Články

1.1E: Cvičenie pre vektory v rovine - matematika


Pri cvičeniach 1 - 10 zvážte body (P (-1,3), Q (1,5), ) a (R (-3,7) ). Určte požadované vektory a vyjadrite každý z nich

(a.) v podobe komponentov a

(b. ) pomocou štandardných jednotkových vektorov.

1) ( vecd {PQ} )

Odpoveď:
a. ( vecd {PQ} = ⟨2,2⟩ )
b. ( vecd {PQ} = 2 hat { mathbf i} +2 hat { mathbf j} )

2) ( vecd {PR} )

3) ( vecd {QP} )

Odpoveď:
a. ( vecd {QP} = ⟨− 2, −2⟩ )
b. ( vecd {QP} = - 2 hat { mathbf i} −2 hat { mathbf j} )

4) ( vecd {RP} )

5) ( vecd {PQ} + vecd {PR} )

Odpoveď:
a. ( vecd {PQ} + vecd {PR} = ⟨0,6⟩ )
b. ( vecd {PQ} + vecd {PR} = 6 hat { mathbf j} )

6) ( vecd {PQ} - vecd {PR} )

7) (2 vecd {PQ} −2 vecd {PR} )

Odpoveď:
a. (2 vecd {PQ} → −2 vecd {PR} = ⟨8, −4⟩ )
b. (2 vecd {PQ} −2 vecd {PR} = 8 hat { mathbf i} −4 hat { mathbf j} )

8) (2 vecd {PQ} + frac {1} {2} vecd {PR} )

9) Jednotkový vektor v smere ( vecd {PQ} )

Odpoveď:
a. ( left langle frac { sqrt {2}} {2}, frac { sqrt {2}} {2} right rangle )
b. ( frac { sqrt {2}} {2} hat { mathbf i} + frac { sqrt {2}} {2} hat { mathbf j} )

10) Jednotkový vektor v smere ( vecd {PR} )

11) Vektor ({ presahujúci { scriptstyle rightharpoonup} { mathbf v}} ) má počiatočný bod ((- - 1, -3) ) a koncový bod ((2,1) ). Nájdite jednotkový vektor v smere ( vecs v ). Odpoveď vyjadrte ako súčasť.

Odpoveď:
(⟨ Frac {3} {5}, frac {4} {5}⟩ )

12) Vektor ( vecs v ) má počiatočný bod ((- 2,5) ) a koncový bod ((3, -1) ). Nájdite jednotkový vektor v smere ( vecs v ). Odpoveď vyjadrte ako súčasť.

13) Vektor ( vecs v ) má počiatočný bod (P (1,0) ) a koncový bod (Q ), ktorý je na osi (y ) - a nad počiatočným bodom. Nájdite súradnice koncového bodu (Q ) tak, aby veľkosť vektora ( vecs v ) bola ( sqrt {5} ).

Odpoveď:
(Q (0,2) )

14) Vektor ( vecs v ) má počiatočný bod (P (1,1) ) a koncový bod (Q ), ktorý je na osi (x ) - a naľavo od počiatočného bodu. Nájdite súradnice koncového bodu (Q ) tak, aby veľkosť vektora ( vecs v ) bola ( sqrt {10} ).

Pre cvičenia 15 a 16 používajte dané vektory ( vecs a ) a ( vecs b ).

a. Určte vektorový súčet ( vecs a + vecs b ) a vyjadrite ho v zloženom tvare aj pomocou štandardných jednotkových vektorov.

b. Nájdite vektorový rozdiel ( vecs a - vecs b ) a vyjadrite ho ako vo forme komponentov, tak aj pomocou štandardných jednotkových vektorov.

c. Overte, či vektory ( vecs a, , vecs b, ) a ( vecs a + vecs b ) a ( vecs a, , vecs b ) a ( vecs a− vecs b ) uspokoja nerovnosť trojuholníka.

d. Určte vektory (2 vecs a, - vecs b, ) a (2 vecs a− vecs b. ) Vyjadrite vektory ako vo forme komponentov, tak aj pomocou štandardných jednotkových vektorov.

15) ( vecs a = 2 hat { mathbf i} + hat { mathbf j}, vecs b = hat { mathbf i} +3 hat { mathbf j} )

Odpoveď:
(a. , vecs a + vecs b = ⟨3,4⟩, quad vecs a + vecs b = 3 hat { mathbf i} +4 hat { mathbf j} )
(b. , vecs a− vecs b = ⟨1, -2⟩, quad vecs a− vecs b = hat { mathbf i} −2 hat { mathbf j} )
(asi.) Odpovede sa budú líšiť
(d. , 2 vecs a = ⟨4,2⟩, quad 2 vecs a = 4 hat { mathbf i} +2 hat { mathbf j}, quad - vecs b = ⟨ −1, −3⟩, quad - vecs b = - hat { mathbf i} −3 hat { mathbf j}, quad 2 vecs a− vecs b = ⟨3, −1⟩, quad 2 vecs a− vecs b = 3 hat { mathbf i} - hat { mathbf j} )

16) ( vecs a = 2 hat { mathbf i}, vecs b = −2 hat { mathbf i} +2 hat { mathbf j} )

17) Nech ( vecs a ) je vektor so štandardnou pozíciou s koncovým bodom ((- 2, −4) ). Nech ( vecs b ) je vektor s počiatočným bodom ((1,2) ) a koncovým bodom ((- 1,4) ). Nájdite veľkosť vektora (- 3 vecs a + vecs b − 4 hat { mathbf i} + hat { mathbf j}. )

Odpoveď:
(15)

18) Nech ( vecs a ) je vektor so štandardnou pozíciou s koncovým bodom v ((2,5) ). Nech ( vecs b ) je vektor s počiatočným bodom ((- 1,3) ) a koncovým bodom ((1,0) ). Nájdite veľkosť vektora ( vecs a − 3 vecs b + 14 hat { mathbf i} −14 hat { mathbf j}. )

19) Nech ( vecs u ) a ( vecs v ) sú dva nenulové vektory, ktoré nie sú rovnocenné. Zvážte vektory ( vecs a = 4 vecs u + 5 vecs v ) a ( vecs b = vecs u + 2 vecs v ) definované z hľadiska ( vecs u ) a ( vecs v ). Nájdite skalár (λ ) taký, aby vektory ( vecs a + λ vecs b ) a ( vecs u− vecs v ) boli ekvivalentné.

