Články

16.7: Stokesova veta - matematika


V tejto časti vidíme zovšeobecnenie známej vety, Green’s Theorem. Rovnako ako predtým nás zaujíma rovnosť, ktorá nám umožňuje prechádzať medzi integrálom na uzavretej krivke a dvojitým integrálom povrchu. Pred pokračovaním je potrebné poznať niekoľko dôležitých definícií: jednoduchá uzavretá krivka, divergencia, tok, zvlnenie a normálny vektor. Vedieť, ako vypočítať determinant matíc 2x2 a 3x3, tiež pomôže prehĺbiť vaše chápanie divergencie a zvlnenia.

Teoretická diskusia

Curl: Nech ( mathbf {F} = M (x, y, z) hat {i} + N (x, y, z) hat {j} + P (x, y, z) hat { k} ) a ( nabla = hat {i} frac { čiastočné} { čiastočné x} + klobúky {j} frac { čiastočné} { čiastočné y} + klobúky {k} frac { čiastočné} { čiastočné z} ), potom zvlnenie ( mathbf {F} ) je proste determinant matice 3x3 ( nabla times mathbf {F} ). Existuje mnoho spôsobov, ako vziať determinant, ale nasleduje príklad expanzie kofaktora.

[ begin {align} nabla times mathbf {F} & = begin {vmatrix} hat {i} & hat {j} & hat {k} frac { partial} { parciálne x} & frac { parciálne} { parciálne y} & frac { parciálne} { parciálne z} M & N & P end {vmatrix} & = hat {i} začiatok {vmatrix} frac { čiastočný} { čiastočný y} & frac { částečný} { čiastočný z} N & P koniec {vmatrix} - klobúk {j} začiatok {vmatrix} frac { čiastočné} { čiastočné x} & frac { částečné} { čiastočné z} M & P koniec {vmatrix} + klobúk {k} begin {vmatrix} frac { čiastočné} { čiastočné x} & frac { částečné} { čiastočné y} M & N koniec {vmatrix} & = hat {i} ( frac { čiastočné P} { čiastočné y} - frac { čiastočný N} { čiastočný z}) - klobúk {j} ( frac { čiastočný P} { čiastočný x} - frac { čiastočný M} { čiastočný z}) + klobúk {k} ( frac { čiastočné N} { čiastočné x} - frac { čiastočné M} { čiastočné y}) & = hat {i} ( frac { čiastočné P} { čiastočné y} - frac { čiastočný N} { čiastočný z}) + klobúk {j} ( frac { čiastočný M} { čiastočný z} - frac { čiastočný P} { čiastočný x}) + hat {k} ( frac { čiastočné N} { čiastočné x} - frac { čiastočné M} { čiastočné y}) & = zvlnenie mathbf {F} end {align} ]

Stokesova veta

Nech ( mathbf {n} ) je normálny vektor (ortogonálny, kolmý) na povrch S, ktorý má vektorové pole ( mathbf {F} ), potom je jednoduchá uzavretá krivka C definovaná v smere proti smeru hodinových ručičiek. okolo ( mathbf {n} ). Cirkulácia na C sa rovná povrchovému integrálu zvlnenia ( mathbf {F} = nabla times mathbf {F} ) bodkovaného ( mathbf {n} ).

[ mast _C mathbf {F} cdot d mathbf {r} = iint_ {S} nabla times mathbf {F cdot n} d sigma ]

Táto veta zlyhá, ak funkcia, vektorové pole alebo derivácia nie sú spojité.

Greenova veta zo Stokesovej

Ak je cirkulácia proti smeru hodinových ručičiek C iba v rovine x-y a definuje oblasť, nazvime ju R, s vektorovým poľom ( mathbf {F} ), potom je smer z kolmý k rovine. Teda

[ begin {align} mast _C mathbf {F} cdot d mathbf {r} & = iint_ {S} nabla times mathbf {F cdot n} d sigma & = iint_ {R} nabla times mathbf {F cdot k} dx dy & = iint_ {R} frac { čiastočné N} { čiastočné x} - frac { čiastočné M} { čiastočné y} dx dy end {zarovnať} ]

Ako poznámku

[ frac { čiastočné N} { čiastočné x} - frac { čiastočné M} { čiastočné y} ]

je determinant matice 2x2

[ begin {vmatrix} frac { částečné} { částečné x} & frac { částečné} { čiastočné y} M & N koniec {vmatrix}. ]

Príklad ( PageIndex {1} )

Vyhodnoťte rovnicu pre Stokesovu vetu pre hemisféru (S: x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 9, z geq 0 ), jej ohraničujúci kruh (C: x ^ 2 + y ^ 2 = 0, z = 0 ) a pole ( textbf {F} = y hat { textbf {i}} - x hat { textbf {j}} ).

