Články

3.8E: Cvičenie k časti 3.8 - Matematika


V cvičeniach 1 - 23 nájdite (f ′ (x) ) pre každú funkciu.

1) (f (x) = x ^ 2e ^ x )

Odpoveď:
(f '(x) = 2xe ^ x + x ^ 2e ^ x )

2) (f (x) = dfrac {e ^ {- x}} {x} )

3) (f (x) = ln (x ^ 2 + 3x -9) )

Odpoveď:
(f '(x) = dfrac {2x + 3} {x ^ 2 + 3x -9} )

4) (f (x) = ln (2x ^ 5 - 10x) )

5) (f (x) = ln (2x ^ 5-10x ^ 3) )

Odpoveď:
(f '(x) = dfrac {5x ^ 2-15} {x ^ 3-5x} )

6) (f (x) = ln ( cos 2x) )

7) (f (x) = ln ( sin 5x) )

Odpoveď:
(f '(x) = dfrac {5 cos 5x} { sin 5x} = 5 detská postieľka 5x )

8) (f (x) = ln (e ^ x + 1) )

9) (f (x) = e ^ {x ^ 3 ln x} )

Odpoveď:
(f '(x) = e ^ {x ^ 3} ln x vľavo (3x ^ 2 ln x + x ^ 2 vpravo) )

10) (f (x) = sqrt {e ^ {2x} + 2x} )

11) (f (x) = dfrac {e ^ x − e ^ {- x}} {e ^ x + e ^ {- x}} )

Odpoveď:
(f '(x) = dfrac {4} {(e ^ x + e ^ {- x}) ^ 2} )

12) (f (x) = dfrac {10 ^ x} { ln 10} )

13) (f (x) = 2 ^ {4x} + 4x ^ 2 )

Odpoveď:
(f '(x) = 2 ^ {4x + 2} ⋅ ln 2 + 8x )

14) (f (x) = 3 ^ { sin 3x} )

15) (f (x) = x ^ π⋅π ^ x )

Odpoveď:
(f '(x) = πx ^ {π − 1} ⋅π ^ x + x ^ π⋅π ^ x ln π )

16) (f (x) = ln (4x ^ 3 + x) )

17) (f (x) = ln sqrt {5x − 7} )

Odpoveď:
(f '(x) = dfrac {5} {2 (5x − 7)} )

18) (f (x) = ln doľava ( dfrac {x ^ 5 sqrt {x ^ 2 + 4}} {x + 3} doprava) )

19) (f (x) = ln vľavo ( dfrac {x sqrt {5 + sin x}} {x ^ 2 + 9x + 1} vpravo) )

Odpoveď:
( begin {align *} text {Pomocou pravidiel protokolu dostaneme} f (x) & = ln left ( dfrac {x sqrt {5 + sin x}} {x ^ 2 + 9x + 1} vpravo) [4pt] & = ln x + tfrac {1} {2} ln (5 + sin x) - ln (x ^ 2 + 9x + 1) end {zarovnať * } ).

Potom (f '(x) = dfrac {1} {x} + dfrac { cos x} {2 (5 + sin x)} - dfrac {2x + 9} {x ^ 2 + 9x + 1} ).

20) (f (x) = x ^ 2 ln 9x )

21) (f (x) = log ( sec x) )

Odpoveď:
(f '(x) = dfrac { tan x} { ln 10} )

22) (f (x) = log_7 (6x ^ 4 + 3) ^ 5 )

23) (f (x) = 2 ^ x⋅ log_37 ^ {x ^ 2−4} )

Odpoveď:
(f '(x) = 2 ^ x⋅ ln 2⋅ log_3 7 ^ {x ^ 2−4} + 2 ^ x⋅ dfrac {2x ln 7} { ln 3} )

Pri cvičeniach 24 - 31 nájdite pomocou logaritmickej diferenciácie ( dfrac {dy} {dx} ).