Odpoveď:
(λ = -3)

20) Nech ( vecs u ) a ( vecs v ) sú dva nenulové vektory, ktoré nie sú rovnocenné. Zvážte vektory ( vecs a = 2 vecs u − 4 vecs v ) a ( vecs b = 3 vecs u − 7 vecs v ) definované z hľadiska ( vecs u ) a ( vecs v ). Nájdite skaláre (α ) a (β ) také, aby vektory (α vecs a + β vecs b ) a ( vecs u− vecs v ) boli ekvivalentné.

21) Uvažujme vektor ( vecs a (t) = ⟨ cos t, sin t⟩ ) s komponentmi, ktoré závisia od skutočného čísla (t ). Pretože sa počet (t ) líši, menia sa aj komponenty ( vecs a (t) ) v závislosti od funkcií, ktoré ich definujú.

a. Napíšte vektory ( vecs a (0) ) a ( vecs a (π) ) v podobe komponentov.

b. Ukážte, že veľkosť (∥ vecs a (t) ∥ ) vektora ( vecs a (t) ) zostáva konštantná pre akékoľvek reálne číslo (t ).

c. Pretože (t ) sa mení, ukážte, že koncový bod vektora ( vecs a (t) ) popisuje kružnicu so stredom v počiatku polomeru (1 ).

Odpoveď:
(a. , vecs a (0) = ⟨1,0⟩, quad vecs a (π) = ⟨− 1,0⟩ )
(b. ) Odpovede sa môžu líšiť
(asi.) Odpovede sa môžu líšiť

22) Zvážte vektor ( vecs a (x) = ⟨x, sqrt {1 − x ^ 2}⟩ ) so zložkami, ktoré závisia od skutočného čísla (x∈ [−1,1] ). Pretože sa počet (x ) líši, menia sa aj komponenty ( vecs a (x) ) v závislosti od funkcií, ktoré ich definujú.

a. Napíšte vektory ( vecs a (0) ) a ( vecs a (1) ) v podobe komponentov.

b. Ukážte, že veľkosť (∥ vecs a (x) ∥ ) vektora ( vecs a (x) ) zostáva konštantná pre akékoľvek reálne číslo (x ).

c. Pretože (x ) sa mení, ukážte, že koncový bod vektora ( vecs a (x) ) popisuje kružnicu so stredom v počiatku polomeru (1 ).

23) Ukážte, že vektory ( vecs a (t) = ⟨ cos t, sin t⟩ ) a ( vecs a (x) = ⟨x, sqrt {1 − x ^ 2}⟩ ) sú ekvivalentné pre (x = 1 ) a (t = 2kπ ), kde (k ) je celé číslo.

Odpoveď: Odpovede sa môžu líšiť

24) Ukážte, že vektory ( vecs a (t) = ⟨ cos t, sin t⟩ ) a ( vecs a (x) = ⟨x, sqrt {1 − x ^ 2}⟩ ) sú opačné pre (x = 1 ) a (t = π + 2kπ ), kde (k ) je celé číslo.

Pre cvičenia 25 - 28 nájdite vektor ( vecs v ) s danou veľkosťou a v rovnakom smere ako vektor ( vecs u ).

25) ( | vecs v | = 7, quad vecs u = ⟨3,4⟩ )

Odpoveď:
( vecs v = ⟨ frac {21} {5}, frac {28} {5}⟩ )

26) (‖ vecs v‖ = 3, quad vecs u = ⟨− 2,5⟩ )

27) (‖ vecs v‖ = 7, quad vecs u = ⟨3, −5⟩ )

Odpoveď:
( vecs v = ⟨ frac {21 sqrt {34}} {34}, - frac {35 sqrt {34}} {34}⟩ )

28) (‖ vecs v‖ = 10, quad vecs u = ⟨2, −1⟩ )

Pre cvičenia 29-34 nájdite zložkovú formu vektora ( vecs u ) vzhľadom na jeho veľkosť a uhol, ktorý vektor s pozitívnou osou (x ) -. Ak je to možné, dajte presné odpovede.

29) (‖ vecs u‖ = 2, θ = 30 ° )

Odpoveď:
( vecs u = ⟨ sqrt {3}, 1⟩ )

30) (‖ vecs u‖ = 6, θ = 60 ° )

31) (‖ vecs u‖ = 5, θ = frac {π} {2} )

Odpoveď:
( vecs u = ⟨0,5⟩ )

32) (‖ vecs u‖ = 8, θ = π )

33) (‖ vecs u‖ = 10, θ = frac {5π} {6} )

Odpoveď:
( vecs u = ⟨− 5 sqrt {3}, 5⟩ )

34) (‖ vecs u‖ = 50, θ = frac {3π} {4} )

Pri cvičeniach 35 a 36 je uvedený vektor ( vecs u ). Nájdite uhol (θ∈ [0,2π) ), ktorý vektor ( vecs u ) zviera s kladným smerom osi (x ) - proti smeru hodinových ručičiek.

35) ( vecs u = 5 sqrt {2} hat { mathbf i} −5 sqrt {2} hat { mathbf j} )

Odpoveď:
(θ = frac {7π} {4} )

36) ( vecs u = - sqrt {3} hat { mathbf i} - hat { mathbf j} )

37) Nech ( vecs a = ⟨a_1, a_2⟩, vecs b = ⟨b_1, b_2⟩ ) a ( vecs c = ⟨c_1, c_2⟩ ) sú tri nenulové vektory. Ak (a_1b_2 − a_2b_1 ≠ 0 ), potom ukážte, že existujú dva skaláre (α ) a (β ) také, že ( vecs c = α vecs a + β vecs b. )

Odpoveď: Odpovede sa môžu líšiť

38) Zvážte vektory ( vecs a = ⟨2, −4⟩, vecs b = ⟨− 1,2⟩, ) a ( vecs c = vecs 0 ) Určte skaláre (α ) a (β ) také, že ( vecs c = α vecs a + β vecs b ).

