Články

3.4E: Cvičenia - Riešenie systémov s inverzami - Matematika


Nájdite inverznú hodnotu každej matice (ak je to možné).

1. [A = doľava [ začiatok {pole} {rr} 2 a 1 -1 & 3 koniec {pole} doprava] nonumber ]

2. [A = doľava [ začiatok {pole} {rr} 0 a 1 5 a 3 koniec {pole} doprava] nonumber ]

3. [A = doľava [ začiatok {pole} {rr} 2 a 1 4 & 2 koniec {pole} doprava] nonumber ]

4. [A = doľava [ začať {pole} {rrr} 1 a 0 a 3 2 a 3 a 4 1 a 0 a 2 koniec {pole} doprava] nonumber ]

Na riešenie pre všetky premenné použite inverzie.

5.

( begin {bmatrix} -3 & 1 nonumber [4pt] 4 & -2 end {bmatrix} begin {bmatrix} x nonumber [4pt] y end {bmatrix} = begin {bmatrix} - 7 nonumber [4pt] 12 end {bmatrix} )

6. [ begin {align *} 3x + y & = 2 10x + 7y & = -8 end {align *} nonumber ]

7. [ begin {align *} x + 6y + 3z & = 4 2x + y + 2z & = 3 3x-2y + z & = 0 end {align *} nonumber ]

Napíš sústavu rovníc, ktorá predstavuje každý scenár. Potom pomocou inverzií vyriešte požadované množstvo.

8) Reštaurácia s rýchlym občerstvením má výrobné náklady (C (x) = 11x + 120 ) a príjmovú funkciu (R (x) = 5x ). Kedy začne spoločnosť dosahovať zisk?

9) Hudobník účtuje (C (x) = 64x + 20 000 ), kde (x ) je celkový počet účastníkov koncertu. Miesto konania si účtuje ( $ 80 ) za lístok. Po koľkých ľuďoch sa kupujú lístky, dejisko sa vyrovná a aká je hodnota celkových predaných lístkov v danom okamihu?

10) Ak investor investuje (23 000 $) do dvoch dlhopisov, jeden platí (4 \% ) jednoduchým úrokom a druhý platí ((2 \% ) jednoduchý úrok a investor zarába ( 710,00 $ ) ročný úrok, koľko sa investovalo do každého účtu?


RIEŠIACE SYSTÉMY ROVNÍKOV POMOCOU PRACOVNÉHO LISTU S INVERTOROVÝMI MATICAMI

(1) & # xa0 Vyriešte nasledujúci systém lineárnych rovníc metódou inverzie matíc:

(iii) & # xa0 2x + 3y - z = 9, x + y + z = 9, 3x - y - z = -1

(iv) & # xa0 x + y + z - 2 = 0, 6x - 4y + 5z - 31 = 0, 5x + 2y + 2z = 13

vyhľadajte produkty AB a BA a vyriešte teda sústavu rovníc x + y + 2z = 1,3x + 2y + z = 7,2x + y + 3z = 2.

(3) & # xa0 & # xa0 Muž je menovaný na prácu s mesačnou mzdou v určitej výške a pevnou výškou ročného prírastku. Ak jeho mzda bola na konci prvého mesiaca po 3 rokoch služby & # xa0 ₹ 1 900 800 mesačne a & # xa0 ₹ 23 400 mesačne na konci prvého mesiaca po 9 rokoch služby, vyhľadajte jeho nástupný plat a jeho ročnú mzdu prírastok. (Na vyriešenie problému použite metódu inverzie matice.) & # Xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 riešenie

(4) & # xa0 Štyria muži a 4 ženy môžu dokončiť prácu spoločne za 3 dni, zatiaľ čo 2 muži a 5 žien & # xa0 môžu dokončiť rovnakú prácu spoločne za 4 dni. Nájdite čas, ktorý trvá jeden muž sám a & # xa0 jednej ženy sám, na dokončenie rovnakej práce pomocou metódy inverzie matíc. & # Xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 riešenie

(5) & # xa0 Ceny troch komodít A, B a C sú & # xa0 ₹ & # xa0x, yaz za jednotku. Osoba & # xa0 P kúpi 4 jednotky B a predá dve jednotky A a 5 jednotiek C. Osoba Q kúpi 2 & # xa0 jednotiek C a predá 3 jednotky A a jednu jednotku B. Osoba R kúpi jednu jednotku A a & # xa0 predá 3 jednotky B a jednu jednotku C. V tomto procese P, Q a R zarobia & # xa0 ₹ & # xa015 000, & # xa0 ₹ & # xa01 000, respektíve & # xa0 ₹ 4 000. Nájdite ceny za jednotku A, B a C. (Použite metódu inverzie matice na & # xa0 riešenie problému.) & # Xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 riešenie

Okrem vecí uvedených v tejto časti & # xa0, ak potrebujete ďalšie veci v matematike, použite tu naše vlastné vyhľadávanie google.

Ak máte spätnú väzbu k nášmu matematickému obsahu, pošlite nám e-mail: & # xa0

Vždy si ceníme vašu spätnú väzbu. & # Xa0

Môžete tiež navštíviť nasledujúce webové stránky s rôznymi témami v matematike. & # Xa0


Úvod do lineárnych kongruencií

Lineárne kongruencie sú hlavným predmetom diskusie k tomuto článku.

Definícia. Dané celé čísla $ a, b $ a modul $ n, $ a kongruenčná rovnica tvaru $ a x ekviv b pmod $ sa nazýva a lineárna kongruencia kde $ x $ nie je známe.

Riešiteľnosť lineárnej kongruencie $ a x equiv b pmod$ sa dá ľahko opísať nasledovne:

i) ak sú $ a $ a $ n $ relatívne najlepšie, potom existuje práve jedno nekonzistentné riešenie modulo $ n $,

ii) ak najväčší spoločný deliteľ $ a $ a $ n $ nerozdeľuje $ b $, potom lineárna kongruencia nemá riešenie a

(iii) ak gcd $ a $ a $ n $ rozdeľuje $ b $, potom existujú presne $ (a, n) $ odlišné nesúrodé riešenia modulo $ n. $


„Problém“ lineárneho systému

„Problém“ lineárneho systému je možné položiť nasledujúcim spôsobom. Nájdite -vektor, ktorý spĺňa maticovú rovnicu

kde je matica a je -vektor.

Pravdepodobne už viete, že „zvyčajne“ existuje riešenie, ak je matica štvorcová (teda ak). Zatiaľ sa budeme sústrediť na tento prípad. Možno by vás však zaujímalo, či existuje inteligentná odpoveď na tento problém pre prípady štvorcovej, ale singulárnej matice alebo obdĺžnikového systému, či už nadmerne určeného alebo nedostatočne určeného.

