Články

14.1: Iterované integrály a oblasť


V predchádzajúcej kapitole sme zistili, že môžeme rozlíšiť funkcie viacerých premenných vzhľadom na jednu premennú, zatiaľ čo so všetkými ostatnými premennými sa zaobchádza ako s konštantami alebo koeficientmi. Podobným spôsobom môžeme integrovať funkcie viacerých premenných. Napríklad, ak nám bude povedané, že (f_x (x, y) = 2xy ), môžeme považovať (y ) za konštantné a integrovať ich tak, aby sme získali (f (x, y) ):

[ begin {align *}
f (x, y) & = int f_x (x, y) , dx
& = int 2xy , dx
& = x ^ 2y + C.
end {zarovnať *} ]

Pozorne si zapamätajte konštantu integrácie (C ). Táto „konštanta“ je niečo s deriváciou (0 ) vzhľadom na (x ), takže to môže byť akýkoľvek výraz, ktorý obsahuje iba konštanty a funkcie (y ). Napríklad, ak ( f (x, y) = x ^ 2y + sin y + y ^ 3 + 17 ), potom (f_x (x, y) = 2xy ). Znamená to, že (C ) je vlastne funkciou (y ), napíšeme:

[f (x, y) = int f_x (x, y) , dx = x ^ 2y + C (y). ]

Pomocou tohto procesu môžeme dokonca vyhodnotiť určité integrály.

Príklad ( PageIndex {1} ): Integrácia funkcií viac ako jednej premennej

Vyhodnoťte integrál ( Displaystyle int_1 ^ {2y} 2xy , dx. )

Riešenie

Nájdeme neurčitý integrál ako predtým, potom použijeme Základnú vetu počtu na vyhodnotenie určitého integrálu:

[ begin {align *}
int_1 ^ {2y} 2xy , dx & = x ^ 2y Big | _1 ^ {2y}
& = (2r) ^ 2r - (1) ^ 2r
& = 4r ^ 3-r.
end {zarovnať *} ]

Môžeme tiež integrovať vzhľadom na (y ). Všeobecne,

[ int_ {h_1 (y)} ^ {h_2 (y)} f_x (x, y) , dx = f (x, y) Veľký | _ {h_1 (y)} ^ {h_2 (y)} = f big (h_2 (y), y big) -f big (h_1 (y), y big), ]

a

[ int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} f_y (x, y) , dy = f (x, y) Veľký | _ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} = f big (x, g_2 (x) big) -f big (x, g_1 (x) big). ]

Upozorňujeme, že pri integrácii s ohľadom na (x ) sú hranicami funkcie (y ) (v tvare (x = h_1 (y) ) a (x = h_2 (y) )) a konečný výsledok je tiež funkciou (y ). Pri integrácii s ohľadom na (y ) sú hraničnými hodnotami funkcie (x ) (tvaru (y = g_1 (x) ) a (y = g_2 (x) )) a konečná výsledkom je funkcia (x ). Ďalší príklad nám to pomôže pochopiť.

Príklad ( PageIndex {2} ): Integrácia funkcií viac ako jednej premennej

Hodnotiť ( displaystyle int_1 ^ x big (5x ^ 3y ^ {- 3} + 6y ^ 2 big) , dy ).

Riešenie

Považujeme (x ) za konštantné a integrujeme vzhľadom na (y ):

[ begin {align *}
int_1 ^ x big (5x ^ 3y ^ {- 3} + 6y ^ 2 big) , dy & = doľava ( frac {5x ^ 3y ^ {- 2}} {- 2} + frac { 6r ^ 3} {3} vpravo) Bigg | _1 ^ x
& = doľava (- frac52x ^ 3x ^ {- 2} + 2x ^ 3 doprava) - doľava (- frac52x ^ 3 + 2 doprava)
& = frac92x ^ 3- frac52x-2.
end {zarovnať *} ]

Všimnite si, ako sú hranice integrálu od (y = 1 ) do (y = x ) a že konečná odpoveď je funkciou (x ).

