Články

7.2: Násobenie a delenie racionálnych výrazov


Učebné ciele

  • Vynásobte racionálne výrazy.
  • Rozdeľte racionálne výrazy.
  • Vynásobte a rozdeľte racionálne funkcie.

Znásobenie racionálnych výrazov

Keď vynásobíme zlomky, môžeme vynásobiť čitateľa a menovateľa dohromady a potom zmenšiť, ako je to znázornené:

( dfrac {3} {5} cdot dfrac {5} {9} = dfrac {3 cdot 5} {5 cdot 9} = dfrac { color {Cerulean} { stackrel {1} { cancel { color {black} {3}}}} color {black} { cdot} color {Cerulean} { stackrel {1} ​​{ cancel { color {black} {5}}}} } { color {Cerulean} { stackrel { cancel { color {black} {5}}} {1}} color {black} { cdot} color {Cerulean} { stackrel { cancel { farba {čierna} {9}}} {3}}} farba {čierna} {= dfrac {1} {3}} )

Násobenie racionálnych výrazov sa vykonáva podobným spôsobom. Napríklad,

( dfrac {y} {x} cdot dfrac {x} {y ^ {2}} = dfrac {y cdot x} {x cdot y ^ {2}} = dfrac { color { Cerulean} { stackrel {1} ​​{ cancel { color {black} {y}}}} color {black} { cdot} color {Cerulean} { stackrel {1} ​​{ cancel { color { čierna} {x}}}}} { color {Cerulean} { stackrel { cancel { color {black} {x}}} {1}} color {black} { cdot} color {Cerulean} { stackrel { cancel { color {black} {y ^ {2}}}} {3}}} color {black} {= dfrac {1} {y}} )

Všeobecne platí, že vzhľadom na dané polynómy (P ), (Q ), (R ) a (S ), kde (Q ≠ 0 ) a (S ≠ 0 ) máme

[ dfrac {P} {Q} cdot dfrac {R} {S} = dfrac {P R} {Q S} ]

V tejto časti predpokladajme, že všetky premenné výrazy v menovateli sú nenulové, pokiaľ nie je uvedené inak.

Príklad ( PageIndex {1} )

Násobiť:

( dfrac {12 x ^ {2}} {5 rokov ^ {3}} cdot dfrac {20 rokov ^ {4}} {6 x ^ {3}} )

Riešenie:

Vynásobte čitateľov a menovateľov a potom zrušte bežné faktory.

( begin {aligned} dfrac {12 x ^ {2}} {5 y ^ {3}} cdot dfrac {20 y ^ {4}} {6 x ^ {3}} & = dfrac { 240x ^ {2} y ^ {4}} {30x ^ {3} y ^ {3}} qquad quad : : color {Cerulean} {Násobenie.} & = dfrac { color { Cerulean} { stackrel {8} { cancel { color {black} {240}}}} color {Cerulean} { stackrel {1} ​​{ cancel { color {black} {x ^ {2}} }}} color {Cerulean} { stackrel {y} { Cancel { color {black} {y ^ {4}}}}}}}} { color {Cerulean} { stackrel { Cancel { color { čierna} {30}}} {1}} color {Cerulean} { stackrel { cancel { color {black} {x ^ {3}}}} {x}} color {Cerulean} { stackrel { cancel { color {black} {y ^ {3}}}} {1}}} qquad color {Cerulean} {Cancel.} & = dfrac {8 y} {x} end {zarovnané } )

Odpoveď:

( dfrac {8y} {x} )

Príklad ( PageIndex {2} )

Násobiť:

( dfrac {x-3} {x + 5} cdot dfrac {x + 5} {x + 7} )

Riešenie:

Nechajte produkt v spracovanom tvare a zrušte bežné faktory.

( begin {zarovnané} dfrac {x-3} {x + 5} cdot dfrac {x + 5} {x + 7} & = dfrac {(x-3) cdot color {cerulean} { cancel { color {black} {(x + 5)}}}}} { color {Cerulean} { cancel { color {black} {(x + 5)}}} color {black} { cdot (x + 7)}} & = dfrac {x-3} {x + 7} end {zarovnané} )

Odpoveď:

( dfrac {x-3} {x + 7} )

Príklad ( PageIndex {3} )

Násobiť:

( dfrac {15 x ^ {2} y ^ {3}} {(2 x-1)} cdot dfrac {x (2 x-1)} {3 x ^ {2} y (x + 3 )} )

Riešenie:

Nechajte polynómy v čitateľovi a menovateli započítané, aby sme mohli faktory zrušiť. Inými slovami, neaplikujte distribučné vlastníctvo.

( begin {zarovnané} dfrac {15 x ^ {2} y ^ {3}} {(2 x-1)} cdot dfrac {x (2 x-1)} {3 x ^ {2} y (x + 3)} & = dfrac {15 x ^ {3} y ^ {3} (2 x-1)} {3 x ^ {2} y (2 x-1) (x + 3)} qquad qquad color {Cerulean} {Násobiť.} & = dfrac { color {Cerulean} { stackrel {5} { zrušiť { color {black} {15}}}} color {Cerulean } { stackrel {x} { cancel { color {black} {x ^ {3}}}}} color {Cerulean} { stackrel {y ^ {2}} { cancel { color {black} {y ^ {3}}}}} color {Cerulean} { stackrel {1} ​​{ cancel { color {black} {(2x-1)}}}}} { color {Cerulean} { zrušiť { color {black} {3}} zrušiť { color {black} {x ^ {2}}} zrušiť { color {black} {y}} zrušiť { color {black} {(2x- 1)}}} color {black} {(x + 3)}} qquad color {Cerulean} {Cancel.} & = dfrac {5xy ^ {2}} {x + 3} end { zarovnané} )

Odpoveď:

( dfrac {5 x y ^ {2}} {x + 3} )

Racionálne výrazy sa zvyčajne nebudú uvádzať vo formálnej podobe. V takom prípade najskôr úplne zohľadnite všetky čitateľa a menovateľa. Ďalej znásobte a zrušte všetky bežné faktory, ak existujú.

Príklad ( PageIndex {4} )

Násobiť:

( dfrac {x + 5} {x-5} cdot dfrac {x-5} {x ^ {2} -25} )

Riešenie

Faktor menovateľa (x ^ {2} −25 ) ako rozdiel štvorcov. Potom sa množte a zrušte.

( begin {zarovnané} dfrac {x + 5} {x-5} cdot dfrac {x-5} {x ^ {2} -25} & = dfrac {x + 5} {x-5 } cdot dfrac {x-5} {(x + 5) (x-5)} qquad qquad color {Cerulean} {Factor.} & = dfrac { color {Cerulean} { stackrel {1} { Cancel { color {black} {(x + 5)}}}} color {Cerulean} { stackrel {1} ​​{ cancel { color {black} {(x-5)}} }}} { color {Cerulean} { cancel { color {black} {(x-5)}}} color {Cerulean} { cancel { color {black} {(x + 5)}}} color {black} {(x-5)}} qquad color {Cerulean} {Cancel.} & = dfrac {1} {x-5} end {zarovnané} )

Majte na pamäti, že 1 je vždy faktor; takže keď sa celý čitateľ zruší, nezabudnite napísať faktor 1.

Odpoveď:

( dfrac {1} {x-5} )

Príklad ( PageIndex {5} )

Násobiť:

Riešenie:

Osvedčeným postupom je ponechať konečnú odpoveď v prevedenej podobe.

Odpoveď:

( dfrac {(x + 2) (x-4)} {(x-2) (x + 7)} )

Príklad ( PageIndex {6} )

Násobiť:

Riešenie:

Trojčlenka (- 2x ^ {2} + x + 3 ) v čitateli má záporný vedúci koeficient. Pripomeňme, že osvedčeným postupom je najskôr rozdeliť (- 1 ) a potom výsledný trojčlen.

Odpoveď:

(- dfrac {3 (2 x-3)} {x (x + 4)} )

Príklad ( PageIndex {7} )

Násobiť:

( dfrac {7-x} {x ^ {2} +3 x} cdot dfrac {x ^ {2} +10 x + 21} {x ^ {2} -49} )

Riešenie:

Nahradíme (7 − x ) znakom (- 1 (x − 7) ), aby sme mohli tento faktor zrušiť.

