Články

13.1E: Problémy s hraničnými hodnotami (cvičenia) - Matematika


Q13.1.1

1. Skontrolujte, či (B_ {1} ) a (B_ {2} ) sú lineárne operátory; to znamená, že ak (c_ {1} ) a (c_ {2} ) sú konštanty, potom [B_ {i} (c_ {1} y_ {1} + c_ {2} y_ {2}) = c_ {1} B_ {i} (y_ {1}) + c_ {2} B_ {i} (y_ {2}), quad i = 1,2. nonumber ]

Q13.1.2

V Cvičenia 13.1.2-13.1.7 vyriešiť problém s hraničnou hodnotou.

2. (y '- y = x ), (y (0) = - 2 ), (y (1) = 1 )

3. (y "= 2-3x ), (y (0) = 0 ), (y (1) -y '(1) = 0 )

4. (y '- y = x ), (y (0) + y' (0) = 3 ), (y (1) -y '(1) = 2 )

5. (y '+ 4y = 1 ), (y (0) = 3 ), (y ( pi / 2) + y' ( pi / 2) = - 7 )

6. (y '- 2r' + y = 2e ^ {x} ), (y (0) -2r '(0) = 3 ), (y (1) + y' (1) = 6e )

7. (y '- 7r' + 12r = 4e ^ {2x} ), (y (0) + y '(0) = 8 ), (y (1) = - 7e ^ {2 } ) (pozri príklad 13.1.5)

Q13.1.3

8. Uveďte podmienku na (F ) tak, aby problém medznej hodnoty [y '' = F (x), quad y (0) = 0, quad y (1) -y '(1) = 0 nonumber ] má riešenie a nájde všetky riešenia.

9.

  1. Uveďte podmienku na (a ) a (b ) tak, aby problém medznej hodnoty [y '+ y = F (x), quad y (a) = 0, quad y (b) = 0 tag {A} ] má jedinečné riešenie pre každú spojitú (F ) a nájdite riešenie metódou použitou na dokázanie vety 13.1.3
  2. V prípade, že (a ) a (b ) nespĺňajú podmienku, ktorú ste zadali pre (a), uveďte potrebné a dostatočné na (F ), aby (A) malo riešenie, a nájdite všetky riešenia metódou použitou na dokázanie vety 13.1.4.

10. Postupujte podľa pokynov v Cvičenie 13.1.9 pre problém medznej hodnoty [y '+ y = F (x), quad y (a) = 0, quad y' (b) = 0. nonumber ]

11. Postupujte podľa pokynov v Cvičenie 13.1.9 pre problém medznej hodnoty [y '+ y = F (x), quad y' (a) = 0, quad y '(b) = 0. nonumber ]

Q13.1.4

V Cvičenia 13.1.12-13.1.15 nájdite vzorec na riešenie hraničnej úlohy metódou použitou na dokázanie vety 13.1.3. Predpokladajme, že (a

12. (y '- y = F (x) ), (y (a) = 0 ), (y (b) = 0 )

13. (y '- y = F (x) ), (y (a) = 0 ), (y' (b) = 0 )

14. (y '- y = F (x) ), (y' (a) = 0 ), (y '(b) = 0 )

15. (y '- y = F (x) ), (y (a) -y' (a) = 0 ), (y (b) + y '(b) = 0 )

Q13.1.5

V Cvičenia 13.1.16-13.1.19 nájdite všetky hodnoty ( omega ), aby mala hraničná úloha jedinečné riešenie, a nájdite riešenie podľa metódy použitej na preukázanie vety 13.1.3. Pre ďalšie hodnoty ( omega ) nájdite podmienky na (F ) také, aby problém mal riešenie, a nájdite všetky riešenia metódou použitou na dokázanie vety 13.1.4.

16. (y '+ + omega ^ {2} y = F (x) ), (y (0) = 0 ), (y ( pi) = 0 )

17. (y '+ omega ^ {2} y = F (x) ), (y (0) = 0 ), (y' ( pi) = 0 )

18. (y '+ omega ^ {2} y = F (x) ), (y' (0) = 0 ), (y ( pi) = 0 )

19. (y '+ + omega ^ {2} y = F (x) ), (y' (0) = 0 ), (y '( pi) = 0 )

Q13.1.6

20. Nech ( {z_ {1}, z_ {2} } ) je základnou množinou riešení (Ly = 0 ). Vzhľadom na to, že problém homogénnej hraničnej hodnoty [Ly = 0, quad B_ {1} (y) = 0, quad B_ {2} (y) = 0 nonumber ] má netriviálne riešenie, vyjadrte ho výslovne v termínoch z (z_ {1} ) a (z_ {2} ).

21. Ak má problém s hraničnou hodnotou riešenie pre každú spojitú (F ), nájdite Greenovu funkciu pre daný problém a použite ju na napísanie explicitného vzorca pre riešenie. V opačnom prípade, ak problém s hraničnou hodnotou nemá riešenie pre každý súvislý (F ), nájdite na (F ) potrebnú a dostatočnú podmienku, aby problém mal riešenie, a nájdite všetky riešenia. Predpokladajme, že (a

  1. (y "= F (x) ), (y (a) = 0 ), (y (b) = 0 )
  2. (y "= F (x) ), (y (a) = 0 ), (y '(b) = 0 )
  3. (y '= = F (x) ), (y' (a) = 0 ), (y (b) = 0 )
  4. (y '= F (x) ), (y' (a) = 0 ), (y '(b) = 0 )

22. Nájdite Greenovu funkciu pre problém s hraničnou hodnotou [y '' = F (x), quad y (0) -2y '(0) = 0, quad y (1) + 2y' (1) = 0. tag {A} ] Potom pomocou funkcie Greena vyriešte (A) pomocou

  1. (F (x) = 1 ),
  2. (F (x) = x ) a
  3. (F (x) = x ^ {2} ).

23. Nájdite Greenovu funkciu pre problém s hraničnou hodnotou [x ^ {2} y '' + xy '+ (x ^ {2} -1/4) y = F (x), quad y ( pi / 2) = 0, quad y ( pi) = 0, značka {A} ] vzhľadom na to, že [y_ {1} (x) = frac { cos x} { sqrt {x}} quad text {and} quad y_ {2} (x) = frac { sin x} { sqrt {x}} nonumber ] sú riešenia doplnkovej rovnice. Potom pomocou funkcie Greena vyriešte (A) pomocou

  1. (F (x) = x ^ {3/2} ) a
  2. (F (x) = x ^ {5/2} ).

