1. mája od 13:00 do 15:00, miestnosť: ACD 206

Pravidlá známkovania: Domáce úlohy: 150, skúška 1: 100, skúška 2: 100, záverečná skúška: 150.



Dátum Kapitola Téma Domáca úloha
1. týždeň Ut. 1/21 1.1 Definície a terminológia Ch. 1.1

Št. 1/23 1.2
1.3
Problémy s počiatočnou hodnotou
Diferenciálne rovnice ako matematické modely
Ch. 1.2
Ch. 1.3





2. týždeň Ut. 1/28 2.1 Krivky riešenia bez riešenia (smerové polia / autonómne). Ch. 2.1

Št. 1/30 2.2 Fázové portréty. Oddeliteľné rovnice Ch. 2.2





3. týždeň Ut. 2/4 2.3 Lineárne rovnice Ch. 2.3

Št. 2/6 2.4 Presné rovnice. Ch. 2.4





4. týždeň Ut. 2/11 2.5 Riešenia substitúciami. Ch. 2.5

Št. 2/13 2.6 Eulerova metóda. Ch. 2.6





5. týždeň Ut. 2/18
Preskúmanie.
Praktická skúška 1
Praktická skúška 1. Riešenia


Št. 2/20
Skúška 1





6. týždeň Ut. 2/25 3.1 Lineárne modely. Ch. 3.1

Št. 2/27 3.2, 3.3 Lineárne modely. Modelovanie pomocou systémov rovníc 1. rádu. Ch. 3,2, 3,3





7. týždeň Ut. 3/3 8.1 Lineárne modely. Ch. 8.1

Št. 3/5 8.2 Homogénne lineárne systémy. Ch. 8.2





8. týždeň Ut. 3/10 8.2 Homogénne lineárne systémy. Opakované vlastné čísla. Ch. 8.2

Št. 3/12 8.2 Homogénne lineárne systémy. Komplexné vlastné čísla. Ch. 8.2





9. týždeň Ut. 3/17
Jarné vybranie

Št. 19/19
Jarné vybranie





10. týždeň Ut. 3/24 8.3 Nehomogénne lineárne systémy. Ch. 8.3

Št. 3/26 8.3 Nehomogénne lineárne systémy. 8.3





11. týždeň Ut. 3/31
Preskúmanie.
Praktická skúška 2
Praktická skúška 2. Riešenia

Št. 4/2
Skúška 2





12. týždeň Ut. 4/7 4.1 Recenzia na skúšku. Lineárne rovnice, 1. časť.

Št. 4/9 4.1 Lineárne rovnice. časť 2. Ch. 4.1





13. týždeň Ut. 14/14 4.2, 4.3 Redukčná objednávka. Homogénne lineárne rovnice s konštantnými koeficientmi. Ch. 4.1

Št. 16/16 4.4 Neurčené koeficienty. Superpozičný prístup. Ch. 4.1





14. týždeň Ut. 21/21 7.1 Laplaceova transformácia Ch. 4.3

Št. 4/23 7.2 Inverzné transformácie a transformácie derivátov. Ch. 4.4





15. týždeň Ut. 4/28 7.3 Prevádzkové vlastnosti 1. Ch. 7.1
Št. 4/30 7.4 Prevádzkové vlastnosti 2. Ch. 7.2





16. týždeň Ut. 5/5
Záverečná skúška, 13:00 - 15:00
Praktická záverečná skúška
Praktická záverečná skúška. Riešenia

Túto stránku spravuje Dmitriy Leykekhman
Posledná úprava: 28. 4. 2020


Selina Concise Mathematics Class 8 ICSE Solutions Kapitola 14 Lineárne rovnice v jednej premennej

Vydavatelia Selina, Stručná matematika, trieda 8 Riešenia ICSE Kapitola 14 Lineárne rovnice v jednej premennej (s problémami založenými na lineárnych rovniciach)

Lineárne rovnice v jednom variabilnom cvičení Riešenia ICSE 14A & # 8211 Selina Concise Mathematics Class 8

Vyriešte nasledujúce rovnice:
Otázka 1.
20 = 6 + 2x
Riešenie:

Otázka 2.
15 + x = 5x + 3
Riešenie:

Otázka 3.
= -7
Riešenie:

Otázka 4.
3a & # 8211 4 = 2 (4 & # 8211 a)
Riešenie:

Otázka 5.
3 (b & # 8211 4) = 2 (4 & # 8211 b)
Riešenie:

Riešenie:

Riešenie:

Otázka 8.
5 (8x + 3) = 9 (4x + 7)
Riešenie:

Otázka 9.
3 (x + 1) = 12 + 4 (x & # 8211 1)
Riešenie:

Riešenie:

Riešenie:

Riešenie:

Riešenie:

Riešenie:

Riešenie:

Otázka 16.
6 (6x & # 8211 5) & # 8211 5 (7x & # 8211 8) = 12 (4 & # 8211 x) + 1
Riešenie:

Otázka 17.
(x & # 8211 5) (x + 3) = (x & # 8211 7) (x + 4)
Riešenie:

Otázka 18.
(x & # 8211 5) 2 & # 8211 (x + 2) 2 = -2
Riešenie:

Otázka 19.
(x & # 8211 1) (x + 6) & # 8211 (x & # 8211 2) (x & # 8211 3) = 3
Riešenie:

Riešenie:

Riešenie:

Riešenie:

Riešenie:

Otázka 24.
Vyriešiť:
Preto nájdite hodnotu ‘a’, ak + 5x = 8.
Riešenie:

Otázka 25.
Vyriešiť:
Preto nájdite hodnotu & # 8216p & # 8217, ak 2p & # 8211 2x + 1 = 0
Riešenie:

Otázka 26.
Vyriešiť:
Riešenie:

Otázka 27.
Vyriešiť:
Riešenie:

Lineárne rovnice v jednom variabilnom cvičení Riešenie ICSE 14B & # 8211 Selina Concise Mathematics Class 8

Otázka 1.
Pätnásť menej ako 4-krát číslo je 9. Nájdite číslo.
Riešenie:

Otázka 2.
Ak sa Meghin vek zvýši na trojnásobok jej veku, bude výsledok 60 rokov. Nájdite jej vek
Riešenie:

Otázka 3.
28 je 12 menej ako 4-krát číslo. Nájdite číslo.
Riešenie:

Otázka 4.
Päť menej ako 3-krát číslo je -20. Nájdite číslo.
Riešenie:

Otázka 5.
Pätnásť viac ako trojnásobok veku Neetu je rovnaký ako štvornásobok jej veku. Koľko má rokov?
Riešenie:

Otázka 6.
Číslo znížené o 30 je rovnaké ako číslo 14 znížené o 3-násobok čísla Vyhľadajte číslo.
Riešenie:

Otázka 7.
Plat A je rovnaký ako štvornásobok platu B. Ak spolu zarobia 3 750 Rs mesačne, zistite plat každého z nich.
Riešenie:

Otázka 8.
Rozdeľte 178 na dve časti tak, aby prvá časť bola o 8 menej ako dvojnásobok druhej časti.
Riešenie:

Otázka 9.
Šesť, viac ako štvrtina čísla, je dve pätiny. Nájdite číslo.
Riešenie:

Otázka 10.
Dĺžka obdĺžnika je dvojnásobok jeho šírky. Ak je jeho obvod 54 cm, zistite jeho dĺžku.
Riešenie:

Otázka 11.
Dĺžka obdĺžnika je o 5 cm menšia ako dvojnásobok jeho šírky. Ak sa dĺžka zmenší o 5 cm a šírka sa zvýši o 2 cm, bude obvod výsledného obdĺžnika 74 cm. Nájdite dĺžku a šírku pôvodného obdĺžnika.
Riešenie:

Otázka 12.
Súčet troch po sebe idúcich nepárnych čísel je 57. Nájdite čísla.
Riešenie:

Otázka 13.
Vek muža je trikrát vyšší ako jeho syna a za dvanásť rokov bude dvakrát starší ako jeho syn. Aký je ich súčasný vek.
Riešenie:

Otázka 14.
Muž má 42 rokov a jeho syn 12 rokov. O koľko rokov bude vek syna v tom čase o polovicu nižší ako vek muža?
Riešenie:

Otázka 15.
Muž absolvoval cestu 136 km za 8 hodín. Niektorá časť cesty bola prekonaná rýchlosťou 15 km / h a zvyšná rýchlosťou 18 km / h. Nájdite časť cesty prejdenú rýchlosťou 18 km / h.
Riešenie:

Otázka 16.
Rozdiel dvoch čísel je 3 a rozdiel ich štvorcov je 69. Nájdite čísla.
Riešenie:

Otázka 17.
Dve po sebe nasledujúce prirodzené čísla sú také, že štvrtina z menších presahuje jednu pätinu väčších o 1. Nájdite čísla.
Riešenie:

Otázka 18.
Tri za sebou idúce celé čísla sú také, že ak ich vydelíte 5, 3 a 4, súčet kvocientov je 40. Nájdite čísla.
Riešenie:

Otázka 19.
Ak sa k číslam 5, 11, 15 a 31 pridá rovnaké číslo, sú výsledné čísla proporčné. Nájdite číslo.
Riešenie:

Otázka 20.
Súčasný vek muža je dvojnásobok veku jeho syna. Osem rokov teda bude ich vek v pomere 7: 4. Nájdite ich súčasný vek.
Riešenie:

Lineárne rovnice v jednom variabilnom cvičení Riešenia ICSE 14C & # 8211 Selina Concise Mathematics Class 8

Otázka 1.
Vyriešiť:
i)
ii)
(iii) (x + 2) (x + 3) + (x & # 8211 3) (x & # 8211 2) & # 8211 2x (x + 1) = 0
iv)
(v) 13 (x & # 8211 4) & # 8211 3 (x & # 8211 9) & # 8211 5 (x + 4) = 0
(vi) x + 7 a # 8211
vii)
(viii)
(ix)
(X)
(xi)
(xii)
(xiii)
(xiv)
Riešenie:






Otázka 2.
Po 12 rokoch budem mať trikrát viac rokov ako pred 4 rokmi. Nájdi môj súčasný vek.
Riešenie:

Otázka 3.
Muž predal článok za 7396 a získal na ňom 10%. Nájdite nákladovú cenu článku
Riešenie:

Otázka 4.
Súčet dvoch čísel je 4500. Ak je 10% jedného čísla 12,5% druhého, nájdite čísla.
Riešenie:

Otázka 5.
Súčet dvoch čísel je 405 a ich pomer je 8: 7. Nájdite čísla.
Riešenie:

Otázka 6.
Vek A a B sú v pomere 7: 5. Po desiatich rokoch bude teda pomer ich veku 9: 7. Nájdite ich súčasný vek.
Riešenie:

Otázka 7.
Nájdite číslo, ktorého dvojnásobok je o 45 väčší ako jeho polovica.
Riešenie:

Otázka 8.
Rozdiel medzi štvorcami dvoch po sebe nasledujúcich čísel je 31. Nájdite čísla.
Riešenie:

Otázka 9.
Nájdite číslo také, že keď sa 5 odčíta od 5-násobku čísla, výsledok je o 4 viac ako dvojnásobok čísla.
Riešenie:

Otázka 10.
Čitateľ zlomku je o 5 menší ako jeho menovateľ. Ak sa do čitateľa a k menovateľu pridá 3, zlomok sa stane. Nájdite pôvodný zlomok.
Riešenie:


Spĺňa štandardy NCTM:

Popis: [POZNÁMKA: Toto video je iba 12-minútovou časťou celej 3-hodinovej lekcie. Navštívte môj web a kúpte si úplnú verziu] Táto lekcia spočíva v tom, že vám poskytnem Samonávod, ako vyriešiť typické lineárne slovné úlohy (problémy s príbehom alebo použité problémy). Tútor vám ukáže, ako vyriešiť konkrétnu premennú vo vzorcoch. Ďalej hovorí o tom, ako previesť opakujúce sa desatinné miesto na zlomok (ktorý bol vynechaný v základnej matematike: Lekcia 6 - „Zlomky “), a naučí vás, ako prevádzať jednotky merania.

Medzi príklady slovných úloh patria:

Nájdenie čísla na základe určitých kritérií.
Slovné úlohy spojené s určitou geometriou (trojuholník, obdĺžnik, kruh).
Problémy s vekom.
Problémy so zmesou.
Problémy s peniazmi (príbeh môjho života!).
Problémy rýchlosť-čas-vzdialenosť.
Percento rovníc / problémov.
Pomer a proporcia (koncepty a riešenie problémov vrátane podobných trojuholníkov).
Problémy pri riešení jednotkovej ceny.


2.4: Riešenie lineárnych rovníc - časť II

Vitajte v mojich online matematických návodoch a poznámkach. Účelom tejto stránky je poskytnúť kompletnú sadu bezplatných online (a stiahnuteľných) poznámok a / alebo tutoriálov pre triedy, ktoré učím na Lamar University. Snažil som sa písať poznámky / návody tak, aby boli prístupné každému, kto sa chce naučiť tento predmet, bez ohľadu na to, či ste v mojich triedach alebo nie. Inými slovami, nepredpokladajú, že by ste mali nejaké predchádzajúce znalosti okrem štandardnej sady nevyhnutných materiálov potrebných pre danú triedu. Inými slovami sa predpokladá, že Algebru a Trig poznáte skôr, ako si prečítate poznámky z kalkulu I., poznáte kalkul I, skôr ako si prečítate poznámky z kalkulu II, atď. Predpoklady týkajúce sa vášho pozadia, ktoré som vytvoril, sú uvedené pri každom opise nižšie.

Chcel by som poďakovať Shaneovi F, Fredovi J., Mikeovi K. a Davidovi A. za všetky preklepy, ktoré našli a poslali mi! Snažil som sa korektne prečítať tieto stránky a chytiť čo najviac preklepov, ale nie je možné ich chytiť všetky, keď ste tiež osobou, ktorá napísala materiál. Fred, Mike a David zachytili dosť preklepov, ktoré mi chýbali a boli dosť milí, aby som im poslal svoju cestu. Ešte raz ďakujeme Fredovi, Mikeovi a Davidovi!

Ak ste jedným z mojich súčasných študentov a hľadáte úlohy, mám tu súbor odkazov, ktoré vás dostanú na správne stránky, ktoré sú tu uvedené.

V súčasnosti som dostal online poznámky / návody k mojim kurzom Algebra (matematika 1314), kalkul I (matematika 2413), kalkul II (matematika 2414), kalkul III (matematika 3435) a diferenciálne rovnice (matematika 3301). K dispozícii mám tiež niekoľko recenzií / doplnkov. Medzi recenziami / doplnkami, ktoré mám, je recenzia Algebra / Trig pre mojich študentov Calculus, primer Complex Number, sada bežných matematických chýb a niekoľko rád, ako študovať matematiku.

Väčšinu stránok na tomto webe som sprístupnil tiež na stiahnutie. Tieto verzie na stiahnutie sú vo formáte pdf. Každý predmet na tejto stránke je k dispozícii na úplné stiahnutie. V prípade veľmi veľkých dokumentov som ich tiež rozdelil na menšie časti, ktoré väčšinou zodpovedajú jednotlivým témam. Ak chcete získať verziu akejkoľvek témy na stiahnutie, prejdite na túto tému a potom pod Stiahnuť ▼ V ponuke sa zobrazí možnosť stiahnutia témy.

Tu je kompletný zoznam všetkých predmetov, ktoré sú v súčasnosti dostupné na tejto stránke, ako aj ich stručný popis.

Cheat Sheet Algebra - Toto je toľko bežných faktov, vlastností, vzorcov a funkcií algebry, ktoré by ma napadli. Je tu tiež stránka s bežnými chybami algebry. K dispozícii sú dve verzie podvádzacieho listu. Jeden je v plnej veľkosti a má v súčasnosti štyri stránky. Druhá verzia je zmenšená, ktorá obsahuje úplne rovnaké informácie ako plná verzia, ibaže bola zmenšená, takže na jeden list papiera sú vytlačené dve strany prednej a dve strany.

Trigové podvádzacie listy - Tu je súbor bežných trig faktov, vlastností a vzorcov. Zahrnutý je aj jednotkový kruh (úplne vyplnený). K dispozícii sú dve verzie podvádzacieho listu. Jeden je v plnej veľkosti a má v súčasnosti štyri stránky. Druhá verzia je zmenšená, ktorá obsahuje úplne rovnaké informácie ako plná verzia, ibaže bola zmenšená, takže na jeden kúsok papiera sú vytlačené dve strany prednej strany a dve strany zozadu.

Calculator Cheat Sheets - Toto je séria Calculator Cheat Sheets, ktorá pokrýva väčšinu štandardného kurzu Calculus I a niekoľko tém z kurzu Calculus II. Existujú štyri rôzne podvádzacie listy. Jeden obsahuje všetky informácie, jeden má iba informácie o limitoch, jeden má iba informácie o derivátoch a posledný má iba informáciu o integráloch. Každý podvodník sa dodáva v dvoch verziách. Jeden, ktorý má plnú veľkosť, a druhý, ktorý bol zmenšený, s úplne rovnakými informáciami ako verzia v plnej veľkosti, a ktorý vytlačí dve stránky na prednú a / alebo zadnú stranu každej stránky papiera.

Bežné deriváty a integrály - Tu je súbor bežných derivátov a integrálov, ktoré sa trochu pravidelne používajú v triede Calculus I alebo Calculus II. Zahrnuté sú tiež upomienky na niekoľkých integračných technikách. tu sú k dispozícii dve verzie podvádzacieho listu. Jeden je v plnej veľkosti a má v súčasnosti štyri stránky. Druhá verzia je zmenšená, ktorá obsahuje úplne rovnaké informácie ako plná verzia, ibaže bola zmenšená, takže na jeden list papiera sú vytlačené dve strany prednej a dve strany.

Tabuľka Laplaceových transformácií - Tu je zoznam Laplaceových transformácií pre triedu diferenciálnych rovníc. Táto tabuľka poskytuje mnoho bežne používaných Laplaceových transformácií a vzorcov. Momentálne má dve stránky, pričom prvá stránka je Laplaceova transformácia a druhá druhá sú niektoré informácie / fakty o niektorých záznamoch.

Všetky triedy, s výnimkou diferenciálnych rovníc, majú cvičné problémy (s riešeniami), ktoré môžete použiť na precvičovanie, ako aj množinu zadávacích problémov (bez riešení / odpovedí), ktoré majú inštruktori používať, ak chcú.

  • Prípravné zápasy - Vlastnosti exponentov, Racionálni Exponenti, Negatívni Exponenti, Radikály, Polynomy, Factoring, Racionálne výrazy, Komplexné čísla
  • Riešenie rovníc a nerovností - lineárne rovnice, kvadratické rovnice, dokončenie štvorca, kvadratický vzorec, aplikácie lineárnych a kvadratických rovníc, redukovateľné na kvadratickú formu, rovnice s radikálmi, lineárne nerovnice, polynomické a racionálne nerovnice, rovnice absolútnej hodnoty a nerovnice.
  • Graphing and Functions - Graphing Lines, Circles, and Piecewise Functions, Definition Function, Function Notation, Function Composition, Inverse Functions.
  • Bežné grafy - paraboly, elipsy, hyperboly, absolútna hodnota, druhá odmocnina, konštantná funkcia, racionálne funkcie, posuny, odrazy, symetria.
  • Polynomické funkcie - delenie polynómov, nuly / korene polynómov, hľadanie núl polynómov, zobrazovanie polynómov, čiastočné zlomky.
  • Exponenciálne a logaritmické funkcie - Exponenciálne funkcie, logaritmické funkcie, riešenie exponenciálnych funkcií, riešenie logaritmických funkcií, aplikácie.
  • Systémy rovníc - substitučná metóda, eliminačná metóda, Augmented Matrix, nelineárne systémy.

Poznámky / tutoriál o algebre predpokladajú, že ste sa trochu oboznámili so základmi algebry. Predovšetkým sa predpokladá, že exponenty a faktoringové časti pre vás budú skôr kontrolou. Tiež sa predpokladá, že ste už videli základy grafických rovníc. Grafom jednotlivých typov rovníc sa podrobne venujeme v poznámkach, predpokladá sa však, že rozumieš základnému súradnicovému systému a spôsobu vykresľovania bodov.

  • Algebra / Trig Review - Trigové funkcie a rovnice, Exponenciálne funkcie a rovnice, Logaritmické funkcie a rovnice.
  • Limity - koncepty, definícia, výpočty, jednostranné limity, kontinuita, limity týkajúce sa nekonečna, pravidlo L'Hospitals
  • Deriváty - definícia, interpretácie, derivačné vzorce, pravidlo moci, pravidlo produktu, pravidlo kvocientu, pravidlo reťazca, derivácie vyššieho rádu, implicitná diferenciácia, logaritmická diferenciácia, derivácie spúšťacích funkcií, exponenciálne funkcie, logaritmické funkcie, inverzné spúšťacie funkcie a hyperbolické spúšťacie funkcie .
  • Aplikácie derivátov - súvisiace sadzby, kritické body, minimálne a maximálne hodnoty, funkcie zvyšovania / znižovania, inflexné body, konkávnosť, optimalizácia
  • Integrácia - definícia, neurčité integrály, určité integrály, substitučné pravidlo, hodnotenie určitých integrálov, základná veta počtu
  • Aplikácie integrálov - priemerná hodnota funkcie, plocha medzi krivkami, rotačné telieska, práca.

Poznámky / tutoriály kalkulu I predpokladajú, že ste ovládali Algebru a Trig. Tam je nejaký prehľad o niekoľkých témach Algebra a Trig, ale vo väčšine prípadov sa predpokladá, že máte slušné znalosti v Algebre a Trig. Tieto poznámky nepredpokladajú žiadnu predchádzajúcu znalosť kalkulu.

  • Integračné techniky - Integrácia pomocou častí, Integrály zahŕňajúce funkcie spúšťania, Náhrady spúšťania, Integrácia využívajúca čiastkové zlomky, Integrály zahrnujúce korene, Integrály zahrnujúce kvadratiku, Stratégia integrácie, Nesprávne integrály, Porovnávací test pre nesprávne integrály a Približovanie určitých integrálov.
  • Aplikácie integrálov - dĺžka oblúka, povrchová plocha, ťažisko / ťažisko, hydrostatický tlak a sila, pravdepodobnosť.
  • Parametrické rovnice a polárne súradnice - parametrické rovnice a krivky zosilňovača, počet s parametrickými rovnicami (tangenty, oblasti, dĺžka oblúka a plocha), polárne súradnice, počet s polárnymi súradnicami (tangenty, oblasti, dĺžka oblúka a plocha).
  • Sekvencie a série - Sekvencie, série, konvergencia / divergencia sérií, absolútne série, integrálny test, porovnávací test, limitný porovnávací test, test striedavých sérií, pomerový test, koreňový test, odhad hodnoty série, výkonové série, Taylorove série, Dvojčlenná séria
  • Vektory - základy, veľkosť, vektorová jednotka, aritmetika, bodový produkt, krížový produkt, projekcia
  • Trojrozmerný súradnicový systém - rovnice priamok, rovnice rovín, kvadratické povrchy, funkcie viacerých premenných, vektorové funkcie, limity, derivácie a integrály vektorových funkcií, tangenciálne vektory, normálne vektory, binormálne vektory, zakrivenie, valcové súradnice, sférické súradnice

Poznámky / tutoriál k Calculus II predpokladajú, že máte kalkul I s pracovnými znalosťami vrátane limitov, derivácií a integrácie (až po základnú substitúciu). Tiež sa predpokladá, že máte pomerne dobrú znalosť Trig. Niekoľko tém sa do veľkej miery spolieha na trig a znalosť triggových funkcií.

  • Trojrozmerný súradnicový systém - rovnice priamok, rovnice rovín, kvadratické povrchy, funkcie viacerých premenných, vektorové funkcie, limity, derivácie a integrály vektorových funkcií, tangenciálne vektory, normálne vektory, binormálne vektory, zakrivenie, valcové súradnice, sférické súradnice
  • Parciálne deriváty - limity, čiastočné deriváty, čiastočné deriváty vyššieho rádu, diferenciály, pravidlo reťaze, smerové derivácie, gradient.
  • Aplikácie parciálnych derivácií - tangenciálna rovina, normálna čiara, relatívna extréma, absolútna extréma, optimalizácia, Lagrangeove multiplikátory.
  • Viaceré integrály - iterované integrály, dvojité integrály, dvojité integrály v polárnych súradniciach, trojité integrály, trojité integrály vo valcových súradniciach, trojité integrály v sférických súradniciach, zmena premenných, povrchová plocha.
  • Lineárne integrály - vektorové polia, linkové integrály s ohľadom na dĺžku oblúka, linkové integrály s ohľadom na X a r, Line Integrals of Vector Fields, Fundamental Theorem of Line Integrals, Conservative Vector Fields, Potential Functions, Green's Theorem, Curl, Divergence.
  • Povrchové integrály - parametrické povrchy, povrchové integrály, povrchové integrály vektorových polí, Stokesova veta, veta o divergencii.

Poznámky / príručka k programu Calculus III predpokladajú, že máte pracovné znalosti programu Calculus I, vrátane limitov, derivácií a integrácie. Tiež predpokladá, že čitateľ má dobré vedomosti o niekoľkých témach programu Calculus II vrátane niektorých integračných techník, parametrických rovníc, vektorov a znalosti trojrozmerného priestoru.

  • Diferenciálne rovnice prvého rádu - lineárne rovnice, oddeliteľné rovnice, presné rovnice, rovnovážné riešenia, problémy modelovania.
  • Diferenciálne rovnice druhého rádu - homogénne a nehomogénne diferenciálne rovnice druhého rádu, základná sada riešení, neurčené koeficienty, variácia parametrov, mechanické vibrácie
  • Laplaceove transformácie - definícia, inverzné transformácie, krokové funkcie, funkcie Heaviside, funkcia Dirac-Delta, riešenie IVP, nehomogénne IVP, nekonštantné koeficienty IVP, integrálne konverzie.
  • Systémy diferenciálnych rovníc - maticová forma, vlastné čísla / vlastné vektory, fázová rovina, nehomogénne systémy, Laplaceove transformácie.
  • Sériové riešenia - Sériové riešenia, Eulerove diferenciálne rovnice.
  • Diferenciálne rovnice vyšších rádov - n Diferenciálne rovnice tého rádu, neurčené koeficienty, variácia parametrov, 3 x 3 systémy diferenciálnych rovníc.
  • Problémy s hraničnou hodnotou a zosilňovač Fourier Series - Problémy s hraničnou hodnotou, vlastné hodnoty a vlastné funkcie, ortogonálne funkcie, Fourier Sine Series, Fourier Cosine Series, Fourier Series.
  • Parciálne diferenciálne rovnice - tepelná rovnica, vlnová rovnica, Laplaceova rovnica, separácia premenných.

Tieto poznámky nepredpokladajú žiadnu predchádzajúcu znalosť diferenciálnych rovníc. Vyžaduje sa však dobré pochopenie počtu. Patria sem pracovné znalosti diferenciácie a integrácie.

V tejto recenzii nie sú obsiahnuté všetky témy z triedy Algebra alebo Trig. Väčšinou som sa venoval témam, ktoré majú pre študentov na hodinách Kalkulu obzvlášť dôležitý význam. Zahrnul som niekoľko tém, ktoré pre triedu Calculus nie sú také dôležité, ale zdá sa, že študenti majú občas problémy. Ako čas dovolí, pridám aj ďalšie oddiely.

Revízia má formu súboru problémov s prvým riešením, ktoré obsahuje podrobné informácie o tom, ako tento typ problému vyriešiť. Neskoršie riešenia zvyčajne nie sú také podrobné, ale môžu obsahovať viac / nových informácií podľa potreby.

Upozorňujeme, že tento základný náter predpokladá, že ste pred čítaním videli už aspoň komplexné čísla. Účelom tohto dokumentu je trochu viac, než to, čo väčšina ľudí vidí, keď sa prví dostanú do komplexných čísel, povedzme v triede College Algebra. Tento dokument tiež v žiadnom prípade nie je zamýšľaný ako kompletný obraz komplexných čísel, ani nepokrýva všetky použité koncepty (to je celá trieda sama o sebe).

Táto časť stránky by mala zaujímať každého, kto hľadá bežné matematické chyby. Ak nie ste v triede kalkulu alebo ste kalkul nebrali, mali by ste ignorovať poslednú časť.

Ako študovať matematiku - Toto je krátka časť s radami, ako najlepšie študovať matematiku.


Pozri si video: Grafické riešenie sústavy 2 rovníc s 2 neznámymi (Október 2021).