24) (y = x ^ { sqrt {x}} )

25) (y = ( sin 2x) ^ {4x} )

Odpoveď:
( dfrac {dy} {dx} = ( sin 2x) ^ {4x} big [4⋅ ln ( sin 2x) + 8x⋅ postieľka 2x big] )

26) (y = ( ln x) ^ { ln x} )

27) (y = x ^ { log_2x} )

Odpoveď:
( dfrac {dy} {dx} = x ^ { log_2x} ⋅ dfrac {2 ln x} {x ln 2} )

28) (y = (x ^ 2−1) ^ { ln x} )

29) (y = x ^ { detská postieľka x} )

Odpoveď:
( dfrac {dy} {dx} = x ^ { cot x} ⋅ left [- csc ^ 2x⋅ ln x + dfrac { cot x} {x} right] )

30) (y = dfrac {x + 11} { sqrt [3] {x ^ 2−4}} )

31) (y = x ^ {- 1/2} (x ^ 2 + 3) ^ {2/3} (3x − 4) ^ 4 )

Odpoveď:
( dfrac {dy} {dx} = x ^ {- 1/2} (x ^ 2 + 3) ^ {2/3} (3x − 4) ^ 4⋅ doľava [ dfrac {−1} { 2x} + dfrac {4x} {3 (x ^ 2 + 3)} + dfrac {12} {3x − 4} vpravo] )

32) [T] Nájdite rovnicu dotyčnice k grafu (f (x) = 4xe ^ {(x ^ 2−1)} ) v mieste, kde

(x = −1. ) Vytvorte graf funkcie aj dotyčnice.

33) [T] Nájdite rovnicu priamky, ktorá je normálna ku grafu (f (x) = x⋅5 ^ x ) v bode, kde (x = 1 ). Vytvorte graf funkcie aj normálnej čiary.

Odpoveď:
(y = frac {11} {5 + 5 ln 5} x + doľava (5+ frac {1} {5 + 5 ln 5} doprava) )

34) [T] Nájdite rovnicu dotyčnice k grafu (x ^ 3 − x ln y + y ^ 3 = 2x + 5 ) v bode (x = 2 ). (Rada: Na nájdenie ( dfrac {dy} {dx} ) použite implicitnú diferenciáciu.) Vytvorte graf ako krivku, tak aj dotyčnicu.

35) Zvážte funkciu (y = x ^ {1 / x} ) pre (x> 0. )

a. Určte body v grafe, kde je dotyčnica vodorovná.

b. Určte body v grafe, kde ( dfrac {dy} {dx}> 0 ) a tie, kde ( dfrac {dy} {dx} <0 ).

Odpoveď:
a. (x = e približne 2,718 )
b. ((e, ∞), ; (0, e) )

36) Vzorec (I (t) = dfrac { sin t} {e ^ t} ) je vzorec pre rozpadajúci sa striedavý prúd.

a. Vyplňte nasledujúcu tabuľku s príslušnými hodnotami.

(t ) ( frac { sin t} {e ^ t} )
0i)
(π / 2 )ii)
(π )iii)
(3π / 2 )vi)
(2π )(v)
(2π )vi)
(3π )vii)

b. Pomocou iba hodnôt v tabuľke určite, kde je dotyčnica grafu (I (t) ) vodorovná.

37) [T] Populácia v Tolede v štáte Ohio v roku 2000 bola približne 500 000. Predpokladajme, že populácia rastie tempom 5% ročne.

a. Napíšte exponenciálnu funkciu, ktorá súvisí s celkovou populáciou, ako funkcia (t ).

b. Použite časť a. určiť rýchlosť, akou populácia rastie (t ) rokov.

c. Použite časť b. určiť rýchlosť rastu populácie za 10 rokov

Odpoveď:
a. (P = 500 000 (1,05) ^ t ) jednotlivcov
b. (P ′ (t) = 24395⋅ (1,05) ^ t ) jednotlivcov ročne
c. (39 737 ) osôb ročne

38) [T] Izotop prvku erbium má polčas približne 12 hodín. Spočiatku je prítomných 9 gramov izotopu.

a. Napíšte exponenciálnu funkciu, ktorá súvisí s množstvom zvyšnej látky ako funkcia (t ), meraná v hodinách.

b. Použite a. na určenie rýchlosti, ktorou sa látka rozpadá za (t ) hodín.

c. Použite b. aby sa určila rýchlosť rozpadu za (t = 4 ) hodín.