V predchádzajúcom príklade sme integrovali funkciu vzhľadom na (y ) a skončili sme funkciou (x ). Môžeme to integrovať tiež. Tento proces je známy ako iterovaná integráciaalebo viacnásobná integrácia.

Príklad ( PageIndex {3} ): Integrácia integrálu

Hodnotiť ( Displaystyle int_1 ^ 2 left ( int_1 ^ x big (5x ^ 3y ^ {- 3} + 6y ^ 2 big) , dy right) , dx. )

Riešenie

Postupujeme podľa štandardného „poradia operácií“ a najskôr vykonáme operácie v zátvorkách (čo je integrál vyhodnotený v príklade ( PageIndex {2} ).)

[ begin {align *}
int_1 ^ 2 left ( int_1 ^ x big (5x ^ 3y ^ {- 3} + 6y ^ 2 big) , dy right) , dx & = int_1 ^ 2 left ( left [ frac {5x ^ 3y ^ {- 2}} {- 2} + frac {6y ^ 3} {3} vpravo] Bigg | _1 ^ x vpravo) , dx
& = int_1 ^ 2 vľavo ( frac92x ^ 3- frac52x-2 vpravo) , dx
& = doľava ( frac98x ^ 4- frac54x ^ 2-2x doprava) Bigg | _1 ^ 2
& = frac {89} 8.
end {zarovnať *} ]

Všimnite si, ako hranice (x ) boli (x = 1 ) až (x = 2 ) a konečným výsledkom bolo číslo.

Predchádzajúci príklad ukázal, ako môžeme vykonať niečo, čo sa volá iterovaný integrál; zatiaľ nevieme, prečo by nás to zaujímalo, ani aký je výsledok, napríklad číslo (89/8 ), znamená. Predtým, ako preskúmame tieto otázky, ponúkneme niekoľko definícií.

Definícia: Iterovaná integrácia

Iterovaná integrácia je proces opakovanej integrácie výsledkov predchádzajúcich integrácií. Integrácia jedného integrálu sa označuje nasledovne.

Nech (a ), (b ), (c ) a (d ) sú čísla a nech (g_1 (x) ), (g_2 (x) ), (h_1 ( y) ) a (h_2 (y) ) sú funkcie (x ) a (y ). Potom:

  1. ( Displaystyle int_c ^ d int_ {h_1 (y)} ^ {h_2 (y)} f (x, y) , dx , dy = int_c ^ d doľava ( int_ {h_1 (y) } ^ {h_2 (y)} f (x, y) , dx vpravo) , dy. )
  2. ( Displaystyle int_a ^ b int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} f (x, y) , dy , dx = int_a ^ b doľava ( int_ {g_1 (x) } ^ {g_2 (x)} f (x, y) , dy vpravo) , dx. )

Opäť si všimnite hranice týchto iterovaných integrálov.

S ( Displaystyle int_c ^ d int_ {h_1 (y)} ^ {h_2 (y)} f (x, y) , dx , dy ), (x ) sa líši od (h_1 ( y) ) až (h_2 (y) ), zatiaľ čo (y ) sa líši od (c ) do (d ). To znamená, že hranice (x ) sú krivky, krivky (x = h_1 (y) ) a (x = h_2 (y) ), zatiaľ čo hranice (y ) sú konštanty, (y = c ) a (y = d ). Je užitočné pamätať na to, že pri nastavovaní a vyhodnocovaní týchto iterovaných integrálov integrujeme „z krivky na krivku, potom z bodu na bod.“

Teraz začneme vyšetrovať prečo máme záujem o iterované integrály a čo majú na mysli.

