Články

6.6: Okamihy a stredy omše


Učebné ciele

  • Nájdite ťažisko objektov rozmiestnených pozdĺž čiary.
  • Nájdite stred hmoty tenkého plechu.
  • Pomocou symetrie pomôžte lokalizovať ťažisko tenkej platne.
  • Aplikujte Pappovu vetu o objeme.

V tejto časti uvažujeme o centrách hmoty (nazývaných tiež centroidy, za určitých podmienok) a okamihov. Veľa z nás videlo účinkujúcich, ktorí roztáčajú taniere na koncoch tyčiniek. Účinkujúci sa snažia niekoľkých z nich udržať v rotácii bez toho, aby niektorému z nich umožnili spadnúť. Ak sa pozrieme na jeden tanier (bez toho, aby sme ho roztočili), na tanieri je sladké miesto, kde sa to na tyčinke dokonale vyrovná. Ak dáme palicu kamkoľvek okrem tohto sladkého miesta, tanier sa nevyváži a spadne na zem. (To je dôvod, prečo interpreti točia platne; točenie pomáha zabrániť pádu platní, aj keď palica nie je presne na správnom mieste.) Matematicky sa toto sladké miesto nazýva ťažisko tabuľky.

V tejto časti najskôr preskúmame tieto koncepty v jednorozmernom kontexte a potom náš rozvoj rozšírime o centrá hmotnosti dvojrozmerných oblastí a symetrie. Nakoniec pomocou centroidov nájdeme objem určitých pevných látok pomocou Pappovej vety.

Centrum omše a okamihov

Začnime pohľadom na ťažisko v jednorozmernom kontexte. Zvážte dlhý, tenký drôt alebo tyč so zanedbateľnou hmotnosťou spočívajúcou na opore, ako je to znázornené na obrázku ( PageIndex {1a} ). Teraz predpokladajme, že umiestnime objekty s hmotami (m_1 ) a (m_2 ) vo vzdialenostiach (d_1 ) a (d_2 ) od stredu otáčania, ako je to znázornené na obrázku ( PageIndex {1b} ) .

Najbežnejším príkladom systému, ako je tento, je hojdačka na ihrisku alebo balansovanie, kde deti rôznych váh sedia v rôznych vzdialenostiach od centra. Ak na hojdačke sedí na každom konci jedno dieťa, ťažšie dieťa klesne a ľahšie sa zdvihne do vzduchu. Ak sa však ťažšie dieťa zasunie smerom do stredu, hojdačka sa vyrovná. Pri uplatnení tohto konceptu na hmoty na tyči si všimneme, že hmoty sa navzájom vyvážia, len ak

[m_1d_1 = m_2d_2. nonumber ]

V príklade na hojdačke sme vyvážili systém pohybom hmôt (detí) vzhľadom na os otáčania. Nás však skutočne zaujímajú systémy, v ktorých sa masy nesmú pohybovať, a namiesto toho vyvážime systém pohybom otočného bodu. Predpokladajme, že máme dve bodové masy (m_1 ) a (m_2 ) umiestnené na číselnej čiare v bodoch (x_1 ) a (x_2 ) (obrázok ( PageIndex {2} )) ). Ťažisko ( bar {x} ) je bod, kam by sa malo umiestniť os otáčania, aby sa dosiahla rovnováha systému.

Teda máme

[ begin {align *} m_1 | x_1− bar {x} | & = m_2 | x_2− bar {x} | [4pt] m_1 ( bar {x} −x_1) & = m_2 (x_2− bar {x}) [4pt] m_1 bar {x} −m_1x_1 & = m_2x_2 − m_2 bar {x} [4pt] bar {x} (m_1 + m_2) & = m_1x_1 + m_2x_2 end {align *} ]

alebo

[ bar {x} = dfrac {m_1x_1 + m_2x_2} {m_1 + m_2} štítok {COM} ]

Výraz v čitateli rovnice ref {COM}, (m_1x_1 + m_2x_2 ), sa nazýva prvý okamih systému s ohľadom na pôvod. Ak je kontext jasný, často slovo vypustíme ako prvé a tento výraz iba označíme ako okamih systému. Výraz v menovateli (m_1 + m_2 ) je celková hmotnosť systému. Teda ťažisko hmoty systému je bod, v ktorom je možné sústrediť celkovú hmotnosť systému bez zmeny okamihu.

Táto myšlienka sa neobmedzuje iba na dve bodové masy. Všeobecne platí, že ak (n ) hmoty, (m_1, m_2, ..., m_n, ) sú umiestnené na číselnej čiare v bodoch (x_1, x_2, ..., x_n, ), potom ťažisko systému je dané

[ bar {x} = dfrac { displaystyle { sum_ {i = 1} ^ nm_ix_i}} { displaystyle { sum_ {i = 1} ^ nm_i}} ]

Stred hmoty objektov v jednej priamke

Nech (m_1, m_2, ..., m_n ) sú bodové hmoty umiestnené na číselnej čiare v bodoch (x_1, x_2, ..., x_n ), respektíve, a nech ( displaystyle m = sum_ {i = 1 } ^ nm_i ) označuje celkovú hmotnosť systému. Potom moment systému s ohľadom na pôvod je daný

[M = sum_ {i = 1} ^ nm_ix_i label {moment} ]

a ťažisko systému je daný

[ bar {x} = dfrac {M} {m}. label {COM2a} ]

Túto vetu použijeme v nasledujúcom príklade.

Príklad ( PageIndex {1} ): Nájdenie ťažiska objektov pozdĺž línie

Predpokladajme, že štyri bodové hmoty sú umiestnené na číselnej čiare takto:

  • (m_1 = 30 , kg, ) umiestnené na (x_1 = −2m )
  • (m_2 = 5 , kg, ) umiestnené na (x_2 = 3 m )
  • (m_3 = 10 , kg, ) umiestnené na (x_3 = 6m )
  • (m_4 = 15 , kg, ) umiestnené na (x_4 = -3 m. )

Riešenie

Nájdite okamih systému vzhľadom na pôvod a nájdite ťažisko systému.

Najprv musíme vypočítať okamih systému (Rovnica ref {moment}):

[ begin {align *} M & = sum_ {i = 1} ^ 4m_ix_i [4pt] & = −60 + 15 + 60−45 [4pt] & = - 30. end {zarovnať *} ]

Teraz, aby sme našli ťažisko, potrebujeme celkovú hmotnosť systému:

[ begin {align *} m & = sum_ {i = 1} ^ 4m_i [4pt] & = 30 + 5 + 10 + 15 [4pt] & = 60 , kg end {align * } ]

Potom máme (z Rovnice ref {COM2a})

( bar {x} - = dfrac {M} {m} = - dfrac {30} {60} = - dfrac {1} {2} ).

Ťažisko sa nachádza 1/2 m naľavo od začiatku.

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Predpokladajme, že štyri bodové hmoty sú umiestnené na číselnej čiare takto:

  • (m_1 = 12 , kg ) umiestnené na (x_1 = −4m )
  • (m_2 = 12 , kg ) umiestnené na (x_2 = 4m )
  • (m_3 = 30 , kg ) umiestnené na (x_3 = 2 m )
  • (m_4 = 6 , kg, ) umiestnené na (x_4 = −6m. )

Nájdite okamih systému vzhľadom na pôvod a nájdite ťažisko systému.

Pomôcka

Použite postup z predchádzajúceho príkladu.

Odpoveď

(M = 24, bar {x} = dfrac {2} {5} m )

Tento koncept môžeme zovšeobecniť na nájdenie ťažiska systému bodových hmôt v rovine. Nech (m_1 ) je bodová hmota nachádzajúca sa v bode ((x_1, y_1) ) v rovine. Potom je moment (M_x ) hmotnosti vzhľadom na os (x ) - daný (M_x = m_1y_1 ). Podobne je daný okamih (M_y ) vzhľadom na os (y ) -

[M_y = m_1x_1. ]

Všimnite si, že (x ) - súradnica bodu sa používa na výpočet momentu vzhľadom na os (y ) - a naopak. Dôvod je ten, že súradnica (x ) - udáva vzdialenosť od bodovej hmotnosti k osi (y ) - a súradnica (y ) - udáva vzdialenosť k osi (x ) - (pozri nasledujúci obrázok).

Ak máme viac bodových hmot v rovine (xy ) -, môžeme na výpočet (x ) - a použiť momenty vzhľadom na osi (x ) - a (y ) - (y ) - súradnice ťažiska systému.

Stred hmoty objektov v rovine

Nech (m_1 ), (m_2 ), ..., (m_n ) sú bodové masy nachádzajúce sa v (xy ) - rovine v bodoch ((x_1, y_1), (x_2, y_2), ... , (x_n, y_n), ) respektíve a nech ( Displaystyle m = sum_ {i = 1} ^ nm_i ) označuje celkovú hmotnosť systému. Potom sú momenty (M_x ) a (M_y ) systému vzhľadom na osi (x ) - a (y ) - dané príslušne

[M_x = sum_ {i = 1} ^ nm_iy_i label {COM1} ]

a

[M_y = sum_ {i = 1} ^ nm_ix_i. label {COM2} ]

Taktiež súradnice ťažiska (( bar {x}, bar {y}) ) sú

[ bar {x} = dfrac {M_y} {m} label {COM3} ]

a

[ bar {y} = dfrac {M_x} {m}. label {COM4} ]

Nasledujúci príklad demonštruje, ako je možné použiť vzorec hmotnosti (Rovnice ref {COM1} - ref {COM4}).

Príklad ( PageIndex {2} ): Nájdenie ťažiska objektov v rovine

Predpokladajme, že do bodovej roviny (xy ) sú umiestnené tri bodové hmoty takto (predpokladajme súradnice v metroch):

  • (m_1 = 2 , kg ) umiestnené na ((- 1,3), )
  • (m_2 = 6 , kg ) umiestnené na ((1,1), )
  • (m_3 = 4 , kg ) umiestnené na ((2, -2). )

Nájdite ťažisko systému.

Riešenie

Najskôr vypočítame celkovú hmotnosť systému:

[m = sum_ {i = 1} ^ 3m_i = 2 + 6 + 4 = 12 , kg. nonumber ]

Ďalej nájdeme momenty vzhľadom na osi (x ) - a (y ):

[ begin {align *} M_y & = sum_ {i = 1} ^ 3m_ix_i = −2 + 6 + 8 = 12, [4pt] M_x & = sum_ {i = 1} ^ 3m_iy_i = 6 + 6-8 = 4. end {zarovnať *} ]

Potom máme

[ bar {x} = dfrac {M_y} {m} = dfrac {12} {12} = 1 nonumber ]

a

[ bar {y} = dfrac {M_x} {m} = dfrac {4} {12} = dfrac {1} {3}. nonumber ]

Ťažisko systému je ((1,1 / 3), ) v metroch.

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Predpokladajme, že tri bodové hmoty sú umiestnené na číselnej čiare nasledovne (predpokladajme súradnice v metroch):

  • (m_1 = 5 , kg, ) umiestnené na ((- 2, -3), )
  • (m_2 = 3 , kg, ) umiestnené na ((2,3), )
  • (m_3 = 2 , kg, ) umiestnené na ((- - 3, -2). )

Nájdite ťažisko systému.

Pomôcka

Použite postup z predchádzajúceho príkladu.

