Články

6.E: Aplikácie derivácie (cvičenia)


Toto sú domáce úlohy, ktoré majú sprevádzať textovú mapu „General Calculus“ od Davida Guicharda. Doplnkové cvičenia všeobecného počtu nájdete pre ďalšie textové mapy a sú prístupné tu.

6.1: Optimalizácia

Ex 6.1.1 Nech (f (x) = prípady {1 + 4 x -x ^ 2 & pre x leq3 cr (x + 5) / 2 & pre (x> 3 ) cr} ).

Nájdite maximálnu a minimálnu hodnotu (f (x) ) pre (x ) v ([0,4] ). Graf (f (x) ) na kontrolu vašich odpovedí. (odpoveď)

Ex 6.1.2 Nájdite rozmery obdĺžnika s najväčšou plochou, ktorá má pevný obvod 100. (odpoveď)

Ex 6.1.3 Nájdite rozmery obdĺžnika s najväčšou plochou, ktorá má pevný obvod P. (odpoveď)

Ex 6.1.4 Krabica so štvorcovým podstavcom a bez vrchnej časti má pojať objem 100. Nájdite rozmery krabice, ktorá vyžaduje pre päť strán najmenej materiálu. Nájdite tiež pomer výšky a boku základne. (odpoveď)

Ex 6.1.5 Krabica so štvorcovým podstavcom má pojať objem 200. Spodok a vrch sú tvorené prehýbaním chlopní zo všetkých štyroch strán, takže spodok a vrch pozostávajú z dvoch vrstiev lepenky. Nájdite rozmery krabice, ktorá vyžaduje najmenej materiálu. (odpoveď)

Ex 6.1.6 Krabica so štvorcovou základňou a bez horného dielu slúži na uloženie zväzku (V ). Nájdite (v zmysle (V )) rozmery krabice, ktorá vyžaduje najmenej materiálu pre päť strán. (Tento pomer nebude zahŕňať (V ).) (odpoveď)

Ex 6.1.7 Máte 100 stôp plotu na vytvorenie obdĺžnikového ihriska popri stene vášho domu. Stena domu je ohraničená jednou stranou. Aká je najväčšia možná veľkosť (v štvorcových stopách) pre hraciu plochu? (odpoveď)

Ex 6.1.8 Máte (l ) stopy plotu, aby ste vytvorili obdĺžnikovú hernú plochu pozdĺž steny vášho domu. Aká je najväčšia možná veľkosť (v štvorcových stopách) pre hraciu plochu? (odpoveď)

Ex 6.1.9 Marketing vám hovorí, že ak nastavíte cenu položky na 10 dolárov, nebudete ju môcť predať, ale že za každý dolár môžete predať 500 položiek za cenu nižšiu ako 10 dolárov. Predpokladajme, že vaše fixné náklady sú spolu 3 000 USD a vaše hraničné náklady sú 2 USD za položku. Aký najväčší zisk môžete dosiahnuť? (odpoveď)

Ex 6.1.10 Nájdite oblasť najväčšieho obdĺžnika, ktorý sa zmestí do polkruhu s polomerom (10 ​​) (jedna strana obdĺžnika je pozdĺž priemeru polkruhu). (odpoveď)

Ex 6.1.11 Nájdite plochu najväčšieho obdĺžnika, ktorý sa zmestí do polkruhu s polomerom (r ) (jedna strana obdĺžnika je pozdĺž priemeru polkruhu). (odpoveď)

Ex 6.1.12 Pre valec s povrchovou plochou 50 vrátane hornej a spodnej časti nájdite pomer výšky k polomeru základne, ktorý maximalizuje objem. (odpoveď)

Ex 6.1.13 Pre valec s danou povrchovou plochou (S ), vrátane hornej a dolnej časti, nájdite pomer výšky k polomeru základne, ktorý maximalizuje objem. (odpoveď)

Ex 6.1.14 Chcete vytvoriť valcovité nádoby na objem 1 liter s použitím najmenšieho množstva stavebného materiálu. Bočná strana je vyrobená z obdĺžnikového kusu materiálu, a to je možné bez zbytočného odpadu. Horná a spodná časť sú však vyrezané zo štvorcov strany (2r ), takže je potrebný (2 (2r) ^ 2 = 8r ^ 2 ) materiálu (namiesto (2 pi r ^ 2 ) ), čo je celková plocha hornej a dolnej časti). Vyhľadajte rozmery nádoby s použitím najmenšieho množstva materiálu a tiež pomer výšky a polomeru pre túto nádobu. (odpoveď)

