Články

5: trigonometrické funkcie


Goniometrické funkcie sú funkciami uhla. Sú dôležité pri štúdiu trojuholníkov a modelovaní periodických javov, okrem mnohých iných aplikácií.

  • 5.0: Predohra k trigonometrickým funkciám
    Funkcia, ktorá opakuje svoje hodnoty v pravidelných intervaloch, sa nazýva periodická funkcia. Grafy takýchto funkcií ukazujú všeobecný tvar odrážajúci vzor, ​​ktorý sa neustále opakuje. To znamená, že graf funkcie má v každom cykle rovnaký výstup na úplne rovnakom mieste. To znamená, že všetky cykly funkcie majú presne rovnakú dĺžku.
  • 5.1: Uhly
    Spojením dvoch lúčov sa vytvorí uhol, ktorý udržuje pôvodnú stranu pevnú a otáčaním koncovej strany. Veľkosť rotácie určuje mieru uhla. Uhol je v štandardnej polohe, ak je jeho vrchol v počiatku a jeho počiatočná strana leží pozdĺž kladnej osi x. Kladný uhol sa meria proti smeru hodinových ručičiek z počiatočnej strany a záporný uhol sa meria v smere hodinových ručičiek.
  • 5.2: Kruh jednotky - funkcie sínus a kosínus
    V tejto časti budeme skúmať tento typ otáčavého pohybu okolo kruhu. Aby sme to mohli urobiť, musíme najskôr definovať typ kruhu a potom tento kruh umiestniť na súradnicový systém. Potom môžeme diskutovať o kruhovom pohybe z hľadiska párov súradníc.
  • 5.3: Ostatné trigonometrické funkcie
    Trigonometrické funkcie nám umožňujú určiť tvary a proporcie objektov nezávisle od presných rozmerov. Už sme definovali sínusovú a kosínusovú funkciu uhla. Hoci trigonometrické funkcie sú najčastejšie používané sínus a kosínus, existujú štyri ďalšie. Spoločne tvoria množinu šiestich trigonometrických funkcií. V tejto časti preskúmame zostávajúce funkcie.
  • 5.4: trigonometria pravouhlého trojuholníka
    Predtým sme definovali sínus a kosínus uhla z hľadiska súradníc bodu na jednotkovej kružnici pretnutej koncovou stranou uhla. V tejto časti uvidíme ďalší spôsob definovania trigonometrických funkcií pomocou vlastností pravouhlých trojuholníkov.
  • 5.E: trigonometrické funkcie (cvičenia)
  • 5. R: trigonometrické funkcie (kontrola)
    Predtým sme definovali sínus a kosínus uhla z hľadiska súradníc bodu na jednotkovej kružnici pretnutej koncovou stranou uhla. V tejto časti uvidíme ďalší spôsob definovania trigonometrických funkcií pomocou vlastností pravouhlých trojuholníkov.

5: trigonometrické funkcie

Máme

s 4 θ & # 8211 s 2 θ = tan 4 θ + tan 2 θ

Užívanie LHS

= s 4 θ & # 8211 s 2 θ



= s 2 θ (s 2 θ & # 8211 1)

Použitím sek 2 θ = tan 2 θ + 1 dostaneme

= (1 + tan 2 θ) tan 2 θ

= tan 2 θ + tan 4 θ

Preto LHS = RHS (preukázané)

Otázka 2. sin 6 θ + cos 6 θ = 1 & # 8211 3sin 2 θcos 2 θ

Máme

sin 6 θ + cos 6 θ = 1 & # 8211 3sin 2 θcos 2 θ



Užívanie LHS

= sin 6 θ + cos 6 θ

= (sin 2 θ) 3 + (cos 2 θ) 3

Použitím 3 + b 3 = (a + b) (a 2 + b 2 & # 8211 ab) dostaneme

= (sin 2 θ + cos 2 θ) (sin 4 θ + cos 4 θ & # 8211 sin 2 θcos 2 θ)

Použitím 2 + b 2 = (a + b) 2 & # 8211 2ab a sin 2 θ + cos 2 θ = 1 dostaneme

= (1) [(sin 2 θ + cos 2 θ) 2 & # 8211 2sin 2 θcos 2 θ & # 8211 sin 2 θcos 2 θ]

= (1) [(1) 2 & # 8211 3sin 2 θcos 2 θ]

= 1 & # 8211 3sin 2 θcos 2 θ

Preto LHS = RHS (preukázané)


Otázka 3. (cosecθ & # 8211 sinθ) (secθ & # 8211 cosθ) (tanθ + cotθ) = 1

Máme

(cosecθ & # 8211 sinθ) (secθ & # 8211 cosθ) (tanθ + cotθ) = 1

Užívanie LHS

= (cosecθ & # 8211 sinθ) (secθ & # 8211 cosθ) (tanθ + cotθ)

Pomocou cosecθ = 1 / sinθ a secθ = 1 / cosθ

=

=

=

= 1


Otázka 4. cosecθ (secθ & # 8211 1) & # 8211 cotθ (1 & # 8211 cosθ) = tanθ & # 8211 sinθ

Máme

cosecθ (secθ & # 8211 1) & # 8211 cotθ (1 & # 8211 cosθ) = tanθ & # 8211 sinθ

Užívanie LHS

=

=

=

=

=



= />

= />

Preto LHS = RHS (preukázané)

Otázka 5.

Máme

Užívanie LHS

=

Použitím 2 & # 8211 b 2 = (a + b) (a & # 8211 b) a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 + b 2 ab) dostaneme

=



=

=

=

= sinA

Preto LHS = RHS (preukázané)

Otázka 6.

Máme

Užívanie LHS

=



Použitím tanA = sinA / cosA a cotA = cosA / sinA dostaneme

=

=

=

=

Použitím 3 & # 8211 b 3 = (a & # 8211 b) (a 2 + b 2 + ab) dostaneme

=

=

=

Použitím cosecA = 1 / sinA a secA = 1 / cosA dostaneme



= secAcosecA + 1

Preto LHS = RHS (preukázané)

Otázka 7.

Máme

Užívanie LHS

=

Použitím 3 ± b 3 = (a ± b) (a 2 + b 2 ± ab) dostaneme

=

Pomocou sin 2 θ + cos 2 θ = 1 dostaneme

= 1 & # 8211 sinAcosA + 1 + sinAcosA

= 2

Preto LHS = RHS (preukázané)

Otázka 8. (secAsecB + tanAtanB) 2 & # 8211 (secAtanB + tanAsecB) 2 = 1

Máme

(secAsecB + tanAtanB) 2 & # 8211 (secAtanB + tanAsecB) 2 = 1

Užívanie LHS

= (secAsecB + tanAtanB) 2 & # 8211 (secAtanB + tanAsecB) 2

Rozšírenie vyššie uvedenej rovnice pomocou vzorca

(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab



= (secAsecB) 2 + (tanAtanB) 2 + 2 (secAsecB) (tanAtanB) & # 8211

(secAtanB) 2 & # 8211 (tanAsecB) 2 & # 8211 2 (secAtanB) (tanAsecB)

= sek. 2 Asec 2 B + opálenie 2 Atan 2 B & # 8211 sek. 2 Atan 2 B & # 8211 opálenie 2 Asec 2 B

= sek 2 A (sek 2 B & # 8211 opálenie 2 B) & # 8211 opálenie 2 A (sek 2 B & # 8211 opálenie 2 B)

= sec 2 A & # 8211 tan 2 A - (s použitím sec 2 θ & # 8211 tan 2 θ = 1)

= 1

Preto LHS = RHS (preukázané)

Otázka 9.

