Články

4.14: Sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi (2. časť) - matematika


Identifikujte a použite frakčné operácie

V tejto kapitole ste si teraz precvičovali násobenie, delenie, sčítanie a odčítanie zlomkov. Nasledujúca tabuľka sumarizuje tieto štyri frakčné operácie. Pamätajte: Na sčítanie alebo odčítanie zlomkov potrebujete spoločného menovateľa, ale nie na ich násobenie alebo delenie.

Zhrnutie zlomkových operácií

Násobenie zlomkov: Násobenie čitateľov a násobenie menovateľov.

[ dfrac {a} {b} cdot dfrac {c} {d} = dfrac {ac} {bd} ]

Zlomkové rozdelenie: Vynásobte prvý zlomok prevráteným zlomkom druhého.

[ dfrac {a} {b} div dfrac {c} {d} = dfrac {a} {b} cdot dfrac {d} {c} ]

Sčítanie frakcie: Pridajte čitateľov a vložte súčet nad spoločného menovateľa. Ak majú zlomky rôznych menovateľov, najskôr ich pomocou LCD preveďte do ekvivalentných foriem.

[ dfrac {a} {c} + dfrac {b} {c} = dfrac {a + b} {c} ]

Odčítanie zlomku: Odčítajte čitateľov a umiestnite rozdiel nad spoločného menovateľa. Ak majú zlomky rôznych menovateľov, najskôr ich pomocou LCD preveďte do ekvivalentných foriem.

[ dfrac {a} {c} - dfrac {a} {c} = dfrac {a - b} {c} ]

Príklad ( PageIndex {11} ): zjednodušiť

Zjednodušiť:

  1. (- dfrac {1} {4} + dfrac {1} {6} )
  2. (- dfrac {1} {4} div dfrac {1} {6} )

Riešenie

Najprv si položíme otázku: „Aká je operácia?“

  1. Operácia je doplnková. Majú zlomky spoločného menovateľa? Č.
Nájdite LCD.
Každú frakciu prepíšte pomocou LCD na ekvivalentnú frakciu. (- dfrac {1 cdot textcolor {red} {3}} {4 cdot textcolor {red} {3}} + dfrac {1 cdot textcolor {red} {2}} {6 cdot textcolor {red} {2}} )
Zjednodušte čitateľa a menovateľa. (- dfrac {3} {12} + dfrac {2} {12} )
Pridajte čitateľov a vložte súčet nad spoločného menovateľa. (- dfrac {1} {12} )
Skontrolujte, či sa dá odpoveď zjednodušiť. Nemôže.
  1. Operácia je rozdelená. Nepotrebujeme spoločného menovateľa.
Ak chcete rozdeliť zlomky, vynásobte prvý zlomok prevrátenou hodnotou druhej. (- dfrac {1} {4} cdot dfrac {6} {1} )
Znásobte sa. (- dfrac {6} {4} )
Zjednodušiť. (- dfrac {3} {2} )

Cvičenie ( PageIndex {21} )

Zjednodušiť:

  1. (- dfrac {3} {4} - dfrac {1} {6} )
  2. (- dfrac {3} {4} cdot dfrac {1} {6} )
Odpoveď a

(- dfrac {11} {12} )

Odpoveď b

(- dfrac {1} {8} )

Cvičenie ( PageIndex {22} )

Zjednodušiť:

  1. ( dfrac {5} {6} div doľava (- dfrac {1} {4} doprava) )
  2. ( dfrac {5} {6} - doľava (- dfrac {1} {4} doprava) )
Odpoveď a

(- dfrac {10} {3} )

Odpoveď b

( dfrac {13} {12} )

Príklad ( PageIndex {12} ): zjednodušiť

Zjednodušiť:

  1. ( dfrac {5x} {6} - dfrac {3} {10} )
  2. ( dfrac {5x} {6} cdot dfrac {3} {10} )

Riešenie

  1. Operácia je odčítaním. Zlomky nemajú spoločného menovateľa.
Každú frakciu prepíšte pomocou LCD, 30, na ekvivalentnú frakciu. ( dfrac {5x cdot textcolor {red} {5}} {6 cdot textcolor {red} {5}} - dfrac {3 cdot textcolor {red} {3}} {10 cdot textcolor {red} {3}} )
( dfrac {25x} {30} - dfrac {9} {30} )
Odčítajte čitateľov a umiestnite rozdiel nad spoločného menovateľa. ( dfrac {25x - 9} {30} )
  1. Operácia je násobenie; nie je potrebný spoločný menovateľ.
Na násobenie zlomkov vynásobte čitateľov a menovateľov. ( dfrac {5x cdot 3} {6 cdot 10} )
Prepíšte a zobrazte spoločné faktory. ( dfrac { zrušiť {5} cdot x cdot zrušiť {3}} {2 cdot zrušiť {3} cdot 2 cdot zrušiť {5}} )
Pre zjednodušenie odstráňte bežné faktory. ( dfrac {x} {4} )

Cvičenie ( PageIndex {23} )

Zjednodušiť:

  1. ( dfrac {3a} {4} - dfrac {8} {9} )
  2. ( dfrac {3a} {4} cdot dfrac {8} {9} )
Odpoveď a

( dfrac {27} {a} )

Odpoveď b

( dfrac {2} {a} )

Cvičenie ( PageIndex {24} )

Zjednodušiť:

  1. ( dfrac {4k} {5} + dfrac {5} {6} )
  2. ( dfrac {4k} {5} div dfrac {5} {6} )
Odpoveď a

( dfrac {24} {k} )

Odpoveď b

( dfrac {24} {k} )

Na zjednodušenie zložitých zlomkov použite poradie operácií

Vo vynásobení a rozdelení zmiešaných čísel a zložitých zlomkov sme videli, že zložitý zlomok je zlomok, v ktorom čitateľ alebo menovateľ obsahuje zlomok. Zložité zlomky sme zjednodušili ich prepisovaním na problémy s delením. Napríklad,

[ dfrac { dfrac {3} {4}} { dfrac {5} {8}} = dfrac {3} {4} div dfrac {5} {8} nonumber ]

Teraz sa pozrieme na zložité zlomky, v ktorých je možné zjednodušiť čitateľa alebo menovateľa. Aby sme sledovali poradie operácií, najskôr zjednodušíme čitateľa a menovateľa zvlášť. Potom čitateľa vydelíme menovateľom.

AKO: ZJEDNODUŠIŤ KOMPLEXNÉ FRAKCIE

Krok 1. Zjednodušte čitateľ.

Krok 2. Zjednodušte menovateľa.

Krok 3. Vydeľte čitateľa menovateľom.

Krok 4. Ak je to možné, zjednodušte to.

Príklad ( PageIndex {13} ): zjednodušiť

Zjednodušte: ( dfrac { doľava ( dfrac {1} {2} doprava) ^ {2}} {4 + 3 ^ {2}} ).

