Články

5.6: Nehomogénne rovnice


Zvážte tyč s dĺžkou (2 ) m, bočne izolovanú (teplo prúdi iba vnútri tyče). Spočiatku je teplota (u )

[ frac {1} {k} sin left ( frac { pi x} {2} right) + 500 text {K}. ]

Ľavý a pravý koniec sú pripojené k termostatu a teplota na ľavej strane je pevne nastavená na teplotu (500 text {K} ) a pravý koniec na (100 text {K} ) . K tyči je tiež pripevnený ohrievač, ktorý dodáva tyči konštantné teplo ( sin doľava ( frac { pi x} {2} doprava) ). Diferenciálna rovnica, ktorá to popisuje, je nehomogénna

[ begin {zarovnané} dfrac { čiastočné} { čiastočné t} u & = k dfrac { čiastočné ^ 2} { čiastočné x ^ 2} u + sin doľava ( frac { pi x } {2} right), nonumber [4pt] u (0, t) & = 500, nonumber [4pt] u (2, t) & = 100, nonumber [4pt] u (x, 0) & = frac {1} {k} sin left ( frac { pi x} {2} right) + 500. end {aligned} ]

pretože nehomogenita je nezávislá od času, ktorú píšeme

[u (x, t) = v (x, t) + h (x), ]

kde (h ) bude určené tak, aby (v ) vyhovovalo homogénnej rovnici. Nahradením tohto formulára nájdeme

[ dfrac { čiastočné} { čiastočné t} v = k dfrac { čiastočné ^ 2} { čiastočné x ^ 2} v + k h "+ sin doľava ( frac { pi x} {2} vpravo). ]

Aby bola rovnica pre (v ) homogénna, potrebujeme [h '(x) = - frac {1} {k} sin left ( frac { pi x} {2} right), ]

ktorá má riešenie

[h (x) = C_1 x + C_2 + frac {4} {k pi ^ 2} sin left ( frac { pi x} {2} right). ]

Zároveň necháme (h ) prenášať okrajové podmienky, (h (0) = 500 ), (h (2) = 100 ), a teda [h (x) = - {200 } x + 500 + frac {4} {k pi ^ 2} sin left ( frac { pi x} {2} right). ] Funkcia (v ) vyhovuje

[ begin {zarovnané} dfrac { čiastočné} { čiastočné t} v & = k dfrac { čiastočné ^ 2} { čiastočné x ^ 2} v, nonumber [4pt] v (0, t) & = v ( pi, t) = 0, nonumber [4pt] v (x, 0) & = u (x, 0) - h (x) = {200} x. end {zarovnané } ]

Toto je problém typu, ktorý sme už videli. Oddelením premenných nájdeme

[v (x, t) = sum_ {n = 1} ^ infty b_n exp (- frac {n ^ 2 pi ^ 2} {4} kt) sin frac {n pi} { 2} x. ]

Počiatočná podmienka dáva

[ sum_ {n = 1} ^ infty b_n sin nx = {200} x. ]

z ktorého nájdeme

[b_n = (-1) ^ {n + 1} frac {800} {n pi}. ]

A teda

[u (x, t) = - frac {200} x + 500 + frac {4} { pi ^ 2 k} sin doľava ( frac { pi x} {2} doprava) + frac {800} { pi} sum_ {n = 1} ^ infty frac {(- 1) ^ n} {n + 1} sin left ( frac { pi nx} {2} vpravo) e ^ {- k (n pi / 2) ^ 2 t}. label {ekv.}}]

Poznámka: ako (t rightarrow infty ), (u (x, t) rightarrow - frac {400} { pi} x + 500 + frac { sin frac { pi} {2 } x} {k} ). Ako je zrejmé z obr. ( PageIndex {1} ) tento prístup je dosť rýchly - na tomto obrázku sme vybrali (k = 1/500 ) a sčítali sme ho do prvých 60 riešení.

Obrázok ( PageIndex {1} ): Časová závislosť riešenia od nehomogénnej rovnice ref {ekv.}.


Nehomogénne Euler-Cauchyove rovnice

Vzhľadom na Euler-Cauchyovu rovnicu

$ x ^ 2 frac-3x frac-5r = x ^ 5 $

Vyriešte súvisiacu homogénnu rovnicu zvážením riešenia tvaru $ y (x) = x ^ r $, kde $ r $ je konštanta.

Pre získanie konkrétneho riešenia zvážte riešenie v tvare $ y (x) = ax ^ s ln (x) $ pre vhodné konštanty $ a $ a $ s $.

Teraz viem, ako vyriešiť nehomogénnu časť, a zistil som:

Ale netuším, ako nájsť konkrétne riešenie zvážením riešení „tejto formy“.

Akékoľvek rady sú veľmi cenené.


Beck, J.V., Blackwell, B., Clair, C.R.S., Clair, C.R.S., Clair, C.S., Artûhin, E.A., Pavlovc, I.I: Inverse Heat Conduction: Ill-Posed Problems. Publikácia Wiley-Interscience. Wiley (1985)

Carasso, A .: Stanovenie povrchových teplôt z vnútorných pozorovaní. SIAM J. Appl. Matematika. 42(3), 558–574 (1982)

Egger, H, Yi, H, Marquardt, W, Mhamdi, A: Efektívne riešenie problému trojrozmerného inverzného vedenia tepla pri varení v bazéne. Inverzný problém. 25 (9), 095006,19 (2009)

Eldén, L .: Aproximácie pre Cauchyov problém pre rovnicu tepla. Inverzný problém. 3(2), 263–273 (1987)

Eldén, L .: Upravené rovnice na aproximáciu riešenia Cauchyovej úlohy pre rovnicu tepla. In: Inverzné a zle postavené problémy (Sankt Wolfgang, 1986), zväzok 4 Notes Rep. Math. Sci. Engrg., S. 345–350. Academic Press, Boston (1987)

Fu, C.-L., Xiong, X.-T., Fu, P .: Fourierova regularizačná metóda na riešenie povrchového tepelného toku z vnútorných pozorovaní. Matematický výpočet. Modelovanie 42(5–6), 489–498 (2005)

Fu, C., Qiu, C .: Wavelet a odhad chýb povrchového tepelného toku. J. Comput. Appl Math. 150(1), 143–155 (2003)

Hào, D.N., Reinhardt, H.-J., Schneider, A .: Numerické riešenie bočnej parabolickej rovnice. Internat. J. Numer. Methods Engrg. 50(5), 1253–1267 (2001)

Hào, D.N., Schneider, A., Reinhardt, H.-J .: Regularizácia necharakteristického Cauchyovho problému pre parabolickú rovnicu. Inverzný problém. 11(6), 1247–1263 (1995)

