Články

8.5: Aplikácie vo fyzike a štatistike


Túto kapitolu uzatvára niekoľko aplikácií, ktoré ukazujú, ako je možné niektoré známe diskrétne súčty nahradiť integrálmi, ktoré sú v podstate spojitými súčtami.

Predpokladajme, že tenká uniformná tyč má pripojené (n> 1 ) hmoty (m_1, ldots, m_n ) s (m_1 ) a (m_n ) na koncoch. The ťažisko hmotností je bod, v ktorom by sa - vzhľadom na gravitáciu Zeme - tyč vyrovnala, keby tam bola umiestnená os (pozri obrázok [obr: m1m2rod] (a)). Predstavte si tyč ako súčasť osi (x ) - a hmotnosti ako bodové hmotnosti - s každou hmotou (m_k ) v (x_k ) - a nechajte ťažisko v ( bar {x } ), ako na obrázku [obr: m1m2rod] (b).

Tyč je vyvážená, ak masy neotáčajú tyčou, teda celkom krútiaci moment je nula. Krútiaci moment je tu definovaný ako sila krát poloha relatívna k ( bar {x} ). Každá hmota (m_k ) pôsobí na tyč tyčou (m_kg ) - kde (g ) je (zostupné) zrýchlenie v dôsledku gravitácie Zeme - v polohe ((x_x- bar {x}) ) relatívne k ( bar {x} ). Celkový krútiaci moment je teda nulový, ak

[(m_1g) , (x_1- bar {x}) ~ + ~ (m_2g) , (x_2- bar {x}) ~ + ~ cdots ~ + ~ (m_ng) , (x_n- bar {x}) ~ = ~ 0 ], takže riešenie ( bar {x} ) prinesie:

[ label {eqn: cogdiscrete} bar {x} ~ = ~ frac {m_1gx_1 + cdots + m_ngx_n} {m_1g + cdots + m_ng} ~ = ~ frac {m_1x_1 + cdots + m_nx_n} {m_1 + cdots + m_n} ~ = ~ frac { sum_ {k = 1} ^ n ; m_kx_k} { sum_ {k = 1} ^ n ; m_k} ] Každá veličina (m_kx_k ) sa volá the okamih z hmotnosti (m_k ). Takže ( bar {x} ) je súčet momentov vydelený celkovou hmotnosťou. Túto myšlienku je možné rozšíriť na oblasti v (xy ) - rovine, pričom sa namiesto konečného súčtu použije integrál okamžitého kontinua. The ťažisko rovinnej oblasti je definovaný ako bod taký, že akákoľvek sila pozdĺž čiary prechádzajúcej týmto bodom neprodukuje žiadnu rotáciu oblasti okolo tejto čiary.8 Preto by mal byť nulový krútiaci moment v oboch smeroch (x ) a (y ), takže je potrebné použiť vzorec ([eqn: cogdiscrete]) v oboch smeroch na získanie ťažiska regiónu (( bar {x}, bar {y}) ). Región možno považovať za a lamina—Tenký plát s rovnomernou hustotou. Berte plochu regiónu ako jeho hmotu, ktorá má vzhľadom na rovnomernú hustotu zmysel. Pre oblasť medzi dvoma krivkami (y = f_1 (x) ) a (y = f_2 (x) ) nad ( ival {a} {b} ), s (f_1 (x) ge f_2 (x) ), vezmite zvislý plátok šírky ( dx ) na niektorých (x ), ako na obrázku [obr: cogregion] (a). Podľa rovnakých argumentov použitých v časti 8.4 celá plocha z tohto pruhu pochádza z obdĺžnika s výškou (f_1 (x) -f_2 (x) ) a šírkou ( dx ) (pozri tieňovaný obdĺžnik na obrázku [ obr: cogregion] (b)).

Za predpokladu rovnomernej hustoty je ťažiskom daného obdĺžnika jednoznačne jeho geometrický stred, ktorého súradnice sú ( left (x + frac {1} {2} dx, frac {1} {2} (f_1) (x) + f_2 (x)) vpravo) ). S celou hmotou prúžku sa dá zaobchádzať, akoby sa v danom mieste koncentrovalo. The okamih (m_x ) pásu okolo osi (x ) - je jeho hmotnosť krát poloha jeho ťažiska vzhľadom na os (x ) - (tj. jeho (y ) súradnica):

[m_x ~ = ~ (f_1 (x) -f_2 (x)) , dx , cdot , ( tfrac {1} {2} , (f_1 (x) + f_2 (x))) ~ = ~ tfrac {1} {2} , ((f_1 (x)) ^ 2 - (f_2 (x)) ^ 2) , dx ] Podobne okamih (m_y ) pásu okolo os (y ) - je jej hmotnosť krát (x ) súradnica jej ťažiska:

[ begin {aligned} m_y ~ & = ~ (f_1 (x) -f_2 (x)) , dx , cdot , (x + tfrac {1} {2} dx) ~ = ~ x , (f_1 (x) -f_2 (x)) , dx ~ + ~ tfrac {1} {2} (f_1 (x) -f_2 (x)) , ( dx) ^ 2 ~ & = ~ x , (f_1 (x) -f_2 (x)) , dx end {zarovnané} ] momenty (M_x ) a (M_y ) celej oblasti okolo (x ) - os a (y ) - os sú v tomto poradí definované ako súčet príslušných momentov (m_x ) a (m_y ) všetkých pásov nad ( ival {a} {b} ):

[M_x ; = ; int_a ^ b m_x ~ = ~ int_a ^ b tfrac {1} {2} , ((f_1 (x)) ^ 2 - (f_2 (x)) ^ 2) ; dx enskip text { a} enskip M_y ; = ; int_a ^ b m_y ~ = ~ int_a ^ bx , (f_1 (x) -f_2 (x)) ; dx ] Vo vzorci ([eqn: cogdiscrete]) si všimnite, že menovateľ je súčtom všetkých omše v systéme. Pre región by celková hmotnosť bola iba jeho plochou (M ):

[M ~ = ~ int_a ^ b (f_1 (x) -f_2 (x)) ~ dx ] Vydelením momentov (M_x ) adn (M_y ) číslom (M ) sa získa vzorec pre ťažisko:

Príklad ( PageIndex {1} ): cogregion1

Sem zadajte text.

Riešenie

Nájdite ťažisko oblasti ohraničenej krivkou (y = x ^ 2 ) a osou [(x ) - pre (0 le x le 1 ).