24. Nájdite Greenovu funkciu pre problém medznej hodnoty [x ^ {2} y '' - 2xy '+ 2y = F (x), quad y (1) = 0, quad y (2) = 0, tag {A} ] vzhľadom na to, že ( {x, x ^ {2} } ) je základnou sadou riešení doplnkovej rovnice. Potom pomocou funkcie Greena vyriešte (A) pomocou

  1. (F (x) = 2x ^ {3} ) a
  2. (F (x) = 6x ^ {4} ).

25. Nájdite Greenovu funkciu pre problém s hraničnou hodnotou [x ^ {2} y '' + xy'-y = F (x), quad y (1) -2y '(1) = 0, quad y '(2) = 0, značka {A} ] vzhľadom na to, že ( {x, 1 / x } ) je základnou sadou riešení doplnkovej rovnice. Potom pomocou funkcie Greena vyriešte (A) pomocou

  1. (F (x) = 1 ),
  2. (F (x) = x ^ {2} ) a
  3. (F (x) = x ^ {3} ).

Q13.1.7

V Cvičenia 13.1.26-13.1.30 nájdite potrebné a dostatočné podmienky na ( alfa, β, ρ ) a (δ ), aby problém okrajovej hodnoty mal jedinečné riešenie pre každú spojitú (F ), a nájdite Greenovu funkciu.

26. (y '= = F (x) ), ( alfa y (0) + beta y' (0) = 0 ), ( rho y (1) + delta y '( 1) = 0 )

27. (y '+ y = F (x) ), ( alfa y (0) + beta y' (0) = 0 ), ( rho y ( pi) + delta y '( pi) = 0 )

28. (y '+ y = F (x) ), ( alfa y (0) + beta y' (0) = 0 ), ( rho y ( pi / 2) + delta y '( pi / 2) = 0 )

29. (y '- 2r' + 2r = F (x) ), ( alfa y (0) + beta y '(0) = 0 ), ( rho y ( pi) + delta y '( pi) = 0 )

30. (y '- 2r' + 2r = F (x) ), ( alfa y (0) + beta y '(0) = 0 ), ( rho y ( pi / 2) + delta y '( pi / 2) = 0 )

Q13.1.8

31. Nájdite potrebné a dostatočné podmienky na ( alpha ), ( beta ), ( rho ) a ( delta ) pre problém okrajovej hodnoty [y '- y = F (x), quad alpha y (a) + beta y '(a) = 0, quad rho y (b) + delta y' (b) = 0 tag {A} ] mať jedinečné riešenie pre každú spojitú (F ) a nájdite Greenovu funkciu pre (A). Predpokladajme, že (a

32. Ukážte, že z predpokladov vety 13.1.3 vyplýva, že jedinečné riešenie [Ly = F, quad B_ {1} (y) = k_ {1}, quad B_ {2} (y) = f_ { 2} nonumber ] je [y = int_ {a} ^ {b} G (x, t) F (t) , dt + frac {k_ {2}} {B_ {2}} (y_ {1}) y_ {1} + frac {k_ {1}} {B_ {1} (y_ {2})} y_ {2}. Nonumber ]


13.1E: Problémy s hraničnými hodnotami (cvičenia) - Matematika

Dobre, konečne je čas úplne vyriešiť parciálnu diferenciálnu rovnicu. V predchádzajúcej časti sme aplikovali separáciu premenných na niekoľko parciálnych diferenciálnych rovníc a zmenšili problém až na potrebu riešenia dvoch bežných diferenciálnych rovníc. V tejto časti teraz vyriešime tie bežné diferenciálne rovnice a pomocou výsledkov dostaneme riešenie parciálnej diferenciálnej rovnice. Budeme sa sústrediť na rovnicu tepla v tejto časti a v ďalších častiach urobíme vlnovú rovnicu a Laplaceovu rovnicu.

Prvým problémom, na ktorý sa pozrieme, bude distribúcia teploty v pruhu s nulovými teplotnými hranicami. Chystáme sa vykonať prácu v niekoľkých krokoch, aby sme si mohli urobiť čas a zistiť, ako všetko funguje.

Prvá vec, ktorú musíme urobiť, je nájsť riešenie, ktoré uspokojí parciálnu diferenciálnu rovnicu a okrajové podmienky. V tomto okamihu si nebudeme robiť starosti s pôvodným stavom. Riešenie, ktoré dostaneme ako prvé, nebude uspokojovať prevažnú väčšinu počiatočných podmienok, ale ako uvidíme, dá sa použiť na nájdenie riešenia, ktoré uspokojí dostatočne peknú počiatočnú podmienku.

Dobre, prvá vec, ktorú tu technicky musíme urobiť, je použiť oddelenie premenných. Aj keď sme to urobili v predchádzajúcej časti, pripomeňme si, čo sme urobili.

Najprv predpokladáme, že riešenie bude mať formu,

[u doľava ( right) = varphi left (x right) G left (t right) ]

a zapojíme to do parciálnej diferenciálnej rovnice a okrajových podmienok. Oddelíme rovnicu, aby sme dostali funkciu iba (t ) na jednej strane a funkciu iba (x ) na druhej strane, a potom vložíme separačnú konštantu. Ostávajú nám tak dve obyčajné diferenciálne rovnice.

Toto všetko sme urobili v príklade 1 predchádzajúcej časti a dve bežné diferenciálne rovnice sú,

Časovo závislú rovnicu je možné skutočne vyriešiť kedykoľvek, ale keďže nevieme, čo ( lambda ) sa zatiaľ drží, odložme ju. Upozorňujeme tiež, že v mnohých problémoch je možné v tomto bode vyriešiť iba problém s hraničnou hodnotou, takže neočakávajte, že v tomto okamihu budete schopní vyriešiť jeden z nich.

Priestorová rovnica je problémom okrajových hodnôt a z našej práce v predchádzajúcej kapitole vieme, že bude mať iba netriviálne riešenia (ktoré chceme) pre určité hodnoty ( lambda ), ktoré si pripomenieme, nazývame vlastné hodnoty. Keď ich máme, môžeme určiť netriviálne riešenia pre každú ( lambda ), t.j. vlastné funkcie.