Pravdepodobne ste niekedy boli oboznámení s niekoľkými algoritmami na výrobu riešenia problému lineárneho systému, vrátane Cramerovho pravidla (pomocou determinantov), ​​zostrojenia inverznej matice, eliminácie Gauss-Jordan a Gaussovej faktorizácie. Uvidíme, že obvykle nie je dobrý nápad konštruovať inverznú maticu a pri riešení lineárnych systémov sa zameriame na Gaussovu faktorizáciu.

Bude nás zaujímať niekoľko tém: Efektívnosť: aké algoritmy prinesú výsledok s menšou prácou? Presnosť: aké algoritmy poskytujú odpoveď, ktorá bude pravdepodobne presnejšia? Obtiažnosť: čo sťažuje alebo znemožňuje vyriešiť problém? Špeciálne prípady: ako riešime veľké problémy? symetrický? páskovaný? jednotné číslo? obdĺžnikové?


RIEŠENIE PROBLÉMOV S SLOVOM POUŽITÍM INVERZNEJ MATICE

vyhľadajte produkty AB a BA a vyriešte teda sústavu rovníc x + y + 2z = 1,3x + 2y + z = 7,2x + y + 3z = 2.

x + y + 2z = 1, 3x + 2y + z = 7, 2x + y + 3z = 2

Takže hodnoty x, yaz oblasti 2, 1 respektíve -1.

Muž je menovaný do zamestnania s určitým mesačným platom a pevnou výškou ročného prírastku. Ak bol jeho plat na konci prvého mesiaca po 3 rokoch služby & # xa0 ₹ 1 800 800 mesačne a & # xa0 ₹ 23 400 $ mesačne na konci prvého mesiaca po 9 rokoch služby, vyhľadajte jeho nástupný plat a jeho ročnú mzdu prírastok. (Na vyriešenie problému použite metódu inverzie matice.)

Nech „x“ a „y“ sú mesačný plat & # xa0 a pevná suma ročného prírastku.

Takže mesačný plat je 18000 a ročný prírastok je 600.

Štyria muži a 4 ženy môžu spoločne dokončiť prácu za 3 dni, zatiaľ čo 2 muži a 5 žien & # xa0 môžu rovnakú prácu dokončiť spoločne za 4 dni. Pomocou metódy inverzie matíc & # xa0 nájdite čas, ktorý trvá jeden muž sám a & # xa0 jednej ženy sám, kým dokončí rovnakú prácu.

Nech „x“ je počet dní mužov a „y“ počet dní žien.

Jednodňová práca odvedená 1 mužom & # xa0 = & # xa0 1 / x

Jednodňová práca odvedená 1 ženou & # xa0 = & # xa0 1 / r

Ukončenie práce teda môže trvať u mužov 18 dní a u žien 36 dní.

Ceny troch komodít A, B a C sú & # xa0 ₹ & # xa0x, yaz za jednotku. Osoba & # xa0 P kúpi 4 jednotky B a predá dve jednotky A a 5 jednotiek C. Osoba Q kúpi 2 & # xa0 jednotiek C a predá 3 jednotky A a jednu jednotku B. Osoba R kúpi jednu jednotku A a & # xa0 predá 3 jednotky B a jednu jednotku C. V tomto procese P, Q a R zarobia & # xa0 ₹ & # xa015 000, & # xa0 ₹ & # xa01 000, respektíve & # xa0 ₹ 4 000. Nájdite ceny za jednotku A, B a C. (Použite metódu inverzie matice na & # xa0 vyriešenie problému.)

Okrem vyššie uvedených vecí, ak potrebujete ďalšie veci v matematike, použite tu naše vlastné vyhľadávanie google.

Ak máte spätnú väzbu k nášmu matematickému obsahu, pošlite nám e-mail: & # xa0

Vždy si ceníme vašu spätnú väzbu. & # Xa0

Môžete tiež navštíviť nasledujúce webové stránky s rôznymi témami v matematike. & # Xa0


Cvičenia zamerané na budovanie schopností rozhodovať a riešiť problémy

Nasledujúce cvičenia pomôžu členom vášho tímu vyriešiť problémy a efektívnejšie rozhodovať spolu.

Cvičenie 1: Stratení na mori *

Pri tejto aktivite musia účastníci predstierať, že stroskotali a uviazli na záchrannom člne. Každý tím má krabičku zápaliek a množstvo predmetov, ktoré zachránil z potápajúcej sa lode. Členovia sa musia dohodnúť, ktoré položky sú najdôležitejšie pre ich prežitie.

Stiahnite si a vytlačte náš pracovný hárok cvičení pre budovanie tímu, ktorý vám pri tomto cvičení pomôže.

Táto aktivita buduje zručnosti pri riešení problémov, keď členovia tímu navzájom analyzujú informácie, rokujú a spolupracujú. Tiež ich povzbudzuje, aby počúvali a premýšľali o spôsobe rozhodovania.

Čo budete potrebovať

  • V každej skupine môže byť až päť ľudí.
  • Veľká súkromná izba.
  • Tabuľka umiestnenia „stratených na mori“ pre každého člena tímu. Mal by obsahovať šesť stĺpcov. Prvý zoznam jednoducho uvádza každú položku (pozri nižšie). Druhá je prázdna, aby mohol každý člen tímu zoradiť položky. Tretí je určený pre skupinové hodnotenie. Štvrtý je za „správne“ poradie, ktoré sa zverejní na konci cvičenia. A piaty a šiesty sú pre tím, aby zadal rozdiel medzi individuálnym a správnym skóre a tímovým a správnym umiestnením.
  • Medzi položky, ktoré sa majú zaradiť, patria: moskytiéra, plechovka od benzínu, nádoba na vodu, zrkadlo na holenie, sextant, prídely núdze, námorná mapa, plávajúce sedadlo alebo vankúš, lano, niekoľko čokoládových tyčiniek, nepremokavá plachta. , rybársky prút, odpudzovač žralokov, fľaša rumu a rádio VHF. Môžu byť uvedené v rebríčku alebo zobrazené na tabuli alebo obidve.
  • Zážitok sa dá spríjemniť tým, že budete mať v miestnosti nejaké rekvizity stratené na mori.

Flexibilné, ale zvyčajne medzi 25 a 40 minútami.

