Články

7.7E: Metóda Frobenia II. (Cvičenia) - Matematika


Q7.6.1

V Cvičenia 7.6.1-7.6.11 nájsť základnú sadu riešení Frobenius. Voliteľne môžete napísať počítačový program, ktorý implementuje príslušné vzorce opakovania, a vziať (N> 7 ).

1. (x ^ 2y "- x (1-x) y '+ (1-x ^ 2) y = 0 )

2. (x ^ 2 (1 + x + 2x ^ 2) y '+ x (3 + 6x + 7x ^ 2) y' + (1 + 6x-3x ^ 2) y = 0 )

3. (x ^ 2 (1 + 2x + x ^ 2) y "+ x (1 + 3x + 4x ^ 2) y'-x (1-2x) y = 0 )

4. (4x ^ 2 (1 + x + x ^ 2) y "+ 12x ^ 2 (1 + x) y" + (1 + 3x + 3x ^ 2) y = 0 )

5. (x ^ 2 (1 + x + x ^ 2) y "- x (1-4x-2x ^ 2) y" + y = 0 )

6. (9x ^ 2y "+ 3x (5 + 3x-2x ^ 2) y" + (1 + 12x-14x ^ 2) y = 0 )

7. (x ^ 2y "+ x (1 + x + x ^ 2) y" + x (2-x) y = 0 )

8. (x ^ 2 (1 + 2x) y '+ + (5 + 14x + 3x ^ 2) y' + (4 + 18x + 12x ^ 2) y = 0 )

9. (4x ^ 2y "+ 2x (4 + x + x ^ 2) y" + (1 + 5x + 3x ^ 2) y = 0 )

10. (16x ^ 2y "+ 4x (6 + x + 2x ^ 2) y" + (1 + 5x + 18x ^ 2) y = 0 )

11. (9x ^ 2 (1 + x) y "+ 3x (5 + 11x-x ^ 2) y" + (1 + 16x-7x ^ 2) y = 0 )

Q7.6.2

V Cvičenia 7.6.12-7.6.22 nájsť základnú sadu riešení Frobenius. Uveďte explicitné vzorce pre koeficienty.

12. (4x ^ 2y "+ (1 + 4x) y = 0 )

13. (36x ^ 2 (1-2x) y "+ 24x (1-9x) y" + (1-70x) y = 0 )

14. (x ^ 2 (1 + x) y "- x (3-x) y" + 4y = 0 )

15. (x ^ 2 (1-2x) r '- x (5-4x) r' + (9-4x) r = 0 )

16. (25x ^ 2y "+ x (15 + x) y" + (1 + x) y = 0 )

17. (2x ^ 2 (2 + x) y '+ x ^ 2y' + (1-x) y = 0 )

18. (x ^ 2 (9 + 4x) y '+ 3xy' + (1 + x) y = 0 )

19. (x ^ 2y "- x (3-2x) y '+ (4 + 3x) y = 0 )

20. (x ^ 2 (1-4x) y "+ 3x (1-6x) y" + (1-12x) y = 0 )

21. (x ^ 2 (1 + 2x) y '+ + (3 + 5x) y' + (1-2x) y = 0 )

22. (2x ^ 2 (1 + x) y '- x (6-x) y' + (8-x) y = 0 )

Q7.6.3

V Cvičenia 7.6.23-7.6.27 nájsť základnú sadu riešení Frobenius. Porovnajte výrazy zahŕňajúce (x ^ {n + r_ {1}} ), kde (0 leq n leq N ) ( (N ) najmenej (7 )) a (r_ { 1} ) je koreň inditálnej rovnice. Voliteľne môžete napísať počítačový program, ktorý implementuje príslušné vzorce opakovania, a vziať (N> 7 ).

23. (x ^ 2 (1 + 2x) y '+ + (5 + 9x) y' + (4 + 3x) y = 0 )

24. (x ^ 2 (1-2x) y "- x (5 + 4x) y" + (9 + 4x) y = 0 )

25. (x ^ 2 (1 + 4x) y '- x (1-4x) y' + (1 + x) y = 0 )

26. (x ^ 2 (1 + x) y '+ + (1 + 2x) y' + xy = 0 )

27. (x ^ 2 (1-x) y '+ + (7 + x) y' + (9-x) y = 0 )

Q7.6.4

V Cvičenia 7.6.28-7.6.38 nájsť základnú sadu riešení Frobenius. Uveďte explicitné vzorce pre koeficienty.

28. (x ^ 2y "- x (1-x ^ 2) y '+ (1 + x ^ 2) y = 0 )

29. (x ^ 2 (1 + x ^ 2) y "- 3x (1-x ^ 2) y" + 4y = 0 )

30. (4x ^ 2r "+ 2x ^ 3r" + (1 + 3x ^ 2) y = 0 )

31. (x ^ 2 (1 + x ^ 2) y "- x (1-2x ^ 2) y" + y = 0 )

32. (2x ^ 2 (2 + x ^ 2) y "+ 7x ^ 3y" + (1 + 3x ^ 2) y = 0 )

33. (x ^ 2 (1 + x ^ 2) y '- x (1-4x ^ 2) y' + (1 + 2x ^ 2) y = 0 )

34. (4x ^ 2 (4 + x ^ 2) y "+ 3x (8 + 3x ^ 2) y" + (1-9x ^ 2) y = 0 )

35. (3x ^ 2 (3 + x ^ 2) y '+ + (3 + 11x ^ 2) y' + (1 + 5x ^ 2) y = 0 )

36. (4x ^ 2 (1 + 4x ^ 2) y "+ 32x ^ 3y" + y = 0 )

37. (9x ^ 2y "- 3x (7-2x ^ 2) y '+ (25 + 2x ^ 2) y = 0 )

38. (x ^ 2 (1 + 2x ^ 2) y "+ x (3 + 7x ^ 2) y" + (1-3x ^ 2) y = 0 )

Q7.6.5

V Cvičenia 7.6.39-7.6.43 nájsť základnú sadu riešení Frobenius. Vypočítajte výrazy zahŕňajúce (x ^ {2m + r_ {1}} ), kde (0 ≤ m ≤ M ) ( (M ) najmenej (3 )) a (r_ {1} ) je koreň indiciálnej rovnice. Voliteľne môžete napísať počítačový program, ktorý implementuje príslušné vzorce opakovania, a vziať (M> 3 ).

39. (x ^ 2 (1 + x ^ 2) y "+ x (3 + 8x ^ 2) y" + (1 + 12x ^ 2) y )

40. (x ^ 2y "- x (1-x ^ 2) y '+ (1 + x ^ 2) y = 0 )

41. (x ^ 2 (1-2x ^ 2) y "+ x (5-9x ^ 2) y" + (4-3x ^ 2) y = 0 )

42. (x ^ 2 (2 + x ^ 2) y "+ x (14-x ^ 2) y" + 2 (9 + x ^ 2) y = 0 )

43. (x ^ 2 (1 + x ^ 2) y "+ x (3 + 7x ^ 2) y" + (1 + 8x ^ 2) y = 0 )

Q7.6.6

V Cvičenia 7.6.44-7.6.52 nájsť základnú sadu riešení Frobenius. Uveďte explicitné vzorce pre koeficienty.

44. (x ^ 2 (1-2x) y "+ 3xy" + (1 + 4x) y = 0 )

45. (x (1 + x) y '+ + (1-x) y' + y = 0 )

46. ​​ (x ^ 2 (1-x) y "+ x (3-2x) y" + (1 + 2x) y = 0 )

47. (4x ^ 2 (1 + x) y "- 4x ^ 2y '+ (1-5x) y = 0 )

48. (x ^ 2 (1-x) y '- x (3-5x) y' + (4-5x) y = 0 )

49. (x ^ 2 (1 + x ^ 2) y "- x (1 + 9x ^ 2) y" + (1 + 25x ^ 2) y = 0 )

50. (9x ^ 2y "+ 3x (1-x ^ 2) y" + (1 + 7x ^ 2) y = 0 )

51. (x (1 + x ^ 2) y "+ (1-x ^ 2) y'-8xy = 0 )

52. (4x ^ 2y "+ 2x (4-x ^ 2) y" + (1 + 7x ^ 2) y = 0 )

Q7.6.7

53. Za predpokladov vety č. 7.6.2 predpokladajme mocninový rad

[ sum_ {n = 0} ^ infty a_n (r_1) x ^ n quad mbox {a} quad sum_ {n = 1} ^ infty a_n '(r_1) x ^ n nonumber ]

konvergovať na ((- - rho, rho) ).

  1. Ukážte, že [y_1 = x ^ {r_1} sum_ {n = 0} ^ infty a_n (r_1) x ^ n quad mbox {a} quad y_2 = y_1 ln x + x ^ {r_1} sum_ {n = 1} ^ infty a_n '(r_1) x ^ n nonumber ] sú lineárne nezávislé na ((0, rho) ). TIP: Ukážte, že ak (c_ {1} ) a (c_ {2} ) sú konštanty také, že (c_ {1} y_ {1} + c_ {2} y_ {2} ≡0 ) na ((0, rho) ), potom [(c_ {1} + c_ {2} ln x) sum_ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} (r_ {1}) x ^ {n} + c_ {2} sum_ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} '(r_ {1}) x ^ {n} = 0, quad 0
  2. Použite výsledok (a) na doplnenie dokladu o vete 7.6.2.

54. Nech

[Ly = x ^ 2 ( alpha_0 + alpha_1x) y '' + x ( beta_0 + beta_1x) y '+ ( gamma_0 + gamma_1x) y nonumber ]

a definovať

[p_0 (r) = alpha_0r (r-1) + beta_0r + gamma_0 quad mbox {a} quad p_1 (r) = alpha_1r (r-1) + beta_1r + gamma_1. nonumber ]

Veta 7.6.1 a Cvičenie 7.5.55a

naznačujú, že ak

[y (x, r) = x ^ r sum_ {n = 0} ^ infty a_n (r) x ^ n nonumber ]

kde

[a_n (r) = (- 1) ^ n prod_ {j = 1} ^ n {p_1 (j + r-1) nad p_0 (j + r)}, nonumber ]

potom

[Ly (x, r) = p_0 (r) x ^ r. Nonumber ]

Teraz predpokladajme (p_0 (r) = alpha_0 (r-r_1) ^ 2 ) a (p_1 (k + r_1) ne0 ), ak (k ) je nezáporné celé číslo.