Teraz sme vlastne vyriešili priestorový problém,

v príklade 1 časti Vlastné hodnoty a vlastné funkcie predchádzajúcej kapitoly pre (L = 2 pi ). Pretože sme to teda raz vyriešili pre konkrétny (L ) a práca sa až tak veľmi nelíši od všeobecného (L ), nebudeme tu veľa vysvetľovať a ak potrebujete pripomienku toho, ako niečo funguje, alebo prečo sme niečo urobili, vráťte sa k príkladu 1 v časti Vlastné hodnoty a vlastné funkcie, aby ste si pripomenuli.

Máme tri prípady, ktoré musíme vyriešiť, tak poďme na to.

( podčiarknutie < lambda & gt 0> )
V tomto prípade vieme, že riešením diferenciálnej rovnice je,

Aplikácia prvej okrajovej podmienky dáva,

Teraz použitie druhej okrajovej podmienky a použitie vyššie uvedeného výsledku samozrejme dáva,

[0 = varphi vľavo (L vpravo) = sin left ( správny)]

Teraz sme po netriviálnych riešeniach, a to znamená, že musíme mať,

[ sin vľavo ( right) = 0 hspace <0,25in> Rightarrow hspace <0,25in> L sqrt lambda = n pi hspace <0,25in> n = 1,2,3, ldots ]

Pozitívne vlastné hodnoty a im zodpovedajúce vlastné funkcie tohto problému s hraničnou hodnotou sú potom,

Upozorňujeme, že () vo vlastnej funkcii, pretože sa len vstrebá do inej konštanty, ktorú si neskôr vyzdvihneme.

( podčiarknutie < lambda = 0> )
Riešením diferenciálnej rovnice je v tomto prípade,

Uplatnenie okrajových podmienok dáva,

[0 = varphi doľava (0 doprava) = hspace <0,25in> 0 = varphi dolava (L sprava) = L hspace <0,25in> Rightarrow hspace <0,25in> = 0]

Takže v tomto prípade je jediným riešením triviálne riešenie a ( lambda = 0 ) teda nie je vlastným číslom pre tento problém s hraničnou hodnotou.

( podčiarknutie < lambda & lt 0> )
Tu je riešenie diferenciálnej rovnice,

Aplikácia prvej okrajovej podmienky dáva,

a použitie druhého dáva,

[0 = varphi vľavo (L vpravo) = sinh vľavo ( > vpravo) ]

Takže predpokladáme ( lambda & lt 0 ) a (L sqrt <- lambda> ne 0 ) a to znamená ( sinh left ( > right) ne 0 ). Preto musíme mať ( = 0 ), a tak môžeme v tomto prípade získať iba triviálne riešenie.

Preto pre tento problém s hraničnou hodnotou nebudú žiadne negatívne vlastné čísla.

Kompletný zoznam vlastných čísel a vlastných funkcií pre tento problém je potom,

Poďme vyriešiť rovnicu časového diferenciálu,

a všimnite si, že aj keď už vieme ( lambda ), nebudeme ju ešte celkom zapájať, aby sa neporiadok obmedzil na minimum. Teraz však použijeme (< lambda _n> ), aby sme si pripomenuli, že tu máme skutočne nekonečné množstvo možných hodnôt.

Toto je jednoduchá lineárna (a na to oddeliteľná) diferenciálna rovnica 1. rádu, takže vám umožníme overiť, že riešením je,

Dobre, teraz, keď sme dostali obe obyčajné diferenciálne rovnice vyriešené, môžeme konečne napísať riešenie. Upozorňujeme však, že v skutočnosti sme našli nekonečne veľa riešení, pretože ich je nekonečne veľa (t.j. eigenfunctions) k priestorovému problému.

Naše produktové riešenia sú potom,

Označili sme produktové riešenie () uznať, že každá hodnota (n ) prinesie iné riešenie. Upozorňujeme tiež, že sme zmenili (c ) v riešení časového problému na () na označenie skutočnosti, že pravdepodobne bude iná aj pre každú hodnotu (n ) a pretože by sme ponechali () S vlastnou funkciou by sme ju absorbovali do (c ), aby sme v našom riešení dostali jednu konštantu.

Takže, tu to máme. Vyššie uvedená funkcia uspokojí tepelnú rovnicu a okrajovú podmienku nulovej teploty na koncoch tyče.

Problém tohto riešenia spočíva v tom, že jednoducho nesplní takmer všetky možné počiatočné podmienky, ktoré by sme mohli chcieť použiť. To však neznamená, že nie je aspoň málo takých, ktoré uspokojí, ako ukazuje nasledujúci príklad.

  1. ( Displaystyle f doľava (x doprava) = 6 sin doľava (< frac << pi x >>> vpravo) )
  2. ( Displaystyle f doľava (x doprava) = 12 sin doľava (< frac << 9 pi x >>> vpravo) - 7 sin doľava (< frac << 4 pi x >>> vpravo) )

To je v skutočnosti jednoduchšie, ako to vyzerá. Všetko, čo musíme urobiť, je zvoliť (n = 1 ) a ( = 6 ) v riešení produktu vyššie získať,

a máme riešenie, ktoré potrebujeme. Toto je produktové riešenie pre prvý príklad, a tak spĺňa parciálnu diferenciálnu rovnicu a okrajové podmienky a uspokojí počiatočnú podmienku, pretože zapojením (t = 0 ) vypadne exponenciál.

To je takmer také jednoduché ako prvá časť. Pripomeňme si z princípu superpozície, že ak máme dve riešenia lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice (ktoré sme tu dostali), potom je ich súčet tiež riešením. Všetko, čo musíme urobiť, je zvoliť (n ) a () ako sme to urobili v prvej časti, aby sme dostali riešenie, ktoré uspokojí každú časť počiatočnej podmienky, a potom ich spočítajte. Toto dáva,

Necháme na vás, aby sme overili, či skutočne vyhovuje počiatočnej podmienke a okrajovým podmienkam.

Videli sme teda, že naše riešenie z prvého príkladu uspokojí aspoň malý počet veľmi špecifických počiatočných podmienok.