Riešenie: Oblasť je na obrázku vpravo tieňovaná. Použitím (y = f_1 (x) = x ^ 2 ) a (y = f_2 (x) = 0 ) vo vzorci ([eqn: cogregion]) výnosy

[ begin {aligned} M_x ~ & = ~ int_0 ^ 1 tfrac {1} {2} , (f_1 (x)) ^ 2 ~ dx ~ = ~ int_0 ^ 1 tfrac {1} { 2} , x ^ 4 ~ dx ~ = ~ tfrac {1} {10} , x ^ 5 ~ Biggr | _0 ^ 1 ~ = ~ tfrac {1} {10} M_y ~ & = ~ int_0 ^ 1 x , f_1 (x) ~ dx ~ = ~ int_0 ^ 1 x ^ 3 ~ dx ~ = ~ tfrac {1} {4} , x ^ 4 ~ Biggr | _0 ^ 1 ~ = ~ tfrac {1} {4} M ~ & = ~ int_0 ^ 1 f_1 (x) ~ dx ~ = ~ int_0 ^ 1 x ^ 2 ~ dx ~ = ~ tfrac {1 } {3} , x ^ 3 ~ Biggr | _0 ^ 1 ~ = ~ tfrac {1} {3} end {zarovnaný} ] tak, aby ťažisko (( bar {x}, lišta {y}) ) je:

[ bar {x} ~ = ~ frac {M_y} {M} ~ = ~ frac {1/4} {1/3} ~ = ~ frac {3} {4} quad text {a } quad bar {y} ~ = ~ frac {M_x} {M} ~ = ~ frac {1/10} {1/3} ~ = ~ frac {3} {10} ]

Príklad ( PageIndex {1} ): cogregion2

Sem zadajte text.

Riešenie

Nájdite ťažisko oblasti ohraničenej krivkami (y = x ) a (y = x ^ 2 ).

Riešenie: Oblasť je na obrázku vpravo tieňovaná. Použitím (y = f_1 (x) = x ) a (y = f_2 (x) = x ^ 2 ) vo vzorci ([eqn: cogregion]) výnosy

[ begin {aligned} M_x ~ & = ~ int_0 ^ 1 tfrac {1} {2} , ((f_1 (x)) ^ 2- (f_2 (x)) ^ 2) ~ dx ~ = ~ int_0 ^ 1 tfrac {1} {2} , (x ^ 2-x ^ 4) ~ dx ~ = ~ tfrac {1} {6} , x ^ 3 - tfrac {1} { 10} , x ^ 5 ~ Biggr | _0 ^ 1 ~ = ~ tfrac {1} {15} M_y ~ & = ~ int_0 ^ 1 x , (f_1 (x) -f_2 (x)) ~ dx ~ = ~ int_0 ^ 1 (x ^ 2 - x ^ 3) ~ dx ~ = ~ tfrac {1} {3} , x ^ 3 - tfrac {1} {4} , x ^ 4 ~ Biggr | _0 ^ 1 ~ = ~ tfrac {1} {12} M ~ & = ~ int_0 ^ 1 (f_1 (x) - f_2 (x)) ~ dx ~ = ~ int_0 ^ 1 (xx ^ 2) ~ dx ~ = ~ tfrac {1} {2} , x ^ 2 - tfrac {1} {3} , x ^ 3 ~ Biggr | _0 ^ 1 ~ = ~ tfrac {1} {6} end {zarovnané} ] tak, aby ťažisko (( bar {x}, bar {y}) ) bolo:

[ bar {x} ~ = ~ frac {M_y} {M} ~ = ~ frac {1/12} {1/6} ~ = ~ frac {1} {2} quad text {a } quad bar {y} ~ = ~ frac {M_x} {M} ~ = ~ frac {1/15} {1/6} ~ = ~ frac {2} {5} ]

Predpokladajme, že konštantná sila premiestni objekt pozdĺž čiary v rovnakom smere, v ktorom sila pôsobí. The práca silou sa definuje ako sila krát posunutie. Napríklad, ak konštantná sila (F ) presunie objekt z polohy (x = a ) do (x = b ) na osi (x ) - ako na obrázku [obr: práca] (a), potom práca (W ) vykonaná silou je:

[W ~ = ~ text {force} , times , text {výtlak} ~ = ~ text {force} , times , text {(konečná pozícia $ - počiatočná pozícia $)} ~ = ~ F , cdot , (ba) ]

Predpokladajme, že sila (F ) je funkciou polohy (x ) nad ( ival {a} {b} ): (F = F (x) ). Vlastnosťou Microstraightness je v nekonečne malom intervale ( ival {x} {x + dx} ) krivka (y = F (x) ) priamka, ako na obrázku [obr: práca] (b ). Ako by mala byť definovaná práca (d ! W ) vykonaná (F ) v tomto nekonečne malom intervale? Koniec koncov, (F ) nie je konštantné nad ( ival {x} {x + dx} ) - zaberá každú hodnotu medzi (F (x) ) a (F (x + dx) ). Toto sa ponecháva ako cvičenie akýkoľvek možno použiť hodnotu v tomto rozsahu - výsledkom všetkých je rovnaká suma (F (x) , dx ) za vykonanú prácu.9

Predpokladajme napríklad, že použijete hodnotu na polceste medzi (F (x) ) a (F (x + dx) ) ako hodnotu (F ): ( frac {1} {2} , (F (x) + F (x + dx)) ). Potom práca (d ! W ) ako posun sily a času je:

[ begin {aligned} d ! W ~ & = ~ frac {1} {2} , (F (x) + F (x + dx)) ~ dx ~ = ~ frac {1} { 2} , (F (x) + F (x) + F '(x) , dx) ~ dx

[4pt] & = ~ F (x) , dx ~ + ~ frac {1} {2} , F '(x) , cancelto {0} {( dx) ^ 2} & = ~ F (x) , dx end {Zarovnané} ] Definujte celkovú prácu (W ) nad ( ival {a} {b} ) ako súčet všetkých (d ! W ):

Predtým, ako budete pokračovať, je potrebné objasniť niektoré možné nejasnosti. Po prvé, sila je vždy a vektor—To má veľkosť aj smer. Pre tu uvažované sily, ktoré pôsobia v jednej dimenzii (napr. Pozdĺž osi (x ) -), je smer sily podľa konvencie označený jej znamienkom: kladné v smere k (+ infty ) , záporné v smere k (- infty ). Takže sila (3 ) N pôsobí v opačnom smere ako sila (- 3 ) N, ale majú rovnakú veľkosť ( abs {3} = 3 ).