Liu, S., Feng, L .: Revidovaná Tichonovova regularizačná metóda pre cauchyov problém dvojrozmernej rovnice vedenia tepla. Matematika. Probl. Angl. 1216357, 8 (2018)

Qian, Z., Fu, C.-L., Xiong, X.-T .: Modifikovaná metóda stanovenia povrchového tepelného toku IHCP. Inverzný problém. Sci Eng. 15(3), 249–265 (2007)

Qian, Z .: Regularizačné metódy pre Cauchyov problém pre parabolickú rovnicu vo viacerých dimenziách. J. Inverse Ill-Posed Probl. 17(9), 891–911 (2009)

Qian, Z .: Nová zovšeobecnená Tichonovova metóda založená na myšlienke filtrovania pre stabilné analytické pokračovanie. Inverzný problém. Sci. Angl. 26(3), 362–375 (2018)

Qian, Z., Feng, X .: Frakčná Tichonovova metóda riešenia Cauchyho problému Helmholtzovej rovnice. Appl Anal. 96(10), 1656–1668 (2017)

Qian, Z, Fu, C.-L .: Regularizačné stratégie pre problém dvojrozmerného inverzného vedenia tepla. Inverzný problém. 23(3), 1053–1068 (2007)

Qiu, C.-Y., Fu, C.-L., Zhu, Y.-B .: Vlnky a regularizácia bočnej tepelnej rovnice. Comput. Math Appl. 46(5–6), 821–829 (2003)

Quan, P.H., Trong, D.D., Dinh Alain, P.N .: Sinc aproximácia tepelného toku na hranici dvojrozmernej konečnej dosky. Číslo. Funct. Anal Optim. 27(5–6), 685–695 (2006)

Regińska, T .: Aplikácia zmrašťovania waveletov na riešenie bočnej tepelnej rovnice. TROCHA 41(5, dopl.), 1101–1110 (2001). BIT 40. výročie

Regińska, T., Eldén, L .: Riešenie bočnej tepelnej rovnice metódou wavelet-Galerkin. Inverzný problém. 13(4), 1093–1106 (1997)

Sørli, K, Skaar, I.M .: Monitorovanie čiary opotrebenia taviacej pece. Port Ludlow, WA, USA. In: 3. medzinárodná konferencia o inverzných problémoch v strojárstve, ASME, inverzné problémy v strojárstve, teórii a praxi (1999)

Sørli, K, Skaar, IM: Analýza citlivosti na tepelný návrh a monitorovanie problémov žiaruvzdorných materiálov. Nórsko. Zborník CHT-04, CTH-04-132. Medzinárodné sympózium ICHMT o pokrokoch vo výpočtovom prenose tepla (2004)

Seidman, T.I., Eldén, L .: Metóda „optimálneho filtrovania“ pre bočnú rovnicu tepla. Inverzný problém. 6(4), 681–696 (1990)

Woodfield, P, Monde, M, Mitsutake, Y: Implementácia analytickej techniky dvojrozmerného inverzného vedenia tepla na praktické problémy. 49, 187–197, 01 (2006)

Xiong, X., Zhou, Q., Hon, Y.C .: Inverzný problém pre rovnicu frakčnej difúzie v 2-dimenzionálnom prípade: Analýza stability a regularizácia. J. Math. Anal. Appl. 393(1), 185–199 (2012)

Zhao, J., Liu, S., Liu, T .: Upravená metóda jadra riešenia Cauchyho problému dvojrozmernej rovnice vedenia tepla. Adv. Appl. Math Mech. 7(1), 31–42 (2015)


Obsah

Pre porovnanie, Maxwellove rovnice sú zhrnuté nižšie v jednotkách SI a Gaussových jednotkách. Riadia elektrické pole E a magnetické pole B kvôli hustote náboja zdroja ρ a prúdová hustota J:

názov Jednotky SI Gaussove jednotky
Gaussov zákon ∇ ⋅ E = ρ ε 0 < Displaystyle nabla cdot mathbf = < frac < rho> < varepsilon _ <0> >>> ∇ ⋅ E = 4 π ρ < Displaystyle nabla cdot mathbf = 4 pi rho>
Gaussov zákon pre magnetizmus ∇ ⋅ B = 0 < Displaystyle nabla cdot mathbf =0> ∇ ⋅ B = 0 < Displaystyle nabla cdot mathbf =0>
Maxwell – Faradayova rovnica (Faradayov zákon indukcie) ∇ × E = - ∂ B ∂ t < Displaystyle nabla times mathbf = - < frac < čiastočné mathbf > < čiastočné t >>> ∇ × E = - 1 c ∂ B ∂ t < Displaystyle nabla times mathbf = - < frac <1>> < frac < čiastočné mathbf > < čiastočné t >>>
Ampèrov zákon o obehu (s Maxwellovým dodatkom) ∇ × B = μ 0 (J + ε 0 ∂ E ∂ t) < Displaystyle nabla krát mathbf = mu _ <0> vľavo ( mathbf + varepsilon _ <0> < frac < čiastočné mathbf > < čiastočné t >> pravé)> ∇ × B = 1 c (4 π J + ∂ E ∂ t) < displaystyle nabla krát mathbf = < frac <1>> dolava (4 pi mathbf + < frac < čiastočné mathbf > < čiastočné t >> pravé)>

kde ε0 je vákuová permitivita a μ0 je priepustnosť vákua. Počas celého vzťahu

E a B polia Upraviť

Maxwellove rovnice môžu priamo poskytnúť nehomogénne vlnové rovnice pre elektrické pole E a magnetické pole B. [1] Nahradenie Gaussovho zákona pre elektrinu do zvlnenia Faradayovho indukčného zákona a použitie zvlnenia zvlnenia identity ∇ × (∇ × X) = ∇(∇ ⋅ X) − ∇ 2 X dáva vlnovú rovnicu pre elektrické pole E:

Podobne substitúcia Gaussovho zákona za magnetizmus do zvlnenia Ampérovho cirkulačného zákona (s Maxwellovým ďalším časovo závislým termínom) a použitie zvlnenia identity zvlnenia dáva vlnovú rovnicu pre magnetické pole B:

Ľavá strana každej rovnice zodpovedá vlnovému pohybu (D'Alembertov operátor pôsobiaci na polia), zatiaľ čo pravá strana predstavuje vlnový zdroj. Rovnice naznačujú, že EM vlny sa generujú, ak existujú gradienty hustoty náboja ρ, obehy v prúdovej hustote J, časovo premennú prúdovú hustotu alebo akúkoľvek ich zmes.

Tieto formy vlnových rovníc sa v praxi často nepoužívajú, pretože zdrojové výrazy sú nepríjemne komplikované. Jednoduchšia formulácia, ktorá sa v literatúre bežne vyskytuje a ktorá sa teoreticky používa, využíva formuláciu elektromagnetického potenciálu uvedenú ďalej.

