Články

8.1: Zjednodušte racionálne výrazy - matematika


Učebné ciele

Na konci tejto časti budete môcť:

  • Určte hodnoty, pre ktoré je racionálny výraz nedefinovaný
  • Vyhodnoťte racionálne výrazy
  • Zjednodušte racionálne výrazy
  • Racionálne výrazy zjednodušte opačnými faktormi

Poznámka

Než začnete, absolvujte tento kvíz o pripravenosti.

Ak vám unikne problém, vráťte sa do uvedenej časti a prečítajte si materiál.

  1. Zjednodušte: ( dfrac {90y} {15y ^ 2} ).
    Ak vám tento problém unikol, prečítajte si cvičenie 6.5.22.
  2. Faktor: (6x ^ 2−7x + 2 ).
    Ak vám tento problém unikol, prečítajte si cvičenie 7.3.16.
  3. Faktor: (n ^ 3 + 8 ).
    Ak vám tento problém unikol, prečítajte si cvičenie 7.4.36.

V kapitole 1 sme preskúmali vlastnosti zlomkov a ich operácie. Zaviedli sme racionálne čísla, čo sú iba zlomky, kde čitateľmi a menovateľmi sú celé čísla a menovateľ nie je nula.

V tejto kapitole budeme pracovať s zlomkami, ktorých čitateľmi a menovateľmi sú polynómy. Hovoríme tieto racionálne výrazy.

Definícia: RACIONÁLNY VÝRAZ

A racionálne vyjadrenie je výrazom tvaru ( dfrac {p (x)} {q (x)} ), kde (p ) a (q ) sú polynómy a (q ne 0 ).

Pamätajte, že delenie pomocou (0 ) nie je definované.

Tu je niekoľko príkladov racionálnych výrazov:

[ begin {array} {cccc} {- dfrac {13} {42}} & { dfrac {7y} {8z}} & { dfrac {5x + 2} {x ^ 2−7}} & { dfrac {4x ^ 2 + 3x − 1} {2x − 8}} nonumber end {pole} ]

Všimnite si, že prvý racionálny výraz uvedený vyššie, (- dfrac {13} {42} ), je iba zlomok. Pretože konštanta je polynóm s nulovým stupňom, je pomer dvoch konštánt racionálny výraz za predpokladu, že menovateľ nie je nula.

Vykonáme rovnaké operácie s racionálnymi výrazmi, ktoré robíme so zlomkami. Zjednodušíme ich, sčítame, odčítame, násobíme, delíme a použijeme ich v aplikáciách.

Určte hodnoty, pre ktoré je racionálny výraz nedefinovaný

Keď pracujeme s číselným zlomkom, je ľahké vyhnúť sa deleniu nulou, pretože číslo môžeme vidieť v menovateli. Aby sme sa vyhli deleniu na nulu v racionálnom vyjadrení, nesmieme povoliť hodnoty premennej, vďaka ktorým bude menovateľ nulový.

Ak je menovateľ nulový, racionálny výraz nie je definovaný. Čitateľ racionálneho výrazu môže byť (0 ) - ale nie menovateľ.

Takže predtým, ako začneme akúkoľvek operáciu s racionálnym výrazom, najskôr ju preskúmame, aby sme našli hodnoty, vďaka ktorým by bol menovateľ nulový. Takto napríklad keď vyriešime racionálnu rovnicu, budeme vedieť, či sú nájdené algebraické riešenia povolené alebo nie.

Definícia: URČTE HODNOTY, PRE KTORÉ JE NEDefinovaný racionálny výraz.

  1. Nastaviť menovateľ na nulu.
  2. Ak je to možné, vyriešte rovnicu v množine reálií.

Príklad ( PageIndex {1} )

Určte hodnoty, pre ktoré je racionálny výraz nedefinovaný:

  1. ( dfrac {9y} {x} )
  2. ( dfrac {4b − 3} {2b + 5} )
  3. ( dfrac {x + 4} {x ^ 2 + 5x + 6} )
Odpoveď

Ak je menovateľ nulový, výraz nebude definovaný.

