Články

8.12: Integrácia a diferenciácia


I. Teraz prepojíme deriváty RN (§11) s derivátmi kapitoly 7, §12.

Ďalej použijeme zápis definície 3 v kapitole 7, §10 a definície 1 v kapitole 7, §12. (Skontrolujte ich!) Najmä

[m: mathcal {M} ^ {*} rightarrow E ^ {*} ]

je Lebesgueovo opatrenie v (E ^ {n} ) (predpokladá sa v termínoch ako „a.e.“ atď.); (s ) je ľubovoľná nastavená funkcia. Pre pohodlie sme nastavili

[s ^ { prime} ( overline {p}) = 0 ]

a

[ int_ {X} f dm = 0, ]

pokiaľ nie je definované inak; teda (s ^ { prime} ) a ( int_ {X} f ) existujú vždy.

Začíname niekoľkými lemami, ktoré siahajú až do Lebesgue.

Lemma ( PageIndex {1} )

S poznámkou o definícii 3 v kapitole 7, §10, funkcie

[ overline {D} s, podčiarknutie {D} s, text {a} s ^ { prime} ]

sú Lebesgue merateľné na (E ^ {n} ) pre ľubovoľnú nastavenú funkciu

[s: mathcal {M} ^ { prime} rightarrow E ^ {*} quad left ( mathcal {M} ^ { prime} supseteq overline { mathcal {K}} vpravo) . ]

Dôkaz

Podľa definície,

[ overline {D} s ( overline {p}) = inf _ {r} h_ {r} ( overline {p}), ]

kde

[h_ {r} ( overline {p}) = sup left { frac {s I} {m I} | I in mathcal {K} _ { overline {p}} ^ {r} right } ]

a

[ mathcal {K} _ { overline {p}} ^ {r} = left {I in overline { mathcal {K}} | overline {p} v I, d I < frac {1} {r} vpravo }, quad r = 1,2, ldots. ]

Ako je ľahko viditeľné (overte si!),

[E ^ {n} doľava (h_ {r}> a doprava) = bigcup doľava {I in overline { mathcal {K}} | a < frac {s I} {m I}, d I < frac {1} {r} vpravo }, quad a v E ^ {*}. ]

Pravicová únia je Lebesgue merateľná problémom 2 v kapitole 7, §10. Teda podľa vety 2 §2 je funkcia (h_ {r} ) merateľná na (E ^ {n} ) pre (r = 1,2, ldots ) ​​a tak je

[ overline {D} s = inf _ {r} h_ {r} ]

Lemmou 1 v §2 a definíciou 3 v kapitole 7, §10. Podobne pre ( podčiarknutie {D} s ).

Preto z dodatku 1 v § 2, množine

[A = E ^ {n} ( podčiarknuť {D} s = nadčiarkovať {D} s) ]

je merateľný. Pretože (s ^ { prime} = overline {D} s ) na (A, s ^ ​​{ prime} ) je merateľný na (A ) a tiež na (- A ) (o konvencia, (s ^ { prime} = 0 ) na (- A), ) teda na všetky (E ^ {n}. quad square )

Lemma ( PageIndex {2} )

Rovnakým zápisom nechajte (s: mathcal {M} ^ { prime} rightarrow E ^ {*} left ( mathcal {M} ^ { prime} supseteq overline { mathcal {K}) } right) ) byť pravidelným meradlom v (E ^ {n}. ) Nech (A in mathcal {M} ^ {*} ) a (B v mathcal {M} ^ { prime} ) s (A subseteq B, ) a (a v E ^ {1} ).

Ak

[ overline {D} s> a quad text {on} A, ]

potom

[a cdot m A leq s B. ]

Dôkaz

Oprava ( varepsilon> 0. ) Pravidelnosťou (definícia 4 v kapitole 7, §7) existuje otvorená množina (G supseteq B, ) s

[s B + varepsilon geq s G. ]

Teraz nechajme

[ mathcal {K} ^ { varepsilon} = {I in overline { mathcal {K}} | I subseteq G, s I geq (a- varepsilon) m I }. ]

Pretože ( overline {D} s> a, ) z definície ( overline {D} s ) vyplýva, že ( mathcal {K} ^ { varepsilon} ) je vitalijským obalom ( A ). (Overiť!)