Riešenie

Zjednodušte čitateľa. ( dfrac { dfrac {1} {4}} {4 + 3 ^ {2}} )
Zjednodušte výraz exponentom v menovateli. ( dfrac { dfrac {1} {4}} {4 + 9} )
Pridajte výrazy do menovateľa. ( dfrac { dfrac {1} {4}} {13} )
Vydeľte čitateľa menovateľom. ( dfrac {1} {4} div 13 )
Prepíšte ako násobenie recipročne. ( dfrac {1} {4} cdot dfrac {1} {13} )
Znásobte sa. ( dfrac {1} {52} )

Cvičenie ( PageIndex {25} )

Zjednodušte: ( dfrac { doľava ( dfrac {1} {3} doprava) ^ {2}} {2 ^ {3} + 2} ).

Odpoveď

( dfrac {1} {90} )

Cvičenie ( PageIndex {26} )

Zjednodušte: ( dfrac {1 + 4 ^ {2}} { doľava ( dfrac {1} {4} doprava) ^ {2}} ).

Odpoveď

(272)

Príklad ( PageIndex {14} ): zjednodušiť

Zjednodušte: ( dfrac { dfrac {1} {2} + dfrac {2} {3}} { dfrac {3} {4} - dfrac {1} {6}} ).

Riešenie

Prepíšte čitateľ s LCD 6 a menovateľ s LCD 12. ( dfrac { dfrac {3} {6} + dfrac {4} {6}} { dfrac {9} {12} - dfrac {2} {12}} )
Pridajte do čitateľa. Odčítajte v menovateli. ( dfrac { dfrac {7} {6}} { dfrac {7} {12}} )
Vydeľte čitateľa menovateľom. ( dfrac {7} {6} div dfrac {7} {12} )
Prepíšte ako násobenie recipročne. ( dfrac {7} {6} cdot dfrac {12} {7} )
Prepíšte a zobrazte spoločné faktory. ( dfrac { zrušiť {7} cdot zrušiť {6} cdot 2} { zrušiť {6} zrušiť {7} cdot 1} )
Zjednodušiť.(2 )

Cvičenie ( PageIndex {27} )

Zjednodušte: ( dfrac { dfrac {1} {3} + dfrac {1} {2}} { dfrac {3} {4} - dfrac {1} {3}} ).

Odpoveď

(2)

Cvičenie ( PageIndex {28} )

Zjednodušte: ( dfrac { dfrac {2} {3} - dfrac {1} {2}} { dfrac {1} {4} + dfrac {1} {3}} ).

Odpoveď

( dfrac {2} {7} )

Vyhodnoťte variabilné výrazy so zlomkami

Výrazy sme hodnotili už skôr, teraz však môžeme hodnotiť aj výrazy so zlomkami. Pamätajte, že na vyhodnotenie výrazu dosadíme do výrazu hodnotu premennej a potom zjednodušíme.

Príklad ( PageIndex {15} ): vyhodnotiť

Vyhodnoťte (x + dfrac {1} {3} ), keď

  1. (x = - dfrac {1} {3} )
  2. (x = - dfrac {3} {4} )

Riešenie

  1. Ak chcete vyhodnotiť (x + dfrac {1} {3} ) keď (x = - dfrac {1} {3} ), nahraďte (- dfrac {1} {3} ) znakom ( x ) vo výraze.
Nahraďte ( textcolor {červená} {- dfrac {1} {3}} ) za x. ( textcolor {red} {- dfrac {1} {3}} + dfrac {1} {3} )
Zjednodušiť.(0 )
  1. Aby sme vyhodnotili (x + dfrac {1} {3} ), keď (x = - dfrac {3} {4} ), nahradíme (- dfrac {3} {4} ) výrazom (x ) vo výraze.
Nahraďte ( textcolor {červená} {- dfrac {3} {4}} ) za x. ( textcolor {red} {- dfrac {1} {3}} + dfrac {1} {3} )
Prepisujte na ekvivalentné zlomky pomocou LCD, 12. (- dfrac {3 cdot 3} {4 cdot 3} + dfrac {1 cdot 4} {3 cdot 4} )
Zjednodušte čitateľa a menovateľa. (- dfrac {9} {12} + dfrac {4} {12} )
Pridať. (- dfrac {5} {12} )

Cvičenie ( PageIndex {29} )

Hodnotiť (x + dfrac {3} {4} ), keď:

  1. (x = - dfrac {7} {4} )
  2. (x = - dfrac {5} {4} )
Odpoveď a

(-1)

Odpoveď b

(- dfrac {1} {2} )

Cvičenie ( PageIndex {30} )

Hodnotiť (y + dfrac {1} {2} ), keď:

  1. (y = dfrac {2} {3} )
  2. (y = - dfrac {3} {4} )
Odpoveď a

( dfrac {7} {6} )

Odpoveď b

(- dfrac {1} {4} )

Príklad ( PageIndex {16} ): vyhodnotiť

Vyhodnoťte (y - dfrac {5} {6} ) keď (y = - dfrac {2} {3} ).

Riešenie

Vo výraze nahradíme (- dfrac {2} {3} ) za (y ).

Nahraďte ( textcolor {red} {- dfrac {2} {3}} ) za r. ( textcolor {red} {- dfrac {2} {3}} - dfrac {5} {6} )
Prepíšte na ekvivalentné zlomky pomocou LCD, 6. (- dfrac {4} {6} - dfrac {5} {6} )
Odčítať. (- dfrac {9} {6} )
Zjednodušiť. (- dfrac {3} {2} )

Cvičenie ( PageIndex {31} )

Vyhodnoťte (y - dfrac {1} {2} ) keď (y = - dfrac {1} {4} ).

Odpoveď

(- dfrac {3} {4} )

Cvičenie ( PageIndex {32} )

Vyhodnoťte (x - dfrac {3} {8} ) keď (x = - dfrac {5} {2} ).

Odpoveď

(- dfrac {23} {8} )

Príklad ( PageIndex {17} ):

Vyhodnoťte (2x ^ 2y ), keď (x = dfrac {1} {4} ) a (y = - dfrac {2} {3} ).

Riešenie

Nahraďte hodnoty do výrazu. V (2x ^ 2y ) sa exponent vzťahuje iba na (x ).

Nahraďte ( textcolor {červená} { dfrac {1} {4}} ) za x a ( textcolor {modrá} {- dfrac {2} {3}} ) za y. (2 left ( textcolor {red} { dfrac {1} {4}} right) ^ {2} left ( textcolor {blue} {- dfrac {2} {3}} right) )
Najskôr zjednodušte exponenty. (2 ľavý ( dfrac {1} {16} pravý) ľavý (- dfrac {2} {3} pravý) )
Znásobte sa. Produkt bude negatívny. (- dfrac {2} {1} cdot dfrac {1} {16} cdot dfrac {2} {3} )
Zjednodušiť. (- dfrac {4} {48} )
Odstráňte spoločné faktory. (- dfrac {1 cdot zrušiť {4}} { zrušiť {4} cdot 12} )
Zjednodušiť. (- dfrac {1} {12} )

Cvičenie ( PageIndex {33} )

Vyhodnoťte: (3ab ^ 2 ) keď (a = - dfrac {2} {3} ) a (b = - dfrac {1} {2} ).

Odpoveď

(- dfrac {1} {2} )

Cvičenie ( PageIndex {34} )

Vyhodnoťte: (4c ^ 3d ) keď (c = - dfrac {1} {2} ) a (d = - dfrac {4} {3} ).