A a φ potenciálne polia Upraviť

Predstavujeme elektrický potenciál φ (skalárny potenciál) a magnetický potenciál A (vektorový potenciál) definovaný z E a B polia podľa:

štyri Maxwellove rovnice vo vákuu s nábojom ρ a aktuálne J zdroje sa redukujú na dve rovnice, Gaussov zákon pre elektrinu je:

a zákon Ampère-Maxwell znie:

Zdrojové výrazy sú teraz oveľa jednoduchšie, ale vlnové výrazy sú menej zrejmé. Pretože potenciály nie sú jedinečné, ale majú mierku voľnosti, je možné tieto rovnice zjednodušiť upevnením meradla. Bežnou voľbou je Lorenzov rozchod:

Potom sa nehomogénne vlnové rovnice odpojia a sú symetrické v potenciáloch:


Pokračovať

Cette article étudie la Conservation D & # x27énergie pour les equations d & # x27Euler avec densités variables en dimension deux et trois. Nous présentons deux types de conditions sur la régularité des solutions, assurant la Conservation de l & # x27énergie cinétique sur l & # x27intervalle de temps considéré, y compris le temps initial. Podmienka premiéry je stanovená vlastníkom a # x27intégrabilité sur le gradient de densité. Elle koresponduje s podmienkami výskumu Constantin – E – Titi [4] pre le cas homogène. La deuxième famille de conditions impose de la régularité Sobolev en temps sur la vitesse, and permet de considérer und large classe de profiles of densité peu réguliers.


Dmitrij Yerchuck 1 , , Alla Dovlatová 2 , Yauhen Yerchak 3 , Felix Borovik 1

1 Ústav prenosu tepla a hmoty Národnej akadémie vied RB, Brovka Str., 15, Minsk, RB

2 M.V. Lomonosov Moskovská štátna univerzita, Moskva

3 Bieloruská štátna univerzita, Nezavisimosti Avenue 4, Minsk, RB

Abstrakt

Bolo nájdené všeobecné riešenie homogénnej tlmenej Mathieuovej rovnice v analytickej forme, ktoré umožňuje jej praktické použitie v mnohých aplikáciách, vrátane štúdií supravodivosti, bez numerických výpočtov.

Kľúčové slová: Mathieuova rovnica, Besselove funkcie, supravodivosť

Medzinárodný vestník fyziky, 2014 2 (5), s. 165-169.
DOI: 10,12691 / ijp-2-5-6

Prijaté 9. októbra 2014 Revidované 13. októbra 2014 Prijaté 15. októbra 2014

Autorské práva © 2013 Vydavateľstvo pre vedu a vzdelávanie. Všetky práva vyhradené.

Citujte tento článok:

  • Yerchuck, Dmitri a kol. „Analytické riešenie homogénnej tlmenej Mathieuovej rovnice.“ Medzinárodný vestník fyziky 2.5 (2014): 165-169.
  • Yerchuck, D., Dovlatova, A., Yerchak, Y., & Borovik, F. (2014). Analytické riešenie homogénnej tlmenej Mathieuovej rovnice. Medzinárodný vestník fyziky, 2(5), 165-169.
  • Yerchuck, Dmitri, Alla Dovlatova, Yauhen Yerchak a Felix Borovik. „Analytické riešenie homogénnej tlmenej Mathieuovej rovnice.“ Medzinárodný vestník fyziky 2, č. 5 (2014): 165-169.

1. Úvod a základné informácie

Je známe, že množstvo fyzikálnych javov možno matematicky opísať pomocou Mathieuovej rovnice. Napríklad rovnica pohybu pre mriežku toku v teórii supravodiča je nasledovná [1]

kde B je magnetická indukcia vo vzorke, m je celková hmotnosť (na jednotku dĺžky) mriežky toku, je koeficient viskozity, je frekvencia modulačného magnetického poľa, c je rýchlosť svetla, J 0 a sú amplitúda a frekvencia mikrovlnného prúdu, K 0 a k sú amplitúdy konštantnej zložky a striedavej zložky vo funkcii K(t) vo vzťahu

medzi silou F(t) a malý výtlak r(t) mriežky toku z jeho rovnovážnej polohy, to znamená

Rovnica (1) je nehomogénna tlmená Mathieuova rovnica.

Mathieuova rovnica je dobre známa v teórii diferenciálnych rovníc, pozri napríklad [2, 3, 4, 5].

Potom je takzvaná všeobecná Mathieuova rovnica nasledujúcou rovnicou

kde h a sú skutočné alebo zložité konštanty. Známe riešenie všeobecnej Mathieuovej rovnice (4) je zostavené vo forme

kde P(t) je periodická funkcia s bodkou, ktorá sa rovná & # 960, & # 956 je takzvaný charakteristický index, v závislosti od hodnôt h a # 952. Funkcia

predstavuje druhé riešenie. Riešenia (5) a (6) sú lineárne nezávislé, vytvárajú základný systém riešení, okrem prípadu, keď iμ∈Z, teda na množinu celých čísel [4]. Ďalej je riešenie (5) napísané formálne vo forme nasledujúcich nekonečných sérií

v ktorom pre množinu koeficientov <c n > nasledujúce opakujúce sa vzťahy

boli získané. Je to jediný algoritmus pre numerické riešenie. V skutočnosti sa analytické riešenie všeobecnej Mathieuovej rovnice (4) nenašlo. Existencia jediného algoritmu pre numerické riešenie je pre praktické použitie Mathieuovej rovnice nepohodlná, najmä v prípadoch fyzikálnych aplikácií, keď sú na pochopenie fyzikálnych procesov potrebné analytické závislosti. Napríklad autori práce [1] uprednostnili namiesto pokusu o numerické riešenie Mathieuovej rovnice použitie zodpovedajúcej linearizovanej rovnice.

Poznamenajme, že (ne) homogénna tlmená Mathieuova rovnica môže byť redukovaná na (ne) homogénnu všeobecnú Mathieuovu rovnicu nasledujúcou transformáciou funkcie.

Autori [1] zároveň poznamenávajú, že pri statickom magnetickom poli H príliš veľké [väčšie ako 800 G], štruktúra toku je pravdepodobne príliš zložitá na to, aby navrhovaný jednoduchý model zostal platný.

Na danom príklade je zrejmé, že analytické riešenie Mathieuovej rovnice zostáva veľmi aktuálne pre jej fyzikálne vedecké aplikácie a pre strojárstvo.