Teraz si trochu rozšírime myšlienku, ktorú sme použili v druhej časti predchádzajúceho príkladu, aby sme zistili, ako môžeme získať riešenie, ktoré uspokojí každú dostatočne peknú počiatočnú podmienku. Princíp superpozície sa samozrejme neobmedzuje iba na dve riešenia. Napríklad toto je tiež riešením parciálnej diferenciálnej rovnice.

a všimnite si, že toto riešenie nielenže splní okrajové podmienky, ale uspokojí aj pôvodnú podmienku,

Poďme to ešte rozšíriť a vezmime limit ako (M do infty ). Keď sa to teraz stane naším riešením,

Toto riešenie uspokojí všetky počiatočné podmienky, ktoré je možné zapísať vo forme,

[u doľava ( right) = f left (x right) = sum limits_^ infty < sin doľava (< frac <>> vpravo)> ]

To sa stále môže javiť ako veľmi obmedzujúce, ale série po pravej strane by vám po predchádzajúcej kapitole mali pripadať strašne povedomé. Séria vľavo je presne séria Fourierových sínusov, na ktorú sme sa v tejto kapitole pozreli. Pamätajte tiež, že keď môžeme zapísať Fourierovu sínusovú sériu pre každú po častiach plynulú funkciu na (0 le x le L ).

Takže za predpokladu, že naša počiatočná podmienka je po častiach hladká po uplatnení počiatočnej podmienky na naše riešenie, môžeme určiť () akoby sme nachádzali Fourierovu sínusovú sériu počiatočných podmienok. Môžeme teda buď postupovať tak, ako sme to urobili v tejto časti, a na ich odvodenie použijeme ortogonálnosť sínusov, alebo môžeme uznať, že túto prácu sme už vykonali a vieme, že koeficienty sú dané,

Takže konečne môžeme úplne vyriešiť parciálnu diferenciálnu rovnicu.

Tu toho naozaj nie je toľko, čo by sa dalo urobiť, pretože väčšinu sme vykonali v príkladoch a diskusii vyššie.

Koeficienty sú dané,

Ak ich zapojíme, dostaneme riešenie,

To sa zdá byť takmer anti-klimatické. Toto bol veľmi krátky problém. Samozrejme, niečo z toho vzniklo preto, lebo sme mali skutočne jednoduchý konštantný počiatočný stav, a preto bol integrál veľmi jednoduchý. Nezabudnite však na všetku prácu, ktorú sme museli dať do diskusie o Fourierových sínusových radoch, riešenia problémov s hraničnými hodnotami, uplatnenia oddelenia premenných a následného spojenia všetkého, aby sme dosiahli tento bod.

Aj keď samotný príklad bol veľmi jednoduchý, bol jednoduchý iba kvôli všetkej práci, ktorú sme museli venovať vývoju myšlienok, ktoré nám to dokonca umožnili. Z dôvodu toho, aké „jednoduché“ bude často získanie týchto riešení, nebudeme už vlastne robiť s konkrétnymi počiatočnými podmienkami. Namiesto toho sa sústredíme na jednoduchý vývoj vzorcov, ktoré budeme musieť vyhodnotiť, aby sme dosiahli skutočné riešenie.

Po tomto, prejdime k nasledujúcemu príkladu. V tomto prípade sa opäť pozrieme na rozloženie teploty v pruhu s dokonale izolovanými hranicami. Tiež už nejdeme v krokoch. Urobíme úplné riešenie ako jediný príklad a nakoniec nájdeme riešenie, ktoré uspokojí každú po častiach hladkú počiatočnú podmienku.

Na tento problém sme použili oddelenie premenných v príklade 2 predchádzajúcej časti. Takže po predpoklade, že naše riešenie je vo forme,

[u doľava ( right) = varphi left (x right) G left (t right) ]

a použitím separácie premenných dostaneme nasledujúce dve bežné diferenciálne rovnice, ktoré musíme vyriešiť.

Problém s hraničnou hodnotou sme vyriešili v príklade 2 časti Vlastné hodnoty a vlastné funkcie predchádzajúcej kapitoly pre (L = 2 pi ), takže ako v prvom príklade v tejto časti nebudeme veľa vysvetľovať práca tu. Ak potrebujete pripomenutie, ako to funguje, vráťte sa k predchádzajúcej kapitole a pozrite si príklad, ktorý sme tam pracovali. Poďme na tri prípady, ktoré musíme pre tento problém vyriešiť.

( podčiarknutie < lambda & gt 0> )
Riešením diferenciálnej rovnice je,

Aplikácia prvej okrajovej podmienky dáva,

[0 = frac <><> doľava (0 doprava) = sqrt lambda , hspace <0,25in> Rightarrow hspace <0,25in> = 0]

Druhá okrajová podmienka dáva,

Pripomeňme si to ( lambda & gt 0 ), takže netriviálne riešenia dostaneme, iba ak to budeme vyžadovať,

[ sin vľavo ( right) = 0 hspace <0,25in> Rightarrow hspace <0,25in> L sqrt lambda = n pi hspace <0,25in> n = 1,2,3, ldots ]

Pozitívne vlastné hodnoty a im zodpovedajúce vlastné funkcie tohto problému s hraničnou hodnotou sú potom,

( podčiarknutie < lambda = 0> )
Všeobecné riešenie je,

Aplikácia prvej okrajovej podmienky dáva,

Pomocou tohto je potom všeobecné riešenie,

a všimnite si, že to triviálne splní druhú okrajovú podmienku. Preto ( lambda = 0 ) je vlastné číslo pre tento BVP a vlastné funkcie zodpovedajúce tomuto vlastnému číslu je,

( podčiarknutie < lambda & lt 0> )
Všeobecné riešenie tu je,

Aplikácia prvej okrajovej podmienky dáva,

Druhá okrajová podmienka dáva,

Vieme, že (L sqrt <- lambda> ne 0 ) a tak ( sinh vľavo ( > right) ne 0 ). Preto musíme mať ( = 0 ), a tak tento problém s hraničnou hodnotou nebude mať žiadne záporné vlastné čísla.

Takže úplný zoznam vlastných čísel a vlastných funkcií pre tento problém je potom,

a všimnite si, že dostaneme vlastné číslo (< lambda _ <, 0 >> = 0 ) a jeho vlastné funkcie, ak v prvej sade povolíme (n = 0 ), a preto použijeme nasledujúce ako množina vlastných čísel a vlastných funkcií.