( begin {Zarovnané} dfrac {7-x} {x ^ {2} +3 x} cdot dfrac {x ^ {2} +10 x + 21} {x ^ {2} -49} & = dfrac {-1 (x-7)} {x (x + 3)} cdot dfrac {(x + 3) (x + 7)} {(x + 7) (x-7)} & = dfrac {-1 color {Cerulean} { zrušiť { color {čierna} {(x-7)}} zrušiť { color {čierna} {(x + 3)}} zrušiť { color {black} {(x + 7)}}}} {x color {Cerulean} { cancel { color {black} {(x + 3)}} cancel { color {black} {(x + 7 )}} zrušiť { color {čierna} {(x-7)}}}} & = dfrac {-1} {x} & = - dfrac {1} {x} end { zarovnané} )

Odpoveď:

(- dfrac {1} {x} )

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Násobiť:

( dfrac {x ^ {2} -64} {8-x} cdot dfrac {x + x ^ {2}} {x ^ {2} +9 x + 8} )

Odpoveď

(-X)

Rozdelenie racionálnych výrazov

Na rozdelenie dvoch zlomkov vynásobíme prevrátenú hodnotu deliteľa, ako je to znázornené:

( dfrac {5} {8} div color {OliveGreen} { dfrac {1} {2}} color {black} {=} dfrac {5} {8} cdot color {OliveGreen} { dfrac {2} {1}} color {black} {=} dfrac {5 cdot color {Cerulean} { stackrel {1} ​​{ cancel { color {black} {2}}}} } { color {Cerulean} { stackrel { cancel { color {black} {8}}} {4}} color {black} { cdot 1}} = dfrac {5} {4} )

Rozdelenie racionálnych výrazov sa vykonáva podobným spôsobom. Napríklad,

( dfrac {x} {y ^ {2}} div color {OliveGreen} { dfrac {1} {y}} color {black} {=} dfrac {x} {y ^ {2} } cdot color {OliveGreen} { dfrac {y} {1}} color {black} {=} dfrac {x cdot color {Cerulean} { stackrel {1} ​​{ zrušiť { color { čierna} {y}}}}} { color {Cerulean} { stackrel { cancel { color {black} {y ^ {2}}}} {y}} color {black} { cdot 1} } = dfrac {x} {y} )

Všeobecne platí, že dané polynómy P, Q, Ra S, kde (Q ≠ 0 ), (R ≠ 0 ) a (S ≠ 0 ) máme

[ dfrac {P} {Q} div dfrac {R} {S} = dfrac {P} {Q} cdot dfrac {S} {R} = dfrac {P S} {Q R} ]

Príklad ( PageIndex {8} )

Rozdeliť:

( dfrac {8 x ^ {5} y} {25 z ^ {6}} div dfrac {20 x y ^ {4}} {15 z ^ {3}} )

Riešenie:

Najskôr vynásobte prevrátenou hodnotou deliteľa a potom zrušte.

( begin {aligned} dfrac {8 x ^ {5} y} {25 z ^ {6}} div color {Cerulean} { dfrac {20 xy ^ {4}} {15 z ^ {3 }}} & color {black} {=} dfrac {8 x ^ {5} y} {25 z ^ {6}} cdot color {Cerulean} { dfrac {15 z ^ {3}} { 20 xy ^ {4}}} qquad color {Cerulean} {} Vynásobiť : : the : reciproční : of : the : divisor. & = dfrac {120 x ^ {5} yz ^ {3}} {500 xy ^ {4} z ^ {6}} & = dfrac { color {Cerulean} { stackrel {6} { Cancel { color {black} {120}} } stackrel {x ^ {4}} { zrušiť { color {čierna} {x ^ {5}}}} zrušiť { color {čierna} {y}} zrušiť { color {čierna} {z ^ {3}}}}} { color {Cerulean} { stackrel { cancel { color {black} {500}}} {25} cancel { color {black} {x}} stackrel { zrušiť { color {black} {y ^ {4}}}} {y ^ {3}} stackrel { cancel { color {black} {z ^ {6}}}} {z ^ {3}} }} qquad color {Cerulean} {Cancel.} & = dfrac {6x ^ {4}} {25y ^ {3} z ^ {3}} end {zarovnané} )

Odpoveď:

( dfrac {6 x ^ {4}} {25 rokov ^ {3} z ^ {3}} )

Príklad ( PageIndex {9} )

Rozdeliť:

( dfrac {x + 2} {x ^ {2} -4} div dfrac {x + 3} {x-2} )

Riešenie:

Po vynásobení recipročnou hodnotou deliteľa rozdeľte a zrušte.

( begin {zarovnané} dfrac {x + 2} {x ^ {2} -4} div color {Cerulean} { dfrac {x + 3} {x-2}} & = dfrac {x +2} {x ^ {2} -4} cdot color {Cerulean} { dfrac {x-2} {x + 3}} qquad quad : qquad qquad color {Cerulean} {Násobiť : by : the : recipročný : of : the : divisor.} & = dfrac {(x + 2)} {(x + 2) (x-2)} cdot dfrac { (x-2)} {(x + 3)} qquad quad color {Cerulean} {Factor.} & = dfrac { color {Cerulean} { cancel { color {black} {(x +2)}} zrušiť { color {čierna} {(x-2)}}}} { color {Cerulean} { zrušiť { color {čierna} {(x + 2)}} zrušiť { color {black} {(x-2)}}} color {black} {(x + 3)}} qquad quad color {Cerulean} {Cancel.} & = dfrac {1} {x +3} end {zarovnané} )

Odpoveď:

( dfrac {1} {x + 3} )

Príklad ( PageIndex {10} )

Rozdeliť:

Riešenie:

Začnite vynásobením prevrátenej hodnoty deliteľa. Potom urobte faktor a zrušte.

Odpoveď:

( dfrac {(x-8) (x-5)} {(x + 7) ^ {2}} )

Príklad ( PageIndex {11} )

Rozdeliť:

Riešenie:

Rovnako ako pri zlomkoch, aj o deliteľovi ((2x − 3) ) uvažujte ako o algebraickom zlomku nad 1.

Odpoveď:

(- dfrac {2 x + 3} {x + 2} )

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Rozdeliť:

Odpoveď

(- 4 x ^ {3} -8 x ^ {2} )

Násobenie a delenie racionálnych funkcií

Produkt a kvocient dvoch racionálnych funkcií je možné zjednodušiť pomocou techník opísaných v tejto časti. Obmedzenia týkajúce sa domény produktu pozostávajú z obmedzení každej funkcie.

Príklad ( PageIndex {12} )

Vypočítajte ((f⋅g) (x) ) a určite obmedzenia pre doménu.

Riešenie:

V tomto prípade doména (f (x) ) pozostáva zo všetkých reálnych čísel okrem 0 a doména (g (x) ) pozostáva zo všetkých reálnych čísel okrem ( dfrac {1} {4 } ).

Doména produktu preto pozostáva zo všetkých reálnych čísel okrem 0 a ( dfrac {1} {4} ). Znásobte funkcie a potom zjednodušte výsledok.

Odpoveď:

((f cdot g) (x) = - dfrac {4 x + 1} {5 x} ), kde (x neq 0, dfrac {1} {4} )

Obmedzenia v doméne kvocientu budú pozostávať z obmedzení každej funkcie, ako aj z obmedzení na základe reciprocity deliteľa.

Príklad ( PageIndex {13} )

Vypočítajte ((f / g) (x) ) a určite obmedzenia.

Riešenie:

V tomto prípade doména (f (x) ) pozostáva zo všetkých reálnych čísel okrem 3 a 8 a doména (g (x) ) pozostáva zo všetkých reálnych čísel okrem 3. Recipročná hodnota (g (x) ) má obmedzenie −8. Preto doména tohto kvocientu pozostáva zo všetkých reálnych čísel okrem 3, 8 a −8.

Odpoveď:

((f / g) (x) = 1 ), kde (x neq 3, 8, -8 )

Kľúčové jedlá

  • Po vynásobení racionálnych výrazov urobte faktor čitateľa aj menovateľa a potom zrušte bežné faktory. Poznačte si obmedzenia týkajúce sa domény. Hodnotami, ktoré dávajú v menovateli hodnotu 0, sú obmedzenia.
  • Ak chcete rozdeliť racionálne výrazy, vynásobte ich prevrátenou hodnotou deliteľa.
  • Obmedzenia na doménu produktu pozostávajú z obmedzení na doménu každého faktora.
  • Obmedzenia v doméne kvocientu pozostávajú z obmedzení v doméne každého racionálneho výrazu, ako aj z obmedzení na recipročnú hodnotu deliteľa.

Cvičenie ( PageIndex {2} ) Vynásobenie racionálnych výrazov

Znásobte sa. (Predpokladajme, že všetky menovatele sú nenulové.)

