Články

6.4: Súčasná hodnota anuity a splátkovej platby


Učebné ciele

V tejto časti sa naučíte:

  1. Nájdite súčasnú hodnotu anuity.
  2. Zistite výšku splátky pôžičky.

SÚČASNÁ HODNOTA VÝROBY

V časti 6.2 sme sa naučili nájsť budúcu hodnotu jednorazovej sumy a v časti 6.3 sme sa naučili nájsť budúcu hodnotu anuity. S týmito dvoma konceptmi v ruke sa teraz naučíme amortizovať pôžičku a zistiť súčasnú hodnotu anuity.

The súčasná hodnota anuita je suma peňazí, ktorú by sme teraz potrebovali, aby sme mohli v budúcnosti platiť anuitu. Inými slovami, súčasná hodnota je súčasná hodnota budúceho toku platieb.

Začneme tým, že si to postupne rozoberieme, aby sme pochopili koncept súčasnej hodnoty anuity. Príklady potom poskytujú efektívnejší spôsob vykonávania výpočtov prácou s konceptmi a výpočtami, ktoré sme už preskúmali v oddieloch 6.2 a 6.3.

Predpokladajme, že Carlos vlastní malú firmu a zamestnáva asistenta manažéra, ktorý mu pomáha pri podnikaní. Predpokladajme, že je to teraz 1. januára. Carlos plánuje vyplatiť svojmu asistentovi manažéra bonus 1000 dolárov na konci tohto roka a ďalších 1000 dolárov bonus na konci nasledujúceho roka. Carlosov podnik mal tento rok dobré zisky, takže chce teraz peniaze na budúce bonusy svojho asistenta vložiť na sporiaci účet. Peniaze, ktoré teraz vloží, budú na sporiacom účte úročené sadzbou 4% ročne, zloženou ročne.

Koľko peňazí by mal teraz Carlos vložiť na sporiaci účet, aby si mohol o rok vybrať 1000 dolárov a o dva roky ďalších 1000 dolárov?

Spočiatku to znie ako klesajúci fond. Ale je to iné. V potápajúcom sa fonde vkladáme peniaze do fondu s pravidelnými platbami, aby sme sa akumulovali a akumulovali do stanovenej paušálnej sumy, ktorá predstavuje budúcu hodnotu na konci stanoveného časového obdobia.

V takom prípade chceme teraz vložiť paušálnu sumu na sporiaci účet, aby paušálna suma bola naša istina ( mathrm {P} ). Potom chceme túto sumu vybrať ako sériu splátok obdobia; v tomto prípade sú výbery anuitou s platbami 1 000 dolárov na konci každého z dvoch rokov.

Potrebujeme určiť aktuálnu hodnotu, ktorú na účte teraz potrebujeme, aby sme mohli neskôr pravidelne vyberať platby.

Na určenie súčasnej hodnoty každej platby vo výške 1 000 dolárov používame vzorec zloženého úroku z časti 6.2 s (r ) = 0,04 a (n ) = 1 pre ročné zloženie.

Zvážte prvú platbu vo výške 1 000 USD na konci roka 1. Nechajte P1 byť jeho súčasná hodnota

[ $ 1000 = P_ {1} (1,04) ^ {1} text {so} P_ {1} = $ 961,54 nonumber ]

Teraz zvážte druhú platbu vo výške 1 000 USD na konci roka 2. Nech P2 je jeho súčasná hodnota

[ $ 1000 = P_ {2} (1,04) ^ {2} text {so} P_ {2} = $ 924,56 nonumber ]

Na uskutočnenie platieb 1 000 $ v zadaných časoch v budúcnosti musí byť suma, ktorú musí Carlos teraz vložiť, súčasná hodnota (P = P_ {1} + P_ {2} = 961,54 $ + 924,56 $ $ 1886,10 )

Vyššie uvedený výpočet bol užitočný na ilustráciu významu súčasnej hodnoty anuity.
Nie je to však efektívny spôsob výpočtu súčasnej hodnoty. Ak by sme mali mať veľký počet anuitných platieb, postupný výpočet by bol dlhý a zdĺhavý.

Príklad ( PageIndex {1} ) skúma a vyvíja efektívny spôsob výpočtu súčasnej hodnoty anuity pomocou vzťahu budúcej (kumulovanej) hodnoty anuity k jej súčasnej hodnote.

Príklad ( PageIndex {1} )

Predpokladajme, že ste vyhrali v lotérii, ktorá v nasledujúcich 20 rokoch platí 1 000 dolárov mesačne. Ale radšej teraz máte celú sumu. Ak je úroková sadzba 8%, koľko z nich prijmete?

Riešenie

Tento klasický problém súčasnej hodnoty si vyžaduje našu úplnú pozornosť, pretože racionalizácia, ktorú použijeme na vyriešenie tohto problému, sa opäť použije v nasledujúcich problémoch.

Z dôvodov argumentu zvážte, že dvaja ľudia, pán Cash a pán Credit, vyhrali v nasledujúcich 20 rokoch rovnakú lotériu 1 000 dolárov mesačne. Pán Credit je spokojný so svojou mesačnou platbou 1 000 dolárov, ale pán Cash chce mať teraz celú sumu.

Našou úlohou je určiť, koľko by mal pán Cash dostať. Zdôvodňujeme to takto:

Ak pán Cash prijme P dolárov, potom P doláre vložené na 8% za 20 rokov by mali priniesť rovnakú sumu ako mesačné splátky 1 000 dolárov za 20 rokov. Inými slovami, porovnávame budúce hodnoty pre pána Cash aj pána Credita a boli by sme radi, keby sa budúce hodnoty rovnali.

Pretože pán Cash prijíma paušálnu sumu (x ) dolárov, jeho budúca hodnota je daná vzorcom paušálnej sumy, ktorý sme študovali v časti 6.2, a je

[ mathrm {A} = mathrm {P} (1 + .08 / 12) ^ {240} nonumber ]

Keďže pán Credit prijíma postupnosť platieb alebo anuitu vo výške 1 000 dolárov mesačne, jej budúca hodnota je daná anuitným vzorcom, ktorý sme sa dozvedeli v časti 6.3. Táto hodnota je

[ mathrm {A} = frac { $ 1000 doľava [(1 + .08 / 12) ^ {240} -1 doprava]} {. 08/12} nonumber ]

Jediný spôsob, ako bude pán Cash súhlasiť so sumou, ktorú dostane, je to, ak sú tieto dve budúce hodnoty rovnaké. Nastavili sme ich teda rovnocenne a riešime neznáme.

[ begin {array} {l}
mathrm {P} (1 + .08 / 12) ^ {240} = frac { $ 1000 doľava [(1 + .08 / 12) ^ {240} -1 doprava]} {. 08/12 }
mathrm {P} (4.9268) = $ 1000 (589.02041)
mathrm {P} (4.9268) = 589020,41 $
mathrm {P} = 119 554,36 USD
end {pole} nonumber ]

Súčasná hodnota bežnej anuity vo výške 1 000 dolárov každý mesiac po dobu 20 rokov pri 8% je 119 554,36 USD

Čitateľ by si mal tiež uvedomiť, že ak si pán Cash vezme svoju jednorazovú sumu ( mathrm {P} ) = 119 554,36 dolárov a investuje ju na 8% zložených mesačne, bude mať akumulovanú hodnotu ( mathrm {A} ) = 589 020,41 dolárov za 20 rokov.

PLATBA ZA INŠTALÁCIU Z PÔŽIČKY

Ak osoba alebo podnik potrebuje niečo kúpiť alebo zaplatiť (auto, dom, školné, vybavenie pre firmu), ale nemá peniaze, môže si ich požičať ako pôžičku.