Odpoveď

( dfrac {2} {3} )

Príklad ( PageIndex {18} ): vyhodnotiť

Vyhodnoťte: ( dfrac {p + q} {r} ) keď (p = −4 ), (q = −2 ) a (r = 8 ).

Riešenie

Hodnoty dosadíme do výrazu a zjednodušíme.

Nahraďte ( textcolor {červená} {- 4} ) za p, ( textcolor {modrá} {- 2} ) za q a ( textcolor {magenta} {8} ) za r. ( dfrac { textcolor {red} {- 4} + textcolor {blue} {(- 2)}} { textcolor {magenta} {8}} )
Najskôr pridajte čitateľa. (- dfrac {6} {8} )
Zjednodušiť. (- dfrac {3} {4} )

Cvičenie ( PageIndex {35} )

Vyhodnoťte: ( dfrac {a + b} {c} ) keď (a = −8 ), (b = −7 ) a (c = 6 ).

Odpoveď

(- dfrac {5} {2} )

Cvičenie ( PageIndex {36} )

Vyhodnoťte: ( dfrac {x + y} {z} ) keď (x = 9 ), (y = −18 ) a (z = - 6 ).

Odpoveď

( dfrac {3} {2} )

Opakovanie je matka múdrosti

Nájdite najmenej spoločného menovateľa (LCD)

V nasledujúcich cvičeniach nájdite najmenší spoločný menovateľ (LCD) pre každú skupinu zlomkov.

  1. ( dfrac {2} {3} ) a ( dfrac {3} {4} )
  2. ( dfrac {3} {4} ) a ( dfrac {2} {5} )
  3. ( dfrac {7} {12} ) a ( dfrac {5} {8} )
  4. ( dfrac {9} {16} ) a ( dfrac {7} {12} )
  5. ( dfrac {13} {30} ) a ( dfrac {25} {42} )
  6. ( dfrac {23} {30} ) a ( dfrac {5} {48} )
  7. ( dfrac {21} {35} ) a ( dfrac {39} {56} )
  8. ( dfrac {18} {35} ) a ( dfrac {33} {49} )
  9. ( dfrac {2} {3}, dfrac {1} {6} ) a ( dfrac {3} {4} )
  10. ( dfrac {2} {3}, dfrac {1} {4} ) a ( dfrac {3} {5} )

Prevod zlomkov na ekvivalentné zlomky pomocou LCD

V nasledujúcich cvičeniach vykonajte prevod na ekvivalentné zlomky pomocou LCD.

  1. ( dfrac {1} {3} ) a ( dfrac {1} {4} ), LCD = 12
  2. ( dfrac {1} {4} ) a ( dfrac {1} {5} ), LCD = 20
  3. ( dfrac {5} {12} ) a ( dfrac {7} {8} ), LCD = 24
  4. ( dfrac {7} {12} ) a ( dfrac {5} {8} ), LCD = 24
  5. ( dfrac {13} {16} ) a (- dfrac {11} {12} ), LCD = 48
  6. ( dfrac {11} {16} ) a (- dfrac {5} {12} ), LCD = 48
  7. ( dfrac {1} {3}, dfrac {5} {6} ) a ( dfrac {3} {4} ), LCD = 12
  8. ( dfrac {1} {3}, dfrac {3} {4} ) a ( dfrac {3} {5} ), LCD = 60

Sčítajte a odčítajte zlomky s rôznymi menovateľmi

V nasledujúcich cvičeniach sčítajte alebo odčítajte. Výsledok napíšte v zjednodušenej podobe.

  1. ( dfrac {1} {3} + dfrac {1} {5} )
  2. ( dfrac {1} {4} + dfrac {1} {5} )
  3. ( dfrac {1} {2} + dfrac {1} {7} )
  4. ( dfrac {1} {3} + dfrac {1} {8} )
  5. ( dfrac {1} {3} - doľava (- dfrac {1} {9} doprava) )
  6. ( dfrac {1} {4} - doľava (- dfrac {1} {8} doprava) )
  7. ( dfrac {1} {5} - doľava (- dfrac {1} {10} doprava) )
  8. ( dfrac {1} {2} - doľava (- dfrac {1} {6} doprava) )
  9. ( dfrac {2} {3} + dfrac {3} {4} )
  10. ( dfrac {3} {4} + dfrac {2} {5} )
  11. ( dfrac {7} {12} + dfrac {5} {8} )
  12. ( dfrac {5} {12} + dfrac {3} {8} )
  13. ( dfrac {7} {12} - dfrac {9} {16} )
  14. ( dfrac {7} {16} - dfrac {5} {12} )
  15. ( dfrac {11} {12} - dfrac {3} {8} )
  16. ( dfrac {5} {8} - dfrac {7} {12} )
  17. ( dfrac {2} {3} - dfrac {3} {8} )
  18. ( dfrac {5} {6} - dfrac {3} {4} )
  19. (- dfrac {11} {30} + dfrac {27} {40} )
  20. (- dfrac {9} {20} + dfrac {17} {30} )
  21. (- dfrac {13} {30} + dfrac {25} {42} )
  22. (- dfrac {23} {30} + dfrac {5} {48} )
  23. (- dfrac {39} {56} - dfrac {22} {35} )
  24. (- dfrac {33} {49} - dfrac {18} {35} )
  25. (- dfrac {2} {3} - doľava (- dfrac {3} {4} doprava) )
  26. (- dfrac {3} {4} - doľava (- dfrac {4} {5} doprava) )
  27. (- dfrac {9} {16} - doľava (- dfrac {4} {5} doprava) )
  28. (- dfrac {7} {20} - doľava (- dfrac {5} {8} doprava) )
  29. 1 + ( dfrac {7} {8} )
  30. 1 + ( dfrac {5} {6} )
  31. 1 - ( dfrac {5} {9} )
  32. 1 - ( dfrac {3} {10} )
  33. ( dfrac {x} {3} + dfrac {1} {4} )
  34. ( dfrac {y} {2} + dfrac {2} {3} )
  35. ( dfrac {y} {4} - dfrac {3} {5} )
  36. ( dfrac {x} {5} - dfrac {1} {4} )

Identifikujte a použite frakčné operácie

V nasledujúcich cvičeniach vykonajte uvedené operácie. Odpovede píšte v zjednodušenej podobe.

  1. (a) ( dfrac {3} {4} + dfrac {1} {6} ) (b) ( dfrac {3} {4} div dfrac {1} {6} )
  2. (a) ( dfrac {2} {3} + dfrac {1} {6} ) (b) ( dfrac {2} {3} div dfrac {1} {6} )
  3. (a) (- dfrac {2} {5} - dfrac {1} {8} ) (b) (- dfrac {2} {5} cdot dfrac {1} {8} )
  4. (a) (- dfrac {4} {5} - dfrac {1} {8} ) (b) (- dfrac {4} {5} cdot dfrac {1} {8} )
  5. (a) ( dfrac {5n} {6} div dfrac {8} {15} ) (b) ( dfrac {5n} {6} - dfrac {8} {15} )
  6. (a) ( dfrac {3a} {8} div dfrac {7} {12} ) (b) ( dfrac {3a} {8} - dfrac {7} {12} )
  7. (a) ( dfrac {9} {10} cdot doľava (- dfrac {11d} {12} doprava) ) (b) ( dfrac {9} {10} + doľava (- dfrac {11d} {12} vpravo) )
  8. (a) ( dfrac {4} {15} cdot vľavo (- dfrac {5} {q} vpravo) ) (b) ( dfrac {4} {15} + vľavo (- dfrac {5} {q} vpravo) )
  9. (- dfrac {3} {8} div doľava (- dfrac {3} {10} doprava) )
  10. (- dfrac {5} {12} div doľava (- dfrac {5} {9} doprava) )
  11. (- dfrac {3} {8} + dfrac {5} {12} )
  12. (- dfrac {1} {8} + dfrac {7} {12} )
  13. ( dfrac {5} {6} - dfrac {1} {9} )
  14. ( dfrac {5} {9} - dfrac {1} {6} )
  15. ( dfrac {3} {8} cdot doľava (- dfrac {10} {21} doprava) )
  16. ( dfrac {7} {12} cdot doľava (- dfrac {8} {35} doprava) )
  17. (- dfrac {7} {15} - dfrac {y} {4} )
  18. (- dfrac {3} {8} - dfrac {x} {11} )
  19. ( dfrac {11} {12a} cdot dfrac {9a} {16} )
  20. ( dfrac {10y} {13} cdot dfrac {8} {15y} )

Na zjednodušenie zložitých zlomkov použite poradie operácií

V nasledujúcich cvičeniach to zjednodušte.

  1. ( dfrac { doľava ( dfrac {1} {5} doprava) ^ {2}} {2 + 3 ^ {2}} )
  2. ( dfrac { doľava ( dfrac {1} {3} doprava) ^ {2}} {5 + 2 ^ {2}} )
  3. ( dfrac {2 ^ {3} + 4 ^ {2}} { doľava ( dfrac {2} {3} doprava) ^ {2}} )
  4. ( dfrac {3 ^ {3} - 3 ^ {2}} { doľava ( dfrac {3} {4} doprava) ^ {2}} )
  5. ( dfrac { doľava ( dfrac {3} {5} doprava) ^ {2}} { doľava ( dfrac {3} {7} doprava) ^ {2}} )
  6. ( dfrac { doľava ( dfrac {3} {4} doprava) ^ {2}} { doľava ( dfrac {5} {8} doprava) ^ {2}} )
  7. ( dfrac {2} { dfrac {1} {3} + dfrac {1} {5}} )
  8. ( dfrac {5} { dfrac {1} {4} + dfrac {1} {3}} )
  9. ( dfrac { dfrac {2} {3} + dfrac {1} {2}} { dfrac {3} {4} - dfrac {2} {3}} )
  10. ( dfrac { dfrac {3} {4} + dfrac {1} {2}} { dfrac {5} {6} - dfrac {2} {3}} )
  11. ( dfrac { dfrac {7} {8} - dfrac {2} {3}} { dfrac {1} {2} + dfrac {3} {8}} )
  12. ( dfrac { dfrac {3} {4} - dfrac {3} {5}} { dfrac {1} {4} + dfrac {2} {5}} )

Zmiešaná prax

V nasledujúcich cvičeniach to zjednodušte.

  1. ( dfrac {1} {2} + dfrac {2} {3} cdot dfrac {5} {12} )
  2. ( dfrac {1} {3} + dfrac {2} {5} cdot dfrac {3} {4} )
  3. 1 - ( dfrac {3} {5} div dfrac {1} {10} )
  4. 1 - ( dfrac {5} {6} div dfrac {1} {12} )
  5. ( dfrac {2} {3} + dfrac {1} {6} + dfrac {3} {4} )
  6. ( dfrac {2} {3} + dfrac {1} {4} + dfrac {3} {5} )
  7. ( dfrac {3} {8} - dfrac {1} {6} + dfrac {3} {4} )
  8. ( dfrac {2} {5} + dfrac {5} {8} - dfrac {3} {4} )
  9. 12 ( doľava ( dfrac {9} {20} - dfrac {4} {15} doprava) )
  10. 8 ( doľava ( dfrac {15} {16} - dfrac {5} {6} doprava) )
  11. ( dfrac { dfrac {5} {8} + dfrac {1} {6}} { dfrac {19} {24}} )
  12. ( dfrac { dfrac {1} {6} + dfrac {3} {10}} { dfrac {14} {30}} )
  13. ( left ( dfrac {5} {9} + dfrac {1} {6} right) div left ( dfrac {2} {3} - dfrac {1} {2} right) )
  14. ( left ( dfrac {3} {4} + dfrac {1} {6} right) div left ( dfrac {5} {8} - dfrac {1} {3} right) )

V nasledujúcich cvičeniach zhodnoťte daný výraz. Vyjadrite svoje odpovede zjednodušenou formou, v prípade potreby pomocou nesprávnych zlomkov.

  1. x + ( dfrac {1} {2} ), keď
    1. x = (- dfrac {1} {8} )
    2. x = (- dfrac {1} {2} )
  2. x + ( dfrac {2} {3} ), keď
    1. x = (- dfrac {1} {6} )
    2. x = (- dfrac {5} {3} )
  3. x + ( doľava (- dfrac {5} {6} doprava) ) keď
    1. x = ( dfrac {1} {3} )
    2. x = (- dfrac {1} {6} )
  4. x + ( doľava (- dfrac {11} {12} doprava) ) keď
    1. x = ( dfrac {11} {12} )
    2. x = ( dfrac {3} {4} )
  5. x - ( dfrac {2} {5} ), keď
    1. x = ( dfrac {3} {5} )
    2. x = (- dfrac {3} {5} )
  6. x - ( dfrac {1} {3} ), keď
    1. x = ( dfrac {2} {3} )
    2. x = (- dfrac {2} {3} )
  7. ( dfrac {7} {10} ) - kedy
    1. w = ( dfrac {1} {2} )
    2. w = (- dfrac {1} {2} )
  8. ( dfrac {5} {12} ) - kedy
    1. w = ( dfrac {1} {4} )
    2. w = (- dfrac {1} {4} )
  9. 4s2q keď p = (- dfrac {1} {2} ) a q = ( dfrac {5} {9} )
  10. 5 metrov2n keď m = (- dfrac {2} {5} ) an = ( dfrac {1} {3} )
  11. 2x2r3 keď x = (- dfrac {2} {3} ) a y = (- dfrac {1} {2} )
  12. 8u2v3 keď u = (- dfrac {3} {4} ) a v = (- dfrac {1} {2} )
  13. ( dfrac {u + v} {w} ) keď u = −4, v = −8, w = 2
  14. ( dfrac {m + n} {p} ) keď m = −6, n = −2, p = 4
  15. ( dfrac {a + b} {a - b} ) keď a = −3, b = 8
  16. ( dfrac {r - s} {r + s} ) keď r = 10, s = −5

Každodenná matematika

  1. Zdobenie Laronda vyrába na svojej pohovke poťahy na vankúše. Pre každý povlak na vankúš potrebuje ( dfrac {3} {16} ) dvor tlačenej látky a ( dfrac {3} {8} ) dvor pevnej látky. Aké je celkové množstvo látky, ktorú Laronda potrebuje pre každý poťah na vankúš?
  2. Pečenie Vanessa pečie čokoládové sušienky a ovsené vločky. Potrebuje (1 dfrac {1} {4} ) šálky cukru na sušienky s čokoládovými lupienkami a (1 dfrac {1} {8} ) šálky cukru z ovsených vločiek Koľko cukru celkovo potrebuje ?

Písanie cvičení

  1. Vysvetlite, prečo je potrebné mať spoločného menovateľa na sčítanie alebo odčítanie zlomkov.
  2. Vysvetlite, ako nájsť LCD dvoch frakcií.

Samokontrola

(a) Po absolvovaní cvičení použite tento kontrolný zoznam na vyhodnotenie vášho zvládnutia cieľov tejto časti.

b) Po prezretí kontrolného zoznamu si myslíte, že ste dobre pripravení na ďalšiu časť? Prečo áno alebo prečo nie?


Rovnica znamená $ ad + bc = bd k $. Z toho vyplýva, že $ b $ rozdeľuje $ ad $, teda aj $ d $. Zvyšok je pre vás.

Bezoutova identita hovorí, že od $ (a, b) = 1 $ $ ax + od = 1 tag <1> $ a od $ (c, d) = 1 $ $ cu + dv = 1 tag <2> $ Vynásobením rovnice $ bd $ získate $ ad + bc = bdk tag <3> $ Vynásobte $ (1) $ o $ d $ a získate $ color <# C00000>+ bdy = d tag <4> $ Vynásobte $ (3) $ $ x $, aby ste získali $ color <# C00000>+ bcx = bdkx tag <5> $ Riešenie $ (5) $ za $ adx $ a jeho zapojenie do $ (4) $ prináša $ d = b (dy + dkx-cx) tag <6> $ Násobenie $ ( 2) $ o $ b $, aby ste dostali $ color <# C00000>+ bdv = b značka <7> $ Vynásobte $ (3) $ $ u $ a získate $ adu + color <# C00000>= bdku tag <8> $ Riešenie $ (8) $ za $ bcu $ a jeho zapojenie do $ (7) $ výnosy $ b = d (bku-au + bv) tag <9> $ Rovnice $ (6) $ a $ (9) $ by mali dokončiť všetko.


Kľúčové fakty

Aby ste pochopili, ako vypočítať zlomky, je dôležité sa oboznámiť so základmi. Najprv sa pozrime na tri rôzne typy zlomkov:

Definície a príklady zlomkov

Správna frakcia - Správny zlomok je zlomok, v ktorom má čitateľ menšiu hodnotu ako menovateľ. 1/2, 10/15 a 85/100 sú príkladmi správnych zlomkov. Celková hodnota správneho zlomku je vždy menšia ako jedna.

Nesprávna frakcia - V nevhodnom zlomku je hodnota čitateľa väčšia ako hodnota menovateľa. 6/3, 25/18 a 50/20 sú všetky príklady nesprávnych frakcií. Celková hodnota nesprávnej frakcie je vždy viac ako jedna.

Zmiešané frakcie - Zmiešaná frakcia je uvedená ako celé číslo, za ktorým nasleduje zlomkové číslo, napríklad 2⅔, 6⅘ alebo 25⅝. Zmiešané frakcie sú tiež známe ako zmiešané čísla.

Kľúčové výrazy

Teraz poznáme rôzne typy zlomkov, pozrime sa na niektoré ďalšie kľúčové pojmy a frázy:

Ekvivalentné frakcie - Ide o zlomky, ktoré sa javia odlišné, ale majú rovnakú hodnotu. Napríklad 2/3 je rovnaké ako 4/6.

Zjednodušené frakcie - Ide o frakcie redukované na svoju najnižšiu formu. V zásade nižší ekvivalent vyššej frakcie. Takže pomocou vyššie uvedeného príkladu je 2/3 zjednodušenou verziou 4/6.

Recipročné - Toto je miesto, kde sa zlomok obráti umiestnením menovateľa nad čitateľa. Napríklad prevrátená hodnota 2/3 je 3/2. Recipročné sa používajú pri delení a násobení zlomkov (5 ÷ 1/5 je to isté ako 5 x 5/1 alebo 5 x 5).

Zlomky môžu byť tiež prezentované ako desatinné miesta a percentá. Pozrime sa, ako previesť zlomky v príkladoch rovníc uvedených nižšie.


Sčítanie a odčítanie na rozdiel od zlomkov

Táto hodina piatej triedy učí, ako sčítať a odčítať na rozdiel od zlomkov (zlomky s rôznymi menovateľmi). Najprv pomocou vizuálnych modelov zistíme, že zlomky je potrebné previesť na podobné zlomky pomocou ekvivalentných zlomkov. Študenti vykonajú niekoľko cvičení s využitím vizuálnych modelov a pokúsia sa hľadať vzor v spoločných menovateľoch. Ďalšia lekcia sa sústredí na ako nájdeme spoločného menovateľa.

Video nižšie načrtáva plán výučby výučby pridávania na rozdiel od zlomkov (čo považujem za najťažšiu tému zlomkovej aritmetiky). Vo videu najskôr prechádzam cvičeniami, ktoré majú vizuálny model a je uvedený spoločný menovateľ. Potom pracujeme na cvičeniach bez vizuálneho modelu, kde je stále uvedený spoločný menovateľ. Na záver preštudujeme pravidlo o hľadaní spoločného menovateľa. Mám tiež ďalšiu lekciu zameranú na spoločného menovateľa.

Zakryte stránku pod čiernou čiarou. Potom sa pokúste zistiť problémy s pridávaním nižšie.


Sčítanie zlomkov na rozdiel od menovateľov

Ak menovatelia nie sú rovnakí, musíte použiť ekvivalentné zlomky, ktoré majú spoločného menovateľa. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť najmenší spoločný násobok (LCM) z dvoch menovateľov.

Ak chcete pridať zlomky s odlišnými menovateľmi, premenujte zlomky na spoločného menovateľa. Potom pridajte a zjednodušte.

Predpokladajme napríklad, že chcete pridať:

LCM 3 a 11 je 33. Potrebujeme teda nájsť zlomky ekvivalentné 1 11 a 2 3, ktoré majú v menovateli 33. Vynásobte čitateľa a menovateľa 1 11 číslom 3 a čitateľa a menovateľa 2 3 vynásobte 11.

Teraz máme podobných menovateľov a môžeme pridať, ako je opísané vyššie.

Stiahnite si naše bezplatné aplikácie výučbových nástrojov a testujte prípravné knihy

Názvy štandardizovaných testov sú vlastnené držiteľmi ochranných známok a nie sú spojené so spoločnosťou Varsity Tutors LLC.

Hodnotenie spokojnosti 4,9 / 5,0 za posledných 100 000 relácií. K 27.4.18.

Ochranné známky mediálnych výstupov sú majetkom príslušných médií a nie sú spojené s firmou Varsity Tutors.

Ocenená žiadosť založená na cenách CBS Local a Houston Press.

Varsity Tutors nemá vzťah k univerzitám uvedeným na svojej webovej stránke.

