Články

3.4: Limity a spojitosť - matematika


Učebné ciele

  • Vypočítajte limit funkcie dvoch premenných.
  • Naučte sa, ako sa funkcia dvoch premenných môže priblížiť k rôznym hodnotám na hranici bodu, v závislosti od cesty prístupu.
  • Uveďte podmienky spojitosti funkcie dvoch premenných.
  • Overte spojitosť funkcie dvoch premenných v bode.
  • Vypočítajte limit funkcie troch alebo viacerých premenných a overte spojitosť funkcie v bode.

Teraz sme preskúmali funkcie viac ako jednej premennej a videli sme, ako ich grafovať. V tejto časti vidíme, ako vziať limit funkcie viac ako jednej premennej a čo to znamená, keď je funkcia viac ako jednej premennej spojitá v bode v jej doméne. Ukázalo sa, že tieto koncepty majú aspekty, ktoré sa pri funkciách jednej premennej jednoducho nevyskytujú.

Limit funkcie dvoch premenných

Pripomeňme z časti 2.5, že definícia limitu funkcie jednej premennej:

Nech (f (x) ) je definované pre všetky (x ≠ a ) v otvorenom intervale obsahujúcom (a ). Nech (L ) je reálne číslo. Potom

[ lim_ {x → a} f (x) = L ]

ak pre každé (ε> 0, ) existuje (δ> 0 ), také, že ak (0 <| x − a | <δ ) pre všetky (x ) v doméne (f ), potom

[| f (x) −L | <ε. ]

Predtým, ako budeme môcť prispôsobiť túto definíciu tak, aby definovala limit funkcie dvoch premenných, je potrebné najskôr zistiť, ako rozšíriť myšlienku otvoreného intervalu v jednej premennej na otvorený interval v dvoch premenných.

Definícia: ( delta ) Disky

Zvážte bod ((a, b) ∈ mathbb {R} ^ 2. ) A (δ ) disk so stredom v bode ((a, b) ) je definovaný ako otvorený disk s polomerom (δ ) so stredom v bode ((a, b) ) - to je,

[ {(x, y) ∈ mathbb {R} ^ 2∣ (x − a) ^ 2 + (y − b) ^ 2 <δ ^ 2 } ]

ako je znázornené na obrázku ( PageIndex {1} ).

Myšlienka disku (δ ) sa objavuje v definícii limitu funkcie dvoch premenných. Ak je (δ ) malé, potom všetky body ((x, y) ) na disku (δ ) sú blízko ((a, b) ). Toto je úplne analogické s tým, že x je blízke a v definícii limitu funkcie jednej premennej. V jednej dimenzii vyjadrujeme toto obmedzenie ako

[a - δ

Vo viac ako jednej dimenzii používame disk (δ ).

Definícia: limit funkcie dvoch premenných

Nech (f ) je funkciou dvoch premenných, (x ) a (y ). Limit (f (x, y) ), keď sa ((x, y) ) blíži ((a, b) ) je (L ), písomná

[ lim _ {(x, y) → (a, b)} f (x, y) = L ]

ak pre každé (ε> 0 ) existuje dostatočne malé (δ> 0 ) také, že pre všetky body ((x, y) ) na (δ ) disku okolo ((a, b) ), s výnimkou prípadu ((a, b) ) samotného, ​​hodnota (f (x, y) ) nie je vzdialená viac ako (ε ) od (L ) (obrázok ( PageIndex {2} )).

Pomocou symbolov napíšeme nasledovné: Pre ľubovoľné (ε> 0 ) existuje také číslo (δ> 0 ), že

[| f (x, y) −L | <ε ]

kedykoľvek

[0 < sqrt {(x − a) ^ 2 + (y − b) ^ 2} <δ. ]

Preukázanie existencie limitu pomocou definície a limit funkcie dvoch premenných môže byť náročné. Namiesto toho použijeme nasledujúcu vetu, ktorá nám poskytne skratky pri hľadaní limitov. Vzorce v tejto vete sú rozšírením vzorcov v teórii limitných zákonov v Limitných zákonoch.

Limitné zákony pre funkcie dvoch premenných

Nech (f (x, y) ) a (g (x, y) ) sú definované pre všetky ((x, y) ≠ (a, b) ) v susedstve okolo ((a, b) ) a predpokladajme, že okolie je obsiahnuté úplne vo vnútri domény (f ). Predpokladajme, že (L ) a (M ) sú také skutočné čísla

[ lim _ {(x, y) → (a, b)} f (x, y) = L ]

a

[ lim _ {(x, y) → (a, b)} g (x, y) = M, ]

a nech (c ) je konštanta. Potom platí každé z nasledujúcich tvrdení:

Konštantné právo:

[ lim _ {(x, y) → (a, b)} c = c ]

Zákony o totožnosti:

[ lim _ {(x, y) → (a, b)} x = a ]

[ lim _ {(x, y) → (a, b)} y = b ]

Zákon o súčte:

[ lim _ {(x, y) → (a, b)} (f (x, y) + g (x, y)) = L + M ]

Zákon rozdielu:

[ lim _ {(x, y) → (a, b)} (f (x, y) −g (x, y)) = L − M ]

Konštantné viacnásobné právo:

[ lim _ {(x, y) → (a, b)} (porovnaj (x, y)) = cL ]

Zákon o produkte:

[ lim _ {(x, y) → (a, b)} (f (x, y) g (x, y)) = LM ]

Kvocient zákona:

[ lim _ {(x, y) → (a, b)} dfrac {f (x, y)} {g (x, y)} = dfrac {L} {M} text {pre} M ≠ 0 ]

Zákon moci:

[ lim _ {(x, y) → (a, b)} (f (x, y)) ^ n = L ^ n ]

pre každé kladné celé číslo (n ).

Koreňový zákon:

[ lim _ {(x, y) → (a, b)} sqrt [n] {f (x, y)} = sqrt [n] {L} ]

pre všetky (L ), ak (n ) je nepárne a kladné, a pre (L≥0 ), ak n je párne a kladné.

Dôkazy týchto vlastností sú podobné ako v prípade limitov funkcií jednej premennej. Tieto zákony môžeme uplatniť pri hľadaní obmedzení rôznych funkcií.

Príklad ( PageIndex {1} ): Nájdenie limitu funkcie dvoch premenných

Nájdite každý z nasledujúcich limitov:

  1. ( Displaystyle lim _ {(x, y) → (2, −1)} (x ^ 2−2xy + 3y ^ 2−4x + 3y − 6) )
  2. ( Displaystyle lim _ {(x, y) → (2, −1)} dfrac {2x + 3y} {4x − 3y} )

Riešenie

a. Najskôr použite zákony o súčtoch a rozdieloch na oddelenie výrazov:

[ begin {align *} lim _ {(x, y) → (2, −1)} (x ^ 2−2xy + 3y ^ 2−4x + 3y − 6) = left ( lim_ { (x, y) → (2, −1)} x ^ 2 doprava) - doľava ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} 2xy doprava) + doľava ( lim_ { (x, y) → (2, −1)} 3r ^ 2 doprava) - doľava ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} 4x doprava) + doľava ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} 3 r doprava) - doľava ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} 6 doprava). end {zarovnať *} ]

Ďalej použite konštantné násobné právo na druhý, tretí, štvrtý a piaty limit:

[ begin {align *} = ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} x ^ 2) −2 ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} xy ) +3 ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} y ^ 2) −4 ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} x) [4pt] +3 ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} y) - lim _ {(x, y) → (2, −1)} 6. end {zarovnať *} ]

Teraz použite zákon moci na prvom a treťom limite a zákon o produkte na druhom limite:

[ begin {align *} left ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} x right) ^ 2−2 left ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} x vpravo) doľava ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} y vpravo) +3 doľava ( lim _ {(x, y) → (2, −1 )} y pravý) ^ 2 −4 ľavý ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} x pravý) +3 ľavý ( lim _ {(x, y) → ( 2, −1)} y vpravo) - lim _ {(x, y) → (2, −1)} 6. end {zarovnať *} ]

Na záver použite zákony o totožnosti pre prvých šesť limitov a konštantný zákon o poslednom limite:

[ begin {align *} lim _ {(x, y) → (2, −1)} (x ^ 2−2xy + 3y ^ 2−4x + 3y − 6) = (2) ^ 2−2 ( 2) (- 1) +3 (−1) ^ 2−4 (2) +3 (−1) −6 [4pt] = −6. end {zarovnať *} ]

b. Pred uplatnením zákona o kvocientoch si musíme overiť, či je hranica menovateľa nenulová. Pomocou rozdielového zákona, konštantného viacnásobného zákona a zákona o totožnosti

[ begin {align *} lim _ {(x, y) → (2, −1)} (4x − 3y) = lim _ {(x, y) → (2, −1)} 4x− lim_ {(x, y) → (2, −1)} 3y [4pt] = 4 ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} x) -3 ( lim _ {(x, y) → (2, -1)} y) [4pt] = 4 (2) -3 (-1) = 11. end {zarovnať *} ]

Pretože limit menovateľa je nenulový, použije sa zákon o kvociente. Teraz vypočítame limit čitateľa pomocou rozdielového zákona, zákona konštantných násobkov a zákona identity:

[ begin {align *} lim _ {(x, y) → (2, −1)} (2x + 3y) = lim _ {(x, y) → (2, −1)} 2x + lim_ { (x, y) → (2, −1)} 3r [4pt] = 2 ( lim _ {(x, y) → (2, −1)} x) +3 ( lim _ {(x, y) ) → (2, -1)} y) [4pt] = 2 (2) +3 (-1) = 1. end {zarovnať *} ]

Preto podľa kvocientového zákona, ktorý máme

[ begin {align *} lim _ {(x, y) → (2, −1)} dfrac {2x + 3y} {4x − 3y} = dfrac { displaystyle lim _ {(x, y) → (2, −1)} (2x + 3y)} { displaystyle lim _ {(x, y) → (2, −1)} (4x − 3y)} [4pt] = dfrac {1} {11}. end {zarovnať *} ]

Cvičenie ( PageIndex {1} ):

Vyhodnoťte nasledujúci limit:

[ lim _ {(x, y) → (5, −2)} sqrt [3] { dfrac {x ^ 2 − y} {y ^ 2 + x − 1}}. nonumber ]

Pomôcka

Používajte zákony o limitoch.

Odpoveď

[ Displaystyle lim _ {(x, y) → (5, −2)} sqrt [3] { dfrac {x ^ 2 − y} {y ^ 2 + x − 1}} = dfrac {3 } {2} nonumber ]

Pretože berieme limit funkcie dvoch premenných, bod ((a, b) ) je v ( mathbb {R} ^ 2 ) a k tomuto bodu je možné pristupovať z nekonečného počtu smerov. Odpoveď sa niekedy pri výpočte limitu líši v závislosti od cesty k ((a, b) ). Ak je to tak, potom limit neexistuje. Inými slovami, limit musí byť jedinečný bez ohľadu na zvolenú cestu.