Časový problém je tu rovnaký ako prvý problém, na ktorý sme sa pozreli,

Naše produktové riešenia potom budú,

a riešenie tejto parciálnej diferenciálnej rovnice je,

Ak na to použijeme počiatočnú podmienku, dostaneme

[u doľava ( right) = f left (x right) = sum limits_^ infty < cos left (< frac <>> vpravo)> ]

a môžeme vidieť, že to nie je nič iné ako Fourierova kosínová rada pre (f doľava (x doprava) ) na (0 le x le L ), a tak by sme opäť mohli použiť ortogonálnosť kosínusov odvodiť koeficienty alebo si môžeme spomenúť, že sme to už urobili v predchádzajúcej kapitole a vieme, že koeficienty sú dané,

Posledný príklad, ktorý v tejto časti budeme pracovať, sa trochu líši od prvých dvoch. Uvažujeme o rozdelení teploty v tenkom kruhovom prstenci. Budeme považovať bočné povrchy za dokonale izolované a budeme tiež predpokladať, že krúžok je dostatočne tenký, aby sa teplota nemenila so vzdialenosťou od stredu krúžku.

Čo nám teda zostáva? Nastavme (x = 0 ), ako je to znázornené nižšie, a potom (x ) je dĺžka oblúka krúžku meraná od tohto bodu.

Zmeriame (x ) ako kladné, ak sa posunieme doprava, a záporné, ak sa posunieme doľava od (x = 0 ). To znamená, že v hornej časti kruhu sa stretneme kde (x = L ) (ak sa presunieme doprava) a (x = - L ) (ak sa presunieme doľava). Týmto môžeme tento krúžok považovať za čiaru dĺžky 2 (L ) a rovnica tepla, ktorú sme vyvinuli predtým v tejto kapitole, bude stále platiť.

V mieste krúžku považujeme dva „konce“ za dokonalý tepelný kontakt. To znamená, že na obidvoch koncoch musí byť rovnaká teplota aj tepelný tok. Inými slovami musíme mať,

Ak si spomeniete z časti, v ktorej sme odvodili rovnicu tepla, nazvali sme ich periodické okrajové podmienky. Takže problém, ktorý musíme vyriešiť, aby sme v tomto prípade dostali distribúciu teploty, je,

Na tento problém sme použili oddelenie premenných v príklade 3 predchádzajúcej časti. Ak teda predpokladáme, že riešenie je vo forme,

[u doľava ( right) = varphi left (x right) G left (t right) ]

dostaneme nasledujúce dve bežné diferenciálne rovnice, ktoré musíme vyriešiť.

Ako sme videli pri predchádzajúcich dvoch problémoch, problém s hraničnou hodnotou, ako je tento, sme už vyriešili späť v časti Vlastné hodnoty a vlastné funkcie predchádzajúcej kapitoly, príklad 3 bude presný s (L = pi ). Ak teda potrebujete ďalšie vysvetlenie toho, čo sa tu deje, vráťte sa k tomuto príkladu a môžete si pozrieť ďalšie vysvetlenie.

Máme tu opäť tri prípady, ktoré musíme riešiť.

( podčiarknutie < lambda & gt 0> )
Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice je,

Aplikácia prvej okrajovej podmienky a pripomenutie, že kosínus je párna funkcia a sínus je nepárna funkcia nám dáva,

V tejto fáze nemôžeme povedať nič ako () alebo sínus môže byť nula. Použime teda druhú okrajovú podmienku a pozrime sa, čo dostaneme.

[začať - sqrt lambda , sin left (<- L sqrt lambda> right) + sqrt lambda , cos left (<- L sqrt lambda> right) & = - sqrt lambda , sin left ( right) + sqrt lambda , cos left ( right) sqrt lambda , sin left ( right) & = - sqrt lambda , sin left ( right) 2 sqrt lambda , sin left ( right) & = 0 end]

Dostaneme niečo podobné. Všimnite si však, že ak ( sin left ( right) ne 0 ) potom by sme boli nútení mať ( = = 0 ) a toto by nám dalo triviálne riešenie, ktoré nechceme.

To znamená, že teda musíme mať ( sin left ( right) = 0 ) čo zase znamená (z práce v našich predchádzajúcich príkladoch), že kladné vlastné čísla pre tento problém sú,

Teraz nie je dôvod sa domnievať, že ( = 0 ) alebo ( = 0 ). Vieme iba to, že obe nemôžu byť nulové, čo znamená, že v skutočnosti máme pre tento problém dve sady vlastných funkcií zodpovedajúcich pozitívnym vlastným hodnotám. Oni sú,

( podčiarknutie < lambda = 0> )
Všeobecné riešenie v tomto prípade je,

Aplikácia prvej okrajovej podmienky dáva,

Všeobecné riešenie je potom,

a toto triviálne uspokojí druhú okrajovú podmienku. Preto ( lambda = 0 ) je vlastné číslo pre tento BVP a vlastné funkcie zodpovedajúce tomuto vlastnému číslu je,

( podčiarknutie < lambda & lt 0> )
Pre tento posledný prípad je tu všeobecné riešenie,

Aplikácia prvej okrajovej podmienky a skutočnosť, že hyperbolický kosínus je párny a hyperbolický sínus je nepárny, dáva,

Teraz v tomto prípade predpokladáme, že ( lambda & lt 0 ) a tak (L sqrt <- lambda> ne 0 ). Toto otočenie nám hovorí, že ( sinh left ( > right) ne 0 ). Preto musíme mať ( = 0).

Teraz použijeme druhú okrajovú podmienku na získanie,

Podľa nášho predpokladu na ( lambda ) tu opäť nemáme inú možnosť, ako mať ( = 0 ), takže pre tento problém s hraničnou hodnotou neexistujú žiadne záporné vlastné čísla.

Keď to zhrnieme, máme nasledujúce sady vlastných čísel a vlastných funkcií a všimnite si, že sme prípad ( lambda = 0 ) spojili do kosínového prípadu, pretože tu môže byť trochu zjednodušené.