Varsity Tutors spája študentov s odborníkmi. Inštruktori sú nezávislí dodávatelia, ktorí prispôsobujú svoje služby každému klientovi pomocou ich vlastného štýlu, metód a materiálov.


Sčítanie zlomkov na rozdiel od menovateľov (A)

Učiteľ s môže používať matematické pracovné listy ako testy, praktické úlohy alebo učebné nástroje (napríklad v skupinovej práci, na lešení alebo v učebnom centre). Rodič s môžu pracovať so svojimi deťmi, aby im poskytli ďalšie tréningy, pomohli im naučiť sa nové matematické zručnosti alebo aby si udržali svoje zručnosti čerstvé počas školských prázdnin. Študent s môže použiť matematické pracovné listy na osvojenie si matematických zručností prostredníctvom praxe, v študijnej skupine alebo na doučovanie kolegov.

Pomocou tlačidiel dole môžete tlačiť, otvárať alebo sťahovať verziu súboru PDF Sčítanie zlomkov s matematickým hárkom Na rozdiel od menovateľov (A). Veľkosť súboru PDF je 27095 bajtov. Zobrazia sa ukážky obrázkov prvej a druhej (ak existuje) stránky. Ak existuje viac verzií tohto pracovného hárka, ďalšie verzie budú k dispozícii pod obrázkami ukážky. Ak chcete získať viac podobných informácií, pomocou vyhľadávacieho panela vyhľadajte niektoré alebo všetky z týchto kľúčových slov: zlomky, matematika, matematika, sčítanie .

The Tlač Toto tlačidlo spustí dialógové okno pre tlač v prehliadači. The Otvorené tlačidlo otvorí kompletný súbor PDF na novej karte vášho prehliadača. The Učiteľ tlačidlo inicializuje stiahnutie celého súboru PDF vrátane otázok a odpovedí (ak nejaké sú). Ak Študent tlačidlo je k dispozícii, inicializuje sa stiahnutie iba stránok s otázkami. Ďalšie možnosti môžu byť dostupné kliknutím pravým tlačidlom myši na tlačidlo (alebo podržaním klepnutia na dotykovej obrazovke). Nevidím tlačidlá!

Matematický pracovný hárok sčítania zlomkov na rozdiel od menovateľov (A) Strana 1 Matematický pracovný hárok sčítania zlomkov na rozdiel od menovateľov (A) Strana 2

Riešenie

Menovatelia týchto zlomkov sú 2 a 14. Pretože 2 sa delí rovnomerne na 14, 14 je násobkom 2, takže 14 je spoločným menovateľom zlomkov $ frac <1> <2> $ a $ frac <1 > <14> $. Nasledujúci obrázok to ukazuje:

Tu je obrázok zobrazujúci zlomky, keď sú obidve písané ako štrnáste:

Akýkoľvek násobok 14 je spoločný násobok 2 a 14. Takže $ 2 times14 = 28 $ je spoločný násobok a je spoločným menovateľom zlomkov $ frac <1> <2> $ a $ frac <1> <14 > $. 14 a 28 sú teda dva rôzne spoločné menovatele pre zlomky $ frac <1> <2> $ a $ frac <1> <14> $.

Prvý spoločný menovateľ, ktorý sme identifikovali v časti (i), bol 14. Tu je obrázok, ktorý predstavuje $ frac12 - frac <1> <14> $:

Takto môžeme napísať proces hľadania spoločného menovateľa a odčítania pomocou symbolov:

Druhý spoločný menovateľ, ktorého sme identifikovali v časti (i), bol 28. Takto by sme mohli použiť tohto spoločného menovateľa na riešenie daného problému s odčítaním:

Všimnite si, že $ begin frac <6> <14> & amp = frac <3 krát 2> <7 krát 2> & amp = frac <3> <7> & amp = frac <3 krát 4> <7 krát 4> & amp = frac <12> <28> koniec$ Takže dostaneme rovnakú odpoveď pomocou rôznych menovateľov, ako by sme čakali!

Aby sme našli riešenie tohto problému s odčítaním, musíme najskôr nájsť spoločného menovateľa pre zlomky $ frac <5> <9> $ a $ frac <1> <6> $. 18 je spoločný násobok menovateľov 9 a 6, pretože $ 9 times2 = 18 $ a $ 6 times3 = 18 $. To znamená, že 18 je spoločným menovateľom zlomkov $ frac <5> <9> $ a $ frac <1> <6> $. Tu je obrázok, ktorý ukazuje obe tieto zlomky, keď sú napísané v osemnástinách:

Tu je obrázok, ktorý predstavuje $ frac <5> <9> - frac <1> <6> $ pomocou tohto spoločného menovateľa:

Pri riešení tohto problému s odčítaním je možné použiť aj akýkoľvek iný spoločný násobok menovateľov 9 a 6. Takto napíšeme proces hľadania spoločného menovateľa a odčítania pomocou symbolov:

Obrázok ukazuje, že keď prevedieme obidve zlomky na osemnástinu, môžeme od 10 osemnástin odpočítať 3 osemnástiny a zostane nám 7 osemnástin, čo je rovnaká odpoveď, akú sme našli symbolicky.

Aby sme našli riešenie tohto problému s odčítaním, musíme opäť najskôr nájsť spoločného menovateľa pre zlomky $ frac <21> <10> $ a $ frac <24> <15> $. 30 je spoločný násobok menovateľov 10 a 15, pretože 10 $ times3 = 30 $ a $ 15 times2 = 30 $. To znamená, že 30 je spoločným menovateľom zlomkov $ frac <21> <10> $ a $ frac <24> <15> $. Takto by sme mohli použiť spoločného menovateľa 30 na vyriešenie tohto problému s odčítaním pomocou symbolov:


Štatistika modulárna 2

1-1/3
−8-2/5
14-1/2
Tieto zmiešané čísla môžeme čítať ako:

Krok 1: Napíšte zlomok ako úlohu rozdelenia: 9 vydelené 5.

deväť delené piatimi
Krok 2: Riešte vydelením čitateľa 9 menovateľom 5.

vyriešiť vydelením deviatich piatimi
5 ide do 9 raz so zvyškom 4.

Krok 3: Napíšte odpoveď pomocou kvocientu 1, za ktorým nasleduje zlomok, ktorého čitateľom je zvyšok, 4 a ktorého menovateľ je menovateľ z pôvodného zlomku, 5.

Krok 1: Vynásobte celé číslo menovateľom zlomku.
1×5=5
Krok 2: Pridajte tento produkt do čitateľa zlomku.

5+4=9
Krok 3: Odpoveď z kroku 2 sa teraz stáva čitateľom nevhodnej frakcie. Odpíšte odpoveď ako nesprávny zlomok.

Krok 4: Znížte podiel.

Zrušiť alebo vydeliť všetky faktory spoločné pre čitateľa aj menovateľa.

Už si skončil? Všimnite si, že zlomok začína. čitateľ: -4
menovateľ: 6
koniec zlomku. stále má spoločný faktor. Ešte ste neskončili a musíte ďalej znižovať.