1. ( dfrac {9y} {x} )
Nastaviť menovateľ na nulu. Vyriešte premennú. (x = 0 )
( dfrac {9y} {x} ) nie je definované pre (x = 0 ).
2.

( dfrac {4b − 3} {2b + 5} )

Nastaviť menovateľ na nulu. Vyriešte premennú. (2b + 5 = 0 )
(2b = −5 )
(b = - dfrac {5} {2} )
( dfrac {4b − 3} {2b + 5} ) nie je definované pre (b = - dfrac {5} {2} ).
3. ( dfrac {x + 4} {x ^ 2 + 5x + 6} )
Nastaviť menovateľ na nulu. Vyriešte premennú. (x ^ 2 + 5x + 6 = 0 )
((x + 2) (x + 3) = 0 )
(x + 2 = 0 ) alebo (x + 3 = 0 )
(x = −2 ) alebo (x = −3 )
( dfrac {x + 4} {x ^ 2 + 5x + 6} ) nie je definované pre (x = −2 ) alebo (x = −3 ).

Tvrdenie, že racionálny výraz ( dfrac {x + 4} {x ^ 2 + 5x + 6} ) nie je definovaný pre (x = −2 ) alebo (x = −3 ), je podobné písaniu fráza „neplatné tam, kde je zakázané“ v pravidlách súťaže.

Príklad ( PageIndex {2} )

Určte hodnoty, pre ktoré je racionálny výraz nedefinovaný:

  1. ( dfrac {3r} {x} )
  2. ( dfrac {8n − 5} {3n + 1} )
  3. ( dfrac {a + 10} {a ^ 2 + 4a + 3} )
Odpoveď
  1. (x = 0 )
  2. (n = - dfrac {1} {3} )
  3. (a = −1 ), (a = −3 )

Príklad ( PageIndex {3} )

Určte hodnoty, pre ktoré je racionálny výraz nedefinovaný:

  1. ( dfrac {4p} {5q} )
  2. ( dfrac {y − 1} {3y + 2} )
  3. ( dfrac {m − 5} {m ^ 2 + m − 6} )
Odpoveď
  1. (q = 0 )
  2. (y = - dfrac {2} {3} )
  3. (m = 2, , m = -3)

Vyhodnoťte racionálne výrazy

Aby sme vyhodnotili racionálny výraz, dosadíme do premenných hodnoty premenných a zjednodušíme ich, rovnako ako to máme v prípade mnohých ďalších výrazov v tejto knihe.

Príklad ( PageIndex {5} )

Vypočítajte ( dfrac {y + 1} {2y − 3} ) pre každú hodnotu:

  1. (y = 1 )
  2. (y = -3)
  3. (y = 0 )
Odpoveď
  1. (−2)
  2. ( dfrac {2} {9} )
  3. (- dfrac {1} {3} )

Príklad ( PageIndex {6} )

Vypočítajte ( dfrac {5x − 1} {2x + 1} ) pre každú hodnotu:

  1. (x = 1 )
  2. (x = −1 )
  3. (x = 0 )
Odpoveď
  1. ( dfrac {4} {3} )
  2. (6)
  3. (−1)

Príklad ( PageIndex {8} )

Vypočítajte ( dfrac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2−3x + 2} ) pre každú hodnotu:

  1. (x = 0 )
  2. (x = −1 )
  3. (x = 3 )
Odpoveď
  1. ( dfrac {1} {2} )
  2. ( dfrac {1} {3} )
  3. (2)

Príklad ( PageIndex {9} )

Vypočítajte ( dfrac {x ^ 2 + x − 6} {x ^ 2−9} ) pre každú hodnotu.

  1. (x = 0 )
  2. (x = −2 )
  3. (x = 1 )
Odpoveď
  1. ( dfrac {2} {3} )
  2. ( dfrac {4} {5} )
  3. ( dfrac {1} {2} )

Pamätajte, že zlomok je zjednodušený, ak nemá v čitateľovi a v menovateli iné spoločné faktory ako 1. Keď hodnotíme racionálny výraz, výsledný zlomok musíme zjednodušiť.

