Články

12.2: Vektory v troch rozmeroch


Učebné ciele

  • Matematicky popíšte trojrozmerný priestor.
  • Vyhľadajte body v priestore pomocou súradníc.
  • Napíšte vzorec vzdialenosti v troch rozmeroch.
  • Napíšte rovnice pre jednoduché roviny a gule.
  • Vykonajte vektorové operácie v ( mathbb {R} ^ {3} ).

Vektory sú užitočnými nástrojmi na riešenie dvojrozmerných problémov. Život sa však deje v troch dimenziách. Pre rozšírenie použitia vektorov na realistickejšie aplikácie je potrebné vytvoriť rámec pre popis trojrozmerného priestoru. Napríklad aj keď je dvojrozmerná mapa užitočným nástrojom na navigáciu z jedného miesta na druhé, v niektorých prípadoch je dôležitá topografia krajiny. Ide vaša plánovaná trasa cez hory? Musíte prekročiť rieku? Ak chcete plne oceniť vplyv týchto geografických prvkov, musíte použiť tri dimenzie. Táto časť predstavuje prirodzené rozšírenie dvojrozmernej karteziánskej súradnicovej roviny do troch dimenzií.

Trojrozmerné súradnicové systémy

Ako sme sa dozvedeli, dvojrozmerný obdĺžnikový súradnicový systém obsahuje dve kolmé osi: vodorovnú (x ) - os a zvislú (y ) - os. Môžeme pridať tretiu dimenziu, os (z ) - ktorá je kolmá na os (x ) - a (y ) - os. Tento systém nazývame trojrozmerný obdĺžnikový súradnicový systém. Predstavuje tri dimenzie, s ktorými sa stretávame v reálnom živote.

Definícia: Trojrozmerný obdĺžnikový súradnicový systém

Trojrozmerný obdĺžnikový súradnicový systém sa skladá z troch kolmých osí: os (x ) - os, (y ) - os a (z ) - os. Pretože každá os je číselná čiara predstavujúca všetky reálne čísla v (ℝ ), trojrozmerný systém je často označený (ℝ ^ 3 ).

Na obrázku ( PageIndex {1a} ) je kladná os (z ) zobrazená nad rovinou obsahujúcou osi (x ) - a (y ). Kladná os (x ) - sa zobrazuje vľavo a kladná os (y ) - vpravo. Prirodzená otázka, ktorú si treba položiť, je: Ako sa určilo toto usporiadanie? Zobrazený systém sleduje pravidlo pravej ruky. Ak vezmeme našu pravú ruku a prsty vyrovnáme s kladnou osou (x ) - potom zvlníme prsty tak, aby smerovali k pozitívnej osi (y ) -, náš palec smeruje k smeru kladná (z ) - os (obrázok ( PageIndex {1b} )). V tomto texte vždy pracujeme so súradnicovými systémami nastavenými v súlade s pravidlom pravej ruky. Niektoré systémy sa riadia pravidlom ľavej ruky, ale pravidlo pravej ruky sa považuje za štandardné znázornenie.

V dvoch dimenziách opíšeme bod v rovine so súradnicami ((x, y) ). Každá súradnica popisuje, ako sa bod zarovnáva s príslušnou osou. V troch dimenziách nová súradnica (z ), je pripojený na označenie zarovnania s (z ) - osou: ((x, y, z) ). Bod v priestore je identifikovaný všetkými tromi súradnicami (Obrázok ( PageIndex {2} )). Ak chcete vykresliť bod ((x, y, z) ), choďte (x ) jednotky pozdĺž osi (x ) - potom (y ) jednotky v smere (y ) -os, potom (z ) jednotky v smere osi (z ) -.

Príklad ( PageIndex {1} ): Umiestnenie bodov v priestore

Načrtnite bod ((1, -2,3) ) v trojrozmernom priestore.

Riešenie

Ak chcete načrtnúť bod, začnite načrtnutím troch strán obdĺžnikového hranola pozdĺž súradnicových osí: jedna jednotka v pozitívnom smere (x ), (2 ) jednotky v negatívnom smere (y ) a ( 3 ) jednotky v kladnom (z ) smere. Vyplňte hranol a zakreslite bod (obrázok).

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Načrtnite bod ((- 2,3; -1) ) v trojrozmernom priestore.

Pomôcka

Začnite načrtnutím súradnicových osí. napr. Obrázok ( PageIndex {3} ). Potom načrtnite obdĺžnikový hranol, ktorý pomôže nájsť bod v priestore.