Plocha rovinného regiónu

Zvážte rovinnú oblasť (R ) ohraničenú (a leq x leq b ) a (g_1 (x) leq y leq g_2 (x) ), znázornené na obrázku ( PageIndex {1 } ). V časti 7.1 (v kalkulu I) sme sa dozvedeli, že plocha (R ) je daná vzťahom

[ int_a ^ b big (g_2 (x) -g_1 (x) big) , dx. ]

Výraz ( big (g_2 (x) -g_1 (x) big) ) môžeme zobraziť ako

[ big (g_2 (x) -g_1 (x) big) = int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} 1 ​​, dy = int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 ( x)} , dy, ]

čo znamená, že môžeme oblasť (R ) vyjadriť ako iterovaný integrál:

[ text {oblasť} R = int_a ^ b big (g_2 (x) -g_1 (x) big) , dx = int_a ^ b left ( int_ {g_1 (x)} ^ { g_2 (x)} , dy right) , dx = int_a ^ b int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} , dy , dx. ]

Stručne povedané: na určitý iterovaný integrál sa dá pozerať tak, že dáva plochu rovinnej oblasti.

Región (R ) možno tiež definovať (c leq y leq d ) a (h_1 (y) leq x leq h_2 (y) ), ako je znázornené na obrázku ( PageIndex {2} ). Použitím procesu podobného vyššie uvedenému sme dosiahli
$$ text {oblasť} R = int_c ^ d int_ {h_1 (y)} ^ {h_2 (y)} , dx , dy. ]

Formálne to uvádzame ako vetu.

THEOREM ( PageIndex {1} ): Oblasť rovinnej oblasti

  1. Nech (R ) je rovinná oblasť ohraničená (a leq x leq b ) a (g_1 (x) leq y leq g_2 (x) ), kde (g_1 ) a (g_2 ) sú spojité funkcie na ([a, b] ). Plocha (A ) (R ) je $$ A = int_a ^ b int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} , dy , dx. $$
  2. Nech (R ) je rovinná oblasť ohraničená (c leq y leq d ) a (h_1 (y) leq x leq h_2 (y) ), kde (h_1 ) a (h_2 ) sú spojité funkcie na ([c, d] ). Plocha (A ) (R ) je $$ A = int_c ^ d int_ {h_1 (y)} ^ {h_2 (y)} , dx , dy. $$

Nasledujúce príklady by nám mali pomôcť pochopiť túto vetu.

Príklad ( PageIndex {4} ): Oblasť obdĺžnika

Nájdite oblasť (A ) obdĺžnika s rohmi ((- 1,1) ) a ((3,3) ), ako je to znázornené na obrázku ( PageIndex {3} ).

Riešenie

Viacnásobná integrácia je v tejto situácii zjavne prehnaná, ale pristupujeme k zavedeniu jej použitia.

Oblasť (R ) je ohraničená (x = -1 ), (x = 3 ), (y = 1 ) a (y = 3 ). Rozhodli sme sa integrovať najskôr vzhľadom na (y ), máme
$$ A = int _ {- 1} ^ 3 int_1 ^ 3 1 , dy , dx = int _ {- 1} ^ 3 vľavo (y Big | _1 ^ 3 vpravo) , dx = int _ {- 1} ^ 3 2 , dx = 2x Veľký | _ {- 1} ^ 3 = 8. ]

Mohli by sme sa tiež najskôr integrovať s ohľadom na (x ) a dať:
$$ A = int_1 ^ 3 int _ {- 1} ^ 3 1 , dx , dy = int_1 ^ 3 left (x Big | _ {- 1} ^ 3 right) , dy = int_1 ^ 3 4 , dy = 4r Veľký | _1 ^ 3 = 8. ]

Je zrejmé, že existujú jednoduchšie spôsoby, ako nájsť túto oblasť, ale je zaujímavé si uvedomiť, že táto metóda funguje.

Príklad ( PageIndex {5} ): Oblasť trojuholníka

Nájdite oblasť (A ) trojuholníka s vrcholmi na ((1,1) ), ((3,1) ) a ((5,5) ), ako je to znázornené na obrázku ( PageIndex {4} ).