39) Nech (P (x_0, f (x_0)) ) je pevný bod v grafe diferencovateľnej funkcie (f ) s doménou, ktorá je množinou reálnych čísel.

a. Určte skutočné číslo (z_0 ) také, aby bod (Q (x_0 + 1, z_0) ) bol umiestnený na priamke dotyčnicu ku grafu (f ) v bode (P ).

b. Určte jednotkový vektor ( vecs u ) s počiatočným bodom (P ) a koncovým bodom (Q ).

Odpoveď:
(a. quad z_0 = f (x_0) + f ′ (x_0); quad b. quad vecs u = frac {1} { sqrt {1+ [f ′ (x_0)] ^ 2} } ⟨1, f ′ (x_0)⟩ )

40) Zvážte funkciu (f (x) = x ^ 4, ) kde (x∈R ).

a. Určte skutočné číslo (z_0 ) také, aby bod (Q (2, z_0) ) s ležal na priamke dotýkajúcej sa grafu (f ) v bode (P (1,1) ).

b. Určte jednotkový vektor ( vecs u ) s počiatočným bodom (P ) a koncovým bodom (Q ).

41) Uvažujme (f ) a (g ) dve funkcie definované pre rovnakú množinu reálnych čísel (D ). Nech ( vecs a = ⟨x, f (x)⟩ ) a ( vecs b = ⟨x, g (x)⟩ ) sú dva vektory, ktoré popisujú grafy funkcií, kde (x∈ D ). Ukážte, že ak sa grafy funkcií (f ) a (g ) nepretínajú, potom vektory ( vecs a ) a ( vecs b ) nie sú ekvivalentné.

42) Nájdite (x∈R ) také, aby vektory ( vecs a = ⟨x, sin x⟩ ) a ( vecs b = ⟨x, cos x⟩ ) boli ekvivalentné.

43) Vypočítajte súradnice bodu (D ) tak, že (ABCD ) je rovnobežník, s (A (1,1), B (2,4) ) a (C (7,4 ) ).

Odpoveď:
(D (6,1) )

44) Zvážte body (A (2,1), B (10,6), C (13,4) ) a (D (16, -2) ). Určte zložkovú formu vektora ( vecd {AD} ).

45) rýchlosť objektu je veľkosť jeho súvisiaceho vektora rýchlosti. Futbal vyhodený rozohrávačom má počiatočnú rýchlosť (70 ) mph a uhol prevýšenia (30 ° ). Určte vektor rýchlosti v mph a vyjadrite ho v zloženom tvare. (Zaokrúhlené na dve desatinné miesta.)

Odpoveď:
(⟨60.62,35⟩)

46) Hráč bejzbalu hodí bejzbalku pod uhlom (30 ° ) s vodorovnou čiarou. Ak je počiatočná rýchlosť lopty (100 ) mph, nájdite vodorovnú a zvislú zložku vektora počiatočnej rýchlosti bejzbalu. (Zaokrúhlené na dve desatinné miesta.)

47) Guľka je vystrelená s počiatočnou rýchlosťou (1500 ) ft / s pod uhlom (60 ° ) s horizontálou. Nájdite vodorovnú a zvislú zložku vektora rýchlosti strely. (Zaokrúhlené na dve desatinné miesta.)

Odpoveď:
Horizontálna a vertikálna zložka sú (750 ) ft / s, respektíve (1299,04) ft / s.

48) [T] Šprintér s hmotnosťou 65 kg vyvíja silu (798 ) N v uhle (19 ° ) vzhľadom na zem na štartový blok v okamihu, keď sa začne závod. Nájdite vodorovnú zložku sily. (Zaokrúhlené na dve desatinné miesta.)

49) [T] Dve sily, horizontálna sila (45 ) lb a ďalšia z (52 ) lb, pôsobia na ten istý objekt. Uhol medzi týmito silami je (25 ° ). Nájdite veľkosť a smerový uhol od kladnej osi (x ) výslednej sily, ktorá pôsobí na objekt. (Zaokrúhlené na dve desatinné miesta.)

Odpoveď:
Veľkosť výslednej sily je (94,71 ) lb; smerový uhol je (13,42 ° ).

50) [T] Dve sily, vertikálna sila (26 ) lb a ďalšia z (45 ) lb, pôsobia na ten istý objekt. Uhol medzi týmito silami je (55 ° ). (Zaokrúhlené na dve desatinné miesta.)

51) [T] Na objekt pôsobia tri sily. Dve zo síl majú veľkosti (58 ) N a (27 ) N a zvierajú uhly (53 ° ) a (152 ° ) s kladnou osou (x ) . Nájdite veľkosť a smerový uhol od kladnej osi (x ) tretej sily tak, aby výsledná sila pôsobiaca na objekt bola nulová. (Zaokrúhlené na dve desatinné miesta.)

Odpoveď:
Veľkosť tretieho vektora je (60,03 ) N; smerový uhol je (259,38 ° ).

52) Tri sily s veľkosťami 80 lb, 120 lb a 60 lb pôsobí na objekt v uhloch (45 °, 60 ° ) a (30 ° ) s kladnou osou (x ). Nájdite veľkosť a smerový uhol od kladnej osi (x ) - výslednej sily. (Zaokrúhlené na dve desatinné miesta.)

53) [T] Letún letí v smere (43 ° ) východne na sever (tiež v skratke (N43E ) rýchlosťou (550 ) mph. Vietor s rýchlosťou (25 ) km / h pochádza z juhozápadu so zameraním (N15E ). Aká je pozemná rýchlosť a nový smer letúna?

Odpoveď:
Nová pozemná rýchlosť letúna je (572,19 ) mph; nový smer je (N41.82E. )

54) [T] Loď cestuje vo vode rýchlosťou (30) míľ / h v smere (N20E) (to znamená (20 °) na východ od severu). Silný prúd sa pohybuje rýchlosťou (15 ) mph v smere (N45E ). Aká je nová rýchlosť a smer člna?

55) [T] Závažie 50 lb je zavesené za kábel tak, aby jeho dve časti zvierali s horizontálou uhly (40 ° ) a (53 ° ). Nájdite veľkosti síl napätia ( vecs T_1 ) a ( vecs T_2 ) v kábloch, ak je výsledná sila pôsobiaca na objekt nulová. (Zaokrúhlené na dve desatinné miesta.)