3/8 ≟ 15/40
Jednoduchým spôsobom, ako zistiť, či sú tieto zlomky rovnaké, je krížové násobenie. V tomto príklade krížové násobenie znamená násobenie 3 × 40 a 8 × 15. Ak sú dva produkty rovnaké, zlomky sú ekvivalentné alebo rovnaké. Keďže 3 × 40 = 120 a 8 × 15 = 120, vieme, že 3/8 = 15/40

6/17 ≟ 36/101
Teraz nakreslite & motýlie krídla & quot okolo 6 a 101 a okolo 17 a 36, ​​takto:

Čo je spoločný násobok 2 a 3?
Ak chcete nájsť spoločný násobok, vynásobte 2 × 3 = 6.
Je zrejmé, že 2 aj 3 rovnomerne rozdeľujú 6, takže 6 je násobkom oboch.

Násobky 8 sú: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72.

21÷3=7
Vynásobte čitateľa a menovateľa číslom 7.

(1×7)(3×7)=7/21
Poďme teraz transformovať −2/7 na ekvivalentný zlomok so spoločným menovateľom
Vydeľte LCD (nový menovateľ) aktuálnym menovateľom.

21÷7=3
Vynásobte čitateľa a menovateľa číslom 3.
(−2×3)(7×3)=−6/21
sú dve nové frakcie so spoločným menovateľom:

(5−1)6=4/6
Krok 2: Znížte podiel (ak je to potrebné).

4/6
Všimnite si, že čitateľ 4 a menovateľ 6 sú obidve deliteľné 2. Preto môžeme tento zlomok znížiť na:

Krok 2: Preveďte zlomky tak, aby mali podobné menovatele:

Vynásobenie čitateľa aj menovateľa číslom 3 je ekvivalentné rozdeleniu každej zo starých častí na 3 časti. Vynásobenie čitateľa a menovateľa číslom 4 je ekvivalentné rozdeleniu každej zo starých častí na 4 časti. Množstvo každej frakcie (zatienená oblasť koláčov) zostáva rovnaké, ale v každom koláči máme tenšie plátky. Ide o to, že pre každý z koláčov máme rovnaké tenšie plátky.

1/4+1/3=(1⋅3)(4⋅3)+(1⋅4)(3⋅4)=3/12+4/12
Teraz môžeme pridať podobné zlomky:

Krok 2: Preveďte zlomky tak, aby mali podobné menovatele.

2/3−5/9=(2⋅3)(3⋅3)−59=6/9−5/9
Krok 3: Odčítajte podobné zlomky.

Tu je pripomenutie, ako zmeniť zmiešané číslo na nesprávny zlomok.

1-2/5=7/5
Krok 2: Nájdite ekvivalentné zlomky s najmenším spoločným menovateľom.

Konvertujte frakcie na ekvivalentné frakcie pomocou LCD. Najnižší spoločný menovateľ je 5 × 2 = 10, preto:

Vynásobte čitateľa a menovateľa 7/5 číslom 2
Vynásobte čitateľa a menovateľa 3/2 číslom 5
75−32=14/10−15/10
Krok 3: Odčítajte ako zlomky

Ďalej odčítajte čitateľov zlomkov.

Nezabudnite zachovať rovnakého menovateľa - neodčítajte ich!

14/10−15/10=−1/10
Krok 4: Na dokončenie problému preveďte všetky nevhodné zlomky na najnižšie hodnoty.

Tu je pripomenutie, ako zmeniť zmiešané číslo na nesprávny zlomok.

7-3/4=31/4
Krok 2: Nájdite ekvivalentné zlomky s najmenším spoločným menovateľom.

Konvertujte frakcie na ekvivalentné frakcie pomocou LCD. Najnižší spoločný menovateľ je 3 × 4 = 12, preto:

Vynásobte čitateľa a menovateľa 20/3 číslom 4
Vynásobte čitateľa a menovateľa 31/4 číslom 3
20/3+31/4=80/12+93/12
Krok 3: Pridajte podobné frakcie.

Ďalej pridajte frakcie. Keby išlo o problém s odčítaním, jednoducho by ste namiesto sčítania odčítali.

80/12+93/12=173/12
Krok 4: Na dokončenie problému preveďte všetky nevhodné zlomky na najnižšie hodnoty.

Jedným z najťažších aspektov práce s frakciami je zapamätanie si, ako zaobchádzať s menovateľmi. V násobení a delení nenájdeme spoločných menovateľov. Postupujte podľa nasledujúcich krokov na násobenie:

Užitočným spôsobom, ako premýšľať o násobení zlomkov, je to, že pri riešení týchto typov problémov hľadáme časť OF. Preto je dôležité mať na pamäti, že slovo & quotof & quot môže byť použité na označenie násobenia. Napríklad čo je 12 z 13.

Jedným z najťažších aspektov práce s frakciami je zapamätanie si, ako zaobchádzať s menovateľmi. V násobení a delení nenájdeme spoločných menovateľov. Postupujte podľa nasledujúcich krokov na násobenie:

Užitočným spôsobom, ako premýšľať o násobení zlomkov, je to, že pri riešení týchto typov problémov hľadáme časť OF. Preto je dôležité mať na pamäti, že slovo & quotof & quot môže byť použité na označenie násobenia. Napríklad čo je 12 z 13.

Jedným z najťažších aspektov práce s frakciami je zapamätanie si, ako zaobchádzať s menovateľmi. V násobení a delení nenájdeme spoločných menovateľov. Postupujte podľa nasledujúcich krokov na násobenie:


Viac pracovných listov so slovnými úlohami

Preskúmajte všetky naše pracovné listy s matematickými slovami od materskej školy po 5. ročník.

K5 Learning ponúka bezplatné pracovné listy, kartičky a lacné pracovné zošity pre deti v materskej škole do 5. ročníka. Pomáhame vašim deťom budovať dobré študijné návyky a vyniknúť v škole.

Stiahnutie a tlač
Už od 2,20 dolárov

K5 Learning ponúka bezplatné pracovné listy, kartičky a lacné pracovné zošity pre deti v materskej škole do 5. ročníka. Pomáhame vašim deťom budovať dobré študijné návyky a vyniknúť v škole.


PRIDÁVANIE ALGEBRAICKÝCH FRAKCIÍ

T HERE IS ONE RULE for adding or subtracting fractions: The denominators must be the same -- just as in arithmetic.

Add the numerators, and place their sum
over the common denominator.

Example 1. 6 x + 3
5
+ 4 x &minus 1
5
= 10 x + 2
5

The denominators are the same. Add the numerators as like terms.

Example 2. 6 x + 3
5
&minus 4 x &minus 1
5

To subtract, change the signs of the subtrahend, and add.

6 x + 3
5
&minus 4 x &minus 1
5
= 6 x + 3 &minus 4 x + 1
5
= 2 x + 4
5

To see the answer, pass your mouse over the colored area.
To cover the answer again, click "Refresh" ("Reload").
Do the problem yourself first!

a) x
3
+ y
3
= x + y
3
b) 5
x
&minus 2
x
= 3
x
c) x
x &minus 1
+ x + 1
x &minus 1
= 2 x + 1
x &minus 1
d) 3 x &minus 4
x &minus 4
+ x &minus 5
x &minus 4
= 4 x &minus 9
x &minus 4
e) 6 x + 1
x &minus 3
&minus 4 x + 5
x &minus 3
= 6 x + 1 &minus 4 x &minus 5
x &minus 3
= 2 x &minus 4
x &minus 3
f) 2 x &minus 3
x &minus 2
&minus x &minus 4
x &minus 2
= 2 x &minus 3 &minus x + 4
x &minus 2
= x + 1
x &minus 2

To add fractions with different denominators, we must learn how to construct the Lowest Common Multiple of a series of terms.