Odpoveď

((- 1, -1) ) m

Centrum hmotnosti tenkých dosiek

Doteraz sme sa pozreli na systémy bodových hmôt na priamke a v rovine. Teraz, namiesto toho, aby sme hmotu systému sústredili v diskrétnych bodoch, sa chceme pozrieť na systémy, v ktorých je hmota systému distribuovaná kontinuálne cez tenký plát materiálu. Pre naše účely predpokladáme, že list je dostatočne tenký, aby sa s ním dalo zaobchádzať, akoby bol dvojrozmerný. Takýto list sa nazýva a lamina. Ďalej vyvíjame techniky na nájdenie ťažiska laminy. V tejto časti tiež predpokladáme, že hustota laminy je konštantná.

Laminy sú často reprezentované dvojrozmernou oblasťou v rovine. Geometrický stred takéhoto regiónu sa nazýva jeho ťažiskový. Pretože sme predpokladali, že hustota laminy je konštantná, ťažisko laminy závisí iba od tvaru zodpovedajúcej oblasti v rovine; nezávisí to od hustoty. V tomto prípade ťažisko vrstvy zodpovedá ťažisku vymedzenej oblasti v rovine. Rovnako ako v prípade systémov bodových hmôt musíme nájsť celkovú hmotnosť laminy, ako aj momenty laminy vzhľadom na osi (x ) - a (y ) -.

Najprv zvážime laminu v tvare obdĺžnika. Pripomeňme si, že ťažisko laminy je bod, v ktorom sa lamina vyrovnáva. Pre obdĺžnik je tento bod vodorovným aj zvislým stredom obdĺžnika. Na základe tohto porozumenia je zrejmé, že ťažisko obdĺžnikovej vrstvy je bod, v ktorom sa pretínajú uhlopriečky, čo je výsledkom princíp symetrie, a je to tu uvedené bez dokladu.

Princíp symetrie

Ak je oblasť (R ) symetrická okolo priamky (l ), potom ťažisko (R ) leží na (l ).

Poďme k všeobecnejším laminám. Predpokladajme, že máme laminu ohraničenú vyššie grafom spojitej funkcie (f (x) ), dole osou (x ) - a zľava a doprava čiarami (x = a ) a (x = b ), v danom poradí, ako je znázornené na nasledujúcom obrázku.

Rovnako ako u systémov bodových hmôt, aby sme našli ťažisko laminy, musíme nájsť celkovú hmotnosť laminy, ako aj momenty laminy vzhľadom na (x ) - a (y ) - osi. Ako sme už mnohokrát urobili, aproximujeme tieto veličiny rozdelením intervalu ([a, b] ) a zostrojením obdĺžnikov.

Pre (i = 0,1,2, ..., n, ) nech (P = {x_i} ) bude bežný oddiel ([a, b] ). Pripomeňme, že môžeme zvoliť ľubovoľný bod v intervale ([x_ {i − 1}, x_i] ) ako náš (x ^ ∗ _ i ). V takom prípade chceme, aby (x ^ ∗ _ i ) bolo X- súradnica ťažiska našich obdĺžnikov. Pre (i = 1,2, ..., n ) teda vyberieme (x ^ ∗ _ i∈ [x_ {i − 1}, x_i] ) také, že (x ^ ∗ _ i ) je stred intervalu. To znamená, (x ^ ∗ _ i = (x_ {i − 1} + x_i) / 2 ). Teraz pre (i = 1,2, ..., n, ) zostrojte obdĺžnik výšky (f (x ^ ∗ _ i) ) na ([x_ {i − 1}, x_i]. ) ťažisko tohto obdĺžnika je ((x ^ ∗ _ i, (f (x ^ ∗ _ i)) / 2), ), ako je znázornené na nasledujúcom obrázku.

Ďalej musíme zistiť celkovú hmotnosť obdĺžnika. Nech (ρ ) predstavuje hustotu vrstvy (všimnite si, že (ρ ) je konštanta). V tomto prípade je (ρ ) vyjadrené ako hmotnosť na jednotku plochy. Aby sme teda našli celkovú hmotnosť obdĺžnika, vynásobíme plochu obdĺžnika (ρ ). Potom je hmotnosť obdĺžnika daná vzťahom (ρf (x ^ ∗ _ i) Δx ).

Aby sme dostali približnú hmotnosť vrstvy, pridáme hmotnosti všetkých obdĺžnikov, ktoré dostaneme

[m≈ sum_ {i = 1} ^ nρf (x ^ ∗ _ i) Δx. label {eq51} ]

Rovnica ref {eq51} je Riemannova suma. Ak vezmeme limit ako (n → ∞ ), dostaneme presnú hmotnosť laminy:

[ begin {align *} m & = lim_ {n → ∞} sum_ {i = 1} ^ nρf (x ^ ∗ _ i) Δx [4pt] & = ρ∫ ^ b_af (x) dx. end {zarovnať *} ]

Ďalej vypočítame moment laminy vzhľadom na os x. Keď sa vrátime k reprezentatívnemu obdĺžniku, spomenieme si, že jeho ťažisko je ((x ^ ∗ _ i, (f (x ^ ∗ _ i)) / 2) ). Pripomeňme tiež, že zaobchádzanie s obdĺžnikom, akoby išlo o bodovú hmotu umiestnenú v strede hmoty, nemení okamih. Takže okamih obdĺžnika vzhľadom na os x je daný hmotnosťou obdĺžnika, (ρf (x ^ ∗ _ i) Δx ), vynásobenou vzdialenosťou od stredu hmoty k osi x. : ((f (x ^ ∗ _ i)) / 2 ). Preto je okamih vzhľadom na os x obdĺžnika (ρ ([f (x ^ ∗ _ i)] ^ 2/2) Δx. ) Sčítanie momentov obdĺžnikov a výpočet limitu výsledného Riemannov súčet vidíme, že okamih laminy vzhľadom na os x je

[ begin {align *} M_x & = lim_ {n → ∞} sum_ {i = 1} ^ nρ dfrac {[f (x ^ ∗ _ i)] ^ 2} {2} Δx [4 pt ] & = ρ∫ ^ b_a dfrac {[f (x)] ^ 2} {2} dx. end {zarovnať *} ]

Moment odvodíme podobne od osi y s tým, že vzdialenosť od stredu hmoty obdĺžnika k r-os je (x ^ ∗ _ i ). Potom okamih lamina vzhľadom na r-osa je daná

[ begin {align *} M_y & = lim_ {n → ∞} sum_ {i = 1} ^ nρx ^ ∗ _ if (x ^ ∗) i) Δx [4pt] & = ρ∫ ^ b_axf ( x) dx. end {zarovnať *} ]

Nájdeme súradnice stredu hmoty vydelením momentov celkovou hmotnosťou, čím dostaneme ( bar {x} = M_y / m ) a ( bar {y} = M_x / m ). Ak sa pozrieme pozorne na výrazy (M_x, M_y ) a (m ), všimneme si, že konštanta (ρ ) sa zruší, keď ( bar {x} ) a ( bar {y} ).

Tieto objavy zhŕňame v nasledujúcej vete.

Ťažisko tenkej dosky v rovine xy

Nech R označuje oblasť ohraničenú vyššie grafom spojitej funkcie (f (x) ), nižšie znakom X-osa a vľavo a vpravo riadkami (x = a ) a (x = b ). Nech (ρ ) označuje hustotu združenej vrstvy. Potom môžeme urobiť nasledujúce vyhlásenia:

  1. Hmotnosť vrstvy je [m = ρ∫ ^ b_af (x) dx. label {eq4a} ]
  2. Momenty (M_x ) a (M_y ) laminy vzhľadom na X- a r-axy sú [M_x = ρ∫ ^ b_a dfrac {[f (x)] ^ 2} {2} dx label {eq4b} ] a [M_y = ρ∫ ^ b_axf (x) dx . label {eq4c} ]
  3. Súradnice ťažiska (( bar {x}, bar {y}) ) sú [ bar {x} = dfrac {M_y} {m} label {eq4d} ] a [ bar {y} = dfrac {M_x} {m}. label {eq4e} ]

V nasledujúcom príklade použijeme túto vetu na nájdenie ťažiska laminy.

Príklad ( PageIndex {3} ): Nájdenie ťažiska laminy

Nech R je oblasť ohraničená vyššie grafom funkcie (f (x) = sqrt {x} ) a pod ňou X-osa za interval ([0,4] ). Nájdite ťažisko regiónu.

Riešenie

Región je znázornený na nasledujúcom obrázku.

Pretože sa od nás žiada iba ťažisko oblasti, nie hmotnosť alebo momenty združenej laminy, vieme, že konštanta hustoty (ρ ) sa z výpočtov nakoniec zruší. Z dôvodu pohodlia teda predpokladajme (ρ = 1 ).

Najprv musíme vypočítať celkovú hmotnosť (Rovnica ref {eq4a}):

[ begin {align *} m & = ρ∫ ^ b_af (x) dx [4pt] & = ∫ ^ 4_0 sqrt {x} dx [4pt] & = dfrac {2} {3} x ^ {3/2} ∣ ^ 4_0 [4pt] & = dfrac {2} {3} [8−0] [4pt] & = dfrac {16} {3}. end {zarovnať *} ]

Ďalej vypočítame momenty (Rovnica ref {eq4d}):

[ begin {align *} M_x & = ρ∫ ^ b_a dfrac {[f (x)] ^ 2} {2} dx [4pt] & = ∫ ^ 4_0 dfrac {x} {2} dx [4pt] & = dfrac {1} {4} x ^ 2∣ ^ 4_0 [4pt] & = 4 end {zarovnať *} ]

a (Rovnica ref {eq4c}):

[ begin {align *} M_y & = ρ∫ ^ b_axf (x) dx [4pt] & = ∫ ^ 4_0x sqrt {x} dx [4pt] & = ∫ ^ 4_0x ^ {3/2 } dx [4pt] & = dfrac {2} {5} x ^ {5/2} ∣ ^ 4_0 [4pt] & = dfrac {2} {5} [32−0] [ 4pt] & = dfrac {64} {5}. end {zarovnať *} ]

Máme teda (Rovnica ref {eq4d}):

[ begin {align *} bar {x} & = dfrac {M_y} {m} [4pt] & = dfrac {64/5} {16/3} [4pt] & = dfrac {64} {5} ⋅ dfrac {3} {16} [4pt] & = dfrac {12} {5} end {align *} ]

a (Rovnica ref {eq4e}):

[ begin {align *} bar {y} & = dfrac {M_x} {y} [4pt] & = dfrac {4} {16/3} [4pt] & = 4⋅ dfrac {3} {16} [4pt] & = dfrac {3} {4}. end {zarovnať *} ]

Ťažisko oblasti je ((12 / 5,3 / 4). )

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Nech (R ) je oblasť ohraničená vyššie grafom funkcie (f (x) = x ^ 2 ) a pod ňou X-osa za interval ([0,2]. ) Nájde ťažisko oblasti.

Pomôcka

Použite postup z predchádzajúceho príkladu.

Odpoveď

Ťažisko oblasti je ((3 / 2,6 / 5). )

Tento prístup môžeme prispôsobiť, aby sme našli aj centrály zložitejších oblastí. Predpokladajme, že naša oblasť je vyššie ohraničená grafom spojitej funkcie (f (x) ), ako predtým, ale teraz namiesto dolnej hranice oblasti musí byť X-osa, predpokladajme, že oblasť je obmedzená nižšie grafom druhej spojitej funkcie (g (x) ), ako je znázornené na obrázku ( PageIndex {7} ).

