Články

11.5: Kónické rezy


Učebné ciele

  • Identifikujte rovnicu paraboly v štandardnom tvare s daným zameraním a smernicou.
  • Identifikujte rovnicu elipsy v štandardnom tvare s danými ohniskami.
  • Identifikujte rovnicu hyperboly v štandardnom tvare s danými ohniskami.
  • Rozpoznajte parabolu, elipsu alebo hyperbolu od hodnoty excentricity.
  • Napíšte polárnu rovnicu kužeľovitého rezu s výstrednosťou (e ).
  • Zistite, kedy je všeobecná rovnica druhého stupňa parabola, elipsa alebo hyperbola.

Kužeľovité rezy boli študované už od čias starých Grékov a boli považované za dôležitý matematický koncept. Už v roku 320 pred n. L. Boli týmito krivkami fascinovaní grécki matematici ako Menaechmus, Appollonius a Archimedes. Appollonius napísal celé osemzväzkové pojednanie o kónických rezoch, v ktorom bol napríklad schopný odvodiť konkrétnu metódu identifikácie kužeľovitého rezu pomocou geometrie. Odvtedy vznikli dôležité aplikácie kužeľovitých úsekov (napríklad v astronómii) a vlastnosti kužeľovitých úsekov sa používajú v rádiových ďalekohľadoch, satelitných prijímačoch a dokonca aj v architektúre. V tejto časti rozoberáme tri základné kónické úseky, niektoré z ich vlastností a ich rovnice.

Kužeľovité úseky dostávajú svoje meno, pretože sa dajú generovať pretínaním roviny kužeľom. Kužeľ má dve identicky tvarované časti, ktoré sa nazývajú nappes. Jeden príkrov je to, čo väčšina ľudí myslí pod pojmom „kužeľ“, ktorý má tvar párty klobúka. Pravý kruhový kužeľ možno vytvoriť otáčaním priamky prechádzajúcej počiatkom okolo r-osa, ako je to znázornené na obrázku ( PageIndex {1} ).

Kužeľovité úseky sú generované priesečníkom roviny s kužeľom (obrázok ( PageIndex {2} )). Ak je rovina rovnobežná s osou otáčania ( r-axis), potom kužeľovitý rez je hyperbola. Ak je rovina rovnobežná s generujúcou priamkou, je kužeľovitý rez parabolou. Ak je rovina kolmá na os otáčania, je kužeľovitým rezom kruh. Ak rovina pretína jeden príkrov pod uhlom k osi (inej ako 90°), potom je kužeľovitý rez elipsa.

Paraboly

Parabola sa generuje, keď rovina pretína kužeľ rovnobežne s generujúcou priamkou. V tomto prípade rovina pretína iba jeden z príkrovov. Parabolu možno definovať aj z hľadiska vzdialeností.

Definície: Focus, Directrix a Vertex

Parabola je množina všetkých bodov, ktorých vzdialenosť od pevného bodu sa nazýva zameranie, sa rovná vzdialenosti od pevnej linky nazývanej directrix. Bod na polceste medzi zaostrením a directrixom sa nazýva vrchol paraboly.

Graf typickej paraboly sa zobrazuje na obrázku ( PageIndex {3} ). Pomocou tohto diagramu v spojení so vzorcom vzdialenosti môžeme odvodiť rovnicu pre parabolu. Pripomeňme vzorec vzdialenosti: Daný bod P so súradnicami ((x_1, y_1) ) a bodom Q so súradnicami ((x_2, y_2), ) je vzdialenosť medzi nimi daná vzorcom

[d (P, Q) = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2}. ]

Potom z definície paraboly a obrázku ( PageIndex {3} ) dostaneme

[d (F, P) = d (P, Q) ]

[ sqrt {(0 − x) ^ 2 + (p − y) ^ 2} = sqrt {(x − x) ^ 2 + (- p − y) ^ 2}. ]

Zarovnanie oboch strán a zjednodušenie výnosov

[ begin {align} x ^ 2 + (p − y) ^ 2 = 0 ^ 2 + (- p − y) ^ 2 x ^ 2 + p ^ 2−2py + y ^ 2 = p ^ 2 + 2py + y ^ 2 x ^ 2−2py = 2py x ^ 2 = 4py. end {align} ]

Teraz predpokladajme, že chceme premiestniť vrchol. Premennými ((h, k) ) označujeme súradnice vrcholu. Potom, ak je ohnisko priamo nad vrcholom, má súradnice ((h, k + p) ) a directrix má rovnicu (y = k − p ). Pri prechode rovnakou deriváciou sa získa vzorec ((x − h) ^ 2 = 4p (y − k) ). Riešenie tejto rovnice pre (y ) vedie k nasledujúcej vete.

Rovnice pre paraboly: štandardný tvar

Vzhľadom na to, že parabola sa otvára smerom hore s vrcholom umiestneným na ((h, k) ) a ohniskom umiestneným na ((h, k + p) ), kde (p ) je konštanta, rovnica pre parabolu je daná

[y = dfrac {1} {4p} (x − h) ^ 2 + k. ]

To je štandardná forma paraboly.

Môžeme tiež študovať prípady, keď sa parabola otvára dole alebo doľava alebo doprava. Rovnicu pre každý z týchto prípadov je možné napísať aj štandardným spôsobom, ako je znázornené v nasledujúcich grafoch.

Rovnicu paraboly možno navyše zapísať do jazyka všeobecná forma, aj keď v tejto podobe nie sú hodnoty (h ), (k ) a (p ) okamžite rozpoznateľné. Všeobecná forma paraboly sa píše ako

[ax ^ 2 + bx + cy + d = 0 label {para1} ]

alebo

[ay ^ 2 + bx + cy + d = 0. label {para2} ]

Rovnica ref {para1} predstavuje parabolu, ktorá sa otvára hore alebo dole. Rovnica ref {para2} predstavuje parabolu, ktorá sa otvára vľavo alebo vpravo. Ak chcete dať rovnicu do štandardného tvaru, použite spôsob dokončovania štvorca.

Príklad ( PageIndex {1} ): Konverzia rovnice paraboly zo všeobecného do štandardného tvaru

Dajte rovnicu

[x ^ 2−4x − 8y + 12 = 0 ]

do štandardnej formy a výslednú parabolu zakreslite do grafu.

Riešenie

Pretože y nie je v tejto rovnici štvorčekované, vieme, že parabola sa otvára nahor alebo nadol. Preto musíme vyriešiť túto rovnicu pre y, čím uvedieme rovnicu do štandardného tvaru. Ak to chcete urobiť, najskôr pridajte (8y ) na obe strany rovnice:

[8y = x ^ 2−4x + 12. ]

Ďalším krokom je vyplnenie štvorca na pravej strane. Začnite zoskupením prvých dvoch výrazov na pravej strane pomocou zátvoriek:

[8y = (x ^ 2-4x) +12. ]

Ďalej určite konštantu, ktorá po pridaní do zátvorky urobí z množstva v zátvorke dokonalú štvorcovú trojčlenku. Za týmto účelom vezmeme polovičný koeficient x a zarovnáme ho. Toto dáva (( dfrac {−4} {2}) ^ 2 = 4. ) V zátvorkách pripočítajte 4 a mimo zátvorky odčítajte 4, takže hodnota rovnice sa nezmení:

[8y = (x ^ 2−4x + 4) + 12−4. ]

Teraz skombinujte podobné výrazy a zohľadnite množstvo v zátvorkách:

[8y = (x − 2) ^ 2 + 8. ]

Nakoniec vydelíme 8:

[y = dfrac {1} {8} (x − 2) ^ 2 + 1. ]

Táto rovnica je teraz v štandardnom tvare. Porovnanie s rovnicou dáva (h = 2, k = 1 ) a (p = 2 ). Parabola sa otvára s vrcholom na ((2,1) ), so zameraním na ((2,3) ) a directrix (y = −1 ). Graf tejto paraboly sa javí nasledovne.

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Vložte rovnicu (2y ^ 2 − x + 12y + 16 = 0 ) do štandardného tvaru a výslednú parabolu zakreslite do grafu.

Pomôcka

Riešiť pre (x ). Skontrolujte, ktorým smerom sa parabola otvára.

Odpoveď

[x = 2 (y + 3) ^ 2−2 ]

Os súmernosti vertikálnej (otvárajúcej sa hore alebo dole) paraboly je zvislá čiara prechádzajúca vrcholom. Parabola má zaujímavú reflexnú vlastnosť. Predpokladajme, že máme satelitnú parabolu s parabolickým prierezom. Ak lúč elektromagnetických vĺn, ako sú svetelné alebo rádiové vlny, prichádza do paraboly v priamej línii zo satelitu (rovnobežne s osou symetrie), potom sa vlny od paraboly odrážajú a zhromažďujú sa v ohnisku paraboly ako zobrazené.

Zvážte parabolickú parabolu určenú na zber signálov zo satelitu vo vesmíre. Miska je zameraná priamo na satelit a prijímač je umiestnený v ohnisku paraboly. Rádiové vlny prichádzajúce zo satelitu sa odrážajú od povrchu paraboly k prijímaču, ktorý zhromažďuje a dekóduje digitálne signály. To umožňuje malému prijímaču zhromažďovať signály zo širokého uhla oblohy. Baterky a svetlomety v automobile fungujú na rovnakom princípe, ale naopak: zdroj svetla (teda žiarovka) je umiestnený v ohnisku a odrazná plocha na parabolickom zrkadle zameriava lúč priamo vpred. To umožňuje malej žiarovke osvetliť široký uhol priestoru pred baterkou alebo autom.

Elipsy

Elipsu možno definovať aj z hľadiska vzdialeností. V prípade elipsy sú to dve ohniská (množné číslo ohniska) a dve priame priamky (množné číslo priamky). Pozrime sa na adresáre podrobnejšie ďalej v tejto časti.

Definícia: Elipsa

Elipsa je množina všetkých bodov, pre ktoré je súčet ich vzdialeností od dvoch pevných bodov (ohniská) konštantný.

Graf typickej elipsy je zobrazený na obrázku ( PageIndex {6} ). Na tomto obrázku sú ohniská označené ako (F ) a (F ′ ). Oba majú rovnakú pevnú vzdialenosť od počiatku a túto vzdialenosť predstavuje premenná (c ). Preto súradnice (F ) sú ((c, 0) ) a súradnice (F ′ ) sú ((- c, 0). ) Body (P ) a (P ′ ) sú umiestnené na koncoch znaku hlavná os elipsy a majú súradnice ((a, 0) ) a ((- a, 0) ). Hlavná os je vždy najdlhšia vzdialenosť cez elipsu a môže byť vodorovná alebo zvislá. Teda dĺžka hlavnej osi v tejto elipse je (2a ). Ďalej sa (P ) a (P ′ ) nazývajú vrcholy elipsy. Body (Q ) a (Q ′ ) sú umiestnené na koncoch vedľajšia os elipsy a majú súradnice ((0, b) ) a ((0, −b), ). Vedľajšia os je najkratšia vzdialenosť cez elipsu. Vedľajšia os je kolmá na hlavnú os.

Podľa definície elipsy si môžeme zvoliť ľubovoľný bod na elipe a súčet vzdialeností od tohto bodu k dvom ohniskám je konštantný. Predpokladajme, že zvolíme bod (P ). Pretože súradnice bodu (P ) sú ((a, 0), ), súčet vzdialeností je

[d (P, F) + d (P, F ') = (a-c) + (a + c) = 2a. ]

Preto je súčet vzdialeností od ľubovoľného bodu A so súradnicami ((x, y) ) rovný (2a ). Pomocou vzorca vzdialenosti dostaneme

[d (A, F) + d (A, F ') = 2a. ]

[ sqrt {(x − c) ^ 2 + y ^ 2} + sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} = 2a ]

Odčítajte druhý radikál z oboch strán a štvorcové z oboch strán:

[ sqrt {(x − c) ^ 2 + y ^ 2} = 2a− sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} ]

[(x − c) ^ 2 + y ^ 2 = 4a ^ 2−4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + (x + c) ^ 2 + y ^ 2 ]

[x ^ 2−2cx + c ^ 2 + y ^ 2 = 4a ^ 2−4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 ]

[- 2cx = 4a ^ 2−4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + 2cx. ]

Teraz izolujte radikál na pravej strane a opäť štvorcový:

[- 2cx = 4a ^ 2−4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + 2cx ]

[4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} = 4a ^ 2 + 4cx ]

[ sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} = a + dfrac {cx} {a} ]

[(x + c) ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + 2cx + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} ]

[x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + 2cx + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} ]

[x ^ 2 + c ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2}. ]

Izolovajte premenné na ľavej strane rovnice a konštanty na pravej strane:

[x ^ 2− dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} + y ^ 2 = a ^ 2 − c ^ 2 ]

[ dfrac {(a ^ 2 − c ^ 2) x ^ 2} {a ^ 2} + y ^ 2 = a ^ 2 − c ^ 2. ]

Vydeľte obe strany znakom (a ^ 2 − c ^ 2 ). To dáva rovnicu

[ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {a ^ 2 − c ^ 2} = 1. ]

Ak sa vrátime k obrázku ( PageIndex {6} ), potom sa dĺžka každého z dvoch zelených úsečiek rovná (a ). Je to pravda, pretože súčet vzdialeností od bodu (Q ) k ohniskám (F ) a (F ′ ) sa rovná (2a ) a dĺžky týchto dvoch úsečiek sú rovný. Tento úsečka vytvára pravý trojuholník s dĺžkou prepony (a ) a dĺžkou nohavíc (b ) a (c ). Z Pytagorovej vety (b ^ 2 + c ^ 2 = a ^ 2 ) a (b ^ 2 = a ^ 2-c ^ 2 ). Preto sa stáva rovnica elipsy

[ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1. ]

Nakoniec, ak sa stred elipsy presunie z počiatku do bodu ((h, k) ), máme nasledujúcu štandardnú formu elipsy.