Časový problém je opäť identický s dvoma, ktoré sme tu už pracovali, a tak máme,

Tento príklad sa teraz trochu líši od predchádzajúcich dvoch problémov s teplom, na ktoré sme sa pozreli. V tomto prípade vlastne máme dve rôzne možné produktové riešenia, ktoré vyhovejú parciálnej diferenciálnej rovnici a okrajovým podmienkam. Oni sú,

Princíp superpozície však stále platí, takže súčet všetkých z nich bude tiež riešením, a teda riešením tejto parciálnej diferenciálnej rovnice je,

Ak na to použijeme počiatočnú podmienku, dostaneme

[u doľava ( right) = f left (x right) = sum limits_^ infty < cos left (< frac <>> vpravo)> + suma limity_^ infty < sin doľava (< frac <>> vpravo)> ]

a rovnako ako sme videli v predchádzajúcich dvoch príkladoch, dostaneme Fourierovu sériu. Rozdiel je tentokrát v tom, že dostaneme celú Fourierovu sériu pre po kúskoch hladkú počiatočnú podmienku na (- L le x le L ). Ako bolo uvedené v predchádzajúcich dvoch príkladoch, mohli by sme buď prepočítať vzorce pre koeficienty pomocou ortogonality sínusov a kosínusov, alebo si môžeme spomenúť na prácu, ktorú sme už vykonali. V tejto chvíli naozaj nie je dôvod opakovať už vykonanú prácu, takže koeficienty sú dané,

Toto je dôvod nastavenia (x ), ako sme to urobili na začiatku tohto problému. Celá Fourierova séria potrebuje interval (- L le x le L ), zatiaľ čo Fourierova sínusová a kosínová séria, ktorú sme videli v prvých dvoch problémoch, potrebuje (0 le x le L ).

Dobre, teraz sme videli vyriešiť tri problémy s rovnicami tepla, a preto túto časť opustíme. Možno budete chcieť prejsť dvoma prípadmi, keď máme na jednej hranici nulovú teplotu a na druhej dokonale izolovanú hranicu, aby ste zistili, či máte tento proces znížený.


Nech je akákoľvek časová škála, ktorá je podmnožinou. Koncept dynamických rovníc na časových škálach môže vytvárať mosty medzi diferenciálnymi a diferenčnými rovnicami. Tento koncept nám poskytuje nielen jednotný prístup k štúdiu problémov s hraničnými hodnotami na diskrétnych intervaloch s jednotnou veľkosťou kroku a reálnymi intervalmi, ale poskytuje aj rozšírený prístup k štúdiu na diskrétnom prípade s nejednotnou veľkosťou kroku alebo kombináciou reálnych a diskrétnych intervalov. Niektoré základné definície a vety o časových škálach možno nájsť v [1, 2].

V tomto príspevku študujeme existenciu pozitívnych riešení pre nasledujúci nelineárny problém so štvorbodovou hraničnou hodnotou s -lapovým operátorom:

kde je operátor, to znamená pre, kde,,, s:

funkcia a nezmizne rovnako pri žiadnom uzavretom podintervali a,

je nepretržitý a uspokojuje, že existujú také, že pre.

V posledných rokoch sa existencii pozitívnych riešení problémov s nelineárnymi okrajovými hodnotami u -Laplačanov venovala veľká pozornosť, pretože viedli k niekoľkým dôležitým matematickým a fyzikálnym aplikáciám [3, 4]. Najmä pre alebo je lineárne sa získala existencia pozitívnych riešení problémov s nelineárnymi singulárnymi okrajovými hodnotami [5, 6]. -Laplaciánske problémy s dvoj-, troj- a m-bodové okrajové podmienky pre bežné diferenciálne rovnice a rozdielové rovnice boli študované v [7–9] a v odkazoch v nich uvedených. V poslednom období sa venuje veľká pozornosť otázke pozitívnych riešení okrajových úloh pre dynamické rovnice druhého rádu na časových škálach, pozri [10–13]. Obzvlášť by sme chceli spomenúť niektoré výsledky Agarwal a O'Regan [14], Chyan a Henderson [5], Song a Weng [15], Sun a Li [16] a Liu [17], ktoré nás motivujú uvažovať o probléme -Laplaciánska hraničná hodnota na časových škálach.

Cieľom tohto príspevku je ustanoviť niekoľko jednoduchých kritérií pre existenciu pozitívnych riešení -Laplacian BVP (1.1) - (1.2). Tento príspevok je usporiadaný nasledovne. V časti 2 si najskôr predstavíme riešenie a niektoré vlastnosti riešenia lineárneho -Laplaciánskeho BVP zodpovedajúce (1.1) - (1.2). Následne definujeme Banachov priestor, kužeľ a integrálny operátor, aby sme dokázali existenciu riešenia (1.1) - (1.2). V časti 3 uvádzame vety o pevnom bode, aby sme dokázali hlavné výsledky, a získame existenciu najmenej jedného a dvoch pozitívnych riešení pre nelineárny -Laplaciánsky BVP (1.1) - (1.2). Nakoniec pomocou monotónnej metódy dokazujeme existenciu riešení pre -Laplacian BVP v časti 4.


Adolfsson V .: Ľ 2 - integrovateľnosť derivátov druhého rádu pre Poissonovu rovnicu v nehladkých doménach. Matematika. Scand. 70, 146–160 (1992)

Agmon S., Douglis A., Nirenberg L .: Odhady blízko hranice pre riešenie eliptických parciálnych diferenciálnych rovníc vyhovujúcich všeobecným okrajovým podmienkam, I. Commun. Pure Appl. Matematika. 12, 623–727 (1959)

Babuška, I .: Stabilität des Definitionsgebietes mit Rücksicht auf grundlegende Probleme der Theorie der partiellen Differentialgleichungen auch im Zusammenhang mit der Elastizitätstheorie. Ja, II. Česky. Matematika. J. 11(86), 76–105, 165–203 (1961)

Berchio E., Gazzola F., Mitidieri E .: Vlastnosť na zachovanie pozitivity pre triedu biharmonických eliptických problémov. J. Differ. Equa. 229, 1–23 (2006)

Berchio E., Gazzola F., Weth T .: Kritický rast biharmonických eliptických problémov za okrajových podmienok Steklovho typu. Adv. Rozdiel. Equa. 12, 381–406 (2007)

Bucur D., Buttazzo G .: Variačné metódy v úlohách optimalizácie tvarov. Pokrok v nelineárnych diferenciálnych rovniciach a ich aplikáciách, t. 65. Birkhäuser Boston, Boston (2005)

Faber, G .: Beweis, dass unter allen homogenen membranen von gleicher fläche und gleicher spannung die kreisförmige den tiefsten grundton gibt. Sitz. Ber. Bayer. Akad. Wiss. 169–172 (1923)

Ferrero A., Gazzola F., Weth T .: O štvrtej objednávke Steklov problém s vlastnou hodnotou. Analýza 25, 315–332 (2005)

Fichera G .: Su un principio di dualità per talune formole di maggiorazione relatívna alle equazioni differentenziali. Atti Accad. Naz. Lincei 19, 411–418 (1955)

Gazzola F., Sweers G .: O pozitivite pre biharmonického operátora za hraničných podmienok Steklov. Arch. Potkan. Mech. Anal. 188, 399–427 (2008)

Jerison D.S., Kenig C.E .: Neumannov problém v doménach Lipschitz. Bull. Am. Matematika. Soc. 4, 203–207 (1981)

Jerison D.S., Kenig C.E .: Problémy s hraničnými hodnotami v doménach Lipschitz. Stud. Časť. Rozdiel. Equa. 23, 1–68 (1982)

Krahn E .: Über eine von Rayleigh formulierte minimaleigenschaft des kreises. Matematika. Ann. 94, 97–100 (1925)

Krahn E .: Über minimaleigenschaften der kugel in drei und mehr dimenze. Acta Commun. Univ. Dorpat. A9, 1–44 (1926)

Kuttler J.R .: Poznámky k problému vlastných čísel Stekloff. SIAM J. Numer. Anal. 9, 1–5 (1972)

Kuttler J.R .: Dirichletove vlastné čísla. SIAM J. Numer. Anal. 16, 332–338 (1979)

Kuttler J.R., Sigillito V.G .: Nerovnosti pre membránové a Stekloffove vlastné hodnoty. J. Math. Anal. Appl. 23, 148–160 (1968)

Kuttler, J.R., Sigillito, V.G .: Odhad vlastných čísel pomocou nerovností a posteriori / a priori. Research Notes in Mathematics, Pitman Advanced Publishing Program (1985)

Nazarov S.A., Sweers G .: Rovnica kĺbového taniera a iterovaný Dirichlet Laplaceov operátor na doménach s vydutými rohmi. J. Diff. Rov. 233, 151–180 (2007)

Necas, J .: Les méthodes directes en théorie des équations elliptiques, Masson et C. tj Editeurs, Paríž (1967)

Payne L.E .: Niektoré izoperimetrické nerovnosti pre harmonické funkcie. SIAM J. Math. Anal. 1, 354–359 (1970)

Simon J .: Diferenciácia vzhľadom na doménu v problémoch okrajových hodnôt. Číslo. Funct. Anal. Optim. 2, 649–687 (1980)

Smith J .: Prístup viazanej rovnice k numerickému riešeniu biharmonickej rovnice konečnými rozdielmi, I. SIAM J. Numer. Anal. 5, 323–339 (1968)

Smith J .: Prístup viazanej rovnice k numerickému riešeniu biharmonickej rovnice konečnými rozdielmi, II. SIAM J. Numer. Anal. 7, 104–111 (1970)

Stekloff W.: Sur les problèmes fondamentaux de la physique mathématique. Ann. Sci. Ecol. Norm. Sup. 19, 455–490 (1902)


Bai Z, Lü H (2005) Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation. J Math Anal Appl 311:495–505

Cabada A, Hamdi Z (2014) Nonlinear fractional differential equations with integral boundary value conditions. Appl Math Comput 228:251–257

Cabada A, Wang G (2012) Positive solutions of nonlinear fractional differential equations with integral boundary value conditions. J Math Anal Appl 389:403–411

Cabada A, Dimitrijevic S, Tomovic T, Alecsic S (2017) The existence of a positive solution for nonlinear fractional differential equations with integral boundary value conditions. Math Methods Appl Sci 40:1880–1891

Diethelm K, Freed AD (1999) On the solution of nonlinear fractional order differential equations used in the modeling of viscoplasticity. In: Keil F, Mackens W, Voss H, Werther J (eds) Scientific computing in chemical engineering II-computational fluid dynamics, reaction engineering and molecular properties. Springer, Heidelberg, pp 217–224

Feng M, Zhang X, Ge W (2011) New existence results for higher-order nonlinear fractional differential equations with integral boundary conditions. Bound Value Probl 2011:720720

Glöckle WG, Nonnenmacher TF (1995) A fractional calculus approach of self-similar protein dynamics. Biophys J 68:46–53

Heymans N, Podlubny I (2006) Physical interpretation of initial conditions for fractional differential equations with Riemann–Liouville fractional derivatives. Rheol Acta 45(5):765–772

Kilbas AA, Srivastava HM, Trujillo JJ (2006) Theory and Applications of Fractional Differential Equations. North-Holland Mathematics Studies, vol 204. Elsevier Science B.V, Amsterdam

Kiryakova V (1994) Generalized fractional calculus and applications. Pitman research notes in mathematics series, 301. Longman Scientific & Technical, Harlow copublished in the United States with John Wiley & Sons, Inc., New York

Mainardi F (1997) Fractional calculus: some basic problems in continuum and statistical mechanics. In: Carpinteri A, Mainardi F (eds) Fractals and fractional calculus in continuum mechanics. Springer, Wien, pp 291–348

Metzler F, Schick W, Kilian HG, Nonnenmacher TF (1995) Relaxation in filled polymers: a fractional calculus approach. J Chem Phys 103:7180–7186

Miller KS, Ross B (1993) An introduction to the fractional calculus and differential equations. Wiley, New York

Nieto JJ, Pimentel J (2013) Positive solutions of a fractional thermostat model. Bound Value Probl 2013:5

Podlubny I (1999) Fractional differential equations. Academic Press, San Diego

Podlubny I (2002) Geometric and physical interpretation of fractional integration and fractional differentiation. Fract Calc Appl Anal 5:367–386

Salem HAH (2011) Fractional order boundary value problem with integral boundary conditions involving Pettis integral. Acta Math Sci Ser B (Engl. Ed.) 31(2):661–672

Samko SG, Kilbas AA, Marichev OI (1993) Fractional integrals and derivatives. Theory and applications. Gordon and Breach, Yverdon


Boundary Value Problems welcomes submissions to the article collection 'Partial Differential Equations in Applied Sciences'.