Odpoveď

V dvojrozmernom priestore je súradnicová rovina definovaná dvojicou kolmých osí. Tieto osi nám umožňujú pomenovať ľubovoľné miesto v lietadle. Definujeme v troch dimenziách súradnicové roviny súradnicovými osami, rovnako ako v dvoch dimenziách. Teraz existujú tri osi, takže existujú tri pretínajúce sa páry osí. Každá dvojica osí vytvára súradnicovú rovinu: rovinu (xy ), rovinu (xz ) a rovinu (yz ) (obrázok ( PageIndex {3} )). Rovinu (xy ) - definujeme formálne ako nasledujúcu množinu: ( {(x, y, 0): x, y∈ℝ }. ) Podobne rovinu (xz ) - a (yz ) - rovina je definovaná ako ( {(x, 0, z): x, z∈ℝ } ) a ( {(0, y, z): y, z∈ℝ }, ).

Aby ste si to vizualizovali, predstavte si, že staviate dom a stojíte v miestnosti, v ktorej sú dokončené iba dve zo štyroch stien. (Predpokladajme, že obe dokončené steny susedia k sebe.) Ak stojíte chrbtom k rohu, kde sa dve dokončené steny stretávajú, otočená von do miestnosti, podlaha je rovina (xy ) - rovina, stena pravá strana je rovina (xz ) a stena po ľavej strane rovina (yz ).

V dvoch dimenziách súradnicové osi rozdeľujú rovinu na štyri kvadranty. Podobne súradnicové roviny rozdeľujú priestor medzi nimi na osem oblastí o počiatku, tzv oktantov. Oktanty vypĺňajú (ℝ ^ 3 ) rovnakým spôsobom ako kvadranty vypĺňajú (ℝ ^ 2 ), ako je to znázornené na obrázku ( PageIndex {4} ).

Väčšina prác v trojrozmernom priestore predstavuje pohodlné rozšírenie zodpovedajúcich konceptov v dvoch dimenziách. V tejto časti použijeme svoje znalosti kruhov na opísanie sfér a potom rozšírime svoje chápanie vektorov do troch dimenzií. Na splnenie týchto cieľov začneme prispôsobením vzoru vzdialenosti trojrozmernému priestoru.

Ak dva body ležia v rovnakej súradnicovej rovine, je ľahké vypočítať vzdialenosť medzi nimi. My, že vzdialenosť (d ) medzi dvoma bodmi ((x_1, y_1) ) a ((x_2, y_2) ) v X (y ) - rovina súradníc je daná vzorcom

[d = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2}. ]

Vzorec pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi v priestore je prirodzeným rozšírením tohto vzorca.

Vzdialenosť medzi dvoma bodmi vo vesmíre

Vzdialenosť (d ) medzi bodmi ((x_1, y_1, z_1) ) a ((x_2, y_2, z_2) ) je daná vzorcom

[d = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2 + (z_2 − z_1) ^ 2}. label {distanceForm} ]

Dôkaz o tejto vete sa ponecháva ako cvičenie. (Rada: Najprv nájdite vzdialenosť (d_1 ) medzi bodmi ((x_1, y_1, z_1) ) a ((x_2, y_2, z_1) ), ako je to znázornené na obrázku ( PageIndex {5} ).)

Príklad ( PageIndex {2} ): Vzdialenosť v priestore

Nájdite vzdialenosť medzi bodmi (P_1 = (3, -1,5) ) a (P_2 = (2,1, -1). )

Riešenie

Nahraďte hodnoty priamo do vzorca vzdialenosti (Rovnica ref {distanceForm}):

[ begin {align *} d (P_1, P_2) & = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2 + (z_2 − z_1) ^ 2} [4pt] & = sqrt {(2 -3) ^ 2 + (1 - (- 1)) ^ 2 + (- 1 - 5) ^ 2} [4 pt] & = sqrt {(- 1) ^ 2 + 2 ^ 2 + (- 6) ^ 2} [4pt] & = sqrt {41}. end {zarovnať *} ]

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Nájdite vzdialenosť medzi bodmi (P_1 = (1, -5,4) ) a (P_2 = (4, -1, -1) ).

Pomôcka

(d = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2 + (z_2 − z_1) ^ 2} )

Odpoveď

(5 sqrt {2} )

Pred prechodom na ďalšiu časť si urobme predstavu o tom, ako sa (ℝ ^ 3 ) líši od (ℝ ^ 2 ). Napríklad v (ℝ ^ 2 ) sa musia vždy pretínať čiary, ktoré nie sú rovnobežné. Toto nie je prípad (ℝ ^ 3 ). Zvážte napríklad riadok zobrazený na obrázku ( PageIndex {7} ). Tieto dve čiary nie sú rovnobežné, ani sa nepretínajú.

Obrázok ( PageIndex {7} ): Tieto dve čiary nie sú rovnobežné, ale stále sa nepretínajú.

Môžete tiež mať kruhy, ktoré sú navzájom prepojené, ale nemajú spoločné žiadne body, ako na obrázku ( PageIndex {8} ).