Rovnica elipsy v štandardnom tvare

Zvážte elipsu so stredom ((h, k) ), vodorovnú hlavnú os s dĺžkou (2a ) a zvislú malú os s dĺžkou (2b ). Potom rovnica tejto elipsy v štandardnom tvare je

[ dfrac {(x − h) ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {(y − k) ^ 2} {b ^ 2} = 1 label {HorEllipse} ]

a ohniská sú umiestnené na ((h ± c, k) ), kde (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). Rovnice priamok sú (x = h ± dfrac {a ^ 2} {c} ).

Ak je hlavná os zvislá, stane sa rovnica elipsy

[ dfrac {(x − h) ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {(y − k) ^ 2} {a ^ 2} = 1 label {VertEllipse} ]

a ohniská sú umiestnené na ((h, k ± c) ), kde (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). Rovnice priamok sú v tomto prípade (y = k ± dfrac {a ^ 2} {c} ).

Ak je hlavná os vodorovná, potom sa elipsa nazýva vodorovná a ak je hlavná os zvislá, potom sa elipsa nazýva zvislá. Rovnica elipsy je vo všeobecnej forme, ak je vo forme

[Ax ^ 2 + od ^ 2 + Cx + Dy + E = 0, ]

kde A a B sú buď pozitívne, alebo obidva negatívne. Ak chcete previesť rovnicu zo všeobecného do štandardného tvaru, použite metódu dokončenie námestia.

Príklad ( PageIndex {2} ): Nájdenie štandardného tvaru elipsy

Dajte rovnicu

[9x ^ 2 + 4y ^ 2−36x + 24y + 36 = 0 ]

do štandardného tvaru a výslednú elipsu zakreslite do grafu.

Riešenie

Najskôr odčítajte 36 z oboch strán rovnice:

[9x ^ 2 + 4y ^ 2−36x + 24y = −36. ]

Ďalej zoskupte pojmy (x ) dohromady a (y ) pojmy dohromady a vyraďte spoločný faktor:

[(9x ^ 2–36x) + (4r ^ 2 + 24r) = - 36 ]

[9 (x ^ 2−4x) +4 (y ^ 2 + 6y) = - 36 ]

Musíme určiť konštantu, ktorá po pridaní do každej sady zátvoriek vedie k dokonalému štvorcu. V prvej sade zátvoriek vezmite polovičný koeficient X a zarovnajte to. To dáva (( dfrac {−4} {2}) ^ 2 = 4. ) V druhej sade zátvoriek vezmite polovičný koeficient r a zarovnajte to. To dáva (( dfrac {6} {2}) ^ 2 = 9. ) Pridajte ich do každej dvojice zátvoriek. Pretože prvá sada zátvoriek má pred sebou 9, pridávame vlastne 36 na ľavú stranu. Podobne pridávame 36 aj k druhej sade. Preto sa stáva rovnica

[9 (x ^ 2−4x + 4) +4 (y ^ 2 + 6y + 9) = - 36 + 36 + 36 ]

[9 (x ^ 2−4x + 4) +4 (y ^ 2 + 6y + 9) = 36. ]

Teraz spočítajte obe sady zátvoriek a vydeľte ich číslom 36:

[9 (x − 2) ^ 2 + 4 (y + 3) ^ 2 = 36 ]

[ dfrac {9 (x − 2) ^ 2} {36} + dfrac {4 (y + 3) ^ 2} {36} = 1 ]

[ dfrac {(x − 2) ^ 2} {4} + dfrac {(y + 3) ^ 2} {9} = 1. ]

Rovnica je teraz v štandardnom tvare. Porovnaním s rovnicou ref {VertEllipse} dáva (h = 2, k = -3, a = 3, ) a (b = 2 ). Toto je zvislá elipsa so stredom v ((2, -3) ), hlavná os 6 a vedľajšia os 4. Graf tejto elipsy sa javí nasledovne.

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Dajte rovnicu

[9x ^ 2 + 16y ^ 2 + 18x − 64y − 71 = 0 ]

do štandardného tvaru a výslednú elipsu zakreslite do grafu.

Pomôcka

Presuňte konštantu ďalej a doplňte štvorec.

Odpoveď

[ dfrac {(x + 1) ^ 2} {16} + dfrac {(y − 2) ^ 2} {9} = 1 ]

Podľa prvého Keplerovho zákona o planetárnom pohybe je obežná dráha planéty okolo Slnka elipsa so Slnkom v jednom z ohniskov, ako je to znázornené na obrázku ( PageIndex {8A} ). Pretože obežná dráha Zeme je elipsa, vzdialenosť od Slnka sa mení po celý rok. Bežne sa opakuje mylná predstava, že Zem je v lete bližšie k Slnku. V skutočnosti je Zem v lete na severnej pologuli vzdialenejšia od Slnka ako v zime. Rozdiel v sezóne je spôsobený naklonením osi Zeme v orbitálnej rovine. Kométy, ktoré obiehajú okolo Slnka, ako napríklad Halleyova kométa, majú tiež eliptické dráhy, rovnako ako mesiace obiehajúce okolo planét a satelity obiehajúce okolo Zeme.

Elipsy majú tiež zaujímavé reflexné vlastnosti: Svetelný lúč vychádzajúci z jedného ohniska prechádza druhým zrkadlom po zrkadlovom odraze v elipse. To isté sa deje aj so zvukovou vlnou. Hall of National Statuary Hall na Kapitole USA vo Washingtone, DC, je slávna miestnosť v eliptickom tvare, ako je to znázornené na obrázku ( PageIndex {8B} ). Táto sála slúžila ako miesto stretnutia Snemovne reprezentantov USA takmer päťdesiat rokov. Umiestnenie dvoch ohniskov tejto semi-eliptickej miestnosti je zreteľne identifikovaných značkami na podlahe, a aj keď je miestnosť plná návštevníkov, keď dvaja ľudia stoja na týchto miestach a hovoria si navzájom, môžu sa navzájom veľa počuť jasnejšie, ako počujú niekoho stáť nablízku. Legenda hovorí, že John Quincy Adams mal svoj stôl umiestnený na jednom z ohniskov a dokázal odpočúvať všetkých ostatných v Snemovni bez toho, aby musel stáť. Aj keď z toho vyplýva dobrý príbeh, je nepravdepodobné, že to bude pravda, pretože pôvodný strop produkoval toľko ozvien, že celú miestnosť bolo treba zavesiť kobercami, aby sa tlmil hluk. Strop bol prestavaný v roku 1902 a až potom sa dostavil dnes už slávny šepkajúci efekt. Ďalšia slávna šepkajúca galéria - miesto mnohých návrhov na sobáš - sa nachádza na stanici Grand Central v New Yorku.

Hyperboly

Hyperbola sa dá definovať aj z hľadiska vzdialeností. V prípade hyperboly existujú dve ohniská a dve adresáre. Hyperboly majú tiež dve asymptoty.

Definícia: hyperbola

Hyperbola je množina všetkých bodov, kde je rozdiel medzi ich vzdialenosťami od dvoch pevných bodov (ohniská) konštantný.

Nasleduje graf typickej hyperboly.

Odvodenie rovnice hyperboly v štandardnom tvare je prakticky identické s deriváciou elipsy. Jeden mierny problém spočíva v definícii: Rozdiel medzi dvoma číslami je vždy pozitívny. Nech (P ) je bod na hyperbole so súradnicami ((x, y) ). Potom definícia hyperboly dáva (| d (P, F_1) −d (P, F_2) | = konštanta ). Pre zjednodušenie derivácie predpokladajme, že (P ) je na pravej vetve hyperboly, takže pruhy absolútnej hodnoty klesnú. Ak je na ľavej vetve, potom sa odčítanie obráti.Vrchol pravej vetvy má súradnice ((a, 0), ) takže

[d (P, F_1) −d (P, F_2) = (c + a) - (c − a) = 2a. ]

Táto rovnica teda platí pre akýkoľvek bod v hyperbole. Návrat k súradniciam ((x, y) ) pre (P ):

[d (P, F_1) −d (P, F_2) = 2a ]

[ sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} - sqrt {(x − c) ^ 2 + y ^ 2} = 2a. ]

Izolujte druhý radikál a štvorcové obe strany:

[ sqrt {(x − c) ^ 2 + y ^ 2} = - 2a + sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} ]

[(x − c) ^ 2 + y ^ 2 = 4a ^ 2-4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + (x + c) ^ 2 + y ^ 2 ]

[x ^ 2−2cx + c ^ 2 + y ^ 2 = 4a ^ 2-4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 ]

[- 2cx = 4a ^ 2-4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + 2cx. ]

Teraz izolujte radikál na pravej strane a opäť štvorcový:

(- 2cx = 4a ^ 2-4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + 2cx )

(- 4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} = - 4a ^ 2−4cx )

(- sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} = - a− dfrac {cx} {a} )

((x + c) ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + 2cx + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} )

(x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + 2cx + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} )

(x ^ 2 + c ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} ).

Izolovajte premenné na ľavej strane rovnice a konštanty na pravej strane:

[x ^ 2− dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} + y ^ 2 = a ^ 2 − c ^ 2 ]

[ dfrac {(a ^ 2 − c ^ 2) x ^ 2} {a ^ 2} + y ^ 2 = a ^ 2 − c ^ 2. ]

Nakoniec vydelte obe strany znakom (a ^ 2 − c ^ 2 ). To dáva rovnicu

[ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {a ^ 2 − c ^ 2} = 1. ]

Teraz definujeme b takže (b ^ 2 = c ^ 2 − a ^ 2 ). To je možné, pretože (c> a ). Preto sa stáva rovnica hyperboly

[ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1. ]

Nakoniec, ak sa stred hyperboly presunie z počiatku do bodu ((h, k), ), máme nasledujúcu štandardnú formu hyperboly.

Rovnica hyperboly v štandardnej forme

Uvažujme o hyperbole so stredom ((h, k) ), vodorovnou hlavnou osou a zvislou malou osou. Potom je rovnica tejto hyperboly

[ dfrac {(x − h) ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {(y − k) ^ 2} {b ^ 2} = 1 label {HorHyperbola} ]

a ohniská sú umiestnené na ((h ± c, k), ) kde (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ). Rovnice asymptot sú dané rovnicou (y = k ± dfrac {b} {a} (x − h). ) Rovnice priamok sú

[x = h ± dfrac {a ^ 2} { sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} = h ± dfrac {a ^ 2} {c} ]

Ak je hlavná os vertikálna, stane sa rovnica hyperboly

[ dfrac {(y − k) ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {(x − h) ^ 2} {b ^ 2} = 1 ]

a ohniská sú umiestnené na ((h, k ± c), ) kde (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ). Rovnice asymptot sú dané znakom (y = k ± dfrac {a} {b} (x − h) ). Rovnice priamok sú

[y = k ± dfrac {a ^ 2} { sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} = k ± dfrac {a ^ 2} {c}. ]

Ak je hlavná os (priečna os) vodorovná, potom sa hyperbola nazýva vodorovná a ak je hlavná os zvislá, potom sa hyperbola nazýva zvislá. Rovnica hyperboly je vo všeobecnej forme, ak je vo forme

[Ax ^ 2 + od ^ 2 + Cx + Dy + E = 0, ]

kde A a B majú opačné znamienka. Ak chcete previesť rovnicu zo všeobecného do štandardného tvaru, použite spôsob dokončovania štvorca.

Príklad ( PageIndex {3} ): Nájdenie štandardného tvaru hyperboly

Dajte rovnicu (9x ^ 2−16y ^ 2 + 36x + 32y − 124 = 0 ) do štandardného tvaru a výslednú hyperbolu nakreslite do grafu. Aké sú rovnice asymptot?