Príklad ( PageIndex {10} )

Vyhodnoťte ( dfrac {a ^ 2 + 2ab + b ^ 2} {3ab ^ 2} ) pre každú hodnotu.

  1. (a = 1, , b = 2 )
  2. (a = −2, , b = −1 )
  3. (a = dfrac {1} {3} ), (b = 0 )
Odpoveď
1. ( dfrac {a ^ 2 + 2ab + b ^ 2} {3ab ^ 2} ) keď (a = 1, , b = 2 )
Zjednodušiť.
2. ( dfrac {a ^ 2 + 2ab + b ^ 2} {3ab ^ 2} ) keď (a = -2, , b = -1)
Zjednodušiť.
3. ( dfrac {a ^ 2 + 2ab + b ^ 2} {3ab ^ 2} ) keď (a = dfrac {1} {3} ), (b = 0 )
Zjednodušiť.

Príklad ( PageIndex {11} )

Vyhodnoťte ( dfrac {2a ^ {3} b} {a ^ 2 + 2ab + b ^ 2} ) pre každú hodnotu.

  1. (a = -1, , b = 2 )
  2. (a = 0, , b = −1 )
  3. (a = 1 ), (b = dfrac {1} {2} )
Odpoveď
  1. (−4)
  2. (0)
  3. ( dfrac {4} {9} )

Príklad ( PageIndex {12} )

Vyhodnoťte ( dfrac {a ^ 2 − b ^ 2} {8ab ^ 3} ) pre každú hodnotu:

  1. (a = 1, , b = −1 )
  2. (a = dfrac {1} {2} ), (b = -1)
  3. (a = −2, , b = 1 )
Odpoveď
  1. (0)
  2. ( dfrac {3} {16} )
  3. ( dfrac {3} {16} )

Zjednodušte racionálne výrazy

Rovnako ako zlomok sa považuje za zjednodušený, ak v čitateľovi a menovateli nie sú spoločné faktory okrem (1 ), racionálny výraz je zjednodušene ak nemá v čitateľovi a v menovateli iné spoločné faktory ako (1 ).

Definícia: ZJEDNODUŠENÝ RACIONÁLNY VÝRAZ

Racionálny výraz sa považuje za zjednodušený, ak v čitateľovi a menovateli nie sú spoločné faktory.

Napríklad:

  • ( dfrac {2} {3} ) je zjednodušený, pretože neexistujú spoločné faktory (2 ) a (3 ).
  • ( dfrac {2x} {3x} ) nie je zjednodušený, pretože (x ) je spoločný faktor (2x ) a (3x ).

Vlastnosť Ekvivalentné zlomky používame na zjednodušenie číselných zlomkov. Preformulujeme to tu, pretože to tiež použijeme na zjednodušenie racionálne vyjadrenies.

Pojem: VLASTNÍCTVO ROVNOSTI ROVNOSTÍ

Ak (a ), (b ) a (c ) sú čísla, kde (b ne 0 ), (c ne 0 ), potom [ dfrac {a} {b } = dfrac {a · c} {b · c} quad text {a} quad dfrac {a · c} {b · c} = dfrac {a} {b} ]

Všimnite si, že vo vlastnosti Ekvivalentné zlomky sú hodnoty, ktoré by spôsobili nulové hodnoty menovateľov, konkrétne zakázané. Vidíme (b ne 0 ), (c ne 0 ) jasne uvedené. Zakaždým, keď napíšeme racionálny výraz, mali by sme urobiť podobné vyhlásenie zakazujúce hodnoty, vďaka ktorému by bol menovateľ nulový. Aby sme sa však sústredili na prácu, ktorú sme práve vykonali, vynecháme to v príkladoch.

Začnime kontrolou, ako zjednodušujeme číselné zlomky.