Inštrukcie

  1. Rozdeľte účastníkov do ich tímov a poskytnite všetkým hodnotiaci hárok.
  2. Požiadajte členov tímu, aby sami venovali 10 minút hodnoteniu položiek podľa dôležitosti. Mali by to urobiť v druhom stĺpci tabuľky.
  3. Dajte tímom ďalších 10 minút, aby sa poradili a rozhodli o svojom skupinovom poradí. Po odsúhlasení by ich mali uviesť v treťom stĺpci svojich listov.
  4. Požiadajte každú skupinu, aby porovnala svoje individuálne hodnotenie s kolektívnym hodnotením, a zvážte, prečo sa líšia skóre. Zmenil niekto počas tímových diskusií názor na svoje vlastné hodnotenie? Nakoľko boli ľudia ovplyvnení skupinovou konverzáciou?
  5. Teraz si prečítajte „správne“ poradie zhromaždené odborníkmi z Pobrežnej stráže USA (od najdôležitejších po najmenej dôležité):
    • Zrkadlo na holenie. (Jeden z vašich najsilnejších nástrojov, pretože ho môžete použiť na signalizáciu vašej polohy odrazom slnka.)
    • Plechovka od benzínu. (Opäť potenciálne dôležité pre signalizáciu, pretože benzín pláva na vode a môže byť rozsvietený vašimi zápasmi.)
    • Nádoba na vodu. (Nevyhnutné na zhromažďovanie vody na obnovenie stratených tekutín.)
    • Núdzové dávky. (Cenné pre základný príjem potravy.)
    • Plastová fólia. (Môže sa použiť na úkryt alebo na zachytávanie dažďovej vody.)
    • Čokoládové tyčinky. (Šikovný prísun potravín.)
    • Rybársky prút. (Potenciálne užitočné, ale neexistuje žiadna záruka, že ste schopní chytiť ryby. Mohlo by sa to tiež zdvojnásobiť ako stanová tyč.)
    • Lano. (Užitočné na vzájomné zviazanie vybavenia, ale nie nevyhnutne nevyhnutné na prežitie.)
    • Plávajúce sedadlo alebo vankúš. (Užitočné ako prostriedok na záchranu života.)
    • Odpudzovač žralokov. (Potenciálne dôležité, keď ste vo vode.)
    • Fľaša rumu. (Môže byť užitočné ako antiseptikum na ošetrenie úrazov, ale dehydratuje vás iba vtedy, ak ho vypijete.)
    • Rádio. (Je pravdepodobné, že ste mimo dosahu akéhokoľvek signálu.)
    • Morský graf. (Bezcenné bez navigačného zariadenia.)
    • Sieťka proti komárom. (Za predpokladu, že ste stroskotali v Atlantiku, kde nie sú komáre, je to dosť zbytočné.)
    • Sextant. (Nepraktické bez príslušných tabuliek alebo chronometra.)

Poradenstvo pre facilitátora

Ideálnym scenárom je, aby tímy dospeli ku konsenzuálnemu rozhodnutiu, v ktorom bude vypočutý názor všetkých. Nie vždy sa to však deje prirodzene: asertívni ľudia majú tendenciu získavať najväčšiu pozornosť. Menej otvorení členovia tímu sa môžu často cítiť vystrašení a nie vždy sa ozvú, zvlášť keď sa ich predstavy líšia od populárneho pohľadu. Tam, kde sú diskusie jednostranné, prilákajte tichších ľudí, aby sa zapojili všetci, ale vysvetlite, prečo to robíte, aby sa z toho ľudia poučili.

Ak je tímová diskusia nevyvážená, môžete použiť techniku ​​Stepladder. Tu požiadajte každého člena tímu, aby premýšľal o probléme individuálne, a po jednom predstavte nové nápady vymenovanému vedúcemu skupiny & ndash bez toho, aby ste vedeli, aké nápady už boli prediskutované. Keď prví dvaja ľudia predstavia svoje nápady, spoločne o nich diskutujú. Potom vedúci pridá tretiu osobu, ktorá pred vypočutím predchádzajúceho vstupu prednesie svoje nápady. Tento cyklus prezentácie a diskusie pokračuje, kým celý tím nedostane príležitosť vyjadriť svoje názory.

Po dokončení cvičení všetci vyzvite svoje tímy, aby vyhodnotili postup a načrtli svoje skúsenosti. Napríklad sa ich opýtajte, aké boli hlavné rozdiely medzi individuálnymi, tímovými a oficiálnymi rebríčkami a prečo. Vyvolá to diskusiu o tom, ako tímy dospievajú k rozhodnutiam, čo prinúti ľudí premýšľať o zručnostiach, ktoré musia použiť v budúcich tímových scenároch, ako sú napríklad schopnosti počúvať, vyjednávať a rozhodovať, ako aj tvorivé schopnosti myslieť „mimo krabice“. „

Častým problémom, ktorý vzniká pri rozhodovaní v tíme, je skupinové myslenie. To sa môže stať, keď skupina kladie túžbu po vzájomnej harmónii nad túžbu dospieť k správnemu rozhodnutiu, ktoré bráni ľuďom v úplnom skúmaní alternatívnych riešení.

Ak sa vo vašich cvičeniach často vyskytujú jednomyseľné rozhodnutia, môže to byť problém so skupinovým myslením. Navrhnite, aby tímy preskúmali nové spôsoby, ako povzbudiť členov, aby diskutovali o svojich názoroch alebo ich zdieľali anonymne.


RIEŠENIE SYSTÉMOV ROVNÍK S POUŽITÍM INVERZNÝCH MATIC

Vyriešte nasledujúci systém lineárnych rovníc metódou inverzie matíc:

Preto sú hodnoty x a y -11, respektíve 4.

Preto sú hodnoty x a y 2, respektíve -4.

(iii) 2x + 3y - z = 9, x + y + z = 9, 3x - y - z = -1

Preto sú hodnoty x, yaz 2, 3 a 4. respektíve & # xa0

(iv) x + y + z - 2 = 0, 6x - 4y + 5z - 31 = 0, 5x + 2y + 2z = 13

| A | & # xa0 = & # xa0 1 (-8 - 10) - 1 (12 - 25) + 1 (12 + 20)

Preto sú hodnoty x, yaz z 3, -2 a 1 v uvedenom poradí.

Okrem vyššie uvedených vecí, ak potrebujete ďalšie veci v matematike, použite tu naše vlastné vyhľadávanie google.

Ak máte spätnú väzbu k nášmu matematickému obsahu, pošlite nám e-mail: & # xa0

Vždy si ceníme vašu spätnú väzbu. & # Xa0

Môžete tiež navštíviť nasledujúce webové stránky s rôznymi témami v matematike. & # Xa0


Súvisiace zdroje

Matice som už množil, ale určite je čas na to, aby som prediskutoval pravidlá pre násobenie matíc.

Zaujímavou časťou je veľa spôsobov, ako to urobiť, a všetky poskytujú rovnakú odpoveď.

Takže násobenie matice, a potom prídu inverzie.

Takže sme spomenuli inverznú závislosť matice.

Veľa čo robiť s inverziami a ako ich nájsť.

Dobre, tak začnem tým, ako vynásobiť dve matice.

Prvý spôsob, dobre, predpokladajme, že mám maticu A, ktorá vynásobí maticu B a - čo mi dá výsledok - no, mohol by som to nazvať C.

Dovoľte mi teda skontrolovať pravidlo pre tento záznam.

To je položka v riadku i a stĺpci j.

Vždy napíšeme číslo riadku a potom číslo stĺpca.

Takže možno - možno - možno to budem brať ako C 3 4, len aby som to spresnil.

Takže namiesto i j mi dovoľte použiť čísla.

C 3 4. Takže odkiaľ to pochádza, vstup troch štyroch?