Riešenie

Najskôr pridajte 124 na obe strany rovnice:

(9x ^ 2-16y ^ 2 + 36x + 32y = 124. )

Ďalšia skupina X podmienky spolu a r dohromady, potom vylúčte spoločné faktory:

((9x ^ 2 + 36x) - (16y ^ 2−32y) = 124 )

(9 (x ^ 2 + 4x) −16 (y ^ 2 -2y) = 124 ).

Musíme určiť konštantu, ktorá po pridaní do každej sady zátvoriek vedie k dokonalému štvorcu. V prvej množine zátvoriek zoberieme polovičný koeficient x a zarovnáme ho. Toto dáva (( dfrac {4} {2}) ^ 2 = 4 ). V druhej sade zátvoriek zoberieme polovičný koeficient y a zarovnáme ho. Toto dáva (( dfrac {−2} {2}) ^ 2 = 1. ) Pridajte ich do každej dvojice zátvoriek. Podobne odčítame 16 od druhej sady zátvoriek. Preto sa stáva rovnica

(9 (x ^ 2 + 4x + 4) −16 (y ^ 2−2y + 1) = 124 + 36−16 )

(9 (x ^ 2 + 4x + 4) −16 (y ^ 2 -2y + 1) = 144. )

Ďalej zohľadnite obe sady zátvoriek a vydelte ich 144:

(9 (x + 2) ^ 2–16 (y − 1) ^ 2 = 144 )

( dfrac {9 (x + 2) ^ 2} {144} - dfrac {16 (y − 1) ^ 2} {144} = 1 )

( dfrac {(x + 2) ^ 2} {16} - dfrac {(y − 1) ^ 2} {9} = 1. )

Rovnica je teraz v štandardnom tvare. Porovnaním s rovnicou ref {HorHyperbola} dáva (h = -2, k = 1, a = 4, ) a (b = 3 ). Toto je horizontálna hyperbola so stredom na ((- 2,1) ) a asymptotami danými rovnicami (y = 1 ± dfrac {3} {4} (x + 2) ). Graf tejto hyperboly sa zobrazuje na obrázku ( PageIndex {10} ).

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Dajte rovnicu (4y ^ 2−9x ^ 2 + 16y + 18x − 29 = 0 ) do štandardného tvaru a výslednú hyperbolu nakreslite do grafu. Aké sú rovnice asymptot?

Pomôcka

Presuňte konštantu ďalej a doplňte štvorec. Skontrolujte, ktorým smerom sa hyperbola otvára

Odpoveď

( dfrac {(y + 2) ^ 2} {9} - dfrac {(x − 1) ^ 2} {4} = 1. ) Toto je vertikálna hyperbola. Asymptoty (y = −2 ± dfrac {3} {2} (x − 1). )

Hyperboly majú tiež zaujímavé reflexné vlastnosti. Lúč nasmerovaný na jedno ohnisko hyperboly sa odráža hyperbolickým zrkadlom smerom k druhému ohnisku. Tento koncept je znázornený na obrázku ( PageIndex {11} ).

Táto vlastnosť hyperboly má dôležité aplikácie. Používa sa pri hľadaní rádiového smeru (keďže rozdiel v signáloch z dvoch veží je pozdĺž hyperbolas konštantný) a pri konštrukcii zrkadiel vo vnútri ďalekohľadov (na odrážanie svetla prichádzajúceho z parabolického zrkadla do okuláru). Ďalším zaujímavým faktom o hyperbolách je, že pre kométu vstupujúcu do slnečnej sústavy je rýchlosť, ktorá je dostatočná na to, aby unikla gravitačnému ťahu Slnka, potom cesta, ktorú kométa prechádza, keď prechádza slnečnou sústavou, je hyperbolická.

Výstrednosť a Directrix

Alternatívny spôsob popisu kužeľovitého rezu zahŕňa priamky, ohniská a novú vlastnosť zvanú výstrednosť. Uvidíme, že hodnota excentricity kužeľovitého rezu môže jedinečne definovať tento kužeľovitý tvar.

Definícia: Excentricita a smernice

The výstrednosť (e ) kužeľovitého rezu je definovaná vzdialenosť od ktoréhokoľvek bodu kužeľovitého rezu k jeho ohnisku, vydelená kolmou vzdialenosťou od tohto bodu k najbližšej priamke. Táto hodnota je konštantná pre ktorýkoľvek kužeľovitý rez a môže tiež definovať kužeľovitý rez:

  1. Ak (e = 1 ), kónický je parabola.
  2. Ak (e <1 ), jedná sa o elipsu.
  3. Ak (e> 1, ) je to hyperbola.

Excentricita kruhu je nulová. The directrix kužeľovitého rezu je priamka, ktorá spolu s bodom známym ako ohnisko slúži na definovanie kužeľovitého rezu. Hyperboly a nekruhové elipsy majú dve ohniská a dve súvisiace priamky. Paraboly majú jedno ohnisko a jednu direktívu.

Tri kužeľovité časti s ich priamymi adresami sa nachádzajú na obrázku ( PageIndex {12} ).

Pripomeňme si z definície paraboly, že vzdialenosť od ktoréhokoľvek bodu paraboly k ohnisku sa rovná vzdialenosti od toho istého bodu k priamke. Podľa definície preto musí byť excentricita paraboly 1. Rovnice priamok vodorovnej elipsy sú (x = ± dfrac {a ^ 2} {c} ). Pravý vrchol elipsy je umiestnený na ((a, 0) ) a pravé ohnisko je ((c, 0) ). Preto je vzdialenosť od vrcholu k ohnisku (a − c ) a vzdialenosť od vrcholu k pravej direktíve je ( dfrac {a ^ 2} {c} −c. ). To dáva výstrednosť ako

[e = dfrac {a − c} { dfrac {a ^ 2} {c} −a} = dfrac {c (a − c)} {a ^ 2 − ac} = dfrac {c (a −c)} {a (a − c)} = dfrac {c} {a}. ]

Pretože (c a ), takže výstrednosť hyperboly je väčšia ako 1.

Príklad ( PageIndex {4} ): Určenie výstrednosti kužeľovitého rezu

Určte výstrednosť elipsy opísanej rovnicou

( dfrac {(x − 3) ^ 2} {16} + dfrac {(y + 2) ^ 2} {25} = 1. )

Riešenie

Z rovnice vidíme, že (a = 5 ) a (b = 4 ). Hodnota c možno vypočítať pomocou rovnice (a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 ) pre elipsu. Nahradenie hodnôt a a b a riešenie pre c dáva (c = 3 ). Preto je výstrednosť elipsy (e = dfrac {c} {a} = dfrac {3} {5} = 0,6. )

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Určte výstrednosť hyperboly opísanú rovnicou

( dfrac {(y − 3) ^ 2} {49} - dfrac {(x + 2) ^ 2} {25} = 1. )

Pomôcka

Najskôr vyhľadajte hodnoty a a b, potom určte c pomocou rovnice (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ).

Odpoveď

(e = dfrac {c} {a} = dfrac { sqrt {74}} {7} ≈1 229 )

Polárne rovnice kónických rezov

Niekedy je užitočné napísať alebo identifikovať rovnicu kužeľovitého rezu v polárnom tvare. Potrebujeme na to koncept ohniskového parametra. The ohniskový parameter kužeľovitého rezu p je definovaná ako vzdialenosť od zaostrenia k najbližšej priamke. V nasledujúcej tabuľke sú uvedené ohniskové parametre pre rôzne typy kuželosečiek a je dĺžka pol hlavnej osi (t. j. polovica dĺžky hlavnej osi), c je vzdialenosť od začiatku k ohnisku a e je výstrednosť. V prípade paraboly predstavuje a vzdialenosť od vrcholu k ohnisku.

Tabuľka ( PageIndex {1} ): Výstrednosti a ohniskové parametre kužeľovitých rezov
Kužeľovitý (e ) (p )
Elipsa (0 ( dfrac {a ^ 2 − c ^ 2} {c} = dfrac {a (1 − e ^ 2)} {c} )
Parabola (e = 1 ) (2a )
Hyperbola (e> 1 ) ( dfrac {c ^ 2 − a ^ 2} {c} = dfrac {a (e ^ 2−1)} {c} )

Pomocou definícií ohniskového parametra a excentricity kužeľovitého rezu môžeme odvodiť rovnicu pre ktorýkoľvek kužeľovitý rez v polárnych súradniciach. Konkrétne predpokladáme, že jedno z ohniskov daného kužeľovitého úseku leží na póle. Potom pomocou definície rôznych kónických úsekov z hľadiska vzdialeností je možné dokázať nasledujúcu vetu.

Polárna rovnica kónických rezov

Polárna rovnica kužeľovitého rezu s ohniskovým parametrom p je daný

(r = dfrac {ep} {1 ± e cos θ} ) alebo (r = dfrac {ep} {1 ± e sin θ}. )

V rovnici vľavo je hlavná os kužeľovitého rezu vodorovná a v rovnici vpravo je hlavná os zvislá. Ak chcete pracovať s kužeľovitou časťou napísanou v polárnom tvare, najskôr urobte konštantný člen v menovateli rovný 1. To sa dá urobiť tak, že čitateľ aj menovateľ zlomku vydelíte konštantou, ktorá sa nachádza pred plusom alebo mínusom v menovateli. Potom je koeficientom sínusu alebo kosínusu v menovateli výstrednosť. Táto hodnota označuje kužeľovitý tvar. Ak sa v menovateli objaví kosínus, potom je kuželosečka vodorovná. Ak sa objaví sínus, potom je kuželosečka zvislá. Ak sa objavia obidve, osi sa otočia. Stred kužeľa nemusí byť nevyhnutne v počiatku. Stred je v počiatku, iba ak je kuželosečka kruh (tj. (E = 0 )).

Príklad ( PageIndex {5} ): Vytvorenie grafu kužeľovitého rezu v polárnych súradniciach

Identifikujte a vytvorte graf kužeľovitého rezu opísaného rovnicou

(r = dfrac {3} {1 + 2 cos θ} ).

Riešenie

Konštantný člen v menovateli je 1, takže excentricita kuželosečky je 2. Toto je hyperbola. Ohniskový parameter p možno vypočítať pomocou rovnice (ep = 3.) Pretože (e = 2 ), získa sa (p = dfrac {3} {2} ). V menovateli sa objaví funkcia kosínus, takže hyperbola je vodorovná. Vyberte niekoľko hodnôt pre (θ ) a vytvorte tabuľku hodnôt. Potom môžeme vytvoriť graf hyperboly (obrázok ( PageIndex {13} )).

(θ ) (r ) (θ ) (r )
01 (π )−3
( dfrac {π} {4} ) ( dfrac {3} {1+ sqrt {2}} ≈1,2426 ) ( dfrac {5π} {4} ) ( dfrac {3} {1− sqrt {2}} ≈ − 7,2426 )
( dfrac {π} {2} )3 ( dfrac {3π} {2} )3
( dfrac {3π} {4} ) ( dfrac {3} {1− sqrt {2}} ≈ − 7,2426 ) ( dfrac {7π} {4} ) ( dfrac {3} {1+ sqrt {2}} ≈1,2426 )

Cvičenie ( PageIndex {5} )

Identifikujte a vytvorte graf kužeľovitého rezu opísaného rovnicou

(r = dfrac {4} {1−0,8 sin θ} ).

Pomôcka

Najskôr vyhľadajte hodnoty e a pa potom vytvorte tabuľku hodnôt.

Odpoveď

Tu (e = 0,8 ) a (p = 5 ). Táto kužeľovitá časť je elipsa.

Všeobecné rovnice druhého stupňa

Všeobecná rovnica druhého stupňa môže byť napísaná vo forme

[Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0.]]

Graf rovnice tohto tvaru je kužeľovitý rez. Ak (B ≠ 0 ), potom sa súradnicové osi otočia. Na identifikáciu kužeľovitého rezu použijeme diskriminátor kužeľovitého rezu (4AC − B ^ 2. )

Identifikácia kužeľovitého rezu

Musí platiť jeden z nasledujúcich prípadov:

  1. (4AC − B ^ 2> 0 ). Ak je to tak, graf je elipsa.
  2. (4AC − B ^ 2 = 0 ). Ak je to tak, graf je parabola.
  3. (4AC − B ^ 2 <0 ). Ak je to tak, graf je hyperbola.

Najjednoduchším príkladom rovnice druhého stupňa zahrnujúceho prierezový výraz je (xy = 1 ). Túto rovnicu možno vyriešiť pre (y ), aby sme získali (y = dfrac {1} {x} ). Graf tejto funkcie sa nazýva obdĺžniková hyperbola, ako je to znázornené.