Obrázok ( PageIndex {8} ): Tieto kruhy sú vzájomne prepojené, ale nemajú spoločné body.

Máme oveľa väčšiu flexibilitu pri práci v troch rozmeroch, ako keď pracujeme iba v dvoch rozmeroch.

Písanie rovníc do (ℝ ^ 3 )

Teraz, keď môžeme reprezentovať body v priestore a nájsť medzi nimi vzdialenosť, sa naučíme, ako do (ℝ ^ 3 ) zapisovať rovnice geometrických objektov, ako sú čiary, roviny a zakrivené plochy. Najprv začneme jednoduchou rovnicou. Porovnajte grafy rovnice (x = 0 ) v (ℝ ), (ℝ ^ 2 ) a (ℝ ^ 3 ) (obrázok ( PageIndex {9} )). Z týchto grafov vidíme, že rovnaká rovnica môže popisovať bod, priamku alebo rovinu.

Vo vesmíre rovnica (x = 0 ) popisuje všetky body ((0, y, z) ). Táto rovnica definuje rovinu (yz ). Podobne rovina (xy ) obsahuje všetky body tvaru ((x, y, 0) ). Rovnica (z = 0 ) definuje rovinu (xy ) a rovnica (y = 0 ) popisuje rovinu (xz ) (Obrázok ( PageIndex {10} )).

Pochopenie rovníc súradnicových rovín nám umožňuje napísať rovnicu pre každú rovinu, ktorá je rovnobežná s jednou z súradnicových rovín. Keď je rovina rovnobežná s rovinou (xy ) - napríklad (z )-súradnice každého bodu v rovine majú rovnakú konštantnú hodnotu. Iba (x ) - a (y ) -súradnice bodov v tejto rovine sa líšia od bodu k bodu.

Rovnice rovnobežných s rovinami súradníc

  1. Rovinu v priestore, ktorá je rovnobežná s rovinou (xy ) - a obsahuje bod ((a, b, c) ), je možné vyjadriť rovnicou (z = c ).
  2. Rovinu v priestore, ktorá je rovnobežná s rovinou (xz ) - a obsahuje bod ((a, b, c) ), je možné vyjadriť rovnicou (y = b ).
  3. Rovinu v priestore, ktorá je rovnobežná s rovinou (yz ) - a obsahuje bod ((a, b, c) ), je možné vyjadriť rovnicou (x = a ).

Príklad ( PageIndex {3} ): Písanie rovníc rovín rovnobežne s rovinami súradníc

  1. Napíšte rovnicu roviny prechádzajúcej bodom ((3,11,7) ), ktorá je rovnobežná s (yz ) - rovinou.
  2. Nájdite rovnicu roviny prechádzajúcej bodmi ((6, -2,9), (0, -2,4), ) a ((1, -2, -3). )

Riešenie

  1. Keď je rovina rovnobežná s (yz ) - rovinou, použije sa iba (y ) - a (z ) - súradnice sa môžu líšiť. Súradnica (x ) - má rovnakú konštantnú hodnotu pre všetky body v tejto rovine, takže táto rovina môže byť vyjadrená rovnicou (x = 3 ).
  2. Každý z bodov ((6, -2,9), (0, -2,4), ) a ((1, -2, -3) ) má rovnaký (y ) -koordinovať. Túto rovinu môžeme znázorniť rovnicou (y = −2 ).

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Napíšte rovnicu roviny prechádzajúcej bodom ((1, −6, −4) ), ktorá je rovnobežná s rovinou (xy ).

Pomôcka

Ak je rovina rovnobežná s (xy ) - rovinou, potom z-súradnice bodov v tejto rovine sa nemenia.

Odpoveď

(z = −4 )

Ako sme videli, v (ℝ ^ 2 ) rovnica (x = 5 ) popisuje zvislú čiaru prechádzajúcu bodom ((5,0) ). Táto čiara je rovnobežná s osou (y ) -. V prirodzenom rozšírení rovnica (x = 5 ) v (ℝ ^ 3 ) popisuje rovinu prechádzajúcu bodom ((5,0,0) ), ktorá je rovnobežná s (yz ) - lietadlo. Ďalšie prirodzené rozšírenie známej rovnice nájdeme v rovnici gule.

Definícia: Sféra

Guľa je množina všetkých bodov v priestore v rovnakej vzdialenosti od pevného bodu, stredu gule (obrázok ( PageIndex {11} )), rovnako ako množina všetkých bodov v rovine, ktoré sú v rovnakej vzdialenosti od stredu predstavuje kruh. V guli, ako v kružnici, sa vzdialenosť od stredu k bodu v guli nazýva polomer.