Príklad ( PageIndex {2} ): Limity, ktoré neexistujú

Ukážte, že neexistuje ani jedno z nasledujúcich obmedzení:

  1. ( Displaystyle lim _ {(x, y) → (0,0)} dfrac {2xy} {3x ^ 2 + y ^ 2} )
  2. ( Displaystyle lim _ {(x, y) → (0,0)} dfrac {4xy ^ 2} {x ^ 2 + 3y ^ 4} )

Riešenie

a. Doménu funkcie (f (x, y) = dfrac {2xy} {3x ^ 2 + y ^ 2} ) tvoria všetky body v rovine (xy ) - okrem bodu (( 0,0) ) (Obrázok ( PageIndex {3} )). Aby sme ukázali, že limit neexistuje, pretože ((x, y) ) sa blíži ((0,0) ), všimneme si, že nie je možné splniť definíciu limitu funkcie dvoch premenných z dôvodu skutočnosť, že funkcia nadobúda rôzne hodnoty pozdĺž rôznych priamok prechádzajúcich bodom ((0,0) ). Najskôr zvážte riadok (y = 0 ) v (rovine xy. ) Nahradenie (y = 0 ) do (f (x, y) ) dáva

[f (x, 0) = dfrac {2x (0)} {3x ^ 2 + 0 ^ 2} = 0 nonumber ]

pre ľubovoľnú hodnotu (x ). Preto hodnota (f ) zostáva konštantná pre akýkoľvek bod na osi (x ) - a keď sa (y ) blíži k nule, funkcia zostáva fixná na nule.

Ďalej zvážte riadok (y = x ). Nahradenie (y = x ) do (f (x, y) ) dáva

[f (x, x) = dfrac {2x (x)} {3x ^ 2 + x ^ 2} = dfrac {2x ^ 2} {4x ^ 2} = tfrac {1} {2}. nonumber ]

To platí pre akýkoľvek bod na priamke (y = x ). Ak necháme (x ) priblížiť sa k nule, zatiaľ čo zostaneme na tomto riadku, hodnota funkcie zostane nemenná na ( tfrac {1} {2} ), bez ohľadu na to, aká malá je (x ).

Vyberte hodnotu pre ε, ktorá je menšia ako (1/2 ) - povedzme (1/4 ). Potom bez ohľadu na to, aký malý disk (δ ) nakreslíme okolo ((0,0) ), hodnoty (f (x, y) ) pre body vo vnútri tohto (δ ) disku budú zahrňte obidve (0 ) a ( tfrac {1} {2} ). Preto nikdy nie je splnená definícia limitu v danom bode a limit neexistuje.

b. Podobným spôsobom ako a. Môžeme pristupovať k počiatku ľubovoľnou priamkou prechádzajúcou počiatkom. Ak vyskúšame os (x ) - (tj. (Y = 0 )), potom funkcia zostane fixná na nule. To isté platí pre os (y ) -. Predpokladajme, že sa k počiatku blížime po priamke sklonu (k ). Rovnica tohto riadku je (y = kx ). Potom sa stane limit

[ begin {align *} lim _ {(x, y) → (0,0)} dfrac {4xy ^ 2} {x ^ 2 + 3y ^ 4} = lim _ {(x, y) → ( 0,0)} dfrac {4x (kx) ^ 2} {x ^ 2 + 3 (kx) ^ 4} = lim _ {(x, y) → (0,0)} dfrac {4k ^ 2x ^ 3} {x ^ 2 + 3k ^ 4x ^ 4} = lim _ {(x, y) → (0,0)} dfrac {4k ^ 2x} {1 + 3k ^ 4x ^ 2} = dfrac { displaystyle lim _ {(x, y) → (0,0)} (4k ^ 2x)} { displaystyle lim _ {(x, y) → (0,0)} (1 + 3k ^ 4x ^ 2)} = 0. end {align *} ]

bez ohľadu na hodnotu (k ). Zdalo by sa, že limit sa rovná nule. Čo keby sme namiesto toho vybrali krivku prechádzajúcu počiatkom? Napríklad môžeme uvažovať o parabole danej rovnicou (x = y ^ 2 ). Nahradenie (y ^ 2 ) namiesto (x ) v (f (x, y) ) dáva

[ begin {align *} lim _ {(x, y) → (0,0)} dfrac {4xy ^ 2} {x ^ 2 + 3y ^ 4} = lim _ {(x, y) → ( 0,0)} dfrac {4 (y ^ 2) y ^ 2} {(y ^ 2) ^ 2 + 3y ^ 4} = lim _ {(x, y) → (0,0)} dfrac {4y ^ 4} {y ^ 4 + 3y ^ 4} = lim _ {(x, y) → (0,0)} 1 = 1. end {zarovnať *} ]

Podľa rovnakej logiky v časti a je nemožné nájsť disk δ okolo počiatku, ktorý spĺňa definíciu limitu pre ľubovoľnú hodnotu (ε <1. ) Preto

[ Displaystyle lim _ {(x, y) → (0,0)} dfrac {4xy ^ 2} {x ^ 2 + 3y ^ 4} nonumber ]

robí nie existujú.

Cvičenie ( PageIndex {2} ):

Ukáž to

[ lim _ {(x, y) → (2,1)} dfrac {(x − 2) (y − 1)} {(x − 2) ^ 2 + (y − 1) ^ 2} nečíslo ]

neexistuje.

Pomôcka

Vyberte priamku so sklonom (k ) prechádzajúcim bodom ((2,1). )

Odpoveď

Ak (y = k (x − 2) +1, ), potom ( lim _ {(x, y) → (2,1)} dfrac {(x − 2) (y − 1)} {( x − 2) ^ 2 + (y − 1) ^ 2} = dfrac {k} {1 + k ^ 2} ). Pretože odpoveď závisí od (k, ), limit neexistuje.

Vnútorné body a hraničné body

Aby sme mohli študovať kontinuitu a diferencovateľnosť funkcie dvoch alebo viacerých premenných, musíme sa najskôr naučiť novú terminológiu.

Definícia: interiér a hraničné body

Nech (S ) je podmnožinou ( mathbb {R} ^ 2 ) (Obrázok ( PageIndex {4} )).

  1. Bod (P_0 ) sa nazýva vnútorný bod z (S ), ak existuje (δ ) disk sústredený okolo (P_0 ) obsiahnutý úplne v (S ).
  2. Bod (P_0 ) sa nazýva a hraničný bod z (S ), ak každý (δ ) disk sústredený okolo (P_0 ) obsahuje body zvnútra aj zvonku (S ).

Definícia: Otvorené a uzavreté množiny

Nech (S ) je podmnožinou ( mathbb {R} ^ 2 ) (Obrázok ( PageIndex {4} )).

  1. (S ) sa nazýva otvorená sada ak je každý bod (S ) vnútorným bodom.
  2. (S ) sa nazýva a uzavretá sada ak obsahuje všetky svoje hraničné body.

Príkladom otvorenej množiny je disk (δ ). Ak zahrnieme hranicu disku, stane sa z neho uzavretá množina. Sada, ktorá obsahuje niektoré, ale nie všetky, svoje hraničné body, nie je ani otvorená, ani uzavretá. Napríklad ak zahrnieme polovicu hranice disku (δ ), ale nie druhú polovicu, potom množina nie je ani otvorená, ani uzavretá.

Definícia: spojené množiny a regióny

Nech (S ) je podmnožinou ( mathbb {R} ^ 2 ) (Obrázok ( PageIndex {4} )).

  1. Otvorená množina (S ) je a pripojená sada ak to nemôže byť reprezentované ako spojenie dvoch alebo viacerých disjunktných, neprázdnych otvorených podmnožín.
  2. Množina (S ) je a regiónu ak je otvorený, spojený a neprázdny.

Definícia limitu funkcie dvoch premenných vyžaduje, aby disk (δ ) bol obsiahnutý vo vnútri domény funkcie. Ak však chceme nájsť hranicu funkcie v hraničnom bode domény, znak (δ ) disk nie je obsiahnutý vo vnútri domény. Podľa definície sú niektoré body (δ ) disk sú vo vnútri domény a niektoré sú mimo. Preto musíme brať do úvahy iba body, ktoré sú vo vnútri disku (δ ) aj v doméne funkcie. To vedie k definovaniu limitu funkcie v hraničnom bode.

Definícia

Nech (f ) je funkciou dvoch premenných, (x ) a (y ), a predpokladajme, že ((a, b) ) je na hranici domény (f ). Potom je limit (f (x, y) ), keď sa ((x, y) ) blíži ((a, b) ), je (L ), napísaný

[ lim _ {(x, y) → (a, b)} f (x, y) = L, ]

ak pre ľubovoľné (ε> 0, ) existuje také číslo (δ> 0 ), že pre akýkoľvek bod ((x, y) ) vo vnútri domény (f ) a v rámci vhodne malého kladná vzdialenosť (δ ) ((a, b), ) hodnota (f (x, y) ) nie je vzdialená viac ako (ε ) od (L ) (obrázok ( PageIndex {2} )). Pomocou symbolov môžeme napísať: Pre ľubovoľné (ε> 0 ) existuje také číslo (δ> 0 ), že

[| f (x, y) −L | <ε , text {kedykoľvek} , 0 < sqrt {(x − a) ^ 2 + (y − b) ^ 2} <δ. ]

Príklad ( PageIndex {3} ): Limit funkcie v hraničnom bode

Dokázať

[ lim _ {(x, y) → (4,3)} sqrt {25 − x ^ 2 − y ^ 2} = 0. nonumber ]

Riešenie

Doména funkcie (f (x, y) = sqrt {25 − x ^ 2 − y ^ 2} ) je ( big {(x, y) ∈ mathbb {R} ^ 2∣ x ^ 2 + y ^ 2≤25 big } ), čo je kruh s polomerom (5 ) vystredený na počiatku spolu s jeho vnútorným priestorom, ako je to znázornené na obrázku ( PageIndex {5} ).

Môžeme použiť limitné zákony, ktoré platia pre limity na hranici domén aj vnútorných bodov:

[ begin {align *} lim _ {(x, y) → (4,3)} sqrt {25 − x ^ 2 − y ^ 2} = sqrt { lim _ {(x, y) → ( 4,3)} (25 − x ^ 2 − y ^ 2)} = sqrt { lim _ {(x, y) → (4,3)} 25− lim _ {(x, y) → ( 4,3)} x ^ 2− lim _ {(x, y) → (4,3)} y ^ 2} = sqrt {25−4 ^ 2−3 ^ 2} = 0 end {zarovnať *} ]

Pozri nasledujúci graf.

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Vyhodnoťte nasledujúci limit:

[ lim _ {(x, y) → (5, −2)} sqrt {29 − x ^ 2 − y ^ 2}. nonumber ]

Pomôcka

Určte doménu (f (x, y) = sqrt {29 − x ^ 2 − y ^ 2} ).

Odpoveď

[ lim _ {(x, y) → (5, −2)} sqrt {29 − x ^ 2 − y ^ 2} nonumber ]

Spojitosť funkcií dvoch premenných

V Kontinuite sme definovali spojitosť funkcie jednej premennej a videli sme, ako sa spoliehala na limit funkcie jednej premennej. Najmä sú potrebné tri podmienky, aby (f (x) ) bola spojitá v bode (x = a )

  1. (f (a) ) existuje.
  2. ( Displaystyle lim_ {x → a} f (x) ) existuje.
  3. ( Displaystyle lim_ {x → a} f (x) = f (a). )

Tieto tri podmienky sú nevyhnutné aj pre spojitosť funkcie dvoch premenných.