  1. ( dfrac {2 x} {3} cdot dfrac {9} {4 x ^ {2}} )
  2. (- dfrac {5 x} {3 roky} cdot dfrac {y ^ {2}} {25 x} )
  3. ( dfrac {5 x ^ {2}} {2 r.} cdot dfrac {4 r ^ {2}} {15 x ^ {3}} )
  4. ( dfrac {16 a ^ {4}} {7 b ^ {2}} cdot dfrac {49 b ^ {3}} {2 a ^ {3}} )
  5. ( dfrac {x-6} {12 x ^ {3}} cdot dfrac {24 x ^ {2}} {x-6} )
  6. ( dfrac {x + 10} {2x − 1} cdot dfrac {x − 2} {x + 10} )
  7. ( dfrac {(y-1) ^ {2}} {y + 1} cdot dfrac {1} {y-1} )
  8. ( dfrac {y ^ {2} -9} {y + 3} cdot dfrac {2 y-3} {y-3} )
  9. ( dfrac {2 a-5} {a-5} cdot dfrac {2 a + 5} {4 a ^ {2} -25} )
  10. ( dfrac {2 a ^ {2} -9 a + 4} {a ^ {2} -16} cdot dolava (a ^ {2} +4 a doprava) )
  11. ( dfrac {2 x ^ {2} +3 x-2} {(2 x-1) ^ {2}} cdot dfrac {2 x} {x + 2} )
  12. ( dfrac {9x ^ {2} + 19x + 2} {4 − x ^ {2}} cdot dfrac {x ^ {2} −4x + 4} {9x ^ {2} −8x − 1} )
  13. ( dfrac {x ^ {2} + 8x + 16} {16 − x ^ {2}} cdot dfrac {x ^ {2} −3x − 4} {x ^ {2} + 5x + 4} )
  14. ( dfrac {x ^ {2} −x − 2} {x ^ {2} + 8x + 7} cdot dfrac {x ^ {2} + 2x − 15} {x ^ {2} −5x + 6} )
  15. ( dfrac {x + 1} {x − 3} cdot dfrac {3 − x} {x + 5} )
  16. ( dfrac {2x − 1} {x − 1} cdot dfrac {x + 6} {1−2x} )
  17. ( dfrac {9 + x} {3x + 1} cdot dfrac {3} {x + 9} )
  18. ( dfrac {1} {2 + 5x} cdot dfrac {5x + 2} {5x} )
  19. ( dfrac {100-r. ^ {2}} {r-10} cdot dfrac {25-r. ^ {2}} {r + 10} )
  20. ( dfrac {3 roky ^ {3}} {6 rokov-5} cdot dfrac {36 rokov ^ {2} -25} {5 + 6 rokov} )
  21. ( dfrac {3 a ^ {2} +14 a-5} {a ^ {2} +1} cdot dfrac {3 a + 1} {1-9 a ^ {2}} )
  22. ( dfrac {4a ^ {2} −16a} {4a − 1} cdot dfrac {1−16a ^ {2}} {4a ^ {2} −15a − 4} )
  23. ( dfrac {x + 9} {- x ^ {2} +14 x-45} cdot doľava (x ^ {2} -81 doprava) )
  24. ( dfrac {1} {2 + 5 x} cdot vľavo (25 x ^ {2} +20 x + 4 vpravo) )
  25. ( dfrac {x ^ {2} + x − 6} {3x ^ {2} + 15x + 18} cdot dfrac {2x ^ {2} −8} {x ^ {2} −4x + 4} )
  26. ( dfrac {5x ^ {2} −4x − 1} {5x ^ {2} −6x + 1} cdot dfrac {25x ^ {2} −10x + 1} {3−75x ^ {2}} )
Odpoveď

1. ( dfrac {3} {2x} )

3. ( dfrac {2r} {3x} )

5. ( dfrac {2} {x} )

7. ( dfrac {y − 1} {y + 1} )

9. ( dfrac {1} {a − 5} )

11. ( dfrac {2x} {2x − 1} )

13. (−1)

15. (- dfrac {x + 1} {x + 5} )

17. ( dfrac {3} {3x + 1} )

19. (- 25r ^ {2} )

21. (- dfrac {a + 5} {a ^ {2} +1} )

23. (- dfrac {(x + 9) ^ {2}} {x-5} )

25. ( dfrac {2} {3} )

Cvičenie ( PageIndex {3} ) Rozdelenie racionálnych výrazov

Rozdeľte sa. (Predpokladajme, že všetky menovatele sú nenulové.)

  1. ( dfrac {5 x} {8} div dfrac {15 x ^ {2}} {4} )
  2. ( dfrac {3} {8 rokov} div dfrac {15} {2 roky ^ {2}} )
  3. ( dfrac { dfrac {5 x ^ {9}} {3 r ^ {3}}} { dfrac {25 x ^ {10}} {9 r ^ {5}}} )
  4. ( dfrac { dfrac {12 x ^ {4} y ^ {2}} {21 z ^ {5}}} { dfrac {6 x ^ {3} y ^ {2}} {7 z ^ { 3}}} )
  5. ( dfrac {(x-4) ^ {2}} {30 x ^ {4}} div dfrac {x-4} {15 x} )
  6. ( dfrac {5 rokov ^ {4}} {10 (3 roky - 5) ^ {2}} div dfrac {10 rokov ^ {5}} {2 (3 roky - 5) ^ {3}} )
  7. ( dfrac {x ^ {2} -9} {5 x} div (x-3) )
  8. ( dfrac {y ^ {2} -64} {8 y} div (8 + y) )
  9. ( dfrac {(a-8) ^ {2}} {2 a ^ {2} +10 a} div dfrac {a-8} {a} )
  10. ( dfrac {2} {4 a ^ {2} b ^ {3} (a-2 b)} div 12 a b (a-2 b) ^ {5} )
  11. ( dfrac {x ^ {2} +7 x + 10} {x ^ {2} +4 x + 4} div dfrac {1} {x ^ {2} -4} )
  12. ( dfrac {2 x ^ {2} -x-1} {2 x ^ {2} -3 x + 1} div dfrac {1} {4 x ^ {2} -1} )
  13. ( dfrac {y + 1} {y ^ {2} -3 y} div dfrac {y ^ {2} -1} {y ^ {2} -6 y + 9} )
  14. ( dfrac {9-a ^ {2}} {a ^ {2} -8 a + 15} div dfrac {2 a ^ {2} -10 a} {a ^ {2} -10 a + 25} )
  15. ( dfrac {a ^ {2} -3 a-18} {2 a ^ {2} -11 a-6} div dfrac {a ^ {2} + a-6} {2 a ^ {2 } -a-1} )
  16. ( dfrac {y ^ {2} -7 y + 10} {y ^ {2} +5 y-14} div dfrac {2 y ^ {2} -9 y-5} {y ^ {2 } +14 r + 49} )
  17. ( dfrac {6 y ^ {2} + y-1} {4 y ^ {2} +4 y + 1} div dfrac {3 y ^ {2} +2 y-1} {2 y ^ {2} -7 r. -4} )
  18. ( dfrac {x ^ {2} −7x − 18} {x ^ {2} + 8x + 12} div dfrac {x ^ {2} −81} {x ^ {2} + 12x + 36} )
  19. ( dfrac {4a ^ {2} −b ^ {2}} {b + 2a} div (b − 2a) ^ {2} )
  20. ( dfrac {x ^ {2} −y ^ {2}} {y + x} div (y − x) ^ {2} )
  21. ( dfrac {5 rokov ^ {2} (roky - 3)} {4 x ^ {3}} div dfrac {25 rokov (3 roky)} {2 x ^ {2}} )
  22. ( dfrac {15 x ^ {3}} {3 (y + 7)} div dfrac {25 x ^ {6}} {9 (7 + y) ^ {2}} )
  23. ( dfrac {3 x + 4} {x-8} div dfrac {7 x} {8-x} )
  24. ( dfrac {3x − 2} {2x + 1} div dfrac {2−3x} {3x} )
  25. ( dfrac {(7 x-1) ^ {2}} {4 x + 1} div dfrac {28 x ^ {2} -11 x + 1} {1-4 x} )
  26. ( dfrac {4 x} {(x + 2) ^ {2}} div dfrac {2-x} {x ^ {2} -4} )
  27. ( dfrac {a ^ {2} -b ^ {2}} {a} div (b-a) ^ {2} )
  28. ( dfrac {(a − 2b) ^ {2}} {2b} div (2b ^ {2} + ab − a ^ {2}) )
  29. ( dfrac {x ^ {2} −6x + 9} {x ^ {2} + 7x + 12} div dfrac {9 − x ^ {2}} {x ^ {2} + 8x + 16} )
  30. ( dfrac {2x ^ {2} −9x − 5} {25 − x ^ {2}} div dfrac {1−4x + 4x ^ {2}} {- 2x ^ {2} −9x + 5 } )
  31. ( dfrac {3x ^ {2} −16x + 5} {100−4x ^ {2}} div dfrac {9x ^ {2} −6x + 1} {3x ^ {2} + 14x − 5} )
  32. ( dfrac {10x ^ {2} −25x − 15} {x ^ {2} −6x + 9} div dfrac {9 − x ^ {2}} {x ^ {2} + 6x + 9} )
Odpoveď

1. ( dfrac {1} {6x} )

3. ( dfrac {3r ^ {2}} {5x} )

5. ( dfrac {x − 4} {2x3} )

7. ( dfrac {x + 3} {5x} )

9. ( dfrac {a − 8} {2 (a + 5)} )

11. ((x + 5) (x − 2) )

13. ( dfrac {y − 3} {y (y − 1)} )

15. ( dfrac {a − 1} {a − 2} )

17. ( dfrac {y − 4} {y + 1} )

19. ( dfrac {1} {2a − b} )

21. (- dfrac {y} {10x} )

23. (- dfrac {3x + 4} {7x} )

25. (- dfrac {7x − 1} {4x + 1} )

27. ( dfrac {a + b} {a (a-b)} )

29. (- dfrac {(x − 3) (x + 4)} {(x + 3) ^ {2}} )

31. (- dfrac {1} {4} )

Cvičenie ( PageIndex {4} ) Rozdelenie racionálnych výrazov

Pripomeňme, že množenie a delenie sa má vykonať v poradí, v akom sa objavujú zľava doprava. Zjednodušte nasledovné.

