Články

8.4: Vektory - matematika


Žena odchádza z domu, kráča 3 míle na sever a potom 2 míle na juhovýchod. Ako ďaleko je od domu a ktorým smerom by potrebovala kráčať, aby sa vrátila domov? Ako ďaleko zašla v čase, keď sa vráti domov?

Táto otázka sa môže javiť ako známa - v prvej časti tejto kapitoly sme skutočne urobili podobný problém s loďou. V tejto časti sme problém vyriešili pomocou trojuholníkov. V tejto časti budeme skúmať iný spôsob prístupu k problému pomocou vektorov, geometrickej entity, ktorá označuje vzdialenosť aj smer. Začneme naše vyšetrovanie pomocou čisto geometrického pohľadu na vektory.

Geometrický pohľad na vektory

Definícia: VEKTOR

A vektor je objekt, ktorý má dĺžku aj smer.

Geometricky môže byť vektor znázornený šípkou, ktorá má pevnú dĺžku a

označuje smer. Ak sa počnúc bodom (A ) vektor, ktorý znamená v latinčine „carrier“, posúva smerom k bodu (B ), napíšeme ( overrightarrow {AB} ), ktorý predstavuje vektor.

Vektor môže byť tiež označený použitím jedného písmena tučným písmom, napríklad u, alebo zatvorením písmena predstavujúceho vektor šípkou, napríklad ( vec {u} ).

Príklad ( PageIndex {1} )

Nakreslite vektor, ktorý predstavuje pohyb z bodu (P ) (-1, 2) do bodu (Q ) (3, 3)

Riešenie

Nakreslením šípky z prvého bodu do druhého môžeme zostrojiť vektor ( overrightarrow {PQ} ).

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Nakreslite vektor ( vec {v} ), ktorý cestuje z počiatku do bodu (3, 5).

Odpoveď

Pomocou tohto geometrického znázornenia vektorov môžeme vizualizovať sčítanie a zmenu mierky vektorov.

Na pridanie vektorov si predstavujeme súčet dvoch pohybov. Aby sme našli ( vec {u} + vec {v} ), nakreslíme najskôr vektor ( vec {u} ), potom od konca ( vec {u} ) nakreslíme vektor vektor ( vec {v} ). To zodpovedá predstave, že najskôr sa pohybujeme pozdĺž prvého vektora a potom z tejto koncovej polohy sa pohybujeme pozdĺž druhého vektora. Súčet ( vec {u} + vec {v} ) je nový vektor, ktorý sa pohybuje priamo od začiatku ( vec {u} ) na koniec ( vec {v} ) v rovnej ceste.

GEOMETRICKY PRIDÁVAJÚCE VEKTORY

Ak chcete pridať geometricky vektory, nakreslite ( vec {v} ) od konca ( vec {u} ). Súčet ( vec {u} + vec {v} ) je vektor od začiatkuz ( vec {u} ) na koniec ( vec {v} ).

Príklad ( PageIndex {2} )

Vzhľadom na dva vektory zobrazené nižšie nakreslite ( vec {u} + vec {v} )

Riešenie

Nakreslíme ( vec {v} ) od konca ( vec {u} ), potom nakreslíme súčet ( vec {u} + vec {v} ) od začiatku ( vec {u} ) na koniec ( vec {v} ).

Všimnite si, že cestu kráčajúcej ženy od začiatku sekcie je možné zobraziť ako súčet dvoch vektorov. Výsledný vektor súčtu by označoval jej koncovú pozíciu vzhľadom k domovu.

Aj keď vektory môžu existovať kdekoľvek v rovine, ak dáme počiatočný bod do počiatku, je ľahké pochopiť jeho veľkosť a smer v porovnaní s inými vektormi.

Na zmenšenie vektorov o konštantu, napríklad (3 vec {u} ), si môžeme predstaviť pridanie ( vec {u} + vec {u} + vec {u} ). Výsledkom bude vektor trikrát dlhší v rovnakom smere ako pôvodný vektor. Ak by sme mierku zmenšili o záporné číslo, napríklad (- vec {u} ), môžeme si to predstaviť ako opak ( vec {u} ); vektor, takže ( vec {u} + (- vec {u} ) nás vráti do východiskového bodu. Tento vektor (- vec {u} ) by smeroval opačným smerom ako ( vec {u} ), ale majú rovnakú dĺžku.

Ďalším spôsobom, ako premýšľať o zmene mierky vektora, je zachovanie jeho smeru a násobenie jeho dĺžky konštantou, takže (3 vec {u} ) bude ukazovať rovnakým smerom, ale bude trikrát dlhší.