Ex 6.1.15 Chcete vyrobiť valcovité nádoby daného objemu (V ) s použitím najmenšieho množstva stavebného materiálu. Nájdite optimálny pomer výšky a polomeru. (odpoveď)

Ex 6.1.16 Keď dáte pravý kruhový kužeľ, vložíte do neho obrátený kužeľ tak, aby jeho vrchol bol v strede základne väčšieho kužeľa a jeho základňa bola rovnobežná so základňou väčšieho kužeľa. Ak si vyberiete kužeľ obrátene, aby ste mali čo najväčší objem, aký zlomok objemu väčšieho kužeľa zaberá? (Nech (H ) a (R ) sú výškou a polomerom základne väčšieho kužeľa a nech (h ) a (r ) sú výškou a polomerom základne menšieho kužeľa. Tip: Použite podobné trojuholníky na získanie rovnice týkajúcej sa (h ) a (r ).) (odpoveď)

Ex 6.1.17 V príklade 6.1.12, čo sa stane, ak (w ge v ) $ (t. j. vaša rýchlosť v piesku je aspoň vaša rýchlosť na ceste)? (odpoveď)

Ex 6.1.18 Vyrába sa nádoba s pevným objemom v tvare valca s pologuľovitou vrchnou časťou. (Pologuľovitý vrch má rovnaký polomer ako valec.) Nájdite pomer výšky a polomeru valca, ktorý minimalizuje náklady na nádobu, ak (a) sú náklady na jednotku plochy vrchu dvakrát väčšie ako náklady na bočná jednotka a nádoba je vyrobená bez dna; b) rovnaké ako v písmene a), s tým rozdielom, že nádoba je vyrobená s kruhovým dnom, pre ktoré je cena za jednotku plochy 1,5-násobkom ceny za jednotku plochy strany. (odpoveď)

Ex 6.1.19 Kus lepenky je 1 meter x (1/2 ) meter. Z každého rohu sa vyreže štvorec a jeho strany sa prehnú hore, aby sa vytvorila krabica s otvoreným vrchom. Aké sú rozmery krabice s maximálnym možným objemom? (odpoveď)

Ex 6.1.20 a) Zo štvorca lepenky z boku (a ) sa vytvorí otvorená krabica, ktorá z každého rohu vystrihne malý štvorec a ohne boky nahor. Aký veľký štvorec by mal byť vyrezaný z každého rohu, aby mala krabica maximálny objem? (b) Čo ak je kartónom použitým na výrobu krabice obdĺžnik strán (a ) a (b )? (odpoveď)

Ex 6.1.21 Okno sa skladá z obdĺžnikového kusu číreho skla s polkruhovým kúskom farebného skla na vrchu; farebné sklo prepúšťa iba (1/2 ) toľko svetla na jednotku plochy ako číre sklo. Ak je vzdialenosť zhora nadol (cez obdĺžnik aj polkruh) 2 metre a okno nemusí byť široké viac ako 1,5 metra, nájdite rozmery obdĺžnikovej časti okna, ktorá prepúšťa najviac svetla. (odpoveď)

Ex 6.1.22 Okno sa skladá z obdĺžnikového kusu číreho skla s polkruhovým kúskom farebného skla na vrchu. Predpokladajme, že farebné sklo prepúšťa iba (k ) krát toľko svetla na jednotku plochy, ako je číre sklo ( (k ) medzi (0 ) a (1 )). Ak je vzdialenosť zhora nadol (cez obdĺžnik aj polkruh) pevnú vzdialenosť (H ), nájdite (v zmysle (k )) pomer zvislej strany k vodorovnej strane obdĺžnika, pre ktorý okno prepúšťa najviac svetla. (odpoveď)

Ex 6.1.23 Plagát navrhujete tak, aby obsahoval pevné množstvo (A ) výtlačku (merané v centimetroch štvorcových) a aby okraje boli (a ) centimetrov hore a dole a (b ) centimetrov po stranách. Nájdite pomer vertikálneho rozmeru k horizontálnemu rozmeru tlačenej oblasti na plagáte, ak chcete minimalizovať množstvo potrebného plagátu. (odpoveď)