  1. Ukážte, že (Ly = 0 ) má riešenie [y_1 = x ^ {r_1} sum_ {n = 0} ^ infty a_n (r_1) x ^ n, nonumber ] kde [a_n (r_1) = {(- 1) ^ n over alpha_0 ^ n (n!) ^ 2} prod_ {j = 1} ^ np_1 (j + r_1-1). Nonumber ]
  2. Ukážte, že (Ly = 0 ) má druhé riešenie [y_2 = y_1 ln x + x ^ {r_1} sum_ {n = 1} ^ infty a_n (r_1) J_nx ^ n, nonumber ] kde [J_n = sum_ {j = 1} ^ n {p_1 '(j + r_1-1) nad p_1 (j + r_1-1)} - 2 sum_ {j = 1} ^ n {1 nad j }. nonumber ]
  3. Z (a) a (b) vyvodzujte, že ak ( gamma_1 ne0 ), potom [y_1 = x ^ {r_1} sum_ {n = 0} ^ infty {(-1) ^ n over (n !) ^ 2} left ( gamma_1 over alpha_0 right) ^ nx ^ n nonumber ] a [y_2 = y_1 ln x-2x ^ {r_1} sum_ {n = 1} ^ infty {(-1) ^ n over (n!) ^ 2} left ( gamma_1 over alpha_0 right) ^ n left ( sum_ {j = 1} ^ n {1 over j} right ) x ^ n nonumber ] sú riešenia [ alpha_0x ^ 2y '' + beta_0xy '+ ( gamma_0 + gamma_1x) y = 0. nonumber ] (Záver platí aj vtedy, ak ( gamma_1 = 0 ). Prečo?)

55. Let

[Ly = x ^ 2 ( alpha_0 + alpha_qx ^ q) y "+ x ( beta_0 + beta_qx ^ q) y" + ( gamma_0 + gamma_qx ^ q) y nonumber ]

kde (q ) je kladné celé číslo a definujte

[p_0 (r) = alpha_0r (r-1) + beta_0r + gamma_0 quad mbox {a} quad p_q (r) = alpha_qr (r-1) + beta_qr + gamma_q. nonumber )

Predpokladajme

[p_0 (r) = alpha_0 (r-r_1) ^ 2 quad mbox {a} quad p_q (r) not equiv0. nonumber ]

  1. Odvolať z Cvičenie 7.5.59 že (Ly ~ = 0 ) má riešenie [y_1 = x ^ {r_1} sum_ {m = 0} ^ infty a_ {qm} (r_1) x ^ {qm}, nonumber ] kde [a_ {qm} (r_1) = {(- 1) ^ m nad (q ^ 2 alpha_0) ^ m (m!) ^ 2} prod_ {j = 1} ^ mp_q dolava (q (j- 1) + r_1 vpravo). Nonumber ]
  2. Ukážte, že (Ly = 0 ) má druhé riešenie [y_2 = y_1 ln x + x ^ {r_1} sum_ {m = 1} ^ infty a_ {qm} '(r_1) J_mx ^ {qm} , nonumber ] kde [J_m = sum_ {j = 1} ^ m {p_q ' dolava (q (j-1) + r_1 doprava) nad p_q dolava (q (j-1) + r_1) right)} - ​​{2 over q} sum_ {j = 1} ^ m {1 over j}. nonumber ]
  3. Z a) a b) vyvodzujte, že ak ( gamma_q ne0 ), potom [y_1 = x ^ {r_1} sum_ {m = 0} ^ infty {(-1) ^ m over (m !) ^ 2} left ( gamma_q over q ^ 2 alpha_0 right) ^ mx ^ {qm} nonumber ] a [y_2 = y_1 ln x- {2 over q} x ^ {r_1 } sum_ {m = 1} ^ infty {(-1) ^ m nad (m!) ^ 2} dolava ( gamma_q nad q ^ 2 alpha_0 doprava) ^ m dolava ( sum_ { j = 1} ^ m {1 over j} right) x ^ {qm} nonumber ] sú riešenia [ alpha_0x ^ 2y '+ beta_0xy' + ( gamma_0 + gamma_qx ^ q) y = 0. nonumber ]

56. Rovnica

[xy '+ y' + xy = 0 nečíslo ]

je Besselova rovnica rádu nula. (Pozri Cvičenie 7.5.53.) Nájdite dve lineárne nezávislé Frobeniove riešenia tejto rovnice.

57. Predpokladajme predpoklady Cvičenie 7.5.53 vydrž, okrem toho

[p_0 (r) = alpha_0 (r-r_1) ^ 2. nonumber ]

Ukáž to

[y_1 = {x ^ {r_1} over alpha_0 + alpha_1x + alpha_2x ^ 2} quad mbox {a} quad y_2 = {x ^ {r_1} ln x over alpha_0 + alpha_1x + alpha_2x ^ 2} nečíslo ]

sú lineárne nezávislé riešenia Frobenius spoločnosti

[x ^ 2 ( alpha_0 + alpha_1x + alpha_2 x ^ 2) y '' + x ( beta_0 + beta_1x + beta_2x ^ 2) y '+ ( gamma_0 + gamma_1x + gamma_2x ^ 2) y = 0 nečíslo ]

v ľubovoľnom intervale ((0, rho) ), v ktorom ( alpha_0 + alpha_1x + alpha_2x ^ 2 ) nemá nuly.

Q7.6.8

58. (4x ^ 2 (1 + x) y "+ 8x ^ 2y" + (1 + x) y = 0 )

59. (9x ^ 2 (3 + x) y "+ 3x (3 + 7x) y" + (3 + 4x) y = 0 )

60. (x ^ 2 (2-x ^ 2) y "- x (2 + 3x ^ 2) y" + (2-x ^ 2) y = 0 )

61. (16x ^ 2 (1 + x ^ 2) y "+ 8x (1 + 9x ^ 2) y" + (1 + 49x ^ 2) y = 0 )

62. (x ^ 2 (4 + 3x) y "- x (4-3x) y" + 4y = 0 )

63. (4x ^ 2 (1 + 3x + x ^ 2) y "+ 8x ^ 2 (3 + 2x) y" + (1 + 3x + 9x ^ 2) y = 0 )

64. (x ^ 2 (1-x) ^ 2y "- x (1 + 2x-3x ^ 2) y" + (1 + x ^ 2) y = 0 )

65. (9x ^ 2 (1 + x + x ^ 2) y '+ 3x (1 + 7x + 13x ^ 2) y' + (1 + 4x + 25x ^ 2) y = 0 )

Q7.6.9

66.

  1. Nech (L ) a (y (x, r) ) sú ako v Cvičenia 7.5.57 a 7.5.58. Rozšírte vetu 7.6.1 tak, že [L doľava ({ čiastočné y nad čiastočné r} (x, r) doprava) = p'_0 (r) x ^ r + x ^ rp_0 (r) ln x. nonumber ]
  2. Ukážte, že ak [p_0 (r) = alpha_0 (r-r_1) ^ 2 nonumber ], potom [y_1 = y (x, r_1) quad text {a} quad y_2 = { čiastočné y nad čiastočné r} (x, r_1) nonumber ] sú riešenia (Ly = 0 ).

7.7E: Metóda Frobenia II. (Cvičenia) - Matematika

Manuál kalkulického riešenia 7e James Stewart [PDF]

Calculus Early Transcendentals (7E Solution) od Jamesa Stewarta

MathSchoolinternational obsahuje viac ako 5 000 bezplatných kníh z matematiky PDF a kníh PDF z fyziky zdarma. Ktoré pokrývajú takmer všetky témy pre študentov matematiky, fyziky a techniky. Tu je obsiahly zoznam elektronických kníh programu Calculus. Dúfame, že sa študentom a učiteľom tieto učebnice, poznámky a príručky k riešeniam páčia.

Ako študent inžinierstva, ekonómie, matematiky alebo fyziky musíte absolvovať kurz počtu. mathschoolinternational poskytuje komplexnú zbierku nasledujúcich najlepších učebníc, príručiek najlepších riešení a vyriešených poznámok, ktoré vám pomôžu a zvýšia vašu efektivitu.
• Najlepšie 10 najlepších kalkulátorov s jednou premennou
• Top 10 najlepších kalkulátorov premenlivej premennej
• Top 5 najlepších AP kalkul
• Najlepšie 7 najlepších kalkulov s analytickou geometriou
• Skorý transcendentálny počet
• Top 25 najlepšie vyriešených kalkulov
• Top 50 najlepších Advance Calculus

Gratulujeme, odkaz je k dispozícii na stiahnutie zadarmo.

Ako stiahnuť knihu ?,. Potrebujete pomoc?