Asymptoty tejto hyperboly sú súradnicové osi (x ) a (y ). Na určenie uhla θ rotácie kužeľovej časti použijeme vzorec ( cot 2θ = frac {A − C} {B} ). V tomto prípade (A = C = 0 ) a (B = 1 ), takže ( cot 2θ = (0-0) / 1 = 0 ) a (θ = 45 ° ). Metóda vytvárania grafov kužeľovitého rezu s otočenými osami zahŕňa stanovenie koeficientov kuželosečky v rotovanom súradnicovom systéme. Nové koeficienty sú označené (A ', B', C ', D', E ', ) a (F', ) a sú dané vzorcami

[ begin {align} A ′ = A cos ^ 2θ + B cos θ sin θ + C sin ^ 2 θ B ′ = 0 C ′ = A sin ^ 2 θ − B sin θ cos θ + C cos ^ 2θ D ′ = D cos θ + E sin θ E ′ = −D sin θ + E cosθ F ′ = F. end {align} ]

Postup: vytvorenie grafu otočeného kužeľa

Postup vytvorenia grafu otočeného kužeľovitého tvaru je nasledovný:

  1. Kónický rez určte pomocou rozlišujúceho znaku (4AC − B ^ 2 ).
  2. Určte (θ ) pomocou vzorca [ cot2θ = dfrac {A − C} {B} label {rot}. ]
  3. Vypočítajte (A ', B', C ', D', E ') a (F' ).
  4. Prepíšte pôvodnú rovnicu pomocou (A ', B', C ', D', E ') a (F' ).
  5. Nakreslite graf pomocou otočenej rovnice.

Príklad ( PageIndex {6} ): Identifikácia otočeného kužeľa

Určte kužeľovnicu a vypočítajte uhol natočenia osí pre krivku opísanú rovnicou

[13x ^ 2−6 sqrt {3} xy + 7y ^ 2−256 = 0. ]

Riešenie

V tejto rovnici (A = 13, B = –6 sqrt {3}, C = 7, D = 0, E = 0, ) a (F = -256 ). Diskriminujúca táto rovnica je

[4AC − B ^ 2 = 4 (13) (7) - (- 6 sqrt {3}) ^ 2 = 364−108 = 256. ]

Preto je tento kužeľovitý tvar elipsa.

Na výpočet uhla natočenia osí použite Rovnica ref {rot}

[ cot 2θ = dfrac {A − C} {B}. ]

Toto dáva

( cot 2θ = dfrac {A − C} {B} = dfrac {13−7} {- 6 sqrt {3}} = - dfrac { sqrt {3}} {3} ).

Preto (2θ = 120 ^ o ) a (θ = 60 ^ o ), čo je uhol rotácie osí.

Na určenie otočených koeficientov použite vzorce uvedené vyššie:

(A ′ = A cos ^ 2θ + B cos θ sinθ + C sin ^ 2θ )

(= 13 cos ^ 260 + (- 6 sqrt {3}) cos 60 sin 60 + 7 sin ^ 260 )

(= 13 ( dfrac {1} {2}) ^ 2−6 sqrt {3} ( dfrac {1} {2}) ( dfrac { sqrt {3}} {2}) + 7 ( dfrac { sqrt {3}} {2}) ^ 2 )

(=4,)

(B ′ = 0 )

(C ′ = A sin ^ 2θ − B sin θ cos θ + C cos ^ 2θ )

(= 13 sin ^ 260 + (6 sqrt {3}) sin 60 cos 60 + 7 cos ^ 260 )

(= 13 ( dfrac { sqrt {3}} {2}) ^ 2 + 6 sqrt {3} ( dfrac { sqrt {3}} {2}) ( dfrac {1} {2} ) +7 ( dfrac {1} {2}) ^ 2 )

(=16,)

(D ′ = D cos θ + E sin θ )

(= (0) cos 60+ (0) sin 60 )

(=0,)

(E ′ = - D sin θ + E cos θ )

(= - (0) sin 60+ (0) cos 60 )

(=0)

(F ′ = F )

(=−256.)

Rovnica kuželosečky v rotovanom súradnicovom systéme sa stane

(4 (x ′) ^ 2 + 16 (y ′) ^ 2 = 256 )

( dfrac {(x ′) ^ 2} {64} + dfrac {(y ′) ^ 2} {16} = 1 ).

Graf tohto kužeľovitého rezu sa zobrazuje nasledovne.

Cvičenie ( PageIndex {6} )

Určte kužeľovnicu a vypočítajte uhol natočenia osí pre krivku opísanú rovnicou

[3x ^ 2 + 5xy − 2y ^ 2−125 = 0. ]

Pomôcka

Postupujte podľa krokov 1 a 2 päťstupňovej metódy načrtnutej vyššie

Odpoveď

Kužeľovitý tvar je hyperbola a uhol rotácie osí je (θ = 22,5 °. )

Kľúčové koncepty

  • Rovnica vertikálnej paraboly v štandardnom tvare s daným zameraním a priamkou je (y = dfrac {1} {4p} (x − h) ^ 2 + k ), kde (p ) je vzdialenosť od vrcholu na ohnisko a ((h, k) ) sú súradnice vrcholu.
  • Rovnica vodorovnej elipsy v štandardnom tvare je ( dfrac {(x − h) ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {(y − k) ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) kde stred má súradnice ((h, k) ), hlavná os má dĺžku 2a, vedľajšia os má dĺžku 2b, a súradnice ohniskov sú ((h ± c, k) ), kde (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ).
  • Rovnica horizontálnej hyperboly v štandardnom tvare je ( dfrac {(x − h) ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {(y − k) ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) kde stred má súradnice ((h, k) ), vrcholy sú umiestnené na ((h ± a, k) ) a súradnice ohniskov sú ((h ± k, k), ) kde (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ).
  • Výstrednosť elipsy je menšia ako 1, výstrednosť paraboly sa rovná 1 a výstrednosť hyperboly je väčšia ako 1. Excentricita kruhu je 0.
  • Polárna rovnica kužeľovitého rezu s výstrednosťou e je (r = dfrac {ep} {1 ± ecosθ} ) alebo (r = dfrac {ep} {1 ± esinθ} ), kde p predstavuje ústredný parameter.
  • Pre identifikáciu kuželosečky vygenerovanej rovnicou (Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 ), najskôr vypočítajte diskriminačný (D = 4AC − B ^ 2 ). Ak (D> 0 ), potom kuželosečka je elipsa, ak (D = 0 ), potom je kuželosečka parabola, a ak (D <0 ), je kuželosečka hyperbola.

Glosár

kužeľovitý rez
kužeľovitý rez je akákoľvek krivka tvorená priesečníkom roviny s kužeľom dvoch príkrovov
directrix
directrix (množné číslo: directrices) je priamka používaná na zostrojenie a definovanie kužeľovitého rezu; parabola má jednu directrix; elipsy a hyperboly majú dve
diskriminujúci
hodnota (4AC − B ^ 2 ), ktorá sa používa na identifikáciu kuželosečky, keď rovnica obsahuje výraz zahŕňajúci (xy ), sa nazýva diskriminačná
zameranie
ohnisko (množné číslo: ohniská) je bod používaný na zostrojenie a definovanie kužeľovitého rezu; parabola má jedno zameranie; elipsa a hyperbola majú dve
výstrednosť
výstrednosť je definovaná ako vzdialenosť od ktoréhokoľvek bodu kužeľovitého rezu po jeho ohnisko vydelená kolmou vzdialenosťou od tohto bodu k najbližšej priamke
ohniskový parameter
ohniskový parameter je vzdialenosť od ohniska kužeľovitého rezu k najbližšej priamke
všeobecná forma
rovnica kužeľovitého rezu napísaná ako všeobecná rovnica druhého stupňa
hlavná os
hlavná os kužeľovitého rezu prechádza vrcholom v prípade paraboly alebo dvoma vrcholmi v prípade elipsy alebo hyperboly; je to tiež os súmernosti kužeľovitého tvaru; nazýva sa aj priečna os
vedľajšia os
vedľajšia os je kolmá na hlavnú os a pretína hlavnú os v strede kužeľovitého tvaru alebo v prípade paraboly vrcholom; nazýva sa aj konjugovaná os
nappe
príkrov je jedna polovica dvojitého kužeľa
štandardná forma
rovnica kužeľovitého rezu ukazujúca jeho vlastnosti, ako napríklad umiestnenie vrcholu alebo dĺžky hlavnej a vedľajšej osi
vrchol
vrchol je krajný bod na kužeľovitom reze; parabola má v bode zlomu jeden vrchol. Elipsa má dva vrcholy, jeden na každom konci hlavnej osi; hyperbola má dva vrcholy, jeden v bode obratu každej vetvy

1.5 Kužeľové rezy

Kužeľovité rezy boli študované už od čias starých Grékov a boli považované za dôležitý matematický koncept. Už v roku 320 pred n. L. Boli týmito krivkami fascinovaní grécki matematici ako Menaechmus, Appollonius a Archimedes. Appollonius napísal celé osemzväzkové pojednanie o kónických rezoch, v ktorom bol napríklad schopný odvodiť konkrétnu metódu identifikácie kužeľovitého rezu pomocou geometrie. Odvtedy vznikli dôležité aplikácie kužeľovitých úsekov (napríklad v astronómii) a vlastnosti kužeľovitých úsekov sa používajú v rádiových ďalekohľadoch, satelitných prijímačoch a dokonca aj v architektúre. V tejto časti rozoberáme tri základné kónické úseky, niektoré z ich vlastností a ich rovnice.

Kužeľovité úseky dostávajú svoje meno, pretože sa dajú generovať pretínaním roviny kužeľom. Kužeľ má dve identicky tvarované časti, ktoré sa nazývajú príkrovy. Jeden príkrov je to, čo väčšina ľudí myslí pod pojmom „kužeľ“, ktorý má tvar párty klobúka. Pravý kruhový kužeľ možno vytvoriť otáčaním priamky prechádzajúcej počiatkom okolo r-osa, ako je znázornené.

Kužeľovité úseky sú generované priesečníkom roviny s kužeľom (obrázok 1.44). Ak je rovina rovnobežná s osou otáčania ( r-osa), potom je kužeľovitý rez hyperbola. Ak je rovina rovnobežná s generujúcou priamkou, je kužeľovitý rez parabolou. Ak je rovina kolmá na os otáčania, je kužeľovitým rezom kruh. Ak rovina pretína jeden príkrov pod uhlom k osi (inej ako 90 °), 90 °), potom je kužeľovitý úsek elipsa.

Paraboly

Parabola sa generuje, keď rovina pretína kužeľ rovnobežne s generujúcou priamkou. V tomto prípade rovina pretína iba jeden z príkrovov. Parabolu možno definovať aj z hľadiska vzdialeností.

Definícia

Parabola je množina všetkých bodov, ktorých vzdialenosť od pevného bodu, nazývaného ohnisko, sa rovná vzdialenosti od pevnej čiary, ktorá sa nazýva directrix. Bod na polceste medzi zaostrením a directrixom sa nazýva vrchol paraboly.

Graf typickej paraboly sa nachádza na obrázku 1.45. Pomocou tohto diagramu v spojení so vzorcom vzdialenosti môžeme odvodiť rovnicu pre parabolu. Pripomeňme vzorec vzdialenosti: Daný bod P so súradnicami (x 1, y 1) (x 1, y 1) a bodom Q so súradnicami (x 2, y 2), (x 2, y 2) je vzdialenosť medzi nimi daná vzorcom

Potom z definície paraboly a obrázku 1.45 dostaneme

Zarovnanie oboch strán a zjednodušenie výnosov

Rovnice pre paraboly

Toto je štandardná forma paraboly.

Môžeme tiež študovať prípady, keď sa parabola otvára dole alebo doľava alebo doprava. Rovnicu pre každý z týchto prípadov je možné napísať aj štandardným spôsobom, ako je znázornené v nasledujúcich grafoch.

Rovnicu paraboly možno okrem toho napísať vo všeobecnom tvare, aj keď v tomto tvare môžu byť hodnoty rovnice h, ka p nie sú okamžite rozpoznateľné. Všeobecná forma paraboly sa píše ako

Prvá rovnica predstavuje parabolu, ktorá sa otvára hore alebo dole. Druhá rovnica predstavuje parabolu, ktorá sa otvára buď doľava alebo doprava. Ak chcete dať rovnicu do štandardného tvaru, použite spôsob dokončovania štvorca.