Čiastku pôžičky, ktorá sa nazýva istina (alebo súčasná hodnota), dostávajú teraz a sú povinní splácať istinu v budúcnosti po stanovenú dobu (doba pôžičky), ako pravidelné pravidelné splátky s úrokom.

Príklad ( PageIndex {2} ) skúma, ako vypočítať splátku pôžičky, pomocou úvah podobných príkladu ( PageIndex {1} ).

Príklad ( PageIndex {2} )

Nájdite mesačnú splátku za auto v hodnote 15 000 dolárov, ak sa pôžička amortizuje počas piatich rokov s úrokovou sadzbou 9%.

Riešenie

Znova zvážte nasledujúci scenár:

Dvaja ľudia, pán Credit, si idú kúpiť to isté auto, ktoré stojí 15 000 dolárov. Hotovosť vypláca hotovosť a odchádza preč, ale pán Credit chce platiť mesačné splátky päť rokov.

Našou úlohou je určiť výšku mesačnej splátky. Úver vypláca milión dolárov mesačne, potom by platba každý mesiac v hodnote 9% uložená každý mesiac na 5% mala priniesť rovnakú sumu ako jednorazová suma 15 000 dolárov vložená na 5 rokov.

Opäť porovnávame budúce hodnoty pre pána Credit a chceli by sme, aby boli rovnaké.

Keďže pán Cash platí jednorazovú sumu 15 000 dolárov, jej budúca hodnota je daná vzorcom jednorazovej sumy a je

[ 15 000 $ (1 + .09 / 12) ^ {60} nonumber ]

Pán Credit si želá vykonať postupnosť platieb alebo anuitu vo výške (x ) dolárov mesačne a jej budúca hodnota je daná anuitným vzorcom a táto hodnota je

[ frac { mathrm {x} doľava [(1 + .09 / 12) ^ {60} -1 doprava]} {. 09/12} nonumber ]

Dve budúce sumy sme si rovnali a riešime neznáme.

[ begin {array} {l}
15 000 $ (1 + .09 / 12) ^ {60} = frac {m doľava [(1 + .09 / 12) ^ {60} -1 doprava]} {. 09/12}
15 000 dolárov (1,5657) = m (75,4241)
311,38 dolárov = m
end {pole} nonumber ]

Preto je mesačná splátka potrebná na splatenie pôžičky 311,38 dolárov na päť rokov.

ODDIEL 6.4 ZHRNUTIE

Zhrňujeme metódu použitú v príkladoch ( PageIndex {1} ) a ( PageIndex {2} ) nižšie.

Rovnica na zistenie súčasnej hodnoty anuity,

Alebo splátková splátka za pôžičku

Ak sa na účte uskutoční (m ) dolárov (n ) krát ročne s úrokom (r ), potom súčasná hodnota ( mathrm {P} ) anuity po (t ) rokov je

[ mathbf {P} ( mathbf {1} + mathbf {r} / mathbf {n}) ^ { mathbf {n} mathbf {t}} = frac { mathbf {m} vľavo [( mathbf {1} + mathbf {r} / mathbf {n}) ^ { mathbf {n} mathbf {t}} - mathbf {1} right]} { mathbf {r} / mathbf {n}} ]

Ak sa použije na pôžičku, suma ( mathrm {P} ) je výška pôžičky a (m ) je pravidelná splátka potrebná na splatenie pôžičky počas (t ) rokov s ( n ) platby ročne.

Ak je potrebná súčasná hodnota alebo výška pôžičky, vyriešte problém za (P )

Ak je potrebná pravidelná platba, vyriešte problém za (m ).

Vzorec predpokladá, že platobné obdobie je rovnaké ako zložené obdobie. Ak nie sú rovnaké, potom tento vzorec neplatí.

Na záver si všimneme, že veľa kníh o matematike a financiách s konečnou platnosťou rozvíja vzorec pre súčasnú hodnotu anuity inak.

Namiesto použitia vzorca:

[ mathrm {P} (1+ mathrm {r} / mathrm {n}) ^ { mathrm {nt}} = frac { mathrm {m} doľava [(1+ mathrm {r} / mathrm {n}) ^ { mathrm {nt}} - 1 right]} { mathrm {r} / mathrm {n}} label {6.4.1} ]

a riešenie súčasnej hodnoty ( mathrm {P} ) po nahradení číselných hodnôt za ostatné položky vo vzorci, mnoho učebníc najskôr vyrieši vzorec pre ( mathrm {P} ), aby vyvinul nový vzorec pre súčasnú hodnotu. Potom je možné numerické informácie dosadiť do vzorca súčasnej hodnoty a vyhodnotiť ich bez potreby algebraického riešenia znaku ( mathrm {P} ).

Alternatívna metóda na vyhľadanie súčasnej hodnoty anuity

Počnúc vzorcom ref {6.4.1}: ( mathrm {P} (1+ mathrm {r} / mathrm {n}) ^ { mathrm {nt}} = frac { mathrm {m} left [(1+ mathrm {r} / mathrm {n}) ^ { mathrm {nt}} - 1 right]} { mathrm {r} / mathrm {n}} )

Rozdelte obe strany znakom ((1 + r / n) ^ {n t} ), aby ste izolovali ( mathrm {P} ), a zjednodušte

[P = frac {m doľava [(1 + r / n) ^ {nt} -1 doprava]} {r / n} cdot frac {1} {(1 + r / n) ^ { nt}} nonumber ]

[P = frac {m doľava [1- (1 + r / n) ^ {- n t} doprava]} {r / n} štítok {6.4.2} ]

Autori tejto knihy sa domnievajú, že je jednoduchšie použiť vzorec ref {6.4.1} v hornej časti tejto stránky a podľa potreby vyriešiť riešenie ( mathrm {P} ) alebo (m ). V tomto prístupe je menej vzorcov na pochopenie a pre mnohých študentov je ľahšie sa učiť. V prípade problémov vo zvyšku tejto kapitoly, keď problém vyžaduje výpočet súčasnej hodnoty anuity, sa použije vzorec ref {6.4.1}.

Niektorí ľudia však uprednostňujú vzorec ref {6.4.2} a je matematicky správne použiť túto metódu. Upozorňujeme, že ak sa rozhodnete použiť vzorec ref {6.4.2}, musíte byť opatrní pri záporných exponentoch vo vzorci. A ak by ste potrebovali nájsť pravidelnú platbu, stále by ste museli urobiť algebru, aby ste vyriešili hodnotu m.

Bolo by dobré informovať sa u svojho inštruktora, či má prednosť. V skutočnosti môžete zvyčajne povedať, že máte inštruktora v obore, a to tak, že si všimnete, ako tieto druhy problémov vysvetľuje a predvádza na hodinách.


Súčasná hodnota anuity

Súčasná hodnota anuity je rad peňažných splátok, ktoré sa uskutočňujú za určité časové obdobie. V bežnej anuite sa tieto platby rozdeľujú na konci výplatného obdobia. Ak by ste však dnes mali vložiť peniaze do anuity, aká by bola ich hodnota teraz, keď viete, že budete dostávať budúce platby?

Slovo „hodnota“ tu označuje finančné limity, ktoré môže dosiahnuť skupina platieb. Súčasná hodnota anuity je hodnota peňazí, ktoré by ste teraz investovali do anuity, priamo ovplyvnená úrokmi a platbami, ktoré by anuita v budúcnosti vykonala.