Veta 1 v kapitole 7, §10, tak dáva disjunktnú postupnosť ( left {I_ {k} right } subseteq mathcal {K} ^ { varepsilon} ), s

[m doľava (A- bigcup_ {k} I_ {k} doprava) = 0 ]

a

[m A leq m vľavo (A- bigcup I_ {k} vpravo) + m bigcup I_ {k} = 0 + m bigcup I_ {k} = sum_ {k} m I_ {k} . ]

Ako

[ bigcup I_ {k} subseteq G text {a} s B + varepsilon geq s G ]

(našou voľbou ( mathcal {K} ^ { varepsilon} ) a (G ) získame

[s B + varepsilon geq s bigcup_ {k} I_ {k} = sum_ {k} s I_ {k} geq (a- varepsilon) sum_ {k} m I_ {k} geq ( a- varepsilon) m A. ]

Teda

[(a- varepsilon) m A leq s B + varepsilon. ]

Tvorbou ( varepsilon rightarrow 0, ) získame výsledok. ( Quad square )

Lemma ( PageIndex {3} )

Ak

[t = s pm u, ]

s (s, t, u: mathcal {M} ^ { prime} rightarrow E ^ {*} ) a ( mathcal {M} ^ { prime} supseteq overline { mathcal {K }}, ) a ak (u ) je v bode diferencovateľné ( overline {p} v E ^ {n} ), potom

[ overline {D} t = overline {D} s pm u ^ { prime} text {a} podčiarknutie {D} t = podčiarknutie {D} s pm u ^ { prime} text {at} overline {p}. ]

Dôkaz

Dôkaz z definícií je ponechaný na čitateľa (kapitola 7, §12, problém 7).

Lemma ( PageIndex {4} )

Akékoľvek (m ) - nepretržité meranie (s: mathcal {M} ^ {*} rightarrow E ^ {1} ) je veľmi pravidelné.

Dôkaz

Podľa dodatku 3 k kapitole 7, §11, (v_ {s} = s < infty ) ( (s ) je konečný!). Takže (v_ {s} ) je určite (m ) - konečný.

Preto podľa vety 2 v kapitole 7 §11 je (s ) absolútne (m ) - spojité. Takže dané ( varepsilon> 0, ) existuje ( delta> 0 ) také, že

[ left ( forall X in mathcal {M} ^ {*} | m X < delta right) quad s X < varepsilon. ]

Nechajme (A v mathcal {M} ^ {*}. ) Vďaka výraznej pravidelnosti Lebesgueovej miery (m ) (Kapitola 7, §8, Veta 3 (b)), existuje otvorená množina (G supseteq A ) a uzavretá (F subseteq A ) taká, že

[m (A-F) < delta text {a} m (G-A) < delta.]]

Takže podľa našej voľby ( delta ),

[s (A-F) < varepsilon text {a} s (G-A) < varepsilon, ]

podľa potreby. ( quad square )

Lemma ( PageIndex {5} )

Nech (s, s_ {k} (k = 1,2, ldots) ) je konečné (m ) - nepretržité miery s (s_ {k} nearrow s ) alebo (s_ {k } searrow s ) na ( mathcal {M} ^ {*}. )

Ak sú (s_ {k} ) a.e. teda diferencovateľné

[ overline {D} s = podčiarknutie {D} s = lim _ {k rightarrow infty} s_ {k} ^ { prime} text {a.e.} ]

Dôkaz

Najskôr (s_ {k} priblížiť sa. ) Nastaviť

[t_ {k} = s-s_ {k}. ]

Podľa dodatku 2 v kapitole 7, §11, sú všetky (t_ {k} ) (m ) - spojité, teda silne pravidelné (lemma 4). Tiež (t_ {k} searrow 0 ) (od (s_ {k} nearrow s )). Preto

[t_ {k} I geq t_ {k + 1} I geq 0 ]

pre každú kocku (I; ) a definícia ( overline {D} t_ {k} ) znamená, že

[ overline {D} t_ {k} geq overline {D} t_ {k + 1} geq podčiarknutie {D} t_ {k + 1} geq 0. ]

Pretože ( { overline {D} t_ {k} } downarrow, ) ( lim_ {k rightarrow infty} overline {D} t_ {k} ) (bodovo). Teraz nastavený

[A_ {r} = E ^ {n} vľavo ( lim _ {k rightarrow infty} overline {D} t_ {k} geq frac {1} {r} vpravo), quad r = 1,2, ldots. ]