The Lowest Common Multiple (LCM) of a series of terms
is the smallest product that contains every factor of each term.

For example, consider this series of three terms:

We will now construct their LCM -- factor by factor.

To begin, it will have the factors of the first term:

Moving on to the second term, the LCM must have the factors pr . But it already has the factor p -- therefore, we need add only the factor r :

Finally, moving on to the last term, the LCM must contain the factors ps . But again it has the factor p , so we need add only the factor s :

That product is the Lowest Common Multiple of pq , pr , ps . It is the smallest product that contains each of them as factors.

Example 3. Construct the LCM of these three terms: x , x 2 , x 3 .

Solution . The LCM must have the factor x .

But it also must have the factors of x 2 -- which are x · x . Therefore, we must add one more factor of x :

Finally, the LCM must have the factors of x 3 , which are x · x · x . Therefore,

x 3 is the smallest product that contains x , x 2 , and x 3 as factors.

We see that when the terms are powers of a variable -- x , x 2 , x 3 -- then their LCM is the highest power.

Problem 2. Construct the LCM of each series of terms.

a) ab , bc , cd . abcd b) pqr , qrs , rst . pqrst
c) a , a 2 , a 3 , a 4 . a 4 d) a 2 b , a b 2 . a 2 b 2

We will now see what this has to do with adding fractions.

Example 4. Add: 3
ab
+ 4
bc
+ 5
cd

Solution . To add fractions, the denominators must be the same. Therefore, as a common denominator choose the LCM of the original denominators. Choose abcd . Then, convert each fraction to an equivalent fraction with denominator abcd .

It is necessary to write the common denominator only once:

3
a b
+ 4
b c
+ 5
c d
= 3 c d + 4 a d + 5 a b
a b c d

To change into an equivalent fraction with denominator a b c d , simply multiply a b by the factors it is missing, namely c d . Therefore, we must also multiply 3 by c d . That accounts for the first term in the numerator.

To change into an equivalent fraction with denominator a b c d , multiply b c by the factors it is missing, namely a d . Therefore, we must also multiply 4 by a d . That accounts for the second term in the numerator.

To change into an equivalent fraction with denominator a b c d , multiply c d by the factors it is missing, namely a b . Therefore, we must also multiply 5 by a b . That accounts for the last term in the numerator.

That is how to add fractions with different denominators.

Each factor of the original denominators must be a factor
of the common denominator.

a) 5
ab
+ 6
ac
= 5 c + 6 b
abc
b) 2
pq
+ 3
qr
+ 4
rs
= 2 rs + 3 ps + 4 pq
pqrs
c) 7
ab
+ 8
bc
+ 9
abc
= 7 c + 8 a + 9
abc
d) 1
a
+ 2
a 2
+ 3
a 3
= a 2 + 2 a + 3
a 3
e) 3
a 2 b
+ 4
a b 2
= 3 b + 4 a
a 2 b 2
f) 5
ab
+ 6
cd
= 5 cd + 6 ab
abcd
g) _2_
x ( x + 2)
+ __3__
( x + 2)( x &minus 3)
= 2( x &minus 3) + 3 x
x ( x + 2)( x &minus 3)
= _ 2 x &minus 6 + 3 x _
x ( x + 2)( x &minus 3)
= _5 x &minus 6_
x ( x + 2)( x &minus 3)

At the 2nd Level we will see a similar problem, but the denominators will not be factored.

Problem 4. Add: 1 &minus 1
a
+ c + 1
ab
. But write the answer as

1 &minus 1
a
+ c + 1
ab
= 1 &minus ( 1
a
&minus c + 1
ab
)
= 1 &minus b &minus ( c + 1)
ab
= 1 &minus b &minus c &minus 1
ab

Example 5. Denominators with no common factors.

When the denominators have no common factors, their LCM is simply their product, mn .

The numerator then appears as the result of "cross-multiplying" :

However, that technique will work only when adding two fractions, and the denominators have no common factors.

Solution . These denominators have no common factors -- x is not a factor of x &minus 1. It is a term. Therefore, the LCM of denominators is their product.

2
x &minus 1
&minus 1
x
= 2 x &minus ( x &minus 1)
( x &minus 1) x
= 2 x &minus x + 1
( x &minus 1) x
= _ x + 1_
( x &minus 1) x

Note: The entire x &minus 1 is being subtracted. Therefore, we write it in parentheses -- and its signs change.

a) x
a
+ y
b
= xb + ya
ab
b) x
5
+ 3 x
2
= 2 x + 15 x
10
= 17 x
10
c) 6
x &minus 1
+ 3
x + 1
= 6( x + 1) + 3( x &minus 1)
( x + 1)( x &minus 1)
= 6 x + 6 + 3 x &minus 3
( x + 1)( x &minus 1)
= _9 x + 3_
( x + 1)( x &minus 1)
d) 6
x &minus 1
&minus 3
x + 1
= 6( x + 1) &minus 3( x &minus 1)
( x + 1)( x &minus 1)
= 6 x + 6 &minus 3 x + 3
( x + 1)( x &minus 1)
= _3 x + 9_
( x + 1)( x &minus 1)
e) 3
x &minus 3
&minus 2
x
= 3 x &minus 2( x &minus 3)
( x &minus 3) x
= 3 x &minus 2 x + 6
( x &minus 3) x
= x + 6
( x &minus 3) x
f) 3
x &minus 3
&minus 1
x
= 3 x &minus ( x &minus 3)
( x &minus 3) x
= 3 x &minus x + 3
( x &minus 3) x
= 2 x + 3
( x &minus 3) x
g) 1
x
+ 2
y
+ 3
z
= yz + 2 xz + 3 xy
xyz
Example 7. Add: a + b
c
.

Solution. We have to express a with denominator c.

a) p
q
+ r = p + qr
q
b) 1
x
&minus 1 = 1 &minus x
x
c) x &minus 1
x
= x 2 &minus 1
x
d) 1 &minus 1
x 2
= x 2 &minus 1
x 2
e) 1 &minus 1
x + 1
= x + 1 &minus 1
x + 1
= x
x + 1
f) 3 + 2
x + 1
= 3 x + 3 + 2
x + 1
= 3 x + 5
x + 1
Problem 7. Write the reciprocal of 1
2
+ 1
3
.
[ Hint : Only a single fraction a
b
has a reciprocal it is b
a
.]
1
2
+ 1
3
= 3 + 2
6
= 5
6
Therefore, the reciprocal is 6
5
.

Please make a donation to keep TheMathPage online.
Even $1 will help.


Pozri si video: Matematika - súčet a rozdiel zlomkov s rôznymi menovateľmi 2. časť. (Október 2021).