All manuscripts should be written to be accessible to a broad scientific audience, who are interested in partial differential equations and their applications in environmental phenomena, physical and engineering sciences. The covered topics include, but are not limited to, initial and boundary value problems, Navier-Stokes theory, minimizers for functionals of double phase with variable exponents, magnetohydrodynamics equations, Lie groups. Papers dealing with mathematical modeling and analysis for traveling waves, Boussinesq equations are welcome.

Deadline for submissions: 31 December 2021


Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple

Partial Differential Equations and Boundary Value Problems with Maple, Second Edition, presents all of the material normally covered in a standard course on partial differential equations, while focusing on the natural union between this material and the powerful computational software, Maple.

The Maple commands are so intuitive and easy to learn, students can learn what they need to know about the software in a matter of hours - an investment that provides substantial returns. Maple's animation capabilities allow students and practitioners to see real-time displays of the solutions of partial differential equations.

This updated edition provides a quick overview of the software w/simple commands needed to get started. It includes review material on linear algebra and Ordinary Differential equations, and their contribution in solving partial differential equations. It also incorporates an early introduction to Sturm-Liouville boundary problems and generalized eigenfunction expansions. Numerous example problems and end of each chapter exercises are provided.

Partial Differential Equations and Boundary Value Problems with Maple, Second Edition, presents all of the material normally covered in a standard course on partial differential equations, while focusing on the natural union between this material and the powerful computational software, Maple.

The Maple commands are so intuitive and easy to learn, students can learn what they need to know about the software in a matter of hours - an investment that provides substantial returns. Maple's animation capabilities allow students and practitioners to see real-time displays of the solutions of partial differential equations.

This updated edition provides a quick overview of the software w/simple commands needed to get started. It includes review material on linear algebra and Ordinary Differential equations, and their contribution in solving partial differential equations. It also incorporates an early introduction to Sturm-Liouville boundary problems and generalized eigenfunction expansions. Numerous example problems and end of each chapter exercises are provided.


13.1E: Boundary Value Problems (Exercises) - Mathematics

> endstream endobj 684 0 obj 625 endobj 685 0 obj > stream 8Z7

Alikhanov, A.A.: On the stability and convergence of nonlocal difference schemes. Differ. Equ. 46(7), 949–961 (2010)

Ashyralyev, A., Aggez, N.: A Note on the difference schemes of the nonlocal boundary value problems for hyperbolic equations. Numerical Functional Analysis and Optimization 25(5–6), 439–462 (2004)

Ashyralyev, A., Gercek, O.: Nonlocal boundary value problems for elliptic-parabolic differential and difference equations. Discrete Dyn. Nat. Soc. 4, 138–144 (2008)

Ashyralyev, A., Gercek, O.: Finite difference method for multipoint nonlocal elliptic-parabolic problems. Comput. Matematika. Appl. 60(7), 2043–2052 (2010)

Ashyralyev, A., Yurtsever, A.: On a nonlocal boundary value problem for semilinear hyperbolic-parabolic equations. Nonlinear Anal. Theory Methods Appl. 47(5), 3585–3592 (2001)

Gao, G.H., Sun, Z.Z.: Compact difference schemes for heat equation with Neumann boundary conditions (II). Numer. Methods Partial Differ. Equ. 29(5), 1459–1486 (2013)

Gordeziani, D., Avalishvili, G.: Investigation of the nonlocal initial boundary value problems for some hyperbolic equations. Hiroshima Math. J. 31(3), 345–366 (2001)

Gulin, A.V., Morozova, V.A.: On a family of nonlocal difference schemes. Differ. Equ. 45(7), 1020–1033 (2009)

Gulin, A.V., Ionkin, N.I., Morozova, V.A.: Stability of a nonlocal two-dimensional finite-difference problem. Differ. Equ. 37(7), 970–978 (2001)

Gushchin, A.K., Mikhailov, V.P.: On solvability of nonlocal problems for a second-order elliptic equation. Russ. Acad. Sci. Sb. Matematika. 81(1), 101–136 (1995)

Martin-Vaquero, J., Vigo-Aguiar, J.: A note on efficient techniques for the second-order parabolic equation subject to non-local conditions. Appl. Numer. Matematika. 59(6), 1258–1264 (2009)

Martin-Vaquero, J., Vigo-Aguiar, J.: On the numerical solution of the heat conduction equations subject to nonlocal conditions. Appl. Numer. Matematika. 59(10), 2507–2514 (2009)

Sun, Z.Z.: A high-order difference scheme for a nonlocal boundary-value problem for the heat equation. Comput. Methods Appl. Matematika. 1(4), 398–414 (2001)

Sun, Z.Z.: Compact difference schemes for heat equation with Neumann boundary conditions. Numer. Methods Partial Differ. Equ. 29, 1459–1486 (2013)

Wang, Y.: Solutions to nonlinear elliptic equations with a nonlocal boundary condition. Electron. J. Differ. Equ. 05, 227–262 (2002)

Yildirim, O., Uzun, M.: On the numerical solutions of high order stable difference schemes for the hyperbolic multipoint nonlocal boundary value problems. Appl. Matematika. Comput. 254, 210–218 (2015)

Zikirov, O.S.: On boundary-value problem for hyperbolic-type equation of the third order. Lith. Matematika. J. 47(4), 484–495 (2007)


Solving singular second order three-point boundary value problems using reproducing kernel Hilbert space method ☆

This paper investigates the numerical solutions of singular second order three-point boundary value problems using reproducing kernel Hilbert space method. It is a relatively new analytical technique. The solution obtained by using the method takes the form of a convergent series with easily computable components. However, the reproducing kernel Hilbert space method cannot be used directly to solve a singular second order three-point boundary value problem, so we convert it into an equivalent integro-differential equation, which can be solved using reproducing kernel Hilbert space method. Four numerical examples are given to demonstrate the efficiency of the present method. The numerical results demonstrate that the method is quite accurate and efficient for singular second order three-point boundary value problems.