Opäť rozdelíme interval ([a, b] ) a zostrojíme obdĺžniky. Reprezentatívny obdĺžnik je zobrazený na obrázku ( PageIndex {8} ).

Upozorňujeme, že ťažisko tohto obdĺžnika je ((x ^ ∗ _ i, (f (x ^ ∗ _ i) + g (x ^ ∗ _ i)) / 2) ). Neprejdeme všetky podrobnosti vývoja Riemannovho súčtu, ale pozrime sa na niektoré kľúčové kroky. Pri vývoji vzorcov pre hmotnosť vrstvy a momentu vzhľadom na r-osa, výška každého obdĺžnika je daná znakom (f (x ^ ∗ _ i) −g (x ^ ∗ _ i) ), čo vedie k výrazu (f (x) gg (x) ) v celé čísla.

Pri vývoji vzorca pre okamih vzhľadom na os x sa okamih každého obdĺžnika zistí vynásobením plochy obdĺžnika, (ρ [f (x ^ ∗ _ i) −g (x ^ ∗ _ i )] Δx, ) o vzdialenosť ťažiska od osi (x ) - ((f (x ^ ∗ _ i) + g (x ^ ∗ _ i)) / 2 ), ktorá dáva ( ρ (1/2) {[f (x ^ ∗ _ i)] ^ 2− [g (x ^ ∗ _ i)] ^ 2} Δx ). Ak zhrnieme tieto zistenia, dospejeme k nasledujúcej vete.

Centrum hmotnosti laminy ohraničené dvoma funkciami

Nech (R ) označuje oblasť ohraničenú vyššie grafom spojitej funkcie (f (x), ) nižšie grafom spojitej funkcie (g (x) ) a vľavo a vpravo riadkami (x = a ) a (x = b ). Potom môžeme urobiť nasledujúce vyhlásenia:

  1. Hmotnosť vrstvy je [m = ρ∫ ^ b_a [f (x) −g (x)] dx. ]
  2. Momenty (M_x ) a (M_y ) laminy vzhľadom na osi x a y sú M_x = ρ∫ ^ b_a12 ([f (x)] ^ 2− [g (x)] ^ 2) dx ] a [M_y = ρ∫ ^ b_ax [f (x) −g (x)] dx. ]
  3. Súradnice ťažiska ( bar {x}, bar {y}) ) sú [ bar {x} = dfrac {M_y} {m} ] a [ bar {y} = dfrac {M_x} {m} ]

Túto vetu ilustrujeme v nasledujúcom príklade.

Príklad ( PageIndex {4} ): Nájdenie ťažiska oblasti ohraničenej dvoma funkciami

Poďme R byť oblasťou ohraničenou vyššie grafom funkcie (f (x) = 1 − x ^ 2 ) a nižšie grafom funkcie (g (x) = x − 1. ) Nájdite ťažisko región.

Riešenie

Región je znázornený na nasledujúcom obrázku.

Grafy funkcií sa pretínajú na ((- 2, -3) ) a ((1,0) ), takže ich integrujeme od −2 do 1. Z praktických dôvodov opäť predpokladajme ( ρ = 1 ).

Najskôr musíme vypočítať celkovú hmotnosť:

[ begin {align *} m & = ρ∫ ^ b_a [f (x) −g (x)] dx [4pt] & = ∫ ^ 1 _ {- 2} [1 − x ^ 2− (x −1)] dx [4pt] & = ∫ ^ 1 _ {- 2} (2 − x ^ 2 − x) dx [4pt] & = doľava [2x− dfrac {1} {3} x ^ 3− dfrac {1} {2} x ^ 2 vpravo] ∣ ^ 1 _ {- 2} [4pt] & = doľava [2− dfrac {1} {3} - dfrac {1} {2} right] - left [−4+ dfrac {8} {3} −2 right] [4pt] & = dfrac {9} {2}. end {zarovnať *} ]

Ďalej vypočítame momenty:

[ begin {align *} M_x & = ρ∫ ^ b_a dfrac {1} {2} ([f (x)] ^ 2− [g (x)] ^ 2) dx [4pt] & = dfrac {1} {2} ∫ ^ 1 _ {- 2} ((1 − x ^ 2) ^ 2− (x − 1) ^ 2) dx [4pt] & = dfrac {1} {2} ∫ ^ 1 _ {- 2} (x ^ 4−3x ^ 2 + 2x) dx [4pt] & = dfrac {1} {2} doľava [ dfrac {x ^ 5} {5} −x ^ 3 + x ^ 2 right] ∣ ^ 1 _ {- 2} [4pt] & = - dfrac {27} {10} end {align *} ]

a

[ begin {align *} M_y & = ρ∫ ^ b_ax [f (x) −g (x)] dx [4pt] & = ∫ ^ 1 _ {- 2} x [(1 − x ^ 2) - (x − 1)] dx [4pt] & = ∫ ^ 1 _ {- 2} x [2 − x ^ 2 − x] dx [4pt] & = ∫ ^ 1 _ {- 2} (2x− x ^ 4 − x ^ 2) dx [4pt] & = doľava [x ^ 2− dfrac {x ^ 5} {5} - dfrac {x ^ 3} {3} doprava] ∣ ^ 1_ {−2} [4pt] & = - dfrac {9} {4}. end {zarovnať *} ]

Preto máme

[ begin {align *} bar {x} & = dfrac {M_y} {m} [4pt] & = - dfrac {9} {4} ⋅ dfrac {2} {9} [4pt] & = - dfrac {1} {2} end {align *} ]

a

[ begin {align *} bar {y} & = dfrac {M_x} {y} [4pt] & = - dfrac {27} {10} ⋅ dfrac {2} {9} [4pt] & = - dfrac {3} {5}. end {zarovnať *} ]

Ťažisko oblasti je ((- (1/2), - (3/5)). )

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Nech (R ) je oblasť ohraničená vyššie grafom funkcie (f (x) = 6 − x ^ 2 ) a dole grafom funkcie (g (x) = 3−2x.) ) Nájdite ťažisko regiónu.

Pomôcka

Použite postup z predchádzajúceho príkladu.

Odpoveď

Ťažisko oblasti je ((1,13 / 5). )

Princíp symetrie

Princíp symetrie sme uviedli skôr, keď sme sa pozerali na ťažisko obdĺžnika. Princíp symetrie môže byť veľkou pomocou pri hľadaní centroidov oblastí, ktoré sú symetrické. Uvažujme o nasledujúcom príklade.

Príklad ( PageIndex {5} ): Nájdenie ťažiska symetrickej oblasti

Nech R je oblasť ohraničená vyššie grafom funkcie (f (x) = 4 − x ^ 2 ) a dole osou x. Nájdite ťažisko regiónu.

Riešenie

Región je znázornený na nasledujúcom obrázku

Región je symetrický vzhľadom na r- os. Preto je súradnica x ťažiska nula. Potrebujeme iba vypočítať ( bar {y} ). Z dôvodu zjednodušenia ešte raz predpokladajme (ρ = 1 ).

Najskôr vypočítame celkovú hmotnosť:

[ begin {align *} m & = ρ∫ ^ b_af (x) dx [4pt] & = ∫ ^ 2 _ {- 2} (4 − x ^ 2) dx [4pt] & = left [4x− dfrac {x ^ 3} {3} vpravo] ∣ ^ 2 _ {- 2} [4pt] & = dfrac {32} {3}. end {zarovnať *} ]

Ďalej vypočítame momenty. Potrebujeme iba (M_x ):

[ begin {align *} M_x & = ρ∫ ^ b_a dfrac {[f (x)] ^ 2} {2} dx [4pt] & = dfrac {1} {2} ∫ ^ 2_ { −2} doľava [4 − x ^ 2 doprava] ^ 2dx = dfrac {1} {2} ∫ ^ 2 _ {- 2} (16−8x ^ 2 + x ^ 4) dx [4pt] & = dfrac {1} {2} doľava [ dfrac {x ^ 5} {5} - dfrac {8x ^ 3} {3} + 16x doprava] ∣ ^ 2 _ {- 2} = dfrac {256 } {15} end {align *} ]

Potom máme

[ bar {y} = dfrac {M_x} {y} = dfrac {256} {15} ⋅ dfrac {3} {32} = dfrac {8} {5}. nonumber ]

Ťažisko oblasti je ((0,8 / 5). )

Cvičenie ( PageIndex {5} )

Nech (R ) je oblasť ohraničená vyššie grafom funkcie (f (x) = 1 − x ^ 2 ) a dole osou (x ). Nájdite ťažisko regiónu.

Pomôcka

Použite postup z predchádzajúceho príkladu.

Odpoveď

Ťažisko oblasti je ((0,2 / 5). )

Veľký kaňon Skywalk

Grand Canyon Skywalk bol otvorený pre verejnosť 28. marca 2007. Tento technický zázrak je podkova v tvare vyhliadkovej plošiny zavesenej 4000 stôp nad riekou Colorado na západnom okraji Grand Canyonu. Jeho krištáľovo čistá sklenená podlaha umožňuje úžasný výhľad na kaňon nižšie (pozri nasledujúci obrázok).

Skywalk je konzolový dizajn, čo znamená, že vyhliadková plošina sa rozprestiera cez okraj kaňonu a pod ním nie sú viditeľné žiadne podporné prostriedky. Napriek chýbajúcim viditeľným oporným stĺpikom alebo vzperám sú konzolové konštrukcie navrhnuté tak, aby boli veľmi stabilné, a Skywalk nie je výnimkou. Vyhliadková plošina je pevne pripevnená k podperným stĺpikom, ktoré siahajú 46 stôp dole do podložia. Štruktúra bola postavená tak, aby odolávala vetrom s rýchlosťou 100 míľ za hodinu a zemetraseniu o sile 8,0 stupňa do 50 míľ a je schopná pojať viac ako 70 000 000 lb.

Jedným z faktorov ovplyvňujúcich stabilitu Skywalk je ťažisko konštrukcie. Ideme vypočítať ťažisko Skywalku a preskúmať, ako sa mení ťažisko, keď turisti vyjdú na vyhliadkovú plošinu.

Vyhliadková plošina má tvar U. Končatiny U sú široké 10 stôp a začínajú na súši pod centrom návštevníkov, 48 stôp od okraja kaňonu. Plošina sa rozprestiera 70 stôp cez okraj kaňonu.

Na výpočet ťažiska konštrukcie sa s ním zaobchádza ako s laminou a na predstavenie plošiny používame dvojrozmernú oblasť v rovine xy. Začíname tým, že sa región rozdelí na tri podoblasti, aby sme mohli uvažovať o každom podoblasti osobitne. Prvá oblasť, označená (R_1 ), sa skladá zo zakrivenej časti U. Modelujeme (R_1 ) ako polkruhový prstenec, s vnútorným polomerom 25 stôp a vonkajším polomerom 35 stôp so stredom na počiatku (obrázok ( PageIndex {12} )).

Nohy nástupišťa, ktoré sa rozprestierajú na 35 stôp medzi (R_1 ) a stenou kaňonu, tvoria druhú podoblasť (R_2 ). Nakoniec konce končatín, ktoré siahajú 48 stôp pod návštevnícke centrum, tvoria tretiu podoblasť (R_3 ). Predpokladajme, že hustota vrstiev je konštantná a predpokladajme, že celková hmotnosť platformy je 1 200 000 lb (bez hmotnosti návštevníckeho centra; zvážime to neskôr). Použite (g = 32 ; ft / s ^ 2 ).