Rovnica kruhu je odvodená pomocou vzorca vzdialenosti v dvoch rozmeroch. Rovnakým spôsobom je rovnica gule založená na trojrozmernom vzorci vzdialenosti.

Štandardná rovnica gule

Guľu so stredom ((a, b, c) ) a polomerom (r ) môžeme vyjadriť rovnicou

[(x − a) ^ 2 + (y − b) ^ 2 + (z − c) ^ 2 = r ^ 2. ]

Táto rovnica je známa ako štandardná rovnica gule.

Príklad ( PageIndex {4} ): Nájdenie rovnice gule

Nájdite štandardnú rovnicu gule so stredom ((10,7,4) ) a bodom ((- 1,3; -2) ), ako je to znázornené na obrázku ( PageIndex {12} ).

Obrázok ( PageIndex {12} ): Guľa vystredená na ((10,7,4) ) obsahujúca bod ((- 1,3; -2). )

Riešenie

Pomocou vzorca vzdialenosti nájdite polomer (r ) gule:

[ begin {align *} r & = sqrt {(- 1-10) ^ 2 + (3-7) ^ 2 + (- 2-4) ^ 2} [4pt] & = sqrt { (−11) ^ 2 + (- 4) ^ 2 + (- 6) ^ 2} [4pt] & = sqrt {173} end {zarovnať *} ]

Štandardná rovnica gule je

[(x − 10) ^ 2 + (y − 7) ^ 2 + (z − 4) ^ 2 = 173. nonumber ]

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Nájdite štandardnú rovnicu gule so stredom ((- 2,4; −5) ) obsahujúcim bod ((4,4; -1). )

Pomôcka

Najskôr pomocou vzorca na zistenie polomeru gule.

Odpoveď

[(x + 2) ^ 2 + (y − 4) ^ 2 + (z + 5) ^ 2 = 52 nečíslo ]

Príklad ( PageIndex {5} ): Nájdenie rovnice gule

Nech (P = (- 5,2,3) ) a (Q = (3,4, −1) ), a predpokladajme, že úsečka ( overline {PQ} ) tvorí priemer gule (Obrázok ( PageIndex {13} )). Nájdite rovnicu gule.

Riešenie:

Pretože ( overline {PQ} ) je priemer gule, vieme, že stred gule je stredom ( overline {PQ} ). Potom,

[C = doľava ( dfrac {−5 + 3} {2}, dfrac {2 + 4} {2}, dfrac {3 + (- 1)} {2} doprava) = (- 1 , 3,1). nonumber ]

Ďalej vieme, že polomer gule je polovica dĺžky priemeru. Toto dáva

[ begin {align *} r & = dfrac {1} {2} sqrt {(- 5−3) ^ 2 + (2−4) ^ 2 + (3 - (- 1)) ^ 2} [4pt] & = dfrac {1} {2} sqrt {64 + 4 + 16} [4pt] & = sqrt {21} end {align *} ]

Potom rovnica gule je ((x + 1) ^ 2 + (y − 3) ^ 2 + (z − 1) ^ 2 = 21. )

Cvičenie ( PageIndex {5} )

Nájdite rovnicu gule s priemerom ( overline {PQ} ), kde (P = (2, −1, −3) ) a (Q = (- 2,5, −1). )

Pomôcka

Najskôr vyhľadajte stredný bod priemeru.

Odpoveď

[x ^ 2 + (y − 2) ^ 2 + (z + 2) ^ 2 = 14 nonumber ]

Príklad ( PageIndex {6} ): Grafické znázornenie ďalších rovníc v troch dimenziách

Popíšte množinu bodov, ktorá vyhovuje ((x − 4) (z − 2) = 0, ), a množinu grafov vyjadrte.

Riešenie

Musíme mať buď ​​(x − 4 = 0 ) alebo (z − 2 = 0 ), takže množina bodov tvorí dve roviny (x = 4 ) a (z = 2 ) (obrázok ( PageIndex {14} )).

Cvičenie ( PageIndex {6} )

Popíšte množinu bodov, ktorá vyhovuje ((y + 2) (z − 3) = 0, ), a množinu grafov vyjadrte.

Pomôcka

Jeden z faktorov musí byť nulový.

Odpoveď

Množina bodov tvorí dve roviny (y = −2 ) a (z = 3 ).

Príklad ( PageIndex {7} ): Grafické znázornenie ďalších rovníc v troch dimenziách

Popíšte množinu bodov v trojrozmernom priestore, ktorá spĺňa ((x − 2) ^ 2 + (y − 1) ^ 2 = 4, ), a graf množiny.