GEOMETRICKY VYCHÁDZAJETE VEKTOROM

To geometricky zmenšiť vektor o konštantu, zmenší dĺžku vektora o konštantu.

Zmena mierky vektora zápornou konštantou zmení smer vektora.

Príklad ( PageIndex {3} )

Vzhľadom na zobrazený vektor nakreslite (3 vec {u} ), (- vec {u} ) a (- 2 vec {u} ).

Riešenie

Vektor (3 vec {u} ) bude trikrát dlhší. Vektor (- vec {u} ) bude mať rovnakú dĺžku, ale bude smerovať opačným smerom. Vektor (- 2 vec {u} ) bude ukazovať v opačnom smere a bude dvakrát tak dlhý.

Kombináciou mierky a sčítania nájdeme rozdiel medzi vektormi aj geometricky, pretože ( vec {u} - vec {v} = vec {u} + (- vec {v}) ).

Príklad ( PageIndex {4} )

Vzhľadom na zobrazené vektory nakreslite ( vec {u} - vec {v} )

Riešenie

Od konca ( vec {u} ) nakreslíme (- vec {v} ), potom nakreslíme výsledok.

Všimnite si, že súčet a rozdiel dvoch vektorov sú dve uhlopriečky rovnobežníka s vektormi ( vec {u} ) a ( vec {v} ) ako edges.

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Pomocou vektora ( vec {v} ) z predchádzajúceho Cvičenia nakreslite (- 2 vec {v} ).

Odpoveď

Zložka vektorov

Aj keď nám geometrická interpretácia vektorov umožňuje intuitívne porozumenie vektorov, neposkytuje nám pohodlný spôsob vykonania calculation. Na to potrebujeme šikovný spôsob reprezentácie vektorov. Pretože vektor zahŕňa dĺžku a smer, bolo by logické chcieť vektor reprezentovať pomocou dĺžky a uhla ( theta ), ktoré sa zvyčajne merajú od štandardnej polohy.

Definícia: VEĽKOSŤ A SMER VEKTORA

Vektor ( vec {u} ) možno opísať podľa jeho veľkosti alebo dĺžky, (| vec {u} | ) a uhla ( theta ).

Volá sa vektor s dĺžkou 1 jednotkový vektor.

Aj keď je to veľmi rozumné a je to bežný spôsob popísania vektorov, pre výpočty je často vhodnejšie reprezentovať vektor pomocou horizontálnych a vertikálnych komponentov.

KOMPONENTNÁ FORMA VEKTORA

Komponentná forma vektora predstavuje vektor pomocou dvoch komponentov. ( vec {u} = langle x, y rangle ) znamená, že vektor predstavuje posun (x ) jednotiek horizontálne a (y ) jednotiek vertikálne.

Všimnite si, ako môžeme vidieť veľkosť vektora ako dĺžku prepony pravého trojuholníka alebo v polárnom tvare ako polomer (r ).

ALTERNATÍVNE OZNAM PRE VEKTOROVÉ KOMPONENTY

Niekedy môžete vidieť vektory napísané ako kombináciu jednotkových vektorov ( vec {i} ) a ( vec {j} ), kde ( vec {i} ) ukazuje doprava a ( vec {j} ) ukazuje hore. Inými slovami, ( vec {i} = langle 1, 0 rangle ) a ( vec {j} = langle theta, 1 rangle ).

V tejto notácii by bol vektor ( vec {u} = langle 3, -4 rangle ) napísaný ako ( vec {u} = 3 vec {i} - 4 vec {j} ), pretože obidve označujú posun o 3 jednotky doprava a 4 jednotky nadol.

Aj keď je vhodné uvažovať o vektore ( vec {u} = langle x, y rangle ) ako šípke od počiatku k bodu ( (x ), (y )), nezabudnite, že väčšina vektorov môže byť umiestnená kdekoľvek v rovine, a jednoducho označte posun (zmenu polohy), nie polohu.
Je bežné, že je potrebné prevádzať z veľkosti a uhla na komponentnú formu vektora a naopak. Našťastie je tento proces totožný s prevodom z polárnych súradníc na karteziánske súradnice alebo z polárneho tvaru komplexných čísel na tvar (a + bi ).

Príklad ( PageIndex {5} )

Nájdite komponentný tvar vecor s dĺžkou 7 v uhle 135 stupňov.