  1. ( dfrac {1} {x ^ {2}} cdot dfrac {x-1} {x + 3} div dfrac {x-1} {x ^ {3}} )
  2. ( dfrac {x − 7} {x + 9} cdot dfrac {1} {x ^ {3}} div dfrac {x − 7} {x} )
  3. ( dfrac {x + 1} {x − 2} div dfrac {x} {x − 5} cdot dfrac {x ^ {2}} {x + 1} )
  4. ( dfrac {x + 4} {2x + 5} div dfrac {x − 3} {2x + 5} cdot dfrac {x + 4} {x − 3} )
  5. ( dfrac {2x − 1} {x + 1} div dfrac {x − 4} {x ^ {2} +1} cdot dfrac {x − 4} {2x − 1} )
  6. ( dfrac {4x ^ {2} −1} {3x + 2} div dfrac {2x − 1} {x + 5} cdot dfrac {3x + 2} {2x + 1} )
Odpoveď

1. ( dfrac {x} {x + 3} )

3. ( dfrac {x (x − 5)} {x − 2} )

5. ( dfrac {x ^ {2} +1} {x + 1} )

Cvičenie ( PageIndex {5} ) Násobenie a delenie racionálnych funkcií

Vypočítajte ((f⋅g) (x) ) a určite obmedzenia pre doménu.

  1. (f (x) = dfrac {1} {x} ) a (g (x) = dfrac {1} {x − 1} )
  2. (f (x) = dfrac {x + 1} {x − 1} ) a (g (x) = x ^ {2} −1 )
  3. (f (x) = dfrac {3x + 2} {x + 2} ) a (g (x) = dfrac {x ^ {2} −4} {(3x + 2) ^ {2} } )
  4. (f (x) = dfrac {(1-3x)} {2x − 6} ) a (g (x) = dfrac {(x − 6) ^ {2}} {9x ^ {2}) -1) )
  5. (f (x) = dfrac {25x ^ {2} −1} {x ^ {2} + 6x + 9} ) a (g (x) = dfrac {x ^ {2} −9} {5x + 1} )
  6. (f (x) = dfrac {x ^ {2} −49} {2x ^ {2} + 13x − 7} ) a (g (x) = dfrac {4x ^ {2} −4x + 1} {7 − x} )
Odpoveď

1. ((f⋅g) (x) = dfrac {1} {x (x − 1)}; x ≠ 0, 1 )

3. ((f⋅g) (x) = dfrac {x − 2} {3x + 2}; x ≠ −2, - dfrac {2} {3} )

5. ((f⋅g) (x) = dfrac {(x − 3)} {(5x − 1) x + 3}; x ≠ −3, - dfrac {1} {5} )

Cvičenie ( PageIndex {6} ) Násobenie a delenie racionálnych funkcií

Vypočítajte ((f / g) (x) ) a uveďte obmedzenia.

  1. (f (x) = dfrac {1} {x} ) a (g (x) = dfrac {x − 2} {x − 1} )
  2. (f (x) = dfrac {(5x + 3) ^ {2}} {x ^ {2}} ) a (g (x) = dfrac {5x + 3} {6 − x} )
  3. (f (x) = dfrac {5 − x} {(x − 8) ^ {2}} ) a (g (x) = dfrac {x ^ {2} −2} {5x − 8) } )
  4. (f (x) = dfrac {x ^ {2} −2x − 1} {5x ^ {2} −3x − 10} ) a (g (x) = dfrac {2x ^ {2} - 5x − 3} {x ^ {2} −7x + 12} )
  5. (f (x) = dfrac {3x ^ {2} + 11x − 4} {9x ^ {2} −6x + 1} ) a (g (x) = dfrac {x ^ {2} - 2x + 1} {3x ^ {2} −4x + 1} )
  6. (f (x) = dfrac {36 − x ^ {2}} {x ^ {2} + 12x + 36} ) a (g (x) = dfrac {x ^ {2} −12x + 3} {6x ^ {2} + 4x − 12} )
Odpoveď

1. ((f / g) (x) = dfrac {x − 1} {x (x − 2)}; x ≠ 0, 1, 2 )

3. ((f / g) (x) = - dfrac {1} {(x − 8) (x + 5)}; x ≠ ± 5, 8 )

5. ((f / g) (x) = dfrac {(x + 4)} {(x − 1)}; x ≠ dfrac {1} {3}, 1 )

Témy diskusného fóra Cvičenie ( PageIndex {7} )

  1. Komu sa v histórii zlomkov pripisuje prvé použitie zlomkovej tyče?
  2. Ako starí Egypťania používali zlomky?
  3. Vysvetlite, prečo (x = 7 ) predstavuje obmedzenie pre ( dfrac {1} {x} div dfrac {x − 7} {x − 2} ).
Odpoveď

1. Odpoveď sa môže líšiť

3. Odpoveď sa môže líšiť


7.1 Znásobte a rozdeľte racionálne výrazy

Predtým sme skontrolovali vlastnosti frakcií a ich operácie. Zaviedli sme racionálne čísla, čo sú iba zlomky, kde čitateľmi a menovateľmi sú celé čísla. V tejto kapitole budeme pracovať s zlomkami, ktorých čitateľmi a menovateľmi sú polynómy. Tento druh výrazu nazývame racionálny výraz.

Racionálny výraz

Racionálny výraz je výrazom tvaru p q, p q, kde p a q sú polynómy a q ≠ 0. q ≠ 0.

Tu je niekoľko príkladov racionálnych výrazov:

Rovnaké operácie urobíme s racionálnymi výrazmi, aké sme urobili so zlomkami. Zjednodušíme ich, sčítame, odčítame, vynásobíme, rozdelíme a použijeme v aplikáciách.

Určte hodnoty, pre ktoré je racionálny výraz nedefinovaný

Ak je menovateľ nulový, racionálny výraz nie je definovaný. Čitateľ racionálneho výrazu môže byť 0 - nie však menovateľ.

Keď pracujeme s číselným zlomkom, je ľahké vyhnúť sa deleniu nulou, pretože číslo môžeme vidieť v menovateli. Aby sme sa vyhli deleniu na nulu v racionálnom vyjadrení, nesmieme povoliť hodnoty premennej, vďaka ktorým bude menovateľ nulový.

Takže predtým, ako začneme akúkoľvek operáciu s racionálnym výrazom, najskôr ju preskúmame, aby sme našli hodnoty, vďaka ktorým by bol menovateľ nulový. Takto napríklad keď vyriešime racionálnu rovnicu, budeme vedieť, či sú nájdené algebraické riešenia povolené alebo nie.

Ako

Určte hodnoty, pre ktoré je racionálny výraz nedefinovaný.

Príklad 7.1

Určte hodnotu, pre ktorú je každý racionálny výraz nedefinovaný:

Riešenie

Ak je menovateľ nulový, výraz nebude definovaný.

Určte hodnotu, pre ktorú je každý racionálny výraz nedefinovaný.

Určte hodnotu, pre ktorú je každý racionálny výraz nedefinovaný.

Zjednodušte racionálne výrazy

Zlomok sa považuje za zjednodušený, ak v čitateľovi a menovateli nie sú žiadne spoločné faktory okrem 1. Podobne nemá zjednodušený racionálny výraz v čitateľovi a v menovateli žiadne spoločné faktory okrem 1.

Zjednodušený racionálny výraz

Racionálny výraz sa považuje za zjednodušený, ak v čitateľovi a menovateli nie sú spoločné faktory.

Vlastnosť Ekvivalentné zlomky používame na zjednodušenie číselných zlomkov. Preformulujeme to tu, pretože ho tiež použijeme na zjednodušenie racionálnych výrazov.

Ekvivalentné vlastníctvo zlomkov

Ak a, ba c sú čísla, kde b ≠ 0, c ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0,

Všimnite si, že vo vlastnosti Ekvivalentné zlomky sú hodnoty, ktoré by spôsobili nulové hodnoty menovateľov, konkrétne zakázané. Vidíme b ≠ 0, c ≠ 0 b ≠ 0, c ≠ 0 jasne uvedené.

Pre zjednodušenie racionálnych výrazov najskôr napíšeme čitateľ a menovateľ vo faktorizovanej podobe. Potom odstránime bežné faktory pomocou vlastnosti Ekvivalentné zlomky.

Pri odstraňovaní bežných faktorov buďte veľmi opatrní. Faktory sa pri výrobe produktu znásobujú. Z produktu môžete odstrániť faktor. Zo sumy nemôžete odstrániť výraz.

Príklad 7.2

Ako zjednodušiť racionálny výraz

Zjednodušte: x 2 + 5 x + 6 x 2 + 8 x + 12 x 2 + 5 x + 6 x 2 + 8 x + 12.

Riešenie

Zjednodušte: x 2 - x - 2 x 2 - 3 x + 2. x 2 - x - 2 x 2 - 3 x + 2.

Zjednodušte: x 2 - 3 x - 10 x 2 + x - 2. x 2 - 3 x - 10 x 2 + x - 2.

Teraz sumarizujeme kroky, ktoré by ste mali podniknúť, aby ste zjednodušili racionálne výrazy.

Ako

Zjednodušte racionálne vyjadrenie.

  1. Krok 1. Úplne rozčte čitateľa a menovateľa.
  2. Krok 2. Zjednodušte to tak, že rozdelíte spoločné faktory.

Zjednodušený racionálny výraz zvyčajne necháme vo faktorizovanej podobe. Týmto spôsobom je ľahké skontrolovať, či sme odstránili všetko spoločné faktory.

Metódy, ktoré sme sa naučili, použijeme na faktorovanie polynómov v čitateľoch a menovateľoch v nasledujúcich príkladoch.

Zakaždým, keď napíšeme racionálny výraz, mali by sme urobiť príkaz zakazujúci hodnoty, vďaka ktorému by bol menovateľ nulový. Aby sme sa však sústredili na prácu, ktorú sme práve vykonali, vynecháme to v príkladoch.