O tejto knihe: -
Počiatočné rané transcendentá (7E) napísal James Stewart.
Úspech vo vašom kurze kalkulu začína tu! Texty James Stewart CALCULUS: EARLY TRANSCENDENTALS sú svetovo najpredávanejšie z nejakého dôvodu: sú jasné, presné a plné relevantných príkladov z reálneho sveta. S CALCULUS: EARLY TRANSCENDENTALS, ôsme vydanie, Stewart vyjadruje nielen užitočnosť kalkulu, ktorá vám pomôže rozvíjať technické schopnosti, ale dáva vám oceniť aj vnútornú krásu predmetu. Jeho trpezlivé príklady a zabudované učebné pomôcky vám pomôžu vybudovať si matematickú istotu a dosiahnuť v kurze svoje ciele

Detail knihy: -
Názov: Počiatočné transcendentálne kamene (riešenie)
Vydanie: 7.
Autori: James Stewart
Vydavateľ: Brooks / Cole
Séria:
Rok: 2015
Stránky: 1778
Typ: PDF
Jazyk: Angličtina
ISBN: 1285741552,978-1-285-74155-0,978-1-305-27235-4
Krajina: Kanada
Získajte túto knihu od Amazonu

O autorovi: -
Počiatočné kalkulus (riešenie 7E) napísal James Stewart.
Získal titul M. S. (magistra prírodných vied) na Stanfordskej univerzite a titul Ph.D. (doktor filozofie) z Torontskej univerzity.
Pracoval ako postdoktorand na University of London, kde sa jeho výskum zameral na harmonickú a funkčnú analýzu. Stewart bol naposledy profesorom matematiky na McMaster University a jeho výskumnou oblasťou bola harmonická analýza. Stewart bol autorom najlepšej série učebníc kalkulu vydaných vydavateľstvom Cengage Learning, vrátane Calculus, Calculus: Early Transcendentals a Calculus: Concepts and Contexts, ako aj série predkalkulových textov.

Pripojte sa k našim novým aktualizáciám, upozorneniam: -
Pokiaľ ide o nové aktualizácie a upozornenia, pripojte sa k našej skupine WhatsApp Group a Telegram Group (môžete tiež požiadať o ktorúkoľvek [pdf] knihu / poznámky / príručku riešení).
Pripojte sa k skupine WhatsApp
Pripojte sa k Telegram Group

Obsah knihy: -
Počiatočné kalkulus (riešenie 7E) autor James Stewart sa venuje nasledujúcim témam. 1. FUNKCIE A MODELY.
Štyri spôsoby zastúpenia funkcie. Matematické modely: katalóg základných funkcií. Nové funkcie zo starých funkcií. Grafické kalkulačky a počítače. Zásady riešenia problémov.
2. LIMITY.
Problémy s dotyčnicou a rýchlosťou. Limit funkcie. Výpočet limitov pomocou limitných zákonov. Presná definícia limitu. Kontinuita.
3. DERIVÁTY.
Deriváty a sadzby zmeny. Projekt písania: Prvé metódy hľadania dotyčníc. Derivát ako funkcia. Diferenciálne vzorce. Aplikovaný projekt: Budovanie lepšej horskej dráhy. Deriváty trigonometrických funkcií. Reťazové pravidlo. Aplikovaný projekt: Kde by mal pilot začať klesať ?. Imlicitová diferenciácia. Miera zmien prírodných a spoločenských vied. Súvisiace sadzby. Lineárne aproximácie a diferenciály. Laboratórny projekt: Taylorove polynómy.
4. APLIKÁCIE Diferenciácie.
Maximálna a minimálna hodnota. Aplikovaný projekt: Kalkul dúhy. Veta o strednej hodnote. Ako deriváty ovplyvňujú tvar grafu. Limity na nekonečno Horizontálne asymptoty. Zhrnutie skicovania kriviek. Grafy pomocou kalkulu a kalkulačiek. Problémy s optimalizáciou. Aplikovaný projekt: Tvar plechovky. Newtonova metóda. Antidivatíva.
5. INTEGRÁLI.
Oblasti a vzdialenosti. Definitívny integrál. Discovery Project: Area Functions. Základná veta kalkulu. Neurčitý integrál a veta o čistej zmene. Autor projektu: Newton, Leibniz a vynález kalkulu. Pravidlo substitúcie.
6. APLIKÁCIE INTEGRÁCIE.
Oblasti medzi krivkami. Objem. Zväzky podľa valcových škrupín. Práca. Priemerná hodnota funkcie.
7. INVESTIČNÉ FUNKCIE:
EXPONENTNÉ, LOGARITICKÉ A INVESTIČNÉ TRIGONOMETRICKÉ FUNKCIE. Inverzné funkcie. (Inštruktori sa môžu venovať buď sekciám 7.2-7.4, alebo sekciám 7.2 * -7.4 *). Exponenciálne funkcie a ich deriváty. Logaritmické funkcie. Deriváty logaritmických funkcií. * Prirodzená logaritmická funkcia. * Prirodzená exponenciálna funkcia. * Všeobecné logaritmické a exponenciálne funkcie. Exponenciálny rast a rozklad. Inverzné trigonometrické funkcie. Aplikovaný projekt: Kde sedieť vo filmoch. Hyperbolické funkcie. Neurčité formuláre a pravidlo spoločnosti L'Hospital. Projekt písania: Počiatky pravidla spoločnosti L'Hospital.
8. TECHNIKY INTEGRÁCIE.
Integrácia po častiach. Trigonometrické integrály. Trigonometrická substitúcia. Integrácia racionálnych funkcií čiastočnými zlomkami. Stratégia pre integráciu. Integrácia pomocou tabuliek a počítačových algebraických systémov. Discovery Project: Patterns in Integrals. Približná integrácia. Nesprávne integrály.
9. ĎALŠIE APLIKÁCIE INTEGRÁCIE.
Dĺžka oblúka. Discovery Project: Arc Length Contest. Oblasť povrchu revolúcie. Discovery Project: Rotating on a Slant. Aplikácie na fyziku a inžinierstvo. Discovery Project: Doplnkové šálky kávy. Aplikácie na ekonómiu a biológiu. Pravdepodobnosť.
10. DIFERENCIÁLNE ROVNICE.
Modelovanie pomocou diferenciálnych rovníc. Smerové polia a Eulerova metóda. Oddeliteľné rovnice. Aplikovaný projekt: Čo je rýchlejšie, stúpanie alebo klesanie? Modely populačného rastu. Aplikovaný projekt: Calculus a Baseball. Lineárne rovnice. Systémy Predator-Prey Systems. PARAMETRICKÉ rovnice a polárne súradnice.
Krivky definované parametrickými rovnicami. Laboratórny projekt: Rodiny hypocykloidov. Kalkul s parametrickými krivkami. Laboratórny projekt: Bézierove krivky. Polárne súradnice. Plochy a dĺžky v polárnych súradniciach. Kónické rezy. Kónické rezy v polárnych súradniciach.
11. NEKONEČNÉ POSTUPY A SÉRIE.
Sekvencie. Laboratórny projekt: Logistické sekvencie. Séria. Test integrácie a odhady súm. Porovnávacie testy. Striedavá séria. Absolútna konvergencia a pomerové a koreňové testy. Stratégia pre testovanie sérií. Power Series. Reprezentácia funkcií ako výkonových radov. Série Taylor a Maclaurin. Projekt písania: Ako Newton objavil dvojčlennú sériu. Aplikácie Taylorových polynómov. Aplikovaný projekt: Žiarenie z hviezd.
12. VEKTORY A GEOMETRIA VESMÍRU.
Trojrozmerné súradnicové systémy. Vektory. Produkt Dot. Krížový produkt. Discovery Project: The Geometry of a Tetrahedron. Rovnice priamok a rovín. Valce a štvorcové povrchy.
13. FUNKCIE VEKTORA.
Vektorové funkcie a vesmírne krivky. Deriváty a integrály vektorových funkcií. Dĺžka a zakrivenie oblúka. Pohyb vo vesmíre: rýchlosť a zrýchlenie. Aplikovaný projekt: Keplerove zákony.
14. ČIASTOČNÉ DERIVÁTY.
Funkcie niekoľkých premenných. Limity a kontinuita. Parciálne deriváty. Tečné roviny a lineárne aproximácie. Reťazové pravidlo. Direktívne deriváty a gradientný vektor. Maximálna a minimálna hodnota. Aplikovaný projekt: Návrh kontajnera. Discovery Project: Kvadratické aproximácie a kritické body. Lagrangeove multiplikátory. Aplikovaný projekt: Rocket Science. Aplikovaný projekt: Optimalizácia hydro-turbíny.
15. VIACERÝCH INTEGRÁLOV.
Zdvojnásobte integrály cez obdĺžniky. Iterované integrály. Zdvojnásobenie integrácií vo všeobecných regiónoch. Dvojité integrály v polárnych súradniciach. Aplikácie dvojitých integrálov. Trojité integrály. Discovery Project: Volumes of Hyperpheres. Trojité integrály vo valcoch. Discovery Project: Križovatka troch valcov. Trojité integrály v sférických súradniciach. Aplikovaný projekt: Roller Derby. Zmena premenných vo viacerých integráloch. 17. VEKTOROVÝ KALKULUS. Vektorové polia. Line Integrals. Základná veta o lineárnych integráloch. Greenova veta. Curl a Divergencia. Parametrické povrchy a ich plochy. Plošné integrály. Stokesova veta. Projekt napísania: Traja muži a dve vety. Veta o divergencii. Zhrnutie.
16. VEKTOROVÝ KALKULUS
Vector Fields, Line Integrals, The Fundamental Theorem for Line Integrals, Green’s Theorem, Curl and Divergence, Parametric Surfaces and their Areas, Surface Integrals, Stokes ‘Theorem, Writing Project • Three Men and Two Theorem, The Divergence Theorem
17. DRUHÉ OBJEDNÁVKY Diferenciálne rovnice.
Lineárne rovnice druhého rádu. Nehomogénne lineárne rovnice. Aplikácie diferenciálnych rovníc druhého rádu. Sériové riešenia.
Prílohy.
Odpoveď: Intervaly, nerovnosti a absolútne hodnoty. B: Súradnicová geometria a priamky. C: Grafy rovníc druhého stupňa. D: trigonometria. E: Sigma notácia. F: Dôkazy viet. G. Komplexné čísla. H: Odpovede na nepárne cviky.

Nie sme vlastníkmi tejto knihy / poznámok. Poskytujeme ho, ktorý je už k dispozícii na internete. V prípade akýchkoľvek ďalších otázok nás kontaktujte. Nikdy nepodporujeme pirátstvo. Táto kópia bola poskytnutá študentom, ktorí majú finančné problémy, ale chcú sa učiť. Ak si myslíte, že sú tieto materiály užitočné, získajte ich legálne od VYDAVATEĽA. Ďakujem.