Odpoveď:
( | vecs T_1 | = 30,13 , lb, quad | vecs T_2 | = 38,35 , lb )

56) [T] Závažie 62 lb visí z lana, ktoré zviera s horizontálou uhly (29 ° ) a (61 ° ). (Zaokrúhlené na dve desatinné miesta.)

57) [T] Loď s hmotnosťou 1 500 lb je zaparkovaná na rampe, ktorá s horizontálou zviera uhol (30 ° ). Váhový vektor člna smeruje nadol a je súčtom dvoch vektorov: horizontálneho vektora ( vecs v_1 ), ktorý je rovnobežný s rampou, a vertikálneho vektora ( vecs v_2 ), ktorý je kolmý na šikmú plochu. Veľkosti vektorov ( vecs v_1 ) a ( vecs v_2 ) sú vodorovnou a zvislou zložkou vektora hmotnosti člna. Nájdite veľkosti ( vecs v_1 ) a ( vecs v_2 ). (Zaokrúhlené na celé číslo.)

Odpoveď:
( | vecs v_1 | = 750 , lb, quad | vecs v_2 | = 1299 , lb )

58) [T] Skrinka s hmotnosťou 85 lb je v pokoji v svahu (26 ° ). Určte veľkosť sily rovnobežnej so sklonom, ktorá je nevyhnutná na zabránenie kĺzania skrinky. (Zaokrúhlené na celé číslo.)

59) Guyanský drôt podporuje tyč, ktorá je vysoká (75) stôp. Jeden koniec drôtu je pripevnený k hornej časti stĺpa a druhý koniec je ukotvený k zemi od základne stĺpa. Určte vodorovnú a zvislú zložku sily napätia v drôte, ak je jeho veľkosť (50 lb) (zaokrúhlené na najbližšie celé číslo).

Odpoveď:
Dve horizontálne a vertikálne zložky sily v ťahu sú (28 ) lb a (42 ) lb.

60) Kotevný drôt telefónneho stožiara má uhol vyvýšenia (35 ° ) vzhľadom na zem. Sila napätia v kotvovom drôte je (120 ) lb. Nájdite vodorovnú a zvislú zložku sily napätia. (Zaokrúhlené na celé číslo.)

Prispievatelia

Gilbert Strang (MIT) a Edwin „Jed“ Herman (Harvey Mudd) s mnohými prispievajúcimi autormi. Tento obsah spoločnosti OpenStax je licencovaný s licenciou CC-BY-SA-NC 4.0. Stiahnite si zadarmo na http://cnx.org.


Druhá polovica tejto lekcie vyžaduje ľahkú trigonometriu, konkrétne použitie sínusových a kosínusových funkcií.

Súčasťou stredoškolského kurzu astronómie, newtonovskej mechaniky a kozmických letov
David P. Stern

Tento plán lekcie dopĺňa: & # 34Vektory, & # 34 časť # 14
http://www.phy6.org/stargaze/Svector.htm

    Poznámka: V tejto lekcii sú použité vektory a trieda musí s určitým spôsobom ich označenia na tabuli a v zošite odsúhlasiť. V tomto pláne lekcie budú všetky vektorové veličiny podčiarknuté.

    O definícii a účele vektorov v matematike a fyzike.

Výrazy: Vektor, sčítanie vektorov, vektorové komponenty, veľkosť vektora, vektorové komponenty rovnobežné a kolmé na daný smer.

Príbehy a doplnky: Žiadne, avšak odsek 22a o leteckej doprave má niekoľko zaujímavých aplikácií, ktoré by po tejto lekcii mohli nasledovať.

Dnes diskutujeme o vektoroch, matematických objektoch, ktoré majú nielen veľkosť, veľkosť, spôsob, akým majú bežné čísla, ale aj smer, ktorým ukazujú. Možno k nim pristupovať rôznymi spôsobmi.

      Možno ich chápať ako širšiu definíciu slova čísla. Čísla je možné definovať po etapách, z ktorých každá zovšeobecňuje predchádzajúcu, ale pokrýva širšiu triedu, napríklad kruhy v kruhoch. (Ilustrujte na tabuli riadkom, na ktorom sú označené čísla, do tabuľky tiež napíšte podčiarknuté výrazy - každý nový pod predchádzajúce.).

Najskoršie čísla boli celé čísla: 1,2,3,4. a tak ďalej, vynájdené veľmi skoro, na praktické účely - povedzme, počítanie oviec, keď prišli domov, aby sa zabezpečilo, že žiadne nechýbajú.

Potom záporné čísla: & # 82111, & # 82112, & # 82113. --dlhuješ mi jednu, dve, tri ovce. Tiež nula, čo sa považovalo za číslo iba dosť neskoro.

Potom zlomky- 1/2, 1/3, tiež 7/12 alebo 3/7 atď. Egypťania poznali iba prvý druh a napísali 3. a 4. zlomok ako (1/2) + (1/12) a ako (1/3) + (1/12) + (1/84). Tiež desatinné zlomky.

Potom & # 34iracionálne čísla& # 34 ako druhá odmocnina z 2, ktorú nemožno zapísať ako akýkoľvek zlomok (existuje jednoduchý dôkaz). Všetky tieto dohromady sú známe ako reálne čísla.

Čo ďalej? . Existuje niekoľko spôsobov, ako rozšíriť koncept čísel na ešte širšie triedy - ktoré spolu s reálnymi číslami zahŕňajú ďalšie veličiny, s ktorými je možné manipulovať.

Samozrejme, pre tieto doplnky musíme dať nejaké. Na skutočné číslo sa dá pozerať ako na dĺžku osamelého. Pri širších definíciách už také jednoduché interpretácie nemusia fungovať.

Napríklad môžeme zahrnúť(komplexné čísla) ktoré zahŕňajú i, druhú odmocninu z (& # 82111) a výrazy ako a + bi, kde a a b sú reálne čísla. To je smer, ktorým sa dnes nepôjdeme (preto bol tento termín napísaný v zátvorkách). Možno však mimochodom poznamenať, že komplexné čísla majú úzke spojenie s vektormi v 2 dimenziách.

Takže namiesto toho, čo to bude? Všetko vyššie uvedené môže súvisieť s body pozdĺž čiary: celé čísla sú izolované body, zdá sa, že zlomky vypĺňajú medzery medzi nimi pomerne husto, ale stále nechávajú dostatok priestoru na to, aby sa vmestili do iracionálov.

Teraz sú pravdepodobne pokryté všetky body na čiare. Za každé číslo, ktoré môžeme dať šíp na riadku vzdialenosť od nuly k uvedenému číslu - šípky doprava (povedzme) pre kladné čísla, vľavo pre negatívny tie.

Vektory sú matematické objekty, ktoré reprezentujú šípky v ľubovoľnom smere- v rovine, dokonca v 3 rozmeroch. to je nová úroveň „čísel“, a to je jeden zo spôsobov, ako sa na ne pozerať.

V algebra, označíme obyčajné čísla („skaláre“) s písmenami. Ak chceme ukázať množstvo je a vektor, označte ho šípkou hore, alebo podčiarknutie alebo (hlavne v knihách) v odvážna tvár. Vo webových súboroch „Stargazers“ sa, bohužiaľ, na zvýraznenie množstiev používa tučná tvár, takže táto konvencia je nedodržiavané a budete musieť rozlíšiť vektory od ich kontextu.

    Matematici vymysleli všeličo zvláštne zovšeobecnenia čísel. Najzaujímavejšie sú tie s dobré aplikácie.

Vektory dovoľte nám zastupovať rýchlosti.
Letíme lietadlom a medzitým ho vietor tlačí do strany - ako postupujeme vzhľadom k zemi? Vektory na to pomáhajú odpovedať.

Podobne sily, zrýchlenia, magnetické polia z viacerých zdrojov sú všetky pridané ako vektory. Inžinieri, ktorí zostavili a Most alebo a budova a chcete sa uistiť, že sú všetky sily vyvážené atď., potrebujete vektory.

Dosť bolo rozprávania o ich - nejaké príklady?

Najjednoduchší druh je vysídlenie (nakreslite na palubu mapu USA a použite ju). Vezmete ceruzku a vytesníte ju New York do Chicago, potom od Chicago do Seattle. Výsledný efekt je rovnaký, ako keby sme ceruzku premiestnili z New York do Seattle.

Presun z New Yorku do Chicaga je toto šípka.
Z Chicaga do Seattlu - toto šípka
Z New Yorku do Seattlu -táto šípka, a my hovoríme, že je to vektorový súčet z ďalších dvoch šípok.

Môže to vyzerať ako zvláštny spôsob pridávania - ale takto tiež pridávate rýchlosti a sily a magnetické polia.

Sprievodné otázky a ďalšie oznamy s navrhovanými odpoveďami.

--Aká je grafická metóda pridania dvoch vektorov?

    Chvost druhej položte na hlavu prvej - suma je od chvosta prvej po hlavu druhej

- Je rozdiel, ktorý z týchto dvoch sa pridá prvý a ktorý druhý?

- Prečo? (Učiteľ predvedie na tabuli.

    Povedzme, že pridáme dva vektory a a b.
    Pridávanie
    & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp a + b dáva jeden trojuholník
    Pridávanie
    & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp b + a dáva zrkadlový trojuholník.

Oba trojuholníky je možné spojiť do jedného rovnobežníka (zobraziť na tabuli). V obidvoch prípadoch je súčet uhlopriečkou rovnobežníka - rovnaká uhlopriečka v obidvoch prípadoch. UL>

- Kedy vektory pridávajú podobné čísla?

Keď sú všetci rovnakou líniou.
--Ale vektory pozdĺž čiary môžu mať dva smery!
To je pravda - vektory v jednom smere sa počítajú +, v druhom & # 8211

Nasledujúce otázky sú iba stručnými poznámkami: učiteľ môže pridať vážnejšie. - Vaša loď môže dosiahnuť 10 míľ za hodinu, ale rieka tečie rýchlosťou 5 míľ / h. Aká je vaša rýchlosť vzhľadom na pobrežie smerujúce (a) proti prúdu (b) po prúde?

--Beháte rýchlosťou 5 míľ / h na bežiacom páse, ale nikam sa nedostaňte. Prečo?

- Vaše lietadlo letí na sever rýchlosťou 120 km / h, zatiaľ čo vietor fúka od západu rýchlosťou 50 km / h. Aká je vaša & # 34zemská rýchlosť & # 34 V, v porovnaní s pevninou nižšie?

    V 2 = 12 2 + 5 2 = 14 400 + 2 500 = 16 900. V = 130 km / h.

--Predpokladajme, že dostanete vektor v rovine (na hárku papiera, na mape atď.) Čo to znamená vyriešiť do jeho zložiek “?

    Pretože smery rýchlosti vzduchu a rýchlosti vetra môžu mať nepárne uhly.
    Namiesto toho, aby sme sa zaoberali týmito uhlami, je jednoduchšie rozdeliť každý na severo-južný a východo-západný komponent, spočítať komponenty v každom smere (ako čísla) a potom znovu vytvoriť súčet.

--Letadlo letí rýchlosťou 120 km / h v smere 17.13 & # 176 západne od severu (smerom na severozápad). Vietor fúka rýchlosťou 50 mph na juhovýchod, 45 & # 176 zo smeru na východ. Akým smerom sa lietadlo pohybuje a ako rýchlo?

    Na sever rýchlosťou 79,32 mph. Poďme V. byť rýchlosť lietadla, Ž rýchlosť vetra a vyriešime tieto vektory v systéme (x, y) s osou x smerujúcou na východ a osou y na sever. Komponenty sú:

Zložky x sa zrušia, celková zložka y je
114.68-35.36 = 79.32

Keď je lopta vyhodená alebo je vystrelená škrupina, je jej pohyb tiež superpozíciou dvoch pohybov, ako to bolo diskutované v & # 34How Things Fall & # 34.

- Poďme otočiť obvyklé osi (x, y) v smere hodinových ručičiek o 90 & # 176, aby sa to stalo dole je smer x a je na neho kolmý, doprava, je smer y.