39) [T] Počet prípadov chrípky v New Yorku od začiatku roku 1960 do začiatku roku 1961 je modelovaný funkciou (N (t) = 5,3e ^ {0,093t ^ 2−0,87t}, (0≤t≤4) ), kde (N (t) ) udáva počet prípadov (v tisícoch) a (t ) sa meria v rokoch, pričom (t = 0 ) zodpovedá začiatkom roku 1960.

a. Zobraziť prácu, ktorá hodnotí (N (0) ) a (N (4) ). Stručne opíšte, čo tieto hodnoty naznačujú o chorobe v New Yorku.

b. Zobraziť prácu, ktorá hodnotí (N ′ (0) ) a (N ′ (3) ). Stručne opíšte, čo tieto hodnoty naznačujú o chorobe v Spojených štátoch.

Odpoveď:
a. Na začiatku roku 1960 bolo v New Yorku 5,3 tisíc prípadov ochorenia. Na začiatku roku 1963 sa v USA vyskytlo približne 723 prípadov tohto ochorenia.
b. Na začiatku roku 1960 počet prípadov ochorenia klesal rýchlosťou (- 4,611 ) tisíc ročne; na začiatku roku 1963 počet prípadov ochorenia klesal rýchlosťou (- 0,2808 ) tisíc ročne.

40) [T] Relatívna rýchlosť zmeny diferencovateľnej funkcie (y = f (x) ) je daná ( frac {100⋅f ′ (x)} {f (x)}%. ) Jedným modelom rastu populácie je Gompertzova funkcia rastu, daná vzťahom (P (x) = ae ^ {- b⋅e ^ {- cx}} ) kde (a, b ) a (c ) sú konštanty.

a. Nájdite vzorec relatívnej rýchlosti zmeny pre všeobecnú Gompertzovu funkciu.

b. nájsť relatívnu rýchlosť zmeny populácie za (x = 20 ) mesiacov, kedy (a = 204, ; b = 0,0198, ) a (c = 0,15. )

c. Stručne interpretujte, aký je výsledok časti b. znamená.

Pre cvičenia 33 - 36 použite populáciu New York City od roku 1790 do roku 1860, uvedenú v nasledujúcej tabuľke.

Rok od roku 1790Populácia
033,131
1060,515
2096,373
30123,706
40202,300
50312,710
60515,547
70813,669

Obyvateľstvo mesta New York v priebehu času Zdroj: http://en.Wikipedia.org/wiki/Largest..._United_States

_by_population_by_decade

41) [T] Pomocou počítačového programu alebo kalkulačky prispôsobte rastovú krivku údajom formulára (p = ab ^ t ).

Odpoveď:
(p = 35741 (1,045) ^ t )

42) [T] Pomocou exponenciálnej najlepšej zhody pre údaje napíšeme tabuľku obsahujúcu deriváty hodnotené každý rok.

43) [T] Pomocou exponenciálnej najlepšej zhody pre údaje napíš tabuľku obsahujúcu druhé deriváty hodnotené každý rok.

Odpoveď:
Rok od roku 1790 (P ")
069.25
10107.5
20167.0
30259.4
40402.8
50625.5
60971.4
701508.5

44) [T] Pomocou tabuliek prvej a druhej derivácie a tabuľky najvhodnejších odpovedzte na nasledujúce otázky:

a. Bude model presný pri predpovedaní budúcej populácie mesta New York? Prečo áno alebo prečo nie?

b. Odhad počtu obyvateľov v roku 2010. Bola predpoveď správna z časti a.?