Po druhé, práca nie je vektor - je to skalárny, čo znamená, že má veľkosť, ale nemá smer. Táto veľkosť však môže mať akékoľvek znamenie. Práca je pozitívna, ak je objekt posunutý v rovnakom smere ako sila, ale je negatívny, ak je posun v opačnom smere sily. Napríklad, ak zdvihnete predmet priamo zo zeme, vykonali ste pozitívnu prácu - objekt sa pohyboval rovnakým smerom ako sila, ktorú ste použili. Sila gravitácie však na objekte negatívne pôsobila, keď ste sa zdvíhali, pretože gravitácia pracuje smerom dole, ale objekt sa posúva nahor.

Nakoniec sa nulová práca vykoná silou, ak nedôjde k posunu v jej smere. Najmä sily pôsobiace kolmo na líniu posuvu nevykonávajú žiadnu prácu. Zvážte napríklad predmet hmotnosti (m ) na plochej vodorovnej doske stola, ako je to na obrázku vpravo. Ak tento objekt zatlačíte doprava silou (F), ktorá vykonáva pozitívnu prácu, potom gravitačná sila smerom dole ((- mg) a normálna sila smerom nahor (N), ktorú vykonáva tabuľka, vykoná nulová práca na objekte. Sila trenia (F _ { mu} ) z povrchu tabuľky pôsobí negatívne, pretože je proti sile (F ). Ďalším príkladom je, že sa nevykonáva žiadna práca, ak držíte objekt (100 ) lb nehybne a nad zemou.

Hookeov zákon uvádza, že vinutá pružina má gumičku obnovovacia sila (F = -kx ), kde (x ) je posunutie konca pružiny z jej rovnovážnej polohy pri rozťahovaní alebo stláčaní pružiny a (k> 0 ) je jarná konštanta- alebo koeficient tuhosti—Špecifické pre jar. Táto sila sa vždy snaží pružinu vrátiť do rovnovážnej polohy a zákon platí iba pre obmedzený rozsah (x ). Pre pružinu položenú vodorovne si predstavte, že leží na osi (x ) - s rovnovážnou polohou (x = 0 ), ako je to na obrázku vpravo.

  1. Nájdite pružinovú konštantu (k ), ak sila 2 N napne pružinu o 4 cm.
  2. Pomocou časti (a) vyhľadajte prácu vykonanú stlačením pružiny o 3 cm.

Riešenie: a) Sila potrebná na natiahnutie pružiny o veľkosť (x ) je (F = kx ), pretože táto sila musí pôsobiť proti vratnej sile. Teda (k = frac {F} {x} = frac {2 text {N}} {4 text {cm}} = frac {2 text {N}} {0,04 text {m }} = 50 ) N / m.
b) V časti a) je sila potrebná na stlačenie reťazca do polohy (x ) (F (x) = kx = 50x ), pretože musí opäť pôsobiť proti vratnej sile. Pretože teda (3 ) cm je (0,03 ) m, vykonaná práca (W ) je:

[W ~ = ~ int_0 ^ {- 0,03} F (x) ~ dx ~ = ~ int_0 ^ {- 0,03} 50x ~ dx ~ = ~ 25x ^ 2 ~ Biggr | _0 ^ {- 0,03} ~ = ~ 25 , (- 0,03) ^ 2 ~ - ~ 0 ~ = ~ 0,0225 ~ text {Nm} ]

Predpokladajme, že otočíte dva rovnomerne vyvážené haliere a vo výsledku bude (X ) počet hláv. Potom (X ) je a diskrétna náhodná premenná—Diskrétne, pretože môže trvať iba diskrétnu množinu hodnôt (0, 1 a 2); náhodné, pretože jeho hodnota je ponechaná náhode. The pravdepodobnosť toho, že otočí hlavu o cent je (50 \% = frac {1} {2} ), t. j. to je jeho teoretická pravdepodobnosť, pretože hlavy a chvosty sú rovnako pravdepodobné. The vzorový priestor (S ) všetkých možných výsledkov je množina (S = lbrace TT, TH, HT, HH rbrace ), kde (H ) sú hlavy a (T ) sú chvosty (napr. ( HT ) znamená, že prvý cent prišiel do hlavy a druhý do chvosta). Obrázok [obr: pravdepodobnosť] (a) zobrazuje stĺpcový graf pravdepodobností - ako čísla medzi 0 a 1 - s (P (X = x) ) označujúcim pravdepodobnosť udalosť že (X ) sa rovná číslu (x ). Všimnite si, že súčet pravdepodobností je 1 a (P (X = x) = 0 ), ak (x ) nie je 0, 1 alebo 2.

Myšlienka za a spojitá náhodná premenná (X ) má vyplniť tie medzery medzi stĺpcami na obrázku [obr: pravdepodobnosť] (a), takže (X ) by predstavovalo spojitú veličinu, napr. čas, vzdialenosť, teplota. Namiesto hľadania (P (X = x) ) by ste našli pravdepodobnosť, že (X ) je v kontinuu, napríklad v intervale, napr. (P (a

Všimnite si, že keďže (P (X = a) = 0 ), potom (P (a le X ) a ( ge )). Vo zvyšku tejto časti sa bude predpokladať, že všetky náhodné premenné sú spojité, pre ktoré je vzorový priestor zvyčajne celý ( Reals ) alebo nejaký interval, konečný alebo nekonečný (napr. ((0, infty) )).

Príklad ( PageIndex {1} ): expdist

Sem zadajte text.

Riešenie

Nech (X ) je životnosť - t.j. čas do poruchy — elektronickej súčasti. Ak je priemerná životnosť zložky 700 dní, potom je funkcia hustoty pravdepodobnosti (f (x) ) pre náhodnú premennú (X )

[ label {eqn: expdist} f (x) ~ = ~ begin {cases} ~ lambda , e ^ {- lambda x} & text {if $ ~ x ge 0 $,} ~ 0 & text {if $ ~ x <0 $} end {cases} ] kde ( lambda = frac {1} {700} ) a (x ) je počet dní. V tomto prípade (X ) má exponenciálne rozdelenie s parametrom ( lambda ). Nájdite pravdepodobnosť, že životnosť komponentu je:

  1. medzi 600 a 800 dňami
  2. viac ako 700 dní

Riešenie: a) Pravdepodobnosť je:

[P (600

b) Pravdepodobnosť je:

[P (X> 700) ~ = ~ int_ {700} ^ { infty} f (x) ~ dx ~ = ~ int_ {700} ^ { infty} tfrac {1} {700} , e ^ {- frac {x} {700}} ~ dx ~ = ~ -e ^ {- frac {x} {700}} ~ Biggr | _ {700} ^ { infty} ~ = ~ 0 ~ + ~ e ^ {- 1} ~ približne ~ 0,3679 ]

[sec8dot5]

Na cvičeniach 1-3 nájdite v danom intervale ťažisko oblasti ohraničenej danými krivkami.