Ex 6.1.24 Sila obdĺžnikového lúča je úmerná súčinu jeho šírky (w ) násobku štvorca jeho hĺbky (d ). Nájdite rozmery najsilnejšieho lúča, ktorý je možné rezať z valcového guľatiny s polomerom (r ). (odpoveď)

Ex 6.1.25 Aký zlomok objemu gule zaberá najväčší valec, ktorý sa zmestí do gule? (odpoveď)

Ex 6.1.26 Americká pošta prijme schránku na prepravu iba v prípade, že súčet dĺžky a obvodu (vzdialenosť okolo) je najviac 108 palcov. Nájdite rozmery najväčšej prijateľnej škatule so štvorcovou prednou a zadnou stranou. (odpoveď)

Ex 6.1.27 Nájdite rozmery najľahšej valcovitej plechovky s obsahom 0,25 litra (= 250 cm ({} ^ 3 )), ak sú vrchná a spodná časť vyrobené z materiálu, ktorý je dvakrát ťažší (na jednotku plochy) ako materiál použitý na strane. (odpoveď)

Ex 6.1.28 Kónický papierový pohárik pojme (1/4 ) litra. Nájdite výšku a polomer kužeľa, ktorý minimalizuje množstvo papiera potrebného na výrobu pohára. Použite vzorec ( pi r sqrt {r ^ 2 + h ^ 2} ) pre oblasť bočnej strany kužeľa. (odpoveď)

Ex 6.1.29 Kónický papierový pohár má zadržiavať stály objem vody. Nájdite pomer výšky a polomeru základne kužeľa, ktorý minimalizuje množstvo papiera potrebného na výrobu pohára. Použite vzorec ( pi r sqrt {r ^ 2 + h ^ 2} ) pre oblasť strany kužeľa, nazývanúbočné oblasti kužeľa. (odpoveď)

Ex 6.1.30 Ak zapadáte kužeľ s najväčšou možnou povrchovou plochou (bočná plocha plus plocha základne) do gule, aké percento objemu gule zaberá kužeľ? (odpoveď)

Ex 6.1.31 Dva elektrické náboje, jeden s kladným nábojom A veľkosti (a ) a druhý so záporným nábojom veľkosti B (b ), sú umiestnené vo vzdialenosti (c ) od seba. Kladne nabitá častica (P ) je umiestnená na priamke medzi A a B. Nájdite miesto, kde by mala byť umiestnená (P ), aby bol prírastok od (A ) k (B ) minimálny. Tu predpokladajme, že sila z každého náboja je úmerná sile zdroja a nepriamo úmerná druhej mocnine vzdialenosti od zdroja. (odpoveď)

Ex 6.1.32 Nájdite zlomok oblasti trojuholníka, ktorý zaberá najväčší obdĺžnik, ktorý je možné v trojuholníku nakresliť (jednou z jeho strán pozdĺž strany trojuholníka). Ukážte, že tento zlomok nezávisí od rozmerov daného trojuholníka. (odpoveď)

Ex 6.1.33 Aké sú vaše odpovede na problém 9 ovplyvnené, ak cena za položku za (x ) položky, namiesto toho, aby bola jednoducho 2 doláre, klesne pod 2 $ v pomere k (x ) (z dôvodu úspory z rozsahu a množstevných zliav) o 1 cent za každých 25 vyrobených položiek ? (odpoveď)

Ex 6.1.34 Stojíte pri kraji veľkého brodenia rovnakej hĺbky, keď vidíte dieťa, ktoré má problémy. Môžete bežať rýchlosťou (v_1 ) na súši a nižšou rýchlosťou (v_2 ) vo vode. Vaša kolmá vzdialenosť od bočnej strany bazéna je (a ), kolmá vzdialenosť dieťaťa je (b ) a vzdialenosť pozdĺž bočnej strany bazéna medzi najbližším bodom k vám a najbližším bodom dieťaťa je (c ) (pozri obrázok nižšie). Bez toho, aby ste sa zastavili pri výpočtoch, inštinktívne zvolíte najrýchlejšiu cestu (zobrazenú na obrázku) a zachránite dieťa. Naším účelom je odvodiť vzťah medzi uhlom ( theta_1 ), ktorý vaša cesta vytvára s kolmicou na bočnú stranu bazéna, keď ste na súši, a uhlom ( theta_2 ), ktorý vaša cesta s kolmicou vytvára. keď si vo vode. Za týmto účelom nech je (x ) vzdialenosť medzi najbližším bodom pri vode na strane bazéna a bodom, v ktorom vstupuješ do vody. Celkový čas, ktorý zabehnete (na pevnine a vo vode), napíšte ako (x ) (a tiež konštanty (a, b, c, v_1, v_2 )). Potom nastavte deriváciu na nulu. Výsledok zvaný „Snellov zákon“ alebo „zákon lomu“ tiež riadi ohyb svetla, keď ide do vody. (odpoveď)