Od Lemmy 1 (a Lemy 1 v §2), (A_ {r} in mathcal {M} ^ {*}. ) Od

[ overline {D} t_ {k} geq lim _ {i rightarrow infty} overline {D} t_ {i} geq frac {1} {r} ]

pri výťažkoch (A_ {r}, ) Lemma 2

[ frac {1} {r} m A_ {r} leq t_ {k} A_ {r}. ]

Ako (t_ {k} searrow 0, ) máme

[ frac {1} {r} m A_ {r} leq lim _ {k rightarrow infty} t_ {k} A_ {r} = 0. ]

Teda

[m A_ {r} = 0, kvad r = 1,2, ldots. ]

Tiež, ako je ľahko vidieť

[E ^ {n} vľavo ( lim _ {k rightarrow infty} overline {D} t_ {k}> 0 vpravo) = bigcup_ {r = 1} ^ { infty} E ^ { n} left ( lim _ {k rightarrow infty} overline {D} t_ {k} geq frac {1} {r} right) = bigcup_ {r = 1} ^ { infty} A_ {r} ]

a

[m bigcup_ {r = 1} ^ { infty} A_ {r} = 0. ]

Preto

[ lim _ {k rightarrow infty} overline {D} t_ {k} leq 0 quad text {a.e.} ]

Ako

[ overline {D} t_ {k} geq podčiarknutie {D} t_ {k} geq 0 ]

(pozri vyššie), dostaneme

[ lim _ {k rightarrow infty} overline {D} t_ {k} = 0 = lim _ {k rightarrow infty} D t_ {k} quad text {a.e. on} E ^ {n}. ]

Teraz, ako (t_ {k} = s-s_ {k} ) a ako (s_ {k} ) sú diferencovateľné, výťažok Lemma 3

[ overline {D} t_ {k} = overline {D} s-s_ {k} ^ { prime} text {a} podčiarknutie {D} t_ {k} = podčiarknutie {D} s- s_ {k} ^ { prime} quad text {ae} ]

Teda

[ lim _ {k rightarrow infty} left ( overline {D} s-s_ {k} ^ { prime} right) = 0 = lim left ( underline {D} s-s_ {k} ^ { prime} right), ]

t.j.

[ overline {D} s = lim _ {k rightarrow infty} s_ {k} ^ { prime} = podčiarknutie {D} s quad text {a.e.} ]

Týmto sa vyrieši prípad (s_ {k} nearrow s ).

V prípade (s_ {k} searrow s, ) stačí nastaviť (t_ {k} = s_ {k} -s ) a postupovať ako predtým. (Overiť!) ( Quad square )

Lemma ( PageIndex {6} )

Dané (A in mathcal {M} ^ {*}, m A < infty, ) nech

[s = int C_ {A} dm ]

na ( mathcal {M} ^ {*}. ) Potom (s ) je a.e. diferencovateľné a

[s ^ { prime} = C_ {A} text {a.e. on} E ^ {n}. ]

( doľava (C_ {A} = text {charakteristická funkcia}} doprava) )

Dôkaz

Najskôr nechajte (A ) otvorené a nechajte ( overline {p} v A ).

Potom (A ) obsahuje nejaké (G _ { overline {p}} ( delta) ) a teda aj všetky kocky (I in overline { mathcal {K}} ) s (d I < delta ) a ( overline {p} v I. )

Teda pre také (I in overline { mathcal {K}} ),

[s I = int_ {I} C_ {A} d m = int_ {I} (1) d m = m I; ]

t.j.

[ frac {s I} {m I} = 1 = C_ {A} ( overline {p}), quad overline {p} v A. ]

Preto podľa definície 1 v kapitole 7, §12,

[s ^ { prime} ( overline {p}) = 1 = C_ {A} ( overline {p}) ]

ak ( overline {p} v A; ), tj. (s ^ { prime} = C_ {A} ) na (A ).