Príklad ( PageIndex {13} )

Zjednodušte: (- dfrac {36} {63} ).

Odpoveď
Opíšte čitateľa a menovateľa, ktorý ukazuje spoločné faktory.
Zjednodušte si použitie vlastnosti ekvivalentných zlomkov.

Všimnite si, že zlomok (- dfrac {4} {7} ) je zjednodušený, pretože už neexistujú spoločné faktory.

ExAMPLe ( PageIndex {14} )

Zjednodušte: (- dfrac {45} {81} ).

Odpoveď

(- dfrac {5} {9} )

Príklad ( PageIndex {15} )

Zjednodušte: (- dfrac {42} {54} ).

Odpoveď

(- dfrac {7} {9} )

V tejto kapitole budeme predpokladať, že sú vylúčené všetky číselné hodnoty, vďaka ktorým by bol menovateľ nulový. Nebudeme písať obmedzenia pre každý racionálny výraz, ale majte na pamäti, že menovateľ nikdy nemôže byť nulový. V tomto ďalšom príklade teda (x ne 0 ) a (y ne 0 ).

Príklad ( PageIndex {16} )

Zjednodušte: ( dfrac {3xy} {18x ^ {2} y ^ {2}} ).

Odpoveď
Opíšte čitateľa a menovateľa, ktorý ukazuje spoločné faktory.
Zjednodušte si použitie vlastnosti ekvivalentných zlomkov.

Všimli ste si, že ide o rovnaké kroky, aké sme podnikli, keď sme rozdelili monomény na Polynómy?

Príklad ( PageIndex {17} )

Zjednodušte: ( dfrac {4x ^ {2} y} {12xy ^ 2} ).

Odpoveď

( dfrac {x} {3r} )

Príklad ( PageIndex {18} )

Zjednodušte: ( dfrac {16x ^ {2} y} {2xy ^ 2} ).

Odpoveď

( dfrac {8x} {y} )

Pre zjednodušenie racionálnych výrazov najskôr napíšeme čitateľ a menovateľ vo faktorizovanej podobe. Potom odstránime bežné faktory pomocou vlastnosti Ekvivalentné zlomky.

Pri odstraňovaní bežných faktorov buďte veľmi opatrní. Faktory sa pri výrobe produktu znásobujú. Z produktu môžete odstrániť faktor. Zo sumy nemôžete odstrániť výraz.

Upozorňujeme, že odstránenie súboru X'S from ( dfrac {x + 5} {x} ) by bolo ako zrušiť dvojku v zlomku ( dfrac {2 + 5} {2} )!

Ako zjednodušiť racionálne dvojčleny

Príklad ( PageIndex {19} )

Zjednodušte: ( dfrac {2x + 8} {5x + 20} ).

Odpoveď

Príklad ( PageIndex {20} )

Zjednodušte: ( dfrac {3x − 6} {2x − 4} ).

Odpoveď

( dfrac {3} {2} )

Príklad ( PageIndex {21} )

Zjednodušte: ( dfrac {7y + 35} {5y + 25} ).

Odpoveď

( dfrac {7} {5} )

Teraz sumarizujeme kroky, ktoré by ste mali podniknúť, aby ste zjednodušili racionálne výrazy.

Definícia: ZJEDNODUŠTE RACIONÁLNY VÝRAZ.

  1. Faktor čitateľa a menovateľa.
  2. Zjednodušte to rozdelením bežných faktorov.

Zjednodušený racionálny výraz zvyčajne necháme vo faktorizovanej podobe. Týmto spôsobom je ľahké skontrolovať, či sme odstránili všetky bežné faktory!

Použijeme metódy, ktorým sme sa venovali Faktoring na zohľadnenie polynómov v čitateľoch a menovateľoch v nasledujúcich príkladoch.

Príklad ( PageIndex {22} )

Zjednodušte: ( dfrac {x ^ 2 + 5x + 6} {x ^ 2 + 8x + 12} ).