Na druhej strane má analytické riešenie Mathieuovej rovnice aj matematický teoretický aspekt. Je to dané tým, že riešenie množstva diferenciálnych rovníc sa redukuje na riešenie Mathieuovej rovnice. Napríklad sú

Transformácia premennej t = cosz vedie k Mathieuovej rovnici

Transformácia premennej t = cos2z vedie k Mathieuovej rovnici

Transformácia premennej vedie k Mathieuovej rovnici

sa transformujú na Mathieuove rovnice pomocou trigonometrických vzorcov

Cieľom práce je nájsť analytické riešenie všeobecnej Mathieuovej rovnice.

2. Výsledky

Veta. Všeobecné riešenie všeobecnej Mathieuovej rovnice je možné analyticky predstaviť ako superpozíciu Besselovych funkcií prvého a druhého druhu.

Je zrejmé, že rovnica (1) môže byť znázornená vo forme

kde a sú diferenciálne operátory

Je tiež zrejmé, že čiastkové riešenie východiskovej rovnice bude zodpovedať priesečníku množín riešení vyhovujúcich súčasne s rovnicami

Musíme teda vyriešiť rovnice

alebo v ekvivalentnej forme

dá sa aj študovať. Existuje niekoľko variantov na zjednodušenie riešenia (22) pomocou symetrie r(t). V prípade, ak r(t) je párne, je nerovnomerné, je dokonca z (22), ktorú dostaneme

Daný prípad je ekvivalentný vyššie uvedenej úlohe formulovanej vzťahmi (17) - (19). Ďalej, ak r(t) je párne, je nerovnomerné, je dokonca z (22), ktorú dostaneme

to je jednoduchá diferenciálna rovnica prvého rádu, ktorej riešenie je zrejmé.

Homogénne rovnice zodpovedajúce nehomogénnym rovniciam (1), to znamená rovnice

sa dá striktne vyriešiť. Vymenujme

Potom podľa [6] existujú riešenia

pre prvú rovnicu v (25) a

pre druhú rovnicu v bode (25). Tu

sú Besselovy funkcie prvého druhu a druhého druhu indexu

pre rovnicu (28) a index

Potom množina funkcií vyhovujúcich vzťahu

bude riešením homogénnej rovnice zodpovedajúcej východiskovej nehomogénnej rovnici (1). Daný záver je správny, ak. Vzťah je uspokojený najmä pre prípad a

Získame teda podmienky, podľa ktorých vzťah

bude riešením homogénnej tlmenej Mathieuovej rovnice. Oni sú

V dôsledku toho vZ, to je v musí patriť do množiny celých čísel.

Preto je vzťah (34) riešením homogénnej tlmenej Mathieuovej rovnice od a po vZ. To znamená, že existujú obmedzenia týkajúce sa možných hodnôt parametrov v počiatočnej homogénnej tlmenej Mathieuovej rovnici. Sú to nasledujúce

Je zrejmé, že pomocou = 0 dostaneme riešenie homogénnej nepoškodenej Mathieuovej rovnice, to znamená riešenie všeobecnej Mathieuovej rovnice.

Na získanie základného systému riešení homogénnej tlmenej Mathieuovej rovnice musíme nájsť druhé lineárne nezávislé riešenie. To sa dá ľahko urobiť, ak sa to vezme do úvahy

Pretože náhrada je ekvivalentná s

získame, že výrazom (31) bude

Daný výraz je druhým lineárne nezávislým riešením homogénnej tlmenej Mathieuovej rovnice a pri vZ a na nerovnomerné vZ, to je o. Jeho lineárna nezávislosť od prvého riešenia vyplýva z lineárnej nezávislosti Besselovych funkcií na prvom a druhom druhu. Pri fixácii vzťahy (34) a (41) predstavujú samy seba základný systém riešenia homogénnej tlmenej Mathieuovej rovnice. Takže všeobecné riešenie homogénnej tlmenej Mathieuovej rovnice je

Našli sme teda všeobecné riešenie homogénnej tlmenej Mathieuovej rovnice v analytickej forme, čo umožňuje jej praktické použitie v mnohých aplikáciách bez numerických výpočtov, pretože Besselovy funkcie sú dobre známe. Riešenie nehomogénnej tlmenej Mathieuovej rovnice je možné získať rozšírením všeobecného riešenia homogénnej tlmenej Mathieuovej rovnice vo Fourierových sériách.


Integračná rovnica objemu a povrchu pre elektromagnetický rozptyl pomocou nehomogénnych valcov

Tento príspevok predstavuje integrálnu formuláciu rovnice pre elektromagnetický rozptyl nehomogénnymi nekonečnými valcami s ľubovoľnými skalárnymi permitivitami a permeabilitami. Formulácia zahŕňa objemové aj povrchové integrály iba s jednou neznámou zložkou poľa a je použiteľná pre priečne elektrické aj priečne magnetické prípady. Táto integrálna rovnica objem-povrch je vhodná na numerickú implementáciu. V tomto článku je integrálna rovnica najskôr odvodená integráciou vlnovej rovnice pomocou Greenovej funkcie voľného priestoru a potom analyzovaná z fyzikálneho hľadiska, čo vedie k novej interpretácii mechanizmu rozptylu. Nakoniec je rovnica programovaná pomocou metódy momentov s funkciami impulznej expanzie a párovaním bodov. Zobrazujú sa numerické výsledky, ktoré demonštrujú platnosť formulácie a novú interpretáciu mechanizmu rozptylu.


Obsah

Základné vlastnosti Upraviť

Poďme X a Y. byť n×n zložité matice a nech a a b byť ľubovoľné komplexné čísla. Označujeme n×n matica identity podľa Ja a nulová matica o 0. Maticový exponenciál spĺňa nasledujúce vlastnosti. [2]

Začíname s vlastnosťami, ktoré sú bezprostrednými dôsledkami definície ako mocninového radu:

  • e 0 = Ja
  • exp (X T) = (exp X) T, kde X T označuje transpozíciu X .
  • exp (X ∗) = (exp X) ∗, kde X ∗ označuje transpozíciu konjugátu X .
  • Ak Y. je potom invertibilný eYXY −1 = YeXY. −1 .

Ďalším kľúčovým výsledkom je tento:

Dôsledky predchádzajúcej identity sú tieto:

  • eaXebX = e (a + b)X
  • eXeX = Ja

Pomocou vyššie uvedených výsledkov môžeme ľahko overiť nasledujúce tvrdenia. Ak X je potom symetrický e X je tiež symetrický, a ak X je potom šikmo symetrický e X je kolmý. Ak X je potom Hermitian e X je tiež Hermitian, a ak X je potom skeermermitan e X je unitárny.

Nakoniec Laplaceova transformácia maticových exponenciálov predstavuje resolvent,

pre všetky dostatočne veľké kladné hodnoty s.

Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc Edit

Jedným z dôvodov dôležitosti maticového exponenciálu je, že ho možno použiť na riešenie systémov lineárnych obyčajných diferenciálnych rovníc. Riešenie

kde A je konštantná matica, je dané

Maticový exponenciál sa dá použiť aj na riešenie nehomogénnej rovnice

Príklady nájdete v časti o aplikáciách nižšie.