Definícia: spojité funkcie

Funkcia (f (x, y) ) je spojitá v bode ((a, b) ) vo svojej doméne, ak sú splnené nasledujúce podmienky:

  1. (f (a, b) ) existuje.
  2. ( Displaystyle lim _ {(x, y) → (a, b)} f (x, y) ) existuje.
  3. ( Displaystyle lim _ {(x, y) → (a, b)} f (x, y) = f (a, b). )

Príklad ( PageIndex {4} ): Demonštrácia spojitosti funkcie dvoch premenných

Ukážte túto funkciu

[f (x, y) = dfrac {3x + 2y} {x + y + 1} nonumber ]

je spojitá v bode ((5, -3). )

Riešenie

Podľa definície kontinuity musia byť splnené tri podmienky. V tomto príklade (a = 5 ) a (b = -3. )

1. (f (a, b) ) existuje. Je to pravda, pretože doména funkcie f sa skladá z tých usporiadaných párov, pre ktoré je menovateľ nenulový (t.j. (x + y + 1 ≠ 0 )). Bod ((5, -3) ) spĺňa túto podmienku. Ďalej

[f (a, b) = f (5, −3) = dfrac {3 (5) +2 (−3)} {5 + (- 3) +1} = dfrac {15−6} { 2 + 1} = 3. nonumber ]

2. ( Displaystyle lim _ {(x, y) → (a, b)} f (x, y) ) existuje. To platí tiež:

[ begin {align *} lim _ {(x, y) → (a, b)} f (x, y) = lim _ {(x, y) → (5, −3)} dfrac {3x + 2y} {x + y + 1} = dfrac { displaystyle lim _ {(x, y) → (5, −3)} (3x + 2y)} { displaystyle lim _ {(x, y ) → (5, −3)} (x + y + 1)} = dfrac {15−6} {5−3 + 1} = 3. end {align *} nonumber ]

3. ( Displaystyle lim _ {(x, y) → (a, b)} f (x, y) = f (a, b). ) Je to pravda, pretože sme práve ukázali, že obe strany tohto rovnica rovná tri.

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Ukážte túto funkciu

[f (x, y) = sqrt {26−2x ^ 2 − y ^ 2} nonumber ]

je spojitá v bode ((2, -3) ).

Pomôcka

Použite trojdielnu definíciu spojitosti.

Odpoveď
  1. Doména (f ) obsahuje usporiadaný pár ((2, -3) ), pretože (f (a, b) = f (2, -3) = sqrt {16-2 (2) ^ 2 - (- 3) ^ 2} = 3 )
  2. ( Displaystyle lim _ {(x, y) → (a, b)} f (x, y) = 3 )
  3. ( Displaystyle lim _ {(x, y) → (a, b)} f (x, y) = f (a, b) = 3 )

Kontinuitu funkcie ľubovoľného počtu premenných je možné definovať aj ako delta a epsilon. Funkcia dvoch premenných je spojitá v bode ((x_0, y_0) ) v jeho doméne, ak pre každé (ε> 0 ) existuje (δ> 0 ) taká, že kedykoľvek ( sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2} <δ ), je to pravda, (| f (x, y) −f (a, b) | <ε. ) Táto definícia môže kombinovať s formálnou definíciou (tj epsilon – delta definícia) spojitosti funkcie jednej premennej na dokázanie nasledujúcich viet:

Súčet spojitých funkcií je spojitý

Ak (f (x, y) ) je spojitá na ((x_0, y_0) ) a (g (x, y) ) je spojitá na ((x_0, y_0) ), potom (f (x, y) + g (x, y) ) je spojité na ((x_0, y_0) ).

Produkt nepretržitých funkcií je nepretržitý

Ak (g (x) ) je spojité na (x_0 ) a (h (y) ) je spojité na (y_0 ), potom (f (x, y) = g (x) h (y) ) je spojité na ((x_0, y_0). )

Zloženie spojitých funkcií je spojité

Nech (g ) je funkciou dvoch premenných od domény (D⊆ mathbb {R} ^ 2 ) po rozsah (R⊆R.) Predpokladajme, že (g ) je v určitom okamihu spojitá ((x_0, y_0) ∈D ) a definujte (z_0 = g (x_0, y_0) ). Nech f je funkcia, ktorá mapuje (R ) na (R ) tak, že (z_0 ) je v doméne (f ). Nakoniec predpokladajme, že (f ) je spojité na (z_0 ). Potom (f∘g ) je spojité na ((x_0, y_0) ), ako je to znázornené na obrázku ( PageIndex {7} ).

Poďme si teraz pomocou predchádzajúcich viet ukázať kontinuitu funkcií v nasledujúcich príkladoch.

Príklad ( PageIndex {5} ): Ďalšie príklady kontinuity funkcie dvoch premenných

Ukážte, že funkcie (f (x, y) = 4x ^ 3y ^ 2 ) a (g (x, y) = cos (4x ^ 3y ^ 2) ) sú všade spojité.

Riešenie

Polynómy (g (x) = 4x ^ 3 ) a (h (y) = y ^ 2 ) sú spojité pri každom skutočnom počte, a preto súčinom vety o spojitých funkciách (f (x, y) = 4x ^ 3y ^ 2 ) je spojité v každom bode ((x, y) ) v rovine (xy ). Pretože (f (x, y) = 4x ^ 3y ^ 2 ) je spojitý v každom bode ((x, y) ) v (xy ) - rovine a (g (x) = cos x ) je spojité v každom reálnom počte (x ), spojitosť zloženia funkcií nám hovorí, že (g (x, y) = cos (4x ^ 3y ^ 2) ) je spojité v každom bode ((x, y) ) v rovine (xy ).

Cvičenie ( PageIndex {5} )

Ukážte, že funkcie (f (x, y) = 2x ^ 2y ^ 3 + 3 ) a (g (x, y) = (2x ^ 2y ^ 3 + 3) ^ 4 ) sú všade spojité.

Pomôcka

Využite spojitosť súčtu, súčinu a zloženia dvoch funkcií.

Odpoveď

Polynómy (g (x) = 2x ^ 2 ) a (h (y) = y ^ 3 ) sú spojité pri každom skutočnom počte; súčinom vety o spojitých funkciách je teda (f (x, y) = 2x ^ 2y ^ 3 ) spojité v každom bode ((x, y) ) v (xy ) - rovine. Akákoľvek konštantná funkcia je navyše všade spojitá, takže (g (x, y) = 3 ) je spojitá v každom bode ((x, y) ) v rovine (xy ). Preto (f (x, y) = 2x ^ 2y ^ 3 + 3 ) je spojité v každom bode ((x, y) ) v rovine (xy ). Nakoniec (h (x) = x ^ 4 ) je spojité pri každom reálnom čísle (x ), takže pomocou vety o spojitosti funkcií zloženej funkcie (g (x, y) = (2x ^ 2y ^ 3 + 3) ^ 4 ) je spojité v každom bode ((x, y) ) v rovine (xy ).

Funkcie troch alebo viacerých premenných

Hranica funkcie troch alebo viacerých premenných sa v aplikáciách vyskytuje ľahko. Predpokladajme napríklad, že máme funkciu (f (x, y, z) ), ktorá udáva teplotu na fyzickom mieste ((x, y, z) ) v troch rozmeroch. Alebo možno funkcia (g (x, y, z, t) ) môže indikovať tlak vzduchu v danom mieste ((x, y, z) ) v čase (t ). Ako môžeme vziať limit v bode ( mathbb {R} ^ 3 )? Čo to znamená byť spojitý v bode v štyroch dimenziách?

Odpovede na tieto otázky sa spoliehajú na rozšírenie koncepcie (δ ) disku do viac ako dvoch dimenzií. Potom sú predstavy limitu funkcie troch alebo viacerých premenných a spojitosti funkcie troch alebo viacerých premenných veľmi podobné definíciám uvedeným vyššie pre funkciu dvoch premenných.

Definícia: (δ ) - gule

Nech ((x_0, y_0, z_0) ) je bod v ( mathbb {R} ^ 3 ). Potom (δ ) - guľka v troch rozmeroch pozostáva zo všetkých bodov v ( mathbb {R} ^ 3 ) ležiacich vo vzdialenosti menšej ako (δ ) od ((x_0, y_0, z_0 ) ) - to je,

[ big {(x, y, z) ∈ mathbb {R} ^ 3∣ sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2 + (z − z_0) ^ 2} < δ big }. ]

Ak chcete definovať guľu (δ ) vo vyšších dimenziách, pridajte do radikálu ďalšie výrazy, ktoré zodpovedajú každej ďalšej dimenzii. Napríklad vzhľadom na bod (P = (w_0, x_0, y_0, z_0) ) v ( mathbb {R} ^ 4 ) možno opísať guľku (δ ) okolo (P ) od

[ big {(w, x, y, z) ∈ mathbb {R} ^ 4∣ sqrt {(w − w_0) ^ 2 + (x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2 + (z − z_0) ^ 2} <δ big }. ]

Aby sme ukázali, že v bode ((x_0, y_0, z_0) ) existuje obmedzenie funkcie troch premenných, stačí ukázať, že pre ktorýkoľvek bod v (δ ) guli so stredom ((x_0, y_0, z_0) ), hodnota funkcie v tomto bode sa ľubovoľne blíži k pevnej hodnote (limitnej hodnote). Všetky limitné zákony pre funkcie dvoch premenných platia aj pre funkcie viac ako dvoch premenných.

Príklad ( PageIndex {6} ): Nájdenie limitu funkcie troch premenných

Nájsť

[ lim _ {(x, y, z) → (4,1, −3)} dfrac {x ^ 2y − 3z} {2x + 5y − z}. nonumber ]

Riešenie

Predtým, ako budeme môcť uplatniť zákon kvocientu, musíme si overiť, či je limit menovateľa nenulový. Použitím rozdielového zákona, zákona o totožnosti a stáleho zákona,

[ begin {align *} lim _ {(x, y, z) → (4,1, −3)} (2x + 5y − z) = 2 ( lim _ {(x, y, z) → ( 4,1, -3)} x) +5 ( lim _ {(x, y, z) → (4,1, -3)} y) - ( lim _ {(x, y, z) → (4 , 1, −3)} z) = 2 (4) +5 (1) - (- 3) = 16. end {align *} ]

Pretože toto nie je nula, potom nájdeme hranicu čitateľa. Pri použití produktového práva, mocenského práva, rozdielového zákona, konštantného zákona viacerých práv a zákona o totožnosti

[ begin {align *} lim _ {(x, y, z) → (4,1, −3)} (x ^ 2y − 3z) = ( lim _ {(x, y, z) → (4 , 1, -3)} x) ^ 2 ( lim _ {(x, y, z) → (4,1, -3)} y) -3 ~ lim _ {(x, y, z) → (4, 1, −3)} z = (4 ^ 2) (1) -3 (−3) = 16 + 9 = 25 end {zarovnať *} ]

Napokon, uplatnenie zákona o podieloch:

[ lim _ {(x, y, z) → (4,1, −3)} dfrac {x ^ 2y − 3z} {2x + 5y − z} = dfrac { displaystyle lim _ {(x, y, z) → (4,1, −3)} (x ^ 2y − 3z)} { displaystyle lim _ {(x, y, z) → (4,1, −3)} (2x + 5y− z)} = dfrac {25} {16} nonumber ]

Cvičenie ( PageIndex {6} )

Nájsť

[ lim _ {(x, y, z) → (4, −1,3)} sqrt {13 − x ^ 2−2y ^ 2 + z ^ 2} nonumber ]

Pomôcka

Použite zákon o medzných hodnotách a kontinuitu zloženia funkcií.

Odpoveď

[ lim _ {(x, y, z) → (4, −1,3)} sqrt {13 − x ^ 2−2y ^ 2 + z ^ 2} = 2 nonumber ]

Kľúčové koncepty

  • Na štúdium limitov a spojitosti funkcií dvoch premenných používame disk (δ ) sústredený okolo daného bodu.
  • Funkcia viacerých premenných má limit, ak je pre ktorýkoľvek bod v (δ ) guli so stredom v bode (P ) hodnota funkcie v tomto bode ľubovoľne blízka pevnej hodnote (limitná hodnota) .
  • Limitné zákony ustanovené pre funkciu jednej premennej majú prirodzené rozšírenie na funkcie viac ako jednej premennej.
  • Funkcia dvoch premenných je spojitá v bode, ak v tomto bode existuje hranica, funkcia existuje v tomto bode a hranica a funkcia sú v tomto bode rovnaké.

Glosár

hraničný bod
bod (P_0 ) z (R ) je hraničný bod, ak každý (δ ) disk sústredený okolo (P_0 ) obsahuje body zvnútra aj zvonku (R )
uzavretá sada
množina (S ), ktorá obsahuje všetky jej hraničné body
pripojená sada
otvorená množina (S ), ktorú nemožno reprezentovať ako spojenie dvoch alebo viacerých disjunktných, neprázdnych otvorených podmnožín
(δ ) disk
otvorený disk s polomerom (δ ) v strede bodu ((a, b) )
(δ ) ples
všetky body v ( mathbb {R} ^ 3 ) ležiace vo vzdialenosti menšej ako (δ ) od ((x_0, y_0, z_0) )
vnútorný bod
bod (P_0 ) z ( mathbb {R} ) je hraničný bod, ak je disk (δ ) sústredený okolo (P_0 ) úplne obsiahnutý v ( mathbb {R} )
otvorená sada
množina (S ), ktorá neobsahuje žiadny z jej hraničných bodov
regiónu
otvorená, spojená, neprázdna podmnožina ( mathbb {R} ^ 2 )

Príklady

Príklad 1

Predtým vás požiadali, aby ste zistili, či Louis vypočítal svoju prácu správne.

Najskôr musíme zmeniť rovnicu na štandardný tvar. Potom to môžeme faktorovať.

Všetky riešenia sú imaginárne a plocha obdĺžnika musí obsahovať skutočné riešenia. Louis preto nepočítal správne.

Príklad 2

Nájdite všetky riešenia nasledujúcej funkcie: f (x) = 25x3 & minus120x2 + 81x & minus4.

Pri použití Rational Root Theorem by možné realistické nuly mohli byť 1 /25, 1 alebo 4. Nechajme & rsquos vyskúšať tieto tri možnosti pomocou syntetického delenia.

Z týchto troch možností sú iba 4 nulou. Zvyšok polynóm, 25x 2 & mínus20x + 1 nie je rozdeliteľné, takže na nájdenie posledných dvoch núl musíme použiť Kvadratický vzorec.

Užitočná rada: Vždy nájdite desatinné hodnoty každej nuly, aby ste sa uistili, že sa zhodujú s grafom.

Príklad 3

Nájdite všetky riešenia nasledujúcej funkcie: f (x) = 4x 4 + 35x 2 & mínus9.

f (x) = 4x 4 + 35x 2 & mínus9 je deliteľné. ac = & mínus36.

Nastavením každého faktora na nulu máme:

Príklad 4

Nájdite rovnicu funkcie s koreňmi 4, 2 0,5 a 1 & mínus.

Pripomeňme, že iracionálne a imaginárne korene pochádzajú z dvojíc. Preto sú všetky korene 4, 2 0,5, & mínus2 0,5, 1 + i, 1 & mínus. Znásobte všetkých 5 koreňov dohromady.


Globálna kontinuita

Hovoríme, že funkcia je nepretržitý ak je nepretržitý v každom bode domény. Z definície jasne vyplýva, že kontinuita v konkrétnom bode je určená tým, čo sa stane v blízkosti tohto bodu. Za týmto účelom nechajme definovať otvorené množiny.

Definície. Nech je akákoľvek podmnožina. An otvorená guľa obsahuje množinu bodov:

pre niektoré ε & gt0. [Všimnite si, že definícia závisí od D, hoci to nereflektuje. Ak existuje možnosť zámeny, napíšeme to ako. ]

Podskupina sa nazýva otvorená podmnožina of D if for each, we have for some ε & gt0.

Napr. každá otvorená guľa U := N(a, ε) je otvorené, lebo ak X je v U, potom |Xa| & ltε, takže necháme δ = ε- |Xa|. Tvrdíme to. Skutočne akékoľvek r v N(X, δ) spĺňa |rX| & ltδ tak

|ra| ≤ |rX| + |Xa| & lt δ + |Xa| = ε.

Ďalšie príklady otvorených podskupín

  1. Poďme D = R. Potom akýkoľvek otvorený interval (b, c) je otvorená podmnožina D pretože je to otvorená guľa. Prepichnuté okolie (b, c) – <a> je tiež otvorená podmnožina D pretože to je spojenie dvoch otvorených loptičiek. Polootvorený interval U = (b, c] nie je otvorený v D od bodu c v U nie je obsiahnutý v žiadnej otvorenej guli R čo je podmnožina U. [Akákoľvek otvorená guľa obsahujúca c je v tvare (c-ε, c+ ε), ktorý obsahuje body mimo U. ]
  2. Poďme. Podmnožina U = [0, 1] je teraz otvorená podmnožina D. To môže čitateľa na prvý pohľad zmiasť, ale uvedomte si, že aj keď vyberieme koncový bod 1 (v U), môžeme vybrať otvorenú guľu N(1, 1/2) palca D. Podľa definície ide o množinu, takže je to # 1 717 (1/2, 1], ktorá je úplne obsiahnutá v U. Rovnako tak podmnožina singleton V. = <2> je tiež podmnožinou D, od otvorenej gule N(2, 1/2) = <2> je úplne obsiahnutý v U.
    • Ktoré z podskupín [0, 1], (0, 1], <1>, [0, 1/2), (0, 1/2] sú otvorené v D? [Odpoveď: prvá, druhá, štvrtá. ]

Tu sú ďalšie príklady otvorených podmnožín, kde D je zafarbený na modro a U v červenej farbe.

V prvých dvoch príkladoch, zatiaľ čo v ďalších dvoch,. Bodkované hraničné čiary naznačujú, že hranice nie sú zahrnuté v U.

Hlavná veta, ktorú by sme chceli dokázať, je:

Veta. Nech je funkcia, kde. Potom f je spojité vtedy a len vtedy, ak pre každú otvorenú podmnožinu predstavuje otvorenú podmnožinu D.

Predpokladajme f je spojitá. Ukázať, že je otvorené v D, nech. Odkedy f(a) je v U ktorý je otvorený, existuje ε & gt0 také, že N(f(a), ε) je podmnožina U. A keďže f je spojitá na a, existuje δ & gt0 také, že kedykoľvek |Xa| & ltδ a X v D, máme |f(X)-f(a) | & ltε. Preto

ktorý ukazuje, že je otvorený v D.

Naopak, predpokladajme, že je otvorený pre každú otvorenú podmnožinu. Ukázať f je spojitá na a (prvok D), nech ε & gt0. Keďže je otvorené, tak aj je. Ale teda podľa definície otvorených podmnožín existuje δ & gt0, pre ktoré

takže kedykoľvek |Xa| & ltδ a X v D, máme |f(X)-f(a) | & ltε. ♦

Hlavným bodom. Vyššie uvedená veta naznačuje, že ústredným pojmom za analýzou je pojem otvorené podmnožiny. Hlavnou myšlienkou topológie je vybudovanie celej teórie založenej iba na koncepte otvorených podmnožín. Toto bude rozpracované v ďalších príspevkoch.

Dôležité cviky.

  1. Nájdite spojitú funkciu f : RR a otvorená podmnožina U z R také, že f(U) nie je otvorený v R.
  2. Dokážte, že ak U a V. sú otvorené podskupiny súborov D, tak aj je UV.. To znamená najmä, že konečné križovatky otvorených podmnožín sú stále otvorené.
  3. Dokážte, že ak <Ui> je zbierka otvorených podmnožín súboru D, tak aj je.
  4. Predpokladajme.
    1. Dokážte, že ak U je otvorený v Dpotom V. := UE je otvorený v E.
    2. Dokážte to naopak, ak V. je otvorený v Epotom V. = UE pre niektorú otvorenú podmnožinu U z D.

    [Poznámka: pre Q4 buďte opatrní pri zaznamenávaní N(a, ε), pretože okolitý priestor môže byť buď D alebo E. ]


    Limity a kontinuita.

    f (0) = $ frac <1> << 2.0 >> $ = $ frac <1> <0> $ = neexistuje.

    Preto je f (x) diskontinuálne pri x = 0.

    Takže f (x) je spojité na x = a & ne 2.

    Poznámka: pretože a & ne 2, tak & ndash 2 & ne 0 a teda $ frac <1> <<< rm> - 2 >> $ je konečné číslo.

    Takže f (x) je spojité na x = a & ne 0.

    f (1) = $ frac <1> << 1 - 1 >> $ = $ frac <1> <0> $, ktorý neexistuje.

    Takže f (x) je nespojité pri x = 3.

    F (x) je spojité na x = 3.

    Poznámka: pretože a & ne 2, tak & ndash 2 & ne 0 a teda $ frac <1> <<< rm> - 2 >> $ je konečné číslo.

    Takže f (x) je nespojité pri x = 4.

    Poznámka: pretože a & ne 2, tak & ndash 2 & ne 0 a teda $ frac <1> <<< rm> - 2 >> $ je konečné číslo.

    F (x) je spojité na x = 2.

    F (x) je spojité na x = 2.

    F (x) je spojité na x = 3.

    Takže f (x) je nespojité pri x = 1.

    Takže f (x) je spojité pri x = 5.

    Takže f (x) je nespojité pri x = 2.

    Daná funkcia bude teda spojitá, ak bude predefinované f (x) takto:


    4.2 Limity a kontinuita

    Teraz sme preskúmali funkcie viac ako jednej premennej a videli sme, ako ich grafovať. V tejto časti vidíme, ako vziať limit funkcie viac ako jednej premennej a čo to znamená, keď je funkcia viac ako jednej premennej spojitá v bode v jej doméne. Ukázalo sa, že tieto koncepty majú aspekty, ktoré sa pri funkciách jednej premennej jednoducho nevyskytujú.