Príklad 7.3

Zjednodušte: 3 a 2 - 12 a b + 12 b 2 6 a 2 - 24 b 2 3 a 2 - 12 a b + 12 b 2 6 a 2 - 24 b 2.

Riešenie

Zjednodušte: 2 x 2 - 12 x y + 18 y 2 3 x 2 - 27 y 2 2 x 2 - 12 x y + 18 y 2 3 x 2 - 27 y 2.

Zjednodušte: 5 x 2 - 30 x y + 25 y 2 2 x 2 - 50 y 2 5 x 2 - 30 x y + 25 y 2 2 x 2 - 50 y 2.

Teraz uvidíme, ako zjednodušiť racionálny výraz, ktorého čitateľ a menovateľ majú opačné faktory. Predtým sme zaviedli opačnú notáciu: opak a je - a - a - a = −1 · a. - a = −1 · a.

Protiklady v racionálnom vyjadrení

Výraz a jeho opačné rozdelenie na −1. -1.

Túto vlastnosť použijeme na zjednodušenie racionálnych výrazov, ktoré obsahujú protiklady v ich čitateľoch a menovateľoch. Dávajte pozor, aby ste s a + b a + b a b + a b + a nezaobchádzali ako s protikladmi. Pripomeňme, že na poradí navyše nezáleží, takže a + b = b + a a + b = b + a. Takže ak a ≠ - b a ≠ - b, potom a + b b + a = 1. a + b b + a = 1.

Príklad 7.4

Zjednodušte: x 2 - 4 x - 32 64 - x 2. x 2 - 4 x - 32 64 - x 2.

Riešenie

Zjednodušte: x 2 - 4 x - 5 25 - x 2. x 2 - 4 x - 5 25 - x 2.

Zjednodušte: x 2 + x - 2 1 - x 2. x 2 + x - 2 1 - x 2.

Znásobte racionálne výrazy

Na znásobenie racionálnych výrazov robíme to, čo sme robili s číselnými zlomkami. Násobíme čitateľov a vynásobíme menovatele. Ak existujú nejaké spoločné faktory, odstránime ich, aby sme zjednodušili výsledok.

Násobenie racionálnych výrazov

Ak p, q, ra s sú polynómy, kde q ≠ 0, s ≠ 0, q ≠ 0, s ≠ 0, potom

Ak chcete znásobiť racionálne výrazy, vynásobte čitateľa a menovateľa.

Pamätajte, že v tejto kapitole budeme predpokladať, že sú vylúčené všetky číselné hodnoty, vďaka ktorým by bol menovateľ nulový. Nebudeme písať obmedzenia pre každý racionálny výraz, ale majte na pamäti, že menovateľ nikdy nemôže byť nulový. V tomto ďalšom príklade teda x ≠ 0, x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ 3 a x ≠ 4. x ≠ 4.

Príklad 7.5

Ako znásobiť racionálne výrazy

Zjednodušte: 2 x x 2 - 7 x + 12 · x 2 - 9 6 x 2. 2 x x 2 - 7 x + 12 · x 2 - 9 6 x 2.

Riešenie

Zjednodušte: 5 x x 2 + 5 x + 6 · x 2 - 4 10 x. 5 x x 2 + 5 x + 6 · x 2 - 4 10 x.

Zjednodušte: 9 x 2 x 2 + 11 x + 30 · x 2 - 36 3 x 2. 9 x 2 x 2 + 11 x + 30 · x 2 - 36 3 x 2.

Ako

Vynásobte racionálne výrazy.

  1. Krok 1. Každý čitateľ a menovateľ úplne opracujte.
  2. Krok 2. Vynásobte čitateľov a menovateľov.
  3. Krok 3. Zjednodušte to rozdelením bežných faktorov.

Príklad 7.6

Vynásobte: 3 a 2 - 8 a - 3 a 2 - 25 · a 2 + 10 a + 25 3 a 2 - 14 a - 5. 3 a 2 - 8 a - 3 a 2 - 25 · a 2 + 10 a + 25 3 a 2 - 14 a - 5.

Riešenie

Zjednodušte: 2 x 2 + 5 x - 12 x 2 - 16 · x 2 - 8 x + 16 2 x 2 - 13 x + 15. 2 x 2 + 5 x - 12 x 2 - 16 · x 2 - 8 x + 16 2 x 2 - 13 x + 15.

Zjednodušte: 4 b 2 + 7 b - 2 1 - b 2 · b 2 - 2 b + 1 4 b 2 + 15 b - 4. 4 b 2 + 7 b - 2 1 - b 2 · b 2 - 2 b + 1 4 b 2 + 15 b - 4.

Rozdeľte racionálne výrazy

Rovnako ako pri numerických zlomkoch, aj pri delení racionálnych výrazov vynásobíme prvý zlomok prevrátenou hodnotou druhého.

Rozdelenie racionálnych výrazov

Ak p, q, r, a s sú polynómy, kde q ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0, q ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0, potom

Ak chcete rozdeliť racionálne výrazy, vynásobte prvý zlomok prevrátenou hodnotou druhého.

Keď raz prepíšeme delenie na násobenie prvého výrazu prevráteným druhého, potom všetko faktorujeme a hľadáme spoločné faktory.

Príklad 7.7

Ako rozdeliť racionálne výrazy

Rozdeľte: p 3 + q 3 2 p 2 + 2 p q + 2 q 2 ÷ p 2 - q 2 6. p 3 + q 3 2 p 2 + 2 p q + 2 q 2 ÷ p 2 - q 2 6.

Riešenie

Zjednodušte: x 3 - 8 3 x 2 - 6 x + 12 ÷ x 2 - 4 6. x 3 - 8 3 x 2 - 6 x + 12 ÷ x 2 - 4 6.

Zjednodušte: 2 z 2 z 2 - 1 ÷ z 3 - z 2 + z z 3 + 1. 2 z 2 z 2 - 1 ÷ z 3 - z 2 + z z 3 + 1.

Ako

Rozdeľte racionálne výrazy.

  1. Krok 1. Prepíšte rozdelenie ako súčin prvého racionálneho výrazu a prevráteného výrazu druhého.
  2. Krok 2. Kompletne urobte koeficienty čitateľov a menovateľov.
  3. Krok 3. Znásobte čitateľov a menovateľov dohromady.
  4. Krok 4. Zjednodušte to rozdelením bežných faktorov.

Pripomeňme z Použiť jazyk algebry, že zložitý zlomok je zlomok, ktorý obsahuje zlomok v čitateľovi, menovateli alebo v oboch. Pamätajte tiež, že zlomok znamená rozdelenie. Komplexná zlomok je ďalší spôsob zápisu rozdelenia dvoch zlomkov.

Príklad 7.8

Rozdeliť: 6 x 2 - 7 x + 2 4 x - 8 2 x 2 - 7 x + 3 x 2 - 5 x + 6. 6 x 2 - 7 x + 2 4 x - 8 2 x 2 - 7 x + 3 x 2 - 5 x + 6.

Riešenie

Zjednodušte: 3 x 2 + 7 x + 2 4 x + 24 3 x 2 - 14 x - 5 x 2 + x - 30. 3 x 2 + 7 x + 2 4 x + 24 3 x 2 - 14 x - 5 x 2 + x - 30.

Zjednodušte: y 2 - 36 2 r 2 + 11 r - 6 2 r 2 - 2 r - 60 8 r - 4. y 2 - 36 2 y 2 + 11 y - 6 2 y 2 - 2 y - 60 8 y - 4.

Ak máme k dispozícii viac ako dva racionálne výrazy, postupujeme stále rovnako. Prvým krokom bude prepísanie ľubovoľného rozdelenia na násobenie recipročným. Potom faktorujeme a vynásobíme.

Príklad 7.9

Vykonajte uvedené operácie: 3 x - 6 4 x - 4 · x 2 + 2 x - 3 x 2 - 3 x - 10 ÷ 2 x + 12 8 x + 16. 3 x - 6 4 x - 4 · x 2 + 2 x - 3 x 2 - 3 x - 10 ÷ 2 x + 12 8 x + 16.

Riešenie

Prepíšte rozdelenie na násobenie
recipročne.
Faktory čitateľov a menovateľov.
Znásobte frakcie. Prinášame konštanty do
predná strana pomôže pri odstraňovaní bežných faktorov.
Zjednodušte to rozdelením bežných faktorov.
Zjednodušiť.

Vykonajte uvedené operácie: 4 m + 4 3 m - 15 · m 2 - 3 m - 10 m 2 - 4 m - 32 ÷ 12 m - 36 6 m - 48. 4 m + 4 3 m - 15 · m 2 - 3 m - 10 m 2 - 4 m - 32 ÷ 12 m - 36 6 m - 48.

Vykonajte uvedené operácie: 2 n 2 + 10 n n - 1 ÷ n 2 + 10 n + 24 n 2 + 8 n - 9 · n + 4 8 n 2 + 12 n. 2 n 2 + 10 n n - 1 ÷ n 2 + 10 n + 24 n 2 + 8 n - 9 · n + 4 8 n 2 + 12 n.

Znásobte a rozdeľte racionálne funkcie

Racionálna funkcia

Racionálna funkcia je funkciou formy

Doménou racionálnej funkcie sú všetky reálne čísla okrem tých hodnôt, ktoré by spôsobili delenie nulou. Musíme vylúčiť všetky hodnoty, ktoré robia q (x) = 0. q (x) = 0.