To upokojujeme

[ overline {D} s = s ^ { prime} = 0 quad text {a.e. dňa} -A. ]

Aby ste to dokázali, všimnite si to

[s = int C_ {A} dm ]

je konečná (prečo?) (m ) - spojitá miera na ( mathcal {M} ^ {*} ). Od Lemmy 4 je (s ) veľmi pravidelný. Rovnako ako (s I geq 0 ) pre ľubovoľné (I in overline { mathcal {K}}, ) určite máme

[ overline {D} s geq podčiarknutie {D} s geq 0. ]

(Prečo?) Teraz dovoľte

[B = E ^ {n} ( overline {D} s> 0) = bigcup_ {r = 1} ^ { infty} B_ {r}, ]

kde

[B_ {r} = E ^ {n} vľavo ( overline {D} s geq frac {1} {r} vpravo), quad r = 1,2, ldots. ]

Musíme ukázať, že (m (B-A) = 0. )

Predpokladajme

[m (B-A)> 0. ]

Potom do (2), musíme mať (m doľava (B_ {r} -A doprava)> 0 ) aspoň na jednu (B_ {r}; ) to napravíme (B_ {r} ) Tiež od (3),

[ overline {D} s geq frac {1} {r} text {on} B_ {r} -A ]

(dokonca aj na všetkých (B_ {r} )). Takto Lemma 2,

[0 < frac {1} {r} m vľavo (B_ {r} -A vpravo) leq s vľavo (B_ {r} -A vpravo) = int_ {B_ {r} -A } C_ {A} dm. ]

Ale to je nemožné. Skutočne, ako (C_ {A} = 0 ) na (- A ) (teda na (B_ {r} -A )), integrál v (4) nemôže byť (> 0. ) To vyvracia predpoklad (m (BA)> 0; ), takže (2),

[m doľava (E ^ {n} ( overline {D} s> 0) -A doprava) = 0; ]

t.j.

[ overline {D} s = 0 = podčiarknutie {D} s quad text {a.e. dňa} -A. ]

Vidíme to

[s ^ { prime} = 0 = C_ {A} quad text {a.e. dňa} -A, ]

a

[s ^ { prime} = 1 = C_ {A} quad text {on} A, ]

dokazovanie lemmy pre otvorené množiny (A. )

Teraz vezmite ľubovoľné (A in mathcal {M} ^ {*}, m A < infty. ) Pretože Lebesgueova miera je pravidelná (Kapitola 7, § 8, Veta 3 (b)), nájdeme pre každú (k v N ) otvorená množina (G_ {k} supseteq A, ) s

[m doľava (G_ {k} -A doprava) < frac {1} {k} text {a} G_ {k} supseteq G_ {k + 1}. ]

Poďme

[s_ {k} = int C_ {G_ {k}} dm. ]

Potom (s_ {k} searrow s ) na ( mathcal {M} ^ {*} ) (pozri úlohu 5 (ii) v §6). Podľa toho, čo bolo uvedené vyššie, je znak (s_ {k} ) diferencovateľný, pričom (s_ {k} ^ { prime} = C_ {G_ {k}} ) a.e.

Preto Lemma 5,

[ overline {D} s = podčiarknutie {D} s = lim _ {k rightarrow infty} C_ {G_ {k}} = C_ {A} text {(a.e.).} ]

Lema je dokázaná. ( Quad square )

Veta ( PageIndex {1} )

Nech (f: E ^ {n} rightarrow E ^ {*} doľava (E ^ {r}, C ^ {r} right) ) byť (m ) - integrovateľné, minimálne na každej kocke in (E ^ {n}. ) Potom nastavená funkcia

[s = int f dm ]

je diferencovateľné, s (s ^ { prime} = f, ) a.e. na (E ^ {n}. )

(S ^ { prime} ) je teda (RN ) - derivácia (s ) vzhľadom na Lebesgueovu mieru (m ) (veta 1 v §11).

Dôkaz

Pretože (E ^ {n} ) je spočítateľné spojenie kociek (lemma 2 v kapitole 7, §2), stačí ukázať, že (s ^ { prime} = f ) a.e. na každej otvorenej kocke (J, ) s (s ) diferencovateľnými a.e. na (J. )

Opravte teda také (J neq emptyset ) a obmedzte (s ) a (m ) na

[ mathcal {M} _ {0} = zľava {X v mathcal {M} ^ {*} | X subseteq J vpravo }. ]

Toto neovplyvní (s ^ { prime} ) na (J; ), pretože (J ) je otvorený, akákoľvek postupnosť kociek

[I_ {k} rightarrow overline {p} v J ]

rovnako končí vo vnútri (J ).

Ak je to obmedzené,

[s = int f ]

je zovšeobecnená miera v (J; ) pre ( mathcal {M} _ {0} ) je ( sigma ) - krúžok (overte!) a (f ) je integrovateľný na (J. ) (m ) je tiež veľmi pravidelný a (s ) je (m ) - spojitý.