3

(y = x ^ 3 ) a (y = 0 ); (0 le x le 1 )

(y = -x + 1 ) a (y = 0 ); (0 le x le 1 )

(y = x ^ 2 ) a (y = x ^ 3 ); (0 le x le 1 )

Nájdite ťažisko oblasti vo vnútri kruhu (x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 ) a nad osou (x ) -.

Nájdite ťažisko oblasti vo vnútri kruhu (x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 ) v prvom kvadrante.

Nájdite ťažisko oblasti vo vnútri elipsy ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) a nad (x ) - os.

Nájdite ťažisko oblasti medzi kruhom (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) a elipsou ( frac {x ^ 2} {4} + y ^ 2 = 1 ) nad (x ) - os.

Zmenil by sa vzorec ([ekv.]) Pre ťažisko, keby bola hmotnosť oblasti proporcionálna - ale nie rovnaká - k jeho ploche, napríklad konštantným kladným podielom ( delta ne 1 )? Vysvetlite.

Ak pružina vyžaduje stlačenie 3 N sily o 5 cm, koľko práce by sa dalo urobiť s natiahnutím pružiny o 8 cm?

Gravitačná sila (F (x) ) vyvíjaná Zemou na objekt hmotnosti (m ) vo vzdialenosti (x ) od stredu Zeme je

[F (x) ~ = ~ - frac {mgr_e ^ 2} {x ^ 2} ] kde (r_e ) je polomer Zeme. Ak je objekt uvoľnený z pokoja vo vzdialenosti (r_o ) od stredu Zeme, nájdite gravitačnú prácu pri vynášaní objektu na zemský povrch.

Pripomeňme, že zákon o ideálnom plyne hovorí, že (PV = RT ), kde (R ) je konštanta, (P ) je tlak, (V ) je objem a (T ) je teplota. Je možné preukázať, že práca (W ) vykonaná ideálnym plynom pri rozširovaní objemu z (V_a ) do (V_b ) je

[W ~ = ~ int_ {V_a} ^ {V_b} P ~ d ! V ~. ] Vypočítať (W ).

Overte, že (~ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} f (x) ~ dx = 1 ~ ) pre funkciu (f (x) ) vo vzorci ([eqn: expdist] ) v príklade

Príklad ( PageIndex {1} ): expdist

Sem zadajte text.

Riešenie

pre všetky ( lambda> 0 ).

V príklade nájdite (P (X <300) )

Príklad ( PageIndex {1} ): expdist

Sem zadajte text.

Riešenie

.

The distribučná funkcia (F (x) ) pre náhodnú premennú (X ) je definované ako (F (x) = P (X le x) ) pre všetky (x ). Ukážte, že (F '(x) = f (x) ), kde (f (x) ) je funkcia hustoty pravdepodobnosti pre (X ). [[1.]]

Vzorec ([eqn: cogregion]) je možné rozšíriť na oblasti v nekonečnom intervale za predpokladu, že oblasť je konečná. Pomocou tohto faktu nájdite ťažisko oblasti medzi (y = e ^ {- x} ) a (x ) - osou pre (0 le x < infty ).

The očakávaná hodnota (alebo znamenajú) (E lbrack X rbrack ) náhodnej premennej (X ) s funkciou hustoty pravdepodobnosti (f (x) ) je

[E lbrack X rbrack ~ = ~ int _ {- infty} ^ { infty} x ; f (x) ~ dx ~. ] Ukážte, že (E lbrack X rbrack = frac {1} { lambda} ) ak (X ) má exponenciálne rozdelenie s parametrom ( lambda> 0 ).
Poznámka: Očakávanú hodnotu možno považovať za vážený priemer všetkých možných hodnôt (X ), pričom váhy sú určené pravdepodobnosťou. Je to analogické s predstavou ťažiska.

[exer: normdist] O náhodnej premennej (X ) sa hovorí, že má a normálne rozdelenie ak je jeho funkcia hustoty pravdepodobnosti (f (x) )

[f (x) ~ = ~ frac {1} { sigma , sqrt {2 pi}} , e ^ { frac {(x- mu) ^ 2} {2 sigma ^ 2 }} quad text {pre všetky $ x $} ], kde ( sigma> 0 ) a ( mu ) sú konštanty. Toto je slávna „zvonová krivka“ v štatistikách.

  1. Overte, že (~ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} f (x) ~ dx = 1 ). (Tip: Použite príklad

    Príklad ( PageIndex {1} ): intexpx2

    Sem zadajte text.

    Riešenie

    a zámena.)
  2. Ukážte, že (E lbrack X rbrack = mu ).
  3. Pomocou numerickej integrácie ukážte, že (P (-1

Náhodná premenná (X ) má beta distribúcia ak je jeho funkcia hustoty pravdepodobnosti (f (x) )

[f (x) ~ = ~ begin {cases} ~ frac {1} {B (a, b)} , x ^ {a-1} , (1-x) ^ {b-1} & text {ak $ ~ 0 le x le 1 $} ~ 0 & text {inde} end {prípady} ] pre kladné konštanty (a ) a (b ), kde (B (a, b) ) je funkcia Beta. Ukážte, že (E lbrack X rbrack = frac {a} {a + b} ).

Ukážte, že akákoľvek hodnota medzi (F (x) ) a (F (x + dx) ) pre silu nad ( ival {x} {x + dx} ) dáva rovnaký vzorec (d ! W = F (x) , , dx ) pre prácu vykonanú v tomto intervale. (Rada: Zvážte (F (x + alpha , dx) ) pre (0 le alfa le 1 ).)

Kvapka vody s hmotnosťou (M ) sa uvoľní z pokoja vo výške dostatočnej na to, aby sa kvapka úplne odparila, pričom stratí hmotnosť (m ) každú sekundu (t. J. Konštantnou rýchlosťou). Ignorujúc odpor vzduchu, ukážte, že práca vykonaná gravitáciou pri poklese na úplné odparenie je ( frac {g ^ 2 M ^ 2} {6 m ^ 2} ).