Máme

Užívanie RHS

=

=

= ×

=

=

=

=

=

=



=

=

=

= ×

=

=

=

=

Preto RHS = LHS (preukázané)

Otázka 10.

Máme

Užívanie LHS

=

Použitím 1 + tan 2 x = sek 2 x a 1 + detskej postieľky 2 x = cosec 2 x dostaneme

=

=

=

=

=

Použitím 2 + b 2 = (a + b) 2 & # 8211 2ab dostaneme

=

=

=

Preto LHS = RHS (preukázané)

Otázka 11.

Máme

Užívanie LHS

=



Použitím vzorcov cotθ = cosθ / sinθ a tanθ = sinθ / cosθ dostaneme

=

=

=

Použitím 3 + b 3 = (a + b) (a 2 + b 2 & # 8211 ab) dostaneme

=

=

= 1 & # 8211 (sin 2 θ + cos 2 θ) + sinθcosθ

= 1 & # 8211 1 + sinθcosθ

= sinθcosθ

Preto LHS = RHS (preukázané)

Otázka 12.

Máme

=

Užívanie LHS

=

=

=

=

=



=

=

=

=

Preto LHS = RHS (preukázané)

Otázka 13. (1 + tanαtanβ) 2 + (tanα & # 8211 tanβ) 2 = sek. 2 αsec 2 β

Máme

(1 + tanαtanβ) 2 + (tanα & # 8211 tanβ) 2 = sek ^ 2αsec 2 β

Užívanie LHS

= (1 + tanαtanβ) 2 + (tanα & # 8211 tanβ) 2

= (1 + tan 2 αtan 2 β + 2tanαtanβ) + (tan 2 α + tan 2 β & # 8211 2tanαtanβ)

= 1 + tan 2 αtan 2 β + tan 2 α + tan 2 β

= (1 + tan 2 β) + tan 2 α (1 + tan 2 β)

= (1 + tan 2 β) (1 + tan 2 α)

= sek 2 αsec 2 β

Preto LHS = RHS (preukázané)


Pododdiel 0.5.1 Meranie uhlov s radiánmi

Sínusy, kosínusy a dotyčnice sú veľmi užitočné pri štúdiu trojuholníkov. Vstupom do každej z týchto funkcií je uhol a výstup nám hovorí o pomere dĺžok strán trojuholníka. Existujú dve bežne používané jednotky na meranie uhlov, stupňov a radiánov, a teda existujú dve bežne používané verzie trigonometrických funkcií. Tam ( sin x ) je (x ) v stupňoch a ( sin x ) kde (x ) je v radiánoch. Počet je oveľa ľahší, ak meriame uhly v radiánoch, takže to použijeme počas celého tohto kurzu. Ak budete mať niekedy problém so získaním správnych čísel z kalkulačky, môžete skontrolovať, či je kalkulačka v radiánskom režime.

Radian

Radián je miera uhla, ktorá je definovaná tak, že ak máme uhol s veľkosťou jedného radiánu na jednotkovej kružnici (s polomerom (r = 1 )), potom dĺžka oblúka po obvode kruh je tiež rovný jednej, ako vidíme na obrázku 2. Pretože obvod kruhu je (2 pi r text <,> ), znamená to, že pre jeden celý kruh,

Podobne je na tom pol kruhu

začať 57,3 ^ circ cca frac <180 ^ circ> < pi> = 1 text . koniec Obrázok 0.5.2 Bežné radiánske miery.

Pretože takto definujeme radián, znamená to, že dĺžku oblúka (s ) pozdĺž obvodu kruhu s polomerom (r ) nad uhlom ( theta ) možno vypočítať ako (s = r theta ), pokiaľ sa uhol ( theta ) meria v radiánoch.

Obrázok 0.5.3 Dĺžka, uhol a polomer oblúka v kružnici.


5.6: Fázový posun sínusových funkcií

Periodická funkcia, ktorá nezačína na sínusovej osi alebo na maximálnej alebo minimálnej úrovni, bola posunutá horizontálne. Tento horizontálny pohyb umožňuje rôzne počiatočné body, pretože sínusová vlna nemá začiatok ani koniec.

Existuje päť ďalších spôsobov zápisu funkcie (f (x) = 2 cdot sin x? )

Fázový posun sínusových funkcií

Všeobecná sínusová funkcia je:

Konštanta (c ) riadi fázový posun. Fázový posun je horizontálny posun vľavo alebo vpravo pre periodické funkcie. Ak (c = frac < pi> <2> ), potom je sínusoida posunutá doľava o ( frac < pi> <2> ). Ak (c = -3 ), potom je sínusoida posunutá doprava o (3. ) Toto je opačný smer, ako by ste čakali, ale je to v súlade s pravidlami transformácií pre všetky funkcie.

Ak chcete vytvoriť graf funkcie ako (f (x) = 3 cdot cos left (x- frac < pi> <2> right) +1, ), najskôr nájdite začiatok a koniec jednej periódy. Potom načrtnite iba tú časť sínusovej osi. Na záver zakreslite 5 dôležitých bodov pre kosínusový graf, pričom nezabudnite na amplitúdu. Graf je uvedený nižšie.

Všeobecne (b ) sa vždy píše ako kladné. Ak narazíte na situáciu, že (b ) je záporné, použite svoju znalosť párnych a nepárnych funkcií na jej prepísanie.

Príklady

Predtým vás požiadali, aby ste napísali (f (x) = 2 cdot sin x ) piatimi rôznymi spôsobmi. Funkciu (f (x) = 2 cdot sin x ) možno prepísať nekonečným počtom spôsobov.

(
2 cdot sin x = -2 cdot cos left (x + frac < pi> <2> right) = 2 cdot cos left (x- frac < pi> <2> vpravo) = - 2 cdot sin (x- pi) = 2 cdot sin (x-8 pi)
)

Všetko závisí od toho, kde ste sa rozhodli pre štart a či vidíte pozitívny alebo negatívny sínusový alebo kosínusový graf.

Na základe nasledujúceho grafu identifikujte ekvivalentné sínusové a kosínusové algebraické modely.

Buď je to sínusová funkcia posunutá doprava o ( frac < pi> <4> ), alebo kosínusový graf posunutý doľava ( frac <5 pi> <4> ).

V (t = 5 ) minútach William vystúpi o 2 stopy a posadí sa do najnižšieho bodu ruského kolesa, ktoré má priemer 80 stôp. O celú hodinu neskôr je konečne pustený z volantu po vykonaní jedinej revolúcie. Počas tej hodiny premýšľal, ako modelovať jeho výšku v čase v grafe a rovnici.