Príklad 1.19

Prevod rovnice paraboly zo všeobecného na štandardný formulár

Riešenie

Odkedy r nie je v tejto rovnici na druhú, vieme, že parabola sa otvára buď smerom hore alebo dole. Preto musíme túto rovnicu vyriešiť pre y, ktorý dá rovnicu do štandardného tvaru. Ak to chcete urobiť, najskôr pridajte 8 y 8 y na obe strany rovnice:

Ďalším krokom je vyplnenie štvorca na pravej strane. Začnite zoskupením prvých dvoch výrazov na pravej strane pomocou zátvoriek:

Ďalej určite konštantu, ktorá po pridaní do zátvorky urobí z množstva v zátvorke dokonalú štvorcovú trojčlenku. Za týmto účelom vezmite polovičný koeficient z X a zarovnajte to. To dáva (-4 2) 2 = 4. (-4 2) 2 = 4. Pridajte 4 do zátvoriek a odčítajte 4 mimo zátvoriek, aby sa hodnota rovnice nezmenila:

Teraz skombinujte podobné výrazy a zohľadnite množstvo v zátvorkách:

Os súmernosti vertikálnej (otvárajúcej sa hore alebo dole) paraboly je zvislá čiara prechádzajúca vrcholom. Parabola má zaujímavú reflexnú vlastnosť. Predpokladajme, že máme satelitnú parabolu s parabolickým prierezom. Ak lúč elektromagnetických vĺn, ako sú svetelné alebo rádiové vlny, prichádza do paraboly v priamej línii zo satelitu (rovnobežne s osou symetrie), potom sa vlny od paraboly odrážajú a zhromažďujú sa v ohnisku paraboly ako zobrazené.

Zvážte parabolickú parabolu určenú na zber signálov zo satelitu vo vesmíre. Miska je zameraná priamo na satelit a prijímač je umiestnený v ohnisku paraboly. Rádiové vlny prichádzajúce zo satelitu sa odrážajú od povrchu paraboly k prijímaču, ktorý zhromažďuje a dekóduje digitálne signály. To umožňuje malému prijímaču zhromažďovať signály zo širokého uhla oblohy. Baterky a svetlomety v automobile fungujú na rovnakom princípe, ale naopak: zdroj svetla (teda žiarovka) je umiestnený v ohnisku a odrazná plocha na parabolickom zrkadle zameriava lúč priamo vpred. To umožňuje malej žiarovke osvetliť široký uhol priestoru pred baterkou alebo autom.

Elipsy

Elipsu možno definovať aj z hľadiska vzdialeností. V prípade elipsy sú to dve ohniská (množné číslo ohniska) a dve priame priamky (množné číslo priamky). Pozrime sa na adresáre podrobnejšie ďalej v tejto časti.

Definícia

An elipsa je množina všetkých bodov, pre ktoré je súčet ich vzdialeností od dvoch pevných bodov (ohniská) konštantný.

Podľa definície elipsy si môžeme zvoliť ľubovoľný bod na elipe a súčet vzdialeností od tohto bodu k dvom ohniskám je konštantný. Predpokladajme, že sme vybrali bod P. Pretože súradnice bodu P are (a, 0), (a, 0), súčet vzdialeností je

Preto súčet vzdialeností od ľubovoľného bodu A so súradnicami (x, y) (x, y) sa tiež rovná 2a. Pomocou vzorca vzdialenosti dostaneme

Odčítajte druhý radikál z oboch strán a štvorcové z oboch strán:

Teraz izolujte radikál na pravej strane a opäť štvorcový:

Izolovajte premenné na ľavej strane rovnice a konštanty na pravej strane:

Rozdeľte obe strany o 2 - c 2. a 2 - c 2. To dáva rovnicu

Nakoniec, ak sa stred elipsy presunie z počiatku do bodu (h, k), (h, k), máme nasledujúcu štandardnú formu elipsy.

Rovnica elipsy v štandardnom tvare

Ak je hlavná os zvislá, stane sa rovnica elipsy

Ak je hlavná os vodorovná, potom sa elipsa nazýva vodorovná a ak je hlavná os zvislá, potom sa elipsa nazýva zvislá. Rovnica elipsy má všeobecný tvar, ak je v tvare A x 2 + B y 2 + C x + D y + E = 0, A x 2 + B y 2 + C x + D y + E = 0 , kde A a B sú buď pozitívne, alebo obidva negatívne. Ak chcete previesť rovnicu zo všeobecného do štandardného tvaru, použite spôsob dokončovania štvorca.

Príklad 1.20

Nájdenie štandardného tvaru elipsy

Riešenie

Najskôr odčítajte 36 z oboch strán rovnice:

Ďalšia skupina X podmienky spolu a r dohromady a vyradiť spoločný faktor:

Teraz spočítajte obe sady zátvoriek a vydeľte ich číslom 36:

Podľa prvého Keplerovho zákona o planetárnom pohybe je obežná dráha planéty okolo Slnka elipsa so Slnkom v jednom z ohniskov, ako je to znázornené na obrázku 1.50 (a). Pretože obežná dráha Zeme je elipsa, vzdialenosť od Slnka sa mení po celý rok. Bežne sa opakuje mylná predstava, že Zem je v lete bližšie k Slnku. V skutočnosti je Zem v lete na severnej pologuli vzdialenejšia od Slnka ako v zime. Rozdiel v sezóne je spôsobený naklonením osi Zeme v orbitálnej rovine. Kométy, ktoré obiehajú okolo Slnka, ako napríklad Halleyova kométa, majú tiež eliptické dráhy, rovnako ako mesiace obiehajúce okolo planét a satelity obiehajúce okolo Zeme.

Elipsy majú tiež zaujímavé reflexné vlastnosti: Svetelný lúč vychádzajúci z jedného ohniska prechádza druhým zrkadlom po zrkadlovom odraze v elipse. To isté sa deje aj so zvukovou vlnou. Sieň národného sochárstva v americkom hlavnom meste vo Washingtone, DC, je známa miestnosť v eliptickom tvare, ako je znázornené na obrázku 1.50 (b). Táto sála slúžila ako miesto stretnutia Snemovne reprezentantov USA takmer päťdesiat rokov. Umiestnenie dvoch ohniskov tejto semi-eliptickej miestnosti je zreteľne identifikovaných značkami na podlahe, a aj keď je miestnosť plná návštevníkov, keď dvaja ľudia stoja na týchto miestach a hovoria si navzájom, môžu sa navzájom veľa počuť jasnejšie, ako počujú niekoho stáť nablízku. Legenda hovorí, že John Quincy Adams mal svoj stôl umiestnený na jednom z ohniskov a dokázal odpočúvať všetkých ostatných v Snemovni bez toho, aby musel stáť. Aj keď z toho vyplýva dobrý príbeh, je nepravdepodobné, že to bude pravda, pretože pôvodný strop produkoval toľko ozvien, že celú miestnosť bolo treba zavesiť kobercami, aby sa tlmil hluk. Strop bol prestavaný v roku 1902 a až potom sa dostavil dnes už slávny šepkajúci efekt. Ďalšia slávna šepkajúca galéria - miesto mnohých návrhov na sobáš - sa nachádza na stanici Grand Central v New Yorku.

Hyperboly

Hyperbola sa dá definovať aj z hľadiska vzdialeností. V prípade hyperboly existujú dve ohniská a dve adresáre. Hyperboly majú tiež dve asymptoty.

Definícia

Hyperbola je množina všetkých bodov, kde je rozdiel medzi ich vzdialenosťami od dvoch pevných bodov (ohniská) konštantný.

Nasleduje graf typickej hyperboly.

Táto rovnica teda platí pre akýkoľvek bod v hyperbole. Návrat k súradniciam (x, y) (x, y) pre P:

Pridajte druhý radikál z oboch strán a zarovnajte obidve strany:

Teraz izolujte radikál na pravej strane a opäť štvorcový:

Izolovajte premenné na ľavej strane rovnice a konštanty na pravej strane:

Nakoniec obe strany rozdelíme o 2 - c 2. a 2 - c 2. To dáva rovnicu

Nakoniec, ak sa stred hyperboly presunie z počiatku do bodu (h, k), (h, k), máme nasledujúcu štandardnú formu hyperboly.

Rovnica hyperboly v štandardnej forme

Ak je hlavná os vertikálna, stane sa rovnica hyperboly

Ak je hlavná os (priečna os) vodorovná, potom sa hyperbola nazýva vodorovná a ak je hlavná os zvislá, potom sa hyperbola nazýva zvislá. Rovnica hyperboly má všeobecnú formu, ak je vo forme A x 2 + B y 2 + C x + D y + E = 0, A x 2 + B y 2 + C x + D y + E = 0 , kde A a B mať opačné znaky. Ak chcete previesť rovnicu zo všeobecného do štandardného tvaru, použite spôsob dokončovania štvorca.

Príklad 1.21

Nájdenie štandardnej formy hyperboly

Riešenie

Najskôr pridajte 124 na obe strany rovnice:

Ďalšia skupina X podmienky spolu a r dohromady, potom vylúčte spoločné faktory:

Ďalej zohľadnite obe sady zátvoriek a vydelte ich 144:

Hyperboly majú tiež zaujímavé reflexné vlastnosti. Lúč nasmerovaný na jedno ohnisko hyperboly sa odráža hyperbolickým zrkadlom smerom k druhému ohnisku. Tento koncept je znázornený na nasledujúcom obrázku.

Táto vlastnosť hyperboly má dôležité aplikácie. Používa sa pri hľadaní rádiového smeru (keďže rozdiel v signáloch z dvoch veží je pozdĺž hyperbolas konštantný) a pri konštrukcii zrkadiel vo vnútri ďalekohľadov (na odrážanie svetla prichádzajúceho z parabolického zrkadla do okuláru). Ďalším zaujímavým faktom o hyperbolách je, že pre kométu vstupujúcu do slnečnej sústavy je rýchlosť, ktorá je dostatočná na to, aby unikla gravitačnému ťahu Slnka, potom cesta, ktorú kométa prechádza, keď prechádza slnečnou sústavou, je hyperbolická.

Výstrednosť a Directrix

Alternatívny spôsob popisu kužeľovitého rezu zahŕňa priamky, ohniská a novú vlastnosť zvanú výstrednosť. Uvidíme, že hodnota excentricity kužeľovitého rezu môže jedinečne definovať tento kužeľovitý tvar.

Definícia

Výstrednosť e kužeľovitého rezu je definovaná vzdialenosť od ktoréhokoľvek bodu kužeľovitého rezu k jeho ohnisku, vydelená kolmou vzdialenosťou od tohto bodu k najbližšej priamke. Táto hodnota je konštantná pre ktorýkoľvek kužeľovitý rez a môže tiež definovať kužeľovitý rez:

Excentricita kruhu je nulová. Directrix kužeľovitého rezu je priamka, ktorá spolu s bodom známym ako ohnisko slúži na definovanie kužeľovitého rezu. Hyperboly a nekruhové elipsy majú dve ohniská a dve súvisiace priamky. Paraboly majú jedno ohnisko a jednu direktívu.

Tri kónické úseky s ich priamymi adresami sa nachádzajú na nasledujúcom obrázku.

Pripomeňme si z definície paraboly, že vzdialenosť od ktoréhokoľvek bodu paraboly k ohnisku sa rovná vzdialenosti od toho istého bodu k priamke. Podľa definície preto musí byť excentricita paraboly 1. Rovnice priamok vodorovnej elipsy sú x = ± a 2 c. x = ± a 2 c. Pravý vrchol elipsy je umiestnený na (a, 0) (a, 0) a pravé ohnisko je (c, 0). (c, 0). Preto je vzdialenosť od vrcholu k ohnisku a - c a - c a vzdialenosť od vrcholu k pravej priamke je 2 c - a. a 2 c - a. To dáva výstrednosť ako


11.5: Kónické rezy

Bronx Community College na City University v New Yorku

Katedra matematiky a informatiky

SYLABUS: Matematika 32  Calculus and Analytic Geometry II (4 kredity / 6 hodín týždenne)

PREDPOKLAD: Matematika 31 alebo ekvivalent

TEXT: Calculus (šieste vydanie) od Jamesa Stewarta, publikoval Brooks / Cole.

Študenti, ktorí nepotrebujú matematiku 33, môžu používať Single Variable Calculus (šieste vydanie) od

James Stewart, publikácia Brooks / Cole.

ODDIEL NAVRHOVANÉ CVIČENIA

Kapitola 6: Aplikácie integrácie

6.1 Oblasti medzi krivkami str. 352: 1  29 nepárne

6.2 Zväzky str. 362: 1  35 nepárny, 56-62

6.3 Zväzky podľa valcových škrupín str. 368: 1  25 nepárne

Recenzia str. 378: 1, 7, 9, 15, 23, 25

Kapitola 7: Inverzné funkcie

7.1 Inverzné funkcie str. 391: nepárne 1  15, 23-27, 33-41

Možnosť inštruktora: 7,2-7,4 alebo 7,2 * -7,4 *

Exponenciálne funkcie a

Ich deriváty str. 402: 1, 7  13 nepárnych, 23  45 nepárnych, 73-81 nepárnych

Logaritmické funkcie str. 409: 1  17 nepárnych, 25  33 nepárnych, 45, 47, 49

7.4 Deriváty logaritmických funkcií str. 419: 1  29 nepárnych, 41  51 nepárnych, 69  79 nepárnych

7.2 * Prirodzená logaritmická funkcia str. 428: 1 - 35 nepárne, 59 - 71 nepárne

7.3 * Prirodzená exponenciálna funkcia str. 435: 5-11 nepárnych, 27-47 nepárnych, 75-83 nepárnych

7.4 * Všeobecná logaritmická a exponenciálna str. 445: 1 - 9 nepárnych, 21 - 41 nepárnych, 45 - 49 nepárnych

7.6 Inverzné trigonometrické funkcie str. 461: 5  13 nepárnych, 23  35 nepárnych, 43,45,59  69 nepárnych

7.7 Hyperbolické funkcie str. 468: 7  23 nepárnych, 31  47 nepárnych, 57  65 nepárnych

7.8 Neurčité formuláre a

Pravidlo spoločnosti L'Hospital s. 478: 1  4, 5  63 nepárnych, 93, 94, 95

Recenzia str. 483: 5  47 nepárnych, 63  77 nepárnych, 93  105 nepárnych

Kapitola 8: Techniky integrácie

8.1 Integrácia po častiach str. 493: 1  37 nepárne, 43  52

Možnosť inštruktora: 8.4 je možné vykonať ihneď po 8.1.