Veľké nápady Matematická geometria odpovedá na kapitolu 8 Podobnosť

Štúdium a precvičovanie matematickej geometrie by sa malo uskutočňovať zábavným procesom učenia sa, aby sa lepšie pochopili pojmy. Najlepším sprievodcom pri príprave matematiky zábavným spôsobom učenia je teda náš průvodce Veľké nápady Matematická geometria odpovedá na kapitolu 8 Príručka podobnosti. V tejto študijnej príručke nájdete rôzne otázky týkajúce sa cvičení, prehľady kapitol, testy, postupy kapitol, kumulatívne hodnotenie atď., Aby ste sa naučili všetky témy podobné kapitole 8. Tieto otázky a odpovede vysvetľujú odborníci v odbore jednoduchým spôsobom, aby sa študenti tak ľahko učili a pri skúškach dosiahli maximálne známky.


Preskúmajte všetky naše pracovné listy na odčítanie, od odčítania počítaním objektov až po odčítanie veľkých čísel v stĺpcoch.

K5 Learning ponúka bezplatné pracovné listy, kartičky a lacné pracovné zošity pre deti v materskej škole do 5. ročníka. Pomáhame vašim deťom budovať dobré študijné návyky a vyniknúť v škole.

K5 Learning ponúka bezplatné pracovné listy, kartičky a lacné pracovné zošity pre deti v materskej škole do 5. ročníka. Pomáhame vašim deťom budovať dobré študijné návyky a vyniknúť v škole.


3.8 Inverzie a radikálne funkcie

Kopa štrku má tvar kužeľa s výškou rovnou dvojnásobku polomeru.

Objem sa zistí pomocou vzorca z elementárnej geometrie.

Táto funkcia je inverznou hodnotou vzorca pre V V z hľadiska r. r.

V tejto časti preskúmame inverzie polynomiálnych a racionálnych funkcií, najmä radikálne funkcie, s ktorými sa v procese stretávame.

Nájdenie inverznej funkcie polynómu

Aby funkcia mala inverznú funkciu, mala by vytvoriť novú funkciu, ktorá je porovnateľná s každou a bude mať inverznú funkciu.

Napríklad predpokladajme, že zberač odtoku vody je postavený v tvare parabolického žľabu, ako je to znázornené na obrázku 2. Informácie na obrázku môžeme použiť na nájdenie povrchu vody v žľabe ako funkciu hĺbky voda.

Pretože bude užitočné mať rovnicu pre tvar parabolického prierezu, uložíme do prierezu súradnicový systém, pričom x x sa bude merať horizontálne a yy sa bude merať vertikálne, pričom počiatok bude na vrchole paraboly. Pozri obrázok 3.

Z toho nájdeme rovnicu pre parabolický tvar. Originál sme umiestnili na vrchol paraboly, takže vieme, že rovnica bude mať tvar y (x) = a x 2. y (x) = a x 2. Naša rovnica bude musieť prejsť bodom (6, 18), z ktorého môžeme vyriešiť faktor rozťažnosti a. a.

Náš parabolický prierez má rovnicu

Aby sme našli inverziu, môžeme obmedziť našu pôvodnú funkciu na obmedzenú doménu, na ktorej je je jeden na jedného. V tomto prípade má zmysel obmedziť sa na kladné hodnoty x x. Na tejto doméne nájdeme inverziu riešením pre vstupnú premennú:

Tento príklad ilustruje dva dôležité body:

  1. Keď nachádzame inverznú hodnotu kvadratickej oblasti, musíme sa obmedziť na doménu, v ktorej je funkcia jedna k jednej.
  2. Inverzná hodnota kvadratickej funkcie je druhá odmocnina. Obidve sú to sady nástrojov a rôzne typy výkonových funkcií.

Funkcie zahŕňajúce korene sa často nazývajú radikálne funkcie. Aj keď nie je možné nájsť inverziu väčšiny polynomiálnych funkcií, niektoré základné polynómy majú inverzie. Takéto funkcie sa nazývajú invertovateľné funkcie a používame zápis f - 1 (x). f - 1 (x).