Pretože perióda je 60, ktorá funguje mimoriadne dobre s (360 ^ < circ> ) v kruhu, bude sa tento problém zobrazovať v stupňoch.

William sa rozhodol v grafe vidieť negatívny kosínus. Identifikuje amplitúdu na 40 stôp. Vertikálny posun sínusovej osi je 42 stôp. Horizontálny posun je o 5 minút doprava

Perióda je 60 (nie 65) minút, čo pri vyjadrení v stupňoch znamená (b = 6 ).

Jedna rovnica by teda bola:

Tabuľky prílivu a odlivu hlásia časy a hĺbky prílivu a odlivu. Tu je časť správy o prílive zo Salemu v štáte Massachusetts z 19. septembra 2006.

Nájdite rovnicu, ktorá predpovedá výšku na základe času. Opatrne zvoľte, kedy (t = 0 ).

Existujú dve logické miesta na nastavenie (t = 0 ). Prvá je o polnoci v noci predtým a druhá o 10:15. Prvá možnosť ilustruje fázový posun, na ktorý sa zameriava táto koncepcia, ale druhá možnosť vytvára jednoduchšiu rovnicu. Nastavte (t = 0 ) na polnoc a vyberte jednotky, ktoré majú byť v minútach.

Zdá sa, že tieto čísla naznačujú kladnú kosínusovú krivku. Amplitúda je 4 a vertikálny posun je 5. Horizontálny posun je 615 a perióda je 720.

Použite rovnicu z príkladu 4 na zistenie, kedy bude príliv presne (8 mathrm) septembra (19 ^).

Tento problém dáva (y ) a žiada vás, aby ste našli (x ). Neskôr sa naučíte, ako to vyriešiť algebraicky, ale na pretínanie funkcie s riadkom (y = 8 ) zatiaľ použite tlačidlo intersect na vašej kalkulačke. Nezabudnite nájsť všetky hodnoty (x ) medzi 0 a 1440, ktoré zodpovedajú celých 24 hodín.

Tam sú štyrikrát za 24 hodín, kedy je výška presne 8 stôp. Ak chcete, môžete tieto časy previesť na hodiny a minúty.

(t približne 532,18 ) (8:52), 697,82 (11:34), 1252,18 (20:52), 1417,82 (23:38)

Vytvorte graf každej z nasledujúcich funkcií.

Pre každý z nižšie uvedených grafov zadajte jednu možnú sínusovú rovnicu.

Pre každý z nižšie uvedených grafov zadajte jednu možnú kosínusovú funkciu.

Teplotu za určité obdobie 24 hodín je možné modelovať pomocou sínusovej funkcie. O 3:00 teplota v tomto období dosiahne minimum (22 ^ < circ> mathrm). O (15: mathrm), teplota za dané obdobie dosiahne maximum (40 ^ < circ> F )

12. Nájdite rovnicu, ktorá predpovedá teplotu na základe času v minútach. Zvoľte (t = 0 ) na polnoc.

13. Pomocou rovnice z # 12 predpovedaj teplotu na (4: 00 mathrm).

14. Použite rovnicu z # 12 na predpovedanie teploty o 8:00.

15. Použite rovnicu z # 12 na predpovedanie času, ktorý bude (32 ^ < circ> mathrm).


5: trigonometrické funkcie

Poznámky k triede

Ako hlavný zdroj sa používa text McGraw-Hill Ryerson PreCalculus 12.

Priradenia v plánoch lekcií Powerpointu odkazujú na stránky a otázky v texte PreCalculus 12.

5.1 Grafické znázornenie sínusových a kosínusových funkcií

5.1 Rozsah a lehota na formálne posúdenie

Digitálne zdroje

5.1 Krivky Sin a Cos 2

Grafický bod na kruhu

Unit Circle Graphing Sine and Cosine

Pedagogické zmeny: PREMENA, prechod od tradičného k zameraniu na študentov

Prechod od študenta ako príjemcu vedomostí k študentovi ako dopytovateľovi a tvorcovi

Prechod od memorovania k mysleniu na vyššej úrovni

Vopred pripravené interaktívne grafy pre trigové funkcie sú dostupné online. Kliknite na tento odkaz.

https://www.desmos.com/calculator Kliknutím na pruhy v ľavom hornom rohu zobrazíte všetky vopred vytvorené interaktívne grafy.

Vytvorenie sínusovej krivky a pripojenie k kruhu jednotky.

Je to pekný nápad na vytvorenie spojenia medzi kruhom jednotiek a grafom sínusovej funkcie. Študenti môžu sledovať výšky krivky a vytvoriť tak polovicu periódy sínusovej krivky. Možné doplňujúce otázky zahŕňajú: „Ako by vyzerala druhá polovica grafu?“ Mohli by sa tiež vykonať spojenia s charakteristikami grafu sínusovej funkcie, ako je amplitúda a perióda.


5: trigonometrické funkcie

V tejto časti sa začneme zaoberať derivátmi funkcií iných ako polynómy alebo korene polynómov. Tento proces začneme tým, že sa pozrieme na deriváty šiestich trigových funkcií. Budú odvodené dva z derivátov. Zostávajúci štyria sú ponechaní vám a budú sa riadiť podobnými dôkazmi pre dva tu uvedené.

Predtým, ako sa skutočne dostaneme k derivátom trigových funkcií, musíme dať niekoľko limitov, ktoré sa prejavia pri derivácii dvoch z derivátov.

Dôkaz týchto dvoch limitov nájdete v časti Dôkaz o limitoch spúšťania v kapitole Doplnkové produkty.

Pred pokračovaním v rýchlej poznámke. Študenti sa často pýtajú, prečo vždy používame v triede Kalkul radiány. To je dôvod, prečo! Dôkaz vzorca, ktorý zahŕňa vyššie uvedený sínus, vyžaduje, aby uhly boli v radiánoch. Ak sú uhly v stupňoch, limit zahŕňajúci sínus nie je 1, a tak by sa zmenili aj vzorce, ktoré odvodíme nižšie. Nasledujúce vzorce by zachytili extra konštantu, ktorá by nám len prekážala v práci, a tak sa tomu vyhýbame pomocou radiánov. Nezabudnite preto v triede Kalkul vždy používať radiány!

Predtým, ako začneme rozlišovať trigónové funkcie, poďme pracovať s rýchlou sadou limitných problémov, ktoré nám teraz umožňuje tento fakt.

  1. ( Displaystyle mathop < lim> limity_ < theta až 0> frac << sin theta >> << 6 theta >> )
  2. ( Displaystyle mathop < lim> limity_ frac << sin doľava (<6x> doprava) >>)
  3. ( Displaystyle mathop < lim> limity_ frac<< sin dolava (<7x> doprava) >> )
  4. ( Displaystyle mathop < lim> limity_ frac << sin left (<3t> right) >> << sin left (<8t> right) >> )
  5. ( Displaystyle mathop < lim> limity_ frac << sin doľava ( vpravo) >> <>)
  6. ( Displaystyle mathop < lim> limity_ frac << cos doľava (<2z> doprava) - 1 >>)

Naozaj nie je veľa tohto limitu. V skutočnosti je to iba tu, aby ste kontrastovali s nasledujúcim príkladom, aby ste videli rozdiel v ich fungovaní. V tomto prípade, pretože v menovateli je iba 6, jednoducho to zohľadníme a potom použijeme skutočnosť.