  1. Vypočítajte plochu každého z troch subregiónov. Upozorňujeme, že oblasti regiónov (R_2 ) a (R_3 ) by mali obsahovať iba oblasti nôh, nie voľný priestor medzi nimi. Zaokrúhlené odpovede na najbližší štvorcový meter.
  2. Určte hmotnosť spojenú s každým z troch podoblastí.
  3. Vypočítajte ťažisko každej z troch podoblastí.
  4. Teraz považujte každú z troch podoblastí za bodovú hmotu nachádzajúcu sa v strede hmoty zodpovedajúcej podoblasti. Pomocou tohto znázornenia vypočítajte ťažisko celej platformy.
  5. Predpokladajme, že návštevnícke centrum váži 2 200 000 lb, pričom ťažisko zodpovedá ťažisku (R_3 ). Zaobchádzajte s návštevníckym centrom ako s bodovou hmotou, prepočítajte ťažisko systému. Ako sa mení centrum hmoty?
  6. Aj keď bol Skywalk postavený tak, aby obmedzil počet ľudí na vyhliadkovej plošine na 120, je platforma schopná pojať až 800 ľudí s váhou 200 lb každý. Keby bolo na plošinu povolených všetkých 800 ľudí a všetci by išli na najvzdialenejší koniec plošiny, ako by to ovplyvnilo ťažisko systému? (Zahrňte do výpočtov návštevnícke centrum a predstavujte ľudí bodovou hmotou umiestnenou na najvzdialenejšom okraji plošiny, 70 stôp od steny kaňonu.)

Pappusova veta

Táto časť sa končí diskusiou o Pappusova veta o objeme, čo nám umožňuje nájsť objem konkrétnych druhov pevných látok pomocou ťažiska. (Existuje tiež Pappova veta o povrchovej ploche, ale je oveľa menej užitočná ako veta o objeme.)

Pappusova veta pre objem

Nech (R ) je oblasť v rovine a nech l je čiara v rovine, ktorá sa nepretína (R ). Potom sa objem rotačného telesa vytvoreného otáčaním (R ) okolo l rovná ploche (R ) vynásobenej vzdialenosťou d cestoval s ťažiskom (R ).

Dôkaz

Môžeme dokázať prípad, keď je oblasť ohraničená grafom funkcie (f (x) ) a grafom funkcie (g (x) ) nad intervalom ([a, b ] ), a pre ktorú je osou otáčania os (y ) -. V tomto prípade je oblasť regiónu ( Displaystyle A = ∫ ^ b_a [f (x) −g (x)] , dx ). Pretože osou otáčania je os (y ), vzdialenosť prejdená ťažiskom oblasti závisí iba od súradnice (x ) - ťažiska ( bar {x} ), ktorá je

[x = dfrac {M_y} {m}, ]

kde

[m = ρ∫ ^ b_a [f (x) −g (x)] dx ]

a

[M_y = ρ∫ ^ b_ax [f (x) −g (x)] dx. ]

Potom,

[d = 2π dfrac { displaystyle {ρ∫ ^ b_ax [f (x) −g (x)] dx}} { displaystyle {ρ∫ ^ b_a [f (x) −g (x)] dx} } ]

a teda

[d⋅A = 2π∫ ^ b_ax [f (x) −g (x)] dx. ]

Avšak pomocou metódy valcových škrupín máme

[V = 2π∫ ^ b_ax [f (x) −g (x)] dx. ]

Takže

[V = d⋅A ]

a dokaz je kompletny.

Príklad ( PageIndex {6} ): Použitie vety Pappusa pre zväzok

Nech (R ) je kruh s polomerom 2 so stredom na ((4,0). ) Pomocou Pappovej vety o objeme nájdite objem torusu generovaného otáčaním (R ) okolo ( y ) - os.

Riešenie

Oblasť a torus sú zobrazené na nasledujúcom obrázku.

Oblasť (R ) je kruh s polomerom 2, takže oblasť R je (A = 4π ; text {jednotky} ^ 2 ). Podľa princípu symetrie je ťažisko R stredom kruhu. Ťažisko sa pohybuje okolo osi (y ) - v kruhovej dráhe s polomerom 4, takže ťažisko cestuje (d = 8π ) jednotiek. Potom je objem torusu (A⋅d = 32π ^ 2 ) jednotiek3.

Cvičenie ( PageIndex {6} )

Nech R je kruh s polomerom 1 so stredom na ((3,0). ) Pomocou Pappovej vety o objeme nájdite objem torusu generovaný otáčaním R okolo osi (y ) -.

Pomôcka

Použite postup z predchádzajúceho príkladu.

Odpoveď

(6π ^ 2 ) jednotky3

Kľúčové koncepty

  • Matematicky je ťažisko systému bod, v ktorom je možné sústrediť celkovú hmotnosť systému bez zmeny okamihu. Voľne povedané, ťažisko možno považovať za rovnovážny bod systému.
  • Pre bodové hmoty rozložené pozdĺž číselnej priamky je moment systému vzhľadom na počiatok ( Displaystyle M = súčet ^ n_ {i = 1} m_ix_i. ) Pre bodové hmoty rozložené v rovine sú momenty systém vzhľadom na (x ) - a (y ) - osi sú príslušne ( Displaystyle M_x = sum ^ n_ {i = 1} m_iy_i ) a ( displaystyle M_y = suma ^ n_ {i =} m_ix_i ).
  • Pre vyššie ohraničenú vrstvu funkciou (f (x) ) sú momenty systému vzhľadom na osi (x ) - a (y ) - ( Displaystyle M_x = ρ∫ ^ b_a dfrac {[f (x)] ^ 2} {2} , dx ) a ( displaystyle M_y = ρ∫ ^ b_axf (x) , dx. )
  • Súradnice (x ) - a (y ) - stredu hmoty možno nájsť vydelením momentov okolo osi (y ) - a okolo osi (x ) - o celková hmotnosť. Princíp symetrie hovorí, že ak je oblasť symetrická vzhľadom na úsečku, potom ťažisko oblasti leží na úsečke.
  • Pappusova veta o objeme hovorí, že ak sa oblasť otáča okolo vonkajšej osi, objem výslednej pevnej látky sa rovná ploche oblasti vynásobenej vzdialenosťou prejdenou ťažiskom oblasti.

Kľúčové rovnice

  • Hmotnosť laminy

( Displaystyle m = ρ∫ ^ b_af (x) dx )

  • Momenty laminy

( Displaystyle M_x = ρ∫ ^ b_a dfrac {[f (x)] ^ 2} {2} , dx text {a} M_y = ρ∫ ^ b_axf (x) , dx )

  • Ťažisko laminy

( bar {x} = dfrac {M_y} {m} text {a} bar {y} = dfrac {M_x} {m} )

Glosár

ťažisko hmoty
bod, v ktorom sa mohla sústrediť celková hmotnosť systému bez zmeny okamihu
ťažiskový
ťažisko oblasti je geometrický stred oblasti; laminy sú často reprezentované oblasťami v rovine; ak má vrstva konštantnú hustotu, ťažisko vrstvy závisí iba od tvaru zodpovedajúcej rovinnej oblasti; v tomto prípade ťažisko laminy zodpovedá ťažisku reprezentatívnej oblasti
lamina
tenký plát materiálu; laminy sú dostatočne tenké, aby sa s nimi mohlo z matematických dôvodov zaobchádzať, akoby boli dvojrozmerné
okamih
ak je n čísel usporiadaných na číselnej rade, okamih systému vzhľadom na pôvod je daný ( Displaystyle M = súčet ^ n_ {i = 1} m_ix_i ); ak namiesto toho uvažujeme oblasť v rovine, ohraničenú vyššie funkciou (f (x) ) v intervale ([a, b] ), potom momenty oblasti vzhľadom na ( x ) - a (y ) - osi sú dané ( Displaystyle M_x = ρ∫ ^ b_a dfrac {[f (x)] ^ 2} {2} , dx ) a ( displaystyle M_y = ρ∫ ^ b_axf (x) , dx )
princíp symetrie
princíp symetrie hovorí, že ak je oblasť (R ) symetrická okolo priamky (I ), potom ťažisko (R ) leží na (I )
Pappusova veta o objeme
táto veta uvádza, že objem rotačného telesa vytvoreného otáčaním oblasti okolo vonkajšej osi sa rovná ploche oblasti vynásobenej vzdialenosťou prejdenou ťažiskom oblasti

Okamžiky a ťažisko hmoty

& quot; Mom & quot; vo fyzike je daný $ text krát text$ .

Keď som však študoval tému Okamihy a centrá hmoty, v kapitole Aplikácie integrálu, hovorí, že je to $ text krát text$ ?

Tj. ťažisko je začať ( bar) = frac < sum_k x_k M_k> < sum_k M_k> koniec kde $ sum_k x_k M_k $ je & quotmoment systému o pôvode & quot a $ M_k $ je hmotnosť systému.


35 Výpočet centier hmotnosti a okamihov zotrvačnosti

Už sme diskutovali o niekoľkých aplikáciách viacerých integrálov, ako je hľadanie oblastí, objemov a priemerná hodnota funkcie v ohraničenej oblasti. V tejto časti vyvíjame výpočtové techniky na hľadanie ťažiska a momentov zotrvačnosti niekoľkých typov fyzikálnych objektov pomocou dvojitých integrálov pre vrstvu (plochú dosku) a trojitých integrálov pre trojrozmerný objekt s premenlivou hustotou. Hustota sa zvyčajne považuje za konštantné číslo, keď je vrstva alebo predmet homogénny, to znamená, že objekt má jednotnú hustotu.

Ťažisko v dvoch dimenziách

Ťažisko je tiež známe ako ťažisko, ak sa objekt nachádza v jednotnom gravitačnom poli. Ak má objekt jednotnú hustotu, ťažiskom je geometrický stred objektu, ktorý sa nazýva ťažisko. (Obrázok) zobrazuje bod ako ťažisko laminy. Lamela je okolo stredu hmoty dokonale vyvážená.

Ak chcete zistiť súradnice ťažiska laminy, musíme nájsť ten okamih z laminy o a okamih o Musíme nájsť aj hmotu z laminy. Potom

Definície a metódy jednoduchej integrácie na nájdenie ťažiska jednorozmerného objektu (napríklad tenkej tyče) nájdete v časti Momenty a centrá hmotnosti. Použijeme tu podobný nápad, až na to, že objekt je dvojrozmerná vrstva a my používame dvojitý integrál.

Ak povolíme funkciu konštantnej hustoty, potom dať ťažiskový z laminy.

Predpokladajme, že vrstva zaberá oblasť v a nechajme byť jeho hustota (v jednotkách hmotnosti na jednotku plochy) v ktoromkoľvek bode Teda kde a sú hmotnosť a plocha malého obdĺžnika obsahujúceho bod a limit sa bude brať ako rozmery obdĺžnika (pozri nasledujúci obrázok).

Rovnako ako predtým rozdeľujeme región do drobných obdĺžnikov s plochou a vyber si ako vzorkovacie body. Potom omša každého z nich rovná sa ((Obrázok)). Poďme a byť počet podintervalov v a resp. Upozorňujeme tiež, že tvar nemusí byť vždy obdĺžnikový, ale limit aj tak funguje, ako je vidieť v predchádzajúcich častiach.

Rozdelenie laminy na malé obdĺžniky každý obsahuje odberový bod

Hmotnosť laminy je teda

Pozrime sa teraz na príklad zistenia celkovej hmotnosti trojuholníkovej vrstvy.