Lineárne kódy

MinJia Shi,. Patrick Sole, Codes and Rings, 2017

5.2 Modulárna nezávislosť

Všeobecne cez konečný semilokálny krúžok neexistuje jednoduchá maticová forma ako v predchádzajúcej časti. Štandardná forma používajúca CRT bola definovaná v [5] pre krúžky Z m a zovšeobecnená na konečné PIR v [1]. Nasledujú naše expozície [1].

Cvičenie 5.6

Nech R = Z 4 [x] / (x 2). Ukáž to R je miestny Frobenius, ale nie retiazkový prsteň.

Najprv definujte modulárna nezávislosť cez miestny Frobeniový prsteň R, s maximálnym ideálom M. Rodina s vektory w 1,…, w s sú považované za modulárne nezávislé, ak existuje nejaký lineárny kombinačný vzťah

Definujeme a základe kódu cez konečný Frobeniový kruh ako systém vektorov, ktorý je nezávislý, modulárne nezávislý a preklenujúci. Ako je uvedené v [1, poznámka 2], dve vlastnosti nezávislosti a modulárnej nezávislosti sú logicky nezávislé.

Cvičenie 5.7

Nech R = Z12, a w 1 = (11, 7), w 2 = (3, 9). Ukážte, že systém je modulárne nezávislý, ale nie nezávislý.

Cvičenie 5.8

Nech R = Z 12, a w 1 = (4, 0), w 2 = (0, 3). Ukážte, že systém je nezávislý, ale nie modulárne nezávislý.

Nasledujúci výsledok je odvodený z [4, Th. 25.4.6.B] a [4, Th. 25.3.3] v [1, Th. 4,4].

Ak C je kód dĺžky n cez konečný PIR R, potom existuje veža ideálov (d 1) ⊆ (d 2) ⊆ ⋯ ⊆ (d r) , takže máme izomorfizmus R-modulov

Označenie vyššie uvedeného izomorfizmu ako ϕ, a e i obraz kanonického základu R r, v priamom súčine R / (d 1) × ⋯ × R / (d r) máme pre základ nasledujúci výsledok existencie.

Veta 5.10

[1, Th. 4,6] Poďme v i = ϕ - 1 (e i) pre i = 1, ..., r . Systém v 1,…, v r je základom C.


Súvisiace knihy

Aspekty teórie kvantového poľa v zakrivenom časopriestore

Čo je to kvantová teória poľa?

Prvý úvod pre matematikov

Kvantová teória poľa pre matematikov

Topologické a netopologické solitóny v teóriách skalárnych polí

Topológia, geometria a teória kvantového poľa

Zborník referátov z Oxfordského sympózia z roku 2002 na počesť 60. narodenín Graeme Segala

Nové smery v Hopf Algebras


Autori

Životopis

Kenneth B. Howell získal bakalárske tituly z matematiky a fyziky na Rose-Hulman Institute of Technology a magisterské a doktorské tituly z matematiky na Indiana University. Viac ako tridsať rokov bol profesorom na Katedre matematických vied University of Alabama v Huntsville (odchádza do dôchodku v roku 2014). Počas svojej akademickej kariéry Dr. Howell publikoval množstvo výskumných článkov z aplikovanej a teoretickej matematiky v prestížnych časopisoch, pôsobil ako vedecký pracovník v konzultačných výskumoch pre rôzne spoločnosti a federálne agentúry v kozmickom a obrannom priemysle a získal ocenenia od College and University za vynikajúce výučba. Je tiež autorom Princípov Fourierovej analýzy (Chapman & amp Hall / CRC, 2001).


7.7E: Metóda Frobenia II. (Cvičenia) - Matematika

matematická logika časť II, rene cori, daniel lascar [pdf]

Matematická logika: Kurz s cvičeniami, časť II, autor: Rene Cori, Daniel Lascar, Donald H. Pelletier

MathSchoolinternational obsahuje viac ako 5 000 bezplatných kníh z matematiky PDF a kníh PDF z fyziky zdarma. Ktoré pokrývajú takmer všetky témy pre študentov matematiky, fyziky a techniky. Tu nájdete rozsiahly zoznam elektronických kníh o základnej matematike. Dúfame, že sa študentom a učiteľom tieto učebnice, poznámky a príručky k riešeniam páčia.

Gratulujeme, odkaz je k dispozícii na stiahnutie zadarmo.

Ako stiahnuť knihu ?,. Potrebujete pomoc?

O tejto knihe: -
Matematická logika: Kurz s cvičeniami, časť II autor: Rene Cori, Daniel Lascar, Donald H. Pelletier
Táto kniha je založená na niekoľkoročných skúsenostiach s výučbou logiky na UFR matematiky na Parížskej univerzite 7, na počiatočnej úrovni absolventa, ako aj v rámci DEA logiky a základov počítačovej vedy. Hneď ako autor začal pripravovať naše prvé prednášky, uvedomil si, že bude veľmi ťažké predstaviť našim študentom všeobecné práce o logike napísané (alebo dokonca preložené do) francúzštiny. Autori sa preto rozhodli využiť túto príležitosť na nápravu situácie. Takže prvé verzie ôsmich kapitol, ktoré si chcete prečítať, boli vypracované súčasne s vyučovaním ich obsahu. Autori trvajú na tom, že sa srdečne poďakujú všetkým študentom, ktorí tým prispeli k hmatateľnému zlepšeniu pôvodnej prezentácie.
Logika tvorí základ matematiky, a preto je základnou súčasťou každého kurzu matematiky. Je to hlavný prvok v teoretickej počítačovej vede a prešiel obrovským oživením s každým rastúcim významom počítačovej vedy. Tento text je založený na kurze pre vysokoškolských študentov a poskytuje jasný a prístupný úvod do matematickej logiky. Koncept modelu poskytuje základnú tému, dáva textu teoretickú súdržnosť a pritom pokrýva širokú oblasť logiky. Táto kniha predstavuje základy v prvej časti a začína teóriou rekurzie, témou nevyhnutnou pre úplného vedca. Potom nasledujú Godlove vety o neúplnosti a axiomatická teória množín. Kapitola 8 poskytuje úvod do teórie modelov. V každej časti sú príklady a na konci je rozmanitý výber cvičení. Odpovede na cvičenia sú uvedené v prílohe.
Rene Cori a Daniel Lascar, Equipe de Logique Mathematique, Universite Paris VII, preložil Donald H. Pelletier, York University, Toronto

Detail knihy: -
Názov: Matematická logika: Kurz s cvičeniami, časť II
Vydanie:
Autori: Rene Cori, Daniel Lascar, Donald H. Pelletier
Vydavateľ: Oxford University Press
Séria:
Rok: 2001
Stránky: 347
Typ: PDF
Jazyk: Angličtina
ISBN: 0198500505,9780198500506
Krajina: USA
Získajte tieto knihy od Amazonu

O autorovi: -
Autor Rene Cori je francúzsky matematik.

Pripojte sa k našim novým aktualizáciám, upozorneniam: -
Pokiaľ ide o nové aktualizácie a upozornenia, pripojte sa k našej skupine WhatsApp Group a Telegram Group (môžete tiež požiadať o ktorúkoľvek [pdf] knihu / poznámky / príručku riešení).
Pripojte sa k skupine WhatsApp
Pripojte sa k Telegram Group

Obsah knihy: - Matematická logika: Kurz s cvičeniami, časť II Autori: Rene Cori, Daniel Lascar, Donald H. Pelletier pojednávajú o nasledujúcich témach.
Úvod
Časť I.
1. Výrokový počet
2. Booleovské algebry
3. Predikátový počet
4. Vety o úplnosti
Riešenia cvičení časti I
Časť II
5. Teória rekurzie
6. Formalizácia aritmetiky, Godlove vety
7. Teória množín
8. Niektoré teórie modelov
Riešenie cvičení časti II
Bibliografia
Register

Nie sme vlastníkmi tejto knihy / poznámok. Poskytujeme ho, ktorý je už k dispozícii na internete. V prípade akýchkoľvek ďalších otázok nás kontaktujte. Nikdy nepodporujeme pirátstvo. Táto kópia bola poskytnutá študentom, ktorí majú finančné problémy, ale chcú sa učiť. Ak si myslíte, že sú tieto materiály užitočné, získajte ich legálne od VYDAVATEĽA. Ďakujem.


7.7E: Metóda Frobenia II. (Cvičenia) - Matematika

VERA PERRONOVA FROBENIA

Projekty v tejto zbierke sa zaoberajú modelmi z mnohých rôznych oblastí, ktoré sú súčasťou ich účelu, aby ukázali, že lineárna algebra je široko použiteľným odvetvím matematiky. Ak ich niekto skontroluje ako celok, má niekoľko spoločných matematických charakteristík: vlastné čísla sú veľmi užitočné a študované matice sú takmer všetky nezáporné (všetky položky v nich sú 0 alebo väčšie). Aby som bol o niečo presnejší, často ide iba o najväčšie alebo dominantné vlastné číslo, ktoré potrebujeme vedieť.

To výrazne uľahčuje život. Výpočet všetkých vlastných čísel matice môže byť ťažká úloha. Pre maticu 10x10 z populačného modelu má Maple často problém s výpočtom všetkých z nich. Potrebujeme však iba jednu z 10 a metódy uvedené v projekte č. 10 fungujú spoľahlivo.

Matematická otázka, ktorá z toho všetkého vyplýva, je: ako vieme, či je dominantná vlastná hodnota matice pozitívna? Ďalšia otázka znie: môžu niekedy existovať kladné a záporné vlastné čísla rovnakej veľkosti? Ak je to tak, správanie pridruženého systému môže byť úplne odlišné. Odpoveď na túto otázku je kladná, ako to ukazuje problém 3 v projekte č. 10

Na obe tieto otázky odpovedá Perronova-Frobeniova veta pre nezáporné matice. Výsledky vety závisia od toho, aký druh nezápornej matice máme. Prvý druh, na ktorý sa pozrieme, sa nazýva neredukovateľný.