Teraz v tomto prípade nemôžeme vylúčiť šestku zo sínusu, takže sme tam prilepení a budeme musieť nájsť spôsob, ako sa s tým vysporiadať. Aby sme dosiahli tento problém, musíme si všimnúť, že v skutočnosti je argument sínusu rovnaký ako menovateľ (t.j. obaja ( theta ) '). Potrebujeme teda, aby obidva argumenty sínusu a menovateľa boli rovnaké. Môžeme to urobiť vynásobením čitateľa a menovateľa číslom 6 nasledujúcim spôsobom.

Všimnite si, že sme 6 započítali do čitateľa mimo limitu. V tomto okamihu, aj keď to tak nemusí vyzerať, môžeme na dokončenie limitu použiť vyššie uvedený fakt.

Aby sme zistili, že môžeme použiť skutočnosť o tomto limite, urobme a zmena premenných. Zmena premenných je v skutočnosti iba premenovaním častí problému, aby niečo vyzeralo viac ako niečo, s čím si vieme poradiť. Nemôžu sa urobiť vždy, ale niekedy, napríklad v tomto prípade, sa dá problém zjednodušiť. Zmena premenných spočíva v tom, že necháme ( theta = 6x ) a potom si všimneme, že ako (x to 0 ) máme tiež ( theta to 6 left (0 right) = 0 ) . Keď robíme zmenu premenných v limite, musíme zmeniť všetky (x ) na ( theta ) a to zahŕňa aj jednu z limitu.

Ak urobíme zmenu premenných na tomto limite,

A sme tu. Upozorňujeme, že tu sme skutočne nemuseli robiť zmeny premenných. Všetko, čo si skutočne musíme všimnúť, je, že argument sínusu je rovnaký ako menovateľ, a potom môžeme použiť skutočnosť. Zmena premenných, v tomto prípade, je skutočne potrebná iba na objasnenie toho, že skutočnosť funguje.

V tomto prípade sa zdá, že máme malý problém v tom, že funkcia, ktorú tu berieme, je hore nohami v porovnaní s touto skutočnosťou. Zdá sa, že to nie je problém, keď si všimneme,

a potom všetko, čo musíme urobiť, je vybaviť si peknú vlastnosť limitov, ktorá nám umožňuje robiť,

S malým prepisom vidíme, že v skutočnosti nakoniec budeme musieť urobiť limit, aký sme urobili v predchádzajúcej časti. Urobme teda limit a tentokrát sa nebudeme trápiť so zmenou premennej, ktorá nám pomôže. Všetko, čo musíme urobiť, je vynásobiť čitateľa a menovateľa zlomku v menovateli číslom 7, aby sme mohli veci nastaviť tak, aby používali túto skutočnosť. Tu je práca pre tento limit.

Táto hranica v skutočnosti nevyzerá ako hranica, možno ju však považovať za kombináciu predchádzajúcich dvoch častí vykonaním malého prepisu. Najskôr rozdelíme zlomok takto,

Fakt teraz chce (t ) v menovateli prvého a v čitateli druhého. Toto je ľahké urobiť, ak to celé vynásobíme (< textstyle> ) (ktorý je koniec koncov iba jeden, a tak problém nezmení) a potom urobte malé preusporiadanie nasledovne,

V tomto okamihu vidíme, že ide skutočne o dva limity, ktoré sme už videli. Tu je práca pre každú z nich a na druhom limite si všimnite, že to budeme pracovať trochu inak, ako sme to robili v predchádzajúcej časti. Tentokrát si všimneme, že nezáleží na tom, či je sínus v čitateľovi alebo menovateľovi, pokiaľ je sínusový argument rovnaký ako ten, ktorý je v čitateľovi.

Tu je práca pre tento limit.

Táto hranica vyzerá takmer rovnako ako v skutočnosti v tom zmysle, že argument sínusu je rovnaký ako argument v menovateli. Všimnite si však, že v limite bude (x ) 4 a nie 0, ako to vyžaduje skutočnosť. Avšak so zmenou premenných vidíme, že tento limit je v skutočnosti nastavený na použitie vyššie uvedenej skutočnosti bez ohľadu na to.

Nechajme teda ( theta = x - 4 ) a potom si všimnime, že ako (x až 4 ) máme ( theta až 0 ). Preto sa po vykonaní zmeny premennej stane limit,

Všetky predchádzajúce časti tohto príkladu využívali sínusovú časť skutočnosti. Mohli sme však jednoducho použiť kosínusovú časť, takže tu je rýchly príklad použitia kosínusovej časti na ilustráciu. Nebudeme tu veľmi vysvetľovať, pretože to skutočne funguje rovnakým spôsobom ako sínusová časť.

Na použitie faktu je potrebné iba to, že argument kosínu je rovnaký ako menovateľ.

Dobre, teraz, keď sme dostali túto množinu limitných príkladov z cesty, vráťme sa k hlavnému bodu tejto časti, rozlišujúcemu triggové funkcie.

Začneme hľadaním derivácie sínusovej funkcie. Aby sme to dosiahli, budeme musieť použiť definíciu derivátu. Je to už nejaký čas, čo sme to museli používať, ale niekedy s tým nemôžeme nič urobiť. Tu je definícia derivácie pre sínusovú funkciu.

Pretože na vyhodnotenie limitu nemôžeme iba pripojiť (h = 0 ), budeme musieť na prvý sínus v čitateli použiť nasledujúci triglový vzorec.

[ sin vľavo ( right) = sin left (x right) cos left (h right) + cos left (x right) sin left (h right) ]

Ako vidíte pri použití triglovacieho vzorca, môžeme skombinovať prvý a tretí člen a potom z toho vylúčiť sínus. Frakciu potom môžeme rozdeliť na dva kusy, s ktorými sa dá zaobchádzať osobitne.

Teraz sú obidve limity tu, keď sa (h ) blíži k nule. V prvom limite máme ( sin left (x right) ) a v druhom limite máme ( cos left (x right) ). Obidve tieto funkcie sú iba funkciou (x ) a (h ) sa pohybuje smerom k nule, čo nemá žiadny vplyv na hodnotu (x ). Preto, pokiaľ ide o limity, sú tieto dve funkcie konštantné a je možné ich vylúčiť z ich príslušných limitov. Toto dáva,

V tomto okamihu všetko, čo musíme urobiť, je použiť limity uvedené vyššie na dokončenie tohto problému.

[ frac<> left (< sin left (x right)> right) = sin left (x right) left (0 right) + cos left (x right) left (1 right) = cos left (x right) ]

Rozlišovanie kosínu sa vykonáva podobným spôsobom. Bude to vyžadovať iný vzorec triggu, ale iný je takmer identický dôkaz. Podrobnosti budú ponechané na vás. Po dokončení dokladu, ktorý by ste mali dostať,

S týmito dvoma z cesty zostávajúce štyri sú pomerne jednoduché. Všetky zvyšné štyri trigové funkcie je možné definovať pomocou sínusového a kosínusového rozlíšenia a tieto definície spolu s príslušnými derivačnými pravidlami je možné použiť na získanie ich derivácií.

Pozrime sa na tangensu. Tangens je definovaný ako,

Teraz, keď máme deriváty sínusu a kosínusu, stačí, ak na to použijeme pravidlo kvocientu. Poďme to urobiť.

Teraz si pripomeňme, že (< cos ^ 2> left (x right) + < sin ^ 2> left (x right) = 1 ) a ak si spomenieme aj na definíciu secantu z hľadiska kosínusu prichádzame na,

Zvyšné tri trig funkcie sú tiež kvocienty zahŕňajúce sínus a / alebo kosínus, a dajú sa teda rozlíšiť podobným spôsobom. Podrobnosti necháme na vás. Tu sú deriváty všetkých šiestich triggových funkcií.

Deriváty šiestich trig funkcií

Na tomto mieste by sme mali pracovať na niekoľkých príkladoch.

  1. (g ľavá (x pravá) = 3 s ľavá (x pravá) - 10 detská postieľka ľavá (x pravá) )
  2. (h vľavo (w vpravo) = 3> - tan left (w right) )
  3. (y = 5 sin doľava (x doprava) cos doľava (x doprava) + 4 csc doľava (x doprava) )
  4. ( Displaystyle P doľava (t doprava) = frac << sin doľava (t doprava) >> << 3 - 2 cos doľava (t doprava) >> )

Tento problém naozaj nie je veľa. Každý výraz iba odlíšime pomocou vyššie uvedených vzorcov.

V tejto časti budeme musieť použiť pravidlo produktu na druhé volebné obdobie a všimnite si, že tu naozaj budeme pravidlo produktu potrebovať. Neexistuje iný spôsob, ako urobiť túto deriváciu, na rozdiel od toho, čo sme videli, keď sme sa prvýkrát pozreli na pravidlo produktu. Keď sme sa prvýkrát pozreli na pravidlo produktu, jediné funkcie, ktoré sme vedeli rozlíšiť, boli polynómy a v tých prípadoch nám stačilo iba ich vynásobiť a mohli by sme vziať deriváciu bez pravidla produktu. Teraz sa dostávame do bodu, keď budeme občas nútení robiť produktové pravidlo bez ohľadu na to, či chceme.

Rovnako si budeme musieť dávať pozor na znamienko mínus pred druhým volebným obdobím a zabezpečiť, aby sa s ním správne zachádzalo. Existujú dva spôsoby riešenia tejto situácie. Jedným zo spôsobov, ako sa ubezpečiť, že použijete sadu zátvoriek,

Pretože sa druhý člen odčíta od prvého člena, potom sa musí od derivácie prvého člena odpočítať aj celá derivácia druhého člena. V zátvorkách je táto myšlienka jasná.

Potenciálne ľahší spôsob, ako to dosiahnuť, je považovať znamienko mínus za súčasť prvej funkcie v produkte. Alebo inými slovami, pomocou tohto nápadu sú dve funkcie v produkte (- ) a ( tan doľava (w doprava) ). Toto dáva,

[h ' vľavo (w vpravo) = - 12> - 2 t tan vľavo (w vpravo) - < sec ^ 2> vľavo (w vpravo) ]

Takže bez ohľadu na to, ako sa k tomuto problému postavíte, získate rovnakú deriváciu.

Rovnako ako v predchádzajúcej časti, aj v prvom termíne budeme musieť použiť pravidlo produktu. 5 budeme tiež považovať za súčasť prvej funkcie v produkte, aby sme sa uistili, že s ňou pracujeme správne. Prípadne môžete použiť sadu zátvoriek, aby ste sa uistili, že s 5 bude správne zachádzané. Či tak alebo onak bude fungovať, ale zostaneme pri myšlienke 5 ako súčasť prvého výrazu v produkte. Tu je derivát tejto funkcie.

V tejto časti budeme musieť na odvodenie derivácie použiť pravidlo kvocientu.

Pri rozlišovaní menovateľa buďte opatrní so znakmi. Negatívne znamienko, ktoré dostaneme z diferenciácie kosínu, sa zruší proti negatívnemu znamienku, ktoré už existuje.

Zdá sa, že sa to podarilo, ale v skutočnosti ešte existuje značné množstvo zjednodušenia. Aby sme to dosiahli, musíme v čitateli vytriediť z posledných dvoch výrazov „-2“ a využiť skutočnosť, že (< cos ^ 2> left ( theta right) + < sin ^ 2> vľavo ( theta vpravo) = 1 ).

Ako posledný problém tu nezabúdajme, že stále máme štandardné interpretácie derivátov.

kde (t ) je v rokoch. Kedy sa počas prvých 10 rokov, v ktorých je účet otvorený, zvyšuje suma peňazí na účte?

Aby sme mohli určiť, kedy sa množstvo peňazí zvyšuje, musíme určiť, kedy je miera zmeny pozitívna. Pretože vieme, že rýchlosť zmeny je daná deriváciou, je to prvá vec, ktorú musíme nájsť.

[P ' vľavo (t vpravo) = - 100 sin vľavo (t vpravo) - 150 cos vľavo (t vpravo) ]

Teraz musíme určiť, kde to bude v prvých 10 rokoch pozitívne. Toto je ekvivalentné k otázke, kde v intervale ( left [<0,10> right] ) je derivácia kladná. Pripomeňme, že sínus aj kosínus sú spojité funkcie, a teda derivácia je tiež spojitá funkcia. Veta o strednej hodnote nám potom hovorí, že derivácia môže zmeniť znamienko iba vtedy, ak najskôr prejde nulou.

Musíme teda vyriešiť nasledujúcu rovnicu.

[začať - 100 sin vľavo (t vpravo) - 150 cos vľavo (t vpravo) & = 0 100 sin vľavo (t vpravo) & = - 150 cos vľavo (t vpravo) frac << sin left (t right) >> << cos left (t right) >> & = - 1,5 tan left (t right) & = - 1,5 koniec]

Riešením tejto rovnice je,

[začaťt = 2,1588 + 2 pi n, & hspace <0,25in> n = 0, pm 1, pm 2, ldots t = 5,3004 + 2 pi n, & hspace <0,25in> n = 0, pm 1, pm 2, ldots end]

Ak si nepamätáte, ako vyriešiť trigonárne rovnice, vráťte sa späť a pozrite si časti o riešení trig rovníc v kapitole Revízia.

Zaujímajú nás iba tie riešenia, ktoré spadajú do rozsahu ( doľava [<0,10> doprava] ). Zapojením hodnôt (n ) do vyššie uvedených riešení vidíme, že hodnoty, ktoré potrebujeme, sú,

Rovnako ako riešenie polynomických nerovností, všetko, čo musíme urobiť, je načrtnúť do číselného radu a pridať do týchto bodov. Tieto body rozdelia číselnú čiaru na oblasti, v ktorých musí byť derivácia vždy rovnaká. Všetko, čo musíme urobiť, je potom zvoliť testovací bod z každej oblasti a určiť znamienko derivácie v tejto oblasti.

Tu je číselný rad so všetkými informáciami.

Zdá sa teda, že množstvo peňazí na bankovom účte sa bude v nasledujúcich intervaloch zvyšovať.

[2,1588 & lt t & lt 5,3004 hspace <0,5in> 8,4420 & lt t & lt 10 ]

Upozorňujeme, že nemôžeme nič povedať o tom, čo sa deje po (t = 10 ), pretože po tomto bode sme pre (t ) 'neurobili žiadnu prácu.

V tejto časti sme videli, ako rozlíšiť funkcie trigonu. Na poslednom príklade sme tiež videli, že naše interpretácie derivácie sú stále platné, takže na ne nemôžeme zabudnúť.

Je tiež dôležité, aby sme boli schopní vyriešiť trigonívne rovnice, pretože v tomto kurze vzniknú a znova vzniknú. Je tiež dôležité, aby sme mohli urobiť druhy číselných radov, ktoré sme použili v poslednom príklade, aby sme určili, kde je funkcia pozitívna a kde funkcia záporná. To je niečo, čo príležitostne urobíme v tejto aj nasledujúcej kapitole.


Pravý trojuholník má ostré uhly A a B. Ak a, čo sú a?

Odkedy A a B sú ostré uhly v pravom trojuholníku, sú to doplnkové uhly.

Náhrada za B. Použite identitu (funkcie sú rovnaké). Nahraďte danú hodnotu.

Náhrada za A. Funkcie ľubovoľného páru komplementárnych uhlov sú rovnaké. Nahraďte danú hodnotu.

Aké sú hodnoty a?

Nesprávne. Pravdepodobne ste použili ostrý uhol Ža našiel sa. Pamätajte, že pre dva ostré uhly získate rôzne pomery, takže venujte osobitnú pozornosť tomu, aký uhol používate. Správna odpoveď je C.

Nesprávne. Možno ste použili ostrý uhol Ž a tiež zmenil kosínus a kosekans. Pamätajte, že pre dva ostré uhly získate rôzne pomery, takže venujte osobitnú pozornosť tomu, aký uhol používate. Správna odpoveď je C.

Správne. Pomocou definície kosínu,. Použitím definície kosekans,.

Nesprávne. Vyzerá to, že ste zmenili hodnoty kosínusu a kosekansu. Názvy sú si veľmi podobné, preto buďte opatrní pri používaní správnej definície. Správna odpoveď je C.

Vzťahy medzi trigonometrickými funkciami

Šesť pomerov alebo funkcií sa zvyčajne považuje za dve skupiny po troch funkciách. Prvá skupina je:

Jedným zo spôsobov, ako si tieto tri definície zapamätať, je pamäťové zariadenie, ktoré používa prvé písmeno každého slova. Definíciu sínusu predstavuje soh (sine rovná sa ooproti hypotenuse). Rovnako tak definíciu kosínu predstavuje cah (cosine rovná sa asusediace nad hypotenuse), a definíciu dotyčnice predstavuje toa (tangent rovná sa ooproti asusediace). Ich spojenie vám dáva sohcahtoa.

Ak porovnáte tieto tri pomery s tromi nad nimi, uvidíte, že tieto tri zlomky sú prevrátené hodnoty troch zlomkov nad nimi. To znamená, že kosekans je prevrátená hodnota sínusu, secan je prevrátená hodnota kosínusu a kotangens je prevrátená hodnota dotyčnice. Ak napíšete toto, získate ďalšie tri identity:

Ak si pamätáte sohcahtoa plus tieto tri identity, môžete nájsť hodnoty akýchkoľvek trigonometrických funkcií, ako je vidieť v nasledujúcom príklade.

Pre ostrý uhol Aa Nájdite hodnoty ďalších štyroch trigonometrických pomerov pre uhol A.

To vám hovorí definícia sínusu. Trojuholník s a bude mať tento pomer.

Vy to tiež viete. Je vám dané, tak.

Teraz máte všetky tri strany trojuholníka a môžete použiť definíciu dotyčnice.

Ďalej použite tri vzájomné identity na získanie ďalších troch pomerov.

Hodnota ľubovoľnej trigonometrickej funkcie je pomer alebo zlomok. Pamätajte, že frakcie sa dajú redukovať.

Pre ostrý uhol Aa Nájdite hodnoty a.

Chcete pravý trojuholník, kde je pomer strany susediacej s uhlom A cez preponu je. Trojuholník so stranami a bude mať tento pomer.

Definíciu dotyčnice môžete použiť na vyhľadanie opačnej strany. Nahraďte hodnotu, ktorú ste dostali za dotyčnicu, a potom vyriešte rovnicu.

Teraz máte všetky tri strany. Použite definíciu sínusu na nájdenie jeho hodnoty.

Teraz pomocou recipročnej identity možno nájsť csc prijatím recipročnej hodnoty hriechu.

Pamätajte, že strany pravého trojuholníka vyhovujú Pytagorovej vete. Takže ak a a b sú dĺžky nôh a c je prepona, musíte mať. V poslednom príklade boli dĺžky nôh 2 a 3 a prepona bola, a je pravda, že.

Ktoré z nasledujúcich môžu byť hodnoty trigonometrických funkcií rovnakého uhla?

Nesprávne. Tieto hodnoty sínusu a tangenty môžete mať pre rovnaký uhol. Hodnoty sínusu a kosekansu pod rovnakým uhlom sú však vzájomné. Ak, tak nie. Správna odpoveď je D.

Nesprávne. Hodnoty kosínusu a sekansu sú vzájomné, ako by mali byť. Nemôžete však mať dané hodnoty sínusu a kosínusu pre rovnaký uhol. Ak môžete nakresliť pravý trojuholník s opačným uhlom nohy X having length 4 and the hypotenuse having length 5. If you have , then the adjacent leg length is 2. However, the lengths 2, 4, and 5 do not satisfy the Pythagorean Theorem. The correct answer is D.

Incorrect. You can draw a right triangle with the side opposite angle Y having length 12, the adjacent side having length 5, and the hypotenuse having length 13. This will give you . Using the definition of tangent, , you would then have , not . The correct answer is D.

Correct. If , then , because they are reciprocals. You can draw a right triangle with both legs having length 1, and the hypotenuse will have length because of the Pythagorean Theorem. Using the definition of cosine, , you will then have .

Using a Calculator to Find the Values of Trigonometric Functions

You know that if you draw similar triangles with angle measures 35°, 55°, and 90°, the ratio of the side opposite 35° to the hypotenuse will be the same for all those triangles. This is . The easiest way to find what this ratio actually equals is with a scientific or graphing calculator.