    Limit funkcie dvoch premenných

    Pripomeňme si z limitu funkcie definíciu limitu funkcie jednej premennej:

    Predtým, ako budeme môcť prispôsobiť túto definíciu tak, aby definovala limit funkcie dvoch premenných, je potrebné najskôr zistiť, ako rozšíriť myšlienku otvoreného intervalu v jednej premennej na otvorený interval v dvoch premenných.

    Definícia

    ako ukazuje nasledujúci graf.

    Vo viac ako jednej dimenzii používame disk δ δ.

    Definícia

    Preukázať existenciu limitu pomocou definície limitu funkcie dvoch premenných môže byť náročné. Namiesto toho použijeme nasledujúcu vetu, ktorá nám poskytne skratky pri hľadaní limitov. Vzorce v tejto vete sú rozšírením vzorcov v teórii limitných zákonov v Limitných zákonoch.

    Limitné zákony pre funkcie dvoch premenných

    Konštantné právo:

    Zákony o totožnosti:

    Zákon rozdielu:

    Konštantné viacnásobné právo:

    Zákon o produkte:

    Kvocient zákona:

    pre každé kladné celé číslo n. n.

    Dôkazy týchto vlastností sú podobné ako v prípade limitov funkcií jednej premennej. Tieto zákony môžeme uplatniť pri hľadaní obmedzení rôznych funkcií.

    Príklad 4.8

    Nájdenie limitu funkcie dvoch premenných

    Nájdite každý z nasledujúcich limitov:

    Riešenie

    Vyhodnoťte nasledujúci limit:

    Príklad 4.9

    Limity, ktoré neexistujú

    Ukážte, že neexistuje ani jedno z nasledujúcich obmedzení:

    Riešenie

    1. Doména funkcie f (x, y) = 2 xy 3 x 2 + y 2 f (x, y) = 2 xy 3 x 2 + y 2 sa skladá zo všetkých bodov v rovine xy-plane xy -plane okrem bod (0, 0) (0, 0) (obrázok 4.16). Aby sme ukázali, že limit neexistuje tak, ako sa (x, y) (x, y) blíži (0, 0), (0, 0), všimneme si, že nie je možné splniť definíciu limitu funkcie dvoch premenné, pretože funkcia nadobúda rôzne hodnoty pozdĺž rôznych línií prechádzajúcich bodom (0, 0). (0, 0). Najskôr zvážte priamku y = 0 y = 0 v rovine x y. x y -rovina. Dosadenie y = 0 y = 0 do f (x, y) f (x, y) dáva

    Vnútorné body a hraničné body

    Aby sme mohli študovať kontinuitu a diferencovateľnosť funkcie dvoch alebo viacerých premenných, musíme sa najskôr naučiť novú terminológiu.

    Definícia

    Definícia

    Definícia

    Definícia

    Príklad 4.10

    Limit funkcie v hraničnom bode

    Dokážte lim (x, y) → (4, 3) 25 - x 2 - y 2 = 0. lim (x, y) → (4, 3) 25 - x 2 - y 2 = 0.

    Riešenie

    Môžeme použiť limitné zákony, ktoré platia pre limity na hranici domén aj vnútorných bodov:

    Vyhodnoťte nasledujúci limit:

    Spojitosť funkcií dvoch premenných

    V Kontinuite sme definovali spojitosť funkcie jednej premennej a videli sme, ako sa spoliehala na limit funkcie jednej premennej. Najmä sú potrebné tri podmienky, aby f (x) f (x) bola spojitá v bode x = a: x = a:

    Tieto tri podmienky sú nevyhnutné aj pre spojitosť funkcie dvoch premenných.

    Definícia

    Príklad 4.11

    Demonštrácia spojitosti funkcie dvoch premenných

    Ukážte, že funkcia f (x, y) = 3 x + 2 y x + y + 1 f (x, y) = 3 x + 2 y x + y + 1 je v bode (5, -3) spojitá. (5, -3).

    Riešenie

    Podľa definície kontinuity musia byť splnené tri podmienky. V tomto príklade a = 5 a = 5 a b = -3. b = -3.

    Ukážte, že funkcia f (x, y) = 26 - 2 x 2 - y 2 f (x, y) = 26 - 2 x 2 - y 2 je spojitá v bode (2, −3). (2, -3).

    Súčet spojitých funkcií je spojitý

    Produkt nepretržitých funkcií je nepretržitý

    Zloženie spojitých funkcií je spojité

    Poďme si teraz pomocou predchádzajúcich viet ukázať kontinuitu funkcií v nasledujúcich príkladoch.

    Príklad 4.12

    Ďalšie príklady kontinuity funkcie dvoch premenných

    Riešenie

    Funkcie troch alebo viacerých premenných

    Definícia

    Príklad 4.13

    Nájdenie limitu funkcie troch premenných

    Nájdite lim (x, y, z) → (4, 1, −3) x 2 y - 3 z 2 x + 5 y - z. lim (x, y, z) → (4, 1, -3) x 2 r - 3 z 2 x + 5 r - z.

    Riešenie

    Predtým, ako budeme môcť uplatniť zákon kvocientu, musíme si overiť, či je limit menovateľa nenulový. Použitím rozdielového zákona, zákona o totožnosti a stáleho zákona,

    Pretože toto nie je nula, potom nájdeme hranicu čitateľa. Pomocou zákona o výrobkoch, rozdielového zákona, konštantného viacnásobného zákona a zákona o totožnosti

    Napokon, uplatnenie zákona o podieloch:

    Nájdite lim (x, y, z) → (4, −1, 3) 13 - x 2 - 2 y 2 + z 2. lim (x, y, z) → (4, -1, 3) 13 - x 2 - 2 y 2 + z 2.

    Oddiel 4.2 Cvičenia

    Pri nasledujúcich cvičeniach vyhľadajte limit funkcie.

    lim (x, y) → (1, 2) 5 x 2 y x 2 + y 2 lim (x, y) → (1, 2) 5 x 2 y x 2 + y 2

    Pre nasledujúce cvičenia vyhodnotte limity pri uvedených hodnotách x a y. x a r. Ak limit neexistuje, uveďte to a vysvetlite, prečo limit neexistuje.

    lim (x, y) → (0, 0) 4 x 2 + 10 y 2 + 4 4 x 2 - 10 y 2 + 6 lim (x, y) → (0, 0) 4 x 2 + 10 y 2 + 4 4 x 2 - 10 y 2 + 6

    lim (x, y) → (11, 13) 1 x y lim (x, y) → (11, 13) 1 x y

    lim (x, y) → (0, 1) y 2 sin x x lim (x, y) → (0, 1) y 2 sin x x

    lim (x, y) → (0, 0) sin (x 8 + y 7 x - y + 10) lim (x, y) → (0, 0) sin (x 8 + y 7 x - y + 10)

    lim (x, y) → (π / 4, 1) y tan x y + 1 lim (x, y) → (π / 4, 1) y tan x y + 1

    lim (x, y) → (0, π / 4) s x + 2 3 x - opálenie lim (x, y) → (0, π / 4) s x + 2 3 x - opálenie

    lim (x, y) → (2, 5) (1 x - 5 r.) lim (x, y) → (2, 5) (1 x - 5 r)

    lim (x, y) → (4, 4) x ln y lim (x, y) → (4, 4) x ln y

    lim (x, y) → (4, 4) e - x 2 - y 2 lim (x, y) → (4, 4) e - x 2 - y 2

    lim (x, y) → (0, 0) 9 - x 2 - y 2 lim (x, y) → (0, 0) 9 - x 2 - y 2

    lim (x, y) → (1, 2) (x 2 y 3 - x 3 y 2 + 3 x + 2 y) lim (x, y) → (1, 2) (x 2 y 3 - x 3 y 2 + 3 x + 2 r)

    lim (x, y) → (π, π) x sin (x + y 4) lim (x, y) → (π, π) x sin (x + y 4)

    lim (x, y) → (0, 0) x y + 1 x 2 + y 2 + 1 lim (x, y) → (0, 0) x y + 1 x 2 + y 2 + 1

    lim (x, y) → (0, 0) x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 - 1 lim (x, y) → (0, 0) x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 - 1

    lim (x, y) → (0, 0) ln (x 2 + y 2) lim (x, y) → (0, 0) ln (x 2 + y 2)

    Pri nasledujúcich cvičeniach dokončite vyhlásenie.

    Pri nasledujúcich cvičeniach použite algebraické techniky na vyhodnotenie limitu.

    lim (x, y) → (2, 1) x - y - 1 x - y - 1 lim (x, y) → (2, 1) x - y - 1 x - y - 1

    lim (x, y) → (0, 0) x 4 - 4 y 4 x 2 + 2 y 2 lim (x, y) → (0, 0) x 4 - 4 y 4 x 2 + 2 y 2

    lim (x, y) → (0, 0) x 3 - y 3 x - y lim (x, y) → (0, 0) x 3 - y 3 x - y

    lim (x, y) → (0, 0) x 2 - x y x - y lim (x, y) → (0, 0) x 2 - x y x - y

    V nasledujúcich cvičeniach zhodnoťte limity funkcií troch premenných.

    lim (x, y, z) → (1, 2, 3) x z 2 - y 2 z x y z - 1 lim (x, y, z) → (1, 2, 3) x z 2 - y 2 z x y z - 1

    lim (x, y, z) → (0, 0, 0) x 2 - y 2 - z 2 x 2 + y 2 - z 2 lim (x, y, z) → (0, 0, 0) x 2 - y 2 - z 2 x 2 + y 2 - z 2

    V nasledujúcich cvičeniach vyhodnotte limit funkcie určením hodnoty, ku ktorej sa funkcia približuje po naznačených dráhach. Ak limit neexistuje, vysvetlite prečo nie.

    lim (x, y) → (0, 0) x y + y 3 x 2 + y 2 lim (x, y) → (0, 0) x y + y 3 x 2 + y 2

    lim (x, y) → (0, 0) x 2 y x 4 + y 2 lim (x, y) → (0, 0) x 2 y x 4 + y 2

    Diskutujte o kontinuite nasledujúcich funkcií. Nájdite najväčšiu oblasť v rovine x y, v ktorej sú nasledujúce funkcie spojité.

    Pri nasledujúcich cvičeniach určite oblasť, v ktorej je funkcia spojitá. Vysvetli svoju odpoveď.

    (Pomôcka: Ukážte, že funkcia pristupuje k rôznym hodnotám na dvoch rôznych cestách.)

    f (x, y) = hriech (x 2 + y 2) x 2 + y 2 f (x, y) = hriech (x 2 + y 2) x 2 + y 2

    Určte, či g (x, y) = x 2 - y 2 x 2 + y 2 g (x, y) = x 2 - y 2 x 2 + y 2 je spojité na (0, 0). (0, 0).

    Vytvorte graf pomocou grafického softvéru na určenie, kde limit neexistuje. Určte oblasť súradnicovej roviny, v ktorej je spojnica f (x, y) = 1 x 2 - y f (x, y) = 1 x 2 - y.

