Články

2: Vektory vo vesmíre


Učebné ciele

  • Matematicky popíšte trojrozmerný priestor.
  • Vyhľadajte body v priestore pomocou súradníc.
  • Napíšte vzorec vzdialenosti v troch rozmeroch.
  • Napíšte rovnice pre jednoduché roviny a gule.
  • Vykonajte vektorové operácie v ( mathbb {R} ^ {3} ).

Vektory sú užitočnými nástrojmi na riešenie dvojrozmerných problémov. Pre rozšírenie použitia vektorov na realistickejšie aplikácie je potrebné vytvoriť rámec pre popis trojrozmerného priestoru. Napríklad aj keď je dvojrozmerná mapa užitočným nástrojom na navigáciu z jedného miesta na druhé, v niektorých prípadoch je dôležitá topografia krajiny. Ide vaša plánovaná trasa cez hory? Musíte prekročiť rieku? Ak chcete plne oceniť vplyv týchto geografických prvkov, musíte použiť tri dimenzie. Táto časť predstavuje prirodzené rozšírenie dvojrozmernej karteziánskej súradnicovej roviny do troch dimenzií.

Trojrozmerné súradnicové systémy

Ako sme sa dozvedeli, dvojrozmerný obdĺžnikový súradnicový systém obsahuje dve kolmé osi: vodorovnú (x ) - os a zvislú (y ) - os. Môžeme pridať tretiu dimenziu, os (z ) - ktorá je kolmá na os (x ) - a (y ) - os. Tento systém nazývame trojrozmerný obdĺžnikový súradnicový systém. Predstavuje tri dimenzie, s ktorými sa stretávame v reálnom živote.

Definícia: Trojrozmerný obdĺžnikový súradnicový systém

Trojrozmerný obdĺžnikový súradnicový systém sa skladá z troch kolmých osí: os (x ) - os, (y ) - os a (z ) - os. Pretože každá os je číselná čiara predstavujúca všetky reálne čísla v (ℝ ), trojrozmerný systém je často označený (ℝ ^ 3 ).

Na obrázku ( PageIndex {1a} ) je kladná os (z ) zobrazená nad rovinou obsahujúcou osi (x ) - a (y ). Kladná os (x ) - sa zobrazuje vľavo a kladná os (y ) - vpravo. Prirodzená otázka, ktorú si treba položiť, je: Ako sa určilo toto usporiadanie? Zobrazený systém sleduje pravidlo pravej ruky. Ak vezmeme našu pravú ruku a prsty vyrovnáme s kladnou osou (x ) - potom zvlníme prsty tak, aby smerovali k pozitívnej osi (y ) -, náš palec smeruje k smeru kladná (z ) - os (obrázok ( PageIndex {1b} )). V tomto texte vždy pracujeme so súradnicovými systémami nastavenými v súlade s pravidlom pravej ruky. Niektoré systémy sa riadia pravidlom ľavej ruky, ale pravidlo pravej ruky sa považuje za štandardné znázornenie.

V dvoch dimenziách opíšeme bod v rovine so súradnicami ((x, y) ). Každá súradnica popisuje, ako sa bod zarovnáva s príslušnou osou. V troch dimenziách nová súradnica (z ), je pripojený na označenie zarovnania s (z ) - osou: ((x, y, z) ). Bod v priestore je identifikovaný všetkými tromi súradnicami (Obrázok ( PageIndex {2} )). Ak chcete vykresliť bod ((x, y, z) ), choďte (x ) jednotky pozdĺž osi (x ) - potom (y ) jednotky v smere (y ) -os, potom (z ) jednotky v smere osi (z ) -.

Príklad ( PageIndex {1} ): Umiestnenie bodov v priestore

Načrtnite bod ((1, -2,3) ) v trojrozmernom priestore.

Riešenie

Ak chcete načrtnúť bod, začnite načrtnutím troch strán obdĺžnikového hranola pozdĺž súradnicových osí: jedna jednotka v pozitívnom smere (x ), (2 ) jednotky v negatívnom smere (y ) a ( 3 ) jednotky v kladnom (z ) smere. Vyplňte hranol a zakreslite bod (obrázok).

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Načrtnite bod ((- 2,3; -1) ) v trojrozmernom priestore.

Pomôcka

Začnite načrtnutím súradnicových osí. napr. Obrázok ( PageIndex {3} ). Potom načrtnite obdĺžnikový hranol, ktorý pomôže nájsť bod v priestore.

Odpoveď

V dvojrozmernom priestore je súradnicová rovina definovaná dvojicou kolmých osí. Tieto osi nám umožňujú pomenovať ľubovoľné miesto v lietadle. Definujeme v troch dimenziách súradnicové roviny súradnicovými osami, rovnako ako v dvoch dimenziách. Teraz existujú tri osi, takže existujú tri pretínajúce sa páry osí. Každá dvojica osí vytvára súradnicovú rovinu: rovinu (xy ), rovinu (xz ) a rovinu (yz ) (obrázok ( PageIndex {3} )). Rovinu (xy ) - definujeme formálne ako nasledujúcu množinu: ( {(x, y, 0): x, y∈ℝ }. ) Podobne rovinu (xz ) - a (yz ) - rovina je definovaná ako ( {(x, 0, z): x, z∈ℝ } ) a ( {(0, y, z): y, z∈ℝ }, ).

Aby ste si to vizualizovali, predstavte si, že staviate dom a stojíte v miestnosti, v ktorej sú dokončené iba dve zo štyroch stien. (Predpokladajme, že obe dokončené steny susedia k sebe.) Ak stojíte chrbtom k rohu, kde sa dve dokončené steny stretávajú, otočená von do miestnosti, podlaha je rovina (xy ) - rovina, stena pravá strana je rovina (xz ) a stena po ľavej strane rovina (yz ).

V dvoch dimenziách súradnicové osi rozdeľujú rovinu na štyri kvadranty. Podobne súradnicové roviny rozdeľujú priestor medzi nimi na osem oblastí o počiatku, tzv oktantov. Oktanty vypĺňajú (ℝ ^ 3 ) rovnakým spôsobom ako kvadranty vypĺňajú (ℝ ^ 2 ), ako je to znázornené na obrázku ( PageIndex {4} ).

Väčšina prác v trojrozmernom priestore predstavuje pohodlné rozšírenie zodpovedajúcich konceptov v dvoch dimenziách. V tejto časti použijeme svoje znalosti kruhov na opísanie sfér a potom rozšírime svoje chápanie vektorov do troch dimenzií. Na splnenie týchto cieľov začneme prispôsobením vzoru vzdialenosti trojrozmernému priestoru.

Ak dva body ležia v rovnakej súradnicovej rovine, je ľahké vypočítať vzdialenosť medzi nimi. My, že vzdialenosť (d ) medzi dvoma bodmi ((x_1, y_1) ) a ((x_2, y_2) ) v X (y ) - rovina súradníc je daná vzorcom

[d = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2}. ]

Vzorec pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi v priestore je prirodzeným rozšírením tohto vzorca.

Vzdialenosť medzi dvoma bodmi vo vesmíre

Vzdialenosť (d ) medzi bodmi ((x_1, y_1, z_1) ) a ((x_2, y_2, z_2) ) je daná vzorcom

[d = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2 + (z_2 − z_1) ^ 2}. label {distanceForm} ]

Dôkaz o tejto vete sa ponecháva ako cvičenie. (Rada: Najprv nájdite vzdialenosť (d_1 ) medzi bodmi ((x_1, y_1, z_1) ) a ((x_2, y_2, z_1) ), ako je to znázornené na obrázku ( PageIndex {5} ).)

Príklad ( PageIndex {2} ): Vzdialenosť v priestore

Nájdite vzdialenosť medzi bodmi (P_1 = (3, -1,5) ) a (P_2 = (2,1, -1). )

Riešenie

Nahraďte hodnoty priamo do vzorca vzdialenosti (Rovnica ref {distanceForm}):

[ begin {align *} d (P_1, P_2) & = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2 + (z_2 − z_1) ^ 2} [4pt] & = sqrt {(2 -3) ^ 2 + (1 - (- 1)) ^ 2 + (- 1 - 5) ^ 2} [4 pt] & = sqrt {(- 1) ^ 2 + 2 ^ 2 + (- 6) ^ 2} [4pt] & = sqrt {41}. end {zarovnať *} ]

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Nájdite vzdialenosť medzi bodmi (P_1 = (1, -5,4) ) a (P_2 = (4, -1, -1) ).

Pomôcka

(d = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2 + (z_2 − z_1) ^ 2} )

Odpoveď

(5 sqrt {2} )

Pred prechodom na ďalšiu časť si urobme predstavu o tom, ako sa (ℝ ^ 3 ) líši od (ℝ ^ 2 ). Napríklad v (ℝ ^ 2 ) sa musia vždy pretínať čiary, ktoré nie sú rovnobežné. Toto nie je prípad (ℝ ^ 3 ). Zvážte napríklad riadok zobrazený na obrázku ( PageIndex {7} ). Tieto dve čiary nie sú rovnobežné, ani sa nepretínajú.

Obrázok ( PageIndex {7} ): Tieto dve čiary nie sú rovnobežné, ale stále sa nepretínajú.

Môžete tiež mať kruhy, ktoré sú navzájom prepojené, ale nemajú spoločné žiadne body, ako na obrázku ( PageIndex {8} ).

Obrázok ( PageIndex {8} ): Tieto kruhy sú vzájomne prepojené, ale nemajú spoločné body.

Máme oveľa väčšiu flexibilitu pri práci v troch rozmeroch, ako keď pracujeme iba v dvoch rozmeroch.

Písanie rovníc do (ℝ ^ 3 )

Teraz, keď môžeme reprezentovať body v priestore a nájsť medzi nimi vzdialenosť, sa naučíme, ako do (ℝ ^ 3 ) zapisovať rovnice geometrických objektov, ako sú čiary, roviny a zakrivené plochy. Najprv začneme jednoduchou rovnicou. Porovnajte grafy rovnice (x = 0 ) v (ℝ ), (ℝ ^ 2 ) a (ℝ ^ 3 ) (obrázok ( PageIndex {9} )). Z týchto grafov vidíme, že rovnaká rovnica môže popisovať bod, priamku alebo rovinu.

Vo vesmíre rovnica (x = 0 ) popisuje všetky body ((0, y, z) ). Táto rovnica definuje rovinu (yz ). Podobne rovina (xy ) obsahuje všetky body tvaru ((x, y, 0) ). Rovnica (z = 0 ) definuje rovinu (xy ) a rovnica (y = 0 ) popisuje rovinu (xz ) (Obrázok ( PageIndex {10} )).

Pochopenie rovníc súradnicových rovín nám umožňuje napísať rovnicu pre každú rovinu, ktorá je rovnobežná s jednou z súradnicových rovín. Keď je rovina rovnobežná s rovinou (xy ) - napríklad (z )-súradnice každého bodu v rovine majú rovnakú konštantnú hodnotu. Iba (x ) - a (y ) -súradnice bodov v tejto rovine sa líšia od bodu k bodu.

Rovnice rovnobežných s rovinami súradníc

  1. Rovinu v priestore, ktorá je rovnobežná s rovinou (xy ) - a obsahuje bod ((a, b, c) ), je možné vyjadriť rovnicou (z = c ).
  2. Rovinu v priestore, ktorá je rovnobežná s rovinou (xz ) - a obsahuje bod ((a, b, c) ), je možné vyjadriť rovnicou (y = b ).
  3. Rovinu v priestore, ktorá je rovnobežná s rovinou (yz ) - a obsahuje bod ((a, b, c) ), je možné vyjadriť rovnicou (x = a ).

Príklad ( PageIndex {3} ): Písanie rovníc rovín rovnobežne s rovinami súradníc

  1. Napíšte rovnicu roviny prechádzajúcej bodom ((3,11,7) ), ktorá je rovnobežná s (yz ) - rovinou.
  2. Nájdite rovnicu roviny prechádzajúcej bodmi ((6, -2,9), (0, -2,4), ) a ((1, -2, -3). )

Riešenie

  1. Keď je rovina rovnobežná s (yz ) - rovinou, použije sa iba (y ) - a (z ) - súradnice sa môžu líšiť. Súradnica (x ) - má rovnakú konštantnú hodnotu pre všetky body v tejto rovine, takže táto rovina môže byť vyjadrená rovnicou (x = 3 ).
  2. Každý z bodov ((6, -2,9), (0, -2,4), ) a ((1, -2, -3) ) má rovnaký (y ) -koordinovať. Túto rovinu môžeme znázorniť rovnicou (y = −2 ).

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Napíšte rovnicu roviny prechádzajúcej bodom ((1, −6, −4) ), ktorá je rovnobežná s rovinou (xy ).

Pomôcka

Ak je rovina rovnobežná s (xy ) - rovinou, potom z-súradnice bodov v tejto rovine sa nemenia.

Odpoveď

(z = −4 )

Ako sme videli, v (ℝ ^ 2 ) rovnica (x = 5 ) popisuje zvislú čiaru prechádzajúcu bodom ((5,0) ). Táto čiara je rovnobežná s osou (y ) -. V prirodzenom rozšírení rovnica (x = 5 ) v (ℝ ^ 3 ) popisuje rovinu prechádzajúcu bodom ((5,0,0) ), ktorá je rovnobežná s (yz ) - lietadlo. Ďalšie prirodzené rozšírenie známej rovnice nájdeme v rovnici gule.

Definícia: Sféra

Guľa je množina všetkých bodov v priestore v rovnakej vzdialenosti od pevného bodu, stredu gule (obrázok ( PageIndex {11} )), rovnako ako množina všetkých bodov v rovine, ktoré sú v rovnakej vzdialenosti od stredu predstavuje kruh. V guli, ako v kružnici, sa vzdialenosť od stredu k bodu v guli nazýva polomer.

Rovnica kruhu je odvodená pomocou vzorca vzdialenosti v dvoch rozmeroch. Rovnakým spôsobom je rovnica gule založená na trojrozmernom vzorci vzdialenosti.

Štandardná rovnica gule

Guľu so stredom ((a, b, c) ) a polomerom (r ) môžeme vyjadriť rovnicou

[(x − a) ^ 2 + (y − b) ^ 2 + (z − c) ^ 2 = r ^ 2. ]

Táto rovnica je známa ako štandardná rovnica gule.

Príklad ( PageIndex {4} ): Nájdenie rovnice gule

Nájdite štandardnú rovnicu gule so stredom ((10,7,4) ) a bodom ((- 1,3; -2) ), ako je to znázornené na obrázku ( PageIndex {12} ).

Obrázok ( PageIndex {12} ): Guľa vystredená na ((10,7,4) ) obsahujúca bod ((- 1,3; -2). )

Riešenie

Pomocou vzorca vzdialenosti nájdite polomer (r ) gule:

[ begin {align *} r & = sqrt {(- 1−10) ^ 2 + (3−7) ^ 2 + (- 2−4) ^ 2} [4pt] & = sqrt { (−11) ^ 2 + (- 4) ^ 2 + (- 6) ^ 2} [4pt] & = sqrt {173} end {zarovnať *} ]

Štandardná rovnica gule je

[(x − 10) ^ 2 + (y − 7) ^ 2 + (z − 4) ^ 2 = 173. nonumber ]

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Nájdite štandardnú rovnicu gule so stredom ((- 2,4; −5) ) obsahujúcim bod ((4,4; -1). )

Pomôcka

Najskôr pomocou vzorca na zistenie polomeru gule.

Odpoveď

[(x + 2) ^ 2 + (y − 4) ^ 2 + (z + 5) ^ 2 = 52 nečíslo ]

Príklad ( PageIndex {5} ): Nájdenie rovnice gule

Nech (P = (- 5,2,3) ) a (Q = (3,4, −1) ), a predpokladajme, že úsečka ( overline {PQ} ) tvorí priemer gule (Obrázok ( PageIndex {13} )). Nájdite rovnicu gule.

Riešenie:

Pretože ( overline {PQ} ) je priemer gule, vieme, že stred gule je stredom ( overline {PQ} ). Potom,

[C = doľava ( dfrac {−5 + 3} {2}, dfrac {2 + 4} {2}, dfrac {3 + (- 1)} {2} doprava) = (- 1 , 3,1). nonumber ]

Ďalej vieme, že polomer gule je polovica dĺžky priemeru. Toto dáva

[ begin {align *} r & = dfrac {1} {2} sqrt {(- 5−3) ^ 2 + (2−4) ^ 2 + (3 - (- 1)) ^ 2} [4pt] & = dfrac {1} {2} sqrt {64 + 4 + 16} [4pt] & = sqrt {21} end {align *} ]

Potom rovnica gule je ((x + 1) ^ 2 + (y − 3) ^ 2 + (z − 1) ^ 2 = 21. )

Cvičenie ( PageIndex {5} )

Nájdite rovnicu gule s priemerom ( overline {PQ} ), kde (P = (2, −1, −3) ) a (Q = (- 2,5, −1). )

Pomôcka

Najskôr vyhľadajte stredný bod priemeru.

Odpoveď

[x ^ 2 + (y − 2) ^ 2 + (z + 2) ^ 2 = 14 nonumber ]

Príklad ( PageIndex {6} ): Grafické znázornenie ďalších rovníc v troch dimenziách

Popíšte množinu bodov, ktorá vyhovuje ((x − 4) (z − 2) = 0, ), a množinu grafov vyjadrte.

Riešenie

Musíme mať buď ​​(x − 4 = 0 ) alebo (z − 2 = 0 ), takže množina bodov tvorí dve roviny (x = 4 ) a (z = 2 ) (obrázok ( PageIndex {14} )).

Cvičenie ( PageIndex {6} )

Popíšte množinu bodov, ktorá vyhovuje ((y + 2) (z − 3) = 0, ), a množinu grafov vyjadrte.

Pomôcka

Jeden z faktorov musí byť nulový.

Odpoveď

Množina bodov tvorí dve roviny (y = −2 ) a (z = 3 ).

Príklad ( PageIndex {7} ): Grafické znázornenie ďalších rovníc v troch dimenziách

Popíšte množinu bodov v trojrozmernom priestore, ktorá spĺňa ((x − 2) ^ 2 + (y − 1) ^ 2 = 4, ), a graf množiny.

Riešenie

Súradnice (x ) - a (y ) tvoria kruh v (xy ) - rovine polomeru (2 ), sústredený na ((2,1) ). Pretože na súradnicu (z ) - nie je žiadne obmedzenie, trojrozmerným výsledkom je kruhový valec s polomerom (2 ) vycentrovaný na línii s (x = 2 ) a (y = 1 ). Valec sa tiahne neurčito v smere (z ) - (obrázok ( PageIndex {15} )).

Cvičenie ( PageIndex {7} )

Popíšte množinu bodov v trojrozmernom priestore, ktorá spĺňa (x ^ 2 + (z − 2) ^ 2 = 16 ), a vykreslite povrch.

Pomôcka

Popremýšľajte, čo sa stane, ak túto rovnicu vykreslíte do dvoch dimenzií v rovine (xz ).

Odpoveď

Valec s polomerom 4 vycentrovaný na priamke s (x = 0 ) a (z = 2 ).

Práca s vektormi v (ℝ ^ 3 )

Rovnako ako dvojrozmerné vektory, aj trojrozmerné vektory sú veličiny s veľkosťou aj smerom a sú reprezentované smerovanými úsečkami (šípky). Pri trojrozmernom vektore používame trojrozmernú šípku.

Trojrozmerné vektory môžu byť tiež reprezentované v zložkovej forme. Zápis ( vecs {v} = ⟨x, y, z⟩ ) je prirodzeným rozšírením dvojrozmerného prípadu, ktorý predstavuje vektor s počiatočným bodom v počiatku, ((0,0,0) ) a koncový bod ((x, y, z) ). Nulový vektor je ( vecs {0} = ⟨0,0,0⟩ ). Napríklad trojrozmerný vektor ( vecs {v} = ⟨2,4,1⟩ ) je reprezentovaný segmentom smerovanej čiary z bodu ((0,0,0) ) do bodu ( (2,4,1) ) (Obrázok ( PageIndex {16} )).

Sčítanie vektorov a skalárne násobenie sú definované analogicky k dvojrozmernému prípadu. Ak ( vecs {v} = ⟨x_1, y_1, z_1⟩ ) a ( vecs {w} = ⟨x_2, y_2, z_2⟩ ) sú vektory a (k ) je skalárny, potom

[ vecs {v} + vecs {w} = ⟨x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2⟩ ]

a

[k vecs {v} = ⟨kx_1, ky_1, kz_1⟩. ]

Ak (k = −1, ), potom (k vecs {v} = (- 1) vecs {v} ) sa napíše ako (- vecs {v} ) a je definované vektorové odčítanie autor ( vecs {v} - vecs {w} = vecs {v} + (- vecs {w}) = vecs {v} + (- 1) vecs {w} ).

Štandardné jednotkové vektory sa dajú ľahko rozšíriť aj do troch dimenzií, ( hat { mathbf i} = ⟨1,0,0⟩ ), ( hat { mathbf j} = ⟨0,1,0⟩ ) a ( hat { mathbf k} = ⟨0,0,1⟩ ) a použijeme ich rovnako, ako sme použili štandardné jednotkové vektory v dvoch dimenziách. Môžeme teda reprezentovať vektor v (ℝ ^ 3 ) nasledujúcimi spôsobmi:

[ vecs {v} = ⟨x, y, z⟩ = x hat { mathbf i} + y hat { mathbf j} + z hat { mathbf k} ].

Príklad ( PageIndex {8} ): Vektorové reprezentácie

Nech ( vecd {PQ} ) je vektor s počiatočným bodom (P = (3,12,6) ) a koncovým bodom (Q = (- 4, −3,2) ), ako je znázornené na Obrázok ( PageIndex {17} ). Express ( vecd {PQ} ) vo forme komponentov aj pomocou štandardných jednotkových vektorov.

Riešenie

Vo forme komponentu,

[ begin {align *} vecd {PQ} = ⟨x_2 − x_1, y_2 − y_1, z_2 − z_1⟩ [4pt] = ⟨− 4−3, −3−12,2−6⟩ [4pt] = ⟨−7, −15, −4⟩. end {zarovnať *} ]

V štandardnej jednotkovej forme

[ vecd {PQ} = - 7 hat { mathbf i} −15 hat { mathbf j} −4 hat { mathbf k}. nonumber ]

Cvičenie ( PageIndex {8} )

Nech (S = (3,8,2) ) a (T = (2; -1,3) ). Expresné ( vec {ST} ) v komponentnej podobe a v štandardnej jednotkovej podobe.

Pomôcka

Najskôr napíšte ( vecd {ST} ) v podobe komponentu. (T ) je koncový bod ( vecd {ST} ).

Odpoveď

( vecd {ST} = ⟨− 1, −9,1⟩ = - hat { mathbf i} −9 hat { mathbf j} + hat { mathbf k} )

Ako už bolo opísané vyššie, vektory v troch dimenziách sa správajú rovnako ako vektory v rovine. Napríklad geometrická interpretácia sčítania vektorov je rovnaká v dvoj- aj trojrozmernom priestore (obrázok ( PageIndex {18} )).

Už sme videli, ako možno niektoré z algebraických vlastností vektorov, ako je sčítanie vektorov a skalárne násobenie, rozšíriť do troch dimenzií. Ostatné vlastnosti je možné podobným spôsobom rozšíriť. Sú tu zhrnuté pre našu potrebu.

Vlastnosti vektorov vo vesmíre

Nech ( vecs {v} = ⟨x_1, y_1, z_1⟩ ) a ( vecs {w} = ⟨x_2, y_2, z_2⟩ ) sú vektory a (k ) skalár.

  • Skalárne množenie: [k vecs {v} = ⟨kx_1, ky_1, kz_1⟩ ]
  • Vektorové doplnenie: [ vecs {v} + vecs {w} = ⟨x_1, y_1, z_1⟩ + ⟨x_2, y_2, z_2⟩ = ⟨x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2⟩ ]
  • Odčítanie vektora: [ vecs {v} - vecs {w} = ⟨x_1, y_1, z_1⟩ − ⟨x_2, y_2, z_2⟩ = ⟨x_1 − x_2, y_1 − y_2, z_1 − z_2⟩ ]
  • Vektorová veľkosť: [ | vecs {v} | = sqrt {x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2 + z_1 ^ 2} ]
  • Jednotkový vektor v smere ( vecs {v} ): [ dfrac {1} { | vecs {v} |} vecs {v} = dfrac {1} { | vecs {v} |} ⟨X_1, y_1, z_1⟩ = ⟨ dfrac {x_1} { | vecs {v} |}, dfrac {y_1} { | vecs {v} |}, dfrac {z_1} { | vecs {v} |}⟩, quad text {if} , vecs {v} ≠ vecs {0} ]

Videli sme, že sčítanie vektorov v dvoch dimenziách uspokojuje komutatívne, asociatívne a aditívne inverzné vlastnosti. Tieto vlastnosti vektorových operácií sú platné aj pre trojrozmerné vektory. Skalárne množenie vektorov uspokojuje distribučnú vlastnosť a nulový vektor funguje ako aditívna identita. Dôkazy na overenie týchto vlastností v troch rozmeroch sú priamym rozšírením nátlačkov v dvoch rozmeroch.

Príklad ( PageIndex {9} ): Vektorové operácie v troch dimenziách

Nech ( vecs {v} = ⟨− 2,9,5⟩ ) a ( vecs {w} = ⟨1, −1,0⟩ ) (Obrázok ( PageIndex {19} )) . Nájdite nasledujúce vektory.

  1. (3 vecs {v} −2 vecs {w} )
  2. (5 | vecs {w} | )
  3. ( | 5 vecs {w} | )
  4. Jednotkový vektor v smere ( vecs {v} )

Riešenie

a. Najprv použite skalárne násobenie každého vektora a potom odčítajte:

[ begin {align *} 3 vecs {v} −2 vecs {w} = 3⟨ − 2,9,5⟩ − 2⟨1, −1,0⟩ [4pt] = ⟨− 6 , 27,15⟩ − ⟨2, −2,0⟩ [4pt] = ⟨− 6-2,27 - (- 2), 15−0⟩ [4pt] = ⟨− 8,29,15 ⟩. end {zarovnať *} ]

b. Napíšte rovnicu pre veľkosť vektora a potom použite skalárne násobenie:

[5 | vecs {w} | = 5 sqrt {1 ^ 2 + (- 1) ^ 2 + 0 ^ 2} = 5 sqrt {2}. nonumber ]

c. Najskôr použite skalárne násobenie a potom vyhľadajte veľkosť nového vektora. Upozorňujeme, že výsledok je rovnaký ako v časti b .:

[ | 5 vecs {w} | = ∥⟨5, −5,0⟩∥ = sqrt {5 ^ 2 + (- 5) ^ 2 + 0 ^ 2} = sqrt {50} = 5 sqrt {2} nonumber ]

d. Pripomeňme, že na nájdenie jednotkového vektora v dvoch dimenziách vydelíme vektor podľa jeho veľkosti. Postup je rovnaký v troch rozmeroch:

[ begin {align *} dfrac { vecs {v}} { | vecs {v} |} = dfrac {1} { | vecs {v} |} ⟨− 2,9 , 5⟩ [4pt] = dfrac {1} { sqrt {(- 2) ^ 2 + 9 ^ 2 + 5 ^ 2}} ⟨− 2,9,5⟩ [4pt] = dfrac {1} { sqrt {110}} ⟨− 2,9,5⟩ [4pt] = ⟨ dfrac {−2} { sqrt {110}}, dfrac {9} { sqrt {110} }, dfrac {5} { sqrt {110}}⟩. end {zarovnať *} ]

Cvičenie ( PageIndex {9} ):

Nech ( vecs {v} = ⟨− 1, −1,1⟩ ) a ( vecs {w} = ⟨2,0,1⟩ ). Nájdite jednotkový vektor v smere (5 vecs {v} +3 vecs {w}. )

Pomôcka

Začnite napísaním (5 vecs {v} +3 vecs {w} ) v podobe komponentu.

Odpoveď

(⟨ Dfrac {1} {3 sqrt {10}}, - dfrac {5} {3 sqrt {10}}, dfrac {8} {3 sqrt {10}}⟩ )

Príklad ( PageIndex {10} ): Vyhodenie priepustky

Na futbalovom ihrisku stojí rozohrávač, ktorý sa chystá nahodiť prihrávku. Jeho prijímač stojí 20 metrov dolu z poľa a 15 metrov doľava rozohrávač. Zadák vrhá loptu rýchlosťou 60 mph smerom k prijímaču pod uhlom nahor (30 °) (pozri nasledujúci obrázok). Napíšte počiatočný vektor rýchlosti lopty ( vecs {v} ) vo forme súčasti.

Riešenie

Prvá vec, ktorú chceme urobiť, je nájsť vektor v rovnakom smere ako vektor rýchlosti lopty. Potom vektor primerane zväčšíme tak, aby mal správnu veľkosť. Zvážte vektor ( vecs {w} ), ktorý sa tiahne od ramena rozohrávača k bodu priamo nad hlavou prijímača v uhle (30 ° ) (pozri nasledujúci obrázok). Tento vektor by mal rovnaký smer ako ( vecs {v} ), ale nemusí mať správnu veľkosť.

Prijímač je vzdialený 20 metrov od poľa a 15 metrov po ľavom rozohrávači. Preto je rovná vzdialenosť medzi rozohrávačom a prijímačom

Od QB k prijímaču (= sqrt {15 ^ 2 + 20 ^ 2} = sqrt {225 + 400} = sqrt {625} = 25 ) yd.

Máme ( dfrac {25} { | vecs {w} |} = cos 30 °. ) Potom veľkosť ( vecs {w} ) je daná

( | vecs {w} | = dfrac {25} { cos 30 °} = dfrac {25⋅2} { sqrt {3}} = dfrac {50} { sqrt {3} } ) yd

a vertikálna vzdialenosť od prijímača k terminálnemu bodu ( vecs {w} ) je

Vertikálna vzdialenosť od prijímača po koncový bod ( vecs {w} = | vecs {w} | sin 30 ° = dfrac {50} { sqrt {3}} ⋅ dfrac {1} {2} = dfrac {25} { sqrt {3}} ) yd.

Potom ( vecs {w} = ⟨20,15, dfrac {25} { sqrt {3}}⟩ ) a má rovnaký smer ako ( vecs {v} ).

Pripomeňme však, že sme vypočítali veľkosť ( vecs {w} ) na ( | vecs {w} | = dfrac {50} { sqrt {3}} ) a ( vecs {v} ) má veľkosť (60 ) mph. Potrebujeme teda vynásobiť vektor ( vecs {w} ) príslušnou konštantou (k ). Chceme nájsť hodnotu (k ), aby (∥k vecs {w} ∥ = 60 ) mph. Máme

( | k vecs {w} | = k | vecs {w} | = k dfrac {50} { sqrt {3}} ) mph,

tak chceme

(k dfrac {50} { sqrt {3}} = 60 )

(k = dfrac {60 sqrt {3}} {50} )

(k = dfrac {6 sqrt {3}} {5} ).

Potom

( vecs {v} = k vecs {w} = k⟨20,15, dfrac {25} { sqrt {3}}⟩ = dfrac {6 sqrt {3}} {5} ⟨20 , 15, dfrac {25} { sqrt {3}}⟩ = ⟨24 sqrt {3}, 18 sqrt {3}, 30⟩ ).

Poďme ešte raz skontrolovať, či ( | vecs {v} | = 60. ) Máme

( | vecs {v} | = sqrt {(24 sqrt {3}) ^ 2+ (18 sqrt {3}) ^ 2+ (30) ^ 2} = sqrt {1728 + 972 +900} = sqrt {3600} = 60 ) míľ / h.

Našli sme teda správne komponenty pre ( vecs {v} ).

Cvičenie ( PageIndex {10} )

Predpokladajme, že rozohrávač a prijímač sú na rovnakom mieste ako v predchádzajúcom príklade. Tentokrát však rozohrávač hodí loptu rýchlosťou (40 ) míľ / h a uhlom (45 ° ). Napíšte počiatočný vektor rýchlosti lopty ( vecs {v} ) vo forme súčasti.

Pomôcka

Postupujte podľa postupu použitého v predchádzajúcom príklade.

Odpoveď

(v = ⟨16 sqrt {2}, 12 sqrt {2}, 20 sqrt {2}⟩ )

Kľúčové koncepty

  • Trojrozmerný súradnicový systém je zostavený okolo množiny troch osí, ktoré sa pretínajú v pravých uhloch v jednom bode, počiatku. Usporiadané trojnásobky ((x, y, z) ) sa používajú na opis umiestnenia bodu v priestore.
  • Vzdialenosť (d ) medzi bodmi ((x_1, y_1, z_1) ) a ((x_2, y_2, z_2) ) je daná vzorcom [d = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2+ (y_2 − y_1) ^ 2 + (z_2 − z_1) ^ 2}. Nonumber ]
  • V troch dimenziách rovnice (x = a, y = b, ) a (z = c ) popisujú roviny, ktoré sú rovnobežné s rovinami súradníc.
  • Štandardná rovnica gule so stredom ((a, b, c) ) a polomerom (r ) je [(x − a) ^ 2 + (y − b) ^ 2 + (z − c) ^ 2 = r ^ 2. nonumber ]
  • V troch dimenziách, rovnako ako v dvoch, sú vektory bežne vyjadrené v zloženom tvare (v = ⟨x, y, z⟩ ) alebo v zmysle štandardných jednotkových vektorov (xi + yj + zk. )
  • Vlastnosti vektorov v priestore sú prirodzeným rozšírením vlastností vektorov v rovine. Nech (v = ⟨x_1, y_1, z_1⟩ ) a (w = ⟨x_2, y_2, z_2⟩ ) sú vektory a (k ) je skalár.

Skalárne množenie:

[(k vecs {v} = ⟨kx_1, ky_1, kz_1⟩ nonumber ]

Vektorové pridanie:

[ vecs {v} + vecs {w} = ⟨x_1, y_1, z_1⟩ + ⟨x_2, y_2, z_2⟩ = ⟨x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2⟩ nonumber ]

Odčítanie vektora:

[ vecs {v} - vecs {w} = ⟨x_1, y_1, z_1⟩ − ⟨x_2, y_2, z_2⟩ = ⟨x_1 − x_2, y_1 − y_2, z_1 − z_2⟩ nonumber ]

Vektorová veľkosť:

[‖ Vecs {v} ‖ = sqrt {x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2 + z_1 ^ 2} nonumber ]

Jednotkový vektor v smere ( vecs {v} ):

[ dfrac { vecs {v}} {‖ vecs {v} ‖} = dfrac {1} {‖ vecs {v} ‖} ⟨x_1, y_1, z_1⟩ = ⟨ dfrac {x_1} { ‖ Vecs {v} ‖}, dfrac {y_1} {‖ vecs {v} ‖}, dfrac {z_1} {‖ vecs {v} ‖}⟩, vecs {v} ≠ vecs {0 } nečíslo ]

Kľúčové rovnice

Vzdialenosť medzi dvoma bodmi v priestore:

[d = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2 + (z_2 − z_1) ^ 2} ]

Guľa so stredom ((a, b, c) ) a polomerom (r ):

[(x − a) ^ 2 + (y − b) ^ 2 + (z − c) ^ 2 = r ^ 2 ]

Glosár

súradnicová rovina
rovina obsahujúca dve z troch súradnicových osí v trojrozmernom súradnicovom systéme, pomenovaná podľa osí, ktoré obsahuje: (xy ) - rovina, (xz ) - rovina alebo (yz ) - rovina
pravidlo pravej ruky
spoločný spôsob definovania orientácie trojrozmerného súradnicového systému; keď je pravá ruka zakrivená okolo osi (z ) - tak, že sa prsty krútia od kladnej osi (x ) k pozitívnej osi (y ), palec ukazuje v smere kladnej osi (z )
oktantov
osem oblastí vesmíru vytvorených súradnicovými rovinami
sféra
množina všetkých bodov v rovnakej vzdialenosti od daného bodu známa ako centrum
štandardná rovnica gule
((x − a) ^ 2 + (y − b) ^ 2 + (z − c) ^ 2 = r ^ 2 ) popisuje guľu so stredom ((a, b, c) ) a polomerom (r )
trojrozmerný obdĺžnikový súradnicový systém
súradnicový systém definovaný tromi priamkami, ktoré sa pretínajú v pravom uhle; každý bod v priestore je opísaný usporiadanou trojkou ((x, y, z) ), ktorá vykresľuje svoju polohu vzhľadom na určujúce osi

Uhol medzi dvoma vektormi kalkulačka

Pomocou tejto kalkulačky uhla medzi dvoma vektormi sa rýchlo naučíte, ako nájsť uhol medzi dvoma vektormi. Nezáleží na tom, či sú vaše vektory v 2D alebo 3D, ani ak sú ich zastúpenia súradnice alebo počiatočné a konečné body - náš nástroj je v každom prípade bezpečnou stávkou. Pohrajte sa s kalkulačkou a pozrite si nižšie uvedené definície a vysvetlenia, ak hľadáte uhol medzi dvoma vektorovými vzorcami, tam ich určite nájdete.

Pretože tu hľadáte riešenie svojich vektorových problémov, môžeme predpokladať, že by vás zaujímali aj vektorové operácie? Ak chcete začať od základov, pozrite sa na našu jednotkovú vektorovú kalkulačku. Pre tých, ktorí sa chcú ešte viac zaoberať vektorovou algebrou, odporúčame nástroj na vektorovú projekciu a kalkulačku krížových produktov.


Vypočítať rotačnú maticu na zarovnanie dvoch vektorov v 3D priestore?

Mám dva samostatné vektory 3D dátových bodov, ktoré reprezentujú krivky, a tie vykresľujem ako dáta rozptylu v 3D grafe pomocou matplotlib.

Oba vektory začínajú od začiatku a oba majú jednotkovú dĺžku. Krivky sú si navzájom podobné, avšak medzi týmito dvoma krivkami je zvyčajne rotácia (na účely testu vlastne používam jednu krivku a na ňu nanášam rotačnú maticu na vytvorenie druhej krivky).

Chcem vyrovnať dve krivky tak, aby sa zoradili v 3D napr. otočte krivku b tak, aby sa jej začiatočný a koncový bod vyrovnal s krivkou a. Snažil som sa to urobiť tak, že odčítam konečný bod od prvého, aby som získal smerový vektor predstavujúci priamku od začiatku do konca každej krivky, prevediem ich na jednotkové vektory a potom vypočítam súčinový a bodový súčin a pomocou metodiky načrtnutej v tejto odpovedi (https://math.stackexchange.com/a/476311/357495) vypočítame rotačnú maticu.

Keď to však urobím, vypočítaná matica rotácie je nesprávna a nie som si istý prečo?

Môj kód je uvedený nižšie (používam Python 2.7):

V mojom testovacom prípade je krivka 2 jednoducho krivka 1 s aplikovanou nasledujúcou rotačnou maticou:

(iba 60-stupňová rotácia okolo osi x).

Rotačná matica vypočítaná mojim kódom na opätovné zarovnanie dvoch vektorov je:

Graf smerových vektorov pre dve pôvodné krivky (a a b v modrej a zelenej farbe) a výsledok b transformovaný vypočítanou rotačnou maticou (červená) je uvedený nižšie. Snažím sa vypočítať rotačnú maticu na zarovnanie zeleného vektora na modrý.


2: Vektory vo vesmíre

Pre pochopenie koncepcie strojového učenia, ako aj hlbokého učenia, Lineárna algebra sú zásadné. Lineárna algebra je odvetvie matematiky, ktoré umožňuje stručným spôsobom definovať a vykonávať operácie na trojrozmerných súradniciach a rovinných interakciách. Jeho hlavné zameranie je na systémy lineárnych rovníc.

  • Nápad za základným vektorom?
  • Definícia bázického vektora
  • Vlastnosti bázového vektora
  • Vektory základov pre daný priestor
  • Je to dôležité z hľadiska dátovej vedy

Aká je myšlienka za základnými vektormi?
Myšlienka je teda nasledovná,

Zoberme si R-štvorcový priestor, čo v podstate znamená, že sa pozeráme na vektory v 2 dimenziách. Znamená to, že v každom z týchto vektorov sú 2 komponenty, ktoré sme zobrali na vyššie uvedenom obrázku. Môžeme vziať veľa mnohých vektorov. Vektorov bude teda nekonečné množstvo, ktoré budú v 2 dimenziách. Jedná sa o to, že môžeme reprezentovať všetky tieto vektory pomocou niektorých základných prvkov a potom kombinácie týchto základných prvkov.

Uvažujme napríklad 2 vektory,

Teraz, ak vezmete akýkoľvek vektor uvedený v R na druhú, povedzme, že vezmeme
Tento vektor môžeme napísať ako lineárnu kombináciu tohto vektora a tohto vektora nasledovne.

Podobne, ak si vezmete

Tento vektor môžeme tiež napísať ako lineárnu kombináciu tohto vektora a tohto vektora nasledovne.

Podobne

A to by platilo pre každý vektor, ktorý máte v tomto priestore.

Takže v určitom zmysle hovoríme, že tieto 2 vektory (v1 a v2) charakterizujú priestor alebo tvoria základ pre priestor a akýkoľvek vektor v tomto priestore, možno ich jednoducho napísať ako lineárnu kombináciu týchto 2 vektorov. Teraz si môžete všimnúť, že lineárne kombinácie sú vlastne samotné čísla. Takže napríklad ak chcem vektor (2, 1) písať ako lineárna kombinácia vektor (1, 0) a vektor (0, 1), skalárne násobky sú 2 a 1 ktorý je obdobne pre vektor (4, 4) a tak ďalej.

Kľúčovým bodom je teda to, že keď tu máme nekonečné množstvo vektorov, všetky je možné vygenerovať ako lineárnu kombináciu iba 2 vektorov a videli sme tu, že tieto 2 vektory sú vektor (1, 0) a vektor (0, 1). Teraz sa tieto 2 vektory nazývajú základe pre celý priestor.

Definícia základného vektora: Ak môžete každý vektor v danom priestore napísať ako lineárnu kombináciu niektorých vektorov a tieto vektory sú navzájom nezávislé, potom ich nazývame základnými vektormi pre daný priestor.

  1. Vektory podkladov musia byť navzájom lineárne nezávislé:
    Ak vynásobím v1 akýmkoľvek skalárom, nikdy nebudem schopný získať vektor v2. A to dokazuje, že v1 a v2 sú navzájom lineárne nezávislé. Chceme, aby základné vektory boli navzájom lineárne nezávislé, pretože chceme, aby každý vektor, ktorý je na základe, generoval jedinečné informácie. Ak sa stanú na sebe navzájom závislí, potom tento vektor neprinesie nič jedinečné.
  2. Vektory základov musia pokrývať celý priestor:
    Slovo span v podstate znamená, že akýkoľvek vektor v tomto priestore môžem napísať ako lineárnu kombináciu základných vektorov, ako vidíme v našom predchádzajúcom príklade.
  3. Vektory podkladov nie sú jedinečné: Dá sa nájsť veľa mnohých množín bázových vektorov. Jedinou podmienkou je, že musia byť lineárne nezávislé a mali by zasahovať do celého priestoru. Nechajme túto vlastnosť podrobne porozumieť tak, že si vezmeme rovnaký príklad, aký sme si zobrali predtým.

Uvažujme o ďalších 2 vektoroch, ktoré sú navzájom lineárne nezávislé.

Najprv musíme skontrolovať, či tieto 2 vektory dodržiavajú vlastnosti bázového vektora?
Vidíte, že tieto 2 vektory sú navzájom lineárne nezávislé, pretože násobia v1 akýmkoľvek skalárom, ktorý nikdy nedokáže získať vektor v2. Takže napríklad ak vynásobím v1 číslom -1, dostanem vektor (-1; -1), ale nie vektor (1, -1).

Ak chcete overiť druhé vlastníctvo, vezmime znak # vektor (2, 1). Teraz sa pozrime, či to môžeme reprezentovať vektor (2, 1) ako lineárna kombinácia vektor (1, 1) a vektor (1, -1).

Ak sa na to pozriete, úspešne sme to predstavili vektor (2, 1) ako lineárna kombinácia vektor (1, 1) a vektor (1, -1). Môžete si všimnúť, že v predchádzajúcom prípade, keď používame vektor (1, 0) a vektor (0, 1), povedali sme, že toto možno napísať ako 2 krát z vektor (1, 0) a 1 krát z vektor (0, 1) čísla sa však teraz zmenili. To však môžem napísať ako lineárnu kombináciu týchto 2 bázových vektorov.

Podobne, ak vezmete vektor (1,3)

Podobne, ak vezmete vektor (4,4)
Toto je ďalšia lineárna kombinácia rovnakých bázových vektorov. Kľúčovým bodom, ktorý tu chcem uviesť, je, že základné vektory nie sú jedinečné. Existuje mnoho spôsobov, ako môžete definovať základné vektory, všetky však majú rovnakú vlastnosť, že ak mám sadu vektorov, ktoré nazývam ako základný vektor, musia byť tieto vektory navzájom nezávislé a mali by sa rozprestierať celý priestor.

Nezabudnite:
Tu je zaujímavé poznamenať, že nemôžeme mať 2 bázové množiny, ktoré majú rôzny počet vektorov. Tu mám na mysli predchádzajúci príklad, hoci základné vektory boli v1 (1, 0) a v2 (0, 1) boli iba 2 vektory. Podobne sú v tomto prípade základné vektory v1 (1, 1) a v2 (1; -1). Stále však existujú iba 2 vektory. Aj keď by ste mohli mať veľa sád základných vektorov, všetky ekvivalentné počtu vektorov v každej sade budú rovnaké, nemôžu sa líšiť. Mali by ste mať na pamäti, že pre rovnaký priestor nemôžete mať 2 základné množiny, jednu s vektormi n a druhú s vektormi m, čo nie je možné. Pokiaľ ide o základnú množinu pre rovnaký priestor, počet vektorov v každej množine by mal byť rovnaký.

Nájdite základné vektory:

  • Krok 1: Ak chcete vyhľadať základné vektory danej množiny vektorov, usporiadajte vektory do matice, ako je uvedené nižšie.
  • Krok 2: Nájdite poradie tejto matice.
    Ak zistíte poradie tejto matice, získate počet lineárne nezávislé stĺpce. Poradie matice nám prezradí, koľko je základných pre vysvetlenie všetkých týchto stĺpcov a koľko stĺpcov potrebujeme. Takže môžeme zostávajúce stĺpce vygenerovať ako lineárnu kombináciu týchto stĺpcov.

Vysvetlenie:
Ak je poradie matice 1, potom máme iba 1 bázový vektor, ak je poradie 2, potom existujú 2 bázové vektory, ak 3, potom existujú 3 bázové vektory atď. V tomto prípade, keďže sa ukazuje, že poradie matice je 2, existujú iba 2 vektory stĺpcov, ktoré musím predstavovať každý stĺpec v tejto matici. Takže základná sada má veľkosť 2. Takže tu môžeme vybrať ľubovoľné 2 lineárne nezávislé stĺpce a potom by to mohli byť základné vektory.

Mohli sme si napríklad vybrať v1 (6, 5, 8, 11) a v2 (1, 2, 3, 4) a povedzme, toto je základný vektor pre všetky tieto stĺpce, alebo by sme si mohli vybrať v1 (3; -1; -1; -1) a v2 (7, 7, 11, 15) a tak ďalej. Môžeme zvoliť ľubovoľné 2 stĺpce, pokiaľ sú na sebe lineárne nezávislé, a to je niečo, čo vieme zhora, že základné vektory nemusia byť jedinečné. Vybral som teda ľubovoľné 2 lineárne nezávislé stĺpce, ktoré reprezentujú tieto údaje.

Dôležité z hľadiska vedy o údajoch
Teraz mi dovoľte vysvetliť, prečo je tento základný vektorový koncept z hľadiska dátovej vedy veľmi dôležitý. Stačí sa pozrieť na predchádzajúci príklad. Máme 10 vzoriek a týchto 10 vzoriek chceme uložiť, pretože každá vzorka má 4 čísla, takže by sme ukladali 4 x 10 = 40 čísel.
Teraz predpokladajme, že urobíme to isté cvičenie pre týchto 10 vzoriek a potom zistíme, že máme iba 2 bázové vektory, ktoré budú z tejto množiny 2 vektormi. Čo by sme mohli urobiť, je, že by sme mohli uložiť tieto 2 základné vektory, ktoré by boli 2 x 4 = 8 čísel, a pre zvyšných 8 vzoriek namiesto toho, aby sme ukladali všetky vzorky a všetky čísla v každej z týchto vzoriek, čo by sme mohli urobiť pre každú vzorku by sme mohli uložiť iba 2 čísla, čo sú lineárne kombinácie, ktoré použijeme na ich zostrojenie. Takže namiesto toho, aby sme uložili tieto 4 čísla, mohli by sme jednoducho uložiť tieto 2 konštanty a keďže sme už uložili základné vektory, kedykoľvek to chceme zrekonštruovať, môžeme jednoducho vziať prvú konštantu a vynásobiť ju v1 plus druhú konštantu vynásobiť v2 a dostaneme toto číslo.

Ukladáme 2 základné vektory, ktoré mi dávajú: 4 x 2 = 8 čísel
A potom pre zvyšných 8 vzoriek jednoducho uložíme 2 konštanty, napr .: 8 x 2 = 16 čísel
Takto by sme dostali: 8 + 16 = 24 čísel
Preto namiesto toho, aby sme ukladali 4 x 10 = 40 čísel, môžeme uložiť iba 24 čísel, čo je približne polovičné zníženie počtu. Celú množinu údajov budeme môcť rekonštruovať tak, že uložíme iba 24 čísel.

Napríklad, ak máte 30-rozmerný vektor a základné vektory sú len 3, môžete vidieť druh redukcie, ktorý získate z hľadiska ukladania údajov. Toto je teda jeden pohľad na vedu o údajoch.

  • Túto základňu môžete identifikovať, aby ste určili model medzi týmito údajmi.
  • Môžete určiť základňu na zníženie šumu v dátach.

Pozor čitateľ! Don & rsquot prestať učiť sa teraz. Osvojte si všetky dôležité koncepty strojového učenia pomocou Kurz nadácie strojového učenia za študentskú cenu a pripravte sa na priemysel.


Vo vede, matematike a inžinierstve rozlišujeme dve dôležité veličiny: skaláre a vektory. Skalár je jednoducho reálne číslo alebo veličina, ktorá má rozsah. Napríklad dĺžka, teplota a krvný tlak sú reprezentované číslami ako 80 m, 20 ° C a systolický / diastolický pomer 120/80. Vektor sa na druhej strane zvyčajne označuje ako veličina, ktorá má oboje rozsah a smer.

Geometrické vektory

Geometricky môže byť vektor predstavovaný nasmerovaným úsečkou - to znamená šípkou - a je označený buď tučným symbolom, alebo symbolom so šípkou nad.

Získajte Advanced Engineering Mathematics, 7. vydanie teraz s online učením O’Reilly.

Členovia O’Reilly zažijú živé online školenie, plus knihy, videá a digitálny obsah od viac ako 200 vydavateľov.


LINEÁRNE NEZÁVISLÉ SÚBORY VEKTORI

To znamená, že nekonečné množstvo riešení je možné zostrojiť z hľadiska iba dvoch vektorov a analýzu riešení je možné vykonať zohľadnením iba týchto dvoch vektorov. Na použitie podobných metód analýzy vo vektorových priestoroch budeme potrebovať koncepty rozsahu a lineárnej nezávislosti množín vektorov. Oba koncepty zahŕňajú lineárne kombinácie vektorov.

kde čísla sa nazývajú koeficient lineárnej kombinácie.

Riešenie Je päť možností

Všimnite si, že prvá a posledná lineárna kombinácia dávajú rovnaký vektor (0,0), aj keď koeficienty nie sú rovnaké. Posledné štyri lineárne kombinácie sa nazývajú netriviálne, pretože v každej je aspoň jeden koeficient nenulový.

Riešenie Chceme nájsť

Riešenie Skontrolujeme, či je rovnica

má riešenie. Toto je ekvivalentné k

a neexistuje riešenie. Preto ich nemožno písať ako lineárne kombinácie daných vektorov.

Rozpätie množiny vektorov z je vlastne podpriestorom.

ktoré sú tiež v rozpätí. Preto je rozpätie podpriestorom. Nazýva sa to podpriestor rozpätý pomocou.

pre všetky zložité a. Ďalším spôsobom, ako to povedať, je, že všetky riešenia tvoria rozpätie podpriestoru.

V niektorých prípadoch môže byť rozpätie všetko.

kde a môžu to byť akékoľvek reálne čísla.

Riešenie Musíme preukázať, že akýkoľvek vektor vo formáte možno zapísať ako lineárnu kombináciu troch daných vektorov. To znamená, že musíme ukázať, že existujú konštanty, aby to bolo možné

bez ohľadu na to, aké sú skutočné hodnoty, a brať. Posledná rovnica je ekvivalentná k

Preto a rozpätie je všetko.

Riešenie Nechajte byť ľubovoľný vektor v. Chceme vedieť, či je možné písať

Posledná rovnica je ekvivalentná k

Riešenie teda existuje, iba ak toto obmedzuje, takže prvú rovnicu nie je možné vyriešiť pre ľubovoľný vektor. Preto rozpätie daných vektorov nie je všetko.

Otázka v príklade 10 mohla byť položená trochu iným spôsobom.

Riešenie Predpokladajme, že je v rozpätí. Potom rovnica

musí byť riešiteľný. Postupom ako v príklade 10 z toho usudzujeme. Teda rozpätie. To znamená, že rozpätie je všetkých vektorov, ktorých tretia zložka je súčtom prvých dvoch zložiek. Takže napríklad a.

Vektorový priestor je rozpätý o. Je tiež preklenutý väčšou súpravou. Ako uvidíme neskôr, a ďalšie funkcie bude možné analyzovať pomocou spanningových množín, a teda kvôli hospodárnosti, chceme mať možnosť nájsť najmenšie možné množiny rozpätí pre vektorové priestory. K tomu je nevyhnutná myšlienka lineárnej nezávislosti.

je . Ak množina nie je lineárne nezávislá, nazýva sa lineárne závislá.

Ak chceme zistiť, či je množina lineárne nezávislá alebo lineárne závislá, musíme sa dozvedieť viac o riešení

Ak zistíme (skutočným riešením výsledného systému alebo inou technikou), že existuje iba triviálne riešenie, je lineárne nezávislé. Ak je však jedna alebo viac z nich nenulová, potom je množina lineárne závislá.

Táto rovnica je ekvivalentná k

ktorý má len ako riešenie. Preto je lineárne nezávislý.

Tento systém má riešenie, ak potom máme netriviálne riešenie, a teda nie je lineárne nezávislé - je lineárne závislé.

Zhromažďovaním výrazov na ľavej strane možno túto rovnicu prepísať

Z algebry vieme, že polynóm je identicky nulový iba vtedy, keď sú všetky koeficienty nulové. Takže máme

ktorá má iba triviálne riešenie. Preto je lineárne nezávislý.

Lineárna závislosť množiny dvoch alebo viacerých vektorov znamená, že najmenej jeden z vektorov v množine je možné zapísať ako lineárnu kombináciu ostatných. Pripomeňme si príklad 13 a množinu. Na obrázku 3.4.1 sme geometricky ukázali závislosť vektorov v. Všeobecné vyhlásenie o tejto situácii je nasledovné:

Predpokladajme, že v lineárnej kombinácii je nenulový koeficient. Potom

Preto je lineárna kombinácia ostatných vektorov v.

Predpokladajme. Potom, pridajúc na obe strany, máme

Pretože koeficient je nenulový, množina je lineárne závislá

je lineárne závislý v. Jeden z vektorov napíšte ako lineárnu kombináciu ostatných.

Táto rovnica je ekvivalentná k

Preto existuje riešenie, ktoré je ľubovoľné. Sada je teda lineárne závislá. Vyberáme, máme

Samozrejme, že by sme mohli aj písať

Niektoré geometrie rozloženia sa nastavia na a Rozpätie jedného nenulového vektora je čiara obsahujúca počiatok. Rozpätie je všetko násobkom v, čo sú všetky polohové vektory v rovnakom smere ako v (pozri obr. 3.4.2). Koncové body týchto vektorov tvoria priamku s vektorovou rovnicou

Rozpätie dvoch nezávislých vektorov je rovina obsahujúca počiatok. Ak to chcete vidieť v, nech v a w sú dané znakom a. Rovina obsahujúca v a w má normálny vektor a vektorovú rovnicu

Ak vypočítame a napíšeme vektorovú rovnicu, nájdeme

kde je vektor v rovine. Ak však má ísť o lineárnu kombináciu v a w, musíme to mať

ktorá má riešenie práve vtedy

ktorý platí práve vtedy, ak platí vektorová rovnica. Takže rozpätie dvoch nezávislých vektorov je rovina obsahujúca vektory. Pozri obr. 3.4.3.

Rozpätie troch nenulových vektorov môže byť čiara, rovina alebo všetky, v závislosti od stupňa závislosti troch vektorov. Ak sú všetky tri násobky, máme len čiaru. Ak sú dva z vektorov a sú nezávislé, ale celá množina je lineárne závislá, potom ide o lineárnu kombináciu a a leží v rovine definovanej pomocou a. To znamená, že vektory sú koplanárne. Položte tri ceruzky na dosku s gumami spojenými, aby ste získali grafický príklad koplanárnych vektorov. Ak je lineárne nezávislý, potom je rozpätie všetko. To je možné v jednotlivých prípadoch priamo overiť, aby sa preukázalo, že to všeobecne vyžaduje metódy uvedené v ďalšej časti.

Ako ilustrujú nasledujúce príklady, lineárne kombinácie v zložitých vektorových priestoroch majú dôležité aplikácie.

Ukážte, že je lineárne nezávislý v. Diskutujte o dôležitosti nezávislosti.


2 2 -Hilbertove medzery

2-vektorové priestory boli do značnej miery motivované a aplikované v (2-dimenzionálnej) teórii kvantového poľa. V tomto kontexte nie je potrebné kategorizovať obyčajný vektorový priestor, ale koncept Hilbertovho priestoru.

2-Hilbertove priestory ako kategórie obohatené o Hilb Hilb s niektorými extra vlastnosťami boli opísané v

V aplikáciách sa často predpokladá, že tieto 2-Hilbertovy priestory sú polovičné, v takom prípade je takýmto 2-Hilbertovým priestorom Kapranov – Voevodský 2 -vektorový priestor vybavený zvláštnou štruktúrou.

Prehľad týchto myšlienok 2-Hilbertových priestorov, ako aj aplikácií 2-Hilbertových priestorov na teóriu reprezentácie konečných skupín sú v

  • Bruce Bartlett, Na jednotných 2-reprezentáciách konečných skupín a topologickej kvantovej teórii poľa (arXiv)

Obsah

Krížový produkt dvoch vektorov a a b je definované iba v trojrozmernom priestore a je označené a × b . [1] Vo fyzike a aplikovanej matematike sa používa klinový zápis ab sa často používa (v spojení s menom vektorový produkt), [5] [6] [7] hoci v čistej matematike je takýto zápis zvyčajne vyhradený iba pre externý produkt, je to abstrakcia vektorového produktu n rozmery.

Krížový výrobok a × b je definovaný ako vektor c ktorá je na obe kolmá (kolmá) a a b, so smerom daným pravidlom [2] a veľkosťou rovnajúcou sa ploche rovnobežníka, ktorú vektory prekrývajú. [3]

Krížový produkt je definovaný vzorcom [8] [9]

  • θ je uhol medzi a a b v rovine, ktorá ich obsahuje (teda je medzi 0 ° a 180 °)
  • a‖ A ‖b‖ Sú veličiny vektorov a a b
  • a n je jednotka vektora kolmá na rovinu obsahujúcu a a b, v smere danom pravidlom pravej ruky (znázornené). [3]

Ak vektory a a b sú rovnobežné (t. j. uhol θ medzi nimi je buď 0 ° alebo 180 °), podľa vyššie uvedeného vzorca krížový produkt látky a a b je nulový vektor 0.

Upraviť smer

Podľa konvencie smer vektora n je dané pravidlom pravej ruky, kde sa jednoducho ukazuje ukazovákom pravej ruky v smere a a prostredník v smere b. Potom vektor n vychádza z palca (pozri susedný obrázok). Použitie tohto pravidla znamená, že krížový produkt je antimutmatický, to znamená b × a = −(a × b). Ukazovákom smerom k b najskôr a potom ukážte prostredníkom smerom k a, palec bude vynútený v opačnom smere a obráti znamenie vektora súčinu.

Pretože operátor krížového produktu závisí od orientácie priestoru (ako je explicitné vo vyššie uvedenej definícii), krížový produkt dvoch vektorov nie je „skutočný“ vektor, ale pseudovektor. Podrobnejšie informácie nájdete v § Ručnosť.

V roku 1881 Josiah Willard Gibbs a nezávisle na sebe Oliver Heaviside predstavili bodkový aj krížový produkt pomocou bodky ( a . b ) a písmeno „x“ ( a X b ), v uvedenom poradí. [10]

V roku 1877, aby William Kingdon Clifford zdôraznil skutočnosť, že výsledok bodového súčinu je skalárny, zatiaľ čo výsledkom krížového súčinu vektor, vytvoril alternatívne názvy skalárny súčin a vektorový produkt pre tieto dve operácie. [10] Tieto alternatívne názvy sú v literatúre stále široko používané.

Krížová notácia ( a × b ) a meno krížový produkt sa možno inšpirovali skutočnosťou, že každá skalárna zložka z a × b sa počíta vynásobením nezodpovedajúcich komponentov a a b. Naopak bodový produkt ab zahŕňa znásobenie medzi zodpovedajúcimi zložkami a a b. Ako je vysvetlené nižšie, krížový produkt je možné vyjadriť vo forme determinantu špeciálnej matice 3 × 3. Podľa Sarrusovho pravidla to znamená znásobenie medzi prvkami matice identifikovanými kríženými uhlopriečkami.

Zápis súradnice Upraviť

Štandardné základné vektory i, ja k uspokojiť nasledujúce rovnosti v súradnicovom systéme vpravo: [2]

čo z antikomutativity krížového produktu vyplýva, že

Z toho vyplýva aj antikomutativita krížového produktu (a zjavný nedostatok lineárnej nezávislosti)

Tieto rovnosti spolu s distributívnosťou a linearitou krížového produktu (ale ani zďaleka nevyplýva z vyššie uvedenej definície) sú dostatočné na určenie krížového produktu akýchkoľvek dvoch vektorov. a a b. Každý vektor možno definovať ako súčet troch ortogonálnych zložiek rovnobežných so štandardnými bázovými vektormi:

Ich krížový produkt a × b možno rozšíriť pomocou distribúcie:

To možno interpretovať ako rozklad a × b do súčtu deviatich jednoduchších krížových produktov obsahujúcich vektory zarovnané s i, jalebo k. Každý z týchto deviatich krížových produktov pracuje na dvoch vektoroch, s ktorými sa dá ľahko manipulovať, pretože sú navzájom rovnobežné alebo kolmé. Z tohto rozkladu použitím vyššie spomenutých rovností a zhromaždením podobných výrazov získame:

čo znamená, že tri skalárne zložky výsledného vektora s = s1i + s2j + s3k = a × b

Použitím vektorov stĺpcov môžeme reprezentovať rovnaký výsledok nasledovne:

Maticová notácia Edit

Krížový produkt možno tiež vyjadriť ako formálny determinant: [poznámka 1] [2]

Tento determinant sa dá vypočítať pomocou Sarrusovho pravidla alebo rozšírenia kofaktora. Pomocou Sarrusovho pravidla sa rozširuje na

Namiesto toho sa rozšírenie pomocou kofaktora pozdĺž prvého radu rozšíri na [11]

ktorý dáva zložky výsledného vektora priamo.

Použitie tenzorov Levi-Civita Edit

  • V každom prípade je krížový produkt daný tenzorickým vzorcom E × j < Displaystyle a times b> E i j k a i b j < displaystyle E_a ^b ^> kde E i j k < displaystyle E_> je kovariantný tenzor Levi-Civita (všimneme si pozíciu indexov). To zodpovedá prirodzenému vzorcu tu uvedenému.
  • Na ortonormálnom základe majú rovnakú orientáciu ako priestor, a × b < Displaystyle a times b> je dané pseudo-tenzorickým vzorcom ε ja j k a ja b j < displaystyle varepsilon _a ^b ^> kde ε ja j k < displaystyle varepsilon _> je symbol Levi-Civita (čo je pseudotenzor). Toto je vzorec používaný pre každodennú fyziku, ale funguje iba v tomto špeciálnom prípade základu.
  • V akomkoľvek ortonormálnom základe je a × b < Displaystyle a times b> dané pseudo-tenzorickým vzorcom (- 1) B ε já j k a i b j < displaystyle (-1) ^ varepsilon _a ^b ^> kde (- 1) B = ± 1 < displaystyle (-1) ^= pm 1> či má základňa rovnakú orientáciu ako priestor alebo nie.

Posledný vzorec sa vyhýba zmene orientácie priestoru, keď obrátime ortonormálny základ.

Geometrický význam Upraviť

Veľkosť krížového produktu sa dá interpretovať ako kladná plocha rovnobežníka, ktorá má a a b ako bočné strany (pozri obrázok 1): [2]

Dá sa skutočne vypočítať aj hlasitosť V. rovnobežnostenca majúceho a, b a c ako hrany pomocou kombinácie krížového a bodového súčinu, nazývaného skalárny trojitý súčin (pozri obrázok 2):

Pretože výsledok skalárneho trojitého produktu môže byť záporný, objem rovnobežnostenu je daný jeho absolútnou hodnotou. Napríklad

Pretože veľkosť krížového produktu ide o sínus uhla medzi jeho argumentmi, možno ho považovať za mieru kolmosť rovnakým spôsobom, že bodový súčin je mierou paralelizmus. Vzhľadom na dva jednotkové vektory má ich krížový produkt veľkosť 1, ak sú dva kolmé, a veľkosť nula, ak sú dva rovnobežné. Bodový produkt dvoch jednotkových vektorov sa chová opačne: je nulový, keď sú jednotkové vektory kolmé, a 1, ak sú jednotkové vektory paralelné.

Jednotkové vektory umožňujú dve vhodné identity: bodový súčin dvoch jednotkových vektorov dáva kosínus (ktorý môže byť kladný alebo záporný) uhla medzi týmito dvoma jednotkovými vektormi. Veľkosť krížového produktu dvoch jednotkových vektorov poskytne sínus (ktorý bude vždy kladný).

Algebraické vlastnosti Upraviť

Ak je krížovým produktom dvoch vektorov nulový vektor (t.j. a × b = 0 ), potom jeden alebo obidva vstupy sú nulový vektor, ( a = 0 alebo b = 0 ) alebo sú paralelné alebo antiparalelné ( ab ) takže sínus uhla medzi nimi je nula ( θ = 0 ° alebo θ = 180 ° a hriech θ = 0 ).

Vlastný krížový produkt vektora je nulový vektor:

a kompatibilný so skalárnym násobením, aby

Nie je asociatívne, ale uspokojuje Jacobiho identitu:

Distribučnosť, lineárnosť a identita Jacobi ukazujú, že R 3 vektorový priestor spolu s vektorovým sčítaním a krížovým súčinom tvoria Lieovu algebru, Lieovu algebru skutočnej ortogonálnej skupiny v 3 rozmeroch, SO (3). Krížový produkt sa neriadi zákonom o zrušení: to znamená, a × b = a × c s a0 neznamená b = c , ale iba to:

Môže to byť tak, keď b a c zrušiť, ale dodatočne kde a a bc sú paralelné, to znamená, že sú spojené mierkovým faktorom t, viesť k:

Ak okrem a × b = a × c a a0 ako je uvedené vyššie, je to tak ab = ac potom

Ako bc nemôžu byť súčasne paralelné (aby bol vedľajší produkt 0) a kolmé (pre bodový súčin 0) až a, musí to tak byť b a c Zrušiť: b = c .

Z geometrickej definície je priečny súčin invariantný pri správnych rotáciách okolo osi definovanej znakom a × b . Vo vzorcoch:

Všeobecnejšie platí, že krížový produkt sa pri maticových transformáciách riadi nasledujúcou identitou:

Krížový produkt dvoch vektorov leží v nulovom priestore matice 2 × 3 s vektormi ako riadkami:

Pre súčet dvoch krížových produktov platí táto identita:

Diferenciácia Upraviť

Pravidlo súčinu diferenciálneho počtu platí pre každú bilineárnu operáciu, a teda aj pre krížový súčin:

kde a a b sú vektory, ktoré závisia od skutočnej premennej t.

Trojnásobné rozšírenie produktu Upraviť

Krížový produkt sa používa v obidvoch formách trojitého produktu. Skalárny trojitý produkt troch vektorov je definovaný ako

Je to podpísaný objem rovnobežnostenu s okrajmi a, b a c a ako také môžu byť vektory použité v akomkoľvek poradí, ktoré je rovnomernou permutáciou vyššie uvedeného poradia. Nasledujúce sú si preto rovnaké:

Vektorový trojitý produkt je krížovým produktom vektora s výsledkom iného krížového produktu a súvisí s bodovým produktom podľa nasledujúceho vzorca

Mnemotechnická pomôcka „BAC mínus CAB“ sa používa na zapamätanie poradia vektorov v pravom člene. Tento vzorec sa používa vo fyzike na zjednodušenie vektorových výpočtov. Špeciálnym prípadom, ktorý sa týka prechodov a je užitočný vo vektorovom kalkulu, je

kde ∇ 2 je vektorový lalaciánsky operátor.

Ďalšie identity sa týkajú krížového produktu so skalárnym trojitým produktom:

kde Ja je matica identity.

Alternatívna formulácia Upraviť

Krížový produkt a bodkový produkt súvisia s:

Na pravej strane je Gramov determinant a a b, štvorec plochy rovnobežníka definovaný vektormi. Táto podmienka určuje veľkosť krížového produktu. Totiž, pretože bodový súčin je definovaný, pokiaľ ide o uhol θ medzi dvoma vektormi, ako sú:

vyššie uvedený vzťah možno prepísať takto:

čo je veľkosť krížového produktu vyjadrená ako θ, rovnajúca sa ploche rovnobežníka definovanej znakom a a b (pozri definíciu vyššie).

Kombinácia tejto požiadavky a vlastnosti, že krížový produkt musí byť kolmý na jeho zložky a a b poskytuje alternatívnu definíciu krížového produktu. [13]

Lagrangeova identita Upraviť

možno porovnať s iným vzťahom zahŕňajúcim pravú stranu, konkrétne s Lagrangeovou identitou vyjadrenou ako: [14]

kde a a b možno n-dimenzionálne vektory. To tiež ukazuje, že Riemannova objemová forma pre povrchy je presne povrchovým prvkom z vektorového počtu. V prípade, že n = 3, výsledkom spojenia týchto dvoch rovníc je výraz pre veľkosť krížového produktu z hľadiska jeho zložiek: [15]

Rovnaký výsledok sa nachádza priamo pomocou komponentov krížového produktu nájdených od:

V R 3, Lagrangeova rovnica je špeciálny prípad multiplikativity | vw | = | v || w | normy v kvartérnej algebre.

Je to špeciálny prípad iného vzorca, ktorý sa niekedy nazýva aj Lagrangeova identita, čo je trojrozmerný prípad identity Binet – Cauchy: [16] [17]

Ak a = c a b = d to zjednodušuje vyššie uvedený vzorec.

Infinitezimálne generátory rotácií Upraviť

Krížový produkt pohodlne popisuje nekonečne malé generátory rotácií v R 3. Konkrétne, ak n je jednotkový vektor v R 3 a R(φ, n) označuje rotáciu okolo osi cez počiatok určený n, s uhlom φ (merané v radiánoch, proti smeru hodinových ručičiek pri pohľade od špičky n), potom

pre každý vektor X v R 3. Krížový výrobok s n preto popisuje nekonečne malý generátor rotácií okolo n. Tieto nekonečne malé generátory tvoria Lieovu algebru tak(3) rotačnej skupiny SO (3) a získame výsledok, že Lieova algebra R 3 s krížovým produktom je izomorfný s Lieovou algebrou tak(3).

Prevod na násobenie matíc Edit

Vektorový krížový produkt možno tiež vyjadriť ako produkt zošikmenej symetrickej matice a vektora: [16]

kde horný index T označuje operáciu transpozície a [a]× je definované:

Stĺpce [a]×, i symetrickej matice skosenia pre vektor a možno získať aj výpočtom krížového produktu s jednotkovými vektormi, t. j .:

Tiež ak a sa vyjadruje ako krížový produkt:

Preto sa ľavá strana rovná

Teraz pre pravú stranu

Hodnotenie pravej strany dáva

Porovnanie ukazuje, že ľavá strana sa rovná pravej strane.

Tento výsledok možno zovšeobecniť na vyššie dimenzie pomocou geometrickej algebry. Obzvlášť v akejkoľvek dimenzii možno bivektory identifikovať pomocou skreslených symetrických matíc, takže súčin medzi skreslenou symetrickou maticou a vektorom je ekvivalentný s časťou stupňa 1 produktu bivektora a vektora. [18] V troch dimenziách sú bivektory duálne voči vektorom, takže produkt je ekvivalentný krížovému produktu, pričom bivektor je namiesto vektora duálny. Vo vyšších dimenziách sa dá produkt stále vypočítať, ale bivektory majú viac stupňov voľnosti a nie sú ekvivalentné s vektormi. [18]

S touto notáciou sa tiež často oveľa ľahšie pracuje napríklad v epipolárnej geometrii.

Zo všeobecných vlastností krížového produktu okamžite vyplýva, že

a zo skutočnosti, že [a]× je skreslený symetrický, z toho vyplýva

Vyššie uvedené rozšírenie troch produktov (pravidlo bac-cab) možno ľahko preukázať pomocou tejto notácie.

Ako už bolo spomenuté vyššie, Lieova algebra R 3 s krížovým produktom je izomorfný s Lieovou algebrou takže (3), ktorých prvky je možné identifikovať pomocou 3 × 3 symetrických matíc. Mapa a → [a]× poskytuje izomorfizmus medzi R 3 a takže (3). Na tejto mape krížový produkt 3-vektorov zodpovedá komutátoru 3x3 symetrických matíc.

Tieto matice zdieľajú nasledujúce vlastnosti:

Ďalšie vlastnosti matíc ortogonálnej projekcie nájdete v časti projekcia (lineárna algebra).

Indexová notácia pre tenzory Edit

Krížový produkt je možné alternatívne definovať pomocou symbolu Levi-Civita εijk a bodkový produkt η mi (= 8 mi pre ortonormálny základ), ktoré sú užitočné pri prevode vektorovej notácie pre tenzorové aplikácie:

v ktorých sú opakované indexy sčítané nad hodnotami 1 až 3. Toto znázornenie je ďalšou formou skresleno-symetrického znázornenia krížového produktu:

V klasickej mechanike: predstavovanie krížového produktu pomocou symbolu Levi-Civita môže spôsobiť, že mechanické symetrie budú zrejmé, keď sú fyzické systémy izotropné. (Príklad: zvážte časticu v potenciáli Hookeovho zákona v trojpriestore, voľne oscilujte v troch dimenziách, žiadna z týchto dimenzií nie je v žiadnom zmysle „špeciálna“, takže symetrie spočívajú v hybnej sile reprezentovanej krížovým produktom), ktoré sú vyššie uvedené zastúpenie Levi-Civita). [ potrebná citácia ]

Mnemonická úprava

Slovo „xyzzy“ možno použiť na zapamätanie si definície krížového produktu.

Druhú a tretiu rovnicu je možné získať z prvej jednoduchým vertikálnym otáčaním dolných indexov, XrzX . Problém samozrejme spočíva v tom, ako si zapamätať prvú rovnicu, a na tento účel sú k dispozícii dve možnosti: buď si spomenúť na príslušné dve uhlopriečky Sarrusovej schémy (tie, ktoré obsahujú i), alebo na zapamätanie xyzzy sekvencie.

Keďže prvá uhlopriečka v Sarrusovej schéme je iba hlavnou uhlopriečkou vyššie spomenutej matice 3 × 3, prvé tri písmená slova xyzzy si môžeme veľmi ľahko zapamätať.

Krížová vizualizácia Upraviť

Podobne ako vyššie uvedené mnemotechnické pomôcky je možné medzi dvoma vektormi v rovnici vizualizovať kríž alebo X. To môže byť užitočné na zapamätanie si správneho zloženia viacerých produktov.

Krížový produkt má aplikácie v rôznych kontextoch: napr. používa sa vo výpočtovej geometrii, fyzike a inžinierstve. Nasleduje neúplný zoznam príkladov.

Výpočtová geometria Upraviť

Krížový súčin sa objavuje pri výpočte vzdialenosti dvoch šikmých čiar (čiar, ktoré nie sú v rovnakej rovine) od seba v trojrozmernom priestore.

Krížový súčin možno použiť na výpočet normály pre trojuholník alebo mnohouholník, čo je operácia často vykonávaná v počítačovej grafike. Napríklad navinutie mnohouholníka (v smere alebo proti smeru hodinových ručičiek) okolo bodu v mnohouholníku je možné vypočítať trojuholníkom mnohouholníka (napríklad vyprsknutím kolieska) a súčtom uhlov (medzi lúčmi) pomocou krížového súčinu na sledovanie polohy znamienko každého uhla.

čo je podpísaná dĺžka krížového produktu dvoch vektorov.

Krížový produkt sa používa na výpočet objemu mnohostena, ako je štvorsten alebo rovnobežnosten.

Moment hybnosti a krútiaci moment Upraviť

Hybný moment Ľ častice o danom pôvode je definovaná ako:

kde r je pozičný vektor častice vzhľadom na pôvod, p je lineárna hybnosť častice.

Rovnakým spôsobom aj okamih M sily FB aplikované v bode B okolo bodu A je dané ako:

V mechanike moment sily sa tiež nazýva krútiaci moment a zapísané ako τ < Displaystyle mathbf < tau >>

Od polohy r lineárna hybnosť p a silou F sú všetci pravda vektory, obidva, moment hybnosti Ľ a moment sily Mpseudovektory alebo axiálne vektory.

Tuhé telo Upraviť

Krížový produkt sa často vyskytuje v popise tuhých pohybov. Dva body P a Q na tuhom tele môže súvisieť s:

Lorentzova sila Upraviť

Krížový produkt sa používa na opis Lorentzovej sily, ktorú zažíva pohybujúci sa elektrický náboj qe :

Pretože rýchlosť v , sila F a elektrické pole E sú všetci pravda vektory, magnetické pole B je a pseudovektor.

Ostatné Upraviť

Vo vektorovom kalkuse sa krížový produkt používa na definovanie vzorca pre vektorové zvlnenie operátora.

Trik prepisovania krížového produktu, pokiaľ ide o násobenie matíc, sa často objavuje v epipolárnej a viacpohľadovej geometrii, najmä keď sa odvodia zhodné obmedzenia.

Krížový výrobok je možné definovať z hľadiska vonkajšieho výrobku. Môže sa zovšeobecniť na externý produkt v iných ako troch rozmeroch. [19] Toto zobrazenie [ ktoré? ] umožňuje prirodzenú geometrickú interpretáciu krížového produktu. Vo vonkajšej algebre je vonkajším produktom dvoch vektorov bivektor. Bivektor je prvok orientovanej roviny, podobne ako vektor je prvok orientovanej čiary. Uvedené dva vektory a a b, je možné vidieť bivektor ab ako orientovaný rovnobežník preklenutý o a a b. Krížový produkt sa potom získa získaním Hodgeovej hviezdy z bivektora ab , mapovanie 2-vektorov na vektory:

Toto sa dá považovať za orientovaný viacrozmerný prvok „kolmý“ na bivektor. Iba v troch rozmeroch je výsledkom orientovaný jednorozmerný prvok - vektor, zatiaľ čo napríklad v štyroch rozmeroch je Hodgeov duál bivektora dvojrozmerný - bivektor. Takže iba v troch dimenziách môže vektor vzniknúť súčinom a a b sa dá definovať ako vektor duálny k bivektoru ab : je kolmý na bivektor, s orientáciou závislou od ruky súradnicového systému, a má rovnakú veľkosť vzhľadom na jednotkový normálny vektor ako ab má vo vzťahu k jednotkovému bivektoru presne vlastnosti opísané vyššie.

Konzistencia Upraviť

Keď sú fyzikálne zákony napísané ako rovnice, je možné ľubovoľne zvoliť súradnicový systém vrátane rovnosti. Jeden by mal byť opatrný, aby nikdy nezapísal rovnicu, v ktorej sa obe strany nesprávajú rovnako pri všetkých transformáciách, ktoré je potrebné zvážiť. Napríklad, ak je jedna strana rovnice krížovým produktom dvoch polárnych vektorov, treba brať do úvahy, že výsledkom je axiálny vektor. Z dôvodu konzistencie musí byť preto druhá strana tiež osovým vektorom. [ potrebná citácia ] Všeobecnejšie môže byť výsledkom krížového produktu buď polárny vektor, alebo axiálny vektor, v závislosti od typu jeho operandov (polárne vektory alebo axiálne vektory). Konkrétne polárne vektory a axiálne vektory navzájom súvisia pri použití krížového produktu nasledujúcimi spôsobmi:

  • polárny vektor × polárny vektor = axiálny vektor
  • axiálny vektor × axiálny vektor = axiálny vektor
  • polárny vektor × axiálny vektor = polárny vektor
  • axiálny vektor × polárny vektor = polárny vektor
  • polárny × polárny = axiálny
  • axiálny × axiálny = axiálny
  • polárny × axiálny = polárny
  • axiálny × polárny = polárny

Pretože krížový produkt môže byť tiež polárny vektor, nemusí s transformáciou zrkadlového obrazu meniť smer. To sa deje podľa vyššie uvedených vzťahov, ak je jeden z operandov polárny vektor a druhý je axiálny vektor (napr. Krížový produkt dvoch polárnych vektorov). Napríklad vektorový trojitý produkt zahŕňajúci tri polárne vektory je polárny vektor.

Prístup pomocou voľnej ruky je možný pomocou externej algebry.

Paradox ortonormálneho základu Edit

Nech (i, j,k) byť ortonormálnym základom. Vektory i, j a k nezávisia od orientácie priestoru. Môžu byť dokonca definované pri absencii akejkoľvek orientácie. Nemôžu teda byť axiálnymi vektormi. Ale ak i a j sú potom polárne vektory k je axiálny vektor pre i × j = k alebo j × i = k. Toto je paradox.

„Axiálne“ a „polárne“ sú fyzický kvalifikácie pre fyzický vektory, to znamená vektory, ktoré reprezentujú fyzický veličiny ako rýchlosť alebo magnetické pole. Vektory i, j a k sú matematické vektory, ani axiálne, ani polárne. V matematike je krížovým produktom dvoch vektorov vektor. Nie je v tom nijaký rozpor.

Existuje niekoľko spôsobov, ako zovšeobecniť krížový produkt do vyšších dimenzií.

Liehová algebra Upraviť

Krížový produkt možno považovať za jeden z najjednoduchších Lieových produktov, a preto ho zovšeobecňujú Lieove algebry, ktoré sú axiomatizované ako binárne produkty spĺňajúce axiómy multilinearity, skreslenej symetrie a Jacobiho identity. Existuje veľa Lieových algebier a ich štúdiom sa zaoberá hlavná oblasť matematiky, ktorá sa nazýva Lieova teória.

Úpravy štvorčekov

Krížový produkt možno tiež opísať z hľadiska kvartónov. Všeobecne platí, že ak vektor [a1, a2, a3] je reprezentovaný ako štvorec a1i + a2j + a3k , krížový produkt dvoch vektorov je možné získať tak, že ich produkt vezmeme ako štvorčeky a odstránime skutočnú časť výsledku. Skutočnou časťou bude záporný bodový súčin týchto dvoch vektorov.

Octonions Upraviť

Krížový produkt pre 7-dimenzionálne vektory je možné získať rovnakým spôsobom pomocou oktonónov namiesto štvorcov. Neexistencia netriviálnych vektorových hodnôt krížových produktov dvoch vektorov v iných dimenziách súvisí s výsledkom Hurwitzovej vety, že jediné normované deliace algebry sú tie s dimenziou 1, 2, 4 a 8.

Vonkajší produkt Upraviť

Všeobecne neexistuje priamy analóg binárneho krížového produktu, ktorý by špecificky poskytoval vektor. Existuje však vonkajší produkt, ktorý má podobné vlastnosti, až na to, že vonkajší produkt dvoch vektorov je teraz namiesto bežného vektora 2-vektor. Ako bolo uvedené vyššie, krížový produkt je možné interpretovať ako vonkajší produkt v troch dimenziách pomocou hviezdneho operátora Hodge na mapovanie 2-vektorov na vektory. Duál Hodge produktu pre exteriér poskytuje (n - 2) -vektor, čo je prirodzené zovšeobecnenie krížového produktu v ľubovoľnom počte rozmerov.

Vonkajší produkt a bodový produkt je možné kombinovať (pomocou súčtu) a vytvoriť tak geometrický produkt v geometrickej algebre.

Externý produkt Upraviť

Ako bolo uvedené vyššie, krížový produkt je možné interpretovať v troch rozmeroch ako Hodgeov duál exteriérového produktu. V každom konečnom n rozmerov, Hodgeov duál vonkajšieho produktu z n - 1 vektor je vektor. Takže namiesto binárnej operácie je v ľubovoľných konečných dimenziách krížový produkt zovšeobecnený ako Hodgeov duál vonkajšieho produktu niektorých daných n - 1 vektorov. Toto zovšeobecnenie sa nazýva externý produkt. [20]

Komutátorový produkt Upraviť

Produkt komutátora je možné zovšeobecniť na ľubovoľné multivektory v troch dimenziách, výsledkom čoho je multivektor pozostávajúci iba z prvkov stupňov 1 (1-vektory / pravé vektory) a 2 (2-vektory / pseudovektory). Zatiaľ čo komutátorový produkt dvoch 1-vektorov je skutočne rovnaký ako produkt v exteriéri a poskytuje 2-vektor, komutátor 1-vektora a 2-vektora dáva skutočný vektor, ktorý namiesto toho zodpovedá ľavému a pravému kontrakcii geometrická algebra. Komutátorový produkt dvoch 2-vektorov nemá žiadny zodpovedajúci ekvivalentný produkt, a preto je komutátorový produkt definovaný na prvom mieste pre 2-vektory. Ďalej je trojitý produkt komutátora troch 2-vektorov rovnaký ako trojitý produkt vektorov rovnakých troch pseudovektorov vo vektorovej algebre. Trojitý produkt komutátora troch 1-vektorov v geometrickej algebre je však namiesto negatívu vektorového trojitého produktu rovnakých troch skutočných vektorov vo vektorovej algebre.

Zovšeobecnenie na vyššie dimenzie poskytuje ten istý komutátorový produkt 2-vektorov vo vyšších dimenzionálnych geometrických algebrách, ale 2-vektory už nie sú pseudovektory. Rovnako ako komutátorový produkt / krížový produkt 2-vektorov v troch dimenziách zodpovedá najjednoduchšej Lieovej algebre, 2-vektorové subalgebry vyšších dimenzionálnych geometrických algebier vybavených komutátorovým súčinom zodpovedajú aj Lieovym algebrám. [22] Rovnako ako v troch rozmeroch je možné komutátorový produkt ďalej zovšeobecniť na ľubovoľné multivektory.

Viacriadková algebra Úpravy

V kontexte multilineárnej algebry možno na krížový produkt pozerať ako na (1,2) -tenzor (zmiešaný tenzor, konkrétne bilineárnu mapu) získaný z trojrozmernej objemovej formy, [poznámka 2] a (0,3 ) -tenzor, zvýšením indexu.

Rovnakým spôsobom možno vo vyšších dimenziách definovať zovšeobecnené krížové produkty zvýšením indexov n-rozmerný objemový tvar, ktorý je a (0, n) < displaystyle (0, n)> - tenzor. Najpriamejšou generalizáciou krížového produktu je definovať buď:

  • a (1, n - 1) < displaystyle (1, n-1)> - tenzor, ktorý berie ako vstup vektory a dáva ako výstup 1 vektor - an (n - 1 ) < displaystyle (n-1)> - aryový produkt s vektorovou hodnotou, alebo
  • a (n - 2, 2) < displaystyle (n-2,2)> - tenzor, ktorý berie ako vstupné 2 vektory a dáva ako výstup šikmý symetrický tenzor hodnosti n - 2 - binárny produkt s hodnotením n - 2 hodnoty tenzora. Možno tiež definovať (k, n - k) < displaystyle (k, n-k)> - tenzory pre ďalšie k.

Všetky tieto produkty sú multilineárne a šikmo symetrické a dajú sa definovať z hľadiska determinantu a parity.

Tento vzorec má rovnakú štruktúru ako určujúci vzorec pre normálny krížový produkt v R 3 okrem toho, že riadok bázových vektorov je skôr posledným riadkom v determinante ako prvým. Dôvodom je zabezpečiť, aby usporiadané vektory (v1, . vn−1, Λ n–1
i = 0 vi) majú pozitívnu orientáciu na (e1, . en). Ak n je nepárne, táto úprava ponecháva hodnotu nezmenenú, takže táto konvencia súhlasí s normálnou definíciou binárneho produktu. V prípade, že n je dokonca potrebné rozlišovať. Táto (n - 1) < Displaystyle (n-1)> - forma má veľa rovnakých vlastností ako vektorový krížový produkt: vo svojich argumentoch je striedavá a lineárna, je kolmá na každý argument a jej veľkosť dáva nadbytok regiónu ohraničeného argumentmi. A rovnako ako vektorový krížový produkt, dá sa definovať nezávisle na súradniciach ako Hodgeov duál klinového súčinu argumentov.

V roku 1773 predstavil Joseph-Louis Lagrange zložkovú formu bodového aj krížového produktu, aby mohol študovať štvorsten v troch rozmeroch. [23] V roku 1843 predstavil William Rowan Hamilton produkt štvorky a s ním aj pojmy „vektor“ a „skalárny“. Vzhľadom na dva štvorčtvrtiny [0, u] a [0, v] , kde u a v sú vektory v R 3, ich štvorčlenný produkt možno zhrnúť ako [-uv, u × v]. James Clerk Maxwell použil Hamiltonove kvartérne nástroje na vývoj svojich slávnych elektromagnetických rovníc, a z tohto a ďalších dôvodov boli štvorčeky na určitý čas nevyhnutnou súčasťou výučby fyziky.

V roku 1878 William Kingdon Clifford publikoval svoju knihu Elements of Dynamic, ktorá bola na svoju dobu pokrokovým textom. Definoval súčin dvoch vektorov [24] tak, aby mali veľkosť rovnú ploche rovnobežníka, z ktorého sú dve strany, a smer kolmý na ich rovinu.

Oliver Heaviside a Josiah Willard Gibbs sa tiež domnievali, že kvartérne metódy boli príliš ťažkopádne a často vyžadovali extrakciu skalárnej alebo vektorovej časti výsledku. Tak asi štyridsať rokov po kvartónnom produkte boli predstavené bodový produkt a krížový produkt - k ostrej opozícii. Kľúčovou pre (prípadné) prijatie bola účinnosť nového prístupu, ktorý umožnil spoločnosti Heaviside redukovať rovnice elektromagnetizmu z Maxwellových pôvodných 20 na štyri bežne viditeľné dnes. [25]

Hermann Grassmann, ktorý bol na tomto vývoji do veľkej miery nezávislý a v tom čase veľmi nedocenený, vytvoril geometrickú algebru, ktorá sa neviaže na dimenziu dva alebo tri, pričom vonkajší produkt zohrával ústrednú úlohu. V roku 1853 Augustin-Louis Cauchy, súčasník spoločnosti Grassmann, publikoval prácu o algebraických kľúčoch, ktoré sa používali na riešenie rovníc a mali rovnaké multiplikačné vlastnosti ako krížový produkt. [26] [27] Clifford spojil algebry Hamiltona a Grassmanna za vzniku Cliffordovej algebry, kde sa v prípade trojrozmerných vektorov bivektor vyprodukovaný z dvoch vektorov dualizuje na vektor, čím reprodukuje krížový produkt.

Krížová notácia a názov „krížový produkt“ sa začali písmenom Gibbs. Pôvodne sa objavili v súkromne vydaných poznámkach pre jeho študentov v roku 1881 ako Prvky vektorovej analýzy. Užitočnosť pre mechaniku si všimol Aleksandr Kotelnikov. Gibbsova notácia a názov „cross product“ sa neskôr dostali k širokému publiku prostredníctvom Vector Analysis, učebnice Edwina Bidwella Wilsona, bývalého študenta. Wilson preusporiadal materiál z Gibbsových prednášok spolu s materiálmi z publikácií Heaviside, Föpps a Hamilton. Vektorovú analýzu rozdelil do troch častí:

Po prvé, to, čo sa týka sčítania a skalárnych a vektorových produktov vektorov. Po druhé, to, čo sa týka diferenciálneho a integrálneho počtu vo vzťahu k skalárnej a vektorovej funkcii. Po tretie, to, čo obsahuje teóriu lineárnej vektorovej funkcie.

Boli definované dva hlavné druhy násobenia vektorov a boli nazývané nasledovne:

  • The priamy, skalárnyalebo bodka súčin dvoch vektorov
  • The zošikmenie, vektoralebo kríž súčin dvoch vektorov

Skúmalo sa tiež niekoľko druhov trojitých produktov a produkty viac ako troch vektorov. Zahrnuté bolo aj vyššie spomenuté rozšírenie trojitého produktu.


Najjednoduchším príkladom vektorového priestoru je triviálny: <0>, ktorý obsahuje iba nulový vektor (pozri tretiu axiómu v článku Vektorový priestor). Sčítanie vektorov aj skalárne násobenie sú triviálne. Základom pre tento vektorový priestor je prázdna množina, takže <0> je 0-rozmerný vektorový priestor F. Každý vektorový priestor je nad F obsahuje podpriestor izomorfný k tomuto.

Nulový vektorový priestor je koncepčne odlišný od nulového priestoru lineárneho operátora Ľ, čo je jadro súboru Ľ. (Mimochodom, nulový priestor Ľ je nulový priestor vtedy a len vtedy Ľ je injekčný.)

Ďalším najjednoduchším príkladom je pole F sám. Sčítanie vektorov je iba sčítanie polí a skalárne násobenie je iba násobenie polí. Táto vlastnosť sa dá použiť na preukázanie toho, že pole je vektorový priestor. Akýkoľvek nenulový prvok F slúži ako základ tzv F je 1-rozmerný vektorový priestor nad sebou.

Toto pole je dosť zvláštny vektorový priestor, v skutočnosti je to najjednoduchší príklad a komutatívna algebra cez F. Tiež F má iba dva podpriestory: <0> a F sám.

Pôvodný príklad vektorového priestoru je nasledovný. Pre akékoľvek kladné celé číslo n, množina všetkých n- n-tice prvkov z F tvorí n-dimenzionálny vektorový priestor nad F niekedy sa volá súradnicový priestor a označil F n . Prvok z F n je napísané

kde každý Xi je prvkom F. Operácie dňa F n sú definované

Obyčajne F je pole reálnych čísel, v takom prípade získame skutočný súradnicový priestor R n . Pole komplexných čísel poskytuje komplexný súradnicový priestor C. n . The a + bi forma komplexného čísla to ukazuje C. sám o sebe je dvojrozmerný skutočný vektorový priestor so súradnicami (a,b). Podobne sú štvorčlenky a oktoniony štvorrozmerné a osemrozmerné reálne vektorové priestory a C. n je a 2n-rozmerný reálny vektorový priestor.

Vektorový priestor F n má štandardný základ:

kde 1 označuje multiplikatívnu identitu v F.

Poďme F ∞ označuje priestor nekonečných sekvencií prvkov z F také, že iba definitívne veľa prvkov je nenulových. Teda, ak napíšeme prvok F ∞ ako

potom iba konečný počet Xi sú nenulové (tj. súradnice sa po určitom bode stanú nulovými). Sčítanie a skalárne násobenie sú dané ako v priestore konečných súradníc. Rozmernosť F ∞ je nespočetne nekonečné. Štandardný základ tvoria vektory ei ktoré obsahujú 1 v i-tý slot a nuly inde. Tento vektorový priestor je koproduktom (alebo priamym súčtom) spočítateľne mnohých kópií vektorového priestoru F.

Tu si všimnite úlohu podmienky konečnosti. Dalo by sa uvažovať o ľubovoľných sekvenciách prvkov v F, ktoré tiež tvoria vektorový priestor s rovnakými operáciami, často označovaný znakom F N - Pozri nižšie. F N je výrobok z nespočetného množstva kópií F.

Podľa Zornovej lemmy, F N má základ (nie je zrejmý základ). V základe je nespočetne veľa nekonečných prvkov. Pretože rozmery sú rôzne, F N je nie izomorfný s F ∞. Stojí za zmienku, že F N je (izomorfný) dvojpriestor F ∞, pretože lineárna mapa T od F ∞ do F je určená jednoznačne jeho hodnotami T(ei) na základe prvkov F ∞ a tieto hodnoty môžu byť ľubovoľné. Vidíme teda, že vektorový priestor nemusí byť izomorfný so svojím dvojitým duálom, ak je nekonečný rozmerný, na rozdiel od konečného rozmerného prípadu.

Začať z n vektorové priestory alebo ich spočítateľne nekonečná zbierka, každá s rovnakým poľom, môžeme definovať produktový priestor ako vyššie.

Poďme F m×n označiť množinu m×n matice so záznamami v F. Potom F m×n je vektorový priestor nad F. Sčítanie vektorov je iba sčítanie matíc a skalárne násobenie je definované zrejmým spôsobom (vynásobením každej položky rovnakým skalárom). Nulový vektor je iba nulová matica. Rozmer F m×n je mn. Jednou z možných volieb základu sú matice s jediným záznamom rovným 1 a so všetkými ostatnými záznamami 0.

Kedy m = n matica je štvorcová a násobenie matice dvoch takýchto matíc vytvára tretiu. Tento vektorový priestor dimenzie n 2 vytvára algebru nad poľom.

Jedna premenná Upraviť

Sada polynómov s koeficientmi v F je vektorový priestor nad F, označené F[X]. Sčítanie vektorov a skalárne násobenie sú definované zrejmým spôsobom. Ak je stupeň polynómov neobmedzený, potom dimenzia F[X] je spočítateľne nekonečný. Ak sa namiesto toho obmedzíme na polynómy s mierou menšou alebo rovnou n, potom máme vektorový priestor s dimenziou n + 1.

Jeden možný základ pre F[X] je monomický základ: súradnice polynómu vzhľadom na tento základ sú jeho koeficienty a mapa vysielajúca polynóm do postupnosti jeho koeficientov je lineárny izomorfizmus z F[X] do nekonečného súradnicového priestoru F ∞ .

Vektorový priestor polynómov so skutočnými koeficientmi a stupňom menším alebo rovným n sa často označuje ako Pn.

Niekoľko premenných Upraviť

Súbor polynómov vo viacerých premenných s koeficientmi v F je vektorový priestor nad F označené F[X1, X2, …, Xr]. Tu r je počet premenných.

Poďme X byť neprázdna ľubovoľná množina a V. ľubovoľný vektorový priestor F. Priestor všetkých funkcií od X do V. je vektorový priestor nad F pod bodové sčítanie a násobenie. To znamená, nechajme f : XV. a g : XV. označiť dve funkcie a nechať α v F. Definujeme

kde sú operácie na pravej strane tie v V.. Nulový vektor je daný konštantnou funkciou, ktorá posiela všetko na nulový vektor v V.. Priestor všetkých funkcií od X do V. sa bežne označuje V. X .

Ak X je konečný a V. je potom konečno-dimenzionálny V. X má rozmer |X| (dim V.), inak je priestor nekonečno-dimenzionálny (nespočetne tak, ak X je nekonečný).

Mnoho z vektorových priestorov, ktoré vznikajú v matematike, sú podpriestormi nejakého funkčného priestoru. Uvádzame niekoľko ďalších príkladov.

Zovšeobecnený súradnicový priestor Upraviť

Poďme X byť ľubovoľná množina. Zvážte priestor všetkých funkcií od X do F ktoré zmiznú vo všetkých bodoch okrem konečného počtu v X. Tento priestor je vektorovým podpriestorom F X , priestor všetkých možných funkcií od X do F. Ak to chcete vidieť, všimnite si, že spojenie dvoch konečných množín je konečné, takže súčet dvoch funkcií v tomto priestore stále zmizne mimo konečnej množiny.

Vyššie opísaný priestor sa bežne označuje (F X )0 a je tzv zovšeobecnený súradnicový priestor z nasledujuceho dovodu. Ak X je množina čísel od 1 do n potom je tento priestor ľahko viditeľný ako ekvivalentný so súradnicovým priestorom F n . Rovnako, ak X je množina prirodzených čísel, N, potom je tento priestor spravodlivý F ∞ .

Kanonický základ pre (F X )0 je množina funkcií <>X | XX> definované

Rozmer (F X )0 sa teda rovná mohutnosti X. Týmto spôsobom môžeme zostrojiť vektorový priestor ľubovoľnej dimenzie na ľubovoľné pole. Ďalej každý vektorový priestor je izomorfný s jednou z týchto foriem. Akákoľvek voľba základu určuje izomorfizmus zaslaním základu na kanonický pre (F X )0.

Zovšeobecnený priestor súradníc možno chápať aj ako priamy súčet |X| kópie F (t. j. jeden pre každý bod v X):

Podmienka konečnosti je zabudovaná do definície priameho súčtu. Porovnajte to s priamym produktom zX| kópie F čo by poskytlo plný funkčný priestor F X .

Lineárne mapy Upraviť

Dôležitým príkladom vznikajúcim v kontexte samotnej lineárnej algebry je vektorový priestor lineárnych máp. Poďme Ľ(V.,Ž) označujú množinu všetkých lineárnych máp z V. do Ž (oba sú nad vektorovými priestormi F). Potom Ľ(V.,Ž) je podpriestorom Ž V. pretože je uzavretý pri sčítaní a skalárnom násobení.

Všimnite si, že L (F n ,F m ) možno identifikovať s priestorom matíc F m×n prirodzeným spôsobom. V skutočnosti výberom vhodných báz pre konečno-dimenzionálne priestory V a W, L (V, W) možno tiež identifikovať pomocou F m×n . Táto identifikácia zvyčajne závisí od voľby základu.

Kontinuálne funkcie Upraviť

Ak X je nejaký topologický priestor, napríklad jednotkový interval [0,1], môžeme brať do úvahy priestor všetkých spojitých funkcií od X do R. Toto je vektorový podpriestor R X pretože súčet akýchkoľvek dvoch spojitých funkcií je spojitý a skalárne násobenie je spojité.

Diferenciálne rovnice Edit

Podmnožina priestoru všetkých funkcií od R do R pozostávajúci z (dostatočne diferencovateľných) funkcií, ktoré uspokojujú určitú diferenciálnu rovnicu, je podpriestorom R R ak je rovnica lineárna. Je to preto, že diferenciácia je lineárna operácia, t. J. (a f + b g)′ = a f ′ + b g′, Kde ′ je operátor diferenciácie.

Predpokladajme K je podpole z F (porovnaj rozšírenie poľa). Potom F možno považovať za vektorový priestor nad K obmedzením skalárneho násobenia na prvky v K (sčítanie vektorov je definované ako normálne). Dimenzia tohto vektorového priestoru, ak existuje, [a] sa nazýva stupňa predĺženia. Napríklad komplexné čísla C. tvoria dvojrozmerný vektorový priestor nad reálnymi číslami R. Rovnako tak reálne čísla R vytvorte vektorový priestor nad racionálnymi číslami Q ktorá má (nespočetne) nekonečný rozmer, ak existuje Hamelov základ. [b]

Ak V. je vektorový priestor nad F môže sa tiež považovať za vektorový priestor K. Rozmery súvisia so vzorcom

dimKV. = (dimFV.) (dimKF)

Napríklad C. n , považovaný za vektorový priestor nad realitami, má dimenziu 2n.

Okrem triviálneho prípadu nulového priestoru nad ľubovoľným poľom, vektorového priestoru nad poľom F má konečný počet prvkov práve vtedy, ak F je konečné pole a vektorový priestor má konečný rozmer. Takto máme Fq, jedinečné konečné pole (až do izomorfizmu) s q prvkov. Tu q musí byť sila prvočísla (q = p m s p hlavný). Potom akýkoľvek n-rozmerný vektorový priestor V. cez Fq bude mať q n prvkov. Počet prvkov v V. je tiež moc prvočísla (pretože moc prvočísla je opäť prvočíslom). Primárnym príkladom takého priestoru je súradnicový priestor (Fq) n .

Tieto vektorové priestory majú rozhodujúci význam v teórii reprezentácie konečných skupín, teórii čísel a kryptografii.


1 odpoveď 1

Pretože $ Y $ je dimenzionálny lineárny priestor $ 6 $ nad $ mathbb F $, stačí dokázať, že $ $ je lineárne nezávislý. Predpokladajme, že $ a_u, a_v, b_u, b_v, c_u, c_v in mathbb F $ sú také, že

$ a_u u + a_v v + b_u T (u) + b_v T (v) + c_u T ^ 2 (u) + c_v T ^ 2 (v) = 0, $

Aplikáciou $ T ^ 2 $ na obidve strany tejto rovnosti získate podľa hypotézy $ a_u = a_v = 0 $. Potom použite $ T $ na zvyšné podmienky, $ b_u = b_v = 0 $. A opätovné použitie $ T $, $ c_u = c_v = 0 $.


Pozri si video: 12 - Vetores no espaço - Introdução (Október 2021).