DEFINÍCIA NxN nezáporná matica A sa považuje za neredukovateľnú, ak neexistuje permutácia súradníc taká, že

kde P je permutačná matica nxn (každý riadok a každý stĺpec má presne jednu položku a všetky ostatné 0), A 11 je rxr a A 22 je (n-r) x (n-r). Toto nie je nijako zvlášť inšpiratívna definícia vzhľadom na skutočnosť, že nám hovorí iba to, čo NIE je neredukovateľné. Jediné, čo s istotou vieme, je, že matica so všetkými pozitívnymi záznamami je neredukovateľná.

Aby sme objasnili pojem neredukovateľnosti, skúmame ho v troch rôznych kontextoch:

1. Markovove reťaze. Predpokladajme, že A je prechodová matica Markovovho reťazca. Potom je to nezáporné a predpokladajme, že je to ďalej nastavené tak

a ij = pravdepodobnosť prechodu zo stavu j do stavu i

Ak sa pozrieme na štvrtý rad A, potom vidíme pravdepodobnosť prechodu zo stavu 4 do rôznych ďalších stavov (a tiež toho, či zostaneme v stave 4). Akákoľvek položka, ktorá je nulová, naznačuje, že do tohto stavu nemožno prejsť zo stavu 4, aspoň v jednom kroku.

Ak je napríklad A redukovateľné,

potom vidíme, že je možné prejsť zo štátov 1,2 alebo 3 do ľubovoľných stavov, ale iba zo štátov 4 alebo 5 k nim samým. Toto je samozrejme tradičná definícia stavov & quotabsorbovanie & quot v Markovovom reťazci. Vyššie uvedená permutačná matica P sa jednoducho rovná označeniu stavov, takže absorbujúce sú posledné.

2. Grafy. Ak by sme uvažovali o smerovaných grafoch, potom k nim každý priradil nezápornú maticu so všetkými položkami 0 alebo 1 s

a ij = 1, ak existuje oblúk od vrcholu i po vrchol j.

Ak je združená matica ireducibilná, potom sa človek môže dostať z ktoréhokoľvek vrcholu na ktorýkoľvek iný vrchol (možno v niekoľkých krokoch), zatiaľ čo ak je potom redukovateľný (napríklad prípad Markovovho reťazca), existujú vrcholy, z ktorých nemožno cestovať na všetky ostatné vrcholy.

Prvý prípad, v oblasti teórie grafov, sa nazýva & quot; silne prepojený & quot; graf.

3. Dynamické systémy. Predpokladajme, že rovnako ako v prípade populácie máme systém formy

a že A je redukovateľný ako vo vyššie uvedenej definícii. Potom je možné tento systém prepísať na rozdelené matice ako

kde Y má prvé r komponenty X a Z má posledné n-r, takže spolu tvoria pôvodný vektor X. (Čitateľ, ktorý buď nepracoval s rozdelenými maticami, alebo je na danom predmete hrdzavý, je vyzvaný, aby načrtol podrobnosti na úrovni komponentu a overil ich, že výsledok by mal nasledovať priamo.) Aj keď sa to na prvý pohľad nemusí zdať užitočné , To znamená, že roztok pre Z sa dá najskôr získať bez odkazu na systém, ktorý riadi Y, a potom roztok pre Y získaný z (nehomogénneho) systému, ktorý zaobchádza so Z ako známy. V ranej reči takého problému bol pôvodný systém „prerozdelený“ na dva jednoduchšie systémy. Pre fyzikov bola čiastočne oddelená.

Tvrdenie, že matica A je neredukovateľná, znamená, že systém nie je možné zmenšiť, preto sa s ním musí pri štúdiu jeho správania zaobchádzať ako s celkom.

Aj keď vyššie uvedená diskusia môže objasniť pojem neredukovateľnej matice, nepomôže to pri overovaní, či je daná matica v skutočnosti neredukovateľná. Napríklad nie je zjavne zrejmé, že z dvoch nasledujúcich matíc

druhý je neredukovateľný, zatiaľ čo prvý nie. Keby sme išli striktne podľa definície, museli by sme neustále skúšať permutácie a hľadať kritickú nulovú submaticu, ktorá by sa objavila. Ale pre maticu nxn existuje samozrejme n! možné také matice P, ktoré vytvárajú veľa práce (ak A je 10 x 10, potom existuje viac ako 3 milióny možností!).

Nasledujúca veta je teda celkom priama a užitočná.

VETA. A je nezáporná neredukovateľná matica nxn vtedy a len vtedy

(I n + A) n-1> 0,0 (podrobnosti a dôkaz pozri [12], s. 6)

Poznamenávame, že sila vo vyššie uvedenom výraze obsahuje rovnaké n ako vo veľkosti matice. Pretože počítačový softvér je ľahko dostupný na výpočet výkonov matice, je možné vyššie uvedené ľahko skontrolovať. Všimnite si, že výsledkom je tiež matica nxn, a ak je akýkoľvek záznam nulový, potom kontrapozitív vety hovorí, že A je redukovateľný. S odvolaním sa na dve vyššie uvedené matice to zistíme priamym výpočtom

V tomto okamihu sa javí ako vhodné konečne uviesť

PERRÓNOVO-FROBENSKÁ VETA PRE NEDOSTATOČNÉ MATRICE

Ak A je nxn, nezáporné, neredukovateľné, potom

1. jedno z jeho vlastných čísel je kladné a väčšie alebo rovné (v absolútnej hodnote) všetkým ostatným vlastným číslam

2. tomuto kladnému číslu zodpovedá kladný vlastný vektor

a 3. že vlastné číslo je jednoduchým koreňom charakteristickej rovnice A.

Takéto vlastné číslo sa nazýva & quotdominant vlastné číslo & quot, A a predpokladáme, že sme potom číslovali vlastné čísla, takže ide o prvé. Mali by sme zdôrazniť, že ďalšie vlastné čísla môžu byť kladné, záporné alebo zložité (a ak sú zložité, potom výrazom „absolútna hodnota“ rozumieme modul alebo vzdialenosť v komplexnej rovine od počiatku. Complex eigenvalues are a real possibility as only symmetric matrices are guaranteed to not have them, and very few of the matrices we have been discussing, in application, will be symmetric with the notable exception of undirected graphs. Part 3 of the theorem also merits brief comment. One ramification of it is that the dominant eigenvalue cannot be a multiple root. One will not be left with the classic situation of having more roots than corresponding linearly independent eigenvectors and hence having to worry about or calculate generalized eigenvectors and/or work with Jordan blocks. The same may not be said for the other eigenvalues of A but in the models here, they do not concern us.

Primitive Matrices and the Perron-Frobenius Theorem

Irreducible matrices are not the only nonnegative matrices of possible interest in the models we have looked at. Suppose we have a dynamical system of the form

(this matrix, while containing many suspicious looking zeroes, is indeed irreducible. The easiest way to see this is to construct the associated graph for it and check that you can get from any vertex to any other vertex.)We calculate that its dominant eigenvalue is 1.653 and that an associated eigenvector is (.29,.48,.29,.35,.5,.48) t so based upon the above discussion, we believe the long term behavior of the system to be of the form:

x (k) = c 1 (1.653) k (.29,.48,.29,.35,.5,.48) t (c 1 determined from initial conditions)

Simulation of the system is, of course, quite easy as one just needs to keep multiplying the current solution by A to get the solution one time period later. However, in this case, doing so does not seem to validate the predicted behavior and in fact does not even seem to show any sort of limit at all! (the reader is encouraged to fire up some software, pick an initial condition and see this behavior).

So what went wrong? If one calculates all of the eigenvalues for the matrix, they turn out to be: 1.653,0,0,+- .856i and -1.653. The latter is where the limit problem arises since we are taking integral powers of the eigenvalues, we get an algebraic "flip-flop" effect:

x (k) = c 1 (1.653) k e 1 + . + c 6 (-1.653) k e 6

(It is, by the way, a known result that an irreducible matrix cannot have two independent eigenvectors that are both nonnegative see [16], chapter 2. Thus e 6 in the above expansion has components of mixed sign.)

Thus 1.653 did not turn out to be as neatly "dominant" as we would have liked. If we look back at the statement of the Perron-Frobenius Theorem, we see it guaranteed a positive eigenvalue (with positive eigenvector) with absolute value greater than or equal to that of any other eigenvalue. In the example just considered, the equality was met.

So the question comes up: what stronger condition than irreducibility should one impose so that a nonnegative matrix has a truly dominant eigenvalue strictly greater in absolute value than any other eigenvalue? The answer is that the matrix needs to be "primitive". While there are several possible definitions of "primitive", most of which have a graphical context in terms of cycles, we will state a more general, algebraic definition as the models we may wish to look at are from a diverse group.

DEFINITION An nxn nonnegative matrix A is primitive iff A k > 0 for some power k.

We note the strict inequality all n 2 entries of A k have to be positive for some power. Such a condition, again considering the availability of computer software and ease of use, is easy to check. If one experiments with the 6x6 from the last example, one never finds a power where all 36 entries are positive. The question might come up: how many powers

of A does one have to look at before concluding it is not primitive? If A is primitive then the power which should have all positive entries is less than or equal to n 2 -2n +2 (this is due to Wielandt in 1950, see [ 17 ]). Also, it can be easily shown that if A is primitive than A is irreducible. Thus the class of primitive matrices has as a subset the class of irreducible matrices. Finally, primitive matrices indeed have the desired property in terms of a dominant eigenvalue:

PERRON-FROBENIUS THEOREM FOR PRIMITIVE MATRICES

If A is an nxn nonnegative primitive matrix then

1. one of its eigenvalues is positive and greater than (in absolute value) all other eigenvalues

2. there is a positive eigenvector corresponding to that eigenvalue

3. that eigenvalue is a simple root of the characteristic equation of A.

In addition to the various projects, some other applications which involve the Perron Frobenious Theorem desire mention:

Application #1: Ranking of Football Teams.

James P. Keener has developed several models of schemes for ranking college football teams which may be found in [6].