Riešenie

Súradnice (x ) - a (y ) tvoria kruh v (xy ) - rovine polomeru (2 ), sústredený na ((2,1) ). Pretože na súradnicu (z ) - nie je žiadne obmedzenie, trojrozmerným výsledkom je kruhový valec s polomerom (2 ) vycentrovaný na línii s (x = 2 ) a (y = 1 ). Valec sa tiahne neurčito v smere (z ) - (obrázok ( PageIndex {15} )).

Cvičenie ( PageIndex {7} )

Popíšte množinu bodov v trojrozmernom priestore, ktorá spĺňa (x ^ 2 + (z − 2) ^ 2 = 16 ), a vykreslite povrch.

Pomôcka

Popremýšľajte, čo sa stane, ak túto rovnicu vykreslíte do dvoch dimenzií v rovine (xz ).

Odpoveď

Valec s polomerom 4 vycentrovaný na priamke s (x = 0 ) a (z = 2 ).

Práca s vektormi v (ℝ ^ 3 )

Rovnako ako dvojrozmerné vektory, aj trojrozmerné vektory sú veličiny s veľkosťou aj smerom a sú reprezentované smerovanými úsečkami (šípky). Pri trojrozmernom vektore používame trojrozmernú šípku.

Trojrozmerné vektory môžu byť tiež reprezentované v zložkovej forme. Zápis ( vecs {v} = ⟨x, y, z⟩ ) je prirodzeným rozšírením dvojrozmerného prípadu, ktorý predstavuje vektor s počiatočným bodom v počiatku, ((0,0,0) ) a koncový bod ((x, y, z) ). Nulový vektor je ( vecs {0} = ⟨0,0,0⟩ ). Napríklad trojrozmerný vektor ( vecs {v} = ⟨2,4,1⟩ ) je reprezentovaný segmentom smerovanej čiary z bodu ((0,0,0) ) do bodu ( (2,4,1) ) (Obrázok ( PageIndex {16} )).

Sčítanie vektorov a skalárne násobenie sú definované analogicky k dvojrozmernému prípadu. Ak ( vecs {v} = ⟨x_1, y_1, z_1⟩ ) a ( vecs {w} = ⟨x_2, y_2, z_2⟩ ) sú vektory a (k ) je skalárny, potom

[ vecs {v} + vecs {w} = ⟨x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2⟩ ]

a

[k vecs {v} = ⟨kx_1, ky_1, kz_1⟩. ]

Ak (k = −1, ), potom (k vecs {v} = (- 1) vecs {v} ) sa napíše ako (- vecs {v} ) a je definované vektorové odčítanie autor ( vecs {v} - vecs {w} = vecs {v} + (- vecs {w}) = vecs {v} + (- 1) vecs {w} ).

Štandardné jednotkové vektory sa dajú ľahko rozšíriť aj do troch dimenzií, ( hat { mathbf i} = ⟨1,0,0⟩ ), ( hat { mathbf j} = ⟨0,1,0⟩ ) a ( hat { mathbf k} = ⟨0,0,1⟩ ) a použijeme ich rovnako, ako sme použili štandardné jednotkové vektory v dvoch dimenziách. Môžeme teda reprezentovať vektor v (ℝ ^ 3 ) nasledujúcimi spôsobmi:

[ vecs {v} = ⟨x, y, z⟩ = x hat { mathbf i} + y hat { mathbf j} + z hat { mathbf k} ].

Príklad ( PageIndex {8} ): Vektorové reprezentácie

Nech ( vecd {PQ} ) je vektor s počiatočným bodom (P = (3,12,6) ) a koncovým bodom (Q = (- 4, −3,2) ), ako je znázornené na Obrázok ( PageIndex {17} ). Express ( vecd {PQ} ) vo forme komponentov aj pomocou štandardných jednotkových vektorov.

Riešenie

Vo forme komponentu,

[ begin {align *} vecd {PQ} = ⟨x_2 − x_1, y_2 − y_1, z_2 − z_1⟩ [4pt] = ⟨− 4−3, −3−12,2−6⟩ [4pt] = ⟨−7, −15, −4⟩. end {zarovnať *} ]

V štandardnej jednotkovej forme

[ vecd {PQ} = - 7 hat { mathbf i} −15 hat { mathbf j} −4 hat { mathbf k}. nonumber ]

Cvičenie ( PageIndex {8} )

Nech (S = (3,8,2) ) a (T = (2, -1,3) ). Expresné ( vec {ST} ) v komponentnej podobe a v štandardnej jednotkovej podobe.

Pomôcka

Najskôr napíšte ( vecd {ST} ) v podobe komponentu. (T ) je koncový bod ( vecd {ST} ).

Odpoveď

( vecd {ST} = ⟨− 1, −9,1⟩ = - hat { mathbf i} −9 hat { mathbf j} + hat { mathbf k} )

Ako už bolo opísané vyššie, vektory v troch dimenziách sa správajú rovnako ako vektory v rovine. Napríklad geometrická interpretácia sčítania vektorov je rovnaká v dvoj- aj trojrozmernom priestore (obrázok ( PageIndex {18} )).

Už sme videli, ako možno niektoré z algebraických vlastností vektorov, ako je sčítanie vektorov a skalárne násobenie, rozšíriť do troch dimenzií. Ostatné vlastnosti je možné podobným spôsobom rozšíriť. Sú tu zhrnuté pre našu potrebu.

Vlastnosti vektorov vo vesmíre

Nech ( vecs {v} = ⟨x_1, y_1, z_1⟩ ) a ( vecs {w} = ⟨x_2, y_2, z_2⟩ ) sú vektory a (k ) skalár.

  • Skalárne množenie: [k vecs {v} = ⟨kx_1, ky_1, kz_1⟩ ]
  • Vektorové doplnenie: [ vecs {v} + vecs {w} = ⟨x_1, y_1, z_1⟩ + ⟨x_2, y_2, z_2⟩ = ⟨x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2⟩ ]
  • Odčítanie vektora: [ vecs {v} - vecs {w} = ⟨x_1, y_1, z_1⟩ − ⟨x_2, y_2, z_2⟩ = ⟨x_1 − x_2, y_1 − y_2, z_1 − z_2⟩ ]
  • Vektorová veľkosť: [ | vecs {v} | = sqrt {x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2 + z_1 ^ 2} ]
  • Jednotkový vektor v smere ( vecs {v} ): [ dfrac {1} { | vecs {v} |} vecs {v} = dfrac {1} { | vecs {v} |} ⟨X_1, y_1, z_1⟩ = ⟨ dfrac {x_1} { | vecs {v} |}, dfrac {y_1} { | vecs {v} |}, dfrac {z_1} { | vecs {v} |}⟩, quad text {if} , vecs {v} ≠ vecs {0} ]

Videli sme, že sčítanie vektorov v dvoch dimenziách uspokojuje komutatívne, asociatívne a aditívne inverzné vlastnosti. Tieto vlastnosti vektorových operácií sú platné aj pre trojrozmerné vektory. Skalárne množenie vektorov uspokojuje distribučnú vlastnosť a nulový vektor funguje ako aditívna identita. Dôkazy na overenie týchto vlastností v troch rozmeroch sú priamym rozšírením nátlačkov v dvoch rozmeroch.

Príklad ( PageIndex {9} ): Vektorové operácie v troch dimenziách

Nech ( vecs {v} = ⟨− 2,9,5⟩ ) a ( vecs {w} = ⟨1, −1,0⟩ ) (Obrázok ( PageIndex {19} )) . Nájdite nasledujúce vektory.

  1. (3 vecs {v} −2 vecs {w} )
  2. (5 | vecs {w} | )
  3. ( | 5 vecs {w} | )
  4. Jednotkový vektor v smere ( vecs {v} )

Riešenie

a. Najprv použite skalárne násobenie každého vektora a potom odčítajte:

[ begin {align *} 3 vecs {v} −2 vecs {w} = 3⟨ − 2,9,5⟩ − 2⟨1, −1,0⟩ [4pt] = ⟨− 6 , 27,15⟩ − ⟨2, −2,0⟩ [4pt] = ⟨− 6-2,27 - (- 2), 15−0⟩ [4pt] = ⟨− 8,29,15 ⟩. end {zarovnať *} ]

b. Napíšte rovnicu pre veľkosť vektora a potom použite skalárne násobenie:

[5 | vecs {w} | = 5 sqrt {1 ^ 2 + (- 1) ^ 2 + 0 ^ 2} = 5 sqrt {2}. nonumber ]

c. Najskôr použite skalárne násobenie a potom vyhľadajte veľkosť nového vektora. Upozorňujeme, že výsledok je rovnaký ako v časti b .:

[ | 5 vecs {w} | = ∥⟨5, −5,0⟩∥ = sqrt {5 ^ 2 + (- 5) ^ 2 + 0 ^ 2} = sqrt {50} = 5 sqrt {2} nonumber ]

d. Pripomeňme si, že aby sme našli jednotkový vektor v dvoch dimenziách, vydelíme vektor jeho veľkosťou. Postup je rovnaký v troch rozmeroch:

[ begin {align *} dfrac { vecs {v}} { | vecs {v} |} = dfrac {1} { | vecs {v} |} ⟨− 2,9 , 5⟩ [4pt] = dfrac {1} { sqrt {(- 2) ^ 2 + 9 ^ 2 + 5 ^ 2}} ⟨− 2,9,5⟩ [4pt] = dfrac {1} { sqrt {110}} ⟨− 2,9,5⟩ [4pt] = ⟨ dfrac {−2} { sqrt {110}}, dfrac {9} { sqrt {110} }, dfrac {5} { sqrt {110}}⟩. end {zarovnať *} ]

Cvičenie ( PageIndex {9} ):

Nech ( vecs {v} = ⟨− 1, −1,1⟩ ) a ( vecs {w} = ⟨2,0,1⟩ ). Nájdite jednotkový vektor v smere (5 vecs {v} +3 vecs {w}. )

Pomôcka

Začnite napísaním (5 vecs {v} +3 vecs {w} ) v podobe komponentu.