Looking at a calculator, you will find a key that says SIN on it. You can use this to find the value of . Keep this in mind: you need to know that there are different units for measuring angles. For our purposes, make sure that your calculator is set in the “degree mode.” (The following instructions are generalized, but you may need to refer to your calculator’s instruction manual for how to perform these calculations on your particular calculator.)

If you use a scientific calculator, look in the display and see if it says DEG in small letters above the 0 (as opposed to RAD or GRAD). If it does not, press the DRG key until the display says DEG. Now enter 35, and then press the SIN key. The result is :

If you have a graphing calculator, press the MODE key. The third line of the display will say RADIAN DEGREE. Use the arrows to select DEGREE, then press ENTER, 2ND, QUIT. Now the calculator is in degree mode. On a graphing calculator, you enter things the same way as you would write them. So press the keys to give you sin(35) on the display and then press ENTER. You should now see the value on the next line of the display.

Because sine is a function, given an angle measure X (the input), your calculator will give you the value of (the output). All the right triangles with acute angle measure X will be similar, so the ratio of the opposite side to the hypotenuse will be the same for all of those triangles. Therefore, the ratio depends only on the value of X it does not depend on the triangle.

Likewise, the other five trigonometric ratios are functions. You can use your calculator to find the value of those functions. You will notice that next to the SIN key there are COS and TAN keys, which can be used to find the values of cosine and tangent.

Use your calculator to find the values of and to the nearest thousandth.

On a scientific calculator, enter 35, then press COS. Do this in the reverse order for a graphing calculator.

Remember to look at the ten thousandths place to help you round to the nearest thousandth.

Use the same procedure for tangent.

You may have noticed that your calculator has no keys for csc, sec, or cot. You can still use it to find the values of these functions. You can do this by using the calculator in combination with the reciprocal identities. You must first find the value of sin, cos, or tan, and then find the reciprocal, as this next example shows.

Use your calculator to find the values of and to the nearest thousandth.

First use your calculator to find the value of . Do not round this value until you are writing the final answer.

Press the key that says or . This will give you the value of cosecant.

Now round your final answer to the nearest thousandth.

Find the value of . Then find the reciprocal and round off.

Find the value of . Then find the reciprocal and round off.

What is the value of to the nearest thousandth?

Correct. First use the calculator to find . Find the reciprocal of this: .

Incorrect. You found the value of . Remember that cosecant is the reciprocal of sine (not cosine). The correct answer is 3.420.

Incorrect. You found the value of . You must first find , then find the reciprocal. The correct answer is 3.420.

Incorrect. Your calculator was not set to degrees. Before doing any calculations, make sure that you first have it set on degrees. The correct answer is 3.420.

Using a Calculator to Find Angle Measures

So far you have learned the definitions of the six trigonometric functions. Remember that a function has an input and an output. For each of these functions, the input is the angle measure and the output equals a certain ratio of sides. Your calculator can be used to find the values of these functions. For example, if the angle measures 60°, the cosine of the angle is 0.5. This can be represented as .

Now what if the situation were reversed? What if you knew the value of the ratio and wanted to know the angle that produced it? That is, what if you knew the output of a trigonometric function, and wanted to know the input? For example, you might know that the cosine of some angle is 0.5 and want to find out what the angle is. You can use your calculator to find these values, too.

In general, when you reverse the input and the output of a function, what you get is called an inverse function. Your calculator can find the inverses of sine, cosine, and tangent. In the example above, on a scientific calculator you would enter 0.5, press the 2ND key, then press COS. The display would show 60. (Make sure that your calculator is set on degrees!) This tells you that the angle is 60°. On a graphing calculator, you would press 2ND, then COS, then 0.5, and finally ENTER. (Keep in mind that you may need to refer to your calculator’s instruction manual for how to perform these calculations on your particular calculator.)

Above the SIN, COS, and TAN keys you will see . These are the inverse trigonometric functions, and the way to read them out loud is: arcsine, arccosinea arctangent. The result mentioned above can be written as or .

If you were given the value of the sine (or tangent) function and wanted to know what angle produced it, you would follow a procedure similar to that described above. So on a scientific calculator, you would enter the value, press the 2ND key, then press SIN (or TAN).

Use your calculator to find the angle, to the nearest degree, whose tangent value is 0.75.

On a scientific calculator, enter 0.75, then press the 2ND key and TAN. Do this in the reverse order for a graphing calculator.

Look at the tenths place to help you round to the nearest degree.

If you are given the expression , for example, you can interpret this as saying, “Find the angle whose cosine equals 0.24.”

Determine to the nearest tenth of a degree.

On a scientific calculator, enter 0.24, then press the 2ND key and COS. Do this in the reverse order for a graphing calculator.

Look at the hundredths place to help you round to the nearest tenth.

Here is a real-world example using an inverse function.

A skateboard ramp is 7 feet long with one end on the ground and the other end 2 feet above the ground. What is the angle of elevation to the nearest tenth of a degree?

The angle of elevation is angle A. Because you know the opposite side and the hypotenuse, you can use the sine function.

Use the definition of sine. The unknown is the input.

You can rewrite this equation using arcsine. You need to reverse the input and the output.

On a scientific calculator, divide 2 by 7, then press the 2ND key and SIN. Do this in the reverse order for a graphing calculator.

Remember that the sine or cosine function cannot have an output greater than 1. With arcsine and arccosine, you are reversing inputs and outputs. Consequently, the input of these functions cannot be a number bigger than 1. If you try to compute with your calculator, for example, you will get an error message.

If , what is X to the nearest hundredth of a degree?

Incorrect. Instead of finding , you found . The correct answer is 19.47°.

Incorrect. You did not have your calculator set on degrees. Before doing any calculations, make sure that you first have it set on degrees. The correct answer is 19.47°.

Correct. The solution to the equation is given by computing .

Incorrect. Instead of finding , you found . The correct answer is 19.47°.

The six trigonometric functions are defined as ratios of sides in a right triangle. Their values depend only on the angle and not on any particular right triangle. A good way to remember the definitions of sine, cosine, and tangent is with the memory device sohcahtoa. The other three functions—cosecant, secant, and cotangent—are reciprocals of the first three.

You can use a calculator to find the values of these functions or ratios. You can also use a calculator to find the values of the inverse trigonometric functions. That is, given the ratio, you can find the angle that produced it.


RD Sharma Class 11 Solutions Chapter 5 Trigonometric Functions PDF Download

RD Sharma Class 11 Maths Solutions Chapter 5 Trigonometric Functions are been solved by expert teachers of NCERTBooks.Guru. RD Sharma Class 11 Solutions Plays important role in getting good score in Maths for all Engineering and other Entrance Examinations. You can Download RD Sharma Class 11 Maths Chapter 5 Trigonometric Functions PDF from the below given Link to access in offline mode.

Now that you are provided all the necessary information regarding Class 11 Trigonometric Functions RD Sharma Solutions and we hope this detailed RD Sharma Solutions for Class 11 are helpful. Students can also check out NCERT Solutions, NCERT Books, HC Verma Solutions and JEE Study Material for free.