Riešenie

Pomocou prevodných vzorcov (x = r cos ( theta) ) a (y = r sin ( theta) ) nájdeme komponenty

[x = 7 cos (135 ^ { circ}) = - dfrac {7 sqrt {2}} {2} nonumber ]
[y = 7 sin (135 ^ { circ}) = dfrac {7 sqrt {2}} {2} nonumber ]

Vektor je možné zapísať v podobe komponentu ako ( langle - dfrac {7 sqrt {2}} {2}, dfrac {7 sqrt {2}} {2} rangle )

Príklad ( PageIndex {6} )

Nájdite veľkosť a uhol ( theta ) predstavujúce vektor ( vec {u} = langle 3, -2 rangle ).

Riešenie

Najprv môžeme nájsť veľkosť zapamätaním si vzťahu medzi (x ), (y ) a (r ):

[r ^ 2 = 3 ^ 2 + (-2) ^ 2 = 13 nečíslo ]
[r = sqrt {13} nonumber ]

Po druhé môžeme nájsť uhol. Pomocou dotyčnice,

[ tan ( theta) = dfrac {-2} {3} nonumber ]
[ theta = tan ^ {- 1} (- dfrac {2} {3}) približne -33,69 ^ { circ} nonumber ] alebo zapísané ako kognitívny kladný uhol, (326,31 ^ { cirkus} ). Tento uhol je v kvadrante (4 ^ { text {th}} ) podľa želania.

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Pomocou vektora ( vec {v} ) z prvého Cvičenia, vektora, ktorý cestuje z počiatku do bodu (3, 5), nájdite komponenty, veľkosť a uhol ( theta ), ktoré tento vektor reprezentujú.

Odpoveď

[ vec {v} = langle 3, 5 rangle nonumber ]
[ text {magnitude} = sqrt {34} nonumber ]
[ theta = tan ^ {- 1} ( dfrac {5} {3}) = 59,04 ^ { circ} nonumber ]

Okrem reprezentácie pohybov na diaľku sa vektory vo fyzike a inžinierstve bežne používajú na vyjadrenie akejkoľvek veličiny, ktorá má smer aj veľkosť, vrátane rýchlostí a síl.

Príklad ( PageIndex {7} )

Objekt je vystrelený s počiatočnou rýchlosťou 200 metrov za sekundu v uhle 30 stupňov. Nájdite počiatočné horizontálne a vertikálne rýchlosti.

Riešenie

Zobrazením počiatočnej rýchlosti ako vektora môžeme vektor rozložiť na vodorovnú a zvislú zložku.

[x = 200 cos (30 ^ { circ} = 200 cdot dfrac { sqrt {3}} {2} približne 173,205 text {m / s} nonumber ]
[y = 200 sin (30 ^ { circ} = 200 cdot dfrac {1} {2} = 100 text {m / s} nonumber ]

To nám hovorí, že pri neprítomnosti odporu vetra bude objekt putovať horizontálne asi 173 metrov každú sekundu. Gravitácia spôsobí, že sa vertikálna rýchlosť bude časom meniť - diskusiu o tom necháme na hodinách fyziky alebo počtu.

Pridávanie a zmena mierky vektorov vo forme komponentov

Na pridanie vektorov vo forme komponentov môžeme jednoducho pridať zodpovedajúce komponenty. Na zväčšenie vektora o konštantu zmenšíme mierku každej zložky o túto konštantu.

KOMBINOVANIE VEKTOROV V KOMPONENTNEJ FORME

To sčítať, odčítať alebo meniť mierku vektorov v zloženej podobe

Ak ( vec {u} = langle u_1, u_2 rangle ), ( vec {v} = langle v_1, v_2 rangle ) a (c ) je ľubovoľná konštanta, potom

[ vec {u} + vec {v} = langle u_1 + v_1, u_2 + v_2 rangle ]
[ vec {u} - vec {v} = langle u_1 - v_1, u_2 - v_2 rangle ]
[c vec {u} = langle cu_1, cu_2 rangle ]

Príklad ( PageIndex {8} )

Dané ( vec {u} = jazyk 3, -2 rozsah ) a ( vec {v} = jazyk -1, 4 rozsah ), nájdite nový vektor ( vec {w} = 3 vec {u} - 2 vec {v} )

Riešenie

Pomocou uvedených vektorov

[ begin {array} {rcl} { vec {w}} & = & {3 vec {u} - 2 vec {v}} {} & = & {3 langle 3, -2 rangle - 2 langle -1, 4 rangle text {Zmenšiť každý vektor}} {} & = & { langle 9, -6 rangle - langle -2, 8 rangle text {Odpočítajte príslušné komponenty}} { } & = & { langle 11, -14 rangle} end {array} nonumber ]