Odpoveď

(⟨ Dfrac {1} {3 sqrt {10}}, - dfrac {5} {3 sqrt {10}}, dfrac {8} {3 sqrt {10}}⟩ )

Príklad ( PageIndex {10} ): Vyhodenie priepustky

Na futbalovom ihrisku stojí rozohrávač, ktorý sa chystá nahodiť prihrávku. Jeho prijímač stojí 20 metrov dolu z poľa a 15 metrov doľava rozohrávač. Zadák vrhá loptu rýchlosťou 60 mph smerom k prijímaču pod uhlom nahor (30 °) (pozri nasledujúci obrázok). Napíšte počiatočný vektor rýchlosti lopty ( vecs {v} ) vo forme súčasti.

Riešenie

Prvá vec, ktorú chceme urobiť, je nájsť vektor v rovnakom smere ako vektor rýchlosti lopty. Potom vektor primerane zväčšíme tak, aby mal správnu veľkosť. Zvážte vektor ( vecs {w} ), ktorý sa tiahne od ramena rozohrávača k bodu priamo nad hlavou prijímača v uhle (30 ° ) (pozri nasledujúci obrázok). Tento vektor by mal rovnaký smer ako ( vecs {v} ), ale nemusí mať správnu veľkosť.

Prijímač je vzdialený 20 metrov od poľa a 15 metrov po ľavom rozohrávači. Preto je rovná vzdialenosť medzi rozohrávačom a prijímačom

Od QB k prijímaču (= sqrt {15 ^ 2 + 20 ^ 2} = sqrt {225 + 400} = sqrt {625} = 25 ) yd.

Máme ( dfrac {25} { | vecs {w} |} = cos 30 °. ) Potom veľkosť ( vecs {w} ) je daná

( | vecs {w} | = dfrac {25} { cos 30 °} = dfrac {25⋅2} { sqrt {3}} = dfrac {50} { sqrt {3} } ) yd

a vertikálna vzdialenosť od prijímača k terminálnemu bodu ( vecs {w} ) je

Vertikálna vzdialenosť od prijímača po koncový bod ( vecs {w} = | vecs {w} | sin 30 ° = dfrac {50} { sqrt {3}} ⋅ dfrac {1} {2} = dfrac {25} { sqrt {3}} ) yd.

Potom ( vecs {w} = ⟨20,15, dfrac {25} { sqrt {3}}⟩ ) a má rovnaký smer ako ( vecs {v} ).

Pripomeňme však, že sme vypočítali veľkosť ( vecs {w} ) na ( | vecs {w} | = dfrac {50} { sqrt {3}} ) a ( vecs {v} ) má veľkosť (60 ) mph. Potrebujeme teda vynásobiť vektor ( vecs {w} ) príslušnou konštantou (k ). Chceme nájsť hodnotu (k ), aby (∥k vecs {w} ∥ = 60 ) mph. Máme

( | k vecs {w} | = k | vecs {w} | = k dfrac {50} { sqrt {3}} ) mph,

tak chceme

(k dfrac {50} { sqrt {3}} = 60 )

(k = dfrac {60 sqrt {3}} {50} )

(k = dfrac {6 sqrt {3}} {5} ).

Potom

( vecs {v} = k vecs {w} = k⟨20,15, dfrac {25} { sqrt {3}}⟩ = dfrac {6 sqrt {3}} {5} ⟨20 , 15, dfrac {25} { sqrt {3}}⟩ = ⟨24 sqrt {3}, 18 sqrt {3}, 30⟩ ).

Poďme ešte raz skontrolovať, či ( | vecs {v} | = 60. ) Máme

( | vecs {v} | = sqrt {(24 sqrt {3}) ^ 2+ (18 sqrt {3}) ^ 2+ (30) ^ 2} = sqrt {1728 + 972 +900} = sqrt {3600} = 60 ) míľ / h.

Našli sme teda správne komponenty pre ( vecs {v} ).

Cvičenie ( PageIndex {10} )

Predpokladajme, že rozohrávač a prijímač sú na rovnakom mieste ako v predchádzajúcom príklade. Tentokrát však rozohrávač hodí loptu rýchlosťou (40 ) míľ / h a uhlom (45 ° ). Napíšte počiatočný vektor rýchlosti lopty ( vecs {v} ) vo forme súčasti.