In general, it should be remarked that graph theory and nonnegative matrices have a very strong relationship and that the Perron-Frobenius Theorem is often a powerful tool in graph theory. The interested reader is referred to, for example, the excellent books by Minc and Varga for an in depth discussion.

As stated above, a graph (directed or not) has associated with it a nonnegative, "adjacency" matrix whose entries are 0s and 1s. A fundamental result about lengths of cycles in the graph may be obtained by determining whether the matrix is primitive or not. The very elegant result which occurs with the help of the Perron-Frobenius Theorem is this:

* if the matrix is primitive (hence a dominant eigenvalue with absolute value strictly greater than that of all other eigenvalues) then the greatest common divisor (gcd) of the lengths of all cycles is 1

* if the matrix is irreducible but not primitive then the greatest common divisor of the lengths of all cycles is the same as the number of eigenvalues with magnitude the same as the dominant eigenvalue (and including it).

It is common to refer to graphs with matrices which are irreducible but not primitive, naturally, as imprimitive and aforementioned gcd. as the index of the graph. It should also be mentioned that the collection of such eigenvalues lie equally spaced in the complex plane on a circle of radius equaling the dominant eigenvalue.

The interested reader is encouraged to examine the following pair of graphs in light of this result:

In the case of the first graph, the eigenvalues are 1,i,-i, and -1 while in the second graph they are 1.221, -.248 +/-1.034i, and -.724, consistent with the gcd of paths for graph 1 being 4 and the gcd of paths for graph 2 being 1.

The Perron-Frobenius Theorem has proven to be a consistently powerful result for examining certain nonnegative matrices arising in discrete models. It has been shown that careful consideration need be given to what hypothesis is used depending on whether one has an irreducible or primitive matrix. In applications, knowledge of the dominant eigenvalue and eigenvector is very helpful and also attainable while knowledge of the rest of the "spectrum" is both unnecessary and computationally extensive.

The author wishes to thank Dr. Kenneth Lane of KDLLabs, Satellite Beach, Florida, for many inspiring insights and conversations concerning the power and richness of the Perron-Frobenius Theorem.

1. Berman, A. and Plemmons R. 1979. Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences. New York: Academic Press.

2. Chartrand, G. 1977. Graphs as Mathematical Models . Boston: Prindle, Weber and Schmidt.

3. Gould, Peter. 1967. The Geographic Interpretation of Eigenvalues. Transactions of the Institute of British Geographers 42: 53-85.

4. Goulet, J. 1982. Mathematical Systems Analysis - A Course. The UMAP Journal 3 (4):395-406.

6. Keener, James P., 1993. The Perron-Frobenius Theorem and the Ranking of Football Teams. SIAM Review 35 (1): 80-93.

7. Kemeny, John and Snell, Laurie. 1960. Finite Markov Chains . New York: Van Nostrand Reinhold.

8. Lane,Kenneth D.. 1983. Computing the Index of a Graph .Congressus Numerantium, 40 ,143-154

9. Luenberger, D.G. 1979. Dynamic Systems . New York: John Wiley.

11. Maki, D.P. and Thompson, M. 1973. Mathematical Models and Applications . Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall.

12. Minc, Henryk.1988. Nonnegative Matrices . New York: John Wiley and Sons.

14. Straffin, Philip D. 1980. Linear Algebra in Geography: Eigenvectors of Networks. Mathematics Magazine 53 (5): 269-276.

16. Varga, Richard S. 1962. Matrix Iterative Analysis . Englewood Cliffs N.J.: Prentice-Hall.

17. Wielandt,H. 1950. "Unzerlegbare nicht negativen Matrizen" Math. Z . 52 , 642-648.


Obsah

Obsah
Preface
Chapter I. Introduction To Partial Differential Equations
1. Introduction
2. The One-Dimensional Wave Equation
3. Method Of Separation Of Variables
4. The Two-Dimensional Wave Equation
5. Three-Dimensional Wave Equation
6. The Wave Equation In Plane And Cylindrical Polar Coordinates
A. Plane Polars
B. Cylindrical Polars
7. The Wave Equation In Spherical Polar Coordinates
8. Laplace's Equation In Two Dimensions
A. Cartesian Coordinates
B. Polar Coordinates
9. Laplace's Equation In Three Dimensions
10. The Diffusion Or Heat Flow Equation
10.1. Neutron Diffusion
11. A Fourth Order Partial Differential Equation
12. The Bending Of An Elastic Plate — The Biharmonic Equation
13. Characteristics
13.1. Cauchy's Problem
13.2. Reduction Of (13.1.1) To The Standard Form
13.3. Riemann's Method Of Solution Of (13.1.1)
13.4. Numerical Integration Of Hyperbolic Differential Equations
Problémy
General References
Chapter II. Ordinary Differential Equations: Frobenius' And Other Methods Of Solution
1. Introduction
2. Solution In Series By The Method Of Frobenius
3. Bessel's Equation
4. Legendre's Equation
5. Hyper Geometric Equation
6. Series Solution About A Point Other Than The Origin
6.1. The Transformation X = (1 - ξ)/2
7. Series Solution In Descending Powers Of X
8. Confluent Hypergeometric Equation
8.1. Laguerre Polynomials
8.2. Hermite Polynomials
9. Asymptotic Or Semi-Convergent Series
10. Change Of Dependent Variable
11. Change Of The Independent Variable
12. Exact Equations
13. The Inhomogeneous Linear Equation
14. Perturbation Theory For Non-Linear Differential Equations
14.1. The Perturbation Method
14.2. Periodic Solutions
Problémy
General References
Chapter III. Bessel And Legendre Functions
1. Definition Of Special Functions 127
2. Jn(X), The Bessel Function Of The First Kind Of Order N
2.1. Recurrence Relations: Jn(X)
3. Bessel Function Of The Second Kind Of Order N, Yn(X)
4. Equations Reducible To Bessel's Equation
5. Applications
6. Modified Bessel Functions: In(X), Kn(X)
6.1. Recurrence Relations For In(X) And Kn(X)
6.2. Equations Reducible To Bessel's Modified Equation
6.3. Bessel Functions Of The Third Kind (Hankel Functions)
7. Illustrations Involving Modified Bessel Functions
8. Orthogonal Properties
8.1. Expansion Of F(X) In Terms Of Jn(ξix)
8.2. Jn(X) As An Integral (Where N Is Zero Or An Integer)
8.3. Other Important Integrals
9. Integrals Involving The Modified Bessel Functions
10. Zeros Of The Bessel Functions
11. A Generating Function For The Legendre Polynomials
11.1. Vzťahy opakovania
11.2. Orthogonality Relations For The Legendre Polynomials
11.3. Associated Legendre Functions
12. Applications From Electromagnetism
13. Spherical Harmonics
14. The Addition Theorem For Spherical Harmonics
Problémy
General References
Chapter IV. The Laplace And Other Transforms
1. Introduction
2. Laplace Transforms And Some General Properties
3. Solution Of Linear Differential Equations With Constant Coefficients
4. Further Theorems And Their Application
5. Solution Of The Equation Φ(D)x(t) = F(t) By Means Of The Convolution Theorem
6. Application To Partial Differential Equations
7. The Finite Sine Transform
8. The Simply Supported Rectangular Plate
9. Free Oscillations Of A Rectangular Plate
10. Plate Subject To Combined Lateral Load And A Uniform Compression
11. The Fourier Transform
Problémy
Chapter V. Matrices
1. Introduction
1.1. Definitions
2. Determinants
2.1. Evaluation Of Determinants
3. Reciprocal Of A Square Matrix
3.1. Determinant Of The Adjoint Matrix
4. Solution Of Simultaneous Linear Equations
4.1. Choleski-Turing Method
4.2. A Special Case: The Matrix A Is Symmetric
5. Eigenvalues (Latent Roots)
5.1. The Cayley-Hamilton Theorem
5.2. Iterative Method For Determination Of Eigenvalues
5.3. Evaluation Of Subdominant Eigenvalue
6. Special Types Of Matrices
6.1. Orthogonal Matrix
6.2. Hermitian Matrix
7. Simultaneous Diagonalization Of Two Symmetric Matrices
Problémy
General References
Chapter VI. Analytical Methods In Classical And Wave Mechanics
1. Introduction
2. Definitions
3. Lagrange's Equations Of Motion For Holonomic Systems
3.1. Derivation Of The Equations
3.2. Conservative Forces
3.3. Illustrative Examples
3.4. Energy Equation
3.5. Orbital Motion
3.6. The Symmetrical Top
3.7. The Two-Body Problem
3.8. Velocity-Dependent Potentials
3.9. The Relativistic Lagrangian
4. Hamilton's Equations Of Motion
5. Motion Of A Charged Particle In An Electromagnetic Field
6. The Solution Of The Schrödinger Equation
6.1. The Linear Harmonic Oscillator
6.2. Spherically Symmetric Potentials In Three Dimensions
6.3. Two-Body Problems
Problémy
General References
Chapter VII. Calculus Of Variations
1. Introduction
2. The Fundamental Problem: Fixed End-Points
2.1. Special Cases
2.2. Variable End-Points
2.3. A Generalization Of The Fixed End-Point Problem
2.4. One Independent, Several Dependent Variables
2.5. One Dependent And Several Independent Variables
3. Isoperimetric Problems
4. Rayleigh-Ritz Method
4.1. Sturm-Liouville Theory For Fourth-Order Equations
5. Torsion And Viscous Flow Problems
5.1. Torsional Rigidity
5.2. Trefftz Method
5.3. Generalization To Three Dimensions
6. Variational Approach To Elastic Plate Problems
6.1. Boundary Conditions
6.2. Buckling Of Plates
7. Binding Energy Of The He4 Nucleus
8. The Approximate Solution Of Differential Equations
Problémy
General References
Chapter VIII. Complex Variable Theory And Conformal Transformations
1. The Argand Diagram
2. Definitions Of Fundamental Operations
3. Function Of A Complex Variable
3.1. Cauchy-Riemann Equations
4. Geometry Of Complex Plane
5. Complex Potential
5.1. Uniform Stream
5.2. Source, Sink And Vortex
5.3. Doublet (Dipole)
5.4. Uniform Flow + Doublet -F Vortex. Flow Past A Cylinder
5.5. A Torsion Problem In Elasticity
6. Conformal Transformation
6.1. Bilinear (Möbius) Transformation
7. Schwarz-Christoffel Transformation
7.1. Applications
7.2. The Kirchhoff Plane
8. Transformation Of A Circle Into An Aerofoil
Problémy
General References
Chapter IX. The Calculus Of Residues
1. Definition Of Integration
2. Cauchy's Theorem
3. Cauchy's Integral
3.1. Differentiation
4. Series Expansions
4.1. Laurent's Theorem
5. Zeros And Singularities
5.1. Residues
6. Cauchy Residue Theorem
6.1. Application Of Cauchy's Theorem
6.2. Flow Round A Cylinder
6.3. Definite Integrals. Integration Round Unit Circle
6.4. Infinite Integrals
6.5. Jordan's Lemma
6.6. Another Type Of Infinite Integral
7. Harnack's Theorem And Applications
7.1. The Schwarz And Poisson Formulas
7.2. Application Of Conformai Transformation To Solution Of A Torsion Problem
8. Location Of Zeros Of f(z)
8.1. Nyquist Stability Criterion
9. Summation Of Series By Contour Integration
10. Representation Of Functions By Contour Integrals
10.1. Gamma Function
10.2. Bessel Functions
10.3. Legendre's Function As A Contour Integral
11. Asymptotic Expansions
12. Saddle-Point Method
Problémy
General References
Chapter X. Transform Theory
1. Introduction
1.1. Complex Fourier Transform
1.2. Laplace Transform
1.3. Hilbert Transform
1.4. Hankel Transform
1.5. Mellin Transform.
2. Fourier's Integral Theorem
3. Inversion Formulas
3.1. Complex Fourier Transform
3.2. Fourier Sine And Cosine Transforms
3.3. Convolution Theorems For Fourier Transforms
4. Laplace Transform
4.1. The Inversion Integral On The Infinite Circle
4.2. Exercises In The Use Of The Laplace Transform
4.3. Linear Approximation To Axially Symmetrical Supersonic Flow
4.4. Supersonic Flow Round A Slender Body Of Revolution
5. Mixed Transforms
5.1. Linearized Supersonic Flow Past Rectangular Symmetrical Aerofoil
5.2. Heat Conduction In A Wedge
6. Integral Equations
6.1. The Solution Of A Certain Type Of Integral Equation Of The First Kind
6.2. Poisson's Integral Equation
6.3. Abel's Integral Equation
7. Hilbert Transforms
7.1. Infinite Hilbert Transform
7.2. Finite Hilbert Transform
7.3. Alternative Forms Of The Finite Hilbert Transform
Problémy
General References
Chapter XI. Numerical Methods
1. Introduction
1.1. Finite Difference Operators
2. Interpolation And Extrapolation
2.1. Linear Interpolation
2.2. Everett's And Bessel's Interpolation Formulas
2.3. Inverse Interpolation
2.4. Lagrange Interpolation Formula
2.5. Formulas Involving Forward Or Backward Differences
3. Some Basic Expansions
4. Numerical Differentiation
5. Numerical Evaluation Of Integrals
5.1. Note On Limits Of Integration
5.2. Evaluation Of Double Integrals
6. Euler-Maclaurin Integration Formula
6.1. Summation Of Series
7. Solution Of Ordinary Differential Equations By Means Of Taylor Series
8. Step-By-Step Method Of Integration For First-Order Equations
8.1. Simultaneous First-Order Equations And Second-Order Equations With The First Derivative Present
8.2. The Second-Order Equation y" = f(x,y)
8.3. Alternative Method For The Linear Equation y" = g(x)y + h(x)
9. Boundary Value Problems For Ordinary Differential Equations Of The Second Order
9.1. Approximate Solution Of Eigenvalue Problems By Finite Differences
9.2. Numerical Solution Of Eigenvalue Equations
10. Linear Difference Equations With Constant Coefficients
11. Finite Differences In Two Dimensions
Problémy
General References
Chapter XII. Integral Equations
1. Introduction
1.1. Types Of Integral Equations
1.2. Some Simple Examples Of Linear Integral Equations
2. Volterra Integral Equation Form For A Differential Equation
2.1. Higher Order Equations
3. Fredholm Integral Equation Form For Sturm-Liouville Differential Equations
3.1. The Modified Green's Function
3.2. Green's Function For Fourth-Order Differential Equations
4. Numerical Solution
4.1. The Numerical Solution Of The Homogeneous Equation
4.2. The Volterra Equation
4.3. Iteration Method Of Solution
5. The Variation-Iteration Method For Eigenvalue Problems
Problémy
General References
Appendix
1. Δ2Φ In Spherical And Cylindrical Polar Coordinates
1.1. Plane Polar Coordinates
1.2. Cylindrical Polar Coordinates
1.3. Spherical Polar Coordinates
2. Partial Fractions
3. Sequences, Series, And Products
3.1. Sequences
3.2. Series
3.3. Infinite Products
4. Maxima And Minima For Functions Of Two Variables
4.1. Euler's Theorem Of Homogeneous Functions
4.2. The Expansion Of (Sinh aU/)/(Sinh U) In Powers Of 2 Sinh (½)
5. Integration
5.1. Uniform Convergence Of Infinite Integrals
5.2. Change Of Variables In A Double Integral
5.3. Special Integrals
5.4. Elliptic Integrals
6. Principal Valued Integrals
7. Vector Algebra And Calculus
7.1. Curvilinear Coordinates
7.2. The Equation Of Heat Conduction
7.3. Components Of Velocity And Acceleration In Plane Polar Coordinates
7.4. Vectors, Dyads And Tensors
8. Legendre Functions Of Non-Integral Order
8.1. The Value Of Pv(0)
9. An Equivalent Form For F(a,bcx)
10. Integrals Involving Ln(k)(x)
Problémy
General References
Solutions Of Problems
Chapter I
Chapter II
Chapter III
Chapter IV
Chapter V
Chapter VI
Chapter VII
Chapter VIII
Chapter IX
Chapter X
Chapter XI
Chapter XII
Appendix
Subject Index