Odpoveď
( dfrac {x ^ 2 + 5x + 6} {x ^ 2 + 8x + 12} )
Rozpočítajte čitateľa a menovateľa. ( dfrac {(x + 2) (x + 3)} {(x + 2) (x + 6)} )
Odstráňte spoločný faktor (x + 2 ) z čitateľa a menovateľa. ( dfrac {x + 3} {x + 6} )

Môžete povedať, ktoré hodnoty (x ) musia byť v tomto príklade vylúčené?

Príklad ( PageIndex {23} )

Zjednodušte: ( dfrac {x ^ 2 − x − 2} {x ^ 2−3x + 2} ).

Odpoveď

( dfrac {x + 1} {x − 1} )

Príklad ( PageIndex {24} )

Zjednodušte: ( dfrac {x ^ 2−3x − 10} {x ^ 2 + x − 2} ).

Odpoveď

( dfrac {x − 5} {x − 1} )

Príklad ( PageIndex {25} )

Zjednodušte: ( dfrac {y ^ 2 + y − 42} {y ^ 2−36} ).

Odpoveď
( dfrac {y ^ 2 + y − 42} {y ^ 2−36} ).
Rozpočítajte čitateľa a menovateľa. ( dfrac {(y + 7) (y − 6)} {(y + 6) (y − 6)} )
Odstráňte spoločný faktor (y − 6 ) z čitateľa a menovateľa. ( dfrac {y + 7} {y + 6} )

Príklad ( PageIndex {26} )

Zjednodušte: ( dfrac {x ^ 2 + x − 6} {x ^ 2−4} ).

Odpoveď

( dfrac {x + 3} {x + 2} )

Príklad ( PageIndex {27} )

Zjednodušte: ( dfrac {x ^ 2 + 8x + 7} {x ^ 2−49} ).

Odpoveď

( dfrac {x + 1} {x − 7} )

Príklad ( PageIndex {28} )

Zjednodušte: ( dfrac {p ^ 3−2p ^ 2 + 2p − 4} {p ^ 2−7p + 10} ).

Odpoveď
( dfrac {p ^ 3−2p ^ 2 + 2p − 4} {p ^ 2−7p + 10} )
Rozpočítajte čitateľa a menovateľa pomocou zoskupenia, aby ste čitateľa zmenili. ( dfrac {p ^ 2 (p − 2) +2 (p − 2)} {(p − 5) (p − 2)} )
( dfrac {(p ^ 2 + 2) (p − 2)} {(p − 5) (p − 2)} )
Odstráňte spoločný faktor (p − 2 ) z čitateľa a menovateľa. ( dfrac {p ^ 2 + 2} {p − 5} )

Príklad ( PageIndex {29} )

Zjednodušte: ( dfrac {y ^ 3−3y ^ 2 + y − 3} {y ^ 2 − y − 6} ).

Odpoveď

( dfrac {y ^ 2 + 1} {y + 2} )

Príklad ( PageIndex {30} )

Zjednodušte: ( dfrac {p ^ 3 − p ^ 2 + 2p − 2} {p ^ 2 + 4p − 5} ).

Odpoveď

( dfrac {p ^ 2 + 2} {p + 5} )

Príklad ( PageIndex {31} )

Zjednodušte: ( dfrac {2n ^ 2−14n} {4n ^ 2−16n − 48} ).

Odpoveď
( dfrac {2n ^ 2−14n} {4n ^ 2−16n − 48} )
Rozpočítajte čitateľa a menovateľa, najskôr oddeľte GCF. ( dfrac {2n (n − 7)} {4 (n ^ 2−4n − 12)} )
( dfrac {2n (n − 7)} {4 (n − 6) (n + 2)} )
Odstráňte spoločný faktor (2 ). ( dfrac {n (n − 7)} {2 (n − 6) (n + 2)} )

Príklad ( PageIndex {32} )

Zjednodušte: ( dfrac {2n ^ 2−10n} {4n ^ 2−16n − 20} ).