    V ktorých bodoch v priestore je g (x, y, z) = x 2 + y 2 - 2 z 2 g (x, y, z) = x 2 + y 2 - 2 z 2 spojité?

    V ktorých bodoch v priestore je g (x, y, z) = 1 x 2 + z 2 - 1 g (x, y, z) = 1 x 2 + z 2 - 1 spojitý?

    Použite polárne súradnice na nájdenie lim (x, y) → (0, 0) sin x 2 + y 2 x 2 + y 2. lim (x, y) → (0, 0) hriech x 2 + y 2 x 2 + y 2. Limit nájdete aj pomocou pravidla L’Hôpital.

    Použite polárne súradnice na nájdenie lim (x, y) → (0, 0) cos (x 2 + y 2). lim (x, y) → (0, 0) cos (x 2 + y 2).

    Ako spolupracovník spoločnosti Amazon zarábame na kvalifikovaných nákupoch.

    Chcete citovať, zdieľať alebo upravovať túto knihu? Táto kniha je Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike licencia 4.0 a musíte pripísať OpenStax.

      Ak redistribuujete celú knihu alebo jej časť v tlačenom formáte, musíte na každú fyzickú stránku uviesť nasledujúce uvedenie zdroja:

    • Informácie uvedené nižšie použite na vygenerovanie citácie. Odporúčame použiť citačný nástroj, ako je tento.
      • Autori: Gilbert Strang, Edwin „Jed“ Herman
      • Vydavateľ / web: OpenStax
      • Názov knihy: Calculus Volume 3
      • Dátum zverejnenia: 30. marca 2016
      • Miesto: Houston, Texas
      • URL knihy: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/1-introduction
      • URL sekcie: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/4-2-limits-and-continuity

      © 21. decembra 2020 OpenStax. Obsah učebnice produkovaný OpenStax je licencovaný pod licenciou Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0. Názov OpenStax, logo OpenStax, obálky kníh OpenStax, názov OpenStax CNX a logo OpenStax CNX nepodliehajú licencii Creative Commons a nemôžu byť reprodukované bez predchádzajúceho a výslovného písomného súhlasu Rice University.


      Vaša chyba je v mylnom predpoklade, že $ g ( theta) = dfrac < cos ^ 3 theta + sin ^ 3 theta> < cos theta- sin theta> $ je ohraničený.

      Má diskontinuitu na $ theta = pi / 4 $, takže nie je obmedzený.
      Preto nemôžete dospieť k záveru $ lim limits_f (r) g ( theta) = 0 $

      Všimnite si, že branie limitu ako $ r na 0 $, ako ste to urobili, sa blíži k nule iba cestami, ktoré sú priamkami. To nestačí na zabezpečenie odlíšiteľnosti a tento príklad má ukázať prečo. Ako bolo uvedené v komentároch, máme názor, že $ frac < cos ^ 3 theta + sin ^ 3 theta> < cos theta - sin theta> $ nie je ohraničené, keď sa priblížite k nule cez riadok $ y = x $. Aj keď je funkcia na tomto riadku definovaná ako nulová, stále môžete replikovať toto explodujúce správanie výberom cesty, ktorá sa dostatočne rýchlo blíži k riadku $ y = x $.

      Ak uvažujete o ceste $ x (t) = t $ a $ y (t) = t - t ^ 3 $, potom máte $ lim_ frac = lim_ frac = lim_ frac <2t ^ 3 - 3t ^ 5 + 3t ^ 7 - t ^ 9> = 2. $


      3.4: Limity a spojitosť - matematika

      Aby sme vyvinuli počet pre funkcie jednej premennej, bolo potrebné pochopiť koncept limitu, ktorý sme potrebovali na pochopenie spojitých funkcií a na definovanie derivácie. S obmedzeniami zahŕňajúcimi funkcie dvoch premenných môže byť našťastie oveľa ťažšie manipulovať, väčšina funkcií, s ktorými sa stretávame, je celkom ľahko pochopiteľná.

      Potenciálna ťažkosť je spôsobená do veľkej miery skutočnosťou, že existuje veľa spôsobov, ako „priblížiť“ bod v rovine $ x $ - $ y $ $. Ak chceme povedať, že $ ds lim _ <(x, y) to (a, b)> f (x, y) = L $, musíme zachytiť myšlienku, že keď sa $ (x, y) $ blíži k $ (a, b) $, potom $ f (x, y) $ sa blíži k $ L $. Pre funkcie jednej premennej, $ f (x) $, existujú iba dva spôsoby, ako sa môže $ x $ priblížiť k $ a $: zľava alebo sprava. Existuje však nekonečné množstvo spôsobov priblížiť sa k $ (a, b) $: pozdĺž ktoréhokoľvek z nekonečného počtu riadkov alebo nekonečného počtu paraboly alebo nekonečného počtu sínusových kriviek atď. Mohli by sme dúfať, že to naozaj nie je také zlé a mdashsuppose, pre príklad, že pozdĺž každého možného riadku cez $ (a, b) $ sa hodnota $ f (x, y) $ blíži k $ L $ určite to znamená, že „$ f (x, y) $ sa blíži k $ L $ ako $ (x, y) $ sa blíži k $ (a, b)

      3.4: Limity a spojitosť - matematika

      V TEJTO ČASTI & hellip

      Limity: Matematický mikroskop, ktorý vám umožní trochu priblížiť krivku na sub-, sub-, sub-atómovú úroveň, kde sa stane rovno.

      Limity, asymptotya nekonečno : Ďaleko, človeče.

      Matematické obrie jumbo o kontinuita . Plus obyčajný anglický význam: nezdvíhať ceruzku z papiera.

      Výpočet limitov pomocou algebry.

      Výpočet limitov pomocou kalkulačky.

      Kapitola 7. Limity a kontinuita

      V TEJTO KAPITOLE

      Pohľad na limity

      Vyhodnocovanie funkcií pomocou dier a mdash rozbije naftalóny

      Skúmanie kontinuity a diskontinuity

      Limity sú základné pre diferenciálny aj integrálny počet. Formálna definícia derivácie zahŕňa limit, rovnako ako definícia určitého integrálu. (Ak ste skutoční začiatočníci a neviete sa dočkať, kým si prečítate skutočné definície, vyskúšajte Kapitoly 9 a 13.) Teraz sa ukazuje, že keď sa naučíte skratky pre výpočet derivácií a integrálov, už nebudete musieť používať metódy dlhšieho limitu. Ale pochopenie matematiky limitov je napriek tomu dôležité, pretože tvorí základ, na ktorom je postavená rozsiahla architektúra počtu (dobre, takže som sa trochu uniesol). V tejto kapitole položím základy diferenciácie a integrácie skúmaním limitov a úzko súvisiacej témy kontinuity.

      Vezmite to na maximum a NEPOUŽÍVAJTE

      Limity môžu byť zložité. Nerobte si starosti, ak tento koncept nepochopíte hneď.

      Neformálna definícia limit (formálna definícia je na niekoľkých stranách): Limit funkcie (ak existuje) pre niektoré z nich X-hodnota c, je výška, ktorou sa funkcia blíži a blíži k X sa blíži a približuje c zľava a sprava. (Poznámka: Táto definícia sa nevzťahuje na limity, kde X sa blíži k nekonečnu alebo negatívnemu nekonečnu. Viac o týchto limitoch ďalej v kapitole a v Kapitola 8.)

      Mám to? Žartuješ! Poviem to inak. Funkcia má limit pre danú hodnotu X-hodnota c ak je funkcia nulová v nejakej výške ako X sa čoraz viac približuje k danej hodnote c zľava a sprava. Pomohlo to? Nemyslel som si to. Je oveľa jednoduchšie pochopiť limity na príkladoch ako na základe tohto druhu veľkého jumba, takže si niektoré z nich pozrite.

      Použitie troch funkcií na ilustráciu rovnakého limitu

      Zvážte funkciu vľavo v Obrázok 7-1. Keď povieme, že hranica ako X prístupy 2 je 7, písané ako , myslíme to ako X je bližšie a bližšie k 2 zľava a sprava, sa blíži a blíži k výške 7.Mimochodom, pokiaľ viem, číslo 2 v tomto príklade nemá formálne meno, ale nazývam ho šípkové číslo. Šípkové číslo vám dáva vodorovné umiestnenie v X smer. Nemýľte si to s odpoveď na problém limitu alebo jednoducho limit, oba odkazujú na a r-hodnota alebo výška funkcie (v tomto príklade 7). Teraz sa pozri na Tabuľka 7-1.

      OBRÁZOK 7-1: Grafy funkcií f , g a h.

      TABUĽKA 7-1 Vstupné a výstupné hodnoty ako X Prístupy 2

      Tabuľka 7-1 ukazuje to r sa blíži k 7 ako X blíži sa k 2 zľava aj sprava, a teda hranica je 7. Ak si kladiete otázku, o čo ide, & mdash, prečo nielen zapojiť číslo 2 do X v a získajte odpoveď od 7 & mdash. Som si istý, že máte veľa spoločností. V skutočnosti, keby všetky funkcie boli nepretržitý (bez medzier) ako fty mohol stačí zapojiť číslo šípky, aby ste dostali odpoveď, a tento problém s limitom by bol v podstate zbytočný. V kalkuse musíme použiť limity kvôli diskontinuálne funkcie ako g a h ktoré majú otvory.

      Funkcia g v strede Obrázok 7-1 je totožný s f okrem otvoru na a bod v . Táto funkcia vlastne , nikdy by neprišiel na obyčajný problém s počtom a & mdash, používam ho iba na ilustráciu fungovania limitov. (Pokračujte v čítaní. Skôr ako začnete chápať, prečo ich začleňujem, musím položiť ešte niečo viac.)

      Dôležitými funkciami pre počet sú funkcie ako h vpravo v Obrázok 7-1, ktoré sa často objavujú pri štúdiu derivátov. Táto tretia funkcia je totožná s okrem toho bodu bol vytrhnutý a ponechal otvor na a žiadny iný bod, kde X rovná sa 2.

      Predstavte si, ako by vyzerala tabuľka vstupných a výstupných hodnôt a . Vidíte, že hodnoty by boli totožné s hodnotami v Tabuľka 7-1 pre ? Pre oba g a h, ako X je bližšie a bližšie k 2 zľava a sprava, r sa blíži a blíži k výške 7. Pre všetky tri funkcie je limit ako X prístupy 2 je 7.

      Týmto sa dostávame do kritického bodu: Pri určovaní limitu funkcie ako X prístupy, povedzme, 2, hodnota & mdash alebo dokonca či vôbec existuje & mdash je úplne irelevantné. Znova sa pozrite na všetky tri funkcie, kde sa rovná 7, je 5 a neexistuje (alebo, ako hovoria matematici, je nedefinované). Ale opäť sú tieto tri výsledky irelevantné a neovplyvňujú odpoveď na problém limitu.

      Nedostanete sa k limitu. V limite problém, X je stále bližšie a bližšie k číslu šípky c, ale technicky nikdy sa tam nedostane, a čo sa stane s funkciou kedy X sa rovná šípkovému číslu cbez efektu o odpovedi na problém limitu (aj keď pre nepretržité funkcie ako hodnota funkcie sa rovná limitnej odpovedi a dá sa teda použiť na výpočet limitnej odpovede).

      Vyradenie až na jednostranné limity

      Jednostranné limity fungujú ako bežné, obojstranné limity okrem toho X sa blíži k číslu šípky c iba zľava alebo sprava. Najdôležitejším účelom týchto limitov je to, že sa používajú pri formálnej definícii regulárneho limitu (pozri nasledujúcu časť o formálnej definícii limitu).

      Ak chcete označiť jednostranný limit, na šípku, keď, vložíte malý znak horného indexu odčítania X sa priblíži k číslu šípky zľava alebo k doplnkovému znaku horného indexu, keď X sa blíži k číslu šípky sprava. Páči sa ti to:

      alebo

      Pozri na Obrázok 7-2. Odpoveď na problém pravidelného limitu, , je to, že limit neexistuje, pretože ako X prístupy 3 zľava a právo, sa nenastavuje na rovnakú výšku.

      OBRÁZOK 7-2: Ilustrácia dvoch jednostranných limitov.

      Obidve jednostranné limity však existujú. Ako X prístupy 3 zľava, nuly vo výške 6 a kedy X blíži sa k 3 sprava, nuly vo výške 2. Rovnako ako pri bežných limitoch, hodnota nemá žiadny vplyv na odpoveď na ktorýkoľvek z týchto problémov s jednostrannými limitmi. Teda

      a

      Funkcia ako v Obrázok 7-2 sa nazýva a po častiach funkcia, pretože má samostatné časti. Každá časť kusovej funkcie má svoju vlastnú rovnicu & mdash, napríklad nasledujúcu trojdielnu funkciu:

      Niekedy sa kus kusovej funkcie spojí so susedným kusom, v takom prípade je tam funkcia spojitá. A niekedy, ako s , kúsok sa nespája so susedným kusom & mdash, čo má za následok diskontinuitu.

      Formálna definícia limitu a presne to, na čo ste čakali

      Teraz, keď viete o jednostranných limitoch, vám môžem dať formálnu matematickú definíciu limitu. Prichádza:

      Formálna definícia limitu: Poďme f byť funkciou a nechať c byť skutočné číslo.

      existuje vtedy a len vtedy

      1. existuje,

      2. existuje a

      3.

      Kalkulárne knihy to vždy prezentujú ako trojdielny test na existenciu limitu, ale podmienka 3 je jediná, ktorej sa musíte obávať, pretože 1 a 2 sú zabudované do 3. Musíte si len uvedomiť, že nemôžete uspokojiť podmienka 3, ak je ľavá a pravá strana rovnice nedefinovaná alebo neexistuje inými slovami, je nie pravda to nedefinované = nedefinované alebo to neexistujúci = neexistuje. (Myslím si, že to je dôvod, prečo texty Calc používajú trojdielnu definíciu.) Pokiaľ to máte v poriadku, je potrebné skontrolovať podmienku 3.

      Keď hovoríme, že limit existuje, znamená to, že sa rovná a konečný číslo. Niektoré limity sú nekonečné alebo záporné, ale vy aj tak hovoríte neexistuje. To sa môže zdať čudné, ale chopte sa môjho slova. (Viac o nekonečných limitoch v ďalšej časti.)

      Limity a vertikálne asymptoty

      A racionálne fungovať ako má vertikálne asymptoty na a . Pamätáte si asymptoty? Sú to imaginárne čiary, ku ktorým sa graf funkcie čoraz viac približuje, keď sa posúva nahor, nadol, doľava alebo doprava smerom k nekonečnu alebo zápornému nekonečnu. sa zobrazuje v Obrázok 7-3.

      OBRÁZOK 7-3: Typická racionálna funkcia.

      Zvážte limit funkcie v Obrázok 7-3 ako X prístupy 3. Ako X sa blíži k 3 zľava, /> stúpa do nekonečna a ako X blíži sa k 3 sprava, /> klesá do záporného nekonečna. Niekedy je informatívne uviesť to písomne,

      a

      Je ale tiež správne povedať, že obidva tieto limity neexistuje pretože nekonečno nie je reálne číslo. A ak sa od vás požaduje, aby ste určili pravidelný, obojstranný limit, , nezostáva ti nič iné, len povedať, že neexistuje, pretože limity zľava a sprava sú nerovnaké.

      Limity a horizontálne asymptoty

      Doteraz som sa pozeral na limity, kde X sa blíži k regulárnemu konečnému číslu. ale X sa tiež môže priblížiť k nekonečnu alebo zápornému nekonečnu. Limity na nekonečno existujú, keď má funkcia horizontálneho asymptota. Napríklad funkcia v Obrázok 7-3 má vodorovnú asymptotu v , ku ktorej sa funkcia čoraz viac približuje smerom k nekonečnu vpravo a záporne nekonečnu zľava. (Ak idete doľava, funkcia pretína horizontálneho asymptota o a potom postupne klesá dole k asymptote. Vpravo zostáva funkcia pod asymptotou a postupne stúpa smerom k nej.) Limity sa rovnajú výške horizontálneho asymptotu a sú napísané ako

      a

      Uvidíte viac limitov na nekonečno v Kapitola 8.

      Výpočet okamžitej rýchlosti s obmedzeniami

      Ak ste doteraz driemali, VSTÁVAJTE! Nasledujúci problém, ktorý sa nakoniec ukáže ako problém limitu, vás privedie na prah skutočného počtu. Povedzme, že sa ty a tvoja mačka milujúca kalkuláciu jedného dňa motáte a rozhodnete sa, že z okna svojho druhého príbehu vyhodíte guľku. Tu je vzorec, ktorý vám povie, ako ďaleko lopta klesla po danom počte sekúnd (ignoruje sa odpor vzduchu):

      & middot

      & middot (kde h je výška, v ktorej lopta klesla, v stopách a t je čas, ktorý uplynul od niekoľkých sekúnd od pádu lopty)

      Ak zapojíte 1 do t, h je 16, takže lopta spadne počas prvej sekundy o 16 stôp. Počas prvých 2 sekúnd celkovo spadne alebo 64 stôp atď. Čo by sa stalo, keby ste chceli určiť rýchlosť lopty presne 1 sekundu po jej páde? Môžete začať vybičovaním tohto dôveryhodného vzorca:

      Pomocou sadzba, alebo rýchlosť vzorec, môžete ľahko zistiť priemernú rýchlosť lopty počas druhej sekundy jej pádu. Pretože po 1 sekunde klesol o 16 stôp a po 2 sekundách celkovo o 64 stôp, spadol alebo 48 stôp od druhý sekúnd. Nasledujúci vzorec udáva priemernú rýchlosť:

      Toto však nie je odpoveď, ktorú chcete, pretože loptička padá čoraz rýchlejšie a rýchlejšie ako padá, a chcete vedieť jej rýchlosť presne 1 sekundu po jej páde. Lopta sa zrýchľuje medzi 1 a 2 sekundami, takže toto priemer rýchlosť 48 stôp za sekundu počas druhej sekundy je určite vyššia ako rýchlosť lopty okamžitý rýchlosť na konci 1. sekundy. Pre lepšiu aproximáciu vypočítajte priemernú rýchlosť medzi druhý a sekúnd. Po 1,5 sekunde lopta padla alebo 36 stôp, teda od do , padá alebo 20 stôp. Jeho priemerná rýchlosť je teda

      Ak budete pokračovať v tomto procese po dobu štvrť sekundy, desatiny sekundy, potom stotiny, tisíciny a desaťtisíciny sekundy, dostanete sa k zoznamu priemerných rýchlostí zobrazených v Tabuľka 7-2.

      TABUĽKA 7-2 Priemerné rýchlosti od 1 sekundy do t Sekúnd

      Ako t približuje a približuje sa k 1 sekunde, zdá sa, že priemerná rýchlosť sa približuje a približuje k hodnote 32 stôp za sekundu.

      Tu je vzorec, ktorý sme použili na vygenerovanie čísel Tabuľka 7-2. Poskytne vám priemernú rýchlosť od 1 sekundy do t sekundy:

      (V riadku bezprostredne hore si to pripomeň t sa nemôže rovnať 1, pretože by to malo za následok nulu v menovateli pôvodnej rovnice. Toto obmedzenie zostáva v platnosti aj po zrušení .)

      Obrázok 7-4 zobrazuje graf tejto funkcie.

      OBRÁZOK 7-4: f (t) je priemerná rýchlosť medzi 1 sekundou a t sekúnd.

      Tento graf je totožný s grafom úsečky okrem otvoru na . Je tam diera, pretože ak zapojíte 1 do t vo funkcii priemernej rýchlosti dostanete

      ktorý je nedefinovaný. A prečo si dostal ? Pretože sa snažíte určiť priemernú rýchlosť a rýchlosť, ktorá sa rovná celková vzdialenosť deleno uplynutý čas & mdash z do . Ale z do je samozrejme č času a „počas“ tohto časového bodu lopta neprechádza žiadnu vzdialenosť, takže máte ako priemerná rýchlosť od do .

      Je zrejmé, že tu nastal problém. Držte si klobúk, dorazili ste k jednému z veľkých „Ááááá!“ momenty vo vývoji diferenciálneho počtu.

      Definícia okamžitá rýchlosť: Okamžitá rýchlosť je definovaná ako hranica priemernej rýchlosti, keď sa uplynulý čas blíži k nule.

      Pre problém padajúcej gule by ste mali

      Skutočnosť, že uplynulý čas sa nikdy nedostane na nulu, nemá vplyv na presnosť odpovede na tento problém s limitom a odpoveď je presne 32 stôp za sekundu., výška otvoru v Obrázok 7-4. Pozoruhodné na limitoch je, že umožňujú vypočítať presnú a okamžitú rýchlosť pri a slobodný v danom čase prijatím limitu funkcie, ktorá je založená na uplynul čas, obdobie medzi dva časové body.

      Prepojenie limitov a kontinuity

      Predtým, ako rozšírim materiál o limitoch z predchádzajúcich častí tejto kapitoly, chcem predstaviť súvisiacu myšlienku & mdash kontinuita. Toto je taký jednoduchý koncept. A nepretržitý funkcia je jednoducho funkcia bez medzier a mdash funkcia, ktorú môžete nakresliť bez toho, aby ste zložili ceruzku z papiera. Zvážte štyri funkcie v Obrázok 7-5.

      OBRÁZOK 7-5: Grafy funkcií f, g, pa q.

      Či je alebo nie je funkcia spojitá, je takmer vždy zrejmé. Prvé dve funkcie v Obrázok 7-5, a , nemajú medzery, takže sú nepretržité. Ďalšie dva, a , mať medzery v , takže nie sú nepretržité. To je všetko. No nie celkom. Dve funkcie s medzerami nie sú všade spojité, ale pretože môžete nakresliť ich časti bez toho, aby ste zložili ceruzku z papiera, môžete povedať, že časti týchto funkcií sú spojité. A niekedy je funkcia nepretržitá všade, kde je definovaná. Takáto funkcia sa označuje ako bytia nepretržité v celej svojej doméne, čo znamená, že jeho medzera alebo medzery sa vyskytujú pri X-hodnoty, kde je funkcia nedefinovaná. Funkcia je nepretržitý v celej svojej doméne na druhej strane nie je spojitý v celej svojej doméne, pretože nie je spojitý v , ktorý je v doméne funkcie. Dôležitou otázkou často je, či je funkcia v konkrétnom prípade spojitá X-hodnota. Iba ak tam bude medzera.