6.2: Súvisiace sadzby

Ex 6.2.1Valcová nádrž stojaca vzpriamene (s jednou kruhovou základňou na zemi) má polomer 20 cm. Ako rýchlo klesá hladina vody v nádrži, keď je voda vypúšťaná rýchlosťou 25 cm $ {} ^ 3 $ / s? (odpoveď)

Ex 6.2.2Valcová nádrž stojaca vzpriamene (s jednou kruhovou základňou na zemi) má polomer 1 meter. Ako rýchlo klesá hladina vody v nádrži, keď je voda vypúšťaná rýchlosťou 3 litre za sekundu? (odpoveď)

Ex 6.2.3Rebrík dlhý 13 metrov spočíva na vodorovnej zemi a opiera sa o zvislú stenu. Päta rebríka je odtiahnutá od steny rýchlosťou 0,6 m / s. Ako rýchlo sa skĺzava vrchná časť steny, keď je noha rebríka 5 m od steny? (odpoveď)

Ex 6.2.4Rebrík dlhý 13 metrov spočíva na vodorovnej zemi a opiera sa o zvislú stenu. Horná časť rebríka je vytiahnutá hore stenou rýchlosťou 0,1 $ metra za sekundu. Ako rýchlo sa noha rebríka blíži k stene, keď je noha rebríka 5 m od steny? (odpoveď)

Ex 6.2.5Rotačný maják sa nachádza vo vzdialenosti asi 3 km. Nech je $ A $ bod na brehu, ktorý je najbližšie k majáku. Keď sa maják otáča rýchlosťou 10 otáčok za minútu, lúč svetla zakaždým, keď sa otočí, zametá po brehu. Predpokladajme, že breh je rovný. Aký rýchly je bod, v ktorom lúč dopadá na breh, v okamihu, keď sa lúč rozsvieti, bod vzdialený 2 míle pozdĺž brehu od bodu $ A $? (odpoveď)

Ex 6.2.6Baseball diamant je štvorec 90 ft na boku. Hráč beží z prvej základne na druhú základňu rýchlosťou 15 ft / s. Ako rýchlo sa zmenšuje vzdialenosť hráča od tretej základne, keď je v polovici cesty od prvej k druhej základni? (odpoveď)

Ex 6.2.7Piesok sa naleje na povrch rýchlosťou 15 cm $ {} ^ 3 $ / s, čím sa vytvorí kužeľovitá hromada, ktorej priemer základne sa vždy rovná jeho nadmorskej výške. Ako rýchlo sa zvyšuje nadmorská výška hromady, keď je hromada vysoká 3 cm? (odpoveď)

Ex 6.2.8Loď je do doku vtiahnutá lanom, pričom jeden koniec je pripevnený k prednej časti člna a druhý koniec prechádza krúžkom pripevneným k doku v bode o 5 stôp vyššie ako predná časť člna. Lano sa tiahne krúžkom rýchlosťou 0,6 ft / s. Ako rýchlo sa loď blíži k mólu, keď je vyvedených 13 stôp lana? (odpoveď)

Ex 6.2.9Balón je vo výške 50 metrov a stúpa konštantnou rýchlosťou 5 m / s. Pod ním prechádza cyklista, ktorý jazdí po priamke konštantnou rýchlosťou 10 m / s. Aká rýchla je vzdialenosť medzi cyklistom a balónom o 2 sekundy neskôr? (odpoveď)

Ex 6.2.10Kúpa v tvare pyramídy má štvorcový prierez a stojí na jej hrote. Rozmery v hornej časti sú 2 m $ krát 2 m $ a hĺbka je 5 m. Ak voda prúdi do kade rýchlosťou 3 m $ {} ^ 3 $ / min, ako rýchlo stúpa hladina vody, keď je hĺbka vody (v najhlbšom bode) 4 m? Poznámka: Objem ľubovoľného „kužeľovitého“ tvaru (vrátane pyramíd) je $ (1/3) ( hbox {výška}) ( hbox {oblasť základne}) $. (odpoveď)