Pre diferenciálne rovnice tvaru neexistuje uzavreté riešenie

kde A nie je konštantná, ale séria Magnus dáva riešenie ako nekonečný súčet.

Determinant maticového exponenciálu Edit

Podľa Jacobiho vzorca platí pre každú zložitú štvorcovú maticu táto stopová identita: [3]

Okrem poskytnutia výpočtového nástroja tento vzorec demonštruje, že exponenciálna matica je vždy inverzná matica. To vyplýva zo skutočnosti, že pravá strana vyššie uvedenej rovnice je vždy nenulová, a teda det (e A ) ≠ 0, z čoho vyplýva, že e A musia byť invertovateľné.

V prípade skutočnej hodnoty vzorec zobrazuje aj mapu

aby nebol surjektívny, na rozdiel od už spomenutého zložitého prípadu. To vyplýva zo skutočnosti, že pre matice so skutočnou hodnotou je pravá strana vzorca vždy pozitívna, zatiaľ čo existujú inverzné matice so záporným determinantom.

Pre akékoľvek reálne čísla (skaláry) x a y vieme, že exponenciálna funkcia vyhovuje e X+r = e X e r . To isté platí pre matice dochádzania. Ak matice X a Y dochádzajú (to znamená XY = YX ), potom,

Pre matice, ktoré nedochádzajú, však uvedená rovnosť nevyhnutne neplatí.

Lieov vzorec produktu Edit

Aj keď X a Y nedochádzajú, exponenciálny e X + Y. možno vypočítať pomocou Lieovho vzorca [4]

Baker-Campbell-Hausdorffov vzorec Upraviť

V opačnom smere, ak sú X a Y dostatočne malé (ale nie nevyhnutne dochádzajúce) matice, máme ich

kde Z možno vypočítať ako sériu v komutátoroch X a Y pomocou vzorca Baker – Campbell – Hausdorff: [5]

kde zostávajúce výrazy sú všetky iterované komutátory zahŕňajúce X a Y. Ak dochádzajú X a Y, potom sú všetky komutátory nulové a máme to jednoducho Z = X + Y. .

Pre hermitovské matice existuje pozoruhodná veta súvisiaca so sledovaním exponenciálov matice.

Ak A a B sú hermitovské matice, potom

Nie je tam žiadna požiadavka na komutatívnosť. Existujú protiklady, ktoré ukazujú, že Golden – Thompsonovu nerovnosť nemožno rozšíriť na tri matice - a v každom prípade tr (exp (A) exp (B) exp (C.)) nie je zaručené, že bude pre Hermitiana skutočný A , B , C. . Lieb však dokázal [7] [8], že sa dá zovšeobecniť na tri matice, ak výraz upravíme nasledovne

Exponenciál matice je vždy inverzná matica. Inverzná matica z e X je daný eX . Je to analogické so skutočnosťou, že exponenciál komplexného čísla je vždy nenulový. Maticový exponenciál nám potom dá mapu

z priestoru všetkých n×n matice do všeobecnej lineárnej skupiny stupňa n, teda skupiny všetkých n×n invertovateľné matice. Táto mapa je v skutočnosti surjektívna, čo znamená, že každú inverznú maticu je možné zapísať ako exponenciál nejakej inej matice [9] (preto je potrebné zohľadniť pole C. komplexných čísel a nie R).

Pre ľubovoľné dve matice X a Y,

kde ‖ · ‖ označuje normu ľubovoľnej matice. Z toho vyplýva, že exponenciálna mapa je spojitá a Lipschitzova súvislosť na kompaktných podmnožinách súboru Mn(C.) .

definuje hladkú krivku vo všeobecnej lineárnej skupine, ktorá prechádza prvkom identity v t = 0.

Týmto sa v skutočnosti získa jednoparametrická podskupina všeobecnej lineárnej skupiny od roku

Derivácia tejto krivky (alebo dotyčného vektora) v bode t je daný

Derivát v t = 0 je iba matica X, čo znamená, že X generuje túto jednoparametrovú podskupinu.

Všeobecnejšie [10] pre všeobecný exponent závislý na t, X(t) ,

Berúc do úvahy uvedený výraz e X(t) mimo integrálneho znamienka a rozšírením integranálu pomocou Hadamardovho lematu možno získať nasledujúci užitočný výraz pre deriváciu maticového exponenta, [11]

Koeficienty vo vyššie uvedenom výraze sa líšia od koeficientov uvedených v exponenciále. Pre uzavretú formu pozri derivát exponenciálnej mapy.

Nájsť spoľahlivé a presné metódy na výpočet maticového exponenciálu je ťažké a stále je to predmetom rozsiahleho súčasného výskumu v matematike a numerickej analýze. Matlab, GNU Octave a SciPy používajú aproximáciu Padé. [12] [13] [14] V tejto časti sa zaoberáme metódami, ktoré sú v zásade použiteľné pre každú maticu a ktoré je možné vykonať výslovne pre malé matice. [15] Nasledujúce časti popisujú metódy vhodné na numerické hodnotenie na veľkých maticiach.

Diagonalizovateľné veľké písmená Upraviť

potom jeho exponenciál možno získať umocnením každého záznamu na hlavnej uhlopriečke:

Tento výsledok tiež umožňuje exponencializovať diagonalizovateľné matice. Ak

a D je teda uhlopriečka

e A = Ue D U −1 .

Aplikácia Sylvestrovho vzorca vedie k rovnakému výsledku. (Ak to chcete vidieť, všimnite si, že sčítanie a násobenie, teda aj umocňovanie diagonálnych matíc je ekvivalentné sčítaniu a násobeniu po jednotlivých prvkoch, a teda najmä umocňovanie, „jednorozmerná“ umocňovanie sa pociťuje po prvkoch pre diagonálny prípad .)

Príklad: Diagonalizovateľné úpravy

Nilpotentný prípad Upraviť

Matica N je nilpotentný, ak N q = 0 pre celé číslo q. V tomto prípade je matica exponenciálna e N možno vypočítať priamo z rozšírenia série, pretože séria končí po konečnom počte pojmov:

Pretože séria má konečný počet krokov, jedná sa o maticový polynóm, ktorý je možné efektívne vypočítať.

Všeobecný prípad Upraviť

Použitie Jordan – Chevalleyovho rozkladu Edit

To znamená, že môžeme vypočítať exponenciál X znížením na predchádzajúce dva prípady:

Všimnite si, že potrebujeme komutativitu A a N ako posledný krok do práce.