Najprv predpokladajme, že (f ) je ( mathcal {M} _ {0} ) - jednoduché na (J, ) povedzme,

[f = sum_ {i = 1} ^ {q} a_ {i} C_ {A_ {i}}, ]

povedzme s (0

[J = bigcup_ {i = 1} ^ {q} A_ {i} text {(disjunktný).} ]

Potom

[s = int f = sum_ {i = 1} ^ {q} a_ {i} int C_ {A_ {i}}. ]

Preto podľa Lemmy 6 vyššie a vety 1 v kapitole 7 §12 (s ) je diferencovateľná a.e. (ako každý ( int C_ {A_ {i}} ) je), a

[s ^ { prime} = sum_ {i = 1} ^ {q} a_ {i} doľava ( int C_ {A_ {i}} doprava) ^ { prime} = sum_ {i = 1} ^ {q} a_ {i} C_ {A_ {i}} = f text {(ae),} ]

podľa potreby.

Všeobecný prípad sa redukuje (prostredníctvom komponentov a vzorca (f = f ^ {+} - f ^ {-} )) na prípad (f geq 0, ) s (f ) merateľným (dokonca integrovateľným) ) na (J. )

Podľa úlohy 6 v §2 potom máme (f_ {k} nearrow f ) pre niektoré jednoduché mapy (f_ {k} geq 0. ) Nech

[s_ {k} = int f_ {k} text {on} M_ {0}, k = 1,2, ldots. ]

Potom všetky (s_ {k} ) a (s = int f ) sú konečné miery a (s_ {k} nearrow s, ) podľa vety 4 v §6. Podľa toho, čo bolo uvedené vyššie, je každý (s_ {k} ) diferencovateľný a.e. na (J, ) s (s_ {k} ^ { prime} = f_ {k} ) (a.e.). Tak ako v lemme 5,

[ overline {D} s = podčiarknutie {D} s = s ^ { prime} = lim _ {k rightarrow infty} s_ {k} ^ { prime} = lim f_ {k} = f text {(ae) v} J, ]

s (s ^ { prime} = f neq pm infty ) (ae), pretože (f ) je integrovateľný na (J. ) Takto je dokázané všetko. ( quad square )

II. Doteraz sme uvažovali o diferenciácii Lebesgue (( overline { mathcal {K}}) ). Naše výsledky sa však dajú ľahko rozšíriť na ( Omega ) - diferenciáciu (definícia 2 v kapitole 7, §12).

Dôkaz je ešte jednoduchší. V lemme 1 je teda zjednotenie vo vzorci (1) spočítateľné (pretože ( overline { mathcal {K}} ) je nahradené spočítateľnou rodinou množín ( Omega )); preto je ( mu ) - merateľný. V lemme 2 je použitie vety Vitalijskej nahradené vetou 3 v kapitole 7, §12. V opačnom prípade stačí iba nahradiť Lebesgueovu mieru (m ) ( mu ) na ( mathcal {M}. ) Po vytvorení lemiem (prečítajte si znova dôkazy!) Získate nasledujúce.

Veta ( PageIndex {2} )

Nech (S, rho, Omega, ) a ( mu: mathcal {M} rightarrow E ^ {*} ) zodpovedajú definícii 2 v kapitole 7, §12. Nech (f: S rightarrow E ^ {*} left (E ^ {r}, C ^ {r} right) ) je (mu ) - integrovateľný na každom (A in mathcal { M} ) s ( mu A < infty. )

Potom nastavená funkcia

[s = int f d mu ]

je ( Omega ) - diferencovateľné, s (s ^ { prime} = f, ) (a.e.) na (S ).

Dôkaz

Pripomeňme, že (S ) je spočítateľné spojenie množín (U_ {n} ^ {i} v Omega ) s (0 < mu U_ {n} ^ {i} < infty. ) Pretože ( mu ^ {*} ) je ( mathcal {G} ) - pravidelné, každý (U_ {n} ^ {i} ) leží v otvorenej množine (J_ {n} ^ { i} in mathcal {M} ) s

[ mu J_ {n} ^ {i} < mu U_ {n} ^ {i} + varepsilon_ {n} ^ {i} < infty. ]

(F ) je tiež ( mu ) - merateľný (dokonca integrovateľný) na (J_ {n} ^ {i}. ) Ak vynecháme nulovú množinu, predpokladajme, že (f ) je ( mathcal {M} ) - merateľné na (J = J_ {n} ^ {i} ).