Ako

Určte doménu racionálnej funkcie.

  1. Krok 1. Nastavte menovateľa na nulu.
  2. Krok 2. Vyriešte rovnicu.
  3. Krok 3. Doménou sú všetky reálne čísla okrem hodnôt nájdených v kroku 2.

Príklad 7.10

Nájdite doménu R (x) = 2 x 2 - 14 x 4 x 2 - 16 x - 48. R (x) = 2 x 2 - 14 x 4 x 2 - 16 x - 48.

Riešenie

Doménou budú všetky reálne čísla okrem tých hodnôt, vďaka ktorým je menovateľ nulový. Nastavíme menovateľ na nulu, vyriešime túto rovnicu a potom tieto hodnoty vylúčime z domény.

Nájdite doménu R (x) = 2 x 2 - 10 x 4 x 2 - 16 x - 20. R (x) = 2 x 2 - 10 x 4 x 2 - 16 x - 20.

Nájdite doménu R (x) = 4 x 2 - 16 x 8 x 2 - 16 x - 64. R (x) = 4 x 2 - 16 x 8 x 2 - 16 x - 64.

Na násobenie racionálnych funkcií vynásobíme výsledné racionálne výrazy na pravej strane rovnice rovnakými technikami, ktoré sme použili na násobenie racionálnych výrazov.

Príklad 7.11

Riešenie

Na rozdelenie racionálnych funkcií rozdelíme výsledné racionálne výrazy na pravú stranu rovnice pomocou rovnakých techník, ktoré sme použili na rozdelenie racionálnych výrazov.

Príklad 7.12

Riešenie

Oddiel 7.1 Cvičenia

Opakovanie je matka múdrosti

Určte hodnoty, pre ktoré je racionálny výraz nedefinovaný

V nasledujúcich cvičeniach určte hodnoty, pre ktoré je racionálny výraz nedefinovaný.

Zjednodušte racionálne výrazy

V nasledujúcich cvičeniach zjednodušte každý racionálny výraz.

p 3 + 3 p 2 + 4 p + 12 p 2 + p - 6 p 3 + 3 p 2 + 4 p + 12 p 2 + p - 6

x 3 - 2 x 2 - 25 x + 50 x 2 - 25 x 3 - 2 x 2 - 25 x + 50 x 2 - 25

8 b 2 - 32 b 2 b 2 - 6 b - 80 8 b 2 - 32 b 2 b 2 - 6 b - 80

−5 c 2 - 10 c −10 c 2 + 30 c + 100 −5 c 2 - 10 c −10 c 2 + 30 c + 100

3 m 2 + 30 m n + 75 n 2 4 m 2 - 100 n 2 3 m 2 + 30 m n + 75 n 2 4 m 2 - 100 n 2

5 r 2 + 30 r s - 35 s 2 r 2 - 49 s 2 5 r 2 + 30 r s - 35 s 2 r 2 - 49 s 2

Znásobte racionálne výrazy

V nasledujúcich cvičeniach znásobte racionálne výrazy.

5 x 2 y 4 12 x y 3 · 6 x 2 20 y 2 5 x 2 y 4 12 x y 3 · 6 x 2 20 y 2

12 a 3 b b 2 · 2 a b 2 9 b 3 12 a 3 b b 2 · 2 a b 2 9 b 3

5 p 2 p 2 - 5 p - 36 · p 2 - 16 10 p 5 p 2 p 2 - 5 p - 36 · p 2 - 16 10 p

3 q 2 q 2 + q - 6 · q 2 - 9 9 q 3 q 2 q 2 + q - 6 · q 2 - 9 9 q

2 roky 2 - 10 rokov 2 + 10 rokov + 25 · y + 5 6 rokov 2 roky 2 - 10 rokov 2 + 10 rokov + 25 · y + 5 6 rokov

z 2 + 3 z z 2 - 3 z - 4 · z - 4 z 2 z 2 + 3 z z 2 - 3 z - 4 · z - 4 z 2

28 - 4 b 3 b - 3 · b 2 + 8 b - 9 b 2 - 49 28 - 4 b 3 b - 3 · b 2 + 8 b - 9 b 2 - 49

72 m - 12 m 2 8 m + 32 · m 2 + 10 m + 24 m 2 - 36 72 m - 12 m 2 8 m + 32 · m 2 + 10 m + 24 m 2 - 36

3 c 2 - 16 c + 5 c 2 - 25 · c 2 + 10 c + 25 3 c 2 - 14 c - 5 3 c 2 - 16 c + 5 c 2 - 25 · c 2 + 10 c + 25 3 c 2 - 14 c - 5

2 d 2 + d - 3 d 2 - 16 · d 2 - 8 d + 16 2 d 2 - 9 d - 18 2 d 2 + d - 3 d 2 - 16 · d 2 - 8 d + 16 2 d 2 - 9 d - 18

6 m 2 - 13 m + 2 9 - m 2 · m 2 - 6 m + 9 6 m 2 + 23 m - 4 6 m 2 - 13 m + 2 9 - m 2 · m 2 - 6 m + 9 6 m 2 + 23 m - 4

2 n 2 - 3 n - 14 25 - n 2 · n 2 - 10 n + 25 2 n 2 - 13 n + 21 2 n 2 - 3 n - 14 25 - n 2 · n 2 - 10 n + 25 2 n 2 - 13 n + 21

Rozdeľte racionálne výrazy

V nasledujúcich cvičeniach rozdeľte racionálne výrazy.

v - 5 11 - v ÷ v 2 - 25 v - 11 v - 5 11 - v ÷ v 2 - 25 v - 11

10 + w w - 8 ÷ 100 - w 2 8 - w 10 + w w - 8 ÷ 100 - w 2 8 - w

3 s 2 s 2 - 16 ÷ s 3 + 4 s 2 + 16 s s 3 - 64 3 s 2 s 2 - 16 ÷ s 3 + 4 s 2 + 16 s s 3 - 64

r 2 - 9 15 ÷ r 3 - 27 5 r 2 + 15 r + 45 r 2 - 9 15 ÷ r 3 - 27 5 r 2 + 15 r + 45

p 3 + q 3 3 p 2 + 3 p q + 3 q 2 ÷ p 2 - q 2 12 p 3 + q 3 3 p 2 + 3 p q + 3 q 2 ÷ p 2 - q 2 12

v 3 − 8 w 3 2 v 2 + 4 v w + 8 w 2 ÷ v 2 − 4 w 2 4 v 3 − 8 w 3 2 v 2 + 4 v w + 8 w 2 ÷ v 2 − 4 w 2 4

x 2 + 3 x − 10 4 x ÷ ( 2 x 2 + 20 x + 50 ) x 2 + 3 x − 10 4 x ÷ ( 2 x 2 + 20 x + 50 )

2 y 2 − 10 y z − 48 z 2 2 y − 1 ÷ ( 4 y 2 − 32 y z ) 2 y 2 − 10 y z − 48 z 2 2 y − 1 ÷ ( 4 y 2 − 32 y z )

2 a 2 − a − 21 5 a + 20 a 2 + 7 a + 12 a 2 + 8 a + 16 2 a 2 − a − 21 5 a + 20 a 2 + 7 a + 12 a 2 + 8 a + 16

3 b 2 + 2 b − 8 12 b + 18 3 b 2 + 2 b − 8 2 b 2 − 7 b − 15 3 b 2 + 2 b − 8 12 b + 18 3 b 2 + 2 b − 8 2 b 2 − 7 b − 15

12 c 2 − 12 2 c 2 − 3 c + 1 4 c + 4 6 c 2 − 13 c + 5 12 c 2 − 12 2 c 2 − 3 c + 1 4 c + 4 6 c 2 − 13 c + 5

4 d 2 + 7 d − 2 35 d + 10 d 2 − 4 7 d 2 − 12 d − 4 4 d 2 + 7 d − 2 35 d + 10 d 2 − 4 7 d 2 − 12 d − 4

For the following exercises, perform the indicated operations.

10 m 2 + 80 m 3 m − 9 · m 2 + 4 m − 21 m 2 − 9 m + 20 ÷ 5 m 2 + 10 m 2 m − 10 10 m 2 + 80 m 3 m − 9 · m 2 + 4 m − 21 m 2 − 9 m + 20 ÷ 5 m 2 + 10 m 2 m − 10

4 n 2 + 32 n 3 n + 2 · 3 n 2 − n − 2 n 2 + n − 30 ÷ 108 n 2 − 24 n n + 6 4 n 2 + 32 n 3 n + 2 · 3 n 2 − n − 2 n 2 + n − 30 ÷ 108 n 2 − 24 n n + 6

12 p 2 + 3 p p + 3 ÷ p 2 + 2 p − 63 p 2 − p − 12 · p − 7 9 p 3 − 9 p 2 12 p 2 + 3 p p + 3 ÷ p 2 + 2 p − 63 p 2 − p − 12 · p − 7 9 p 3 − 9 p 2

6 q + 3 9 q 2 − 9 q ÷ q 2 + 14 q + 33 q 2 + 4 q − 5 · 4 q 2 + 12 q 12 q + 6 6 q + 3 9 q 2 − 9 q ÷ q 2 + 14 q + 33 q 2 + 4 q − 5 · 4 q 2 + 12 q 12 q + 6

Multiply and Divide Rational Functions

In the following exercises, find the domain of each function.