Pomocou Jordanského kanonického formulára Upraviť

Úzko príbuznou metódou je, ak je pole algebraicky uzavreté, práca s Jordánskou formou X. Predpokladajme, že X = PJP −1 kde J je Jordánska forma X. Potom

Preto potrebujeme iba vedieť, ako vypočítať maticový exponenciál Jordanovho bloku. Ale každý blok Jordánu je vo forme

kde N je špeciálna nilpotentná matica. Maticový exponenciál J je potom dané

Projekčný prípad Upraviť

Ak P je projekčná matica (tj. Je idempotentná: P 2 = P ), jeho maticová exponenciálna je:

e P = Ja + (e - 1)P .

Odvodením tohto rozšírením exponenciálnej funkcie sa každá mocnina P zníži na P, ktorá sa stane spoločným činiteľom súčtu:

Otočné puzdro Upraviť

Pre jednoduchú rotáciu, v ktorej sú kolmé jednotkové vektory a a b uveďte rovinu, [16] rotačnú maticu R možno vyjadriť pomocou podobnej exponenciálnej funkcie zahŕňajúcej generátor G a uhol θ. [17] [18]

Vzorec pre exponenciálne výsledky zo zníženia síl G v rozšírení radu a identifikácie príslušných radových koeficientov G 2 a G s −cos (θ) a hriech (θ). Druhý výraz tu pre e Gθ je rovnaký ako výraz pre R(θ) v článku obsahujúcom deriváciu generátora, R(θ) = e Gθ .

redukuje na štandardnú maticu pre rovinnú rotáciu.

Matica P = −G 2 premieta vektor na ab-rovinu a rotácia ovplyvňuje iba túto časť vektora. Príkladom toho je rotácia o 30 ° = π / 6 v rovine rozloženej o a a b ,

Poďme N = Ja - P , tak N 2 = N a jej produkty s P a G sú nulové. To nám umožní vyhodnotiť právomoci R .

Na základe Cayley-Hamiltonovej vety je maticový exponenciál vyjadriteľný ako polynóm rádu n −1.

Ak P a Qt sú nenulové polynómy v jednej premennej, také, že P(A) = 0, a ak je meromorfná funkcia

Aby ste to dokázali, vynásobte prvú z dvoch vyššie uvedených rovností číslom P(z) a z nahraďte z.

Taký polynóm Qt(z) nájdete nasledovne - pozri Sylvestrov vzorec. Nechajme koreň P, Qa, t(z) je vyriešená z produktu P hlavnou časťou Laurentovej série f na a: Je úmerná príslušnému Frobenioviho kovariantu. Potom suma St z Qa, t, kde a prechádza cez všetky korene P, možno brať ako konkrétny údaj Qt . Všetky ostatné Qt sa získa pridaním násobku P k St(z). Najmä St(z), Lagrangeov-Sylvesterov polynóm, je jediný Qt ktorých stupeň je nižší ako stupeň P.

Príklad: Zvážte prípad ľubovoľnej matice 2 × 2,

Exponenciálna matica e tA , na základe Cayley-Hamiltonovej vety, musí mať tvar

(Pre akékoľvek komplexné číslo z a ľubovoľné C.-algebra B, označíme opäť z súčinom z jednotkou B.)

Nech α a β sú korene charakteristického polynómu A,

ak αβ zatiaľ čo, ak α = β ,

kde hriech (qt)/q je 0, ak t = 0, a t, ak q = 0.

Ako je teda uvedené vyššie, matica A sa rozložila na súčet dvoch vzájomne dochádzajúcich kusov, stopového prvku a stopového prvku,

maticový exponenciál sa redukuje na obyčajný produkt exponenciálov dvoch príslušných častí. Toto je vzorec, ktorý sa často používa vo fyzike, pretože sa rovná analógu Eulerovho vzorca pre Pauliho spinové matice, čo je rotácia dubletového zastúpenia skupiny SU (2).

Polynóm St je možné uviesť aj nasledujúcu charakterizáciu „interpolácie“. Definujte et(z) ≡ e tz a n ≡ stup P . Potom St(z) je jedinečný stupeň & lt n polynóm, ktorý vyhovuje St (k) (a) = et (k) (a) vždy, keď k je menšie ako multiplicita a ako koreň P. Predpokladáme, ako môžeme, že P je minimálny polynóm A. Ďalej predpokladáme, že A je diagonalizovateľná matica. Najmä korene P sú jednoduché a charakterizácia „interpolácie“ tomu nasvedčuje St je dané Lagrangeovým interpolačným vzorcom, takže ide o Lagrangeov-Sylvesterov polynóm.

Na druhom konci, ak P = (z - a) n potom

Najjednoduchším prípadom, ktorý nie je pokrytý vyššie uvedenými pozorovaniami, je situácia, keď P = (z - a) 2 (z - b) < Displaystyle P = (z-a) ^ <2> , (z-b)> ab , ktorý prináša výnosy

Praktický a urýchlený výpočet vyššie uvedeného sa redukuje na nasledujúce rýchle kroky. Zhora si pripomeňme, že n × n maticový exp (tA) predstavuje lineárnu kombináciu prvých n −1 mocností A Cayley-Hamiltonovou vetou. Pre diagonalizovateľné matice, ako je znázornené vyššie, napr. v prípade 2 × 2 dáva Sylvestrov vzorec exp (tA) = Bα exp () + Bβ exp (), kde B s sú Frobeniovi kovarianty A.

Najjednoduchšie je však jednoducho vyriešiť tieto B s priamo vyhodnotením tohto výrazu a jeho prvej derivácie na t = 0 v zmysle A a I a nájsť rovnakú odpoveď ako vyššie.

Ale tento jednoduchý postup funguje aj pre chybné matice, a to zovšeobecnene kvôli Buchheimovi. [19] Toto je znázornené na príklade matice 4 × 4, ktorá je nie je diagonalizovateľnýa B nie sú projekčné matice.

s vlastnymi hodnotami λ1 = 3/4 a λ2 = 1, každá s násobkom dvoch.

Zvážte exponenciál každej vlastnej hodnoty vynásobený t, exp (λit). Vynásobte každú exponenciálnu vlastnú hodnotu zodpovedajúcou neurčenou maticou koeficientu Bi . Ak majú vlastné čísla algebraickú multiplicitu väčšiu ako 1, potom postup opakujte, ale teraz násobte ďalším faktorom t pre každé opakovanie, aby ste zaistili lineárnu nezávislosť.

(If one eigenvalue had a multiplicity of three, then there would be the three terms: B i 1 e λ i t , B i 2 t e λ i t , B i 3 t 2 e λ i t >e^t>,

B_>t^<2>e^t>> . By contrast, when all eigenvalues are distinct, the B s are just the Frobenius covariants, and solving for them as below just amounts to the inversion of the Vandermonde matrix of these 4 eigenvalues.)