      Spojitosť polynomických funkcií: Všetky polynomické funkcie sú všade spojité.

      Kontinuita racionálnych funkcií: Všetky racionálne funkcie & mdash a racionálna funkcia je kvocient dvoch polynomických funkcií & mdash sú spojité cez celé ich domény. Sú prerušované o X-hodnoty, ktoré nie sú v ich doménach & mdash, to znamená, X-hodnoty, kde je menovateľ nulový.

      Kontinuita a limity zvyčajne idú ruka v ruke

      Prezrite si štyri funkcie v Obrázok 7-5 kde . Zvážte, či je tam každá funkcia spojitá a či existuje nejaká hranica X-hodnota. Prvé dva, f a g, nemajú medzery v , takže sú tam nepretržite. Obe funkcie majú tiež limity na , a v oboch prípadoch sa limit rovná výške funkcie pri , pretože ako X je bližšie a bližšie k 3 zľava a sprava, r sa približuje a približuje a , resp.

      Funkcie p a q, na druhej strane nie sú spojité na (alebo môžete povedať, že sú diskontinuálne tam), a ani jeden nemá pravidelný, obojstranný limit na . Pre obe funkcie sú medzery na nielen prerušia kontinuitu, ale tiež spôsobia, že tam nebudú žiadne limity, pretože keď sa posúvate smerom k zľava a sprava, na niektorých singloch sa nenastavujete r-hodnota.

      Takže tu to máte. Ak je funkcia spojitá pri X-hodnota, musí na to existovať pravidelný, obojstranný limit X-hodnota. A ak dôjde k prerušeniu činnosti pri X-hodnota, nie je tam žiadny obojstranný limit a takmer úplne hellip. Pokračujte v čítaní, až na výnimku.

      Výnimka pre dieru rozpráva celý príbeh

      Výnimka v jamke je jedinou výnimkou z pravidla, že kontinuita a limity idú ruka v ruke, ale je to obrovský výnimkou. A musím priznať, že je pre mňa trochu zvláštne tvrdiť, že kontinuita a limity zvyčajne choďte ruka v ruke a hovorte o tom výnimkou pretože výnimkou je celá podstata. Keď na to prídete, výnimka je dôležitejšia ako pravidlo. Zvážte dve funkcie v Obrázok 7-6.

      OBRÁZOK 7-6: Grafy funkcií r a s.

      Tieto funkcie majú medzery v a zjavne tam nie sú nepretržité, ale oni robiť mať limity ako X prístupy 2. V každom prípade sa limit rovná výške otvoru.

      Výnimka pre dieru: Jediný spôsob, ako môže mať funkcia pravidelnú, obojstrannú hranicu, keď nie je spojitá, je diskontinuita, ktorá predstavuje nekonečne malú dieru vo funkcii.

      Takže obe funkcie v Obrázok 7-6 mať rovnaký limit ako X blíži 2 je hranica 4 a fakty že a to je nedefinované, sú irelevantné. Pre obe funkcie, ako X nuly na 2 z oboch strán, výška funkcie nuly na na výške otvoru & mdash, čo je limit. Toto sa opakuje, dokonca aj ikona:

      Limit pri diere: Limitom pri otvore je výška otvoru.

      "To je skvelé," možno si myslíte. "Ale prečo by ma to malo zaujímať?" No ostaň pri mne len minútu. Na príklade padajúcej gule v „Výpočet okamžitej rýchlosti s obmedzeniami”V predchádzajúcej časti tejto kapitoly som sa pokúsil vypočítať priemernú rýchlosť počas uplynulého času nula. Toto mi dalo . Pretože je nedefinované, výsledkom bola diera vo funkcii. Funkčné diery často vznikajú z nemožnosti rozdelenia nuly na nulu. Sú to práve tieto funkcie, kde je proces limitu rozhodujúci a tieto funkcie sú jadrom významu derivácie a derivácie sú jadrom diferenciálneho počtu.

      Pripojenie derivačného otvoru: Derivát vždy zahŕňa nedefinovaný zlomok a vždy zahŕňa limit funkcie s dierou. (Ak ste zvedaví, všetky limity v Kapitola 9 & mdash, kde je formálne definovaný derivát & mdash sú limity funkcií s dierami.)

      Vyriešenie matematického obrovského množstva spojitosti

      Všetko, čo potrebujete vedieť úplne rozumieť myšlienka spojitosti je, že funkcia je spojitá v určitom konkrétnom prípade X-hodnota, ak tam nie je medzera. Pretože vás však môže skúšať nasledujúca formálna definícia, predpokladám, že by ste to chceli vedieť.

      Definícia spojitosti: Funkcia je nepretržitý v bode ak sú splnené tieto tri podmienky:

      1. je definovaný,

      2. existuje a

      3. .

      Rovnako ako pri formálnej definícii limitu, definícia spojitosti je vždy prezentovaná ako trojdielny test, ale podmienka 3 je jediná, ktorej sa musíte skutočne obávať, pretože podmienky 1 a 2 sú zabudované do 3. Musíte si pamätať , avšak táto podmienka 3 je nie spokojní, keď ľavá a pravá strana rovnice sú nedefinované alebo neexistujú.

      Mnemotechnická pomôcka obmedzujúca 33333

      Je tu skvelé pamäťové zariadenie, ktoré zhromažďuje veľa informácií naraz v jednom ohromujúcom prostredí. Môže sa to zdať vykonštruované alebo hlúpe, ale s mnemotechnickými pomôckami, vykonštruované a hlúpe. Mnemotechnická pomôcka s limitom 33333 vám pomôže zapamätať si päť skupín z troch vecí: dve skupiny zahŕňajúce limity, dve spojitosti a jedna o deriváciách. (Uvedomujem si, že k derivátom sme sa ešte nedostali, ale toto je najlepšie miesto na prezentáciu tejto mnemotechniky. Vezmi moje slovo a nič nie je dokonalé.)

      Najprv si všimnite, že slovo limit má päť písmen a že v tejto mnemonike je päť 3. Ďalej napíš limit s malým písmenom „l“ a zrušením kríženia „t“, takže sa stane ďalším „l“ & mdash takto:

      Dve „l“ sú teraz pre limity, dve „i“ sú pre spojitosť (všimnite si, že písmeno „i“ má v sebe medzeru, takže nie je spojité) a „m“ je pre sklon ( pamätaj ?), o čom sú deriváty (to uvidíte v Kapitola 9 iba na niekoľkých stránkach).

      Každé z piatich písmen vám pomôže zapamätať si tri veci a také podobné súbory:

      & middot 3 časti k definícii limitu:

      Vráťte sa späť k definícii limitu v časti „Formálna definícia limitu a presne to, na čo ste čakali”. Pamätanie na to, že má tri časti, vám pomôže zapamätať si tieto časti a verte mi.

      & middot 3 prípady, keď limit neexistuje:

      & middot Na zvislú asymptotu & mdash nazvanú nekonečná diskontinuita & mdash ako na na funkciu p v Obrázok 7-5.

      & middot Pri skokovej diskontinuite, ako kde na funkciu q v Obrázok 7-5.

      & middot S limitom na nekonečno čísla oscilačná funkcia Páči sa mi to ktorý ide navždy hore a dole a nikdy sa nenastaví na jednu výšku.

      & middot 3 časti k definícii spojitosti:

      Rovnako ako pri definícii limitu, aj pri zapamätaní si, že definícia spojitosti má 3 časti, si pamätáte tieto 3 časti (pozri časť „Vyriešenie matematického obrovského množstva spojitosti”).

      & middot Vymeniteľná diskontinuita & mdash, čo je fantazijný výraz pre dieru & mdash ako diery vo funkciách r a s v Obrázok 7-6.

      & middot Nekonečná diskontinuita ako pri na funkciu p v Obrázok 7-5.

      & middot Skoková diskontinuita ako na na funkciu q v Obrázok 7-5.

      Upozorňujeme, že tri typy diskontinuity (otvor, nekonečno a skok) sa začínajú tromi po sebe nasledujúcimi písmenami abecedy. Pretože idú za sebou, nie sú medzi nimi medzery h, ia j, takže ide o súvislé písmená. Hej, stála táto kniha za tú cenu alebo čo?

      & middot 3 prípady, keď derivát neexistuje:

      (Vysvetľujem to v Kapitola 9 & mdash, nech si tričko zapnuté.)

      & middot pri akomkoľvek type diskontinuita.

      & middot V ostrom bode na funkcii, konkrétne v a hrot alebo a roh.

      & middot V a zvislá dotyčnica (pretože sklon je tam nedefinovaný).

      No, tu to máte. Všimli ste si, že táto mnemotechnika funguje iným spôsobom tak, že vám poskytuje 3 prípady, keď limit neexistuje, 3 prípady, keď kontinuita neexistuje, a 3 prípady, keď neexistuje derivácia? Svätá trojitá trojica neexistencie, Batman, to je ešte ďalšie 3 a zmysli si 3 témy mnemotechniky: limity, kontinuita a deriváty!

      Ak ste držiteľom autorských práv na akýkoľvek materiál obsiahnutý na našom webe a chcete ho odstrániť, požiadajte o schválenie nášho správcu stránky.


      Kontinuita

      Ak ste pochopili pojem limita, potom je ľahké pochopiť kontinuitu. Funkcia f (x) je spojitá v bode a, ak sú splnené tieto tri podmienky:

      1. f (a) by malo existovať
      2. f (x) má limit, keď sa x blíži k a
      3. Limit f (x) ako x- a gta sa rovná f (a)

      Ak všetky vyššie uvedené platí, potom je funkcia spojitá v bode a. Nasleduje niekoľko príkladov:

      Príklady spojitosti

      Koncept kontinuity úzko súvisí s limitmi. Ak je funkcia definovaná v bode, nemá v tomto bode žiadne skoky a má v tomto bode limit, potom je v danom bode spojitá. Na obrázku nižšie sú uvedené niektoré príklady, ktoré sú vysvetlené ďalej:

      />

      3.1 Funkcia štvorec

      Nasledujúca funkcia f_4 (x) je spojitá pre všetky hodnoty x:

      3.2 Racionálna funkcia

      Naša predtým použitá funkcia g (x):

      g (x) je všade spojité okrem x = -1.

      Teraz máme funkciu, ktorá je spojitá pre všetky hodnoty x.

      3.3 Recipročná funkcia

      Vráťme sa k nášmu predchádzajúcemu príkladu f_3 (x):

      f_3 (x) je všade spojité, s výnimkou at x = 0, pretože hodnota f_3 (x) má veľký skok v x = 0. Preto existuje diskontinuita pri x = 0.


      Pozri si video: Matematika.. Spojitosť Funkcie (Október 2021).