8.2 Trigonometrické integrály str. 501: 1  31 nepárne

8.3 Trigonometrická substitúcia str. 508: 1  29 nepárne

Integrácia racionálnych funkcií str. 517: 1  29 nepárnych, 39-49 nepárnych

8.5 Stratégia pre integráciu str. 524: 1  57 nepárne

8.8 Nesprávne integrály str. 551: 1, 5 x 31 nepárny, voliteľný 49-54

Recenzia str. 554: 1  25 nepárnych, 41  49 nepárnych

Kapitola 9: Ďalšie aplikácie integrálov

9.1 Dĺžka oblúka str. 566: 1  17 nepárne

9.2 Oblasť povrchu revolúcie str. 573: 1  15 nepárnych, 25

Kapitola 11: Parametrické rovnice a polárne súradnice

11.3 Polárne súradnice str. 683: 1  11 nepárnych, 15  25 nepárnych 29  47 nepárnych

11.4 Plochy a dĺžky v polárnych súradniciach str. 689: 1  31 nepárne, voliteľné 45-48

11.5 Kužeľové rezy str. 696: 1  47, nepárne

Oddiel 11.6 je možnosťou inštruktora.

11.6 Kónické rezy v polárnych súradniciach str. 704: 1  15 nepárne

Recenzia str. 706: 9  15 nepárnych, 31  39 nepárnych, 45  55 nepárnych

Poznámka: Niektoré prvky oddielov 11.1 a 11.2 možno diskutovať ako všeobecný úvod do kriviek zahrnutých v kapitolách 9 a 11.


ŽIADNE DOSTUPNÉ-Calc: ET 1. vydanie

Vaši študenti majú neobmedzený prístup k kurzom WebAssign, ktoré používajú toto vydanie učebnice, a to bez ďalších poplatkov.

Prístup je podmienený použitím tejto učebnice v učebni inštruktora.

  • Kapitola 1: Precalculus Review
    • 1.1 Reálne čísla, funkcie, rovnice a grafy (18)
    • 1.2 Lineárne a kvadratické funkcie (20)
    • 1.3 Základné triedy funkcií (15)
    • 1.4 trigonometrické funkcie (11)
    • 1.5 Inverzné funkcie (12)
    • 1.6 Exponenciálne a logaritmické funkcie (14)
    • 1.7 Technológia: Kalkulačky a počítače (11)
    • 2.1 Limity, sadzby zmeny a dotyčné čiary (11)
    • 2.2 Limity: Numerický a grafický prístup (12)
    • 2.3 Základné zákonné limity (11)
    • 2.4 Limity a kontinuita (12)
    • 2.5 Algebraické hodnotenie limitov (15)
    • 2.6 trigonometrické limity (13)
    • 2.7 Veta o strednej hodnote (11)
    • 2.8 Formálna definícia limitu (11)
    • 3.1 Definícia derivátu (11)
    • 3.2 Derivát ako funkcia (16)
    • 3.3 Pravidlá pre produkty a množstvo (11)
    • 3.4 Rýchlosti zmeny (12)
    • 3.5 Vyššie deriváty (12)
    • 3.6 Deriváty trigonometrických funkcií (13)
    • 3.7 Reťazové pravidlo (14)
    • 3.8 Implicitná diferenciácia (12)
    • 3.9 Deriváty inverzných funkcií (11)
    • 3.10 Deriváty logaritmických funkcií (14)
    • 3.11 Súvisiace ceny (11)
    • 4.1 Lineárna aproximácia a aplikácie (10)
    • 4.2 Extrémne hodnoty (12)
    • 4.3 Veta o strednej hodnote a monotónnosť (12)
    • 4.4 Tvar grafu (12)
    • 4.5 skicovanie grafov a asymptoty (11)
    • 4.6 Aplikovaná optimalizácia (16)
    • 4.7 Pravidlo spoločnosti L'Ho'pital (11)
    • 4.8 Newtonova metóda (11)
    • 4,9 Antiderivatíva (11)
    • 5.1 Aproximačná a výpočtová oblasť (11)
    • 5.2 Definitívne integrálne (11)
    • 5.3 Základná veta kalkulu, časť I (11)
    • 5.4 Základná veta kalkulu, časť II (11)
    • 5.5 Čistá alebo celková zmena ako integrácia kurzu (11)
    • 5.6 Substitučná metóda (11)
    • 5.7 Integrály exponenciálnych a logaritmických funkcií (11)
    • 5.8 Exponenciálny rast a rozklad (11)
    • 6.1 Oblasť medzi dvoma krivkami (11)
    • 6.2 Nastavenie integrálov: objem, hustota, priemerná hodnota (11)
    • 6.3 Zväzky revolúcie (11)
    • 6.4 Metóda valcových škrupín (11)
    • 6.5 Práca a energia (11)
    • 7.1 Numerická integrácia (11)
    • 7.2 Integrácia po častiach (11)
    • 7.3 trigonometrické integrály (11)
    • 7.4 Trigonometrická substitúcia (11)
    • 7.5 Integrácie hyperbolických a inverzných hyperbolických funkcií (11)
    • 7.6 Metóda čiastočných zlomkov (11)
    • 7.7 Nesprávne integrácie (11)
    • 8.1 Dĺžka oblúka a povrchová plocha (10)
    • 8.2 Tlak a sila kvapaliny (11)
    • 8.3 Ťažisko (11)
    • 8.4 Taylorove polynómy (11)
    • 9.1 Oddeliteľné rovnice (12)
    • 9.2 Zapojené modely r' = k(y-b) (12)
    • 9.3 Grafické a numerické metódy (12)
    • 9.4 Logistická rovnica (11)
    • 9.5 Lineárne rovnice prvého poriadku (11)
    • 10.1 Sekvencie (11)
    • 10.2 Sčítanie nekonečnej série (11)
    • 10.3 Konvergencia sérií s kladnými pojmami (11)
    • 10.4 Absolútna a podmienená konvergencia (11)
    • 10.5 Testy pomeru a koreňu (11)
    • Séria 10.6 Power (11)
    • 10.7 Taylor Series (11)
    • 11.1 Parametrické rovnice (11)
    • 11.2 Dĺžka a rýchlosť oblúka (11)
    • 11.3 Polárne súradnice (11)
    • 11.4 Plocha a dĺžka oblúka v polárnych súradniciach (11)
    • 11.5 Kužeľovité časti (11)
    • 12.1 Vektory v rovine (11)
    • 12.2 vektory v troch rozmeroch (11)
    • 12.3 Bodový produkt a uhol medzi dvoma vektormi (11)
    • 12.4 Krížový výrobok (11)
    • 12,5 lietadla v trojpriestore (11)
    • 12.6 Prieskum štvorcových povrchov (11)
    • 12.7 Valcové a sférické súradnice (11)
    • 13.1 Funkcie s vektorovou hodnotou (11)
    • 13.2 Počet funkcií s vektorovou hodnotou (11)
    • 13.3 Dĺžka a rýchlosť oblúka (10)
    • 13.4 Zakrivenie (10)
    • 13.5 Pohyb v troch priestoroch (10)
    • 13.6 Planetárny pohyb podľa Keplera a Newtona (11)
    • 14.1 Funkcie v dvoch alebo viacerých premenných (11)
    • 14.2 Limity a kontinuita vo viacerých premenných (11)
    • 14.3 Čiastočné deriváty (11)
    • 14.4 Lineárna aproximácia, diferencovateľnosť a tangenciálne roviny (11)
    • 14.5 Gradientné a smerové deriváty (11)
    • 14.6 Reťazové pravidlo (11)
    • 14.7 Optimalizácia vo viacerých premenných (11)
    • 14.8 Lagrangeove multiplikátory: Optimalizácia s obmedzením (11)
    • 15.1 Integrály vo viacerých premenných (11)
    • 15.2 Dvojité integrácie vo všeobecnejších regiónoch (11)
    • 15.3 Trojité integrály (11)
    • 15.4 Integrácia v polárnych, valcových a sférických súradniciach (11)
    • 15.5 Zmena premenných (10)
    • 16.1 Vektorové polia (11)
    • 16.2 Integrály liniek (11)
    • 16.3 Konzervatívne vektorové polia (11)
    • 16.4 Parametrizované povrchy a povrchové integrály (11)
    • 16.5 Integrály vektorových polí (11)
    • 17.1 Greenova veta (11)
    • 17.2 Stokesova veta (10)
    • 17.3 Veta o divergencii (11)

    Calculus (Metric) 6. vydanie

    Vaši študenti majú neobmedzený prístup k kurzom WebAssign, ktoré používajú toto vydanie učebnice, a to bez ďalších poplatkov.

    Prístup je podmienený použitím tejto učebnice v učebni inštruktora.

    • Kapitola 1: Funkcie a modely
      • 1.1: Štyri spôsoby reprezentácie funkcie (49)
      • 1.2: Matematické modely: Katalóg základných funkcií (10)
      • 1.3: Nové funkcie zo starých funkcií (44)
      • 1.4: Grafické kalkulačky a počítače (12)
      • 1: Revízia kapitoly
      • Pravda lož
      • Pravda - nepravda (6)
      • 2.1: Problémy s dotyčnicou a rýchlosťou (7)
      • 2.2: Limit funkcie (22)
      • 2.3: Výpočet limitov pomocou limitných zákonov (45)
      • 2.4: Presná definícia limitu (11)
      • 2.5: Kontinuita (18)
      • 2: Revízia kapitoly
      • Pravda lož
      • Pravda - nepravda (15)
      • 3.1: Deriváty a sadzby zmeny (40)
      • 3.2: Derivát ako funkcia (43)
      • 3.3: Diferenciálne vzorce (75)
      • 3.4: Deriváty trigonometrických funkcií (36)
      • 3.5: Reťazové pravidlo (48)
      • 3.6: Implicitná diferenciácia (31)
      • 3.7: Miera zmien prírodných a spoločenských vied (17)
      • 3.8: Súvisiace ceny (34)
      • 3.9: Lineárne aproximácie a diferenciály (28)
      • 3: Revízia kapitoly (1)
      • Pravda lož
      • Pravda - nepravda (11)
      • 4.1: Maximálne a minimálne hodnoty (51)
      • 4.2: Veta o strednej hodnote (11)
      • 4.3: Ako deriváty ovplyvňujú tvar grafu (41)
      • 4.4: Limity na nekonečno Horizontálne asymptoty (32)
      • 4.5: Zhrnutie skicovania kriviek (35)
      • 4.6: Grafy pomocou kalkulu a kalkulačiek (9)
      • 4.7: Problémy s optimalizáciou (51)
      • 4.8: Newtonova metóda (29)
      • 4.9: Antiderivatíva (48)
      • 4: Revízia kapitoly
      • Pravda lož
      • Pravda - nepravda (19)
      • 5.1: Oblasti a vzdialenosti (13)
      • 5.2: Definitívne integrálne (46)
      • 5.3: Základná veta kalkulu (56)
      • 5.4: Neurčité integrály a veta o čistej zmene (49)
      • 5.5: Pravidlo substitúcie (71)
      • 5: Revízia kapitoly
      • Pravda lož
      • Pravda - nepravda (15)
      • 6.1: Oblasti medzi krivkami (36)
      • 6.2: Zväzky (50)
      • 6.3: Zväzky po valcových škrupinách (33)
      • 6.4: Práca (26)
      • 6.5: Priemerná hodnota funkcie (14)
      • 6: Revízia kapitoly
      • Pravda lož
      • Pravda lož
      • 7.1: Inverzné funkcie (18)
      • 7.2: Exponenciálne funkcie a ich deriváty (13)
      • 7.2 *: Prirodzená logaritmická funkcia (3)
      • 7.3: Logaritmické funkcie (10)
      • 7.3 *: Prirodzená exponenciálna funkcia (57)
      • 7.4: Deriváty logaritmických funkcií (41)
      • 7.4 *: Všeobecné logaritmické a exponenciálne funkcie (21)
      • 7.5: Exponenciálny rast a rozklad (18)
      • 7.6: Inverzné trigonometrické funkcie (26)
      • 7.7: Hyperbolické funkcie (28)
      • 7.8: Neurčité formuláre a pravidlo L'Hospital (71)
      • 7: Revízia kapitoly
      • Pravda lož
      • Pravda - nepravda (6)
      • 8.1: Integrácia po častiach (60)
      • 8.2: trigonometrické integrály (59)
      • 8.3: trigonometrická substitúcia (34)
      • 8.4: Integrácia racionálnych funkcií čiastočnými zlomkami (49)
      • 8.5: Stratégia pre integráciu (62)
      • 8.6: Integrácia pomocou tabuliek a systémov počítačovej algebry (41)
      • 8.7: Približná integrácia (39)
      • 8.8: Nesprávne integrály (66)
      • 8: Revízia kapitoly
      • Pravda lož
      • Pravda - nepravda (14)
      • 9.1: Dĺžka oblúka (25)
      • 9.2: Oblasť povrchu revolúcie (22)
      • 9.3: Aplikácie na fyziku a inžinierstvo (38)
      • 9.4: Aplikácie na ekonómiu a biológiu (16)
      • 9.5: Pravdepodobnosť (15)
      • 9: Revízia kapitoly
      • Pravda lož
      • Pravda lož
      • 10.1: Modelovanie pomocou diferenciálnych rovníc (10)
      • 10.2: Smerové polia a Eulerova metóda (22)
      • 10.3: Oddeliteľné rovnice (35)
      • 10.4: Modely populačného rastu (18)
      • 10.5: Lineárne rovnice (24)
      • 10.6: Predator-Prey Systems (7)
      • 10: Revízia kapitoly
      • Pravda lož
      • Pravda - nepravda (7)
      • 11.1: Krivky definované parametrickými rovnicami (31)
      • 11.2: Počet s parametrickými krivkami (52)
      • 11.3: Polárne súradnice (59)
      • 11.4: Plochy a dĺžky v polárnych súradniciach (38)
      • 11.5: Kužeľovité časti (40)
      • 11.6: Kónické rezy v polárnych súradniciach (20)
      • 11: Revízia kapitoly
      • Pravda lož
      • Pravda - nepravda (10)
      • 12.1: Sekvencie (60)
      • 12.2: Séria (59)
      • 12.3: Test integrácie a odhady súm (31)
      • 12.4: Porovnávacie testy (33)
      • 12.5: Striedavé série (27)
      • 12.6: Absolútna konvergencia a testy pomeru a koreňa (29)
      • 12.7: Stratégia na testovanie sérií (27)
      • 12.8: Séria Power (33)
      • 12.9: Reprezentácie funkcií ako výkonové série (30)
      • 12.10: Série Taylor a Maclaurin (55)
      • 12.11: Aplikácie Taylorových polynómov (28)
      • 12: Revízia kapitoly
      • Pravda lož
      • Pravda - nepravda (20)
      • 13.1 Trojrozmerné súradnicové systémy (26)
      • 13.2 vektory (32)
      • 13.3 Produkt Dot (40)
      • 13.4 Krížový výrobok (35)
      • 13.5 Rovnice priamok a rovín (53)
      • 13.6 Valce a štvorcové povrchy (37)
      • 13: Revízia kapitoly
      • Pravda lož
      • Pravda - nepravda (18)
      • 14.1 Vektorové funkcie a vesmírne krivky (20)
      • 14.2 Deriváty a integrály vektorových funkcií (36)
      • 14.3 Dĺžka a zakrivenie oblúka (43)
      • 14.4 Pohyb vo vesmíre: rýchlosť a zrýchlenie (32)
      • 14: Revízia kapitoly
      • Pravda lož
      • Pravda - nepravda (12)
      • 15.1 funkcie niekoľkých premenných (51)
      • 15.2 Limity a kontinuita (33)
      • 15.3 Čiastočné deriváty (64)
      • 15.4 Tečné roviny a lineárne aproximácie (32)
      • 15.5 Reťazové pravidlo (39)
      • 15.6 Smerové deriváty a gradientný vektor (43)
      • 15.7 Maximálna a minimálna hodnota (40)
      • 15.8 Lagrangeove multiplikátory (35)
      • 15: Revízia kapitoly
      • Pravda lož
      • Pravda - nepravda (12)
      • 16.1 Dvojité integrály cez obdĺžniky (14)
      • 16.2 Iterované integrály (28)
      • 16.3 Dvojité integrácie vo všeobecných regiónoch (39)
      • 16.4 Dvojité integrály v polárnych súradniciach (27)
      • 16.5 Aplikácie dvojitých integrálov (25)
      • 16,6 trojitých integrálov (36)
      • 16.7 Trojité integrály vo valcových súradniciach (20)
      • 16.8 Trojité integrály v sférických súradniciach (34)
      • 16.9 Zmena premenných vo viacerých integráloch (16)
      • 16: Revízia kapitoly
      • Pravda lož
      • Pravda - nepravda (8)
      • 17.1 Vektorové polia (21)
      • 17.2 Integrály riadkov (34)
      • 17.3 Základná veta pre lineárne integrály (27)
      • 17.4 Greenova veta (21)
      • 17.5 Zvlnenie a divergencia (26)
      • 17.6 Parametrické povrchy a ich oblasti (45)
      • 17.7 Povrchové integrály (34)
      • 17.8 Stokesova veta (14)
      • 17.9 Veta o divergencii (25)
      • 17.10 Zhrnutie
      • 17: Revízia kapitoly
      • Pravda lož
      • Pravda - nepravda (8)
      • 18.1 Lineárne rovnice druhého rádu (22)
      • 18.2 nehomogénne lineárne rovnice (20)
      • 18.3 Aplikácie diferenciálnych rovníc druhého rádu (13)
      • Riešenia série 18.4 (8)
      • 18: Revízia kapitoly
      • Pravda lož
      • Pravda - nepravda (4)

      Obsah tejto učebnice je súčasťou série Enhanced WebAssign od spoločnosti Brooks / Cole. Pre túto knihu je vyžadovaná vylepšená prístupová karta WebAssign. Túto špeciálnu prístupovú kartu je možné zabaliť do novej učebnice. Prístupovú kartu si môžu študenti, ktorí potrebujú prístup, kúpiť aj online alebo v kníhkupectve.

      Diskutujte o tom, ako si môžete objednať učebnicu zabalenú v programe WebAssign u svojho zástupcu Cengage Learning alebo WebAssign.

      Stewartov osvedčený prístup k riešeniu problémov sa stáva základom Enhanced WebAssign pre Stewartov kalkul. Budete si môcť vybrať z viac ako 1 000 problémov s učebnicami, ktoré môžete zadať v zabezpečenom online prostredí WebAssign, pričom každý z nich bude mať podľa vlastného uváženia k dispozícii podrobné riešenie.

      A aby študentom pomohol osvojiť si koncepty kritického počtu, program Enhanced WebAssign obsahuje vylepšený obsah, konkrétne prepojenie problémov s domácimi úlohami s interaktívnymi nástrojmi, návodmi a príkladmi od autora Jim Stewart.


      11.5 Striedavá séria

      Úvod: V tejto lekcii sa budeme venovať konkrétnemu typu sérií, ktoré sa nazývajú alternujúce série. Naučíme sa, ako určiť, kedy sa konverzia striedavej série konverguje pomocou Testu striedavej série. Budeme tiež diskutovať o presnosti odhadov striedavých sérií. Taktiež sa predstavia myšlienky absolútnej a podmienenej konvergencie.

      Ciele: Po tejto lekcii by ste mali byť schopní:

      • Použite Test striedavých sérií na zistenie, či sa konverguje nekonečná rada.
      • Použite vetu o zvyšku alternatívnej série na aproximáciu súčtu alternatívnej série.

      Poznámky k videu a zosilňovaču: Pri sledovaní videa vyplňte hárok s poznámkami k tejto lekcii (11-5-alternujúca séria). Ak chcete, mohli by ste si prečítať oddiel 11.5 svojej učebnice a vyriešiť úlohy uvedené v poznámkach ako príklad. Pamätajte, že poznámky musia byť každý týždeň nahrávané do Blackboardu! Ak sa z nejakého dôvodu nižšie uvedené video nenačíta, máte k nemu prístup v službe YouTube tu.

      Domáca úloha: Prejdite na WebAssign a dokončite priradenie & # 822011.5 Alternating Series & # 8221.

      Problémy s praxou: Kurzy # 1-13, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31

      Zanechať Odpoveď zrušiť odpoveď

      University of Alaska Fairbanks je zamestnávateľom a vzdelávacími inštitúciami AA / EO a zakazuje nezákonnú diskrimináciu akejkoľvek osoby. Získajte viac informácií o upozornení na nediskrimináciu zo strany UA & # 8217.


      Predslov

      Predhovor je k dispozícii na stiahnutie vo formáte PDF.

      Tento materiál je chránený podľa všetkých autorských zákonov, aké v súčasnosti existujú. Žiadna časť tohto materiálu sa nesmie reprodukovať, a to v žiadnej podobe ani žiadnymi prostriedkami, bez písomného súhlasu vydavateľa.

      Novinka v tomto vydaní

      · Sprievodné vizualizácie uviesť do života matematické koncepty a pomôcť študentom vizualizovať ich pomocou priameho skúmania a cieľavedomej manipulácie. Kirk Trigsted skriptoval a vyvinul riadené vizualizácie špecifické pre svoj program Algebra a amp trigonometria. Sú integrované do eTextu a môžu byť priradené k hodnotiacim cvičením v MyLab Math na podporu aktívneho učenia, kritického myslenia a koncepčného porozumenia. Cvičenia s prehliadkou sú identifikované v matematike MyLab kódom „GV“ a v eTexte s ikonou:

      · Otázky k hodnoteniu videa sú priraditeľné cvičenia MyLab Math spojené s kľúčovými témami videa. Tieto otázky majú overiť, či študenti pochopia dôležité matematické koncepty obsiahnuté vo videu. Otázky týkajúce sa hodnotenia videa sú v MyLab Math identifikované kódom „VQ“.

      · Cvičenie drag and drop sú nový typ cvičenia MyLab Math, ktorý umožňuje študentom presúvať položky obsahujúce matematické výrazy, slová, grafy alebo obrázky z počiatočného koša do určených cieľových oblastí. Od študentov sa žiada, aby pri svojich odpovediach s týmito typmi cvičení dosiahli vyššiu úroveň rozhodovania. Tento typ cvičenia sa najviac využíva v otázkach týkajúcich sa hodnotenia videa.

      · Vylepšené vzorové priradenia sú vytvorené Kirkom Trigstedom, aby uľahčili nastavenie kurzu tým, že poskytli inštruktorom východiskový bod pre každú kapitolu. Každé zadanie vybrané autorom s cieľom zosúladiť sa s týmto textom obsahuje premyslenú kombináciu typov otázok (napr. Koncepčných, zručností atď.) Špecifických pre danú tému.

      · Úlohy tvorcu schopností ponúknuť adaptívnu prax zameranú na zvýšenie schopnosti študentov dokončiť svoju úlohu. Monitorovaním výkonu študentov pri plnení ich domácich úloh sa program Skill Builder prispôsobuje potrebám každého študenta a poskytuje prax zadávania úloh včas, včas a pomáha im zdokonaliť sa v základných cieľoch učenia.

      · Revízna kapitola je významne prepracovaný, vrátane 160 nových alebo aktualizovaných cvičení a 34 nových videí. Nová časť v kapitole Revízia tiež pojednáva o operáciách s radikálmi (časť R.5).

      · Interaktívne súhrny kapitol sú usporiadané podľa sekcií a zvýrazňujú dôležité pojmy a definície sprievodnými príkladmi a videami, ktoré študentom uľahčujú štúdium kľúčových pojmov. Súhrny kapitol je možné priradiť v programe MyLab ™ Math.

      · Vyše 1 200 nových a aktualizovaných cvičení, pomáhať študentom vyťažiť z času stráveného domácimi úlohami maximum a maximalizovať digitálne prostredie na zvýšenie koncepčného porozumenia. Všetky cvičenia sú priraditeľné v programe MyLab Math a zobrazujú sa v tlačenej príručke eText.


      Pozri obrázok 11 5 Identifikujte krivky na diagrame

      G priemerná krivka variabilných nákladov. F priemerná krivka celkových nákladov.

      Mimoriadne mohutné kvasary nie sú dobrými zástupcami pre hustotu

      17 pozri obrázok 10 4.

      Podľa obrázka 11 5 označte krivky v diagrame. Keď hraničný produkt práce stúpa a. Využite krivku fixných nákladov. H krivka priemerných fixných nákladov.

      19 ak je krivka marginálnych nákladov pod krivkou priemerných variabilných nákladov, potom sa priemerné variabilné náklady zvyšujú. Identifikujte krivky na diagrame. Obrázok 12 5 Obrázok 125 zobrazuje krivky nákladov a dopytu, ktorým čelí typická firma v dokonale konkurenčnom priemysle s konštantnými nákladmi.

      F priemerná krivka celkových nákladov. Pozri obrázok 11 5. B a až c.

      7 pozri obrázok 11 5. Identifikujte krivky na diagrame. Predpokladajme, že cena cvičení pilates stúpne na 30, zatiaľ čo príjem a cena cvičení jógy zostanú nezmenené.

      H krivka priemerných fixných nákladov. Krivky marginálnych nákladov na priemer. F priemerná krivka celkových nákladov.

      Krivky marginálnych nákladov pre krivku priemerných celkových nákladov. G priemerná krivka variabilných nákladov. 18 pozri obrázok 11 5.

      C fixné náklady klesajú so zvyšovaním kapacity. C a až d. Identifikujte krivky na diagrame.

      G priemerná krivka variabilných nákladov h krivka marginálnych nákladov b e krivka marginálnych nákladov. Identifikujte krivky na diagrame. Ak iný pracovník pridá 9 jednotiek výstupu k skupine pracovníkov, ktorí mali priemerný produkt 7 jednotiek, potom priemerný produkt práce.

      Krivka g sa blíži ku krivke f, pretože marginálne náklady sú nadpriemerné variabilné náklady. E priemerná krivka fixných nákladov. 10 pozri obrázok 11 1.

      Obľúbená krivka celkových nákladov. V diagrame, ktorý zobrazuje hraničný produkt práce na zvislej osi a prácu na vodorovnej osi, hraničná krivka produktu 10a nikdy nepretne vodorovnú os. 25 a krivka priemerných fixných nákladov.

      Priemerné fixné náklady B klesajú so zvyšovaním produkcie. Vertikálny rozdiel medzi mierami kriviek f a g 18 pozri na obrázku 10 4. Zobraziť text prepisovaného obrázka pozri na obrázku 11 5 identifikujte krivky v diagrame.

      D d až b. Identifikujte krivky na diagrame. 17 pozri obrázok 11 5.

      B pretína vodorovnú os v bode zodpovedajúcemu 5. pracovníkovi. Substitučný efekt tejto cenovej zmeny predstavuje pohyb z a do b. Identifikujte krivky na diagrame.

      Táto ukážka má zámerne rozmazané časti. G priemerná krivka variabilných nákladov. E krivka marginálnych nákladov.

      H krivka priemerných fixných nákladov. G priemerná krivka variabilných nákladov. 6 pozri obrázok 10 7.

      25 pozri obrázok 11 5. Obrázok 10 4 obr. 16 pozri obrázok 10 4. Zaregistrujte sa a pozrite si plnú verziu.

      Identifikujte krivky na diagrame. Domáce štúdium podniková ekonómia otázky a odpovede k ekonómii odkazujú na obrázok 11 4. D je prijatý 5. pracovník.

      Identifikujte krivky na diagrame. Pozri obrázok 125.

      Cyklické správanie pokút železnej rudy na palube váhy pre hromadné prepravy

      Etnické a vekové rozdiely v predpovedaní úmrtnosti o polovicu vyššie

      Vyriešené Pozri Obrázok 11 5 Identifikujte krivky v D.

      11 5 Kónické rezy Matematika Libretexts

      Mutácie receptora Igf I vedúce k intrauterinnej a postnatálnej liečbe

      Hybnou silou riadené vetry zo žiarivo efektívnej čiernej diery

      Pochopenie diagnostických testov, časť 3 Prevádzka prijímača

      Krátka postava v detských výzvach a možnostiach Nejm

      Nejednoznačnosť identifikácie procesu medzi disperziou advekcie

      Oscilačný krátkodobý model medzipamäte môže zodpovedať za údaje

      Signalizácia vzájomnej komunikácie medzi Mhc triedy Ii molekulárnymi konformérmi v

      Experimentálne krivky frekvenčnej odozvy A Max A L 2 0 Vs F

      Ribonukleový komplex Hur Malat1 potláča expresiu Cd133 a

      Stredná poľná analýza inhibície orientačnej selektivity

      Dopad 18 emisnej tomrónky s pozitrónom fluórodeoxyglukózy na

      Vplyv rôznych linkerov na katabolizmus cieľových buniek a

      Dynamické zaťaženie na flexibilnom plávajúcom antikolíznom systéme z dôvodu

      Ekonomika záverečných skúšok 200 s Goyom Tocchetom na College of

      Najnovšie metódy odhadu zraniteľnosti pri hurikáne A

      Analýza genomických hraničných hodnôt v P190 a P210

      Anémia a cukrovka pri absencii nefropatickej starostlivosti o cukrovku

      Teplota ako rizikový faktor pre hospitalizáciu mladých ľudí

      Ekonomika záverečných skúšok 200 s Goyom Tocchetom na College of

      Krivka Snrr versus poradie identifikovaného modelu AR pre zvukový obal


      Kapitola 1: Precalculus Review
      1.1 Reálne čísla, funkcie a grafy
      1.2 Lineárne a kvadratické funkcie
      1.3 Základné triedy funkcií
      1.4 trigonometrické funkcie
      1.5 Inverzné funkcie
      1.6 Exponenciálne a logaritmické funkcie
      1.7 Technológia: kalkulačky a počítače
      Cvičenie na preskúmanie kapitoly

      Kapitola 2: Limity
      2.1 Limitná myšlienka: okamžitá rýchlosť a dotyčné čiary
      2.2 Vyšetrovanie limitov
      2.3 Základné zákony o limitoch
      2.4 Limity a kontinuita
      2.5 Neurčité formuláre
      2.6 Veta o squeeze a trigonometrické limity
      2.7 Limity na nekonečno
      2.8 Veta o strednej hodnote
      2.9 Formálna definícia limitu
      Cvičenie na preskúmanie kapitoly

      Kapitola 3: Diferenciácia
      3.1 Definícia derivátu
      3.2 Derivát ako funkcia
      3.3 Pravidlá produktu a kvocientu
      3.4 Sadzby zmeny
      3.5 Vyššie deriváty
      3.6 trigonometrické funkcie
      3.7 Reťazové pravidlo
      3.8 Implicitná diferenciácia
      3.9 Deriváty všeobecných exponenciálnych a logaritmických funkcií
      3.10 Súvisiace sadzby
      Cvičenie na preskúmanie kapitoly

      Kapitola 4: Aplikácie derivátu
      4.1 Lineárna aproximácia a aplikácie
      4.2 Extrémne hodnoty
      4.3 Veta o strednej hodnote a monotónnosť
      4.4 Druhá derivácia a konkávnosť
      4.5 Pravidlo spoločnosti L’Hôpital
      4.6 Analýza a skicovanie grafov funkcií
      4.7 Aplikovaná optimalizácia
      4.8 Newtonova metóda
      Cvičenie na preskúmanie kapitoly

      Kapitola 5: Integrácia
      5.1 Aproximačná a výpočtová oblasť
      5.2 Definitívny integrál
      5.3 Neurčitý integrál
      5.4 Základná veta počtu, časť I
      5.5 Základná veta kalkulu, časť II
      5.6 Čistá zmena ako integrácia rýchlosti zmeny
      5.7 Substitučná metóda
      5.8 Ďalšie integrálne vzorce
      Cvičenie na preskúmanie kapitoly

      Kapitola 6: Aplikácie integrálu
      6.1 Oblasť medzi dvoma krivkami
      6.2 Nastavenie integrálov: objem, hustota, priemerná hodnota
      6.3 Objemy revolúcie: disky a podložky
      6.4 Zväzky revolúcie: valcové škrupiny
      6.5 Práca a energia
      Cvičenie na preskúmanie kapitoly

      Kapitola 7: Techniky integrácie
      7.1 Integrácia po častiach
      7.2 Trigonometrické integrály
      7.3 Trigonometrická substitúcia
      7.4 Integrály zahŕňajúce hyperbolické a inverzné hyperbolické funkcie
      7.5 Metóda čiastočných zlomkov
      7.6 Stratégie pre integráciu
      7.7 Nesprávne integrály
      7.8 Numerická integrácia
      Cvičenie na preskúmanie kapitoly

      Kapitola 8: Ďalšie aplikácie integrálu
      8.1 Pravdepodobnosť a integrácia
      8.2 Dĺžka oblúka a povrchová plocha
      8.3 Tlak a sila kvapaliny
      8.4 Masové centrum
      Cvičenie na preskúmanie kapitoly

      Kapitola 9: Úvod do diferenciálnych rovníc
      9.1 Riešenie diferenciálnych rovníc
      9.2 Modely s účasťou y ​​'= k (y-b)
      9.3 Grafické a numerické metódy
      9.4 Logistická rovnica
      9.5 Lineárne rovnice prvého rádu
      Cvičenie na preskúmanie kapitoly

      Kapitola 10: Nekonečné série
      10.1 Sekvencie
      10.2 Sčítanie nekonečnej série
      10.3 Konvergencia sérií s pozitívnymi pojmami
      10.4 Absolútna a podmienená konvergencia
      10.5 Pomerové a koreňové testy a stratégie pre výber testov
      10.6 Séria napájania
      10.7 Taylorove polynómy
      10.8 Taylorova séria
      Cvičenie na preskúmanie kapitoly

      Kapitola 11: Parametrické rovnice, polárne súradnice a kužeľovité rezy
      11.1 Parametrické rovnice
      11.2 Dĺžka a rýchlosť oblúka
      11.3 Polárne súradnice
      11.4 Plocha a dĺžka oblúka v polárnych súradniciach
      11.5 Kužeľové rezy
      Cvičenie na preskúmanie kapitoly

      Kapitola 12: Vektorová geometria
      12.1 Vektory v rovine
      12.2 Trojrozmerný priestor: povrchy, vektory a krivky
      12.3 Bodový produkt a uhol medzi dvoma vektormi
      12.4 Krížový produkt
      12,5 lietadla v 3 priestore
      12.6 Prieskum štvorcových povrchov
      12.7 Valcové a sférické súradnice
      Cvičenie na preskúmanie kapitoly

      Kapitola 13: Počet funkcií s vektorovou hodnotou
      13.1 Funkcie s vektorovou hodnotou
      13.2 Počet funkcií s vektorovou hodnotou
      13.3 Dĺžka a rýchlosť oblúka
      13.4 Zakrivenie
      13,5 Pohyb v 3-priestore
      13.6 Planetárny pohyb podľa Keplera a Newtona
      Cvičenie na preskúmanie kapitoly

      Kapitola 14: Diferenciácia v niekoľkých premenných
      14.1 Funkcie dvoch alebo viacerých premenných
      14.2 Limity a kontinuita vo viacerých premenných
      14.3 Čiastočné deriváty
      14.4 Diferencovateľnosť, tangenciálne roviny a lineárna aproximácia
      14.5 Gradientné a smerové deriváty
      14.6 Pravidlá reťazca početných premenných
      14.7 Optimalizácia vo viacerých premenných
      14.8 Lagrangeove multiplikátory: Optimalizácia s obmedzením
      Cvičenie na preskúmanie kapitoly

      Kapitola 15: Viacnásobná integrácia
      15.1 Integrácia v dvoch premenných
      15.2 Dvojité integrácie vo všeobecnejších regiónoch
      15.3 Trojité integrály
      15.4 Integrácia v polárnych, valcových a sférických súradniciach
      15.5 Aplikácie viacerých integrálov
      15.6 Zmena premenných
      Cvičenie na preskúmanie kapitoly

      Kapitola 16: Integrály čiary a plochy
      16.1 Vektorové polia
      16.2 Integrály riadkov
      16.3 Konzervatívne vektorové polia
      16.4 Parametrizované povrchy a povrchové integrály
      16.5 Povrchové integrály vektorových polí
      Cvičenie na preskúmanie kapitoly

      Kapitola 17: Základné vety vektorovej analýzy
      17.1 Greenova veta
      17.2 Stokesova veta
      17.3 Veta o divergencii
      Cvičenie na preskúmanie kapitoly

      Dodatky
      A. Jazyk matematiky
      B. Vlastnosti reálnych čísel
      C. Indukcia a binomická veta
      D. Dodatočné dôkazy

      ODPOVEDE NA Liché číslo REFERENCIE
      INDEX

      Dodatočný obsah je prístupný online na www.macmillanlearning.com/calculuset4e:

      Ďalšie dôkazy:
      Pravidlo spoločnosti L’Hôpital
      Chybné hranice pre číselné hodnoty
      Integrácia
      Porovnávací test pre nesprávne
      Integrály

      Dodatočný obsah:
      Diferenciál druhého rádu
      Rovnice
      Komplexné čísla

      Pozri dnu