Aby sa to dosiahlo, tento vzorec zohľadňuje to, čo je známe ako časová hodnota peňazí. Jednoducho povedané, peniaze, ktoré investujete teraz, majú väčšiu hodnotu ako rovnaké množstvo peňazí, ktoré by ste investovali v budúcnosti. Je to tak preto, že peniaze, ktoré investujete, majú teraz dlhšiu dobu na to, aby nahromadili úrok. Pri hľadaní súčasnej hodnoty anuity, ak by ste mali na výber, či dnes vyplatíte 1 000 dolárov, alebo dnes investujete 1 000 dolárov, hodnota investovaných peňazí by bola vyššia z dôvodu ich potenciálu získať úrok.


Ako sa odvodzuje vzorec rastúcej anuity platieb pomocou súčasnej hodnoty?

Vzorec na výpočet počiatočnej platby s rastúcou anuitou sa dá nájsť preusporiadaním súčasnej hodnoty vzorca s rastúcou anuitou

Počiatočnú platbu je možné vypočítať vydelením oboch strán druhou časťou vzorca zobrazeného priamo vyššie, ktorý je možné zobraziť ako

Týmto sa pôvodná platba rovná súčasnej hodnote vydelenej touto druhou časťou. To sa potom dá ešte zjednodušiť vynásobením koeficientu PV krát prevrátenej hodnoty menovateľa, čím sa vráti vzorec uvedený v hornej časti stránky.


Kapitola 4: Anuity a pôžičky

Rovnakú sumu vkladal aj každé ďalšie narodeniny, kým nebol
31 rokov. Po vložení 3 300 dolárov
na jeho 31. narodeniny sa Uriah rozhodol opustiť svoj plán úspor.

Už nikdy nešetril, ale nahromadené úspory nechal na bankovom účte. Banka splácala úrokovú sadzbu 11,5%.

F splatná dávka = PMT x [(1 + i) ^ n - 1] / i

F Dlhová renta = 3 300 x [(1 + 0,115) ^ 14 - 1] / 0,115

F splatná dávka = 103 028 1454 dolárov

2. časť: 31. až 65
FV ročného úroku

PV = 103 028 1454 dolárov
n = 34
i = 11,5%

Pretože 2 je posledná platba, ale 3 sú okamihy, keď končí toto obdobie.

PMT = FVannuity / [(1 + i) ^ n - 1] / i

PMT = 16 000
---------
[ ( 1 + 0.03 ) ^ (5) - 1 ] / 0.03

Bežný = v omeškaní (začať neskôr)

Vhodné pre potvrdenky:
Platby za leasing za prenájom, poistné na životné poistenie atď., Za poplatky vzniknuté v auguste platíte septembrový účet za kreditnú kartu)

PV:
& quotquo by som ti musel teraz zaplatiť, aby som dostal 10% z tvojich zárobkov na celý život? & quot

FV: Ak mám dnes 1,00 USD, čo môžem rozumne očakávať, že to bude mať o rok investíciu?

Splatná anuita - počet úrokových období je o jeden menší ako počet platieb

Splatná anuita = začať teraz (-1 = bežné)

Vhodné pre platby:
Pôžička na bývanie, splácanie hypotéky, obligácie nesúce kupón atď.

PV:
Ak váš prenájom začína v januári, na decembrový účet môžete mať nižší rozpočet, pretože máte 11 mesiacov na to, aby ste & quotinvestovali & quot, aby ste dosiahli požadovanú úroveň nájmu.

PVannuity = PMT x (1 - (1 / (1 + i) ^ n)
---------------
i
PVanueity = 100 x (1 - (1 / (1 + 0,10) ^ 4)
---------------
0.10
PVannuity = 316,99 dolárov

Takže zadajte & quot30 & quot; do poľa & quot; Roky dôchodku & quot ;. Predpokladajme úrokovú sadzbu 8%. Zadajte & quot; 75 000 & quot; ako svoj & quot; Periodický príjem v dôchodku. & Quot

PV splatná dávka = PMT x [(1 + i) ^ n - 1] / i x (1 + i)

Splatná mzda = 100 $ x [(1 + 0,10) ^ 4 - 1] / 0,10 x (1 + 0,10)

Splatná mzda = 100 $ x [(1 + 0,10) ^ 4 - 1] / 0,10 x (1 + 0,10)

PVannuity = PMT x (1 - (1 / (1 + i) ^ n)
---------------
i
PVanueity = 33 000 x (1 - (1 / (1 + 0,13) ^ 8)
---------------
0.13
PVannuity = 158 359,42 dolárov

PVannuity = PMT x (1 - (1 / (1 + i) ^ n)
---------------
i
PVanueity = 24 000 x (1 - (1 / (1 + 0,09) ^ 18)
---------------
0.09

Aká je súčasná hodnota týchto platieb jeden rok od dnešného dňa?

PMT = 250 dolárov
i = 5,6%
n = 2, pretože sa začína o jeden rok

PVannuity = PMT x (1 - (1 / (1 + i) ^ n)
-----------
i
PVannuity = 250 x (1- (1 /(1+0,056) ^ 2)
---------------
0.056

Ak odídete do dôchodku v 67 rokoch, potom dávka predstavuje 2 256 dolárov mesačne. Ak čakáte, že sa dožijete veku 85 rokov, tak kedy by ste mali ísť do dôchodku a začať žiadať o dôchodkové dávky?

Pretože výhody sú isté, pokiaľ žijete, primeranou diskontnou sadzbou je bezriziková miera. Pretože infláciu nezahŕňame do výhod, musíme použiť skutočnú úrokovú sadzbu.

Skutočná bezriziková miera je 2% ročne. Predpokladajme, že dávky sa zbierajú na konci každého mesiaca. Svoju odpoveď vyjadrte ako rozdiel v budúcej hodnote výhod.

Na riešenie súčasnej hodnoty tokov zmiešaných peňažných tokov nájdeme súčasnú hodnotu anuity a potom pripočítame súčasnú hodnotu akýchkoľvek ďalších peňažných tokov.

1. Nájdite PV prvej platby (1 835 dolárov)

Pri prvej platbe prijatej v roku 1 sa nahradí
FV = 1 835 dolárov
i = 0,02
n = 1
do súčasnej hodnoty

PV = (FV) / (1 + i) ^ n
PV = (1 835 dolárov) / (1 + 0,02) ^ 1
PV = 1 799,02 dolárov

Teda súčasná hodnota
1 835 dolárov so zľavou na
2,0% za 1 rok je 1 799,02 dolárov

2. Nájdite PV druhej platby (2 256 $)
Pokiaľ ide o druhú platbu prijatú v roku 2, nahradenie

FV = 2 256 dolárov
i = 0,02,
n = 2 (o dva roky)
do rovnice súčasnej hodnoty

PV = (FV) / (1 + i) ^ n
PV = (2 256) / (1 + 0,02) ^ 2
PV = 2 168,40 USD

Teda súčasná hodnota
2 256 $ so zľavou pri
2% na 2 roky sú 2 168,40 USD.

3. Nájdite PV anuity
Ak chcete zistiť súčasnú hodnotu bežnej anuity s platbami v rokoch 3 až 20, musíte najskôr vypočítať hodnotu anuity v roku 2 a potom zľavu z hodnoty na 2 roky, aby ste našli jej súčasnú hodnotu v roku 0.

POUŽÍVAJTE EXCEL
PMT = PRVÉ ČÍSLO
i = 0,120
n = 23

PVannuity = PMT x (1 - (1 / (1 + i) ^ n)
---------------
i
PVann = 20,00 $ x (1 - (1 / (1 + 0,02) ^ 23)
---------------
0.02
PVannuity = 365 844,08 dolárov

4. Uveďte PV na čas nula
Aby sa súčasná hodnota dostala na čas nula, bude musieť byť PV anuity diskontované ďalšie dva roky:

FV = 365 844,08 dolárov
i = 0,0 2
n = 2 (platby začali koncom roka 2)

PV = (FV) / (1 + i) ^ n
PV = (365 844,08) / (1 + 0,02) ^ 2
PV = 351 637,91 dolárov

5. Pridajte všetky toky hotovostného toku
A nakoniec, súčasná hodnota tohto toku peňažných tokov je súčtom súčasnej hodnoty platieb z 1. a 2. roku a anuity v 3. až 22. roku:

PV0 = 1 799,02 USD + 2 168,40 USD + 351 637,91 USD

Prvé dve platby by boli
28 000 dolárov a 25 000 dolárov za jeden rok, respektíve dva roky, a potom 15 000 dolárov ročne potom po dobu 20 rokov.

Na riešenie súčasnej hodnoty tokov zmiešaných peňažných tokov nájdeme súčasnú hodnotu anuity a potom pripočítame súčasnú hodnotu akýchkoľvek ďalších peňažných tokov.

1. Nájdite PV prvej platby

Pri prvej platbe prijatej v roku 1 sa nahradí
FV = 28 000 dolárov,
i = 0,120
n = 1 (odteraz o rok)
do súčasnej hodnoty

PV = (FV) / (1 + i) ^ n
PV = (28 000) / (1 + 0,120) ^ 1
PV = 25 000,00 dolárov

Teda súčasná hodnota
28 000 dolárov so zľavou na
12,0% na 1 rok je 25 000,00 dolárov

2. Nájdite PV druhej platby
Pokiaľ ide o druhú platbu prijatú v roku 2, nahradí sa

FV = 25 000 dolárov,
i = 0,120,
n = 2 (o dva roky)
do rovnice súčasnej hodnoty

PV = (FV) / (1 + i) ^ n
PV = (25 000) / (1 + 0,120) ^ 2
PV = 19 929,85 dolárov

Teda súčasná hodnota
Zľava 25 000 dolárov na
12,0% na 2 roky je 19 929,85 dolárov.

3. Nájdite PV anuity
Anuitná časť peňažných tokov má 20 platieb, pričom prvá platba je vykonaná v 3. roku, takže použitím anuitného vzorca pre PV sa získa súčasná hodnota od 2. roku (jeden rok pred prvou platbou). Striedanie

do rovnice pre súčasnú hodnotu bežnej anuity dáva sumu na konci roka 2

PVannuity = PMT x (1 - (1 / (1 + i) ^ n)
---------------
i
PVann = 15 000 dolárov x (1 - (1 / (1 + 0,120) ^ 20)
---------------
0.120
PVannuity = 112 041,65 dolárov

4. Uveďte PV na čas nula
Aby sa súčasná hodnota dostala na čas nula, bude musieť byť PV anuity diskontované ďalšie dva roky:

FV = 112 041,65 dolárov
i = 0,120
n = 2 (platby začali koncom roka 2)

PV = (FV) / (1 + i) ^ n
PV = (112 041,65) / (1 + 0,120) ^ 2
PV = 89 318,92 dolárov

5. Pridajte všetky toky hotovostného toku
A nakoniec, súčasná hodnota tohto toku peňažných tokov je súčtom súčasnej hodnoty platieb z 1. a 2. roku a anuity v 3. až 22. roku:

PV0 = 25 000,00 dolárov + 19 929,85 dolárov + 89 318,92 dolárov

Koľko by bolo treba venovať na dotovanie stoličky na vaše meno, ak by plat a výhody boli 78 000 dolárov a úroková sadzba bola 7%?

3. Vyberte ústredný dátum.
Peniaze môžete posúvať iba dvoma smermi: dopredu alebo dozadu. Ak zvolíte ústredný dátum na konci časovej osi, posúvate hotovosť vpred (budúca hodnota). Ak zvolíte ústredný dátum na začiatku časovej osi, posúvate hotovosť späť (diskontovanie).

4. Zistite, či sú peňažné toky jednorazové alebo anuitné.
Ak máte jeden hotovostný tok alebo ak existuje viac peňažných tokov v rôznej výške, máte na mysli paušálne sumy. Ak existuje viac peňažných tokov s rovnakou hodnotou, potom máte anuitu. (Ak anuita trvá navždy, máte trvalú životnosť.)

1. Nájdite súčasnú hodnotu každej bežnej anuity

PVannuity = PMT x (1 - (1 / (1 + i) ^ n)
---------------
i
PMT = 15 000 dolárov
i = 4%
n = 2

PVanueity = 15k x (1- (1 / (1+ 0,04) ^ 2)
---------------
0.04
PVannuity = 24 291,42 dolárov

2. Nájdite súčasnú hodnotu každej bežnej anuity

PVannuity = PMT x (1 - (1 / (1 + i) ^ n)
---------------
i
PMT = 20 000 dolárov
i = 4%
n = 2

PVannuity = 20k x (1- (1 / (1+ 0,04) ^ 2)
---------------
0.04
PVannuity = 37 721,89 dolárov

3. Zľava do roku 0
= 1 / (1 + i) ^ n
= 1 / ( 1 + 0.04 ) ^ 2
= 0.9245

4. Pridajte
Krok 1 + (krok 2 x krok 3)

KROK 1: Vyriešte súčasnú hodnotu výberov z dôchodku k dátumu dôchodku. Tieto výbery sú na konci obdobia, takže vypočítame súčasnú hodnotu bežnej anuity s mesačnými splátkami.

Aká je súčasná hodnota výberov počas dôchodkového veku pri odchode do dôchodku?

PV = PMT x (1 - (1 / (1+ (i / m)) ^ n x m)
---------------
i / m
PMT = 11 000 dolárov
i = 3,5%
n = 25

PVanueity = 11k x (1- (1 / (1 + 0,035 / 12) ^ 25x12)
---------------
0.035/12
PVannuity = 2 197 259,71 dolárov

KROK 2: Riešenie pre súbor anuitných platieb na konci obdobia, ktorých budúca hodnota (pri odchode do dôchodku) sa rovná súčasnej hodnote z KROKU 1. Zovšeobecnená rovnica na vyhľadanie platby vzhľadom na budúcu hodnotu bežnej anuity sa udáva ako:

FVannuity = 2 197 259,71 dolárov
PMT = 11 000 dolárov
m = 12
i = 5,5% / 12
i = 0,00458
n = 360

PMT = FVannuity / [(1 + i) ^ (n) - 1] / i
PMT = 2 197 259,71 USD / [(1 + 0,00458) ^ (360) - 1] / 0,00458

Váš právnik tvrdí, že môžete očakávať výplatu od poisťovacej spoločnosti v kaviarni
8 000 dolárov ročne po dobu 12 rokov.

Najskôr vyriešte PV z anuity v čase 1

PVan = PMT x [1 - (1 / ((1 + i) ^ n))] / i

PVan = PMT x [1 - (1 / ((1 + i) ^ n))] / i

PVan = 8 000 x [1 - (1 / ((1 + 0,027) ^ 12))] / 0,027

Vráťte tento PV späť na čas 0.

Balón = FVn = hlavný × (1 + i) ^ n

Balón = FVn = hlavný × (1 + i) ^ n

Balón = 100 000 x (1,11 ^ 5)

Balón = FVn = hlavný × (1 + i) ^ n

FVannuity = PMT x [(1 + i) ^ n - 1] / i

FVannuity = 367,21 $ x [(1 + 0,05) ^ 3 - 1] / 0,05

Výška úroku získaného z dôvodu reinvestície je iba rozdielom medzi budúcou hodnotou týchto troch platieb a súčtom týchto troch platieb. Suma predstavuje sumu, ktorú by ste mali v 3. roku, ak by ste nezarobili žiadny úrok reinvestovaním. Napríklad, ak ste vyplnili platby pod matrac!

Výška úroku, ktorá je zahrnutá v troch splátkach, je rozdielom medzi súčtom týchto troch splátok a istinou pôžičky.

Úroky z platieb = (3 × 367,21 USD) - 1 000 USD = 101,63 USD

Tento príklad zdôrazňuje dva dôležité body týkajúce sa umorovaných pôžičiek:

Úroky z amortizovanej splátky pôžičky majú dve formy: (1) každá splátka obsahuje úrok a (2) veriteľ dostane splátky pred koncom funkčného obdobia, a tak môže zarobiť úrok investovaním týchto prostriedkov.

Riaditeľ = 29 000 dolárov
PVIFA = [(1 / (1 + i) ^ n) - 1] / i
PVIFA = [(1 / (1 + 0,12) ^ 6) - 1] / 0,12

Celkový úrok zaplatený dlžníkom počas doby splatnosti pôžičky je:

Celkový úrok = (platba × počet platieb) - výška pôžičky

Riaditeľ = 3 300 dolárov
PVIFA = [(1 / (1 + i) ^ n) - 1] / i
PVIFA = [(1 / (1 + 0,06) ^ 2) - 1] / 0,06

2. Dlžný úrok
= Hlavný dlžník x i

4. Splátka istiny
= PMT - dlžný úrok

5. Splatenie istiny na konci roka
= Predchádzajúci dlžník - PR

Upozorňujeme, že záloha je nediskontovaná, pretože k nej dôjde v čase 0, keď je podpísaná leasingová zmluva.

Upozorňujeme tiež, že je zahrnutý aj výkup. Je zahrnutá bez ohľadu na to, či sa rozhodnete uplatniť možnosť odkúpenia, pretože ľavá strana sa musí rovnať pravej strane rovnice.

BMW 650i Cabriolet má výrobcom odporúčanú maloobchodnú cenu (MSRP) 105 500 dolárov (predpokladajme, že táto cena zahŕňa všetky príležitostné položky, ako je nákladná doprava a príprava predajcu, potrebné na vyradenie vozidla zo série).

Istina = 105 000 dolárov
Záloha = 0 $
PVIFAdue = 32,1692 dolárov
PMT =?
Výkup = 58 025 dolárov
PVIF = 0,7896

PMT = (príkazca - záloha - výkup * PVIF) / PVIFadue

pretože rovnica hodnoty pre leasingy sa rovná podstate transakcie (cena automobilu) súčasnej hodnote všetkých platieb v rámci lízingu, ktoré sú potrebné na úplné splatenie tejto povinnosti.

Typické bytové amortizačné obdobie je 25 rokov. Potrvá teda 25 rokov, kým dlžník pôžičku úplne splatí.

j = [(1 + (i / 2)) ^ (2 / m)] - 1

j = [(1 + (0,05 / 2)) ^ (2/12)] - 1

1. Nájdi j
j = [(1 + (i / 2)) ^ (2 / m)] - 1

PVIFA = (i / j) x [1 - (1 / (((1 + j) ^ nxm)]
(j, 300)

j = [(1 + (0,065 / 2)) ^ (2/52)] - 1

pretože doba splatnosti je kratšia ako (alebo rovná sa) obdobiu amortizácie a je obdobím, na ktorom sa dohodne úroková sadzba (a platby).

Riaditeľ = 200 000 dolárov
PVIFA = [(1 / (1 + i) ^ n) - 1] / i
PVIFA = [(1 / (1 + 0,11) ^ 25) - 1] / 0,11

2. Dlžný úrok
= Hlavný dlžník x i
= 200 000 x 0,11
= $22,000

4. Splátka istiny
= PMT - dlžný úrok
= $23,748.05 - $22,000
= $1748.05

5. Splatenie istiny na konci roka
= Predchádzajúci dlžník - PR
= $200,000 - $1748.05
= $198,251.95

BMW M5
RWD, 500 hp, 0-100 za 4,7 s
MSRP = 90 000 dolárov
Termín = 24 mesiacov
RPMN = 3,5%
Záloha =
Mesačné platby = 3 888,24 USD

Počet platieb = 24
Platba = 3 888,24 USD
Istina = 90 000 dolárov

Úroky z platieb = 24 x 3 888,24 USD - 90 000 USD

j = [(1 + (0,056 / 2)) ^ (2/12)] - 1

Riaditeľ = 47 000 dolárov
Záloha = 0 $
PVIFAdue = 42,33195011 dolárov
PMT =?
Výkup = 19 000 dolárov
PVIF = 0,777757261

PMT = (príkazca - záloha - výkup * PVIF) / PVIFadue

PMT = (47 000 - 0 - 19 000 dolárov * 0,777757261) / 42,33195011 dolárov

1. Nájdite j
j = [(1 + (i / 2)) ^ (2 / m)] - 1
j = [(1 + (0,049 / 2)) ^ (2 / každý)] - 1

PVIFA = (i / j) x [1 - (1 / (((1 + j) ^ nxm)]
(j, m)

1. Vypočítajte platbu
PMT = Principal / PVIFA

Riaditeľ = 200 000 dolárov
PVIFA = [(1 / (1 + i) ^ n) - 1] / i
PVIFA = [(1 / (1 + 0,11) ^ 25) - 1] / 0,11

b. Po dvoch rokoch chcete splatiť zostávajúcu istinu a ukončiť pôžičku. Koľko dlžíte po dvoch rokoch?

c. Aký úrok ste po dvoch rokoch zaplatili?

d. Dnes je dvojročné výročie začiatku poskytovania pôžičky a vy ste práve vykonali platbu pôžičky. Aký vysoký úrok bude zahrnutý do vašej budúcej splátky pôžičky?

A) Aké sú splátky leasingu pred zdanením bez predpokladanej zálohy?

B) Pri lízingoch sa daň z obratu platí pri lízingových splátkach a výkupe. Ak je sadzba dane z obratu 4%, potom aká je súčasná hodnota daní zaplatených z lízingu po znížení o lízingovú sadzbu?

A) Aké sú splátky leasingu pred zdanením bez predpokladanej zálohy?

PMT = (príkazca - záloha - výkup * PVIF) / PVIFadue

Ak je sadzba dane z obratu 4%, potom aká je súčasná hodnota daní zaplatených z lízingu po diskontovaní podľa lízingovej sadzby?

Ak chcete zistiť súčasnú hodnotu daní zaplatených z lízingových splátok, použite rovnaký vzorec pre súčasnú hodnotu lízingu použitý vyššie, vynásobte sumy platieb a výkupu daňovou sadzbou.

Pripomeňme, že sadzba dane je 0,04, akontácia =,
PMT = 8 903,74 USD, PVIFAdue = 2,907938,
Výkup = 23 750 dolárov a PVIF = 0,909831.

PVtaxes =
(0,04) Záloha + (0,04) PMT × PVIFAdue + (0,04) Výkup × PVIF
=
(0.04)$8,903.74×2.907938+(0.04)$23,750×0.909831

Ktorý spôsob nákupu generuje väčšie platby dane z maloobchodu na základe súčasnej hodnoty?

C) Daň z predaja pri nákupe v hotovosti je

Mesačná splátka pôžičky teda predstavuje 808,33 USD.

Odkúpenie bolo 10 560 dolárov splatné na konci doby prenájmu. Teraz (dva roky po podpísaní lízingu, ale tesne pred 25. platbou lízingu) bolo vydané nové auto s lepším štýlom a o 20% vyšším výkonom. Chcete sa dostať zo starého lízingu a prenajať si nové auto. Predajca automobilov vám rád vezme vaše staré auto a zruší leasing, ak máte v automobile pozitívny kapitál. Vlastné imanie je definované ako trhová hodnota automobilu (dnes) mínus nesplatená istina. Trhová hodnota vášho starého auta je
​$17,380.

Principal = DP + PMT x PVIFAdue + Buyout x PVIF

Teraz vyriešte pre príkazcu
zostávajúce použitie rovnice hodnoty pre lízing, kde
Záloha =,
PMT = 278,92 dolárov,
PVIFAdue = 23.324145,
a
PVIF = 0,941835.

2. Vlastné imanie = trhová hodnota - istina
Istina zostávajúca z lízingových splátok je teda 16 451,35 USD.
Teraz nájdite vlastné imanie odpočítaním zostávajúcej istiny od trhovej hodnoty pri ďalšom predaji.

Vlastné imanie = trhová hodnota - dlžná istina

= $17,380−​$16,451.35
= 928,65 dolára

2. Riešte počet rokov za podmienky, že súčasná hodnota istín sa rovná súčasnej hodnote platieb.
PV príkazcu = PV platieb
Riaditeľ má dve časti - pôvodnú hypotéku na pozemok (ktorá je už uvedená v zmysle súčasnej hodnoty) a náklady na vylepšenie pozemku.

Druhá z nich je diskontovaná PVIFj, n × m,

Splátky hypotéky sa vynásobia hodnotou PVIFAj, n × m, kde j = 0,018577, m = 4 a n je potrebné vyriešiť.

Pôvodná istina + náklady na vylepšenie pôdy × PVIF
=
PMT × PVIFA
4 100 000 dolárov + 574 000 dolárov × PVIF0,018577, 12 × 4
=
90 535 dolárov × PVIFA0.018577, n × 4
Vzorec pre PVIFj, n × m pre princíp vylepšenia pôdy je uvedený nižšie, kde j je periodická úroková sadzba, n je počet rokov, ktoré sa majú diskontovať, a m je počet platieb za rok.
PVIFj, n × m = 1 (1 + j) n × m
Vyriešte pre PVIFj, n × m, kde j = 0,018577, n = 12 a m = 4.
PVIFj, n × m
=
1 (1 + j) n × m
=
1(1+0.018577)12×4
=
0.4133280.413328
(Zaokrúhlené na šesť desatinných miest.)
Vzorec pre úrokový faktor súčasnej hodnoty pre bežnú anuitu, PVIFAj, n × m, je uvedený nižšie, kde j je periodická úroková sadzba, n je počet rokov am je počet platieb. za rok.
PVIFAj, n × m = 1j × 1−1 (1 + j) n × m
Spojte všetky známe premenné do jednej rovnice, kde n, počet rokov splácania hypotéky, je jediná neznáma premenná, ktorú je potrebné vyriešiť.
4 100 000 dolárov + 574 000 dolárov × PVIF0,018577, 12 × 4
=
90 535 dolárov × PVIFA0.018577, n × 4
Začnite izolovať n.
$4,100,000+$574,000×0.413328
=
90 535 dolárov × 1j × 1–1 (1 + j) n × m
$4,100,000+$574,000×0.413328
=
90 535 dolárov × 10,018577 × 1–1 (1 + 0,018577) n × 4
1-11,018577n
=
0.018577($4,100,000+$574,000×0.413328)$90,535
1-11,018577n
=
0.8899660.889966
(Zaokrúhlené na šesť desatinných miest.)
Pokračujte v izolácii n.
1-11,018577n
=
0.889966
11.018577n
=
1−0.889966
1,018577n
=
11−0.889966
Vezmite prirodzený logaritmus oboch strán a vyriešte n.
1,018577n
=
11−0.889966
ln1.018577n
=
ln11−0,889966
n × ln (1,018577)
=
ln10.110034
n
=
ln10.110034ln (1.018577)
n
=
120120
(Zaokrúhlite na celé číslo nahor.)
Mister Greenjeans bude trvať 120 štvrťrokov, kým splatí hypotéku. Vydeľte počet štvrtín číslom 4 a určte celkový počet rokov, ktoré budú trvať na splatenie hypotéky.
1204=3030
(Zaokrúhlené na celé číslo.)
Bude teda trvať 30 rokov, kým pán Greenjeans splatí hypotéku.
Otázka je úplná. Klepnutím na červené indikátory zobrazíte nesprávne odpovede.


Sadzobník pre súčasnú hodnotu bežnej anuity 1

n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 8% 10% 12%
1 0.9901 0.9804 0.9709 0.9615 0.9524 0.9434 0.9259 0.9091 0.8929
2 1.9704 1.9416 1.9135 1.8861 1.8594 1.8334 1.7833 1.7355 1.6906
3 2.9410 2.8839 2.8286 2.7751 2.7233 2.6730 2.5771 2.4869 2.4018
4 3.9020 3.8077 3.7171 3.6299 3.5460 3.4651 3.3121 3.1699 3.0374
5 4.8534 4.7135 4.5797 4.4518 4.3295 4.2124 3.9927 3.7908 3.6048
6 5.7955 5.6014 5.4172 5.2421 5.0757 4.9173 4.6229 4.3553 4.1114
7 6.7282 6.4720 6.2303 6.0021 5.7864 5.5824 5.2064 4.8684 4.5638
8 7.6517 7.3255 7.0197 6.7327 6.4632 6.2098 5.7466 5.3349 4.9676
9 8.5660 8.1622 7.7861 7.4353 7.1078 6.8017 6.2469 5.7590 5.3283
10 9.4713 8.9826 8.5302 8.1109 7.7217 7.3601 6.7101 6.1446 5.6502
11 10.3676 9.7869 9.2526 8.7605 8.3064 7.8869 7.1390 6.4951 5.9377
12 11.2551 10.5753 9.9540 9.3851 8.8633 8.3838 7.5361 6.8137 6.1944
13 12.1337 11.3484 10.6350 9.9857 9.3936 8.8527 7.9038 7.1034 6.4236
14 13.0037 12.1063 11.2961 10.5631 9.8986 9.2950 8.2442 7.3667 6.6282
15 13.8651 12.8493 11.9380 11.1184 10.3797 9.7123 8.5595 7.6061 6.8109
16 14.7179 13.5777 12.5611 11.6523 10.8378 10.1059 8.8514 7.8237 6.9740
17 15.5623 14.2919 13.1661 12.1657 11.2741 10.4773 9.1216 8.0216 7.1196
18 16.3983 14.9920 13.7535 12.6593 11.6896 10.8276 9.3719 8.2014 7.2497
19 17.2260 15.6785 14.3238 13.1339 12.0853 11.1581 9.6036 8.3649 7.3658
20 18.0456 16.3514 14.8775 13.5903 12.4622 11.4699 9.8182 8.5136 7.4694
21 18.8570 17.0112 15.4150 14.0292 12.8212 11.7641 10.0168 8.6487 7.5620
22 19.6604 17.6581 15.9369 14.4511 13.1630 12.0416 10.2007 8.7715 7.6447
23 20.4558 18.2922 16.4436 14.8568 13.4886 12.3034 10.3711 8.8832 7.7184
24 21.2434 18.9139 16.9355 15.2470 13.7986 12.5504 10.5288 8.9847 7.7843
25 22.0232 19.5235 17.4132 15.6221 14.0939 12.7834 10.6748 9.0770 7.8431
26 22.7952 20.1210 17.8768 15.9828 14.3752 13.0032 10.8100 9.1610 7.8957
27 23.5596 20.7069 18.3270 16.3296 14.6430 13.2105 10.9352 9.2372 7.9426
28 24.3164 21.2813 18.7641 16.6631 14.8981 13.4062 11.0511 9.3066 7.9844
29 25.0658 21.8444 19.1885 16.9837 15.1411 13.5907 11.1584 9.3696 8.0218
30 25.8077 22.3965 19.6004 17.2920 15.3725 13.7648 11.2578 9.4269 8.0552

Predchádzajúca anuitná tabuľka je užitočná ako rýchla referencia, poskytuje však iba hodnoty pre jednotlivé časové obdobia a úrokové sadzby, ktoré nemusia úplne zodpovedať scenáru z reálneho sveta. Preto použite anuitný vzorec v elektronickej tabuľke na presnejší výpočet správnej sumy. Vzorec na výpočet súčasnej hodnoty bežnej anuity je:


Súčasná hodnota anuitného vzorca sa počíta stanovením súčasnej hodnoty, ktorá sa počíta z anuitných platieb za časové obdobie vydelených jednou plus diskontná sadzba a súčasná hodnota anuity sa určí vynásobením rovnakých mesačných splátok jednou mínus súčasná hodnota vydelená diskontovaním sadzba.

  • C je hotovostný tok za obdobie
  • i je úroková sadzba
  • n je frekvencia platieb

Vysvetlenie

The PV formula will determine at a given period, the present value of several future timely interval payments. The PV of annuity formula can be seen from the formula that it depends upon the time value of money concept, in which a one-dollar amount of money in the current day is more worthy than the same dollar that shall be due at a date which is going to happen in future. Also, the PV of the annuity formula takes care of the frequency of payment, whether it’s annual, semi-annual, monthly, etc. and accordingly does calculation or say compounding.

Príklady

Príklad č

Suppose that there is an annuity payment of $1,000 for the next 25 years beginning at every end of the year. You are required to compute the present value of the annuity, assuming a rate of interest is 5%.

Here the annuities begin at the end of the year, and therefore, n will be 25, C is $1,000 for the next 25 years, and i is 5%.

Use the following data for the calculation of the PV of an annuity.

  • Cash flow per Period (C): 1000.00
  • Number of Period (n): 25.00
  • Rate of Interest (i): 5.00%

So, the calculation of the PV of an annuity can be done as follows –

Present Value of the Annuity will be –

Present Value of an Annuity = 14,093.94

Príklad č

John is currently working in an MNC where he is paid $10,000 annually. In his compensation, there is a 25% portion, which is will be paid an annuity by the company. This money is deposited twice in a year, starting 1 st July and second is due on the 1 st of January and will continue till the next 30 years, and at the time of redemption, it would be tax-exempt.

He was also given an option at the time of joining to take $60,000 at once, but that would be subject to tax at the rate of 40%. You are required to assess whether John should take the money now or wait until 30 years to receive the same, assuming he is not in the requirement of funds, and the risk-free rate in the market is 6%.

Here, the annuities begin at the end of the semi-annually and therefore n will be 60 (30*2), C is $1,250 ($10,000 * 25% / 2) for next 30 years and i is 2.5% (5%/2).

Use the following data for the calculation of the present value of an annuity.

So, the calculation of the (PV) present value of an annuity formula can be done as follows –

Present Value of the Annuity will be –

Present Value of an Annuity = $38,635.82

Hence, if John opts for an annuity, then he would receive $38,635.82.

The second option is he opts for $60,000, which is before tax, and if we deduct a tax of 40%, then the amount in hand will be $36,000.

Therefore, John should opt for annuity since there is a benefit of $2,635.82

Príklad č

Two different retirement products are being offered to Mrs. Carmella as she is nearing retirement. Both of the products will start their cash flow at the age of 60 years and continue annuity till 80 years of age. Below are more details of the products. You are required to compute the present value of the annuity and advise, which is the better product for Mrs. Carmella?

Assume Rate of interest 7%.

Annuity Amount = $2,500 per period. Payment frequency =Quarterly.Payment will be at the beginning of the period.

Annuity Amount = 5,150 per period. Payment frequency =Semi-Annually. Payment will be at the end of the period

=$2,500 x [ (1 – (1+1.75%) -79 ) / 0.0175 ]

Present Value of Annuity = $106,575.83

Now we need to add $2,500 to above present value since that was received at the start of the period and hence total amount will be 1,09,075.83

The 2 nd option is paying semi-annually. Hence n will be 40 (20*2), i will be 3.50% (7%/2), and C is $5,150.

So, the calculation of the PV of an annuity for a product Y can be done as follows –

Present Value of Annuity for Product Y will be –

= $5,150 x [ (1 – (1+3.50%) -40 ) / 0.035 ]

Present Value of Annuity = $ 109,978.62

There is only $902.79 excess when opted for option 2. Hence Mrs. Carmella should select opt 2.

Relevance and Uses

The formula is quite important not only in calculating the retirement options, but this can also be used for cash outflows in case of capital budgeting, where there could be an example of rent or periodic interest paid, which are mostly static hence those can be discounted back by using this annuity formula. Also, one has to be cautious while using the formula as one needs to determine if the payments are made at the beginning of the period or at the end of the period, as the same can affect the values of cash flows due to compounding effects.

Recommended Articles

This has been a guide to the (PV) Present Value of an Annuity Formula. Here we discuss how to calculate the Present Value of an Annuity along with practical examples and downloadable excel templates. You may learn more about Valuations from the following articles –


What Is an Annuity?

An annuity is a financial contract you enter with an insurance company. You’ll pay a certain amount of money up front or as part of a payment plan, and get a predetermined annual payment in return. You can receive annuity payments either indefinitely or for a predetermined length of time. Regular payments are one of the pros of annuities.

There are two types of annuity contracts:

    offer guaranteed interest rates paid over a certain period of time.
  1. Variable annuities don’t have guaranteed payouts, meaning that you’ll have more freedom to invest your money in different ways, and thus your payments will be tied to those investments’ performance. This can result in higher returns, but also runs the risk of lower returns.

Keep in mind that money spent on an annuity grows tax-deferred. That means that when you eventually start making withdrawals, the amount you contributed to the annuity is not taxed, although your earnings are taxed at your regular income tax rate.


What Are Pensions?

Pensions are an employment benefit and a way for a company to help workers finance their retirement. Pension plans date back to ancient Rome, when soldiers received pensions after years of service. Pensions became popular in the United States when President Franklin Roosevelt introduced the world’s largest defined benefit pension plan in 1935 with the Social Security Administration.

As the American middle class grew following World War II, many employers offered pensions as an employee benefit.

Employers who make monthly payments to former workers use pension funds that both the employer and employees paid into during the years the employee was working.

Since the early 2000s, the number of workplace pension programs has dwindled many companies found it difficult to fund pensions over a long period of time while also pleasing shareholders who wanted more profits and fewer long-term liabilities.

The bulk of employers today with pension plans are federal, state and local governments, and branches of the U.S military. Federal pensions serve 2.3 million active civilian employees. State and local pensions cover 14.8 million active participants. The government issues pensions in various forms, including defined benefit and defined contribution plans.

Some private companies and unions still offer pensions as a benefit, as well. Private sector pensions hold more than $2.2 trillion in assets and cover around 44 million working Americans.