Znázornením vektorov vo forme komponentov môžeme nájsť výsledný vektor posunutia po mnohých pohyboch bez toho, aby sme museli kresliť veľa komplikovaných nepravých trojuholníkov. Pre jednoduchý príklad sa vrátime k problému po otvorení sekcie. Všeobecný postup, ktorý budeme dodržiavať, je:

1) Konvertujte vektory na komponentnú formu
2) Pridajte komponenty vektorov
3) Ak je to potrebné, v prípade potreby urobte zmenu na dĺžku a smer, aby to vyhovovalo kontextu otázky

Príklad ( PageIndex {9} )

Žena odchádza z domu, kráča 3 míle na sever a potom 2 míle na juhovýchod. Ako ďaleko je od domu a akým smerom by potrebovala kráčať, aby sa vrátila domov? Ako ďaleko zašla v čase, keď sa vráti domov?

Riešenie

Začnime tým, že sa otázke porozumieme trochu podrobnejšie. Keď pomocou vektorov popisujeme smer jazdy, často umiestnime tenkú pozíciugs tak sever ukazuje smerom hore, východ smeruje doprava atď., ako je to znázornené tu.

Preto cestovanie na SZ, JZ, SV alebo JV znamená, že cestujeme cez kvadrant ohraničený danými smermi pod 45 stupňovým uhlom.

S týmto vedomím začneme konverziou každého vektora na komponenty.

Prechádzka 3 míle na sever by bola z komponentov ( langle 0, 3 rangle ).

Prechádzka 2 míle na juhovýchod by bola v uhle (45 ^ { circ} ) južne od východu. Pri meraní zo štandardnej polohy by bol uhol (315 ^ { circ} ).

Pri prevedení na komponenty sa rozhodneme použiť štandardný uhol polohy, aby sme sa nemuseli obávať, či sú znaky negatívne alebo pozitívne; vypracujú sa automaticky.

[ langle 2 cos (315 ^ { circ}), : 2 sin (315 ^ { circ}) rangle = langle 2 cdot frac { sqrt {2}} {2}, : 2 cdot frac {- sqrt {2}} {2} rangle cca langle 1,414, -1,414 rangle nonumber ]

Sčítaním týchto vektorov sa získa súčet pohybov vo forme komponentov

[ langle 0, 3 rangle + langle 1.414, -1.414 rangle = langle 1.414 1,586 rangle nonumber ]

Aby sme zistili, ako ďaleko je od domova a smer, ktorým bude musieť kráčať, aby sa vrátila domov, mohli by sme nájsť veľkosť a uhol tohto vektora.

[ text {Length} = sqrt {1,414 ^ 2 + 1,586 ^ 2} = 2,125 nonumber ]

Na nájdenie uhla môžeme použiť dotyčnicu

[ tan ( theta) = dfrac {1,586} {1,414} nonumber ]
[ theta = tan ^ {- 1} ( dfrac {1.586} {1.414}) = 48,273 ^ { circ} text {severovýchodne} nonumber ]

Toto je samozrejme uhol od jej východiskového bodu k cieľovému bodu. Aby sa vrátila domov, musela by ísť opačným smerom, ktorý by sme mohli označiť buď ako (180 ^ { circ} + 48,273 ^ { circ} = 228,273 ^ { circ} ) meraný v štandardnej polohe, alebo ako (48,273 ^ { circ} ) južne od západu (alebo (41,727 ^ { circ} ) západne od juhu).

Prešla celkovú vzdialenosť 3 + 2 + 2,125 = 7,125 míľ.

Pamätajte, že celková prejdená vzdialenosť nie je rovnaká ako dĺžka výsledného vektora posunutia alebo „návratového“ vektora.

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Pri love na mrchožrouta sa vydávajú pokyny, ako nájsť zakopaný poklad. Z východiskového bodu pri vlajkovej tyči musíte kráčať 30 stôp na východ, otáčať sa o 30 stupňov na sever a cestovať 50 stôp, potom odbočiť na juh a cestovať 75 stôp. Načrtnite obrázok týchto vektorov, nájdite ich komponenty a vypočítajte, ako ďaleko a v akom smere musíte cestovať, aby ste sa dostali priamo k pokladu z vlajkového pólu bez toho, aby ste sledovali mapu.