Toto cvičenie súvisí so slávnym Einsteinovým zákonom (E = mc ^ 2 ). The relativistická hybnosť (p ) častice hmotnosti (m ) pohybujúcej sa rýchlosťou (v ) pozdĺž priamky (povedzme (x ) - os) je

[p ~ = ~ dfrac {mv} { sqrt {1 - frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} ~, ] kde (c ) je rýchlosť svetla. The relativistická sila na častice pozdĺž tejto čiary je

[F ~ = ~ dfrac {d ! P} { dt} ~, ] čo je rovnaký vzorec ako Newtonov druhý zákon pohybu v klasickej mechanike. Predpokladajme, že častica začína v pokoji v polohe (x_1 ) a končí v polohe (x_2 ) pozdĺž osi (x ) -. Práca vykonaná silou (F ) na častice je:

[W ~ = ~ displaystyle int_ {x_1} ^ {x_2} ~ F ~ dx ~ = ~ displaystyle int_ {x_1} ^ {x_2} ~ dfrac {d ! P} { dt} ~ dx ]

  1. Ukáž to

    [ dfrac {d ! p} { dv} ~ = ~ dfrac {m} { doľava (1 - frac {v ^ 2} {c ^ 2} doprava) ^ {3/2}} ~. ]

  2. Použite vzorec reťazcového pravidla

    [ dfrac {d ! p} { dt} ~ = ~ dfrac {d ! p} { dv} ; dfrac { dv} { dx} ; dfrac { dx} { dt} ] aby ste to ukázali

    [F ; dx ~ = ~ v ; dfrac {d ! P} { dv} ; dv ~. ]

  3. Na preukázanie toho použite časti (a) a (b)

    [W ~ = ~ displaystyle int_ {0} ^ {v} ~ dfrac {d ! P} { dv} ; v ~ dv ~ = ~ displaystyle int_ {0} ^ {v} ~ dfrac {mv} { doľava (1 - frac {v ^ 2} {c ^ 2} doprava) ^ {3/2}} ~ dv ~~. ]

  4. Na preukázanie toho použite časť (c)

    [W ~ = ~ dfrac {mc ^ 2} { sqrt {1 - frac {v ^ 2} {c ^ 2}}}} ; - ; mc ^ 2 ~. ]

  5. Definujte relativistická kinetická energia (K ) častice, ktorá má byť (K = W ), a definujte celková energia (E ) byť

    [E = dfrac {mc ^ 2} { sqrt {1 - frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} ~. ] Takže po časti (d), (K = E - mc ^ 2 ). Ukáž to

    [E ^ 2 ~ = ~ p ^ 2 c ^ 2 ~ + ~ (mc ^ 2) ^ 2 ~. ] (Tip: Rozbaľte pravú stranu tejto rovnice.)

  6. Čo je (E ), keď je častica v pokoji?

A medián trojuholníka je úsečka od vrcholu k stredu opačnej strany a tieto tri stredy sa pretínajú v spoločnom bode. Ukážte, že tento bod je ťažiskom trojuholníka.


Štatistický súbor (matematická fyzika)

Vo fyzike, konkrétne štatistickej mechanike, an súbor (tiež štatistický súbor) je idealizácia pozostávajúca z veľkého množstva virtuálnych kópií (niekedy nekonečne veľa) systému, ktoré sa berú do úvahy naraz, z ktorých každá predstavuje možný stav, v ktorom sa môže skutočný systém nachádzať. Inými slovami, štatistický súbor je rozdelenie pravdepodobnosti pre stav systému. Koncept súboru zaviedol J. Willard Gibbs v roku 1902. [1]

A termodynamický súbor je špecifická paleta štatistických súborov, ktorá je okrem iných vlastností v štatistickej rovnováhe (definovaná nižšie) a používa sa na odvodenie vlastností termodynamických systémov od zákonov klasickej alebo kvantovej mechaniky. [2] [3]


Obsah

Štatistická fyzika vysvetľuje a kvantitatívne popisuje supravodivosť, supratekutosť, turbulenciu, kolektívne javy v pevných látkach a plazme a štrukturálne vlastnosti kvapaliny. Je základom modernej astrofyziky. Vo fyzike pevných látok pomáha štatistická fyzika pri štúdiu tekutých kryštálov, fázových prechodov a kritických javov. Mnoho experimentálnych štúdií hmoty je úplne založených na štatistickom popise systému. Medzi ne patrí rozptyl studených neutrónov, röntgenové žiarenie, viditeľné svetlo a ďalšie. Štatistická fyzika zohráva úlohu aj vo vede o materiáloch, jadrovej fyzike, astrofyzike, chémii, biológii a medicíne (napr. V štúdiu šírenia infekčných chorôb).

Štatistická mechanika poskytuje rámec pre vzťahovanie mikroskopických vlastností jednotlivých atómov a molekúl k makroskopickým alebo objemovým vlastnostiam materiálov, ktoré je možné pozorovať v každodennom živote, a preto vysvetľuje termodynamiku ako prirodzený výsledok štatistík, klasickej mechaniky a kvantovej mechaniky v mikroskopii. úrovni. Kvôli tejto histórii sa štatistická fyzika často považuje za synonymum štatistickej mechaniky alebo štatistickej termodynamiky. [poznámka 1]

Tu vidíme, že stavy veľmi vysokej energie majú malú pravdepodobnosť výskytu, čo je výsledok, ktorý je v súlade s intuíciou.

Štatistický prístup môže dobre fungovať v klasických systémoch, keď je počet stupňov voľnosti (a teda počet premenných) taký veľký, že presné riešenie nie je možné alebo nie je skutočne užitočné. Štatistická mechanika môže tiež popisovať prácu v oblasti nelineárnej dynamiky, teórie chaosu, tepelnej fyziky, dynamiky tekutín (najmä pri vysokých Knudsenových číslach) alebo fyziky plazmy.

Kvantová štatistická mechanika Edit

Kvantová štatistická mechanika je štatistická mechanika aplikovaná na kvantovo mechanické systémy. V kvantovej mechanike popisuje štatistický súbor (rozdelenie pravdepodobnosti cez možné kvantové stavy) operátor hustoty S, čo je nezáporný, samostatne sa prispôsobujúci operátor triedy stopy 1 v Hilbertovom priestore H popisujúci kvantový systém. To možno preukázať rôznymi matematickými formalizmami pre kvantovú mechaniku. Jeden taký formalizmus poskytuje kvantová logika.