Overenie, či sú dve funkcie navzájom obrátené

Ako

Vzhľadom na polynomiálnu funkciu nájdite inverznú hodnotu funkcie obmedzením domény tak, aby bola nová funkcia jedna k jednej.

Príklad 1

Overovanie inverzných funkcií

Riešenie

Príklad 2

Hľadanie inverzie kubickej funkcie

Nájdite inverznú hodnotu funkcie f (x) = 5 x 3 + 1. f (x) = 5 x 3 + 1.

Riešenie

Toto je transformácia základnej kubickej funkcie sady nástrojov a na základe našich znalostí o tejto funkcii vieme, že je to jedna k jednej. Riešenie pre inverziu riešením pre x. X .

Analýza

Nájdite inverznú funkciu f (x) = x + 4 3. f (x) = x + 4 3.

Obmedzenie domény na nájdenie inverznej funkcie polynómu

Doteraz sme boli schopní nájsť inverzné funkcie kubických funkcií bez toho, aby sme museli obmedzovať ich domény. Ako však vieme, nie všetky kubické polynómy sú dvojstranné. Niektoré funkcie, ktoré nie sú dvojstránkové, môžu mať obmedzenú svoju doménu tak, že sú dvojstránkové, ale iba cez túto doménu. Funkcia nad obmedzenou doménou by potom mala inverznú funkciu. Pretože kvadratické funkcie nie sú jedna k jednej, musíme obmedziť ich doménu, aby sme našli ich inverzie.

Obmedzenie domény

Ak nie je funkcia jedna k jednej, nemôže mať inverznú funkciu. Ak obmedzíme doménu funkcie tak, aby sa stala jednotkou proti jednej, čím vytvoríme novú funkciu, bude mať táto nová funkcia inverzný priebeh.

Ako

Vzhľadom na polynomiálnu funkciu obmedzte doménu funkcie, ktorá nie je jedna k jednej, a potom nájdite inverznú hodnotu.

  1. Obmedzte doménu určením domény, v ktorej je pôvodná funkcia jedna k jednej.
  2. Nahraďte f (x) za y. f (x) s y.
  3. Výmena x a y. x a r.
  4. Vyriešte y, y a premenujte funkciu alebo dvojicu funkcií f - 1 (x). f - 1 (x).
  5. Upravte vzorec pre f - 1 (x) f - 1 (x) a zaistite, aby výstupy inverznej funkcie zodpovedali obmedzenej doméne pôvodnej funkcie.

Príklad 3

Obmedzenie domény na nájdenie inverznej funkcie polynómu

Nájdite inverznú funkciu f: f:

Riešenie

Ak chcete nájsť inverziu, začnite nahradením f (x) f (x) jednoduchou premennou y. r.

Analýza

Príklad 4

Hľadanie inverzie kvadratickej funkcie, keď nie je uvedené obmedzenie

Obmedzte doménu a potom nájdite inverznú hodnotu k

Riešenie

Na nájdenie inverznej hodnoty použijeme vrcholovú formu kvadratickej. Začneme nahradením f (x) f (x) jednoduchou premennou y, y, potom vyriešime x. X .

Teraz musíme určiť, ktorý prípad použiť. Pretože sme obmedzili našu pôvodnú funkciu na doménu x ≥ 2, x ≥ 2, výstupy inverznej hodnoty by mali byť rovnaké, čo nám hovorí, aby sme využili prípad +

Ak by kvadratik nebol daný vo vrcholovej podobe, bol by prvým krokom jej prepis do vrcholovej podoby. Týmto spôsobom môžeme ľahko pozorovať súradnice vrcholu, ktoré nám pomôžu obmedziť doménu.

Analýza

Nájdite inverznú hodnotu funkcie f (x) = x 2 + 1, f (x) = x 2 + 1 na doméne x ≥ 0, x ≥ 0.