Ex 6.2.11Slnko stúpa rýchlosťou 1 $ / 4 $ deg / min a zdá sa, že stúpa k oblohe kolmo na horizont, ako je znázornené na obrázku 6.2.5. Ako rýchlo sa zmenšuje tieň 200 metrovej budovy v okamihu, keď je tieň dlhý 500 metrov? (odpoveď)

Ex 6.2.12Slnko zapadá rýchlosťou 1 $ / 4 $ deg / min. A zdá sa, že klesá kolmo na horizont, ako je to znázornené na obrázku. 6.2.5. Aký rýchly je tieň 25 metrov dlhej steny v okamihu, keď je tieň dlhý 50 metrov? (odpoveď)

Obrázok 6.2.5. Východ alebo západ slnka.

Ex 6.2.13Žľab znázornený na obrázku 6.2.6je skonštruovaná spojením troch dosiek z dreva s rozmermi 10 ft $ krát $ 1 ft a následným pripevnením konštrukcie k drevenej stene na každom konci. Uhol $ theta $ bol pôvodne $ ds 30 ^ circ $, ale kvôli zlej konštrukcii sa bočné strany zrútili. Koryto je plné vody. Akou rýchlosťou (v ft $ {} ^ 3 $ / s) vyteká voda cez hornú časť žľabu, ak všetky strany klesli pod uhlom $ ds 45 ^ circ $ a zrútia sa na rýchlosť $ ds 1 ^ circ $ za sekundu? (odpoveď)

Obrázok 6.2.6. Koryto.

Ex 6.2.14Žena vysoká 5 stôp kráča rýchlosťou 3,5 stopy / s od pouličného osvetlenia, ktoré je 12 metrov nad zemou. Akou rýchlosťou sa pohybuje špička jej tieňa? Akou rýchlosťou sa jej tieň predlžuje? (odpoveď)

Ex 6.2.15Muž vysoký 1,8 metra kráča rýchlosťou 1 meter za sekundu smerom k pouličnému svetlu, ktoré je 4 metre nad zemou. Akou rýchlosťou sa pohybuje špička jeho tieňa? Akou rýchlosťou sa jeho tieň skracuje? (odpoveď)

Ex 6.2.16Policajný vrtuľník letí rýchlosťou 150 km / h v stálej výške 0,5 míle nad rovnou cestou. Pilot pomocou radaru zistí, že protiidúce auto je vo vzdialenosti presne 1 míle od helikoptéry a že sa táto vzdialenosť zmenšuje na 190 míľ za hodinu. Nájdite rýchlosť auta. (odpoveď)

Ex 6.2.17Policajný vrtuľník letí rýchlosťou 200 kilometrov za hodinu v stálej výške 1 km nad rovnou cestou. Pilot pomocou radaru zistí, že protiidúce auto je vo vzdialenosti presne 2 kilometre od vrtuľníka a že sa táto vzdialenosť zmenšuje na 250 km / h. (odpoveď)

Ex 6.2.18Z vrcholu stĺpa vysokého 20 m svieti svetlo. Lopta padá 10 metrov od tyče a vrhá tieň na budovu vzdialenú 30 metrov, ako je to znázornené na obrázku 6.2.7. Keď je lopta 25 metrov od zeme, padá rýchlosťou 6 metrov za sekundu. Ako rýchlo sa pohybuje jeho tieň? (odpoveď)

Obrázok 6.2.7. Padajúca guľa.

Ex 6.2.19Urobte príklad 6.2.6 za predpokladu, že uhol medzi týmito dvoma cestami je 120 $ {} ^ circ $ namiesto 90 $ {} ^ circ $ (tj. cesta „sever - juh“ vedie v skutočnosti trochu severozápadným smerom od bodu $ P $). Pripomeňme zákon kosínusov: $ ds c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2-2ab cos theta $. (odpoveď)

Ex 6.2.20Urobte príklad 6.2.6 za predpokladu, že auto A je 300 metrov severne od $ P $, auto B je 400 metrov východne od $ P $, idú obe autá konštantnou rýchlosťou smerom k $ P $ a tieto dve autá sa zrazia za 10 sekúnd. (odpoveď)