Unit circle radians

If you have your number line marked with radians, this is how it would look:

First, you have a usual unit circle. In one quarter of a circle is $frac<2>$, in one half is $pi$, in three quarters is $frac<3 pi><2>$, and one whole is $2 pi$.

Now what when you start another lap?

You’re again in zero, but now with 2π of the line around the circle. If you add another $frac<2>$ that will lead you into the point where the ‘old’ $frac<2>$ is, but now that value will be $2 pi + frac <2>= frac<5 pi><2>$. If you continue and add another $frac<2>$ you’ll find yourself in a point where the ‘old’ π lies. Now that point will be $frac<5 pi> <2>+ frac <2>= 3 pi$. And you continue like that.

In degrees you can conclude that $frac <2>= 90^$, $pi = 180^$, $frac<3 pi> <2>= 270^$, $ 2 pi = 360^$, $frac<5 pi> <2>= 450^$ and so on.

By dividing radians into smaller and smaller parts we can determine measure of every angle.

Angles that are mostly used are 0, $frac<6>$, $frac<3>$, $frac<2>$ and so on.

Can you see a pattern here? If you only observe first and second quadrant you’ll notice that lines that are perpendicular on y-axis that go through $frac<3>$ and $frac<2 pi><3>$ cut off equal parts of y-axis. The same applies with $frac<3 pi><4>$ and $frac<4>$, and also with $frac<5 pi><6>$ and $frac<6>$.

If you take a look at first and fourth quadrant you’ll notice that lines that are perpendicular of x-axis $frac<6>$ and $frac<11 pi><6>$ cut off equal length of x – axis, and so on with other angles. This can help you in drawing them. For example, if you get a task to draw $frac<5 pi><6>$, you can simply draw $frac<6>$ and translate it to second quadrant. Using this way you’ll only need to remember angles in first quadrant and translate them.

Príklad 1: Find following angles on the unit circle

When you have a fraction whose value is greater than two, that means that you’re starting another “lap” around the circle. When you are dealing with these kinds of values, you have to apply a process of finding the right measure of an angle. That means that you have to find an angle that suits given angle but in your first lap. You do that by subtracting with a multiple of 2π.

For example, let’s say you have $frac<5 pi><2>$. $frac<5 pi><2>$ is greater than $2 pi$ by $frac<2>$. That means that you’ll finish first lap and end up in $frac<2>$.

Príklad 2: Find following angles on the unit circle

Since we have a minus in front of our values, we start looking from zero but in an opposite way. Whole circle is equal to $2 pi$, which means that $ -frac<4>$ will have the same value as $ 2 pi – frac <4>= frac<7 pi><4>$, $- pi$ as $ pi$, and $ -2 pi$ as 0.


Computing Trigonometric Functions

This is a completely optional page. It is not necessary to know how to compute the trig functions and their inverses in order to use them. Nonetheless, many people are interested in how values of these functions were computed before and after the invention of calculators and computers. If you&rsquore interested, then read on. Otherwise, go on to the next section on oblique triangles.

Before computers: tables

Rather than repeating what he did for chords, let&rsquos look at how to create tables for sines and cosines using his methods. First, based on the Pythagorean theorem and similar triangles, the sines and cosines of certain angles can be computed directly. In particular, you can directly find the sines and cosines for the angles 30°, 45°, and 60° as described in the section on cosines. Ptolemy knew two other angles that could be constructed, namely 36° and 72°. These angles were constructed by Euclid in Proposition IV.10 of his Elements. Like Ptolemy, we can use that construction to compute the trig functions for those angles. At this point we could compute the trig functions for the angles 30°, 36°, 45°, 60°, and 72°, and, of course we know the values for 0° and 90°, too.

Keep in mind that if you know the sine of an angle & theta, then you know the cosine of the complementary angle 90° &ndash & theta likewise, if you know then cosine of an angle & theta then you know the sine of the complementary angle 90° &ndash & theta:

So you have the trig functions for 18° and 54°, too.

Next, you can use the half-angle formulas for sines and cosines to compute the values for half of an angle if you know the values for the angle. Ak & theta is an angle between 0° and 180°, then

Using these, from the values for 18°, 30°, and 54°, you can find the values for 27°, 15°, and 9°, and, therefore, their complements 63°, 75°, and 81°.

With the help of the sum and difference formulas

you can find the sine and cosine for 3° (from 30° and 27°) and then fill in the tables for sine and cosine for angles from 0° though 90° in increments of 3°.

Again, using half-angle formulas, you could produce a table with increments of 1.5° (that is, 1° 30'), then 0.75° (which is 45'), or even of 0.375° (which is 22' 30"). But how do you get a table with 1° increments? Ptolemy recognized that there was no Euclidean construction to trisect an angle of 3° to get an angle of 1°, but since the sine function is almost linear for small angles, you could approximate sin 1° just by interpolating a third of the way beteen the values of sin 0.75° and sin 1.5°. With that step, we can construct trig tables for trig functions with increments of 1°.

Better trig tables have been created throughout the centuries. For instance, Ulugh Beg (15th century) constructed sine and tangent tables for every minute of arc to about nine digits of accuracy!

Incidentally, if you have a table of sines, you can read it in reverse to compute arcsine, so only one table is needed for both.

After computers: power series

In the late 17th century, Newton and other mathematicians developed power series. A power series is like a polynomial of unbounded degree. For the various trig functions, these mathematicians found power series. Here are the power series for sine and cosine (where X is an angle measured in radians):

The three dots . mean that the expression is to go on forever, adding another term, then subtracting a term, etc. The exclamation point ! is to be read &ldquofactorial&rdquo, and it means you multiply together the whole numbers from 1 up through the given number. For example, 5!, &ldquofive factorial&rdquo, equals 1 times 2 times 3 times 4 times 5, which is 120, and so, 6! = 720.

These power series have infinitely many terms, but they get small so very fast that only the first few terms contribute much.

    0.78539816 — 0.78539816 3 /3! + 0.78539816 5 — 0.78539816 7 /7! +.
    0.78539816 = 0.78539816
    0.70465265 = 0.78539816 — 0.78539816 3 /3!
    0.70714304 = 0.78539816 — 0.78539816 3 /3! + 0.78539816 5 /5!
    0.70710647 = 0.78539816 — 0.78539816 3 /3! + 0.78539816 5 /5! — 0.78539816 7 /7!
    0.70710678 = 0.78539816 — 0.78539816 3 /3! + 0.78539816 5 /5! — 0.78539816 7 /7! + 0.78539816 9 /9!

A little bit of analysis is needed to determine how many terms of the power series are needed to achieve the desired accuracy. Also, certain other tricks can be used to speed up the computations. In any case, the essential idea is to use the first few terms of a power series to compute trig functions.

The power series for the rest of the trig functions and the power series for the inverse trig functions can be found in most books on calculus that discuss power series.


Pozri si video: GONIOMETRICKÉ FUNKCIE v PRAVOUHLOM trojuholníku (Október 2021).