Riešenie

Trojuholník je ohraničený čiarami, ako je to znázornené na obrázku. Ak sa rozhodnete pre integráciu vo vzťahu k (x ), najskôr bude (x ) ohraničené (x = y ) na (x = frac {y + 5} 2 ), zatiaľ čo (y ) je ohraničené (y = 1 ) na (y = 5 ). (Pripomeňme, že keďže (x ) - hodnoty sa zvyšujú zľava doprava, krivka úplne vľavo, (x = y ), je dolnou hranicou a krivka úplne vpravo, (x = (y + 5) / 2 ) ), je horná hranica.) Oblasť je

[ begin {align *}
A & = int_1 ^ 5 int_ {y} ^ { frac {y + 5} 2} , dx , dy
& = int_1 ^ 5 vľavo (x Big | _y ^ { frac {y + 5} 2} vpravo) , dy
& = int_1 ^ 5 vľavo (- frac12y + frac52 vpravo) , dy
& = doľava (- frac14y ^ 2 + frac52y doprava) veľký | _1 ^ 5
&=4.
end {zarovnať *} ]

Oblasť môžeme nájsť aj tak, že najskôr integrujeme s ohľadom na (y ). V tejto situácii máme dve funkcie, ktoré fungujú ako dolná hranica pre oblasť (R ), (y = 1 ) a (y = 2x-5 ). To si vyžaduje, aby sme použili dva iterované integrály. Všimnite si, ako sú hranice (x ) - rôzne pre každý integrál:

[ begin {align *}
A & = int_1 ^ 3 int_1 ^ x 1 , dy , dx & + & & & int_3 ^ 5 int_ {2x-5} ^ x1 , dy , dx
& = int_1 ^ 3 big (y big) Big | _1 ^ x , dx & + & & & int_3 ^ 5 big (y big) Big | _ {2x-5} ^ x , dx
& = int_1 ^ 3 big (x-1 big) , dx & + & & & int_3 ^ 5 big (-x + 5 big) , dx
&= 2 & + & & & 2 \
&=4.
end {zarovnať *} ]

Podľa očakávaní dostaneme obe odpovede rovnako.

Príklad ( PageIndex {6} ): Oblasť rovinnej oblasti

Nájdite oblasť regiónu ohraničenú (y = 2x ) a (y = x ^ 2 ), ako je to znázornené na obrázku ( PageIndex {5} ).

Riešenie

Opäť nájdeme oblasť regiónu pomocou obidvoch objednávok integrácie.

Pomocou (, dy , dx ):

[ int_0 ^ 2 int_ {x ^ 2} ^ {2x} 1 , dy , dx = int_0 ^ 2 (2x-x ^ 2) , dx = big (x ^ 2- frac13x ^ 3 big) big | _0 ^ 2 = frac43. ]

Pomocou (, dx , dy ):

[ int_0 ^ 4 int_ {y / 2} ^ { sqrt {y}} 1 , dx , dy = int_0 ^ 4 ( sqrt {y} -y / 2) , dy = vľavo ( frac23y ^ {3/2} - frac14y ^ 2 vpravo) Veľký | _0 ^ 4 = frac43. ]

Zmena poradia integrácie

V každom z predchádzajúcich príkladov sme dostali oblasť (R ) a našli sme hranice potrebné na nájdenie oblasti (R ) pomocou oboch radov integrácie. Integrovali sme pomocou oboch objednávok integrácie, aby sme demonštrovali ich rovnosť.

Teraz pristupujeme k zručnosti popisu regiónu pomocou obidvoch radov integrácie z inej perspektívy. Namiesto toho, aby sme začali regiónom a vytvárali iterované integrály, začneme iterovaným integrálom a prepíšeme ho v inom poradí integrácie. Aby sme to dosiahli, budeme musieť pochopiť región, do ktorého sa integrujeme.