Some employers use their money to fund and control pensions. Others work with insurance companies to set up third-party annuities for employees, which provide security and relieve the company of the long-term financial obligation. Companies that use pension annuities include Verizon, General Motors, Ford and Heinz.


Calculating the Payment in an Ordinary Annuity (PMT)

Present value calculations allow us to determine the amount of the recurring payments in an ordinary annuity if we know the other components: present value, interest rate, and the length of the annuity. Exercises 5 and 6 will demonstrate how to solve for the payment amount.

Exercise #5

On June 1, 2020, Grandma deposited $1,733 into an account to help pay for Emily's summer volleyball camp for four consecutive years. The first camp is scheduled for June 2021. The account earns 6% interest per year, compounded annually. The interest earned on the account balance is deposited into the account on May 31 of each year. If Grandma wants the balance to be at the end of the four years, how much should she withdraw for Emily each June?

The following timeline helps us visualize the facts:

Calculation of Exercise #5 using the PVOA Table

Using the above information and factors from our PVOA Table, we can solve for the unknown payment amount (PMT) as follows:

We use simple algebra and the appropriate present value factor to determine that Grandma can withdraw $500 each June 1 beginning in 2021.

The following table shows the account activity, confirming that $500 can be withdrawn each year for four years:

Exercise #6

Your company plans to borrow $10,152 on January 1, 2021. You would like to repay the loan by making six semiannual loan payments beginning on June 30, 2021. The payments will be equal amounts and will cover a portion of both the interest (10% per year compounded semiannually) and the principal repayment. The payments will be paid on each June 30 and December 31. What will be the amount of each of the six payments?

Calculation of Exercise #6 using the PVOA Table

Our first step is to construct a timeline to organize the information:

Using the above information and factors from our PVOA Table, we can solve for the unknown payment amount (PMT) with the following equation:

We use simple algebra and the appropriate present value factor to determine that each of the six payments will be $2,000. The first payment will be made on June 30, 2021 and the final payment will occur on December 31, 2023.

The following loan amortization schedule shows the amount of interest and principal contained in each loan payment and confirms that the loan will be paid by December 31, 2023.


Several provisions of CSRS require reduction of annuities on an actuarial basis. Under each of these provisions, OPM is required to issue regulations on the method of determining the reduction to ensure that the present value of the reduced annuity plus a lump-sum equals, to the extent practicable, the present value of the unreduced benefit. The regulations for each of these benefits provide that OPM will publish a notice in the Federálny register whenever it changes the factors used to compute the present values of these benefits.

Section 831.2205(a) of title 5, Code of Federal Regulations, prescribes the method for computing the reduction in the beginning rate of annuity payable to a retiree who elects an alternative form of annuity under 5 U.S.C. 8343a. That reduction is required to produce an annuity that is the actuarial equivalent of the annuity of a retiree who does not elect an alternative form of annuity. The present value factors listed below are used to compute the annuity reduction under section 831.2205(a) of title 5, Code of Federal Regulations.

Section 831.303(c) of title 5, Code of Federal Regulations, prescribes the use of these factors for computing the reduction to complete payment of certain redeposits of refunded deductions based on periods of service that ended before March 1, 1991, under section 8334(d)(2) of title 5, United States Code section 1902 of the National Defense Authorization Act for Fiscal Year 2010, Public Law 111-84.

Section 831.663 of Title 5, Code of Federal Regulations, prescribes the use of similar factors for computing the reduction required for certain elections to provide survivor annuity benefits based on a post-retirement marriage under section 8339(j)(5)(C) or (k)(2) of title 5, United States Code. Under section 11004 of the Omnibus Budget Reconciliation Act of 1993, Public Law 103-66, effective October 1, 1993, OPM ceased collection of these survivor election deposits by means of either a lump-sum payment or installments. Instead, OPM is required to establish a permanent actuarial reduction in the annuity of the retiree. This means that OPM must take the amount of the deposit computed under the old law and translate it into a lifetime reduction in the retiree's benefit.

Subpart F of part 847 of title 5, Code of Federal Regulations, prescribes the use of similar factors for computing the deficiency the retiree must pay to receive credit for certain service with nonappropriated fund instrumentalities made creditable by an election under section 1043 of Public Law 104-106. Subpart I of part 847 of title 5, Code of Federal Regulations, prescribes the use of present value factors for employees that elect to credit nonappropriated fund instrumentality service to qualify for immediate retirement under section 1132 of Public Law 107-107. Start Printed Page 19172

Sections 839.1114-1121 of title 5, Code of Federal Regulations, prescribes the use of these factors for computing the reduction required for certain service credit deposits, Government Thrift Savings Plan contributions, or for previous payment of the FERS Basic Employee Death Benefit in annuities subject to the Federal Erroneous Retirement Coverage Corrections Act (FERCCA) under the provisions of Public Law 106-265. Retirees and survivors who owe a larger deposit because of a retirement coverage error can choose to pay the additional deposit amount or their annuity will be actuarially reduced to account for the deposit amount that remains unpaid. Additionally, retirees and survivors of deceased employees who received Government contributions to their Thrift Savings Plan account after being corrected to FERS and who later elect CSRS Offset under FERCCA keep the Government contributions and associated earnings in their Thrift Savings Plan account. Instead of adjusting the Thrift Savings Plan account, FERCCA requires that the CSRS-Offset annuity be actuarially reduced. Also, survivors that received the FERS Basic Employee Death Benefit and elect CSRS Offset under FERCCA do not have to pay back the Basic Employee Death Benefit. Instead, OPM actuarially reduces the survivor annuity payable. These reductions under FERCCA allow the annuity to be actuarially reduced in a way that, on average, allows the Fund to recover the amount of the missing lump sum over the recipient's lifetime.

The present value factors currently in effect were published by OPM (84 FR 22525) on May 17, 2019. On April 6, 2020, OPM published a notice to revise the normal cost percentage under the Federal Employees' Retirement System (FERS) Act of 1986, Public Law 99-335, based on changed assumptions adopted by the Board of Actuaries of the CSRS. Those changes require corresponding changes in present value factors used to produce actuarially equivalent benefits when required by the Civil Service Retirement Act. The revised factors will become effective on October 1, 2020. For alternative forms of annuity and redeposits of employee contributions, the new factors will apply to annuities that commence on or after October 1, 2020. See 5 CFR 831.2205 and 831.303(c). For survivor election deposits, the new factors will apply to survivor reductions that commence on or after October 1, 2020. See 5 CFR 831.663(c) and (d). For obtaining credit for service with certain nonappropriated fund instrumentalities, the new factors will apply to cases in which the date of computation under sections 847.603 or 847.809 of title 5, Code of Federal Regulations, is on or after October 1, 2020. See 5 CFR 842.602, 842.616, 847.603, and 847.809. For retirement coverage corrections under FERCCA, the new factors will apply to annuities that commence on or after October 1, 2020, or in the case of previous payment of the Basic Employee Death Benefit, the new factors will apply to deaths occurring on or after October 1, 2020. See 5 CFR 839.1114-1121 and 5 CFR 831.303(d).

OPM is, therefore, revising the tables of present value factors to read as follows:

CSRS Present Value Factors Applicable to Annuity Payable Following an Election Under Section 8339(j) or (k) or Section 8343a of Title 5, United States Code, or Under Section 1043 of Public Law 104-106 or Under Section 1132 of Public Law 107-107 or Under FERCCA or Following a Redeposit Under Section 8334(d)(2) of Title 5, United States Code

CSRS Present Value Factors Applicable to Annuity Payable Following an Election Under Section 1043 of Public Law 104-106 or Under Section 1132 of Public Law 107-107 or Under FERCCA