Aj keď niektoré problémy v štatistickej fyzike možno vyriešiť analyticky pomocou aproximácií a rozšírení, väčšina súčasného výskumu využíva na simuláciu alebo aproximáciu riešení veľkú výpočtovú silu moderných počítačov. Bežným prístupom k štatistickým problémom je použitie simulácie Monte Carlo na získanie prehľadu o vlastnostiach komplexného systému. Metódy Monte Carlo sú dôležité vo výpočtovej fyzike, fyzikálnej chémii a príbuzných odboroch a majú rôzne aplikácie vrátane lekárskej fyziky, kde sa používajú na modelovanie transportu žiarenia pre výpočty dozimetrie žiarenia. [2] [3] [4]


Pravdepodobnosť a štatistika v experimentálnej fyzike

Táto kniha je určená pre pokročilých a postgraduálnych študentov a je praktickým sprievodcom využívaním pravdepodobnosti a štatistík v experimentálnej fyzike. Dôraz sa kladie na aplikácie a porozumenie, na vety a techniky skutočne použité pri výskume. Pravdepodobne nejde o komplexný text a štatistické dôkazy sa niekedy vynechajú, ak neprispievajú k intuícii pri porozumení vety. Problémy, ktoré pri riešení riešenia priniesli študentovi úvod do používania počítačov, príležitostne sa odvolávajú na rutiny dostupné v knižnici CERN, dajú sa však použiť aj iné systémy, napríklad Maple. Zahrnuté témy zahŕňajú: základné pojmy definície niektoré jednoduché výsledky nezávislé od konkrétnych distribúcií diskrétne distribúcie normálne a ďalšie spojité distribúcie generujúce a charakteristické funkcie metóda Monte Carlo a počítačové simulácie viacrozmerné distribúcie centrálna limitná veta inverzná pravdepodobnosť a spoľahlivosť pásy metódy odhadu prispôsobenie krivky a pomery pravdepodobnosti interpolácie funkcií vyhovujúcich dátam s obmedzeniami robustné metódy odhadu. Toto druhé vydanie predstavuje novú metódu na prácu s malými vzorkami, aké môžu vzniknúť pri vyhľadávacích experimentoch, keď sú údaje málo pravdepodobné. Zahŕňa tiež novú kapitolu o problémoch s radením do frontu (vrátane jednoduchého, ale užitočného príkladu dĺžky vyrovnávacej pamäte). Okrem toho nové oddiely pojednávajú o nadmernom a nedostatočnom pokrytí pomocou pásov spoľahlivosti, metóde rozšírenej maximálnej pravdepodobnosti, použití pásov spoľahlivosti pre diskrétne rozdelenie, odhade korelačných koeficientov a metóde efektívneho rozptylu na prispôsobenie y = f (x), keď x aj y majú chyby merania.

Z recenzií druhého vydania:

„Táto kniha je druhým vydaním ... praktického úvodu do oblasti pravdepodobnosti a štatistík v experimentálnej fyzike. Kniha je určená predovšetkým pre vysokoškolských študentov a postgraduálnych študentov a obsahuje novú kapitolu teórie radenia a ďalšiu diskusiu o Feldman-Cousinsovej jednotnej metóde pre odhad intervalov spoľahlivosti. ““ (Ulrich Horst, Zentralblatt MATH, roč. 1011, 2003)

„Recenzovaná kniha je v mnohých ohľadoch dosť netradičná, najmä pokiaľ ide o výber preberaných tém a štýl prezentácie.… Jej hlavným cieľom je poskytnúť čitateľovi techniky, ktoré sa skutočne používajú pri experimentálnom výskume. Sú ilustrované sériou vypracované problémy. ... je zahrnutý nejaký materiál, ktorý sa v iných knihách tohto druhu ťažko nájde, ako napríklad prvky teórie čakania ... mnoho experimentálnych fyzikov by ocenilo, keby mali kópiu tejto knihy na dosah ruky. “ (F. Binon, Physicalia, zväzok 38 (5), 2002)


Prihlášky na kurzy tretieho stupňa až o 8,5%

Do uzávierky 1. februára prijal Ústredný úrad pre prihlášky viac ako 79 000 prihlášok na kurzy tretieho stupňa.

To je nárast o viac ako 6 200 uchádzačov, čo predstavuje nárast o 8,5% oproti údajom z minulého roka.

Jednou z najobľúbenejších možností kurzu pre rok 2021 je Obchod a správa, s viac ako 8 700 aplikáciami prvej preferencie, čo je nárast o 6% oproti minulému roku.

U osôb, ktoré chcú študovať odbor ošetrovateľstvo a pôrodná asistencia, došlo k výraznému nárastu, pretože sa prihlásilo takmer 6 000 študentov v porovnaní s približne 5 000 v predchádzajúcom roku, čo predstavuje nárast o 20%.

Spoločenské a behaviorálne vedy sa takisto zvýšili o viac ako 5 800 aplikácií, čo predstavuje nárast o 27%.

Medzitým sa čísla, ktoré si želajú vzdelávať sa ako učitelia základnej školy, v podstate nezmenili a ich počet je viac ako 2 700, keďže sa požadovali prvé preferencie. Počet stredoškolských učiteľov klesol o 8% s viac ako 1 900 žiadosťami.

Došlo k výraznému nárastu o 11%, čím sa počet umeleckých kurzov stal prvou voľbou s viac ako 7 000 prihláškami.

Popularita informačných a komunikačných technológií rastie s viac ako 3 600 aplikáciami, čo je v porovnaní s minulým rokom nárast o 14%.

Kurzy architektúry a staviteľstva stúpajú o 19% s viac ako 2 350 žiadosťami.

Inžinierske aplikácie stúpajú o 7% pri viac ako 4 000 aplikáciách.

Došlo k 5% poklesu v tých, ktorí sa uchádzajú o právo s takmer 2 800 žiadosťami.

Na načítanie tohto obsahu prehrávača rte-player potrebujeme váš súhlas. Prehrávač rte-player používame na správu ďalšieho obsahu, ktorý môže vo vašom zariadení nastavovať súbory cookie a zhromažďovať údaje o vašej aktivite. Skontrolujte ich podrobnosti a prijmite ich na načítanie obsahu. Spravovať predvoľby

Počet študentov naznačujúcich, že si želajú zaradiť sa do osobitného programu zameraného na študentov so zdravotným postihnutím (DARE), sa zvýšil o niečo viac ako 8% na celkových 7 839 uchádzačov.

Viac ako 10 000 uchádzačov si praje, aby sa uvažovalo o prístupe k vysokoškolskému prístupu (HEAR), čo je od roku 2020 pokles o viac ako 1 000.

U dospelých študentov bolo 8 727 žiadostí od uchádzačov starších ako 23 rokov, čo je od roku 2020 až 1 454 (20%) žiadostí.