(Nakreslite na tabuľu). To znamená, že rýchlosti x nadol sú kladné a počiatočná rýchlosť x je u záporná, ak smeruje nahor.

    Počiatočná horizontálna rýchlosť w je tiež pozitívna, keď smeruje doprava

Môžeme vypočítať rýchlosť každého pohybu:

Spolu dávajú vektor rýchlosti V.. Vektor posunu S má podobné komponenty:

--Spúšťame pištoľ rýchlosťou 1 000 m / s smerom hore rýchlosťou 45 & # 176 k zemi. Ako ďaleko prejde škrupina pred dopadom na zem (zanedbanie odporu vzduchu - skutočné hodnoty budú menšie). Vezmite g = 10 m / s 2.

    Poznamenávame (u, v) sú (vertikálne, horizontálne) zložky počiatočnej rýchlosti, ktoré môžeme nazvať V0. Takže (streľba povedzme v smere y)

u = -1000 * hriech 45 & # 176 = - 707 m / s
w = 1 000 * cos 45 & # 176 = 707 m / s

Pri dopade SX = 0, takže ut + (1/2) gt 2 = 0

Jedno riešenie je t = 0 - nemá žiadny záujem, iba nám hovorí, že sme začali od úrovne terénu. Vydeľte t (nie je to nula, takže sa ním môžeme deliť)

& # 8211u = (1/2) gt t = & # 82112u / g = 141,4 s
Sr = 99,97 km, približne 100 km.

    Musia prekonať zložku hmotnosti rovnobežnú s povrchom rampy, ktorá je 1 000 * sin 5 & # 176 = 87,15 kg.

Slovníky uvedú niekoľko významov. Jeden z nich, ktorý sa používa na palube plachetníc, označuje ľahkú stuhu alebo priadzu priviazanú k plachte (drôt, ktorý drží stožiar) alebo k plachte na označenie smeru vetra.


1.1E: Cvičenie pre vektory v rovine - matematika

Pre úlohy 1 - 3 si zapíšte rovnicu roviny.

  1. Rovina obsahujúca body ( ľavý (<4, - 3,1> pravý) ), ( ľavý (<- 3, - 1,1> pravý) ) a ( ľavý (< 4, - 2,8> vpravo) ). Riešenie
  2. Rovina obsahujúca bod ( ľavý (<3,0, - 4> pravý) ) a kolmý na priamku danú ( vec r ľavý (t pravý) = ľavý langle <12 - t, 1 + 8t, 4 + 6t> pravý rangle ). Riešenie
  3. Rovina obsahujúca bod ( vľavo (<- 8,3,7> vpravo) ) a rovnobežná s rovinou danou v (4x + 8y - 2z = 45 ). Riešenie

Pri problémoch 4 a 5 určite, či sú dve roviny rovnobežné, kolmé alebo žiadne.

  1. Rovina daná (4x - 9y - z = 2 ) a rovina daná (x + 2y - 14z = - 6 ). Riešenie
  2. Rovina daná (- 3x + 2y + 7z = 9 ) a rovina obsahujúca body ( vľavo (<- 2,6,1> vpravo) ), ( vľavo (<- 2, 5,0> right) ) a ( left (<- 1,4, - 3> right) ). Riešenie

Pri problémoch 6 a 7 určite, kde priamka pretína rovinu, alebo ukážte, že pretína rovinu.


Negatívne vektory

Záporné znamienko obracia smer vektora.

Negatívne vektorové a jednopísmenové (pozičné) vektory

Definuje negatívny vektor a ukazuje, prečo sa vektor ba rovná vektoru -ab. Definuje polohový vektor a uvádza, že vektor, ktorý začína na počiatku, je možné vyjadriť iba z hľadiska jeho koncového bodu, tj.

Negatívny vektor
Zvážte cestu z bodu a do bodu b, po ktorej nasleduje spiatočná cesta z bodu b do bodu a. Z hľadiska vektorov sa to píše ako ab + ba. Celkovo sme sa vrátili tam, kde sme začali, v skutočnosti sme nikam nešli. Tento vektor nazývame O a považujeme ho za číslo 0.

Negatívne vektory
Vektory, ktoré sú v opačnom smere a rovnakej veľkosti

Vyskúšajte bezplatnú Mathway kalkulačku a riešenie problémov nižšie, aby ste si precvičili rôzne matematické témy. Vyskúšajte uvedené príklady alebo zadajte svoj vlastný problém a overte si odpoveď pomocou podrobných vysvetlení.

Uvítame vaše pripomienky, pripomienky a otázky týkajúce sa tejto stránky alebo stránky. Odošlite svoje pripomienky alebo dotazy prostredníctvom našej stránky Spätná väzba.


Grafické znázornenie vektorov

Vektory sú nakreslené ako šípky. Šípka má veľkosť (aká je dlhá) aj smer (smer, ktorým ukazuje). Východiskový bod vektora je známy ako chvost a konečný bod je známy ako hlava.

Obrázok 20.1: Príklady vektorov

Obrázok 20.2: Časti vektora

Pokyny (ESAGL)

Existuje veľa prijateľných metód zápisu vektorov. Pokiaľ má vektor veľkosť a smer, je to s najväčšou pravdepodobnosťou prijateľné. Tieto rôzne metódy pochádzajú z rôznych metód predstavovania smeru vektora.

Relatívne smery

Najjednoduchší spôsob zobrazenia smeru je relatívny smer: doľava, doprava, dopredu, dozadu, hore a dole.

Pokyny pre kompas

Ďalšou bežnou metódou vyjadrovania smerov je použitie bodov kompasu: sever, juh, východ a západ. Ak vektor nesmeruje presne v jednom zo smerov kompasu, potom použijeme uhol. Napríklad môžeme mať vektor smerujúci ( text <40> ) ( text <& # 176> ) na sever od západu. Začnite vektorom smerujúcim na západ (pozrite sa na prerušovanú šípku nižšie), potom vektor otáčajte smerom na sever, až kým nebude uhol ( text <40> ) ( text <& # 176> ) medzi vektorom a smerom na západ (plná šípka dole). Smer tohto vektora možno tiež opísať ako: W ( text <40> ) ( text <& # 176> ) N (západ ( text <40> ) ( text <& # 176> ) Sever) alebo N ( text <50> ) ( text <& # 176> ) W (sever ( text <50> ) ( text <& # 176> ) Západ).

Ložisko

Ďalším spôsobom vyjadrenia smeru je použitie a ložisko. Ložisko je smer vzhľadom na pevný bod. Vzhľadom na iba uhol je konvenciou definovať uhol v smere hodinových ručičiek vzhľadom na sever. Takže vektor so smerom ( text <110> ) ( text <& # 176> ) bol otočený v smere hodinových ručičiek ( text <110> ) ( text <& # 176> ) vo vzťahu k severu. Ložisko sa vždy píše ako trojciferné číslo, napríklad ( text <275> ) ( text <& # 176> ) alebo ( text <080> ) ( text <& # 176> ) (pre ( text <80> ) ( text <& # 176> )).


Cvičenie 3.1.14. Ak dáme dva vektory a v, ukážme, že ich rozdiel je kolmý na ich súčet, len ak sú ich dĺžky rovnaké. Odpoveď: Najprv predpokladáme, že je to ortogonálne. To znamená, že ich & hellip Pokračovať v čítaní & rarr

Cvičenie 3.1.13. Poskytnite obrázok znázorňujúci akciu odosielania priestoru stĺpcov do priestoru riadkov a ľavého prázdneho priestoru na nulu. Odpoveď: Tento príspevok nechávam ako zástupný symbol, kým nebudem mať čas na ilustráciu. & hellip Pokračovať v čítaní & rarr


Precalculus

Komplexná učebnica pokrývajúca témy precalculus. Medzi konkrétne témy patrí trigonometria, komplexné čísla, vektory a matice. Zahŕňa veľa problémov zo súťaží AIME a USAMO.

Prehľad

Precalculus je súčasťou uznávaného študijného programu Umenie riešenia problémov navrhnutého tak, aby napádal študentov stredných a vysokých škôl s vysokým výkonom. Precalculus zahŕňa trigonometriu, komplexné čísla, vektory a matice. Zahŕňa takmer 1 000 úloh, od rutinných cvičení až po mimoriadne náročné úlohy z veľkých matematických súťaží, ako sú napríklad americká Invitational Mathematics Exam a USA Mathematical Olympiad. Takmer polovica problémov má úplné a podrobné riešenie v texte a zvyšok má úplné riešenie v sprievodnej príručke riešení.

Rovnako ako u všetkých kníh v sériách Úvod a Intermediate v kategórii Umenie riešenia problémov, Precalculus je štruktúrovaná tak, aby inšpirovala čitateľa pri objavovaní a rozvíjaní nových myšlienok. Každá časť začína problémami, takže študent má šancu vyriešiť ich bez pomoci skôr, ako bude pokračovať. Text potom obsahuje riešenia týchto problémov, prostredníctvom ktorých sa vyučujú nové techniky. V texte sú zdôraznené dôležité fakty a účinné prístupy k riešeniu problémov.


1.1E: Cvičenie pre vektory v rovine - matematika

Tento geometrický uhol pohľadu je zjavne užitočný, keď chceme modelovať pohyb alebo zmeny tvaru objektu pohybujúceho sa v rovine alebo v 3-priestore. Je to však užitočné aj vo vyšších dimenziách. Myšlienka, že ktorúkoľvek maticu je možné považovať za produkt jednoduchších matíc, ktoré zodpovedajú vyšším dimenzionálnym verziám rotácie, reflexie, priemetu, strihu, dilatácie a kontrakcie, má pre čistých aj aplikovaných matematikov obrovský význam.

Lineárne mapy vedú paralelogramy k rovnobežníkom

Cvičenie 1: Všeobecne možno rovnobežník v rovine opísať pomocou vektorov. Zbierka všetkých bodov formulára

(kde p, u a v sú vektory a a a b sú skaláre) bude rovnobežník s vrcholmi v bodoch p, p + u, p + u + va p + v. Nájsť p, u a v pre rovnobežník P s vrcholmi na (1,2), (3,3), (4,4), (2,3) - všimnite si, že to môžete urobiť štyrmi spôsobmi. Ak T je lineárna transformácia definovaná T (X) = AX, kde A je matica 2 x 2, potom ukážte, že obrázok T (P) je tiež rovnobežník nájdením jeho vektorového popisu. Ukážte, že vrcholy transformovaného rovnobežníka sú nájdené transformáciou vrcholov pôvodného rovnobežníka P.

Grafické obrázky v programe MATLAB

Bežné použitie zápletka je zobrať zoznam dátových bodov a nakresliť ich grafom a spojiť ich s úsečkami. Napríklad spárujte každé číslo v prvom zozname so zodpovedajúcim číslom v druhom zozname, aby ste získali údajové body (1,2), (3,3), (4,4), (2,3) a (1 , 2) znova. Vyššie uvedený príkaz teda vytvorí graf rovnobežníka P s týmito bodmi ako vrcholy. Osy môžeme upraviť tak, aby paralelogram nevyplnil celé okno grafu príkazom ako A príkaz dole prinúti MATLAB použiť rovnakú mierku na vertikálnej aj horizontálnej osi. Zvážte lineárnu mapu definovanú symbolom (u, v) = (x - y, x + y). Ďalej chceme vytvoriť graf, ktorý bude obsahovať jednu kópiu roviny pomocou obvyklých X a r súradnica a ďalšia kópia roviny, kde budeme nazývať vodorovnú súradnicu u a vertikálna súradnica v. V xy-rovina nakreslíme rovnobežník P a v uv-rovina nakreslíme jej transformáciu pod danú lineárnu mapu.
Príkaz MATLAB čiastkový graf umožňuje nám vytvoriť m x n pole grafov všetko v rovnakom okne. V tomto prípade urobíme dva pozemky vedľa seba. First we compute the vertex points for the transformed parallelogram: Next we build the plots: Since we want an array of plots with one row and two columns we start with subplot(1,2. ). When we are ready to give the details of the first plot we use subplot(1,2,1) and for the second plot we use subplot(1,2,2). In the first plot the horizontal axis is labeled X, the vertical axis is labeled r and the whole plot is in a window where X runs from -8 to 8 and so does y. There are further details to specify but we are out of room on this line. The three dots at the end allow us to continue the command on the next line. We force MATLAB to use the same scale on the vertical and horizontal axes and we give the plot a descriptive title. The second plot is very similar.