Ex 6.2.21Urobte príklad 6.2.6 za predpokladu, že pred 8 sekundami auto A vyštartovalo z pokoja pri $ P $ a naberalo rýchlosť ustálenou rýchlosťou 5 m / s $ {} ^ 2 $ a 6 sekúnd po tom, čo auto A naštartovalo auto B, prešlo $ P $ v pohybe východ pri konštantnej rýchlosti 60 m / s. (odpoveď)

Ex 6.2.22Opäť s odkazom na príklad 6.2.6, predpokladajme, že namiesto automobilu B letí lietadlo rýchlosťou $ 200 $ km / h na východ od $ P $ vo výške 2 km, ako je znázornené na obrázku 6.2.8. Ako rýchlo sa mení vzdialenosť medzi autom a lietadlom? (odpoveď)

Tu je kód Sage, ktorý vygeneruje 3D verziu obrázku. Výsledok sa zobrazí, iba ak má váš prehliadač doplnok java.

Obrázok 6.2.8. Auto a lietadlo.

Ex 6.2.23Opäť s odkazom na príklad 6.2.6, predpokladajme, že namiesto automobilu B letí lietadlo rýchlosťou 200 $ km / h na východ od $ P $ vo výške 2 km a že získava nadmorskú výšku 10 km / h. Ako rýchlo sa mení vzdialenosť medzi autom a lietadlom? (odpoveď)

Ex 6.2.24Z vrcholu stĺpa vysokého 20 m svieti svetlo. Objekt je zhodený z rovnakej výšky z bodu vzdialeného 10 m, takže jeho výška v čase $ ds t $ sekúnd je $ ds h (t) = 20-9,8t ^ 2/2 $. Ako rýchlo sa tieň predmetu pohybuje po zemi o jednu sekundu neskôr? (odpoveď)

Ex 6.2.25 Dve čepele nožníc sú pripevnené v bode $ A $, ako je to znázornené na obrázku 6.2.9. Nech $ a $ označuje vzdialenosť od $ A $ k hrotu čepele (bod $ B $). Nech $ beta $ označuje uhol na konci čepele, ktorý je tvorený čiarou $ ds overline {AB} $ a spodným okrajom čepele, čiarou $ ds overline {BC} $, a nech $ theta $ označuje uhol medzi $ ds overline {AB} $ a vodorovnou rovinou. Predpokladajme, že kúsok papiera je nastrihaný tak, aby bol stred nožníc v hodnote $ A $ zafixovaný a aby bol zafixovaný aj papier. Keď sú čepele zatvorené (t. J. Uhol $ theta $ v diagrame je zmenšený), vzdialenosť $ x $ medzi $ A $ a $ C $ sa zväčšuje, čím sa papier rozreže.

a. Express $ x $ v prepočte na $ a $, $ theta $ a $ beta $.

b. Express $ dx / dt $, pokiaľ ide o $ a $, $ theta $, $ beta $ a $ d theta / dt $.

c. Predpokladajme, že vzdialenosť $ a $ je 20 cm a uhol $ beta $ je $ ds 5 ^ circ $. Ďalej predpokladajme, že $ theta $ klesá rýchlosťou 50 stupňov / s. V okamihu, keď $ ds theta = 30 ^ circ $, nájdite rýchlosť (v cm / s), akou sa papier rezá. (odpoveď)

6.3: Newtonova metóda

Ex 6.3.1 Približná piata odmocnina zo 7, pričom ako prvý odhad sa použije (x_0 = 1,5 ). Pomocou Newtonovej metódy nájdite (x_3 ) ako svoju aproximáciu. (odpoveď)

Ex 6.3.2 Použite Newtonovu metódu na aproximáciu koreňa kocky na 10 až dve desatinné miesta. (odpoveď)

Ex 6.3.3 Funkcia (f (x) = x ^ 3-3x ^ 2-3x + 6 ) má koreň medzi 3 a 4, pretože (f (3) = - 3 ) a (f (4) = 10 ). Približne koreň na dve desatinné miesta. (odpoveď)

Ex 6.3.4 Z obdĺžnikového kartónu s rozmermi (8 krát 17 ) sa vytvorí otvorená krabica, ktorá z každého rohu vystrihne malý štvorček strany (x ) a ohne boky nahor. (Pozri cvičenie 20 v 6.1.) Ak (x = 2 ), potom je hlasitosť poľa (2 cdot 4 cdot 13 = 104 ). