Články

3.6: Grafy funkcií


Učebné ciele

Na konci tejto časti budete môcť:

  • Použite test zvislej čiary
  • Identifikujte grafy základných funkcií
  • Prečítajte si informácie z grafu funkcie

Než začnete, absolvujte tento kvíz o pripravenosti.

  1. Vyhodnotiť: ⓐ (2 ^ 3 ) ⓑ (3 ^ 2 ).
    Ak ste tento problém prehliadli, skontrolujte ho [odkaz].
  2. Vyhodnotiť: ⓐ (| 7 | ) ⓑ (| −3 | ).
    Ak ste tento problém prehliadli, skontrolujte ho [odkaz].
  3. Vyhodnoťte: ⓐ ( sqrt {4} ) ⓑ ( sqrt {16} ).
    Ak ste tento problém prehliadli, skontrolujte ho [odkaz].

Použite test zvislej čiary

V poslednej časti sme sa naučili, ako zistiť, či je relácia funkciou. Vzťahy, ktoré sme sledovali, boli vyjadrené ako množina usporiadaných párov, mapovanie alebo rovnica. Teraz sa pozrieme na to, ako zistiť, či je graf funkciou.

Usporiadaný pár ((x, y) ) je riešením lineárnej rovnice, ak je rovnica pravdivým výrokom, keď X- a r-hodnoty usporiadaného páru sú nahradené do rovnice.

Graf lineárnej rovnice je priamka, kde každý bod na priamke je riešením rovnice a každé riešenie tejto rovnice je bodom na tejto priamke.

V Obrázok, môžeme vidieť, že v grafe rovnice (y = 2x − 3 ) pre každú X-hodnota je iba jedna r- hodnota uvedená v sprievodnej tabuľke.

Relacia je funkcia, ak má každý prvok domény v rozsahu presne jednu hodnotu. Takže vzťah definovaný rovnicou (y = 2x − 3 ) je funkcia.

Ak sa pozrieme na graf, každá zvislá prerušovaná čiara pretína čiaru iba v jednom bode. To dáva zmysel ako vo funkcii pre každého X-hodnota je iba jedna r-hodnota.

Ak vertikálna čiara narazila na graf dvakrát, ikona X-hodnota by bola namapovaná na dve r-hodnoty, a tak by graf nereprezentoval funkciu.

To nás vedie k testu vertikálnej čiary. Množina bodov v obdĺžnikovom súradnicovom systéme je grafom funkcie, ak každá zvislá čiara pretína graf najviac v jednom bode. Ak ktorákoľvek zvislá čiara pretína graf vo viac ako jednom bode, graf nepredstavuje funkciu.

SKÚŠKA VERTIKÁLNEJ LINIE

Množina bodov v obdĺžnikovom súradnicovom systéme je grafom funkcie, ak každá zvislá čiara pretína graf najviac v jednom bode.

Ak ktorákoľvek zvislá čiara pretína graf vo viac ako jednom bode, graf nepredstavuje funkciu.

Príklad ( PageIndex {1} )

Určte, či je každý graf grafom funkcie.

Odpoveď

Ⓐ Pretože ľubovoľná zvislá čiara pretína graf najviac v jednom bode, graf je grafom funkcie.

Ⓑ Jedna zo zvislých čiar zobrazených v grafe ju pretína v dvoch bodoch. Tento graf nepredstavuje funkciu.

Príklad ( PageIndex {2} )

Určte, či je každý graf grafom funkcie.

Odpoveď

Ⓐ áno ⓑ nie

Príklad ( PageIndex {3} )

Určte, či je každý graf grafom funkcie.

Odpoveď

Ⓐ nie ⓑ áno

Identifikujte grafy základných funkcií

Pri vývoji testu zvislej čiary sme použili rovnicu (y = 2x − 3 ) a jej graf. Povedali sme, že vzťah definovaný rovnicou (y = 2x − 3 ) je funkcia.