Odpoveď

( dfrac {n} {2 (n + 1)} )

Príklad ( PageIndex {33} )

Zjednodušte: ( dfrac {4x ^ 2−16x} {8x ^ 2−16x − 64} ).

Odpoveď

( dfrac {x} {2 (x + 2)} )

Príklad ( PageIndex {34} )

Zjednodušte: ( dfrac {3b ^ 2−12b + 12} {6b ^ 2−24} ).

Odpoveď
( dfrac {3b ^ 2−12b + 12} {6b ^ 2−24} )
Rozpočítajte čitateľa a menovateľa, najskôr oddeľte GCF. ( dfrac {3 (b ^ 2−4b + 4)} {6 (b ^ 2−4)} )
( dfrac {3 (b − 2) (b − 2)} {6 (b − 2) (b + 2)} )
Odstráňte spoločné faktory (b − 2 ) a (3 ). ( dfrac {3 (b − 2)} {2 (b + 2)} )

Príklad ( PageIndex {35} )

Zjednodušte: ( dfrac {2x ^ 2−12x + 18} {3x ^ 2−27} ).

Odpoveď

( dfrac {2 (x − 3)} {3 (x + 3)} )

Príklad ( PageIndex {36} )

Zjednodušte: ( dfrac {5y ^ 2−30y + 25} {2y ^ 2−50} ).

Odpoveď

( dfrac {5 (x − 1)} {2 (x + 5)} )

Príklad ( PageIndex {37} )

Zjednodušte: ( dfrac {m ^ 3 + 8} {m ^ 2−4} ).

Odpoveď
( dfrac {m ^ 3 + 8} {m ^ 2−4} )
Rozpočítajte čitateľa a menovateľa pomocou vzorcov pre súčet kociek a rozdiel štvorcov. ( dfrac {(m + 2) (m ^ 2−2m + 4)} {(m + 2) (m − 2)} )
Odstráňte spoločné faktory (m + 2 ). ( dfrac {m ^ 2−2m + 4} {m − 2} )

Príklad ( PageIndex {38} )

Zjednodušte: ( dfrac {p ^ 3−64} {p ^ 2−16} ).

Odpoveď

( dfrac {p ^ 2 + 4p + 16} {p + 4} )

Príklad ( PageIndex {39} )

Zjednodušte: ( dfrac {x ^ 3 + 8} {x ^ 2−4} ).

Odpoveď

( dfrac {x ^ 2−2x + 4} {x − 2} )

Zjednodušte racionálne výrazy pomocou opačných faktorov

Teraz uvidíme, ako zjednodušiť racionálny výraz, ktorého čitateľ a menovateľ majú opačné faktory. Začnime s číselným zlomkom, napríklad ( dfrac {7} {- 7} ).

Vieme, že tento zlomok sa zjednodušuje na (- 1 ). Uznávame tiež, že čitateľ a menovateľ sú protiklady.

V Nadácie, zaviedli sme opačný zápis: opak a je (- a ). Pamätáme si tiež, že (- a = −1 · a )

Zjednodušujeme zlomok ( dfrac {a} {- a} )

[ begin {array} {ll} {} & { dfrac {a} {- a}} { text {Mohli by sme to prepísať.}} & { dfrac {1 · a} {- 1 · a}} { text {Odstráňte bežné faktory.}} & { dfrac {1} {- 1}} { text {Zjednodušte.}} & {- 1} nonumber end { pole} ]

Rovnakým spôsobom teda môžeme zjednodušiť zlomok ( dfrac {x − 3} {- (x − 3)} )

[ begin {array} {ll} {} & { dfrac {x − 3} {- (x − 3)}} { text {mohli by sme to prepísať.}} & { dfrac {1 · (x − 3)} {- 1 · (x − 3)}} { text {Odstráňte bežné faktory.}} & { dfrac {1} {- 1}} { text {Zjednodušte. }} & {- 1} nonumber end {pole} ]

Ale opak (x − 3 ) by sa dal napísať inak:

[ begin {array} {ll} {} & {- (x − 3)} { text {Distribute.}} & {- x + 3} { text {Rewrite.}} & { 3 − x} nonumber end {pole} ]

To znamená, že zlomok ( dfrac {x − 3} {3 − x} ) sa zjednodušuje na (- 1 ).