Pochádza z riadku tri, tu, riadku tri a stĺpca štyri, ako viete.

A môžem len napísať, alebo si na to môžeme napísať vzorec?

Ak sa pozrieme na celý riadok a celý stĺpec, rýchlo mi povieme, že je to tretí riadok A - mohol by som použiť bodku za bodkou.

To vlastne často nebudem používať.

Ale to nám dáva príležitosť jednoducho, podobne, použiť malú maticovú notáciu.

Aký je tento prvý záznam v treťom riadku?

To číslo, ktoré sedí práve tam, je.

A, takže má dva indexy a čo sú to?

3 1. Takže je tu 3 1.

Aký je prvý človek v hornej časti stĺpca štyri?

Čo tam teda sedí?

Aby tento bodový súčin začínal na A 3 1 krát B 1 4. A potom čo bude ďalej - je to akoby som zhromažďoval túto sumu, potom príde ďalší chlap, A 3 2, druhý stĺpec, krát B 2 4 , druhý rad.

Takže je to b A 3 2, B 2 4 a tak ďalej.

Stačí cvičiť s indexmi.

Och, dovoľte mi to ešte precvičiť pomocou súčtového vzorca.

Takže toto je - väčšinou používam celé vektory.

Veľmi zriedka sa dostávam k podrobnostiam týchto konkrétnych záznamov, ale tu by sme to mali urobiť radšej.

Je to teda nejaká suma, že?

Z vecí v riadku tri, stĺpci K poviem?

Čas vecí v riadku K, stĺpci štyri.

Vidíte, že to je to, čo tu vidíme?

Toto je K je jedna, tu K sú dve, ďalej - takže súčet ide úplne pozdĺž riadku a nadol po stĺpci, povedzme, jeden k N.

Takto teda vyzerá položka C tri štyri.

Súčet troch K b K štyroch.

Chce to len trochu cviku.

Dobre. A - teda, možno by som povedal - kedy môžeme tieto matice množiť?

Aké sú tvary týchto vecí?

Tvary sú - ak to dovolíme, nemusí to byť nutne štvorcové matice.

Ak sú hranaté, musia byť rovnaké

veľkosť. Ak sú obdĺžnikové, nie sú rovnakej veľkosti.

Ak sú obdĺžnikové, mohlo by to byť - dobre, vždy si myslím o A ako o m n. m riadkov, n stĺpcov.

Aký to má zmysel - koľko riadkov musí mať B?

n. Počet riadkov v B, počet chlapov, ktorých stretneme zostupujúcich, sa musí zhodovať s počtom tých naprieč.

Takže B bude musieť byť niečím n.

P. Takže počet stĺpcov tu musí zodpovedať počtu riadkov tam, a aký je potom výsledok?

Aký je tvar výsledku?

Aký je tvar C, výstup?

Má to rovnaké m riadky - má to m riadkov.

Takže tam je m krát P malé čísla, položky a každé z nich vyzerá takto.

Dobre. To je teda štandardné pravidlo.

To je spôsob, akým si ľudia myslia, že sa vynásobia matice.

Ale chcem hovoriť o iných spôsoboch, ako sa pozerať na ten istý výpočet, pozerať sa na celé stĺpce a celé riadky.

Dobre. Môžem teda urobiť A B C znova?

Takže tu je opäť A, časy B produkujúce C.

Toto je n od P a toto je m od P. Dobre.

Teraz sa chcem pozrieť na celé stĺpce.

Chcem sa pozrieť na stĺpce - tu je druhý spôsob násobenia matíc.

Pretože budem stavať na tom, čo už viem.

Ako vynásobím maticu stĺpcom?

Viem, ako vynásobiť túto maticu týmto stĺpcom.

Zavolám ten stĺpec jeden?

To mi hovorí, stĺpec jedna z odpovedí.

Matica krát prvý stĺpec je tento prvý stĺpec.

Pretože žiadna z týchto vecí nevstúpila do tej časti odpovede.

Maticový čas druhého stĺpca je druhým stĺpcom odpovede.

Vidíš, čo hovorím?

Že by ma napadlo vynásobiť maticu vektorom, čo som už vedel robiť, a napadli by mi iba P stĺpce, ktoré sedeli vedľa seba, akoby som odpočíval vedľa seba.

A každú z nich vynásobím A-násobkom.

A dostanem P stĺpce odpovede.

Vidíte to ako - je to celkom pekné, vedieť myslieť, dobre, násobenie matíc funguje, takže mi napadne mať niekoľko stĺpcov, vynásobiť A a získať stĺpce odpovede.

Takže, ako, tu je stĺpec jeden, ktorý budem nazývať tento stĺpec jeden?

A to, čo sa tam deje, je stĺpec A times one.

Toto je teda obrázok v stĺpcoch.

Čo mi to teda hovorí?

Čo mi to hovorí o týchto stĺpcoch?

Tieto stĺpce C sú kombinácie stĺpcov A, pretože sme to už videli.

Každý z nich pochádza z A krát toto a A krát vektor je kombináciou stĺpcov A.

A má to zmysel, pretože stĺpce A majú dĺžku m a stĺpce C majú dĺžku m.

A každý stĺpec C je kombináciou stĺpcov A.

A práve tieto čísla mi tu hovoria, o akú kombináciu ide.

Že v tejto odpovedi, C, vidím veci, ktoré sú kombináciami týchto stĺpcov.

Predpokladajme, že sa na to pozriem - to sú teraz dva spôsoby.

Tretia cesta je pozrieť sa na to po riadkoch.

Takže teraz mi dovoľte zmeniť sa na riadky.

Takže teraz ma napadá riadok A - riadok A, ktorý tu znásobí všetky tieto riadky a vytvorí rad produktu.

Tento riadok teda obsahuje kombináciu týchto riadkov a to je odpoveď.

Takže tieto riadky C sú kombináciami čoho?

Povedz mi, ako to dokončiť.

Riadky C, keď mám maticu B, má svoje riadky a vynásobím A a čo to urobí?

Vytvára kombinácie riadkov B, ďakujem.

To je to, čo som chcel vidieť, že táto odpoveď - vidím, odkiaľ tie kúsky pochádzajú.

Riadky v odpovedi prichádzajú ako ich kombinácie

riadkov. Stĺpce v odpovedi prichádzajú ako ich kombinácie

stĺpce. A to teda tromi spôsobmi.

Teraz si môžete povedať, dobre, aký je štvrtý spôsob?

Štvrtý spôsob - tak to je - teraz tu máme bežný spôsob, stĺpovitý spôsob, riadkový spôsob a - čo zostane?

Ten, ktorý môžem - no, jedným spôsobom sú stĺpce a riadky.

Čo sa stane, keď násobím - Takže toto bol stĺpec riadok krát, dalo to číslo.

Dobre. Teraz sa vás chcem spýtať na čas stĺpcov.

Ak vynásobím stĺpec A krát riadok B, s akým tvarom skončím?

Takže ak vezmem stĺpec krát za sebou, je to určite iné, ako keď vezmem riadok krát za stĺpec.

Takže stĺpec A bol - aký je tvar stĺpca A?

Stĺpec A je stĺpec.

Má to m záznamov a jeden stĺpec.

Má jeden riadok a P stĺpcov.

Aký je teda tvar - čo získam, keď vynásobím stĺpec za riadkom?

Ak vynásobím stĺpec za riadkom - mali by sme urobiť iba jeden?

Dovoľte mi, aby som vzal stĺpec dva tri štyri krát rad jeden šesť.

Ten produkt tam - myslím, že keď sa len riadim pravidlami násobenia matíc, tieto pravidlá vyzerajú len ako - malý, malý, pretože riadky tu sú také krátke a stĺpce sú také krátke , ale majú rovnakú dĺžku, jeden záznam.

Aká je odpoveď, keď urobím dva trikrát štyrikrát jeden šiesty, len kvôli cvičeniu?

Aký je prvý riadok odpovede?

A druhý rad odpovede je tri osemnásť.

A tretí riadok odpovede je štyri dvadsať štyri.

To je veľmi zvláštna matica.

Čo mi môžete povedať o jeho stĺpcoch, stĺpcoch tejto matice?

Sú to násobky toho chlapa, že?

Sú to násobky toho jedného.

Povedali sme, že stĺpce odpovede boli kombinácie, ale je tu iba jediné - ak vezmeme kombináciu jedného chlapa, je to iba násobok.

Riadky odpovede, čo mi môžete povedať o týchto troch riadkoch?

Všetko sú to násobky tohto radu.

Všetko sú násobky jednej šestky, ako sme čakali.

Ale dostávam maticu v plnej veľkosti.

A teraz, ak už mám na dokončenie tejto myšlienky, dovoľte mi zapísať si štvrtú cestu.

A B je súčet stĺpcov A krát riadkov B.

Takže napríklad ak moja matica bola dva tri štyri a potom mala ďalší stĺpec, povedzme sedem osem deväť, a moja matica tu mala - povedzme, začala s jednou šiestou a potom mala ďalší stĺpec ako nula nula, potom - tu je štvrtý spôsob, dobre?

Mám tam dva stĺpce, mám tam dva riadky.

Krásne pravidlo teda je - vidíte, celá vec podľa stĺpcov a riadkov je, že môžem vziať prvý stĺpec krát prvý riadok a pridať druhý stĺpec krát druhý riadok.

Takže to je štvrtý spôsob - že môžem brať stĺpce krát riadky, prvý stĺpec krát prvý riadok, druhý stĺpec krát druhý riadok a pridať.

Aká bude odpoveď na to násobenie matíc?

No, tento nám dá iba nulu, takže v skutočnosti som sa k tomu vrátil - to je odpoveď, pre to násobenie matíc.

Som rád, že tu uvediem tieto fakty o násobení matíc, pretože mi to dáva príležitosť zapísať si špeciálne matice, ako je tento.

Všetky tieto riadky ležia na jednej línii.

Všetky tieto riadky ležia na linke cez jednu šestku.

Ak nakreslím obrázok všetkých týchto vektorov riadkov, sú všetky rovnakým smerom.

Ak nakreslím obrázok týchto dvoch stĺpcových vektorov, sú v rovnakom smere.

Neskôr by som použil tento jazyk.

Ani o moc neskôr.

Povedal by som, že priestor riadkov, ktorý je ako všetky kombinácie riadkov, predstavuje iba riadok pre túto maticu.

Priestor riadkov je čiara vedená vektorom jedna šesť.

Všetky riadky ležia na danom riadku.

A priestor stĺpcov je tiež čiara.

Všetky stĺpce ležia na priamke vedenej vektorom dva tri štyri.

Takže toto je ako skutočne minimálna matica.

A je to kvôli týmto.

Dobre. Takže to je tretí spôsob.

Teraz by som chcel povedať ešte jednu vec o násobení matíc, keď sme pri tom.

Tiež by ste sa mohli množiť - maticu by ste mohli rozrezať aj na bloky a urobiť násobenie po blokoch.

Napriek tomu je to vlastne tak užitočné, že by som to chcel spomenúť.

Takže som mohol vziať svoju maticu A a mohol som ju rozsekať, napríklad, možno pre jednoduchosť, ju posekám na dve - na štyri štvorcové bloky.

Zoberme si len pekný prípad.

A B, predpokladajme, že je to tiež štvorec, rovnakej veľkosti.

Takže tieto veľkosti nemusia byť rovnaké.

To, čo musia urobiť, je správne sa zhodovať.

Tu sa určite budú rovnať.

Takže tu platí pravidlo pre násobenie blokov, že ak toto má bloky ako, A - teda možno sú tu bloky A1, A2, A3, A4 a tieto bloky sú B1, B2,3 a B4? Potom odpoveď môžem nájsť blok.

A keď mi povieš, čo je v tom bloku, potom budem o zvyšovaní matice po zvyšok dňa ticho.

Čo ide do toho bloku?

Uvidíte, toto by mohlo byť - táto matica by mohla byť - tieto matice by mohli byť napríklad dvadsať ku dvadsiatim s blokmi, ktoré sú desať ku desiatim, aby sme vzali ľahký prípad, keď majú všetky bloky rovnaký tvar.

A ide o to, že by som ich mohol vynásobiť blokmi.

Čo je to za blok v odpovedi? A1 B1, to je matica krát matica, má správnu veľkosť, desať ku desiatim.

Navyše, čo tam ešte patrí? A2 B3, nie?

Je to ako blokovanie riadkov a blokovanie stĺpcov.

Myslím si, že nikto nemohol okamžite vidieť, že to funguje.

Ale nejako, keď to preveríme, všetkými piatimi spôsobmi robíme rovnaké znásobenia.

Takže toto známe násobenie je to, čo skutočne robíme, keď to robíme po stĺpcoch, po riadkoch po stĺpcoch, krát po riadkoch a po blokoch.

Musím len, ako, dostať pravidlá priamo na násobenie matíc.

V poriadku, som pripravený na druhú tému, ktorou je inverzia.

A najskôr to urobím pre štvorcové matice.

Dobre. Takže mám štvorcovú maticu A.

A môže, ale nemusí mať inverznú platňu, že?

Nie všetky matice majú inverzie.

V skutočnosti je to najdôležitejšia otázka, ktorú si môžete o matici položiť, ak je - ak viete, že je štvorcová, je invertovateľná alebo nie?

Ak je to invertovateľné, potom existuje nejaká iná matica, môžem to nazvať A inverzná?

A čo je - ak existuje inverzia A - je tu veľký & quot; & quot;

Ak táto matica existuje a bude skutočne ústredné zistiť, kedy existuje?

A potom, ak existuje, ako by ste to našli?

Ale aká je tu rovnica, ktorú nemám - ktorú teraz musím dokončiť?

Táto matica, ak existuje, znásobuje A a vytvára, myslím si, identitu.

Ale skutočná - inverzia pre štvorcovú maticu by mohla byť aj vpravo - to tiež platí, že - ak mám - áno, v skutočnosti to nie je - toto je pravdepodobne - - to je niečo, čo sa nedá ľahko dokázať, ale funguje to.

Že matica doľava - štvorec, ľavá inverzia je tiež doprava

inverzný. Ak nájdem maticu vľavo, ktorá získa identitu, potom aj táto matica vpravo vytvorí túto identitu.

Pre obdĺžnikové matice uvidíme ľavú inverziu, ktorá nie je pravou inverznou.

Tvary by to v skutočnosti nedovolili.

Ale pre štvorcové matice to tvary umožňujú a stane sa, ak A má inverznú hodnotu.

Dobre, tak mi dajte nejaké prípady - uvidíme.

Nerád tu pôsobím negatívne, ale poďme sa baviť o prípade bez inverzie.

Takže - tieto matice sa nazývajú invertovateľné alebo nie singulárne - to sú tie dobré.

A chceme vedieť zistiť, ako - ak dostaneme maticu, má inverznú hodnotu?

Môžem hovoriť o singulárnom prípade?

Najlepšie začať príkladom.

Povedz mi príklad - poďme si príklad hore.

Urobme to dva po dvoch - z matice, ktorá nemá inverznú hodnotu.

Napíšem - jeden tri dva šesť.

Prečo táto matica nemá žiadnu inverziu?

Mohli by ste odpovedať rôznymi spôsobmi.

No, mohli by ste - ak viete o determinantoch, ktoré by ste nemali, mohli by ste vziať ich determinant a dostali by ste - nulu.

Dovoľte mi opýtať sa na ďalšie dôvody.

Myslím, rovnako ako z iných dôvodov, že táto matica nie je invertovateľná.

Tu by som mohol použiť to, čo tu hovorím.

Predpokladajme, že čas dal inú maticu identitu.

Pretože - ach, áno - myslím tu na stĺpce.

Ak vynásobím túto maticu A nejakou inou maticou, potom - výsledok - čo mi môžete povedať o stĺpcoch?

Všetko sú to násobky týchto stĺpcov, však?

Ak vynásobím A ďalšou maticou, ktorá - produkt má stĺpce, ktoré pochádzajú z týchto stĺpcov.

Môžem teda získať maticu identity?

Stĺpce matice identity, napríklad jedna nula - nejde o kombináciu týchto stĺpcov, pretože tieto dva stĺpce ležia na - oba ležia na rovnakom riadku.

Každá kombinácia bude len na tom riadku a ja nemôžem dostať jednu nulu.

Vidíte teda, že ten druh stĺpcového obrázka matice nie je invertovateľný.

V skutočnosti je tu ešte jeden dôvod.

To je ešte dôležitejší dôvod.

Ako môžem povedať dôležitejšie?

Toto je ďalší spôsob, ako to vidieť.

Matica nemá inverziu - áno - tu - teraz je to dôležité.

Matica nemá - štvorcová matica nebude mať inverziu, ak nebude inverzná, pretože môžem vyriešiť - môžem nájsť X - vektor X s A-krát - tento A-krát X dáva nulu.

To je dôvod, ktorý sa mi páči najviac.

Táto matica nebude mať inverziu.

Môžete - dobre, dovoľte mi zmeniť ja na U.

Takže mi povedz vektor X, ktorý vyrieši A X sa rovná nule.

Myslím, že toto je ako kľúčová rovnica.

V matematike majú všetky kľúčové rovnice na pravej strane nulu.

Povedz mi tu X - tak teraz dám - zasuniem X, ktoré mi povieš a dostanem nulu.

Je to ten, ktorý si si vybral, alebo - áno.

Alebo iný - dobre, ak ste vybrali nulu s nulou, nie som tak nadšený, že?

Pretože to by vždy fungovalo.

Dôležitá je teda skutočnosť, že tento vektor nie je nulový.

Je to nenulový vektor a tri negatívne by to dokázali.

To znamená, že tri z tohto stĺpca mínus jeden z tohto stĺpca je nulový stĺpec.

Dobre. Takže teraz viem, že A nemôže byť invertovateľné.

Ak je A X nula, predpokladajme, že som ju vynásobil inverznou hodnotou A.

Áno, tu je dôvod.

Tu - to je dôvod, prečo to hlási katastrofu pre inverziu.

Matica nemôže mať inverziu, ak nejaká kombinácia stĺpcov dáva z-, nič nedáva.

Pretože by som mohol vziať A X rovná sa nula, mohol by som vynásobiť A inverzne a čo by som objavil?

Predpokladám, že túto rovnicu vezmem a vynásobím - ak by A inverzia existovala, čo samozrejme prídem k záveru, že to nemôže, pretože ak by existovala, keby existovala A inverzia k tejto matici drogy vynásobte túto rovnicu touto inverznou hodnotou a zistil by som, že X je nula.

Ak vynásobím A inverziou vľavo, dostanem X.

Ak sa vynásobím A inverziou vpravo, dostanem nulu.

Takže by som zistil, že X je nula.

So, conclusion -- only, it takes us some time to really work with that conclusion -- our conclusion will be that non-invertible matrices, singular matrices, some combinations of their columns gives the zero column.

They they take some vector X into zero.

And there's no way A inverse can recover, right?

That's what this equation says.

This equation says I take this vector X and multiplying by A gives zero.

But then when I multiply by A inverse, I can never escape from zero.

So there couldn't be an A inverse.

Where here -- okay, now fix -- all right.

Now let me take -- all right, back to the positive side.

Let's take a matrix that does have an inverse.

Okay. Can I -- so let me take on this third board a matrix -- shall I fix that up a little?

Tell me a matrix that has got an inverse.

Well, let me say one three two -- what shall I put there?

Well, don't put six, I guess is -- right?

We believe that this matrix is invertible.

Those who like determinants have quickly taken its determinant and found it wasn't zero.

Those who like columns, and probably that -- that department is not totally popular yet -- but those who like columns will look at those two columns and say, hey, they point in different directions.

Now, let me see, what do I mean?

How I going to computer A inverse?

So A inverse -- here's A inverse, now, and I have to find it.

And what do I get when I do this multiplication?

You know, forgive me for taking two by two-s, but -- lt's good to keep the computations manageable and let the ideas come out.

Okay, now what's the idea I want?

I'm looking for this matrix A inverse, how I going to find it?

Right now, I've got four numbers to find.

I'm going to look at the first column.

Let me take this first column, A B.

What equation does the first column satisfy?

The first column satisfies A times that column is one zero.

The first column of the answer.

And the second column, C D, satisfies A times that second column is zero one.

You see that finding the inverse is like solving two systems.

One system, when the right-hand side is one zero -- I'm just going to split it into two pieces.

I don't even need to rewrite it.

I can take A times -- so let me put it here.

A times column j of A inverse is column j of the identity.

I've got, well, two in this case.

And they have the same matrix, A, but they have different right-hand sides.

The right-hand sides are just the columns of the identity, this guy and this guy.

And these are the two solutions.

Do you see what I'm going -- I'm looking at that equation by columns.

I'm looking at A times this column, giving that guy, and A times that column giving that guy.

So -- Essentially -- so this is like the Gauss -- we're back to Gauss.

We're back to solving systems of equations, but we're solving -- we've got two right-hand sides instead of one.

That's where Jordan comes in.

So at the very beginning of the lecture, I mentioned Gauss-Jordan, let me write it up again.

Here's the Gauss-Jordan idea. Gauss-Jordan solve two equations at once.

Okay. Let me show you how the mechanics go.

How do I solve a single equation?

So the two equations are one three two seven, multiplying A B gives one zero.

And the other equation is the same one three two seven multiplying C D gives zero one.

That'll tell me the two columns of the inverse.

In other words, if I can solve with this matrix A, if I can solve with that right-hand side and that right-hand side, I'm invertible.

And Jordan sort of said to Gauss, solve them together, look at the matrix -- if we just solve this one, I would look at one three two seven, and how do I deal with the right-hand side?

I stick it on as an extra column, right?

That's this augmented matrix.

That's the matrix when I'm watching the right-hand side at the same time, doing the same thing to the right side that I do to the left?

So I just carry it along as an extra column.

Now I'm going to carry along two extra columns.

And I'm going to do whatever Gauss wants, right?

I'm going to do elimination.

I'm going to get this to be simple and this thing will turn into the inverse.

I'm going to do elimination steps to make this into the identity, and lo and behold, the inverse will show up here.

So what are the elimination steps?

So you see -- here's my matrix A and here's the identity, like, stuck on, augmented on.

STUDENT: -- is the two and the three supposed to be switched?

STRANG: Did I -- oh, no, they weren't supposed to be switched. Sorry.

And there -- I've got them right.

Okay. So let's do elimination.

All right, it's going to be simple, right?

So I take two of this row away from this row.

So this row stays the same and two of those come away from this.

That leaves me with a zero and a one and two of these away from this is that what you're getting -- after one elimination step -- Let me sort of separate the -- the left half from the right half.

So two of that first row got subtracted from the second row.

Now this is an upper triangular form.

Gauss would quit, but Jordan says keeps going.

Subtract a multiple of equation two from equation one to get rid of the three.

So now I'm going to -- this guy is fine, but I'm going to -- what do I do now?

What's my final step that produces the inverse?

I multiply this by the right number to get up to ther to remove that three.

So I guess, I -- since this is a one, there's the pivot sitting there.

I multiply it by three and subtract from that, so what do I get?

I'll have one zero -- oh, yeah that was my whole point.

I'll multiply this by three and subtract from that, which will give me seven.

And I multiply this by three and subtract from that, which gives me a minus three.

Here I started with A and the identity, and I ended up with the identity and who?

That's the Gauss Jordan idea.

Start with this long matrix, double-length A I, eliminate, eliminate until this part is down to I, then this one will -- must be for some reason, and we've got to find the reason -- must be A inverse.

Shall I just check that it works?

Let me just check that -- can I multiply this matrix this part times A, I'll carry A over here and just do that multiplication.

You'll see I'll do it the old fashioned way.

Twenty one minus twenty one is a zero, minus two plus two is a zero, minus six plus seven is a one.

Skontrolujte. So that is the inverse.

That's the Gauss-Jordan idea.

So, you'll -- one of the homework problems or more than one for Wednesday will ask you to go through those steps.

I think you just got to go through Gauss-Jordan a couple of times, but I -- yeah -- just to see the mechanics.

But the, important thing is, why -- is, like, what happened?

Why did we -- why did we get A inverse there?

We got -- so we take -- We do row reduction, we do elimination on this long matrix A I until the first half

Then a second half is A inverse. is up.

Let me put up here how I see that.

So here's my Gauss-Jordan thing, and I'm doing stuff to it.

So I'm -- well, whole lot of E's.

Remember those are those elimination matrices.

Those are the -- those are the things that we figured out last time.

Yes, that's what an elimination step is it's in matrix form, I'm multiplying by some Es.

And the result -- well, so I'm multiplying by a whole bunch of Es.

So, I get a -- can I call the overall matrix E?

That's the elimination matrix, the product of all those little

pieces. What do I mean by little pieces?

Well, there was an elimination matrix that subtracted two of that away from that.

Then there was an elimination matrix that subtracted three of that away from that.

I guess in this case, that was all.

So there were just two Es in this case, one that did this step and one that did this step and together they gave me an E that does both steps.

And the net result was to get an I here.

And you can tell me what that has to be.

This is, like, the picture of what happened.

If E multiplied A, whatever that E is -- we never figured it out in this way.

But whatever that E times that E is, E times A is -- What's E times A?

That E, whatever the heck it was, multiplied A and produced

So E must be -- E A equaling I tells us what E is, I. namely it is -- STUDENT: It's the inverse of A.

STRANG: It's the inverse of A.

And therefore, when the second half, when E multiplies I, it's E -- Put this A inverse.

You see the picture looking that way?

E times A is the identity.

It tells us what E has to be.

It has to be the inverse, and therefore, on the right-hand side, where E -- where we just smartly tucked on the identity, it's turning in, step by step -- It's turning into A inverse.

There is the statement of Gauss-Jordan elimination.

That's how you find the inverse.

Where we can look at it as elimination, as solving n equations at the same time -- -- and tacking on n columns, solving those equations and up goes the n columns of A inverse Okay, thanks.


3.4E: Exercises - Solving Systems with Inverses - Mathematics

The usual matrix addition is defined for two matrices of the same dimensions. The sum of two m × n (pronounced "m by n") matrices A a B, denoted by A + B, is again an m × n matrix computed by adding corresponding elements:

We can also subtract one matrix from another, as long as they have the same dimensions. AB is computed by subtracting corresponding elements of A a B, and has th e same dimensions as A a B . Napríklad:


The following list is the problems and solutions/proofs of midterm exam 1 of linear algebra at the Ohio State University in Spring 2017.

    : Possibilities for the solution set of a system of linear equations : The vector form of the general solution of a system : Matrix operations (transpose and inverse matrices) : Linear combination : Inverse matrix Problem 6 and its solution (The current page): Nonsingular matrix satisfying a relation : Solve a system by the inverse matrix :A proof problem about nonsingular matrix

List of Quiz Problems of Linear Algebra (Math 2568) at OSU in Spring 2017

There were 13 weekly quizzes. Here is the list of links to the quiz problems and solutions.


Common Core State Standards*- Mathematics: 7th Grade

Common Core State Standards Adopted: 2011

CCSS.Math.Content.7.RP: Ratios and Proportional Relationships

CCSS.Math.Content.7.RP.A: Analyze proportional relationships and use them to solve real-world and mathematical problems.

CCSS.Math.Content.7.RP.A.2a: Decide whether two quantities are in a proportional relationship, e.g., by testing for equivalent ratios in a table or graphing on a coordinate plane and observing whether the graph is a straight line through the origin.

CCSS.Math.Content.7.RP.A.2b: Identify the constant of proportionality (unit rate) in tables, graphs, equations, diagrams, and verbal descriptions of proportional relationships.

CCSS.Math.Content.7.RP.A.2c: Represent proportional relationships by equations.

CCSS.Math.Content.7.RP.A.2d: Explain what a point (𝘹, 𝘺) on the graph of a proportional relationship means in terms of the situation, with special attention to the points (0, 0) and (1, 𝘳) where 𝘳 is the unit rate.

CCSS.Math.Content.7.RP.A.3: Use proportional relationships to solve multistep ratio and percent problems.

CCSS.Math.Content.7.NS: The Number System

CCSS.Math.Content.7.NS.A: Apply and extend previous understandings of operations with fractions to add, subtract, multiply, and divide rational numbers.

CCSS.Math.Content.7.NS.A.1a: Describe situations in which opposite quantities combine to make 0.

CCSS.Math.Content.7.NS.A.1b: Understand 𝘱 + 𝘲 as the number located a distance |𝘲| from 𝘱, in the positive or negative direction depending on whether 𝘲 is positive or negative. Show that a number and its opposite have a sum of 0 (are additive inverses). Interpret sums of rational numbers by describing real-world contexts.

CCSS.Math.Content.7.NS.A.1c: Understand subtraction of rational numbers as adding the additive inverse, 𝘱 – 𝘲 = 𝘱 + (–𝘲). Show that the distance between two rational numbers on the number line is the absolute value of their difference, and apply this principle in real-world contexts.

CCSS.Math.Content.7.NS.A.1d: Apply properties of operations as strategies to add and subtract rational numbers.

CCSS.Math.Content.7.EE: Expressions and Equations

CCSS.Math.Content.7.EE.A: Use properties of operations to generate equivalent expressions.

CCSS.Math.Content.7.EE.A.1: Apply properties of operations as strategies to add, subtract, factor, and expand linear expressions with rational coefficients.

CCSS.Math.Content.7.EE.B: Solve real-life and mathematical problems using numerical and algebraic expressions and equations.

CCSS.Math.Content.7.EE.B.3: Solve multi-step real-life and mathematical problems posed with positive and negative rational numbers in any form (whole numbers, fractions, and decimals), using tools strategically. Apply properties of operations to calculate with numbers in any form convert between forms as appropriate and assess the reasonableness of answers using mental computation and estimation strategies.

CCSS.Math.Content.7.EE.B.4a: Solve word problems leading to equations of the form 𝘱𝘹 + 𝘲 = 𝘳 and 𝘱(𝘹 + 𝘲) = 𝘳, where 𝘱, 𝘲, and 𝘳 are specific rational numbers. Solve equations of these forms fluently. Compare an algebraic solution to an arithmetic solution, identifying the sequence of the operations used in each approach.

CCSS.Math.Content.7.EE.B.4b: Solve word problems leading to inequalities of the form 𝘱𝘹 + 𝘲 > 𝘳 or 𝘱𝘹 + 𝘲 < 𝘳, where 𝘱, 𝘲, and 𝘳 are specific rational numbers. Graph the solution set of the inequality and interpret it in the context of the problem.

CCSS.Math.Content.7.G.A: Draw, construct, and describe geometrical figures and describe the relationships between them.

CCSS.Math.Content.7.G.A.1: Solve problems involving scale drawings of geometric figures, including computing actual lengths and areas from a scale drawing and reproducing a scale drawing at a different scale.

CCSS.Math.Content.7.G.B: Solve real-life and mathematical problems involving angle measure, area, surface area, and volume.

CCSS.Math.Content.7.G.B.4: Know the formulas for the area and circumference of a circle and use them to solve problems give an informal derivation of the relationship between the circumference and area of a circle.

CCSS.Math.Content.7.G.B.5: Use facts about supplementary, complementary, vertical, and adjacent angles in a multi-step problem to write and solve simple equations for an unknown angle in a figure.

CCSS.Math.Content.7.G.B.6: Solve real-world and mathematical problems involving area, volume and surface area of two- and three-dimensional objects composed of triangles, quadrilaterals, polygons, cubes, and right prisms.

CCSS.Math.Content.7.SP: Statistics and Probability

CCSS.Math.Content.7.SP.A: Use random sampling to draw inferences about a population.

CCSS.Math.Content.7.SP.A.1: Understand that statistics can be used to gain information about a population by examining a sample of the population generalizations about a population from a sample are valid only if the sample is representative of that population. Understand that random sampling tends to produce representative samples and support valid inferences.

CCSS.Math.Content.7.SP.A.2: Use data from a random sample to draw inferences about a population with an unknown characteristic of interest. Generate multiple samples (or simulated samples) of the same size to gauge the variation in estimates or predictions.

CCSS.Math.Content.7.SP.B: Draw informal comparative inferences about two populations.

CCSS.Math.Content.7.SP.B.4: Use measures of center and measures of variability for numerical data from random samples to draw informal comparative inferences about two populations.

CCSS.Math.Content.7.SP.C: Investigate chance processes and develop, use, and evaluate probability models.

CCSS.Math.Content.7.SP.C.5: Understand that the probability of a chance event is a number between 0 and 1 that expresses the likelihood of the event occurring. Larger numbers indicate greater likelihood. A probability near 0 indicates an unlikely event, a probability around 1/2 indicates an event that is neither unlikely nor likely, and a probability near 1 indicates a likely event.

CCSS.Math.Content.7.SP.C.6: Approximate the probability of a chance event by collecting data on the chance process that produces it and observing its long-run relative frequency, and predict the approximate relative frequency given the probability.

CCSS.Math.Content.7.SP.C.7a: Develop a uniform probability model by assigning equal probability to all outcomes, and use the model to determine probabilities of events.

CCSS.Math.Content.7.SP.C.7b: Develop a probability model (which may not be uniform) by observing frequencies in data generated from a chance process.

CCSS.Math.Content.7.SP.C.8a: Understand that, just as with simple events, the probability of a compound event is the fraction of outcomes in the sample space for which the compound event occurs.

CCSS.Math.Content.7.SP.C.8b: Represent sample spaces for compound events using methods such as organized lists, tables and tree diagrams. For an event described in everyday language (e.g., “rolling double sixes”), identify the outcomes in the sample space which compose the event.

CCSS.Math.Content.7.SP.C.8c: Design and use a simulation to generate frequencies for compound events.

Correlation last revised: 9/16/2020

* Copyright 2010 National Governors Association Center for Best Practices and Council of Chief State School Officers. Všetky práva vyhradené.