Riešenie aplikácií radikálnych funkcií

Všimnite si, že funkcie z predchádzajúcich príkladov boli všetky polynómy a ich inverzie boli radikálne funkcie. Ak chceme nájsť inverziu radikálnej funkcie, budeme musieť obmedziť doménu odpovede, pretože rozsah pôvodnej funkcie je obmedzený.

Ako

Vzhľadom na radikálnu funkciu nájdite inverznú hodnotu.

Príklad 5

Hľadanie inverzie radikálnej funkcie

Obmedzte doménu a potom nájdite inverznú funkciu funkcie f (x) = x - 4. f (x) = x - 4.

Riešenie

Upozorňujeme, že pôvodná funkcia má rozsah f (x) ≥ 0. f (x) ≥ 0. Nahraďte f (x) f (x) za y, y, potom vyriešte znak x. X .

Pripomeňme, že doména tejto funkcie musí byť obmedzená na rozsah pôvodnej funkcie.

Analýza

Vyskúšajte # 4

Obmedzte doménu a potom nájdite inverznú funkciu funkcie f (x) = 2 x + 3. f (x) = 2 x + 3.

Radikálne funkcie sú vo fyzických modeloch bežné, ako sme videli v otváraní sekcií. Teraz máme dostatok nástrojov na to, aby sme dokázali vyriešiť problém predstavený na začiatku časti.

Príklad 6

Riešenie aplikácie s kubickou funkciou

Kopa štrku má tvar kužeľa s výškou rovnou dvojnásobku polomeru. Objem kužeľa z hľadiska polomeru je daný vzťahom

Riešenie

Toto je výsledok uvedený v otvárači sekcií. Teraz to vyhodnotte pre V = 100 V = 100 a π = 3,14. π = 3,14.

Polomer je preto asi 3,63 stopy.

Určenie domény radikálnej funkcie zloženej z ďalších funkcií

Ak sú radikálne funkcie zložené z ďalších funkcií, určenie domény sa môže skomplikovať.

Príklad 7

Nájdenie domény radikálnej funkcie zloženej z racionálnej funkcie

Nájdite doménu funkcie f (x) = (x + 2) (x - 3) (x - 1). f (x) = (x + 2) (x - 3) (x - 1).

Riešenie

Aby sme určili intervaly, v ktorých je racionálny výraz pozitívny, mohli by sme otestovať niektoré hodnoty vo výraze alebo nakresliť graf. Aj keď oba prístupy fungujú rovnako dobre, v tomto príklade použijeme graf znázornený na obrázku 9.

Táto funkcia má dve X-koncepty, ktoré obidva vykazujú lineárne správanie v blízkosti X- koncepty. Existuje jeden vertikálny asymptot, ktorý zodpovedá lineárnemu faktoru, toto chovanie je podobné základnej recipročnej funkcii sady nástrojov a neexistuje žiadny horizontálny asymptot, pretože stupeň čitateľa je väčší ako stupeň menovateľa. Existuje r-intercept na (0, 6). (0, 6).

Z grafu teraz môžeme zistiť, v ktorých intervaloch budú výstupy nezáporné, aby sme si boli istí, že bude definovaná pôvodná funkcia f (x) f (x). f (x) f (x) má doménu - 2 ≤ x & lt 1 alebo x ≥ 3, - 2 ≤ x & lt 1 alebo x ≥ 3, alebo v intervalovom zápise, [- 2, 1) ∪ [3, ∞). [- 2, 1) ∪ [3, ∞).

Hľadanie inverzií racionálnych funkcií

Rovnako ako pri hľadaní inverzií kvadratických funkcií je niekedy žiaduce nájsť inverznú hodnotu racionálnej funkcie, najmä racionálnych funkcií, ktoré sú pomerom lineárnych funkcií, napríklad v koncentračných aplikáciách.


(a) Vysvetlenie: Výpočty v danej tabuľke. Krok Počet nových štvorcov * Dĺžka každej strany Obvod jedného nového štvorca * Celkový obvod všetkých nových štvorcov * Celkový obvod všetkých štvorcov * 1 1 1 ft 4 ⋅ 1 ft = 4 ft 1 ⋅ 4 ft = 4 ft 4 ft 2 1 1/3 ⋅ 1 ft = 1/3 ft 4 ⋅ 1/3 ft = 4/3 ft 1 ⋅ 4/3 ft = 4/3 ft 4 ft + 4/3 ft 3 8 4 5 6

Faktor, ktorým sa zvyšuje počet štvorcov, a vysvetlite odpoveď.

Faktor, ktorým sa dĺžka každej strany zmenšuje, a vysvetlite odpoveď.

Faktor, ktorým sa mení obvod jedného nového štvorca, vysvetľuje odpoveď a určuje, či sa obvod jedného štvorca zväčšuje alebo zmenšuje.

Faktor, ktorým sa mení celkový obvod všetkých nových štvorcov a vysvetľujú odpoveď, je celkový obvod všetkých nových štvorcov, sa zväčšuje alebo zmenšuje.

Nájdite vzorec pre celkový obvod všetkých nových štvorcov v kroku n.

Trendy v celkovom obvode všetkých nových štvorcov z kroku na krok.

Obvod koberca Sierpinski a vysvetlite to.

Chcete vidieť úplnú odpoveď?

Chcete vidieť túto odpoveď a ešte viac?

Odborníci čakajú 24 hodín denne, 7 dní v týždni na poskytnutie podrobných riešení už za 30 minút! *

* Doba odozvy sa môže líšiť podľa zložitosti predmetu a otázky. Stredná doba odozvy pre platených predplatiteľov je 34 minút a môže byť dlhšia pre propagačné ponuky.


NKU používa na tomto webe súbory cookie

Informácie zhromažďuje NKU automaticky ako súčasť prevádzkovania softvéru na našej webovej stránke. Tieto údaje nie sú osobnými informáciami. NKU používa tieto informácie na interné účely, ako je marketing a sledovanie toho, ktoré stránky sú najčastejšie navštevované. Kliknite na tlačidlo „Prijať“, ak chcete naďalej používať webové stránky NKU, a vyjadrite súhlas s našim zhromažďovaním súborov cookie. Viac informácií nájdete vo Vyhlásení o ochrane osobných údajov na webe NKU.

Severná Kentucky University
Nunn Drive | Highland Heights, Kentucky 41099


  • Klasifikujte a zmerajte uhly
  • Klasifikujte trojuholníky
  • Klasifikujte štvoruholníky
  • Plocha a obvod obdĺžnikov (obvyklé jednotky, metrické jednotky)
  • Plocha a obvod nepravidelných obdĺžnikových tvarov (obvyklé jednotky, metrické údaje)
  • Plocha pravouhlých trojuholníkov
  • Plocha trojuholníkov
  • Plocha trojuholníkov, rovnobežníkov a lichobežníkov
  • Obvod kruhu
  • Plocha kruhu
  • Objem a povrch obdĺžnikových hranolov
  • Vynesenie a načítanie bodov na mriežke
  • Klasifikujte a zmerajte uhly a trojuholníky
  • Klasifikácia štvoruholníkov (7 typov)
  • Plocha a obvod nepravidelných obdĺžnikových tvarov
  • Plocha a obvod trojuholníkov a štvoruholníkov
  • Plocha a obvod rovnobežníkov a lichobežníkov
  • Obvod a plocha kruhov
  • Objem a povrch obdĺžnikových hranolov (zlomkové dĺžky, desatinné miesta)
  • Objem a povrch 3D tvarov

Lekcia 1

Študenti vedia z práce v predchádzajúcich ročníkoch, ako nájsť plochu štvorca vzhľadom na dĺžku strany. V tejto lekcii položíme základy myslenia opačným smerom: ak poznáme plochu štvorca, aká je dĺžka strany? Predtým, ako študenti na nasledujúcej hodine formálne definujú tento vzťah, odhadnú dĺžky strán štvorcov so známymi oblasťami pomocou nástrojov ako pravítka a pauzovací papier (MP5). Prehodnocujú tiež kľúčové stratégie hľadania oblastí, s ktorými sa stretli v skorších ročníkoch, ktoré použijú na pochopenie a vysvetlenie neformálnych dôkazov Pytagorovej vety.