The geometric effect of the transformation (u,v) = (x + y, x - y) is clearer if we look at how the unit square transforms. It also helps to look at what happens when we apply the same transformation repeatedly. To make this easier we will use matrices. We begin as before by setting up a vectors X and r that correspond to the vertices of the unit square: Now instead of simply working with x and y as we did above, it is easier in the long run if we make a matrix S whose columns contain the vertices of the square. In other words, our vector x will be the first row of S and the vector y will be the second row: Since the vertices of the square are now listed as the columns of the matrix S, we can easily transform them. We just define the coefficient matrix for our transformation, in this case: and then multiply: We can then transform further if we wish:

Transforming a Disk

NOTE: Be sure to use the plotting optionaxis equal in the exercises below. This ensures that your disks will be round, not elliptical. Typically, the transformed disk will be elliptical and you want to get a true picture of how the disk changed under the linear transformation.

Exercise 2: Poďme S be the unit square and let T be the transformation T(x,y) = (x - y, x + y) as discussed in the examples above. Plot S, T(S), T(T(S))a T(T(T(S))) together on the same coordinate axes. Label each figure and summarize your results - that is, explain the geometric effect of the transformation T as clearly as you can.

Exercise 3: Consider the linear transformation defined by T(x,y) = (0.8x, 1.4y). What is the geometric effect of this transformation? Plot the disk D together with its transform T(D). Also include the figure you get by applying T to D five times. Label each of the three figures by hand or using the menu bars in your MATLAB plot window to add text to your plot. Again, be sure to use the axis equal option so that disks look like disks, not ellipses. What will the limit figure look like if we continue transforming by T forever?

  • Plot the unit disk D together with its transform T(D). Label each figure.
  • Plot D together with T(T(D)) and label each figure.
  • Plot D together with T(T(T(D))) and label each figure.
  • What will the limit figure look like if we continue to transform?
  • Find a single matrix for this combined transformation and use it to plot the disk D together with its transform. (This transform will be an ellipse.)
  • Find a unit vector u na D that maps to the semimajor axis of the ellipse. What is the length of the semimajor axis? What angle does it make with the standard coordinate vector e1? You may find it useful to add a grid to your plot. You can do this by typing grid on in the MATLAB command window (just as you used commands like axis equal to adjust the plot).
  • Find a unit vector v na D that maps to the semiminor axis of the ellipse. What is the length of the semiminor axis? What angle does it make with the standard coordinate vector e2?
  • For the ellipse T(D) in exercise 4, find a vector u in the first quadrant that forms the semimajor axis of the ellipse. Find its length and draw it in by hand on a plot of D together with T(D). You may find it helpful to put a grid onto your plot of D and T(D). This can be done by typing grid on in the MATLAB command window.
  • Similarly, find a vector v in the fourth quadrant that forms the semiminor axis of the ellipse and compute its length.
  • Find vectors in the original disk that map to the vectors u and v that lie along the elliptical axes.
  • Decompose the transformation (x,y) -> (2x+y,x+y) from exercise 4 into a sequence of rotations and stretchings similar to those in exercise 5.

Exercise 8: Consider the basic shearing transformation (x,y) -> (x + y, y). As we discussed in class, this is a shear parallel to the horizontal axis. What happens if we consider the following sequence of transformations? If we first rotate by 45 degrees the horizontal axis moves into the line y = x. Then apply the shear (x,y) -> (x+y,y). Finally, rotate in the opposite direction by 45 degrees. What is the combined geometric effect and what is the matrix of the resulting transformation?

Exercise 9: A translation is a particularly simple kind of transformation -- for example, a map of the form (x,y) -> (x + 2, y -3) takes any figure and slides it right by 2 and down by 3. This is not a linear transformation since it cannot be expressed as a matrix A times the vector (x,y). We can use a simple trick called homogeneous coordinates to get around this difficulty if we want to combine translations with rotations or other linear transformations. We simply use (x,y,1) instead of (x,y) to talk about points in the plane. With this change of coordinate system, the translation above becomes (x,y,1) maps to (x + 2, y + 3, 1) and this we can describe this using matrix multiplication:
Rotation through an angle t can easily be translated into these coordinates as well: Multiplying these 3 x 3 matrices corresponds to composing these transformations on the plane. Find the matrix for reflection across the line y = x followed by translation by the vector (3,4).


8.5 Component and Projection

Since cos() is between 𕒵 and 1, compvu is a scalar between −|u| and |u|. In fact, it is easy to calculate that compvu = |u| exactly when u is in the direction of v and compvu = −|u| exactly when u is in the direction opposite that of v.

Projection of u na v

As you might guess from the note above concerning the value of compvu kedy u is parallel to v, it turns out that projvu = u exactly when u and v are parallel.

In this problem you are given two non-zero vectors and asked to find both compvu and projvu.

Finding Component and Projection

Note to Reviewers

We include a sample set of questions to be included in the Student Guide. These are based on the exercises in the applets and the content of each section. They are intended to be used for homework assignments and for the student to work on paper.


Combining (Rotation) Matrices

We have learned in the previous chapter that multiplying matrices together combines their transformations. Now that we know how to rotate points around individual axis, it is possible to multiply Rx, Ry, Rz together (using every possible combinations) to create more complex rotations. If for instance you want to rotate a point around the x-axis, and then the y-axis, we can create two matrices using the matrices Rx and Ry and combine them using matrix multiplication (Rx*Ry) to create a Rxy matrix encoding the two individual rotations:

Note that the order of rotation is important and makes a difference. If you rotate a point around the x-axis first and then the y-axis second, you will end up (in most cases) with a result which is different from a rotation around the y-axis then around the x-axis. In most 3D packages such as Maya, 3DSMax, Softimage, Houdini, etc. it is possible to specify the order in which the rotations takes place. For instance the order can be xyz, . (see in Maya the list of possible options).