Handbook of the Geometry of Banach Spaces

5 Invariant subspaces of positive operators

In this section we will discuss the Invariant Subspace Problem for operators that are either positive or closely associated with positive operators. The general theory concerning the invariant subspace problem will be presented in a separate article prepared for this volume by Enflo and Lomonosov.

The invariant subspace problem . Does a continuous linear operator T : XX on a Banach space have a non-trivial closed invariant subspace?

A vector subspace is “non-trivial” if it is different from <0>and X. A subspace V z X je T-invariant ak T(V) ⊆ V. Ak V is invariant under every continuous operator that commutes with T, then V is called T-hyperinvariant.

Ak X is a finite dimensional complex Banach space of dimension greater than one, then each non-zero operator T has a non-trivial closed invariant subspace. On the other hand, if X is non-separable, then the closed vector subspace generated by the orbit < x , T x , T 2 x , … >of any non-zero vector X is a non-trivial closed T-invariant subspace. Thus, the “invariant subspace problem” is of substance only when X is an infinite dimensional separable Banach space. Accordingly, without any further mentioning, all Banach spaces under consideration in this section will be assumed to be infinite dimensional separable real or complex Banach spaces. The only exception will be made while discussing the Perron–Frobenius Theorem.

In 1976, Enflo [ 56 ] was the first to construct an example of a continuous operator on a separable Banach space without a non-trivial closed invariant subspace, and thus he demonstrated that in this general form the invariant subspace problem has a negative answer. Subsequently, Read [ 115–117 ] has constructed a class of bounded operators on ℓ1 without invariant subspaces. For operators on a Hilbert space, the existence of an invariant subspace is still unknown and is one of the famous unsolved problems of modern mathematics. Due to the above counterexamples, the present study of the invariant subspace problem for operators on Banach spaces has been focused on various classes of operators for which one can expect the existence of an invariant subspace.

We start our invariant subspace results with a version of the classical Perron–Frobenius theorem for positive matrices. As usual, we denote by r(T) the spectral radius of an operator T.

If A is a non-negative n × n matrix such that for some k ≥ 1 the matrix A k has strictly positive entries, then the spectral radius of A is a strictly positive eigenvalue of multiplicity one having a strictly positive eigenvector.

The proof of this theorem, discovered by Frobenius [ 60 ] and Perron [ 108 ], is available in practically every book treating non-negative matrices, for instance in [ 33,35,98 ]. One more proof of the Perron–Frobenius theorem as well as many interesting generalizations can be found in [ 112 ]. If all entries of A are strictly positive, then the sequence < 1 [ r ( A ) ] k A k u >converges to a unique strictly positive eigenvector corresponding to the eigenvalue r(A), no matter which initial vector u > 0 is chosen. This fact has numerous applications. A major step in extending the Perron–Frobenius Theorem to infinite dimensional settings was done by Krein and Rutman [ 82 ] who proved the following theorem.

For any positive operator T : XX on a Banach lattice r(T) ∈ σ(T), i.e., the spectral radius of T belongs to the spectrum of T. Furthermore, if T is also compact and r(T) > 0, then there exists some x > 0 such that T x = r(T)X.

Dôkaz. We will sketch a proof. The inclusion r(T) ∈ σ(T) is caused merely by the positivity of T. Indeed, if we denote by R(λ) the resolvent operator of T, then clearly R(λ) > 0 for each λ > r(T), Also for each λ with |λ| > r(T) the inequality || R ( | λ | ) || ≥ || R ( λ ) || holds. Therefore, for λ n = r ( T ) + 1 n we have || R ( λ n ) || → ∞ , whence r(T) ∈ σ(T).