V rámci rozcvičky študenti porovnávajú oblasti figúrok, ktoré je možné ľahko určiť zostavením a spočítaním štvorcových jednotiek alebo rozložením figúrok na jednoduché známe tvary. V ďalšej aktivite študenti nájdu oblasti „naklonených“ štvorcov tak, že ich uzavrú do väčších štvorcov, ktorých plochy je možné určiť, a potom odpočítajú oblasti ďalších trojuholníkov. Ďalšia aktivita posilňuje vzťah medzi oblasťami druhých mocnín a ich dĺžkami po stranách a pripravuje pôdu pre definíciu druhej odmocniny v nasledujúcej lekcii.


Autotesty

Pokiaľ ide o priebežné obdobie roku 2008, v otázke 9 by malo byť uvedené, že det (A) = +4, nie -4.

Pre niektoré otázky k týmto strednodobým podmienkam musíte vedieť, že zbierka vektorov sa nazýva a základe pre podpriestor, ak sa rozprestiera nad týmto podpriestorom a je lineárne nezávislou množinou.

Pre tieto minulé skúšky nemáme riešenie, ale tu sú odpovede na pravdivé / nepravdivé otázky:

November 2005, Q16: F T T F T F T T T
Marec 2006, Q17: T F F T F T T F F T
Marec 2008, Q11: T T T F F F T


3.8E: Cvičenie k časti 3.8 - Matematika

Na tejto stránke nájdete naše pracovné listy Order of Operation pre stupne 4 až 6 s uplatnením pravidiel BODMAS alebo PEMDAS. BODMAS znamená zátvorky, objednávky (druhé odmocniny a exponenty), delenie, násobenie, sčítanie a odčítanie. Zmiešanie správneho poradia operácií môže viesť k nesprávnym odpovediam. To znamená, že čokoľvek v zátvorkách (zátvorkách) pôjde ako prvé. Exponenty (alebo druhé odmocniny) idú pred 4 základnými operáciami a násobenie a delenie idú pred sčítaním a odčítaním. Rozdelenie a násobenie sú rovnocenné, rovnako ako sčítanie a násobenie. V takom prípade musíte čítať zľava doprava a čo bude skôr, bude skôr.

PEMDAS znamená zátvorky (zátvorky), exponenty, násobenie, delenie, sčítanie a odčítanie a funguje rovnako ako BODMAS. Je to len iná mnemotechnická pomôcka pre ten istý princíp. Ďalšie známe mnemotechnické pomôcky sú BEDMAS, BIDMAS, BOMDAS a všetky tieto stránky fungujú rovnako.

Máme sekciu so základnými operáciami, ktorá má iba kladné celé čísla so zátvorkami aj bez nich. Budú sa musieť uplatniť pravidlá BODMAS a PEMDAS a tieto relatívne jednoduchšie cviky sú skvelým východiskovým bodom pre študentov, ktorí si chcú osvojiť pojem poriadok operácií.

Keď trik získate, môžete ho trochu okoreniť zápornými číslami, dvojitými zátvorkami, desatinnými miestami, exponentmi a dosť náročnými pracovnými listami so zlomkami. Tieto pracovné listy sú vhodné pre ročníky 6 a 7 alebo pre whizzkids v nižších úrovniach.

Pracovné listy nášho poradia operácií pre matematické ročníky 4 až 6 zahŕňajú: poradie kladných a záporných celých čísel so zátvorkami a zátvorkami a bez nich, poradie pracovných hárkov s zlomkami, pracovné hárky s desiatkami, pracovné hárky s exponentmi, chýbajúce čísla a operátory poradie pracovných hárkov, pracovných hárkov bodmas, pracovných hárkov pemdas.