Pomôcka

Postupujte podľa postupu použitého v predchádzajúcom príklade.

Odpoveď

(v = ⟨16 sqrt {2}, 12 sqrt {2}, 20 sqrt {2}⟩ )

Kľúčové koncepty

  • Trojrozmerný súradnicový systém je zostavený okolo množiny troch osí, ktoré sa pretínajú v pravých uhloch v jednom bode, počiatku. Usporiadané trojnásobky ((x, y, z) ) sa používajú na opis umiestnenia bodu v priestore.
  • Vzdialenosť (d ) medzi bodmi ((x_1, y_1, z_1) ) a ((x_2, y_2, z_2) ) je daná vzorcom [d = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2+ (y_2 − y_1) ^ 2 + (z_2 − z_1) ^ 2}. Nonumber ]
  • V troch dimenziách rovnice (x = a, y = b, ) a (z = c ) popisujú roviny, ktoré sú rovnobežné s rovinami súradníc.
  • Štandardná rovnica gule so stredom ((a, b, c) ) a polomerom (r ) je [(x − a) ^ 2 + (y − b) ^ 2 + (z − c) ^ 2 = r ^ 2. nonumber ]
  • V troch dimenziách, rovnako ako v dvoch, sú vektory bežne vyjadrené v zloženom tvare (v = ⟨x, y, z⟩ ) alebo v zmysle štandardných jednotkových vektorov (xi + yj + zk. )
  • Vlastnosti vektorov v priestore sú prirodzeným rozšírením vlastností vektorov v rovine. Nech (v = ⟨x_1, y_1, z_1⟩ ) a (w = ⟨x_2, y_2, z_2⟩ ) sú vektory a (k ) je skalár.

Skalárne množenie:

[(k vecs {v} = ⟨kx_1, ky_1, kz_1⟩ nonumber ]

Vektorové pridanie:

[ vecs {v} + vecs {w} = ⟨x_1, y_1, z_1⟩ + ⟨x_2, y_2, z_2⟩ = ⟨x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2⟩ nonumber ]

Odčítanie vektora:

[ vecs {v} - vecs {w} = ⟨x_1, y_1, z_1⟩ − ⟨x_2, y_2, z_2⟩ = ⟨x_1 − x_2, y_1 − y_2, z_1 − z_2⟩ nonumber ]

Vektorová veľkosť:

[‖ Vecs {v} ‖ = sqrt {x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2 + z_1 ^ 2} nonumber ]

Jednotkový vektor v smere ( vecs {v} ):

[ dfrac { vecs {v}} {‖ vecs {v} ‖} = dfrac {1} {‖ vecs {v} ‖} ⟨x_1, y_1, z_1⟩ = ⟨ dfrac {x_1} { ‖ Vecs {v} ‖}, dfrac {y_1} {‖ vecs {v} ‖}, dfrac {z_1} {‖ vecs {v} ‖}⟩, vecs {v} ≠ vecs {0 } nečíslo ]

Kľúčové rovnice

Vzdialenosť medzi dvoma bodmi v priestore:

[d = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2 + (z_2 − z_1) ^ 2} ]

Guľa so stredom ((a, b, c) ) a polomerom (r ):

[(x − a) ^ 2 + (y − b) ^ 2 + (z − c) ^ 2 = r ^ 2 ]

Glosár

súradnicová rovina
rovina obsahujúca dve z troch súradnicových osí v trojrozmernom súradnicovom systéme, pomenovaná podľa osí, ktoré obsahuje: (xy ) - rovina, (xz ) - rovina alebo (yz ) - rovina
pravidlo pravej ruky
spoločný spôsob definovania orientácie trojrozmerného súradnicového systému; keď je pravá ruka zakrivená okolo osi (z ) - tak, že sa prsty krútia od kladnej osi (x ) k pozitívnej osi (y ), palec ukazuje v smere kladnej osi (z )
oktantov
osem oblastí vesmíru vytvorených súradnicovými rovinami
sféra
množina všetkých bodov v rovnakej vzdialenosti od daného bodu známa ako centrum
štandardná rovnica gule
((x − a) ^ 2 + (y − b) ^ 2 + (z − c) ^ 2 = r ^ 2 ) popisuje guľu so stredom ((a, b, c) ) a polomerom (r )
trojrozmerný obdĺžnikový súradnicový systém
súradnicový systém definovaný tromi priamkami, ktoré sa pretínajú v pravom uhle; každý bod v priestore je opísaný usporiadanou trojkou ((x, y, z) ), ktorá vykresľuje svoju polohu vzhľadom na určujúce osi


Pozri si video: Условие перпендикулярности двух векторов. Высшая математика. (Október 2021).