R ( x ) = x 3 − 2 x 2 − 25 x + 50 x 2 − 25 R ( x ) = x 3 − 2 x 2 − 25 x + 50 x 2 − 25

R ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 4 x − 12 x 2 − 4 R ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 4 x − 12 x 2 − 4

R ( x ) = 3 x 2 + 15 x 6 x 2 + 6 x − 36 R ( x ) = 3 x 2 + 15 x 6 x 2 + 6 x − 36

R ( x ) = 8 x 2 − 32 x 2 x 2 − 6 x − 80 R ( x ) = 8 x 2 − 32 x 2 x 2 − 6 x − 80

For the following exercises, find R ( x ) = f ( x ) · g ( x ) R ( x ) = f ( x ) · g ( x ) where f ( x ) f ( x ) and g ( x ) g ( x ) are given.

For the following exercises, find R ( x ) = f ( x ) g ( x ) R ( x ) = f ( x ) g ( x ) where f ( x ) f ( x ) and g ( x ) g ( x ) are given.

Písanie cvičení

Explain how you find the values of X for which the rational expression x 2 − x − 20 x 2 − 4 x 2 − x − 20 x 2 − 4 is undefined.

Explain all the steps you take to simplify the rational expression p 2 + 4 p − 21 9 − p 2 . p 2 + 4 p − 21 9 − p 2 .

Samokontrola

Ⓐ Po dokončení cvičení použite tento kontrolný zoznam na vyhodnotenie vášho zvládnutia cieľov tejto časti.

ⓑ If most of your checks were:

…sebavedomo. Blahoželáme! You have achieved your goals in this section! Zamyslite sa nad študijnými schopnosťami, ktoré ste použili, aby ste ich mohli naďalej používať. Čo ste urobili, aby ste si boli istí svojou schopnosťou robiť tieto veci? Be specific!

... s určitou pomocou. This must be addressed quickly as topics you do not master become potholes in your road to success. Math is sequential - every topic builds upon previous work. Predtým, ako sa posuniete ďalej, je dôležité ubezpečiť sa, že máte pevné základy. Whom can you ask for help?Your fellow classmates and instructor are good resources. Existuje miesto na akademickej pôde, kde sú k dispozícii lektori matematiky? Môžu sa zlepšiť vaše študijné schopnosti?

... nie - nerozumiem! This is critical and you must not ignore it. You need to get help immediately or you will quickly be overwhelmed. See your instructor as soon as possible to discuss your situation. Spoločne môžete prísť s plánom, ako vám získať potrebnú pomoc.

Ako spolupracovník spoločnosti Amazon zarábame na kvalifikovaných nákupoch.

Chcete citovať, zdieľať alebo upravovať túto knihu? Táto kniha je Creative Commons Attribution License 4.0 a musíte pripísať OpenStax.

    Ak redistribuujete celú knihu alebo jej časť v tlačenom formáte, musíte na každú fyzickú stránku uviesť nasledujúce uvedenie zdroja:

  • Informácie uvedené nižšie použite na vygenerovanie citácie. Odporúčame použiť citačný nástroj, ako je tento.
    • Autori: Lynn Marecek, Andrea Honeycutt Mathis
    • Vydavateľ / web: OpenStax
    • Názov knihy: Intermediate Algebra 2e
    • Dátum zverejnenia: 6. mája 2020
    • Miesto: Houston, Texas
    • URL knihy: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
    • Section URL: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/7-1-multiply-and-divide-rational-expressions

    © 21. januára 2021 OpenStax. Obsah učebnice produkovaný OpenStax je licencovaný pod licenciou Creative Commons Attribution License 4.0. Názov OpenStax, logo OpenStax, obálky kníh OpenStax, názov OpenStax CNX a logo OpenStax CNX nepodliehajú licencii Creative Commons a nemôžu byť reprodukované bez predchádzajúceho a výslovného písomného súhlasu Rice University.


    Chapter 7 - Section 7.2 - Multiplying and Dividing Rational Expressions - Exercise Set - Page 499: 19

    Step by step multiplication of rational expressions: 1. Factor completely what you can 2. Reduce (divide) numerators and denominators by common factors. 3. Multiply the remaining factors in the numerators and multiply the remaining factors in the denominators. $(displaystyle frac

    cdotfrac=frac)$ --- Factor what we can: . factor $x^<2>+bx+c $ by searching for two factors of $c$ whose sum is $b$. $x^<2>-5x+6=(x-3)(x-2)$ $x^<2>-2x-3=(x-3)(x+1)$ . recognize differences of squares: $x^<2>-1=(x-1)(x+1)$ $x^<2>-4=(x-2)(x+2)$ The problem becomes $. =displaystyle frac<(x-3)(x-2)cdot(x-1)(x+1)><(x-3)(x+1)cdot(x-2)(x+2)>qquad $. divide out the common factors $=displaystyle fracfbox<$(x-2)$>cdot(x-1)fbox<$(x+1)$>>fbox<$(x+1)$>cdotfbox<$(x-2)$>(x+2)> $ = $displaystyle frac$

    Update this answer!

    You can help us out by revising, improving and updating this answer.

    After you claim an answer you&rsquoll have 24 hours to send in a draft. An editor will review the submission and either publish your submission or provide feedback.


    There are two ways to go about multiplying fractions:

    We can multiply the numerators and the denominators and then simplify the product:

    Or we can factor and simplify the fractions before performing the multiplication:

    The same two approaches can be applied to rational expressions. In the following examples, we'll try both techniques: multiply, then simplify and simplify, then multiply. An important difference between fractions and rational expressions, though, is that we must identify any values for the variables that would result in division by `0` since this is undefined. These excluded values A value for a variable that is not allowed in an expression, such as a variable in a rational expression that would make the denominator equal zero. must be eliminated from the domain The set of all possible inputs of a function which allow the function to work. , the set of all possible values of the variable.


    Násobenie

    To Multiply a rational expression:

    1. Factor all numerators and denominators.

    2. Cancel all common factors.

    3. Either multiply the denominators and numerators together or leave the solution in factored form.

    Multiply and then simplify the product

    Multiply the following rational expressions:

    1: Factor all numerators and denominators:

    2: Cancel all common factors:

    3: Multiply the denominators and numerators:

    Division of rational expressions

    When we divide rational functions we multiply by the reciprocal.

    Perform the indicated operations:

    Perform the indicated operations:


    Univerzita medzinárodného obchodného práva

    This is “Multiplying and Dividing Rational Expressions”, section 7.2 from the book Beginning Algebra (v. 1.0). Podrobnosti o ňom (vrátane licencií) nájdete tu.

    Viac informácií o zdroji tejto knihy alebo o dôvodoch, prečo je kniha dostupná zadarmo, nájdete na domovskej stránke projektu. Môžete tam prehliadať alebo sťahovať ďalšie knihy.

    Pomohla vám táto kniha? Zvážte jeho odovzdanie:

    Program Creative Commons podporuje bezplatnú kultúru od hudby po vzdelávanie. Ich licencie pomohli sprístupniť túto knihu pre vás.

    DonorsChoose.org pomáha ľuďom, ako ste vy, pomáhať učiteľom financovať ich projekty v triede, od umeleckých potrieb cez knihy až po kalkulačky.

    7.2 Multiplying and Dividing Rational Expressions

    Učebné ciele
    1.Multiply rational expressions.
    2.Divide rational expressions.
    3.Multiply and divide rational functions.

    Multiplying Rational Expressions

    When multiplying fractions, we can multiply the numerators and denominators together and then reduce, as illustrated:

    Multiplying rational expressions is performed in a similar manner. Napríklad,

    In general, given polynomials P, Q, R, and S, where Q≠0 and S≠0, we have

    In this section, assume that all variable expressions in the denominator are nonzero unless otherwise stated.

    Example 1: Multiply: 12x25y3⋅20y46x3.

    Solution: Multiply numerators and denominators and then cancel common factors.

    Example 2: Multiply: x−3x+5⋅x+5x+7.

    Solution: Leave the product in factored form and cancel the common factors.

    Example 3: Multiply: 15x2y3(2x−1)⋅x(2x−1)3x2y(x+3).

    Solution: Leave the polynomials in the numerator and denominator factored so that we can cancel the factors. In other words, do not apply the distributive property.

    Typically, rational expressions will not be given in factored form. In this case, first factor all numerators and denominators completely. Next, multiply and cancel any common factors, if there are any.

    Example 4: Multiply: x+5x−5⋅x−5x2−25.

    Solution: Factor the denominator x2−25 as a difference of squares. Then multiply and cancel.

    Keep in mind that 1 is always a factor so when the entire numerator cancels out, make sure to write the factor 1.

    Example 5: Multiply: x2+3x+2x2−5x+6⋅x2−7x+12x2+8x+7.

    It is a best practice to leave the final answer in factored form.

    Example 6: Multiply: −2x2+x+3x2+2x−8⋅3x−6x2+x.

    Solution: The trinomial −2x2+x+3 in the numerator has a negative leading coefficient. Recall that it is a best practice to first factor out a −1 and then factor the resulting trinomial.

    Example 7: Multiply: 7−xx2+3x⋅x2+10x+21x2−49.

    Solution: We replace 7−x with −1(x−7) so that we can cancel this factor.

    Try this! Multiply: x2−648−x⋅x+x2x2+9x+8.

    Video Solution
    (click to see video)

    Dividing Rational Expressions

    To divide two fractions, we multiply by the reciprocal of the divisor, as illustrated:

    Dividing rational expressions is performed in a similar manner. Napríklad,

    In general, given polynomials P, Q, R, and S, where Q≠0, R≠0, and S≠0, we have

    Example 8: Divide: 8x5y25z6悐xy415z3.

    Solution: First, multiply by the reciprocal of the divisor and then cancel.

    Example 9: Divide: x+2x2−4÷x+3x−2.

    Solution: After multiplying by the reciprocal of the divisor, factor and cancel.

    Example 10: Divide: x2−6x−16x2+4x−21÷x2+9x+14x2−8x+15.

    Solution: Begin by multiplying by the reciprocal of the divisor. After doing so, factor and cancel.

    Example 11: Divide: 9−4x2x+2 ÷(2x−3).

    Solution: Just as we do with fractions, think of the divisor (2x−3) as an algebraic fraction over 1.

    Try this! Divide: 4x2+7x−225x2ধ−4x100x4.

    Video Solution
    (click to see video)

    Multiplying and Dividing Rational Functions

    The product and quotient of two rational functions can be simplified using the techniques described in this section. The restrictions to the domain of a product consist of the restrictions of each function.

    Example 12: Calculate (f⋅g)(x) and determine the restrictions to the domain.

    Solution: In this case, the domain of f(x) consists of all real numbers except 0, and the domain of g(x) consists of all real numbers except 1/4. Therefore, the domain of the product consists of all real numbers except 0 and 1/4. Multiply the functions and then simplify the result.

    Answer: (f⋅g)(x)=−4x+15x, where x≠0, 14

    The restrictions to the domain of a quotient will consist of the restrictions of each function as well as the restrictions on the reciprocal of the divisor.

    Example 13: Calculate (f/g)(x) and determine the restrictions.

    In this case, the domain of f(x) consists of all real numbers except 3 and 8, and the domain of g(x) consists all real numbers except 3. In addition, the reciprocal of g(x) has a restriction of −8. Therefore, the domain of this quotient consists of all real numbers except 3, 8, and −8.

    Kľúčové jedlá
    •After multiplying rational expressions, factor both the numerator and denominator and then cancel common factors. Make note of the restrictions to the domain. The values that give a value of 0 in the denominator are the restrictions.
    •To divide rational expressions, multiply by the reciprocal of the divisor.
    •The restrictions to the domain of a product consist of the restrictions to the domain of each factor.
    •The restrictions to the domain of a quotient consist of the restrictions to the domain of each rational expression as well as the restrictions on the reciprocal of the divisor.


    7.2: Multiplying and Dividing Rational Expressions

    Multiplying and Dividing Rational Expressions

    · Multiply rational expressions and simplify.

    · Divide rational expressions and simplify.

    Just as you can multiply and divide fractions, you can multiply and divide rational expressions. In fact, you use the same processes for multiplying and dividing rational expressions as you use for multiplying and dividing numeric fractions. The process is the same even though the expressions look different!

    Multiplication of Rational Expressions

    Remember that there are two ways to multiply numeric fractions.

    One way is to multiply the numerators and the denominators and then simplify the product, as shown here.

    A second way is to factor and simplify the fractions predtým performing the multiplication.

    Notice that both methods result in the same product. In some cases you may find it easier to multiply and then simplify, while in others it may make more sense to simplify fractions before multiplying.

    The same two approaches can be applied to rational expressions. In the following examples, both techniques are shown. First, let’s multiply and then simplify.

    Znásobte sa. State the product in simplest form.

    Multiply the numerators, and then multiply the denominators.

    Simplify by finding common factors in the numerator and denominator.

    Use the common factors to rewrite as multiplication by 1.

    Okay, that worked. But this time let’s simplify first, then multiply. When using this method, it helps to look for the greatest common factor. You can factor out akýkoľvek common factors, but finding the greatest one will take fewer steps.

    Znásobte sa. State the product in simplest form.

    Factor the numerators and denominators. Look for the greatest common factors.

    Regroup the fractions to express common factors as multiplication by 1, and then multiply.

    Both methods produced the same answer.

    Also, remember that when working with rational expressions, you should get into the habit of identifying any values for the variables that would result in division by 0. These excluded values must be eliminated from the doména, the set of all possible values of the variable. In the example above, , the domain is all real numbers where a is not equal to 0. When a = 0, the denominator of the fraction equals 0, which will make the fraction undefined.

    Some rational expressions contain quadratic expressions and other multi-term polynomials. To multiply these rational expressions, the best approach is to first factor the polynomials and then look for common factors. (Multiplying the terms before factoring will often create complicated polynomials…and then you will have to factor these polynomials anyway! For this reason, it is easier to factor, simplify, and then multiply.) Just take it step by step, like in the examples below.

    Znásobte sa. State the product in simplest form.

    Factor the numerators and denominators.

    Regroup to express rational expressions equivalent to 1.

    Multiply simplified rational expressions. This expression can be left with the numerator in factored form or multiplied out.

    Znásobte sa. State the product in simplest form.

    Factor the numerators and denominators.

    Regroup to express rational expressions equivalent to 1.

    Multiply simplified rational expressions. This expression can be left with the denominator in factored form or multiplied out.

    Note that in the answer above, you cannot simplify the rational expression any further. It may be tempting to express the 5’s in the numerator and denominator as the fraction , but these 5’s are terms because they are being added or subtracted. Remember that only common factors, not terms, can be regrouped to form factors of 1!

    Multiply, and express the product as a simplified rational expression.

    , r ≠ −8, −2, 0, 2,

    A)

    B)

    C)

    D)

    A)

    Nesprávne. You simplify by factoring the numerators and denominators. The fraction can be written as , and the fraction can be written as . The correct answer is .

    B)

    Nesprávne. This expression is equivalent, but it can be further simplified since there is a common factor of r in the numerator and denominator. The correct answer is .

    C)

    Nesprávne. This expression is equivalent, but it can be further simplified since there are common factors in the numerator and denominator: . The correct answer is .

    D)

    Správne. Factoring the numerators and denominators, you get . Regrouping, you get = .

    Dividing Rational Expressions

    You've seen that you multiply rational expressions as you multiply numeric fractions. It should come as no surprise that you also divide rational expressions the same way you divide numeric fractions. Specifically, to divide rational expressions, keep the first rational expression, change the division sign to multiplication, and then take the reciprocal of the second rational expression.

    Let’s begin by recalling division of numerical fractions.

    Use the same process to divide rational expressions. You can think of division as multiplication by the reciprocal, and then use what you know about multiplication to simplify.

    You do still need to think about the domain, specifically the variable values that would make either denominator equal zero. But there's a new consideration this time—because you divide by multiplying by the reciprocal of one of the rational expressions, you also need to find the values that would make the numerator of that expression equal zero. Have a look.


    8.2 Multiplication and Division of Rational Expressions

    Multiplying and dividing rational expressions is very similar to the process used to multiply and divide fractions.

    Reduce and multiply a .

    (15 and 45 reduce to 1 and 3, and 14 and 49 reduce to 2 and 7)

    This process of multiplication is identical to division, except the first step is to reciprocate any fraction that is being divided.

    Reduce and divide od .

    (25 and 15 reduce to 5 and 3, and 6 and 18 reduce to 1 and 3)

    When multiplying with rational expressions, follow the same process: first, divide out common factors, then multiply straight across.

    Reduce and multiply a .

    (25 and 55 reduce to 5 and 11, 24 and 9 reduce to 8 and 3, x 2 and x 7 reduce to x 5 , y 4 and y 8 reduce to y 4 )

    Remember: when dividing fractions, reciprocate the dividing fraction.

    Reduce and divide od .

    (After reciprocating, 4a 4 b 2 and b 4 reduce to 4a 3 and b 2 )

    In dividing or multiplying some fractions, the polynomials in the fractions must be factored first.

    Reduce, factor and multiply a .

    Dividing or cancelling out the common factors a leaves us with , which results in .


    SECTION 6 2 MULTIPLYING AND DIVIDING RATIONAL EXPRESSIONS

    I) REVIEW: MULTIPLYING & DIVIDING FRACTIONS Cancel Out any common factors in the Numerator & Denominator The division sign becomes a multiplication sign. Take the reciprocal of the 2 nd fraction

    II) MULTIPLYING & DIVIDING R. E. Ex: Simplify each of the following Rational Expressions Cancel out any common factors When dividing a fraction, flip it and then multiply

    PRACTICE: SIMPLIFY Cancel out any common factors

    III) FACTORING RATIONAL EXPRESSIONS When multiplying Rational Expressions with trinomials Factor every trinomial or difference of squares Cancel out any common binomial in both the numerator & denominator Look for NPV’s from every bracket in the denominator Ex: Simplify & State the NPV Factor each trinomial Cancel out any common binomial Look for NPV’s (Denominator) © Copyright all rights reserved to Homework depot: www. BCMath. ca

    PRACTICE: SIMPLIFY & FIND ALLNPV’S Look for NPV’s (Denominator) © Copyright all rights reserved to Homework depot: www. BCMath. ca


    Pozri si video: 9 ročník - Výrazy - delenie mnohočlena jednočlenom (Október 2021).