Najjednoduchší zo všetkých prípadov je, keď sú oba integrály viazané konštantami. Oblasť opísaná týmito hranicami je obdĺžnik (pozri Príklad ( PageIndex {4} )), a teda:

[ int_a ^ b int_c ^ d 1 , dy , dx = int_c ^ d int_a ^ b1 , dx , dy. ]

Ak hranice vnútorného integrálu nie sú konštanty, je všeobecne veľmi užitočné načrtnúť hranice, aby ste určili, ako vyzerá oblasť, nad ktorou sa integrujeme. Z náčrtu potom môžeme prepísať integrál s iným poradím integrácie.

Príklady nám pomôžu rozvinúť túto zručnosť.

Príklad ( PageIndex {7} ): Zmena poradia integrácie

Prepíšte iterovaný integrál ( displaystyle int_0 ^ 6 int_0 ^ {x / 3} 1 , dy , dx ) v poradí integrácie (, dx , dy ).

Riešenie

Musíme využiť hranice integrácie na určenie regiónu, do ktorého sa integrujeme.

Hranice nám hovoria, že (y ) je ohraničené (0 ) a (x / 3 ); (x ) je ohraničené 0 a 6. Vynesieme tieto štyri krivky: (y = 0 ), (y = x / 3 ), (x = 0 ) a (x = 6 ) nájdite oblasť opísanú hranicami. Obrázok ( PageIndex {6} ) zobrazuje tieto krivky, čo naznačuje, že (R ) je trojuholník.

Aby sme zmenili poradie integrácie, musíme brať do úvahy krivky, ktoré ohraničujú hodnoty (x ) -. Vidíme, že dolná hranica je (x = 3y ) a horná hranica je (x = 6 ). Hranice na (y ) sú (0 ) až (2 ). Môžeme teda prepísať integrál ako ( Displaystyle int_0 ^ 2 int_ {3y} ^ 6 1 , dx , dy. )

Príklad ( PageIndex {8} ): Zmena poradia integrácie

Zmeňte poradie integrácie ( displaystyle int_0 ^ 4 int_ {y ^ 2/4} ^ {(y + 4) / 2} 1 , dx , dy ).

Riešenie

Načrtneme oblasť opísanú hranicami, aby nám pomohla zmeniť poradie integrácie. (x ) je ohraničené zdola a zhora (tj. doľava a doprava) znakmi (x = y ^ 2/4 ) a (x = (y + 4) / 2 ) a ( y ) je ohraničené medzi 0 a 4. Pri grafovaní predchádzajúcich kriviek nájdeme oblasť (R ), ktorá je znázornená na obrázku ( PageIndex {7} ).

Aby sme zmenili poradie integrácie, musíme vytvoriť krivky, ktoré ohraničujú (y ). Obrázok objasňuje, že pre (y ) existujú dve dolné hranice: (y = 0 ) v (0 leq x leq 2 ) a (y = 2x-4 ) v (2 leq x leq 4 ). Potrebujeme teda dva dvojité integrály. Horná hranica pre každú z nich je (y = 2 sqrt {x} ). Takto máme
$$ int_0 ^ 4 int_ {y ^ 2/4} ^ {(y + 4) / 2} 1 , dx , dy = int_0 ^ 2 int_0 ^ {2 sqrt {x}} 1 , dy , dx + int_2 ^ 4 int_ {2x-4} ^ {2 sqrt {x}} 1 , dy , dx. ]

Táto časť predstavila nový koncept, iterovaný integrál. Vyvinuli sme jednu aplikáciu pre iterovanú integráciu: oblasť medzi krivkami. Nie je to však novinka, pretože už vieme, ako nájsť oblasti ohraničené krivkami.

V ďalšej časti aplikujeme iterovanú integráciu na riešenie problémov, s ktorými v súčasnosti nevieme, ako na ne. „Skutočným“ cieľom tejto časti nebolo naučiť sa nový spôsob výpočtovej oblasti. Naším cieľom bolo skôr naučiť sa definovať oblasť v rovine pomocou hraníc iterovaného integrálu. Táto zručnosť je v nasledujúcich častiach veľmi dôležitá.


Pozri si video: MAT12019 Nevlastný integrál (Október 2021).