Rady: Pamätajte, že jednoduchý spôsob parametrizácie kruhu je, ak (x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 ) potom (r ( theta) = r cos theta + r sin theta ) ( theta v [0, 2 pi] ). Skúste tiež nakresliť obrázok pologule a jej ohraničujúceho kruhu, aby ste pochopili teóriu, ktorá stojí za problémom. Mali by ste vedieť, ako normalizovať vektor a čo (| nabla f | ) znamená. Nájdite cirkuláciu proti smeru hodinových ručičiek pomocou ľavej strany Stokesovej vety, potom nájdite zvlnený integrál pomocou pravej strany Stokesovej vety a porovnajte svoje výsledky.

Riešenie

Pologuľa vyzerá podobne ako na obrázku nižšie, pričom obvod ružového dna je ohraničujúcim kruhom (C ) v rovine (xy ). Môžeme vypočítať cirkuláciu proti smeru hodinových ručičiek okolo (C ) (pri pohľade zhora) pomocou parametrizácie (r ( theta) = (3 cos theta) hat { textbf {i}} + (3 sin theta) hat { textbf {j}}, 0 leq theta leq 2 pi ):

[d textbf {r} = (-3 sin theta d theta) hat { textbf {i}} + (3 cos theta d theta) hat { textbf {j}} ]

[ textbf {F} = y hat { textbf {i}} - x hat { textbf {j}} = (3 sin theta) hat { textbf {i}} - (3 cos theta) hat { textbf {j}} ]

[ textbf {F} cdot d textbf {r} = -9 sin ^ 2 theta d theta - 9 cos ^ 2 theta d theta = -9 d theta ]

[ mast_C textbf {F} cdot d textbf {r} = int_0 ^ 2 pi -9 d theta = -18 theta. ]

Toto je vyhodnotená ľavá strana Stokesovej vety. Teraz chceme ukázať, že pravá strana je si rovná vyhodnotením integrálneho zvlnenia.

Pre zvlnenie integrálu ( textbf {F} ) máme

[ nabla times textbf {F} = doľava ( frac { čiastočné P} { čiastočné y} - frac { čiastočné N} { čiastočné z} vpravo) klobúk { textbf {i }} + doľava ( frac { čiastočné M} { čiastočné z} - frac { čiastočné P} { čiastočné x} pravé) klobúk { textbf {j}} + doľava ( frac { čiastočný N} { čiastočný x} - frac { čiastočný M} { čiastočný y} pravý) klobúk { textbf {k}} ]

z prevzatia determinantu matice zvlnenia 3X3 (vysvetlené v teoretickej diskusii). Keď sa pozrieme na tú maticu 3X3:

[ begin {vmatrix} hat { textbf {i}} & hat { textbf {j}} & hat { textbf {k}} frac { čiastočné} { čiastočné x} & frac { čiastočné} { čiastočné y} & frac { čiastočné} { čiastočné z} y & -x & 0 end {vmatrix} ]

pri hodnotení zvlnenia to vidíme

[ nabla times textbf {F} = (0-0) hat { textbf {i}} + (0-0) hat { textbf {j}} + (- 1-1) hat { textbf {k}} = -2 hat { textbf {k}}. ]

Normálny vektor našej vonkajšej jednotky bude

[ begin {align} textbf {n} & = frac {x hat { textbf {i}} + y hat { textbf {j}} + z hat { textbf {k}}} {| x hat { textbf {i}} + y hat { textbf {j}} + z hat { textbf {k}} |} & = frac {x hat { textbf { i}} + y hat { textbf {j}} + z hat { textbf {k}}} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & = frac { x hat { textbf {i}} + y hat { textbf {j}} + z hat { textbf {k}}} { sqrt {9 cos ^ 2 theta + 9 sin ^ 2 theta}} & = frac {x hat { textbf {i}} + y hat { textbf {j}} + z hat { textbf {k}}} {3}. end {align} ]

Potom

[d sigma = frac {| nabla f |} {| nabla f cdot textbf {k} |} dA = frac {3} {z} dA. ]

Nakoniec môžeme dať všetko dohromady a zistiť, že:

[ nabla times textbf {F} cdot textbf {n} d sigma = - frac {2z} {3} frac {3} {z} dA = -2dA ]

a

[ int int_S nabla times textbf {F} cdot textbf {n} d sigma = int int_ {x ^ 2 + y ^ 2 leq 9} -2dA = -18 pi ]

a vidíme, že cirkulácia okolo kruhu sa rovná integrálu zvlnenia nad hemisférou, ako by mala.


Pozri si video: Задача Римана задача о распаде произвольного разрыва. Riemann problem. (Október 2021).