Odpoveď

[ vec {v} _1 = langle 30, 0 rangle quad vec {v} _2 = langle 50 cos (30 ^ { circ}), 50 sin (30 ^ {cir}) rangle quad vec {v} _3 = langle 0, -75 rangle nonumber ]
[ vec {v} _f = langle 30 + 50 cos (30 ^ { circ}), 50 sin (30 ^ { circ}) - 75 rangle = langle 73,301, -50 rangle nečíslo ]
Veľkosť = 88,73 stôp pod uhlom (34,3 ^ { circ} ) na juh od východu.

Aj keď použitie vektorov nie je oveľa rýchlejšie ako použitie zákona kosínusov iba s dvoma pohybmi, pri kombinovaní troch alebo viacerých pohybov, síl alebo iných vektorových veličín sa použitie vektorov stáva omnoho účinnejším ako pokus o použitie trojuholníkov.

Príklad ( PageIndex {10} )

Ako je znázornené nižšie, na predmet pôsobia tri sily, každá z nich meraná v Newtonoch (N). Aká sila musí byť vyvinutá, aby sa udržal objekt v rovnováhe (kde súčet síl je nulový)?

Riešenie

Začneme rozložením každého vektora do komponentov.

Prvý vektor s veľkosťou 6 Newtonov pod uhlom 30 stupňov bude mať komponenty

[ langle 6 cos (30 ^ { circ}). 6 sin (30 ^ { circ}) rangle = langle 6 cdot dfrac { sqrt {3}} {2}, 6 cdot dfrac {1} {2} rangle = langle 3 sqrt {3} 3 rangle nonumber ]

Druhý vektor je iba v horizontálnom smere, takže ho možno zapísať ako ( langle -7, 0 rangle ).

Tretí vektor s veľkosťou 4 Newtony pod uhlom 300 stupňov bude mať komponenty

[ langle 4 cos (300 ^ { circ}), 4 sin (300 ^ { circ}) rangle = langle 4 cdot dfrac {1} {2}, 4 cdot dfrac { - sqrt {3}} {2} rangle = langle 2, -2 sqrt {3} rangle nonumber ]

Aby sme udržali objekt v rovnováhe, musíme nájsť vektor sily (x ), (y ), takže súčet štyroch vektorov je nulový vektor ( langle 0, 0 rangle ).

[ langle 3 sqrt {3}, 3 rangle + langle -7, 0 rangle + langle 2, -2 sqrt {3} rangle + langle x, y rangle = langle 0, 0 rangle nonumber ] Pridajte po jednotlivých zložkách
[ langle 3 sqrt {3} - 7 + 2, 3 + 0 - 2 sqrt {3} rangle + langle x, y rangle = langle 0, 0 rangle nonumber ] Zjednodušiť
[ langle 3 sqrt {3} - 5, 3 - 2 sqrt {3} rangle + langle x, y rangle = langle 0, 0 rangle nonumber ] Vyriešiť
[ langle x, y rangle = langle 0, 0 rangle - langle 3 sqrt {3} - 5, 3 - 2 sqrt {3} rangle nonumber ]
[ langle x, y rangle = langle -3 sqrt {3} + 5, -3 + 2 sqrt {3} rangle cca langle -0,196, 0,464 rangle nonumber ]

Tento vektor dáva v komponentoch silu, ktorú by bolo potrebné aplikovať, aby bol objekt v rovnováhe. Ak je to žiaduce, môžeme nájsť veľkosť tejto sily a smer, na ktorý by bolo potrebné pôsobiť.

[ text {Magnitude} = sqrt {(- 0,196) ^ 2 + 0,464 ^ 2} = 0,504 text {N} nonumber ]

Uhol:

[ tan ( theta) = dfrac {0,464} {- 0,196} nonumber ]
[ theta = tan ^ {- 1} ( dfrac {0,464} {- 0,196} = -67,089 ^ { circ} nonumber ]

Toto je v nesprávnom kvadrante, preto sa upravíme nájdením ďalšieho uhla s rovnakou hodnotou dotyčnice pridaním celej periódy dotyčnice:

[ theta = -67.089 ^ { circ} + 180 ^ { circ} = 112. 911 ^ {circ} nonumber ]

Na udržanie rovnováhy objektu by bolo potrebné vyvinúť silu 0,504 Newtona pod uhlom (112,911 ^ { circ} )

Dôležité témy tejto časti

  • Vektory, veľkosť (dĺžka) a smer Sčítanie vektorov
  • Zmena mierky vektorov
  • Zložky vektorov
  • Vektory ako rýchlosť
  • Vektory ako sily
  • Pridanie a zmena mierky vektorov vo forme komponentu Celková prejdená vzdialenosť vs. celkový posun


Pozri si video: Длина вектора. Скалярный квадрат вектора. Высшая математика. (Október 2021).