Sum all such terms, here four such,

To solve for all of the unknown matrices B in terms of the first three powers of A and the identity, one needs four equations, the above one providing one such at t = 0. Further, differentiate it with respect to t ,

(In the general case, n −1 derivatives need be taken.)

Setting t = 0 in these four equations, the four coefficient matrices B s may now be solved for,

Substituting with the value for A yields the coefficient matrices

The procedure is much shorter than Putzer's algorithm sometimes utilized in such cases.

Suppose that we want to compute the exponential of

where the matrix P is given by

Let us first calculate exp(J). Máme

The exponential of a 1×1 matrix is just the exponential of the one entry of the matrix, so exp(J1(4)) = [e 4 ]. The exponential of J2(16) can be calculated by the formula eJa + N) = e λ e N mentioned above this yields [20]

Therefore, the exponential of the original matrix B je

Linear differential equations Edit

The matrix exponential has applications to systems of linear differential equations. (See also matrix differential equation.) Recall from earlier in this article that a homogénny differential equation of the form

has solution e O r(0) .

If we consider the vector

we can express a system of inhomogeneous coupled linear differential equations as

Making an ansatz to use an integrating factor of eO and multiplying throughout, yields

The second step is possible due to the fact that, if AB = BA potom e O B = Byť O . So, calculating e O leads to the solution to the system, by simply integrating the third step with respect to t .

Example (homogeneous) Edit

The matrix exponential is

so that the general solution of the homogeneous system is

Example (inhomogeneous) Edit

Consider now the inhomogeneous system

From before, we already have the general solution to the homogeneous equation. Since the sum of the homogeneous and particular solutions give the general solution to the inhomogeneous problem, we now only need find the particular solution.

which could be further simplified to get the requisite particular solution determined through variation of parameters. Poznámka c = rp(0). For more rigor, see the following generalization.

Inhomogeneous case generalization: variation of parameters Edit

For the inhomogeneous case, we can use integrating factors (a method akin to variation of parameters). We seek a particular solution of the form rp(t) = exp(tA) z(t) ,

Pre rp to be a solution,

kde c is determined by the initial conditions of the problem.

More precisely, consider the equation

with the initial condition Y.(t0) = Y.0 , kde

A is an n by n complex matrix, F is a continuous function from some open interval I to ℂ n , t 0 > is a point of I , and Y 0 > is a vector of ℂ n .

Left-multiplying the above displayed equality by e −tA yields

We claim that the solution to the equation

where the notation is as follows:

To justify this claim, we transform our order n scalar equation into an order one vector equation by the usual reduction to a first order system. Our vector equation takes the form

where A is the transpose companion matrix of P . We solve this equation as explained above, computing the matrix exponentials by the observation made in Subsection Evaluation by implementation of Sylvester's formula above.

In the case n = 2 we get the following statement. The solution to

where the functions s0 a s1 are as in Subsection Evaluation by Laurent series above.

The matrix exponential of another matrix (matrix-matrix exponential), [21] is defined as

for any normal and non-singular n×n matrix X , and any complex n×n matrix Y .

For matrix-matrix exponentials, there is a distinction between the left exponential Y X and the right exponential X Y , because the multiplication operator for matrix-to-matrix is not commutative. Navyše,


Abidi, H., Gui, G.L., Zhang, P.: On the decay and stability of global solutions to the 3D inhomogeneous Navier–Stokes equations. Commun. Pure Appl. Matematika. 64(6), 832–881 (2011)

Abidi, H., Paicu, M.: Global existence for the magnetohydrodynamic system in critical spaces. Proc. R. Soc. Edinb. Sect. A 138(3), 447–476 (2008)

Alexander, R., Wang, Y.G., Xu, C.J., Yang, T.: Well-posedness of the Prandtl equation in Sobolev spaces. J. Am. Matematika. Soc. 28(3), 745–784 (2015)

Alfvén, H.: Existence of electromagnetic-hydrodynamic waves. Nature 150, 405–406 (1942)

Beirão da Veiga, H.: Vorticity and regularity for flows under the Navier boundary condition. Commun. Pure Appl. Anal. 5(4), 907–918 (2006)

Beirão da Veiga, H., Crispo, F.: Concerning the (W^) -inviscid limit for 3-d flows under a slip boundary condition. J. Math. Fluid Mech. 13(1), 117–135 (2011)

Chen, D.X., Wang, Y.X., Zhang, Z.F.: Well-posedness of the linearized Prandtl equation around a non-monotonic shear flow. Ann. Inšt. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 35(4), 1119–1142 (2018)

Choe, H.J., Kim, H.: Strong solutions of the Navier–Stokes equations for nonhomogeneous incompressible fluids. Commun. Part. Differ. Equ. 28(5–6), 1183–1201 (2003)

Constantin, P.: Note on loss of regularity for solutions of the 3-D incompressible Euler and related equations. Commun. Matematika. Phys. 104(2), 311–326 (1986)

Constantin, P., Foias, C.: Navier–Stokes Equation. University of Chicago Press, Chicago (1988)

Desjardins, B., Le Bris, C.: Remarks on a nonhomogeneous model of magnetohydrodynamics. Differ. Integral Equ. 11(3), 377–394 (1998)

Gérard-Varet, D., Prestipino, M.: Formal derivation and stability analysis of boundary layer models in MHD. Z. Angew. Matematika. Phys. 68(3), 76 (2017)

Gerbeau, J.F., Le Bris, C.: Existence of solution for a density-dependent magnetohydrodynamic equation. Adv. Differ. Equ. 2(3), 427–452 (1997)

Gie, G.M., Jung, C.Y., Temam, R.: Recent progresses in boundary layer theory. Discrete Contin. Dyn. Syst. 36(5), 2521–2583 (2016)

Grenier, E., Guo, Y., Nguyen, T.: Spectral stability of Prandtl boundary layers: an overview. Analysis (Berlin) 35(4), 343–355 (2015)

Grenier, E., Guo, Y., Nguyen, T.: Spectral instability of characteristic boundary layer flows. Duke Math. J. 165(16), 3085–3146 (2016)

Gui, G.L.: Global well-posedness of the two-dimensional incompressible magnetohydrodynamics system with variable density and electrical conductivity. J. Funct. Anal. 267(5), 1488–1539 (2014)

Guo, Y., Nguyen, T.: A note on Prandtl boundary layers. Commun. Pure Appl. Matematika. 64(10), 1416–1438 (2011)

Guo, Y., Nguyen, T.: Prandtl boundary layer expansions of steady Navier–Stokes flows over a moving plate. Ann. PDE 3(1), 10 (2017)

Guo, Y., Iyer, S.: Validity of steady Prandtl layer expansions, arXiv:1805.05891

Huang, Y.T., Liu, C.J., Yang, T.: Local-in-time well-posedness for compressible MHD boundary layer. J. Differ. Equ. 266(6), 2978–3013 (2019)