Môžeme to napísať ako vo funkčnej notácii ako (f (x) = 2x − 3 ). Stále to znamená to isté. Graf funkcie je grafom všetkých usporiadaných párov ((x, y) ) kde (y = f (x) ). Takže môžeme zoradené páry zapísať ako ((x, f (x)) ). Vyzerá to inak, ale graf bude rovnaký.

Porovnajte graf (y = 2x − 3 ) predtým zobrazený v Obrázok s grafom (f (x) = 2x − 3 ) zobrazeným v Obrázok. Nezmenilo sa nič, iba notácia.

GRAF FUNKCIE

Graf funkcie je grafom všetkých jej usporiadaných párov, (x, y) (x, y) alebo pomocou zápisu funkcie, (x, f (x)) (x, f (x)), kde y = f ( x) .y = f (x).

[ begin {array} {ll} {f} & { text {name of function}} {x} & { text {x-coordinate of the ordered pair}} {f (x)} & { text {y-súradnice objednaného páru}} nonumber end {pole} ]

Pri postupe v našej štúdii je užitočné poznať grafy niekoľkých základných funkcií a vedieť ich identifikovať.

Prostredníctvom našej predchádzajúcej práce sme oboznámení s grafmi lineárnych rovníc. Proces, ktorým sme sa rozhodli, či (y = 2x − 3 ) je funkcia, by sa dal použiť na všetky lineárne rovnice. Všetky nevislé lineárne rovnice sú funkcie. Zvislé čiary nie sú funkciami ako X-hodnota má nekonečne veľa r-hodnoty.

Lineárne rovnice sme písali v niekoľkých formách, ale tu nám bude nanajvýš užitočné použiť smerovo-lineárny tvar lineárnej rovnice. Smernicový tvar lineárnej rovnice je (y = mx + b ). Pri funkčnej notácii sa táto lineárna funkcia stáva (f (x) = mx + b ) kde m je sklon priamky a b je r-intercept.

Doména je množina všetkých reálnych čísel a rozsah je tiež množina všetkých reálnych čísel.

LINEÁRNA FUNKCIA

Na znázornenie základných funkcií použijeme techniky grafov, ktoré sme používali už skôr.

Príklad ( PageIndex {4} )

Graf: (f (x) = - 2x − 4 ).

Odpoveď
(f (x) = - 2x − 4 )
Rozpoznávame to ako lineárnu funkciu.
Nájdite sklon a r-intercept. (m = -2)
(b = −4 )
Graf využívajúci sklon svahu.

Príklad ( PageIndex {5} )

Graf: (f (x) = - 3x − 1 )

Odpoveď

Príklad ( PageIndex {6} )

Graf: (f (x) = - 4x − 5 )

Odpoveď

Ďalšia funkcia, ktorej grafu sa pozrieme, sa nazýva konštantná funkcia a jej rovnica má tvar (f (x) = b ), kde b je akékoľvek reálne číslo. Ak nahradíme (f (x) ) y, dostaneme (y = b ). Rozoznávame to ako vodorovnú čiaru, ktorej r-intercept je b. Graf funkcie (f (x) = b ) je tiež vodorovná čiara, ktorej r-intercept je b.

Všimnite si, že pre každé reálne číslo, ktoré vložíme do funkcie, bude hodnota funkcie b. Toto nám hovorí, že rozsah má iba jednu hodnotu, b.

TRVALÁ FUNKCIA

Príklad ( PageIndex {7} )

Graf: (f (x) = 4 ).

Odpoveď
(f (x) = 4 )
Rozpoznávame to ako konštantnú funkciu.
Graf bude vodorovnou čiarou cez ((0,4) ).

Príklad ( PageIndex {8} )

Graf: (f (x) = - 2 ).

Odpoveď

Príklad ( PageIndex {9} )

Graf: (f (x) = 3 ).

Odpoveď

Funkcia identity (f (x) = x ) je špeciálny prípad lineárnej funkcie. Ak to napíšeme vo forme lineárnej funkcie, (f (x) = 1x + 0 ), vidíme, že sklon je 1 a r-intercept je 0.

FUNKCIA IDENTITY

Ďalšia funkcia, na ktorú sa pozrieme, nie je lineárna funkcia. Graf teda nebude čiara. Jedinou metódou, ktorú musíme urobiť na grafe tejto funkcie, je bodové vykreslenie. Pretože toto je neznáma funkcia, musíme zvoliť niekoľko kladných a záporných hodnôt a tiež 0 pre naše hodnoty x.

Graf: (f (x) = x ^ 2 ).

Odpoveď

Vyberáme X-hodnoty. Nahradíme ich a potom vytvoríme graf, ako je to znázornené.

Príklad ( PageIndex {11} )

Graf: (f (x) = x ^ 2 ).

Odpoveď

Príklad ( PageIndex {12} )

(f (x) = - x ^ 2 )

Odpoveď

Pri pohľade na výsledok v Príklad, môžeme zhrnúť vlastnosti štvorcovej funkcie. Tento graf nazývame parabola. Keď vezmeme do úvahy doménu, všimnite si, že akékoľvek skutočné číslo možno použiť ako X-hodnota. Doménou sú všetky reálne čísla.

Rozsah nie sú všetky reálne čísla. Všimnite si, že graf sa skladá z hodnôt r nikdy nechoď pod nulu. To dáva zmysel, pretože štvorec ľubovoľného čísla nemôže byť záporný. Rozsah štvorcovej funkcie sú teda všetky nezáporné reálne čísla.

FUNKCIA ŠTVORCA

Ďalšia funkcia, na ktorú sa pozrieme, tiež nie je lineárnou funkciou, takže graf nebude čiarou. Opäť použijeme bodové vykreslenie a nezabudneme zvoliť niekoľko pozitívnych a negatívnych hodnôt, ako aj 0 pre našu X-hodnoty.

Graf: (f (x) = x ^ 3 ).

Odpoveď

Vyberáme X-hodnoty. Dosadíme ich dovnútra a potom vytvoríme graf.

Príklad ( PageIndex {14} )

Graf: (f (x) = x ^ 3 ).

Odpoveď

Príklad ( PageIndex {15} )

Graf: (f (x) = - x ^ 3 ).

Odpoveď

Pri pohľade na výsledok v Príklad, môžeme zhrnúť vlastnosti funkcie kocky. Doménou sú všetky reálne čísla.

Rozsah sú všetky reálne čísla. To dáva zmysel, pretože kocka ľubovoľného nenulového čísla môže byť kladná alebo záporná. Takže rozsah funkcie kocky sú všetky reálne čísla.

FUNKCIA Kocky

Ďalšia funkcia, na ktorú sa pozrieme, nebude druhé vstupné hodnoty kockovať alebo kockovať, ale skôr bude brať druhú odmocninu z týchto hodnôt.

Vytvorme graf funkcie (f (x) = sqrt {x} ) a potom zhrňme funkcie. Pamätajte, že môžeme brať iba druhú odmocninu nezáporných reálnych čísel, takže našou doménou budú nezáporné reálne čísla.

Príklad ( PageIndex {16} )

(f (x) = sqrt {x} )

Odpoveď

Vyberáme X-hodnoty. Pretože budeme brať druhú odmocninu, vyberáme čísla, ktoré sú dokonalými štvorcami, aby sme si uľahčili prácu. Dosadíme ich dovnútra a potom vytvoríme graf.

Príklad ( PageIndex {17} )

Graf: (f (x) = x ).

Odpoveď

Príklad ( PageIndex {18} )

Graf: (f (x) = - sqrt {x} ).

Odpoveď

FUNKCIA ŠTVORCOVÉHO KORENIA

Našou poslednou základnou funkciou je funkcia absolútnej hodnoty (f (x) = | x | ). Majte na pamäti, že absolútna hodnota čísla je jeho vzdialenosť od nuly. Pretože nikdy nemeriame vzdialenosť ako záporné číslo, v rozsahu nikdy nedostaneme záporné číslo.

Graf: (f (x) = | x | ).

Odpoveď

Vyberáme X-hodnoty. Dosadíme ich dovnútra a potom vytvoríme graf.

Príklad ( PageIndex {20} )

Graf: (f (x) = | x | ).

Odpoveď

Príklad ( PageIndex {21} )

Graf: (f (x) = - | x | ).

Odpoveď

FUNKCIA ABSOLÚTNEJ HODNOTY

Prečítajte si informácie z grafu funkcie

V prírodných a obchodných vedách sa údaje často zhromažďujú a potom sa zobrazujú v grafoch. Graf sa analyzuje, informácie sa získavajú z grafu a potom sa z údajov často vytvárajú predpovede.

Začneme načítaním domény a rozsahu funkcie z jej grafu.

Pamätajte, že doména je množina všetkých X-hodnoty v usporiadaných pároch vo funkcii. Ak chceme nájsť doménu, pozrieme sa na graf a nájdeme všetky jej hodnoty X ktoré majú zodpovedajúcu hodnotu v grafe. Postupujte podľa hodnoty X hore alebo dole zvisle. Ak narazíte na graf funkcie, potom X je v doméne.

Pamätajte, že rozsah je množina všetkých r-hodnoty v usporiadaných pároch vo funkcii. Ak chceme zistiť rozsah, pozrieme sa na graf a nájdeme všetky jeho hodnoty r ktoré majú zodpovedajúcu hodnotu v grafe. Postupujte podľa hodnoty r vľavo alebo vpravo vodorovne. Ak narazíte na graf funkcie, potom r je v rozmedzí.

Príklad ( PageIndex {22} )

Pomocou grafu funkcie vyhľadajte jej doménu a rozsah. Napíš doménu a rozsah v intervalovom zápise.

Odpoveď

Ak chceme nájsť doménu, pozrieme sa na graf a nájdeme všetky jej hodnoty X ktoré zodpovedajú bodu v grafe. Doména je v grafe zvýraznená červenou farbou. Doména je ([- 3,3] ).

Ak chceme zistiť rozsah, pozrieme sa na graf a nájdeme všetky jeho hodnoty r ktoré zodpovedajú bodu v grafe. Rozsah je v grafe zvýraznený modrou farbou. Rozsah je ([- 1,3] ).

Príklad ( PageIndex {23} )

Pomocou grafu funkcie vyhľadajte jej doménu a rozsah. Napíš doménu a rozsah v intervalovom zápise.

Odpoveď

Doména je ([- 5,1] ). Rozsah je ([- 4,2] ).

Príklad ( PageIndex {24} )

Pomocou grafu funkcie vyhľadajte jej doménu a rozsah. Napíš doménu a rozsah v intervalovom zápise.

Odpoveď

Doména je ([- 2,4] ). Rozsah je ([- 5,3] ).

Teraz si prečítame informácie z grafu, ktoré môžete vidieť v budúcich hodinách matematiky.

Príklad ( PageIndex {25} )

Pomocou grafu funkcie nájdite indikované hodnoty.

Ⓐ Nájsť: (f (0) ).
Ⓑ Nájsť: (f (32 pi) ).
Ⓒ Nájsť: (f (−12 pi) ).
Ⓓ Nájdite hodnoty pre X keď (f (x) = 0 ).
Ⓔ Nájdite X- koncepty.
Ⓕ Nájdite r- koncepty.
Ⓖ Nájdite doménu. Napíš to do intervalového zápisu.
Ⓗ Nájdite rozsah. Napíš to do intervalového zápisu.

Odpoveď

Ⓐ Keď (x = 0 ), funkcia pretína r-osa na 0. Takže, (f (0) = 0 ).
Ⓑ Keď (x = 32 pi ), znak r-hodnota funkcie je (- 1 ). Takže (f (32 pi) = - 1 ).
Ⓒ Keď (x = −12 pi ), znak r-hodnota funkcie je (- 1 ). Takže (f (−12 pi) = - 1 ).
Ⓓ Funkcia je 0 v bodoch, ((- - 2 pi, 0), (- pi, 0), (0,0), ( pi, 0), (2 pi, 0) ) . The X-hodnoty, keď (f (x) = 0 ) sú (- 2 pi, - pi, 0, pi, 2 pi ).
X-koncepty sa vyskytujú, keď (y = 0 ). Takže X-koncepty sa vyskytujú, keď (f (x) = 0 ). The X-koncepty sú ((- 2 pi, 0), (- pi, 0), (0,0), ( pi, 0), (2 pi, 0) ).
r-koncepty sa vyskytujú, keď x = 0,x = 0. Takže r-koncepty sa vyskytujú na (f (0) ). The r-intercept je ((0,0) ).
Ⓖ Táto funkcia má hodnotu, keď X je od (- 2 pi ) do (2 pi ). Preto je doména v intervalovom zápise ([- 2 pi, 2 pi] ).
Ⓗ Táto funkcia má hodnotu, príp r-hodnoty idú z (- 1 ) do 1. Preto je rozsah v intervalovom zápise ([- 1,1] ).

Príklad ( PageIndex {26} )

Pomocou grafu funkcie nájdite indikované hodnoty.

Ⓐ Nájsť: f (0) .f (0).
Ⓑ Nájsť: f (12 pi) .f (12 pi).
Ⓒ Nájsť: f (−32 pi) .f (−32 pi).
Ⓓ Nájdite hodnoty pre X keď f (x) = 0,f (x) = 0.
Ⓔ Nájdite X- koncepty.
Ⓕ Nájdite r- koncepty.
Ⓖ Nájdite doménu. Napíš to do intervalového zápisu.

Odpoveď

Ⓐ (f (0) = 0 ) ⓑ (f = ( pi2) = 2 ) ⓒ (f = (- 3 pi2) = 2 ) ⓓ (f (x) = 0 ) pre (x = -2 pi, - pi, 0, pi, 2 pi ) ⓔ ((- - 2 pi, 0), (- pi, 0), (0,0), ( pi, 0), (2 pi, 0) ) ⓕ (0,0) (0,0) ⓖ ([- 2 pi, 2 pi] ) ⓗ ([- 2,2 ] )

Príklad ( PageIndex {27} )

Pomocou grafu funkcie nájdite indikované hodnoty.

Ⓐ Nájsť: (f (0) ).
Ⓑ Nájsť: (f ( pi) ).
Ⓒ Nájsť: (f (- pi) ).
Ⓓ Nájdite hodnoty pre X keď (f (x) = 0 ).
Ⓔ Nájdite X- koncepty.
Ⓕ Nájdite r- koncepty.
Ⓖ Nájdite doménu. Napíš to do intervalového zápisu.

Odpoveď

Ⓐ (f (0) = 1 ) ⓑ (f ( pi) = - 1 ) ⓒ (f (- pi) = - 1 ) ⓓ (f (x) = 0 ) pre (x = -3 pi2, - pi2, pi2,3 pi2 ) ⓔ ((- - 2pi, 0), (- pi, 0), (0,0), (pi, 0), (2pi, 0) ) ⓕ ((0,1) ) ⓖ ([- 2pi, 2pi] ) ⓗ ([- 1,1] )

Prístup k tomuto zdroju online pre ďalšie inštruktáže a precvičenie pomocou grafov funkcií.

  • Nájdite doménu a rozsah


Pozri si video: MATURA 2021 MATEMATYKA Odczytywanie własności funkcji z wykresu PEWNIAK funkcje (Október 2021).