Zvážte trojuholníkovú vrstvu s vrcholmi a s hustotou Nájdite celkovú hmotnosť.

Náčrt regiónu je vždy užitočné, ako ukazuje nasledujúci obrázok.

Laminát v s hustotou

Pomocou výrazu vyvinutého pre masu to vidíme

Výpočet je priamy a dáva odpoveď

Zvážte ten istý región ako v predchádzajúcom príklade a použite funkciu hustoty Nájdite celkovú hmotnosť.

Teraz, keď sme vytvorili výraz pre hmotnosť, máme nástroje, ktoré potrebujeme na výpočet momentov a centier hmotnosti. Moment o pre je hranica súčtu momentov regiónov o Preto

Podobne aj okamih o pre je hranica súčtu momentov regiónov o Preto

Zvážte rovnakú trojuholníkovú vrstvu s vrcholmi a s hustotou Nájdite okamihy a

Použite dvojité integrály pre každý okamih a vypočítajte ich hodnoty:

Výpočet je celkom priamy.

Zvážte rovnakú vrstvu ako je uvedené vyššie, a použite funkciu hustoty Nájdite okamihy a

a

Nakoniec sme pripravení preformulovať výrazy pre centrum hmotnosti z hľadiska integrálov. Označujeme X-koordinátor ťažiska o a r-koordinovať tým Konkrétne

Znova zvážte rovnakú trojuholníkovú oblasť s vrcholmi a s funkciou hustoty Nájdite ťažisko.

Pomocou vzorcov, ktoré sme vyvinuli, máme

Ťažiskom je teda bod

Ak zvolíme hustotu namiesto toho, aby sme boli jednotní v celej oblasti (t. j. konštanta), ako je napríklad hodnota 1 (každá konštanta bude robiť), môžeme vypočítať ťažisko,

Všimnite si, že stred hmoty nie je úplne to isté ako ťažisko trojuholníkovej oblasti. Je to spôsobené premenlivou hustotou Ak je hustota konštantná, potom iba použijeme (konštantná). Táto hodnota sa ruší zo vzorcov, takže pri konštantnej hustote sa ťažisko zhoduje s ťažiskom laminy.

Opäť použite rovnaký región ako je uvedené vyššie a funkcia hustoty Nájdite ťažisko.

a

Opäť máme na základe komentárov na konci (Obrázok) výrazy pre ťažisko oblasti v rovine:

Mali by sme použiť tieto vzorce a overiť ťažisko trojuholníkovej oblasti uvedené v posledných troch príkladoch.

Nájdite hmotnosť, momenty a ťažisko vrstvy hustoty obsadzovanie regiónu pod krivkou v intervale (pozri nasledujúci obrázok).

Umiestnenie ťažiska vrstvy s hustotou

Najskôr spočítame hmotu Musíme opísať oblasť medzi grafom a zvislé čiary a

Teraz vypočítajte okamihy a

Nakoniec vyhodnotte ťažisko,

Preto je ťažisko

Vypočítajte hmotnosť, momenty a ťažisko oblasti medzi krivkami a s funkciou hustoty v intervale

a

Nájdite ťažisko oblasti pod krivkou v intervale (pozri nasledujúci obrázok).

Nájdenie ťažiska oblasti pod krivkou

Na výpočet ťažiska predpokladáme, že funkcia hustoty je konštantná, a preto sa zruší:

Ťažisko regiónu je teda

Vypočítajte ťažisko oblasti medzi krivkami a s rovnomernou hustotou v intervale

Okamihy zotrvačnosti

Pre jasné pochopenie toho, ako vypočítať momenty zotrvačnosti pomocou dvojitých integrálov, sa musíme vrátiť k všeobecnej definícii v časti Moment zotrvačnosti častice hmotnosti okolo osi je kde je vzdialenosť častice od osi. Z (obrázku) vidíme, že okamih zotrvačnosti subrektanglu o je Podobne je to moment zotrvačnosti subrektanglu o je Moment zotrvačnosti súvisí konkrétne s rotáciou hmoty, meria sa tendencia hmoty odolávať zmene rotačného pohybu okolo osi.

Moment zotrvačnosti o pre región je hranica súčtu momentov zotrvačnosti oblastí o Preto

Podobne aj moment zotrvačnosti o pre je hranica súčtu momentov zotrvačnosti oblastí o Preto

Niekedy musíme nájsť okamih zotrvačnosti objektu o počiatku, ktorý je známy ako polárny moment zotrvačnosti. Označujeme to a získame ho sčítaním momentov zotrvačnosti a Preto

Všetky tieto výrazy je možné zapísať do polárnych súradníc nahradením a Napríklad,

Použite trojuholníkovú oblasť s vrcholmi a a s hustotou ako v predchádzajúcich príkladoch. Nájdite okamihy zotrvačnosti.

Pomocou výrazov stanovených vyššie pre momenty zotrvačnosti máme

Opäť použite rovnaký región ako je uvedené vyššie a funkcia hustoty Nájdite okamihy zotrvačnosti.

a Tiež

Ako už bolo spomenuté, okamih zotrvačnosti častice hmotnosti okolo osi je kde je vzdialenosť častice od osi, známa tiež ako polomer otáčania.

Preto sú to polomery gyrácie vzhľadom na the a pôvod sú

resp. V obidvoch prípadoch nám polomer otáčania hovorí, ako ďaleko (kolmá vzdialenosť) od osi otáčania by mohla byť sústredená celá hmotnosť objektu. Okamžiky objektu sú užitočné na vyhľadanie informácií o rovnováhe a krútiacom momente objektu okolo osi, ale na opis rozloženia hmoty okolo jeho ťažiska sa používajú radiálne polomery. Existuje mnoho aplikácií v strojárstve a fyzike. Niekedy je potrebné nájsť polomer otáčania, ako v nasledujúcom príklade.

Zvážte rovnakú trojuholníkovú vrstvu s vrcholmi a a s hustotou ako v predchádzajúcich príkladoch. Nájdite polomery gyrácie vzhľadom na the a pôvod.

Ak spočítame hmotnosť tejto oblasti, zistíme to Momenty zotrvačnosti tejto vrstvy sme našli v (obrázok). Z týchto údajov vyplynuli polomer otáčania vzhľadom na a pôvod sú

Použite rovnaký región z (Obrázok) a funkcia hustoty Nájdite polomery gyrácie vzhľadom na the a pôvod.

a


Okamihy a centrá omše

Najprv zvážime jednoduchšiu situáciu. Predpokladajme, že tyč leží pozdĺž osi x s $$ _ <<1>> $$ o $$ _ <<1>> $$ a $$ _ <<2>> $$ o $$ _ <<2>> $$ a ťažisko v $$ < overline <>> $$. Podľa zákona páky vidíme

$$ _ <<1>> < vľavo (< overline <>>-_ <<1>> vpravo)> =_ <<2>> < vľavo (_ <<2>> - < overline <>> right)> $$ alebo $$ < overline <>> = frac <<_<<1>>_<<1>>+_<<2>>_<<2>>>><<_<<1>>+_<<2>>>> $$ .

Čísla $$ _<<1>>_ <<1>> $$ a $$ _<<2>>_ <<2>> $$ sa nazýva okamihy más $$ _ <<1>> $$ a $$ _ <<2>> $$ (s ohľadom na pôvod). Vyššie uvedená rovnica hovorí, že ťažiská sa získavajú sčítaním momentov hmotností a delením celkovou hmotnosťou.

Všeobecne platí, že ak máme systém $$ $$ častice s hmotnosťou $$ _<<1>>,_ <<2>>, ldots,_<> $$ umiestnené v bodoch $$ _<<1>>,_ <<2>>, ldots,_<> $$ na osi x sa dá podobne znázorniť, že ťažisko systému sa nachádza na $$ < overline <>> = frac <<< suma _ <<=<1>>>^<>>_<>_<>>> <<< suma _ <<=<1>>>^<>>_<>>> $$ .

Súčet jednotlivých okamihov $$ = < suma _ <<=<1>>>^<>>_<>_<> $$ sa nazýva moment systému s ohľadom na pôvod a $$ = < suma _ <<=<1>>>^<>>_<> $$ je celková hmotnosť systému.

Teraz uvažujeme systém častíc s hmotnosťou $$ _<<1>>,_ <<2>>, ldots,_<> $$ umiestnené v bodoch $$ < vľavo (_<<1>>,_ <<1>> vpravo)>, < vľavo (_<<2>>,_ <<2>> vpravo)>, ldots, < vľavo (_<>,_<> vpravo)> $$ v rovine xy. Analogicky s jednorozmerným prípadom definujeme moment systému okolo osi y byť $$ _<> = < suma _ <<=<1>>>^<>>_<>_<> $$ a moment systému okolo osi x ako $$ _<> = < suma _ <<=<1>>>^<>>_<>_<> $$ .

$$ _<> $$ meria tendenciu systému otáčať sa okolo osi y a $$ _<> $$ meria tendenciu otáčať sa okolo osi x.
Rovnako ako v jednorozmernom prípade sú súradnice ťažiska dané z hľadiska momentov pomocou vzorcov $$ < overline <>> = frac <<_<>>><> $$ a $$ < overline <>> = frac <<_<>>><> $$ kde $$ = < suma _ <<=<1>>>^<>>_<> $$ je celková hmotnosť. Od $$ < overline <>>=_<> $$ a $$ < overline <>>=_<> $$, ťažisko $$ < vľavo (< overline <>>, < overline <>> right)> $$ je bod, kde je jedna častica s hmotnosťou $$ $$ bude mať rovnaké okamihy ako systém.

Príklad 1. Nájdite momenty a ťažisko sústavy objektov s hmotami 5, 7 a 8 v bodoch (2,1), (3, -5) a (-4,4).

Takže ťažisko sa nachádza v bode $$ < vľavo (- frac <<1>> <<20>>, frac <<1>> <<10>> vpravo)> $$.

Podobne vypočítame okamih $$ _<> $$ okolo osi x ako súčin jej hmotnosti a vzdialenosti od $$ _<> $$ k osi x: $$ _<> < vľavo (_<> vpravo)> = < vľavo ( rho<>_<>>>> vpravo) >>> Delta right)> frac <<1>> <<2>><>_<>>>> vpravo) >>> = frac <<1>> <<2>> rho << vľavo (<>_<>>>> vpravo) >>> vpravo) >> ^ <<2>> Delta $$ .
Opäť pridáme tieto momenty a vezmeme limit na získanie okamihu $$ $$ okolo osi x:

Rovnako ako v prípade systémov častíc, je aj ťažisko dosky definované tak, že $$ < overline <<>>>=_<> $$ a $$ < overline <<>>>=_<> $$. Ale hmotnosť dosky je súčinom jej hustoty a jej plochy: $$ = rho = rho < int _ <> ^ <>><> vpravo) >>> $$ .

Upozorňujeme, že ťažisko nezávisí od hustoty.

Ťažisko tabuľky (alebo ťažisko $$ $$) sa nachádza na adrese bod $$ < vľavo (< overline <<>>>, < overline <<>>> vpravo)> $$ , kde

Príklad 2. Nájdite ťažisko oblasti ohraničenej $$ =<4>-<> ^ <<2>> $$ za $$ ge <0> $$.

Ťažisko tabuľky (alebo ťažisko $$ $$) sa nachádza na adrese bod $$ < vľavo (< overline <<>>>, < overline <<>>> vpravo)> $$ , kde

Príklad 3 . Nájdite ťažisko oblasti ohraničené $$ =<> ^ <<2>> $$ a $$ =<2>-<>^<<2>> $$ .

Najprv načrtneme graf a zistíme, že hranice integrácie sú -1 a 1.

Ďalej, keďže oblasť je symetrická okolo osi x, potom $$ < overline <<>>>= <0>$$ .

Takže ťažisko je $$ < vľavo (<0>, <1> vpravo)> $$. Alternatívne by sme si mohli všimnúť, že oblasť je súmerná s čiarou $$ = <1> $$, takže $$ < overline <<>>>= <1>$$ .


Oslávte dennú televíznu omšu, nech ste kdekoľvek.

Veríme, že kresťania, bez ohľadu na to, odkiaľ pochádzajú, by mali mať možnosť zúčastňovať sa na omši osobne alebo digitálne, ak je to potrebné. Naša misia sa stala realitou, keď Kanadská konferencia katolíckych biskupov (CCCB) položila Michaelovi McManusovi jednoduchú otázku.

"Ako môžeme predstaviť katolícku cirkev v televízii?"

V marci 1998 sa zrodila tradícia, keď biskup John Sherlock, prvý predseda Národnej katolíckej rady pre vysielanie (NCBC), slávil omšu v St., Michael’s Cathedral a vysielal ju po celej Kanade.


Matematický prehľad

Z mnohých (ale určite nie všetkých!) Účelov vo fyzike a mechanike je nevyhnutné alebo užitočné vedieť považovať fyzický objekt za hmotu sústredenú v jednom bode, jeho geometrický stred, nazývaný tiež jeho ťažiskový. Ťažisko je v podstate & lsquoaverage & rsquo všetkých bodov v objekte. Pre jednoduchosť zvážime iba jeho dvojrozmernú verziu, ktorá sa bude pozerať iba na oblasti v rovine.

Najjednoduchším prípadom je obdĺžnik: je zrejmé, že ťažisko je & lsquocenter & rsquo obdĺžnika. To znamená, že ak sú rohy $ (0,0), (u, 0), (0, v) $ a $ (u, v) $, potom ťažisko je $ biggl (, biggr) $ Nasledujúce vzorce sú získané & lsquointegrovaním & rsquo tohto jednoduchého nápadu:

Heuristika: Pre súradnicu $ x $: existuje suma $ (g (x) -f (x)) dx $ regiónu vo vzdialenosti $ x $ od osi $ y $. Toto je integrované a potom spriemerovaný delením Celkom, teda delením oblasti celého regiónu.

Pre súradnicu $ y $: v každom vertikálnom pásme šírky $ dx $ je čiastka $ dx dy $ regiónu vo vzdialenosti $ y $ od osi $ x $. Toto je integrované a potom spriemerované vydelením celkovou plochou.


Ako funguje kalkulačka

Kalkulačka na tejto stránke môže vypočítať ťažisko pre systémy bodových hmôt a pre funkcie. Kód, ktorý ho poháňa, je pre každý z týchto dvoch typov úplne odlišný.

Keď je vybraný typ & # 8220points & # 8221, použije sa vzorec systému hmotných bodov zobrazený vyššie. Vzorec sa rozšíri a použije v iterovanej slučke, ktorá vynásobí každú hmotnosť každým príslušným posunom. Súčet týchto výrobkov sa vydelí súčtom hmotností. Výsledné číslo je naformátované a odoslané späť na túto stránku, aby sa mohla zobraziť.

Keď je vybratý typ & # 8220funkcia & # 8221, počíta sa X ťažisko funkcie. Ako sme už uviedli v predchádzajúcej lekcii, funkcia sa vynásobí X pred prijatím určitého integrálu v rámci X limity, ktoré ste zadali. Výsledok tohto integrálu sa vydelí výsledkom pôvodného funkčného a definitívneho integrálu # 8217s. Finálny X súradnice sa pošlú späť na túto stránku a zobrazia sa.

Samotná odpoveď sa na túto stránku posiela vo formáte LaTeX, čo je matematický značkovací a vykresľovací jazyk. Na tejto stránke sa nachádza skript MathJax, ktorý poskytuje funkciu vykresľovania. Keď sa zistí nová odpoveď, MathJax vykreslí odpoveď vo forme viditeľného matematického obrázka.


Centroidy využívajúce bodové hmoty

Vzhľadom na zložitý región, ktorý pozostáva zo spojenia jednoduchších regiónov, existuje metóda na nájdenie ťažiska:

  1. Nájdite ťažisko každého jednoduchého regiónu.
  2. Každú oblasť nahraďte bodovou hmotou v jej ťažisku, kde hmotnosť je oblasťou oblasti.
  3. Nájdite ťažisko týchto bodových hmotností (urobí sa to tak, že sa urobí vážený priemer ich súradníc xay).

Najľahšie to uvidíte na príklade:

Nájdite ťažisko oblasti pozostávajúcej z obdĺžnika so šírkou ($ 2R $) a výškou ($ H $), ktorý má na jednom konci polkruh s polomerom ($ R $):

(: toggle hide show = "Odpovedať" box6 :)

Z predchádzajúceho príkladu je ťažisko polkruhu ($ (0, frac <4R> <3 pi>) $) a váha (oblasť polkruhu) je ($ frac <1> <2 > pi R ^ 2 $).

Obdĺžnik je symetrický, takže jeho ťažisko (nakreslené v súradnicovej rovine) je ($ (0, - frac<2>) $) a jeho váha je ($ 2RH $):

(: latex :) [ overline = 0. ] (: latexend :)

Vezmeme vážený priemer súradníc y bodov

Môžeme skontrolovať, či je to rozumné, a to tak, že ak ($ ​​H = 0 $) dostaneme súradnicu y ťažiska polkruhu, a keď ($ R = 0 $) dostaneme súradnicu y ťažiska úsečka od ($ (0,0) $) do ($ (0, -H) $).


Mass General Imaging poskytuje tieto služby na šiestom poschodí Centra ambulantnej starostlivosti Yawkey.

Registrácia pacienta sa nachádza na siedmom poschodí Yawkey v suite 7B. Naše časy registrácie sa môžu líšiť, aby sme zaistili fyzický dištanc. Kliknutím dole zobrazíte najaktuálnejšie informácie.

Ak máte na Yawkey 6 CT, príďte 30 minút skoro, aby sme sa mohli riadne pripraviť na váš termín. Počnúc týždňom pred vašim vymenovaním môžete v Patient Gateway vyplniť skríningový formulár CT.Pri registrácii môžete tiež odpovedať na otázky týkajúce sa skríningu.

Ak robíte MRI na Yawkey 6, prosím dorazte 15 minút pred vašim termínom na registráciu.

Ak vám robia ultrazvuk na Yawkey 6, príďte 5 minút pred vašim termínom na registráciu.

Toto miesto ponúka základné RTG služby. Potrebujete príkaz lekára, aby ste dostali röntgen.

Hromadná všeobecná intervenčná rádiológia lieči bolesti svalov a kĺbov pomocou minimálne invazívnych procedúr vedených obrazom v aplikácii Yawkey 6. Ak sa na tomto mieste podrobujete niektorému z týchto postupov, príďte 15 minút pred vašim termínom na registráciu.

Čo očakávať

Po príchode k Yawkey 6 pre zobrazovacie služby si môžete všimnúť určité zmeny:


6.6: Okamihy a stredy omše

Na konci tejto časti budete môcť:

  • Vysvetlite význam a užitočnosť konceptu ťažiska
  • Vypočítajte ťažisko daného systému
  • Aplikujte koncept ťažiska v dvoch a troch rozmeroch
  • Vypočítajte rýchlosť a zrýchlenie ťažiska

Doteraz sme sa vyhýbali dôležitému problému: Keď hovoríme, že sa objekt pohybuje (správnejšie, zrýchľuje) spôsobom, ktorý sa riadi Newtonovým druhým zákonom, ignorujeme skutočnosť, že všetky objekty sú skutočne vyrobené z mnohých základných častíc. Auto má motor, volant, sedadlá, cestujúci futbal, koža a guma obklopujúca vzduch, tehla je vyrobená z atómov. Existuje veľa rôznych druhov častíc a tie sa v objekte spravidla nerozdeľujú rovnomerne. Ako zahrnieme tieto fakty do našich výpočtov?

Aj vtedy môže predĺžený objekt meniť svoj pohyb, napríklad vodný balón alebo padajúca mačka ((obrázok)). To znamená, že častice, ktoré sú zložkami, pôsobia na seba okrem vnútornej sily, ktorá pôsobí na objekt ako celok, aj vnútorné sily. Chceme byť tiež schopní zvládnuť to.

Obrázok 9.26 Keď mačka spadne, jej telo vykonáva komplikované pohyby, aby mohla pristáť na nohách, ale jeden bod v systéme sa pohybuje jednoduchým rovnomerným gravitačným zrýchlením.

Pred nami je potom problém určiť, ktorá časť rozšíreného objektu sa podriaďuje druhému Newtonovmu zákonu, keď sa použije vonkajšia sila, a určiť, ako je pohyb objektu ako celku ovplyvňovaný vnútornými aj vonkajšími silami.

Upozorňujeme: Aby sme s touto novou situáciou zaobchádzali správne, musíme byť dôslední a úplne všeobecní. Nebudeme robiť nijaké predpoklady o povahe objektu, ani o jeho základných časticiach, ani o vnútorných alebo vonkajších silách. Argumenty teda budú zložité.

Vnútorné a vonkajšie sily

Predpokladajme, že máme rozšírený objekt hmotnosti M, vyrobený z N interagujúce častice. Označme ich masy ako [latex] _ [/ latex], kde [latex] j = 1,2,3, text <…>, N [/ latex]. Poznač si to

Ak použijeme nejakú sieť vonkajšia sila [latex] < nadmerne < to>> _ < text> [/ latex] na objekte, každá častica zažíva nejaký „podiel“ alebo časť tejto vonkajšej sily. Nech:

Všimnite si, že tieto zlomky celkovej sily sa nemusia nevyhnutne rovnať, v skutočnosti nikdy. (Oni môcť byť, ale zvyčajne nie sú.) Všeobecne preto

Ďalej predpokladáme, že každá z častíc tvoriacich náš objekt môže interagovať (vyvíjať sily na) s každou ďalšou časticou objektu. Nepokúsime sa hádať, o aké sily ide, ale pretože sú výsledkom častíc objektu pôsobiacich na iné častice toho istého objektu, označujeme ich ako vnútorné sily [latex] < nadmerne < to>>_^ < text> [/ latex] teda:

[latex] < nadmerne < to>>_^ < text> = [/ latex] čistá vnútorná sila, ktorú jskúsenosti s ostatnými časticami zo všetkých ostatných častíc, ktoré tvoria predmet.

Teraz sieť sila, vnútorná a vonkajšia, na jth častica je vektorový súčet týchto:

kde je to opäť pre všetkých N častice [latex] j = 1,2,3, bodky, N [/ latex].

V dôsledku tejto zlomkovej sily sa mení hybnosť každej častice:

Čistá sila [latex] presahujúca < to> [/ latex] na objekt je vektorový súčet týchto síl:

Táto čistá sila mení hybnosť objektu ako celku a čistá zmena hybnosti objektu musí byť vektorovým súčtom všetkých jednotlivých zmien hybnosti všetkých častíc:

Poďme sa teraz zamyslieť nad týmito súhrnmi. Najskôr zvážte pojem vnútorné sily, nezabudnite, že každý [latex] < presahuje < to>>_^ < text> [/ latex] je sila na jth častice z ostatných častíc v objekte. Ale podľa tretieho Newtonovho zákona pre každú z týchto síl musí existovať iná sila, ktorá má rovnakú veľkosť, ale opačné znamienko (ukazuje v opačnom smere). Tieto sily sa však nezrušia, to nie je to, čo robíme v súhrne. Sme skôr jednoducho matematicky sčítaním všetky vektory vnútornej sily. To znamená, že vnútorné sily pre každú jednotlivú časť objektu sa nezrušia, ale keď sa všetky vnútorné sily spočítajú, musia sa vnútorné sily zrušiť v pároch. Z toho teda vyplýva, že súčet všetkých vnútorných síl musí byť nulový:

(Tento argument je subtílny, ale zásadný si jeho pochopenie vyžaduje veľa času.)

Pre vonkajšie sily je tento súčet jednoducho celkovou vonkajšou silou, ktorá bola aplikovaná na celý objekt:

Toto je dôležitý výsledok. (Obrázok) nám hovorí, že celková zmena hybnosti celého objektu (všetko N častice) je spôsobené iba vonkajšími silami, vnútorné sily nemenia hybnosť objektu ako celku. To je dôvod, prečo sa nemôžete zdvihnúť vo vzduchu tak, že stojíte v koši a potiahnete rukoväte. Pre váš systém + kôš je vaša ťahová sila smerom nahor vnútornou silou.

Sila a hybnosť

Pamätajte, že našim skutočným cieľom je určiť pohybovú rovnicu pre celý objekt (celú sústavu častíc). Na tento účel definujeme:

[latex] < nadmerne < to>

> _ < text> = [/ latex] celková hybnosť systému z N častice (dôvod dolného indexu bude čoskoro jasný)

a preto (Obrázok) sa dá zapísať jednoducho ako

Pretože táto zmena hybnosti je spôsobená iba čistou vonkajšou silou, zrušili sme dolný index „ext“.

Toto je Newtonov druhý zákon, ale teraz pre celý rozšírený objekt. Ak sa vám to zdá trochu anticlimaktické, nezabudnite, čo sa v ňom skrýva: [latex] < overet < to>

> _ < text> [/ latex] je vektorový súčet hybnosti (v zásade) stotisíc miliárd miliárd častíc [latex] (6,02 , × , <10> ^ <23>) [/ latex], všetko spôsobené jednou jednoduchou čistou vonkajšou silou - silou, ktorú môžete vypočítať.

Centrum hmotnosti

Našou ďalšou úlohou je určiť, ktorá časť rozšíreného objektu, ak existuje, poslúcha (obrázok).

Je lákavé urobiť ďalší krok, znamená nasledujúca rovnica niečo?

Ak si to robí niečo znamenať (zrýchlenie čoho?), potom by sme mohli napísať

čo nasleduje, pretože derivát súčtu sa rovná súčtu derivátov.

Teraz [latex] < nadmerne < to>

>_ [/ latex] je hybná sila jth častica. Definovanie polôh základných zložiek (vo vzťahu k určitému súradnicovému systému) ako [latex] < nadmerne < to>>_=(_,_,_) [/ latex], máme

Nahradením späť dostaneme

Vydelením obidvoch strán M (celková hmotnosť rozšíreného objektu) nám dáva

Bod v objekte, ktorý sleduje dráhu diktovanú aplikovanou silou v (Obrázok), sa teda nachádza v zátvorkách v (Obrázok).

Pri pohľade na tento výpočet si všimnite, že (v zátvorkách) počítame súčin hmotnosti každej častice s jej polohou a pridáme všetky N z nich a vydelením tohto súčtu celkovou hmotnosťou častíc, ktoré sme sčítali. Toto pripomína priemer inšpirovaný týmto, (voľne) to interpretujeme ako váženú priemernú pozíciu hmotnosti rozšíreného objektu. V skutočnosti sa to nazýva ťažisko objektu. Všimnite si, že poloha ťažisko hmoty má jednotky metrov, ktoré navrhujú definíciu:

Takže bod, ktorý sa podriaďuje (obrázok) (a teda (obrázok) tiež), je ťažisko objektu, ktorý sa nachádza vo vektore polohy [latex] < nadmerne < to>> _ < text> [/ latex].

Možno vás prekvapí, keď zistíte, že v strede hmoty objektu nemusí byť žiadna skutočná hmotnosť. Napríklad dutá oceľová guľa s vákuom vo vnútri je sféricky symetrická (čo znamená, že jej hmotnosť je rovnomerne rozložená okolo stredu gule), celá hmotnosť gule je na jej povrchu a vo vnútri nie je žiadna hmota. Ale je možné preukázať, že ťažisko gule je v jej geometrickom strede, čo sa zdá byť rozumné. Na mieste ťažiska gule teda nie je žiadna hmota. (Ďalším príkladom je šiška.) Postup hľadania ťažiska je znázornený na obrázku.

Obrázok 9.27 Nájdenie ťažiska sústavy troch rôznych častíc. (a) Pre každý objekt sa vytvárajú vektory pozícií. (b) Polohové vektory sa vynásobia hmotnosťou zodpovedajúceho objektu. (c) Zmenšené vektory z časti (b) sa sčítajú. d) Konečný vektor sa vydelí celkovou hmotnosťou. Tento vektor ukazuje na ťažisko systému. Upozorňujeme, že v strede hmotnosti tohto systému nie je žiadna hmotnosť.

Preto môžete jednotlivé komponenty vektora ťažiska vypočítať jednotlivo.

Napokon sa na dokončenie kinematiky počíta okamžitá rýchlosť ťažiska presne tak, ako by ste predpokladali:

a toto, rovnako ako pozícia, má X-, r- a z-komponenty.

Na výpočet ťažiska v skutočných situáciách odporúčame nasledujúci postup:

Stratégia riešenia problémov: Výpočet ťažiska

Ťažiskom objektu je polohový vektor. Pri jeho výpočte teda postupujte takto:

  1. Definujte svoj súradnicový systém. Typicky je počiatok umiestnený na mieste jednej z častíc. Toto však nie je potrebné.
  2. Určte X, r, z- súradnice každej častice, ktorá tvorí predmet.
  3. Určte hmotnosť každej častice a spočítajte ich, aby ste získali celkovú hmotnosť objektu. Všimnite si, že hmotnosť objektu v počiatku musieť sa započítava do celkovej hmotnosti.
  4. Vypočítajte X-, r- a z-komponenty stredu ťažiska pomocou (Obrázok), (Obrázok) a (Obrázok).
  5. Ak je to potrebné, použite Pytagorovu vetu na určenie jej veľkosti.

Tu sú dva príklady, ktoré vám poskytnú predstavu o tom, čo je centrom hmoty.

Príklad

Ťažisko systému Zem - Mesiac

Pomocou údajov z textovej prílohy určte, ako ďaleko je ťažisko systému Zem - Mesiac od stredu Zeme. Porovnajte túto vzdialenosť s polomerom Zeme a komentujte výsledok. Ostatné objekty v slnečnej sústave ignorujte.

Stratégia

Dostaneme masy a separačnú vzdialenosť Zeme a Mesiaca, uložíme súradnicový systém a použijeme (Obrázok) iba s [latex] N = 2 [/ latex] objektmi. Používame dolný index „e“ na označenie Zeme a dolný index „m“ na mesiac.

Riešenie

Definujte počiatok súradnicového systému ako stred Zeme. Potom, iba s dvoma objektmi, sa stane (obrázok)

Stred Zeme sme definovali ako počiatok, takže [latex] _ < text> = text <0.m> [/ latex]. Ich vkladanie do rovnice pre R dáva

Význam

Polomer Zeme je [latex] 6,37 , × , <10> ^ <6> , text [/ latex], takže ťažisko sústavy Zem-mesiac je (6,37 - 4,64) [latex] × , <10> ^ <6> , text= 1,73 , × , <10> ^ <6> , text= 1730 , text [/ latex] (zhruba 1080 míľ) nižšie povrch Zeme. Je zobrazené umiestnenie ťažiska (nie v mierke).

Skontrolujte svoje porozumenie

Predpokladajme, že sme do systému zahrnuli aj slnko. Približne kde by sa nachádzalo ťažisko sústavy Zem - Mesiac - Slnko? (Nebojte sa to skutočne vypočítať.)

Priemerný polomer obežnej dráhy Zeme okolo Slnka je [latex] 1,496 , × , <10> ^ <9> , text [/ latex]. Berúc do úvahy počiatok Slnka a berúc na vedomie, že hmotnosť Slnka je približne rovnaká ako masy Slnka, Zeme a Mesiaca dohromady, ťažisko sústavy Zem + Mesiac a Slnko je

Teda ťažisko systému Slnka, Zeme a Mesiaca, je vzdialené 4,6 km od stredu Slnka.

Príklad

Ťažisko soľného kryštálu (obrázok) ukazuje jediný kryštál chloridu sodného - obyčajnú kuchynskú soľ. Sodné a chloridové ióny tvoria jednu jednotku, NaCl. Keď sa spojí viac jednotiek NaCl, vytvoria kubickú mriežku. Najmenšia možná kocka (nazývaná jednotková bunka) sa skladá zo štyroch striedajúcich sa iónov sodíka a štyroch iónov chloridu. Dĺžka jedného okraja tejto kocky (t.j. dĺžka väzby) je [latex] 2,36 , × , <10> ^ <-10> , text [/ latex]. Nájdite umiestnenie ťažiska jednotkovej bunky. Zadajte buď jeho súradnicami [latex] (_ < textx>,_ < texty>,_ < textz>) [/ latex] alebo [latex] _ < text> [/ latex] a dva uhly.

Obrázok 9.28 Výkres kryštálu chloridu sodného (NaCl).

Stratégia

Môžeme vyhľadať všetky iónové hmoty. Ak vložíme súradnicový systém na jednotkovú bunku, dá nám to polohy iónov. Potom môžeme použiť (Obrázok), (Obrázok) a (Obrázok) (spolu s Pytagorovou vetou).

Riešenie

Definujte pôvod, ktorý sa má nachádzať v mieste chloridového iónu v ľavom dolnom rohu jednotkovej bunky. (Obrázok) zobrazuje súradnicový systém.

Obrázok 9.29 Jedna jednotková bunka kryštálu NaCl.

V tomto kryštáli je teda osem iónov N = 8:

Hmotnosť každého z chloridových iónov je

Celková hmotnosť jednotkovej bunky je teda

Z geometrie sú polohy

Podobné výpočty poskytujú [latex] _ < texty> =_ < textz> = 1,18 , × , <10> ^ <-10> , text [/ latex] (môžete namietať, že to musí byť pravda, symetricky, ale je dobré to skontrolovať).

Dôležitosť Aj keď je to skvelé cvičenie na určenie ťažiska, ktorému je daný chloridový ión v mieste pôvodu, v skutočnosti je možné pôvod zvoliť v ktoromkoľvek mieste. Preto neexistuje zmysluplné uplatnenie ťažiska jednotkovej bunky ďalej ako cvičenia.

Skontrolujte svoje porozumenie

Predpokladajme, že máte makroskopický soľný kryštál (to je kryštál, ktorý je dostatočne veľký na to, aby bol viditeľný voľným okom). Skladá sa z a obrovský počet jednotkových buniek. Je ťažisko tohto kryštálu nevyhnutne v geometrickom strede kryštálu?

V makroskopickom meradle je veľkosť jednotkovej bunky zanedbateľná a hmotnosť kryštálu sa môže považovať za homogénne distribuovanú v celom kryštáli. Teda

kde súčet nad číslom N jednotkových buniek v kryštáli a m je hmotnosť jednotkovej bunky. Pretože Nm = M, môžeme písať

Toto je definícia geometrického stredu kryštálu, takže ťažisko je v rovnakom bode ako geometrický stred.

Z týchto príkladov vychádzajú dva zásadné pojmy:

  1. Rovnako ako pri všetkých problémoch, musíte definovať svoj súradnicový systém a pôvod. Pre výpočty ťažiska má zmysel zvoliť pôvod, ktorý sa má nachádzať na jednej z hmotností vášho systému. Táto voľba automaticky definuje jeho vzdialenosť v (obrázok) ako nulovú. Hmotnosť objektu, z ktorého pochádzate, však musíte do výpočtu M, celková hmotnosť (obrázok). V príklade systému Zem - mesiac to znamená vrátane hmotnosti Zeme. Keby ste to neurobili, skončili by ste s tým, že by sa ťažisko systému nachádzalo v strede mesiaca, čo je zjavne nesprávne.
  2. V druhom príklade (soľný kryštál) si všimnite, že v mieste centra hmoty nie je vôbec žiadna hmota. Toto je príklad toho, čo sme uviedli vyššie, že v strede hmoty objektu nemusí byť žiadna skutočná hmotnosť.

Centrum hmotnosti spojitých predmetov

Ak má daný objekt svoju hmotu rovnomerne rozloženú v priestore, a nie ako súbor samostatných častíc, potom [latex] _ to dm [/ latex] a súčet sa stane integrálom:

V tomto kontexte, r je charakteristický rozmer objektu (polomer gule, dĺžka dlhej tyče). Ak chcete vygenerovať celé číslo, ktoré sa dá skutočne vypočítať, musíte vyjadriť prvok diferenciálnej hmotnosti dm ako funkcia hmotnostnej hustoty spojitého objektu a rozmeru r. Objasní to príklad.

Príklad

CM jednotného tenkého obruče

Nájdite ťažisko jednotnej tenkej obruče (alebo krúžku) M a polomer r.

Stratégia

Najprv symetria obruče naznačuje, že ťažisko by malo byť v geometrickom strede. Ak definujeme náš súradnicový systém tak, že počiatok sa nachádza v strede obruče, integrál by sa mal vyhodnotiť na nulu.

Vymieňame dm s výrazom zahŕňajúcim hustotu obruče a polomer obruče. Potom máme výraz, ktorý môžeme skutočne integrovať. Pretože je obruč opísaná ako „tenká“, považujeme ju za jednorozmerný objekt, pričom zanedbávame hrúbku obruče. Preto je jeho hustota vyjadrená ako počet kilogramov materiálu na meter. Takáto hustota sa nazýva a lineárna hmotnostná hustota, a dostáva symbol [latex] lambda [/ latex], toto je grécke písmeno „lambda“, ktoré je ekvivalentom anglického písmena „l“ (pre „lineárne“).

Pretože je obruč opísaná ako uniformná, znamená to, že lineárna hmotnostná hustota [latex] lambda [/ latex] je konštantná. Teda získať náš výraz pre prvok diferenciálnej hmotnosti dm, vynásobíme [latex] lambda [/ latex] diferenciálnou dĺžkou obruče, nahradíme a integrujeme (s príslušnými limitmi pre určitý integrál).

Riešenie

Najskôr definujte náš súradnicový systém a príslušné premenné ((obrázok)).

Obrázok 9.30 Nájdenie ťažiska jednotnej obruče. Vyjadríme súradnice diferenciálneho dielu obruče a potom sa integrujeme okolo obruče.

Ťažisko sa vypočíta pomocou (obrázku):

Musíme určiť hranice integrácie a a b. Vyjadruje [latex] nadmerne < to> [/ latex] v komponentnej podobe nám dáva

Na diagrame sme zvýraznili časť obruče, ktorá má rozdielnu dĺžku ds má preto diferenciálnu hmotnosť [latex] dm = lambda ds [/ latex]. Nahradenie:

Avšak dĺžka oblúka ds subtend diferenciálny uhol [latex] d theta [/ latex], takže máme

Ešte jeden krok: Pretože [latex] lambda [/ latex] je lineárna hmotnostná hustota, počíta sa to tak, že sa celková hmotnosť vydelí dĺžkou obruče:

Všimnite si, že premennou integrácie je teraz uhol [latex] theta [/ latex]. Toto nám hovorí, že limity integrácie (okolo kruhového krúžku) sú [latex] theta = text <0 to> , theta = 2 pi [/ latex], takže [latex] a = 0 [/ latex] a [latex] b = 2 pi [/ latex]. Kvôli pohodliu tiež oddeľujeme integrál do X& # 8211 a r-komponenty [latexu] < nadmerne < to>> _ < text> [/ latex]. Konečný integrálny výraz je

Centrum hmotnosti a zachovania hybnosti

Ako to všetko súvisí s ochranou hybnosti?

Predpokladajme, že máte N predmety s hmotami [latex] _<1>,_<2>,_<3>,…_ [/ latex] a počiatočné rýchlosti [latex] < nadmerne < to>> _ <1>, < presahovať < to>> _ <2>, < nadmerné nastavenie < to>> _ <3>, & # 8230 text <,> < nadmerné nastavenie < to>>_ [/ latex]. Ťažisko objektov je

a teda počiatočná hybnosť ťažiska je

Potom, čo sa tieto masy pohybujú a vzájomne reagujú, je hybnosť stredu hmoty

Zachovanie hybnosti nám však hovorí, že pravá strana oboch rovníc musí byť rovnaká, čo hovorí

Tento výsledok znamená, že zachovanie hybnosti je vyjadrené ako ťažisko systému. Všimnite si, že keď sa objekt pohybuje priestorom bez pôsobenia čistej vonkajšej sily, môže sa samostatná častica objektu zrýchľovať rôznymi smermi s rôznymi veľkosťami, v závislosti od čistej vnútornej sily pôsobiacej na tento objekt kedykoľvek. (Pamätajte, že zmizne iba vektorový súčet všetkých vnútorných síl, nie vnútorná sila na jednu časticu.) Hybnosť takejto častice teda nebude konštantná - ale hybnosť celého predĺženého objektu bude v v súlade s (obrázok).

(Obrázok) naznačuje ďalší dôležitý výsledok: Od M predstavuje hmotnosť celého systému častíc, je nevyhnutne konštantná. (Ak nie je, nemáme uzavretý systém, takže nemôžeme očakávať, že sa zachová hybnosť systému.) Výsledkom je, že (obrázok) znamená, že pre uzavretý systém

To znamená, pri absencii vonkajšej sily, rýchlosť ťažiska sa nikdy nemení.

Mohlo by vás lákať pokrčiť plecami a povedať: „No, to je iba prvý Newtonov zákon,“ ale nezabudnite, že Newtonov prvý zákon pojednáva o konštantnej rýchlosti častice, zatiaľ čo (obrázok) platí pre ťažisko (možno rozsiahleho) zbierka interagujúcich častíc a že v strede hmoty nemusí byť vôbec žiadna častica! Takže toto je skutočne pozoruhodný výsledok.

Príklad

Ohňostroj

Keď exploduje raketa ohňostroja, tisíce žiariacich úlomkov vyletia von do všetkých strán a v elegantnom a krásnom prevedení ((obrázok)) spadnú na Zem. Popíšte, čo sa stane, pokiaľ ide o zachovanie hybnosti a ťažiska.

Obrázok 9.31 Tieto explodujúce ohňostroje sú živým príkladom zachovania hybnosti a pohybu stredu hmoty.

Obrázok ukazuje radiálnu symetriu okolo centrálnych bodov výbuchov, čo naznačuje myšlienku ťažiska. Môžeme tiež vidieť parabolický pohyb žiariacich častíc, ktorý nám pripomína nápady na projektilný pohyb.

Riešenie

Spočiatku je odpálená raketa s ohňostrojom a letí viac-menej priamo hore, čo je príčinou toho, že viac-menej rovná biela stopa smeruje vysoko k oblohe pod výbuchom v pravom hornom rohu obrázku (žltý výbuch). ). Táto stopa nie je parabolická, pretože výbušná škrupina je počas fázy vypúšťania vlastne raketa, ktorej impulz aplikovaný na ňu vyhodením horiaceho paliva pôsobí na škrupinu počas intervalu doby nábehu. (Toto je jav, ktorý budeme študovať v nasledujúcej časti.) Škrupina má na ňu viac síl, takže pred výbuchom nie je vo voľnom páde.

V okamihu výbuchu odletia tisíce žiariacich úlomkov smerom von v radiálne symetrickom obrazci. Symetria výbuchu je výsledkom súčtu všetkých vnútorných síl na nulu [latex] ( sum _>_^ < text> = 0) [/ latex] pre každú vnútornú silu existuje ďalšia, ktorá má rovnakú veľkosť a je opačná v smere.

Ako sme sa však dozvedeli vyššie, tieto vnútorné sily nemôžu zmeniť hybnosť ťažiska (dnes explodovaného) plášťa. Keďže raketová sila teraz zmizla, ťažiskom škrupiny je teraz projektil (jedinou silou na ňu je gravitácia), takže jej dráha sa stane parabolickou. Dva červené výbuchy vľavo ukazujú cestu ich ťažiskových centier v trochu dlhšom čase po výbuchu v porovnaní so žltým výbuchom vpravo hore.

Ak sa pozorne pozriete na všetky tri výbuchy, môžete vidieť, že žiarivé stopy nie sú skôr skutočne radiálne symetrické, na jednej strane sú o niečo hustejšie ako na druhej. Konkrétne žltá explózia a dolná stredná explózia sú mierne hustejšie na ich pravej strane a ľavá horná explózia je hustejšia na ľavej strane. Je to tak z dôvodu hybnosti ich centier hmoty, rozdielne hustoty stôp sú spôsobené hybnosťou, ktorú mal každý kúsok škrupiny v okamihu výbuchu. Fragment pre explóziu vľavo hore na obrázku mal hybnosť, ktorá smerovala nahor a vľavo bola hybnosť stredného fragmentu namierená nahor a mierne doprava a explózia na pravej strane bola zreteľne nahor a doprava (o čom svedčí pod žltým výbuchom viditeľná biela stopa rakety).

Nakoniec je každý fragment sám o sebe projektil, a tak vypátra tisíce žiarivých paraboly.

Význam

V diskusii vyššie sme povedali: „... ťažiskom škrupiny je teraz projektil (jedinou silou na ňu je gravitácia) ...“. To nie je celkom presné, pretože v strede hmoty nemusí byť vôbec žiadna hmotnosť, v takom prípade na ňu nemôže pôsobiť sila. Toto je vlastne iba slovná skratka na opísanie skutočnosti, že gravitačné sily na všetky častice pôsobia tak, že stred hmoty mení polohu presne tak, akoby celá hmota škrupiny bola vždy umiestnená v polohe stredu hmoty.

Skontrolujte svoje porozumenie

Ako by sa zmenil ohňostroj v hlbokom vesmíre, ďaleko od akéhokoľvek zdroja gravitácie?


Pozri si video: Prenos zo (Október 2021).