Všeobecne by sme mohli napísať opak (a − b ) ako (b − a ). Takže racionálny výraz ( dfrac {a − b} {b − a} ) sa zjednodušuje na (- 1 ).

Pojem: NÁZORY V RACIONÁLNOM VYJADRENÍ

Opak (a − b ) je (b − a )

( dfrac {a − b} {b − a} = - 1 ), (a ne b )

Výraz a jeho opačné rozdelenie na (- 1 )

Túto vlastnosť použijeme na zjednodušenie racionálnych výrazov, ktoré obsahujú protipóly v ich čitateľoch a menovateľoch.

Príklad ( PageIndex {40} )

Zjednodušte: ( dfrac {x − 8} {8 − x} ).

Odpoveď
( dfrac {x − 8} {8 − x} ).
Uznajte, že (x − 8 ) a (8 − x ) sú protiklady−1

Príklad ( PageIndex {41} )

Zjednodušte: ( dfrac {y − 2} {2 − y} ).

Odpoveď

(−1)

Príklad ( PageIndex {42} )

Zjednodušte: ( dfrac {n − 9} {9 − n} ).

Odpoveď

(−1)

Pamätajte, že prvým krokom pri zjednodušovaní racionálneho výrazu je úplné zohľadnenie čitateľa a menovateľa.

Príklad ( PageIndex {43} )

Zjednodušte: ( dfrac {14−2x} {x ^ 2−49} ).

Odpoveď
Rozpočítajte čitateľa a menovateľa.
Rozpoznať (7 − x ) a (x − 7 ) sú protiklady.
Zjednodušiť.

Príklad ( PageIndex {44} )

Zjednodušte: ( dfrac {10−2y} {y ^ 2−25} ).

Odpoveď

(- dfrac {2} {y + 5} )

Príklad ( PageIndex {45} )

Zjednodušte: ( dfrac {3y − 27} {81 −y ^ 2} ).

Odpoveď

(- dfrac {3} {9 + y} )

Príklad ( PageIndex {46} )

Zjednodušte: ( dfrac {x ^ 2−4x − 32} {64 − x ^ 2} ).

Odpoveď
Rozpočítajte čitateľa a menovateľa.
Rozpoznať faktory, ktoré sú protikladmi.
Zjednodušiť.

Príklad ( PageIndex {47} )

Zjednodušte: ( dfrac {x ^ 2−4x − 5} {25 − x ^ 2} ).

Odpoveď

(- dfrac {x + 1} {x + 5} )

Príklad ( PageIndex {48} )

Zjednodušte: ( dfrac {x ^ 2 + x − 2} {1 − x ^ 2} ).

Odpoveď

(- dfrac {x + 2} {x + 1} )

Kľúčové koncepty

  • Určte hodnoty, pre ktoré je racionálny výraz nedefinovaný
    1. Nastaviť menovateľ na nulu.
    2. Ak je to možné, vyriešte rovnicu.
  • Zjednodušený racionálny výraz
    • Racionálny výraz sa považuje za zjednodušený, ak v čitateľovi a menovateli nie sú spoločné faktory.
  • Zjednodušte racionálny výraz
    1. Faktor čitateľa a menovateľa úplne.
    2. Zjednodušte to rozdelením bežných faktorov.
  • Protiklady v racionálnom vyjadrení
    • Opakom (a − b ) je (b − a ).
      ( dfrac {a − b} {b − a} = - 1 ) (a ne b ), (b ne 0 ), (a ne b )

Glosár

racionálne vyjadrenie
Racionálny výraz je výrazom tvaru ( dfrac {p} {q} ), kde (p ) a (q ) sú polynómy a (q ne 0 ).


Pozri si video: Číselné výrazy (Október 2021).