Odtiaľto pokračujte presne ako vo Vete 1 a nahraďte (m ) za ( mu. Quad square )

Obidve kombinované vety poskytujú nasledujúci výsledok.

Dodatok ( PageIndex {1} )

Ak (s: mathcal {M} ^ { prime} rightarrow E ^ {*} doľava (E ^ {r}, C ^ {r} right) ) je (m ) - spojitý a (m ) - konečná zovšeobecnená miera v (E ^ {n}, ) potom (s ) je ( overline { mathcal {K}} ) - diferencovateľné ae na (E ^ {n}, ) a (ds = s ^ { prime} dm ) (pozri definíciu 3 v §10) v ľubovoľnom (A v mathcal {M} ^ {*} ( m A < infty). )

Podobne pre ( Omega ) - diferenciáciu.

Dôkaz

Pretože (A in mathcal {M} ^ {*} (m A < infty), ) existuje otvorená množina (J supseteq A ) taká, že

[mJ

Rovnako ako predtým, obmedzte (s ) a (m ) na

[ mathcal {M} _ {0} = zľava {X v mathcal {M} ^ {*} | X subseteq J vpravo }. ]

Potom za predpokladu, že (s ) je konečné a (m ) - spojité na ( mathcal {M} _ {0} ) (a ( sigma ) - krúžok); teda podľa vety 1 v § 11,

[s = int f dm ]

na ( mathcal {M} _ {0} ) pre niektoré (m ) - integrovateľnú mapu (f ) na (J ).

Preto podľa našej súčasnej vety 1 je (s ) diferencovateľné, pričom (s ^ { prime} = f ) a.e. na (J ) a tak

[s = int f = int s ^ { prime} text {on} mathcal {M} _ {0}. ]

To znamená (d s = s ^ { prime} d m ) v (A ).

Pre diferenciáciu ( Omega ) použite vetu 2. ( quad square )

Dodatok ( PageIndex {2} ) (zmena opatrenia)

Nech (s ) je ako v Dodatku 1. S výhradou poznámky 1 v §10, ak (f ) je (s ) - integrovateľné v (A in mathcal {M} ^ {*} ( m A < infty), ) potom (fs ^ { prime} ) je (m ) - integrovateľné na (A ) a

[ int_ {A} f d s = int_ {A} f s ^ { prime} dm. ]

Podobne pre ( Omega ) - deriváty, kde (m ) je nahradené ( mu ).

Dôkaz

Dodatkom 1, (d s = s ^ { prime} d m ) v (A. ) Teda veta 6 §10 dáva výsledok. ( Quad square )

Poznámka 1. Dodatok 2 sa vzťahuje najmä na (m ) - LS s nepretržitým znamienkom (s = s _ { alpha} ) v (E ^ {1} ) (pozri koniec §11). Ak (A = [a, b], ), potom (s _ { alpha} ) je určite konečné na (s _ { alpha} ) - merateľné podmnožiny (A; ), takže Koroláre 1 a 2 to ukazujú

[ int_ {A} f ds _ { alpha} = int_ {A} f s _ { alpha} ^ { prime} dm = int_ {A} f alpha ^ { prime} dm, ]

od (s _ { alpha} ^ { prime} = alpha ^ { prime}. ) (Pozri úlohu 9 v kapitole 7, §12.)

Poznámka 2. Navyše (s = s _ { alpha} ) (pozri poznámku 1) je absolútne (m ) - spojité iff ( alpha ) je absolútne spojité v silnejšom zmysle (Problém 2 v kapitole 4, §8 ).

Ak to urobíme, opravíme ( varepsilon> 0 ) a zvolíme ( delta ) ako v definícii 3 v kapitole 7, §11. Potom ak (m X < delta, ) máme

[X subseteq bigcup I_ {k} text {(disjunktný)} ]

pre niektoré intervaly (I_ {k} = doľava (a_ {k}, b_ {k} doprava], ) s

[ delta> sum m I_ {k} = sum doľava (b_ {k} -a_ {k} doprava). ]

Preto

[| s X | leq sum left | s I_ {k} right | < varepsilon. ]

(Prečo?) Podobne pre konverzáciu.


Pozri si video: STREET DANCE ACADEMY WORKSHOP ANICKA A ESI V POBOCKE K DANCE BB (Október 2021).