Eileen Kelehanová, referentka pre komunikáciu s CAO, povedala: „Väčšina uchádzačov o CAO bude mať po otvorení 5. mája povolené používať zariadenie Change of Mind na pridanie, odstránenie alebo zmenu poradia kurzov, ktoré výsledkom budú zmeny dnes zverejnených čísel. & quot


Aplikácie v štatistickom výpočte

Redaktori: Bauer, N., Ickstadt, K., Lübke, K., Szepannek, G., Trautmann, H., Vichi, M. (Vyd.)

  • Predstavuje najmodernejší výskum na rozhraní štatistík a informatiky
  • Prispieva do dvoch vysoko relevantných oblastí výskumu: analýza dát a veľké dáta
  • Zahŕňa aplikované oblasti výskumu, ako je priemyselné inžinierstvo, ekonometria, biometria a analýza hudobných údajov
  • Publikované na počesť Clausa Weihsa, profesora výpočtovej štatistiky na TU Dortmund University

Kúpte si túto knihu

  • ISBN 978-3-030-25147-5
  • Digitálne vodoznak, bez DRM
  • Zahrnutý formát: PDF, EPUB
  • Elektronické knihy je možné používať na všetkých čítacích zariadeniach
  • Okamžité stiahnutie eKnihy po zakúpení
  • ISBN 978-3-030-25146-8
  • Preprava po celom svete pre jednotlivcov zdarma
  • Inštitucionálni zákazníci by sa mali spojiť so svojím správcom účtu
  • Zvyčajne pripravený na odoslanie do 3 až 5 pracovných dní, ak je na sklade

Tento zväzok predstavuje výber vedeckých prác na rôzne témy na rozhraní štatistík a informatiky. Dôraz sa kladie na praktické využitie štatistických metód v rôznych disciplínach, s využitím strojového učenia a iných výpočtových metód. Kniha pokrýva oblasti výskumu vrátane navrhovania experimentov, výpočtových štatistík, analýzy hudobných údajov, kontroly štatistických procesov, biometrie, priemyselného inžinierstva a ekonometrie. Zväzok, ktorý zhromaždil inovatívne, vysoko kvalitné a vedecky relevantné príspevky, bol publikovaný na počesť Clausa Weihsa, profesora výpočtovej štatistiky na TU Dortmund University, pri príležitosti jeho 66. narodenín.

Nadja Bauer prednáša na Univerzite aplikovaných vied a umení v Dortmunde v Nemecku. Medzi jej výskumné záujmy patrí priemyselná štatistika, analýza hudobných údajov a štatistické vzdelávanie.

Katja Ickstadt je profesorom matematickej štatistiky s aplikáciami v biometrii na Fakulte štatistiky, TU Dortmund University, Nemecko. Medzi jej hlavné oblasti výskumu patrí regresné modelovanie a metódy pre biomedicínske aplikácie, najmä z bayesovského hľadiska.

Karsten Lübke je lektorom štatistiky a matematiky na FOM University of Applied Science, Essen, Nemecko. Jeho hlavným výskumným záujmom je štatistické vzdelávanie a dátová gramotnosť.

Gero Szepannek is a Professor of Statistics and Business Mathematics at Stralsund University of Applied Sciences, Germany. Prior to this he worked for seven years at Santander as head of scoring and rating models. His main research interests are in machine learning, computational statistics, NLP, credit risk modeling and music information retrieval.

Heike Trautmann is a Professor of Information Systems and Statistics at the University of Münster, Germany and Director of the European Research Center for Information Systems (ERCIS). Her research chiefly focuses on data science, optimization, and automated algorithm selection.

Maurizio Vichi is a Full Professor of Statistics and Chair of the Department of Statistical Sciences at Sapienza University of Rome, Italy. He also serves as Coordinating Editor of the international journal Advances in Data Analysis and Classification, published by Springer. His research interests include statistical models for clustering, classification, dimensionality reduction, and new methods for official statistics.


Arches and Domes

Arches and domes are structures that exhibit structural strength and can span large areas with no intermediate supports.

Learning Objectives

Explain how an arch exhibits structural strength and how a dome can span a large area without intermediate supports

Key Takeaways

Kľúčové body

  • Arches span large areas by resolving forces into compressive stresses and eliminating tensile stresses.
  • The most common true arch configurations are the fixed arch, the two-hinged arch, and the three-hinged arch.
  • A dome is basically an arch that has been rotated around its central vertical axis.
  • Domes are basically arches that have been rotated on their vertical axis, and have the same capabilities and properties of arches.
  • Domes can be divided into two kinds, simple and compound.

Key Terms

  • compressive stress: Stress on materials that leads to a smaller volume.
  • tensile stress: Stress state leading to expansion that is, the length of a material tends to increase in the tensile direction while the volume remains constant.
  • pendentive: The concave triangular sections of vaulting that provide the transition between a dome and the square base on which it is set and transfer the weight of the dome.

Arches and domes are structures that exhibit structural strength and can span large areas with no intermediate supports. In this atom, we will discuss the history and physics behind arches and domes.

Arches

An arch is a structure that spans a space, and supports structure and weight above it. Arches have been being built from as long ago as the second millennium, but were not used for a variety of structures until the Romans took advantage of their capabilities. Arches are a pure compression form. They span large areas by resolving forces into compressive stresses and eliminating tensile stresses (referred to as arch action). As the forces in an arch are carried toward the ground, the arch will push outward at the base (called thrust ). As the height of the arch decreases, the outward thrust increases. To prevent the arch from collapsing, the thrust needs to be restrained, either with internal ties or external bracing. This external bracing is often called an abutment, as shown in.

Arches: A masonry arch1. Keystone 2. Voussoir 3. Extrados 4. Impost 5. Intrados 6. Rise 7. Clear span 8. Abutment

The most common true arch configurations are the fixed arch, the two-hinged arch and the three-hinged arch. The fixed arch is most often used in reinforced concrete bridge and tunnel construction, where the spans are short. Because it is subject to additional internal stress caused by thermal expansion and contraction, this type of arch is considered to be statically indeterminate. The two-hinged arch is most often used to bridge long spans. This type of arch has pinned connections at the base. Unlike the fixed arch, the pinned base is able to rotate, allowing the structure to move freely and compensate for the thermal expansion and contraction caused by changes in outdoor temperature. Because the structure is pinned between the two base connections, which can result in additional stresses, the two-hinged arch is also statically indeterminate, although not to the degree of the fixed arch.

Domes

A dome is an element of architecture that resembles the hollow upper half of a sphere. Dome structures made of various materials (from mud to stone, wood, brick, concrete, metal, glass and plastic) and have a long architectural lineage extending into prehistory.

A dome is basically an arch that has been rotated around its central vertical axis. Domes have the same properties and capabilities of arches, they can span large areas without intermediate supports and have a great deal of structural strength. When the base of a dome is not the same shape as its supporting walls, for example when a circular dome is on a square structure, techniques are employed to transition between the two. Pendentives are triangular sections of a sphere used to transition from the flat surfaces of supporting walls to the round base of a dome.

Domes can be divided into two kinds, simple and compound. Simple domes use pendentives that are part of the same sphere as the dome itself. Compound domes are part of the structure of a large sphere below that of the dome itself, forming a circular base, as shown in.

Compound Dome: A compound dome (red) with pendentives (yellow) from a sphere of greater radius than the dome.


The Role of Statistics in Astronomy

It is impossible to take out a ruler and measure the distance of the Earth from the sun. Unless, of course, you somehow manage to invent a suit that can survive the temperatures of the sun and design a ruler long enough to measure such a distance. However, it would likely take you a very long time to measure such a distance anyway.

Instead, astronomers use estimates and mathematical theories to devise their best guess to just how far items in the universe are away from each other. This is why when you read a news report that a star will likely be going supernova “any day now,” you have to understand that “any day now” could mean tomorrow, a year from now, or even ten thousand years from now. Learn astronomy online with this class.


Computer scientists tend to focus on data acquisition/cleaning, retrieval, mining, and reporting. They are often tasked with the development of algorithms for prediction and systems efficiency. Focus is also placed on machine learning (an aspect of artificial intelligence), particularly for the purposes of data mining (finding patterns and associations in data for a variety of purposes, such as marketing and finance).

There are a number of ways the roles of statisticians and computer scientists merge consider the development of models and data mining. Typically, statistical approach to models tends to involve stochastic (random) models with prior knowledge of the data. The computer science approach, on the other hand, leans more to algorithmic models without prior knowledge of the data. Ultimately, these come together in attempts to solve problems.

Data mining processes for computer science have statistical counterparts. Zvážte nasledovné:

Steps in Computer Science

Steps in Statistics

Experimental design for the collection of data/noise reduction

Discerning the distribution/variability

Group differences, dimension reduction prediction classification

Representation and Reporting

How else is statistics used in computer science? Simulations (used to gain a greater understanding of a variety of systems) are truly a marriage of computing capability and statistics—the use of statistics within programming improves understanding of the underlying system leading to more meaningful results. Statistics in software engineering leads to more conclusive determinations of quality and optimal performance.


Physics Laws

The present work is based on a compilation of the different Physics laws that enunciate the different branches of physics trying to show the most important of each of them, in order to condense the principles that essentially describe physics as science and its role in the field of scientific study.

List of 15 important laws of Physics

Here’s the list of all Physics Laws:
1: Archimedes Principal
According to this Principle, when a body is partially or totally immersed in a liquid, it experiences a thrust force, which is equal to the weight of the liquid displaced by it.

2: Pascal Law
Pascal law states that Pressure applied at any point of a liquid at rest is transmitted without loss to all other parts of the fluid. Hydraulic press and Hydraulic Brake is an application of pascal law.
3: Ohm’s Law
Ohm’s law states that current flowing in a metallic conductor is directly proportional to the potential difference applied across its ends provided that other physical conditions and temperatures are constant.The mathematical form of this law is expressed as:
V = IR

4: Huygens Principle


5: Newton’s first law of motion

According to Newton’s 1st law of motion states that Everybody continues in its state of rest or uniform motion in a straight line unless a resultant force acts on it to change in its state. Newton’s first law also is known as the law of inertia.

6: Newton’s second law of motion

The second law of motion states that when a resultant force acts on an object of constant mass, the acceleration will result in the product of its mass and acceleration equal to the resultant force, the direction of the acceleration being in the same direction as that of the resultant force.
7: Newton’s third law of motion
Newton’s 3rd law of motion states that action and reaction are equal but opposite in reaction. This law tells us 4 characteristics of forces:

    1. Forces always occur in pairs, which are called action and reaction forces.
    2. The action and reaction are always equal in magnitude
    3. Action and reaction are always opposite to each other.
    4. Action and reaction act on different bodies.


    8: Newton’s law of Gravitation

    According to the law of gravitation, every object in the universe attracts every other object with a force that is directly proportional to the product of their masses and inversely proportional to the square of the distance between the masses.


    9: Law Of inertia
    Law of inertia states that a body continues its state of rest or uniform motion until an external force acts on it. It deals with the inertial property of matter. Inertia depends greatly on mass.


    10: Coulomb’s Law

    Coulomb’s law states that the force of attraction or repulsion between two charges is directly proportional to the magnitude of charges and inversely proportional to the square of the distance between these two charges.

    11: Hook’s Law

    12: Bernoulli’s Principle
    Bernoulli’s principle states that when the speed of the moving fluid, gas or liquid, increases, the pressure inside the fluid decreases.
    Aerodynamic lift is an example or an application of Bernoulli’s principle.

    13: Boyles Law
    Boyles law states that the volume of the given mass of gas varies inversely with pressure at a constant temperature.
    Mathematically it is expressed as:
    PV = Constant

    14: Charle’s Law


    15: Kepler’s Law

    16: Law of Conservation of energy

    17: Faraday’s law

    18: Lenz’s law of induction

    19: Graham’s law

    20: Compton Effect

    21: Photoelectric Effect

    22: Planck’s law

    23: First law of thermodynamics

    24: Second law of thermodynamics

    25: Zeroth law of thermodynamics

    26: Snell’s law
    According to this law, For two particular medium, the ratio by Sine of the angle of incidence to the sine of the angle of refraction is equal to a constant is called Snell’s law.

    n = Sin i/ Sin r
    27: Ampere’s law

    28: Joules Law

    Joule’s law of heating states that The heat produced by an electric current I, flowing through a resistance, R, for a fixed time,t is equal to the Product of Square of Current I, Resistance R and time t. If The current is expressed in ampere’s, the resistance in ohms, and the time in seconds then the heat produced is in joule.


    29: Law of conservation of momentum
    According to this law momentum before the collision is equal to the momentum after the collision. or the momentum of an isolated system remains conserved.
    If you want to learn in detail, click the list of all laws of physics below.
    Let’s dive in…


    Pozri si video: Mecânica Avançada - Aula 01 - Aplicações avançadas da mecânica newtoniana - 1 (Október 2021).