Assume further that T is compact and r(T) > 0. There exist unit vectors rnX+ such that || R ( λ n ) y n || → ∞ . Using the vectors rn, we introduce the unit vectors x n = R ( λ n ) y n / || R ( λ n ) y n || ∈ X + . Odkedy T is compact we can assume that TxnXX+. Finally, using the identities

The conclusion of the previous theorem remains valid if we replace the compactness of T by the compactness of some power of T. Indeed, assume that T k is compact for some k. Since r ( T k ) = [ r ( T ) ] k > 0 the previous theorem implies that there is a vector X > 0 such that T k x = [ r ( T ) ] k x . It remains to verify that the non-zero positive vector y = ∑ i = 0 k − 1 r i T k − 1 − i x is an eigenvector of T corresponding to the eigenvalue r(T).

The reader is referred to [ 121,123,144 ] for complete proofs and many pertinent results concerning the Krein–Rutman theorem. Some relevant results can be found in [ 4 ]. Note that the Krein–Rutman theorem holds not only for Banach lattices but for ordered Banach spaces as well. There is an interesting approach allowing to relax the compactness assumption. Namely, as shown by Zabre i ⌣ ko and Smickih [ 146 ] and independently by Nussbaum [ 102 ], instead of the compactness of T it is enough to assume only that the essential spectral radius re(T) is strictly less than the spectral radius r(T). A different type of relaxation is considered in [ 121 ], where the restriction of T do X+ is assumed to be compact, that is, T maps the positive part of the unit ball into a precompact set. A version of this result, given in terms of re(T), can be found in [ 102 ].

Another classical result by M. Krein [ 82 , Theorem 6.3] is the following.

Let T : C.(Ω) → C.(Ω) be a positive operator, where Ω is a compact Hausdorff space. Then T * , the adjoint of T, has a positive eigenvector corresponding to a non-negative eigenvalue.

Dôkaz. Consider the set G = < f ∈ C ( Ω ) + * : f ( 1 ) = 1 >, where 1 denotes the constant function one on Ω. Clearly, G is a nonempty, convex, and w * -compact subset of C.(Ω) * . Next, define the mapping F : GG od

A proof of Theorem 34 that does not use fixed point theorems can be found in [ 77 ].

Every positive operator on a C(Ω)-space (kde Ω is Hausdorff, compact and not a singleton) which is not a multiple of the identity has a non-trivial hyperinvariant closed subspace.

Dôkaz. Poďme T : C.(Ω) → C.(Ω) be a positive operator which is not a multiple of the identity. By Theorem 34 the adjoint operator T * has a positive eigenvector. If λ. denotes the corresponding eigenvalue, then the subspace ( T − λ I ) ( x ) ¯ has the desired properties.

Recall that a continuous operator T : XX on a Banach space is said to be quasinilpotent if its spectral radius is zero. It is well known that T is quasinilpotent if and only if lim n → ∞ || T n x || 1 / n = 0 for each XX. It can happen that a continuous operator T : XX is not quasinilpotent but, nevertheless, lim n → ∞ || T n x || 1 / n = 0 for some X ≠ 0. In this case we say that T je locally quasinilpotent o X. This property was introduced in [ 6 ], where it was found to be useful in the study of the invariant subspace problem. The set of points at which T is quasinilpotent is denoted by Q T, i.e., Q T = < x ∈ X : lim n → ∞ || T n x || 1 / n = 0 >.

It is easy to prove that the set Q T is a T-hyperinvariant vector subspace. We formulate below a few simple properties of the vector space Q T.

The operator T is quasinilpotent if and only if Q T = X.

Q T = <0>is possible — every isometry T satisfies Q T = <0>. Notice also that even a compact positive operator can fail to be locally quasinilpotent at every non-zero vector. For instance, consider the compact positive operator T : ℓ2 → ℓ2 defined by T ( x 1 , x 2 , … ) = ( x 1 , x 2 2 , x 3 3 , ⋯ ) . For each non-zero X ∈ ℓ2 pick some k for which Xk ≠ 0 and note that || T n x || 1 / n ≥ 1 k | x k | 1 / n for each n, from which it follows that T is not quasinilpotent at X.

Q T can be dense without being equal to X. For instance, the left shift S: ℓ2 → ℓ2, defined by S ( x 1 , x 2 , x 3 , … ) = ( x 2 , x 3 , … ) , has this property.

If Q T ≠ <0>and Q T ¯ ≠ X , then Q T ¯ is a non-trivial closed T-hyperinvariant subspace of X.

The above properties show that as far as the invariant subspace problem is concerned, we need only consider the two extreme cases: Q T = <0>and Q T ¯ = X .

We are now ready to state the main result about the existence of invariant subspaces of positive operators on ℓp-spaces. It implies, in particular, that if a positive operator is quasinilpotent at a non-zero positive vector, then the operator has an invariant subspace. This is an improvement of the main result in [ 6 ].

Poďme T : ℓ p → ℓ p ( 1 ≤ p < ∞ ) be a continuous operator with modulus. If there exists a non-zero positive operator S : ℓp → ℓp which is quasinilpotent at a non-zero positive vector and S|T| ≤ |T|S, then T has a non-trivial closed invariant ideal.

We do not know presently if an analogue of the previous result is true if the inequality S|T| ≤ |T|S is replaced by S|T| ≥ |T|S. However, if we assume additionally that S is quasinilpotent (rather than just being locally quasinilpotent), then such an analogue is true.

We now state several immediate consequences of the preceding results.

Assume that a positive matrix A = [aij] defines an operator on anp-space (1 ≤ p < ∞) which is locally quasinilpotent at some non-zero positive vector. Ak w = < w i j : i , j = 1 , 2 , … >is an arbitrary bounded double sequence of complex numbers, then the continuous operator defined by the weighted matrix A w = [ w i j a i j ] has a non-trivial closed invariant subspace. Moreover, all these operators Aw have a common non-trivial closed invariant subspace.

Proof. By Theorem 36 , the operator A has a non-trivial closed invariant ideal J. Now if B = [bij] is a matrix such that |B| ≤ cA, then from | B x | ≤ | B | ( | x | ) ≤ c A ( | x | ) it follows that BxJ for each XJ, i.e., J je B-invariant. It remains to let B = Aw.

It is worth mentioning that in the preceding corollary our assumption that the weights are bounded is not necessary. It suffices to assume only that the modulus of the matrix Aw defines an operator on ℓp.

If the modulus of a bounded operator T : ℓ p → ℓ p ( 1 ≤ p < ∞ ) exists and is locally quasinilpotent at a non-zero positive vector, then T has a non-trivial closed invariant subspace.

Every positive operator on anp-space (1 ≤ p < ∞) which is locally quasinilpotent at a non-zero positive vector has a non-trivial closed invariant subspace.

For quasinilpotent positive operators on ℓ2, Corollary 39 was also obtained in [ 48 ]. Although Theorem 36 and its corollaries are new even for a quasinilpotent operator on ℓp, their main attractiveness is due to the fact that we do not really need to know that a positive operator T : ℓp → ℓp is quasinilpotent. The only thing needed is the existence of a single vector X0 > 0 for which || T n x 0 || 1 / n → 0 . This alone implies that T has a non-trivial closed invariant subspace of a simple geometric form. In view of this, the following important question arises. How can we recognize by “looking at” a matrix [tij] defining a positive operator T : ℓp → ℓp if the set of positive vectors at which T is locally quasinilpotent is non-trivial? This question is addressed in [ 9 ].

A very interesting open problem related to Corollary 39 is whether or not each positive operator on ℓ1 has a nontrivial closed invariant subspace. Since each continuous operator on ℓ1 has a modulus (see Theorem 10 ), a natural candidate to test this problem is the modulus of any operator on ℓ1 without a nontrivial closed invariant subspace. In particular, each operator on ℓ1 without invariant subspace constructed by Read [ 115,117 ] is such a candidate. Troitsky [ 131 ] has recently managed to handle the case of the quasinilpotent operator T constructed by Read in [ 117 ]. Not only does |T| have a nontrivial closed invariant subspace, but |T| also has a positive eigenvector.

In our previous discussion, we were considering only operators on ℓp-spaces. However, we only used the discreteness of ℓp-spaces, the above results remain true for operators on arbitrary discrete Banach lattices, 3 in particular, for operators on Lorentz and Orlicz sequence spaces. For instance, the following analogue of Theorem 36 is true.

Let T : XX be a continuous operator with modulus, where X is a discrete Banach lattice. If there exists a non-zero positive operator S: XX which is locally quasinilpotent at a non-zero positive vector and S|T| ≤ |T|S (in particular this holds if S commutes with |T|), then T has a non-trivial closed invariant subspace.

Generalizing the approach developed in [ 5–7 ] for individual operators, Drnovšek [ 53 ] and Jahandideh [ 69 ] considered various collections of positive operators (for instance semigroups of operators) and proved the existence of common invariant subspaces for such collections. The main result in [ 53 ] is given next.

Let S be a (multiplicative or additive) semigroup of positive operators on a Banach lattice X. If there exists a discrete element x0X such that each operator in S is locally quasinilpotent at x0, potom S has a common non-trivial closed invariant ideal.

We refer to [ 8 ] for generalizations of some of the results in this section to Banach spaces with a Schauder basis. The situation with non-discrete spaces is considerably more complicated and will be discussed in the next section.


Frobenius Splitting Methods in Geometry and Representation Theory

The theory of Frobenius splittings has made a significant impact in the study of the geometry of flag varieties and representation theory. This work, unique in book literature, systematically develops the theory and covers all its major developments.

* Concise, efficient exposition unfolds from basic introductory material on Frobenius splittings—definitions, properties and examples—to cutting edge research

* Studies in detail the geometry of Schubert varieties, their syzygies, equivariant embeddings of reductive groups, Hilbert Schemes, canonical splittings, good filtrations, among other topics

* Applies Frobenius splitting methods to algebraic geometry and various problems in representation theory

* Many examples, exercises, and open problems suggested throughout

* Comprehensive bibliography and index

This book will be an excellent resource for mathematicians and graduate students in algebraic geometry and representation theory of algebraic groups.