Ignatova, M., Vicol, V.: Almost global existence for the Prandtl boundary layer equations. Arch. Ration. Mech. Anal. 220(2), 809–848 (2016)

Kato, T.: Nonstationary flows of viscous and ideal fluids in (>^3) . J. Funct. Anal. 9, 296–305 (1972)

Kazhikov, A.V.: Solvability of the initial-boundary value problem for the equations of the motion of an inhomogeneous viscous incompressible fluid. Dokl. Akad. Nauk SSSR 216, 1008–1010 (1974). ((in Russian))

Li, W.X., Wu, D., Xu, C.J.: Gevrey class smoothing effect for the Prandtl equation. SIAM J. Math. Anal 48(3), 1672–1726 (2016)

Li, W.X., Yang, T.: Well-posedness in Gevrey function spaces for the Prandtl equations with non-degenerate critical points. J. Eur. Matematika. Soc. 22(3), 717–775 (2020)

Lin, X.Y., Zhang, T.: Almost global existence for 2D magnetohydrodynamics boundary layer system. Matematika. Methods Appl. Sci. 41(17), 7530–7553 (2018)

Liu, C.J., Wang, D.H., Xie, F., Yang, T.: Magnetic effects on the solvability of 2D MHD boundary layer equations without resistivity in Sobolev spaces. J. Funct. Anal. 279(7), 45 (2020)

Liu, C.J., Xie, F., Yang, T.: A note on the ill-posedness of shear flow for the MHD boundary layer equations. Sci. China Math. 61(11), 2065–2078 (2018)

Liu, C.J., Yang, T.: Ill-posedness of the Prandtl equations in Sobolev spaces around a shear flow with general decay. J. Math. Pures Appl. (9) 108(2), 150–162 (2017)

Liu, C.J., Xie, F., Yang, T.: MHD boundary layers theory in Sobolev spaces without monotonicity. I. Well-posedness theory. Commun. Pure Appl. Matematika. 72(1), 63–121 (2019)

Liu, C.J., Xie, F., Yang, T.: Justification of Prandtl Ansatz for MHD boundary layer. SIAM J. Math. Anal. 51(3), 2748–2791 (2019)

Lions, P.L.: Mathematical Topics in Fluid Mechanics, vol. 1, Incompressible Models Oxford Lecture Series in Mathematics and Applications, vol 3. Oxford University Press, New York (1996)

Masmoudi, N.: Remarks about the inviscid limit of the Navier–Stokes system. Commun. Matematika. Phys. 270(3), 777–788 (2007)

Masmoudi, N., Rousset, F.: Uniform Regularity for the Navier–Stokes equation with Navier boundary condition. Arch. Ration. Mech. Anal. 203(2), 529–575 (2012)

Masmoudi, N., Wong, T.K.: Local-in-time existence and uniqueness of solutions to the Prandtl equations by energy methods. Commun. Pure Appl. Matematika. 68(10), 1683–1741 (2015)

Oleinik, O.A.: On the system of Prandtl equations in boundary-layer theory. Dokl. Akad. Nauk SSSR 150, 28–31 (1963)

Oleinik, O.A.: On the mathematical theory of boundary layer for an unsteady flow of incompressible fluid, Prikl. Mat. Meh. 30, 801–821(Russian) translated as J. Appl. Matematika. Mech. 30, 951–974 (1966)

Oleinik, O.A., Samokhin, V.N.: Mathematical Models in Boundary Layers Theory, Applied Mathematics and Mathematical Computation, vol. 15. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton (1999)

Prandtl, L.: Uber flüssigkeits-bewegung bei sehr kleiner reibung. Verhandlungen des III. Internationlen Mathematiker Kongresses, Heidelberg. Teubner, Leipzig, pp. 484–491 (1904)

Iyer, S.: Steady Prandtl boundary layer expansions over a rotating disk. Arch. Ration. Mech. Anal. 224(2), 421–469 (2017)

Iyer, S.: Steady Prandtl layers over a moving boundary: nonshear Euler flows. SIAM J. Math. Anal. 51(3), 1657–1695 (2019)

Sammartino, M., Caflisch, R.E.: Zero viscosity limit for analytic solutions, of the Navier–Stokes equation on a half-space. I. Existence for Euler and Prandtl equations. Commun. Matematika. Phys. 192(2), 433–461 (1998)

Sammartino, M., Caflisch, R.E.: Zero viscosity limit for analytic solutions of the Navier–Stokes equation on a half-space. II. Construction of the Navier–Stokes solution. Commun. Matematika. Phys. 192(2), 463–491 (1998)

Schlichting, H., Gersten, K.: Unsteady Boundary Layers. In: Boundary-Layer Theory. Springer, Berlin, Heidelberg (2017)

Simon, J.: Nonhomogeneous viscous incompressible fluids: existence of velocity, density, and pressure. SIAM J. Math. Anal. 21(5), 1093–1117 (1990)

Wang, Y., Xin, Z.P., Yong, Y.: Uniform regularity and vanishing viscosity limit for the compressible Navier–Stokes with general Navier-Slip boundary conditions in three-dimensional domains. SIAM J. Math. Anal. 47(6), 4123–4191 (2015)

Xiao, Y.L., Xin, Z.P.: On 3D Lagrangian Navier–Stokes (alpha ) model with a class of vorticityslip boundary conditions. J. Math. Fluid Mech. 15(2), 215–247 (2013)

Xie, F., Yang, T.: Global-in-time stability of 2D MHD boundary layer in the Prandtl-Hartmann regime. SIAM J. Math. Anal. 50(6), 5749–5760 (2018)

Xie, F., Yang, T.: Lifespan of solutions to MHD boundary layer equations with analytic perturbation of general shear flow. Acta Math. Appl. Sin. Engl. Ser. 35(1), 209–229 (2019)

Xu, C.J., Zhang, X.: Long time well-posedness of Prandtl equations in Sobolev space. J. Differ. Equ. 263(12), 8749–8803 (2017)

Zhang, P., Zhang, Z.F.: Long time well-posedness of Prandtl system with small and analytic initial data. J. Funct. Anal. 270(7), 2591–2615 (2016)


Affiliations

College of Mathematics and Statistics, Chongqing University, Chongqing, P.R. China

College of Sciences, Shihezi University, Xinjiang, P.R. China

You can also search for this author in PubMed Google Scholar

You can also search for this author in PubMed Google Scholar

You can also search for this author in PubMed Google Scholar

Contributions

YZ derived the scheme and implements the numerical examples KW proposed the problem and supervised the deduction of the scheme and simulation of the numerical examples RG suggested some details. All authors read and approved the final manuscript.

Corresponding author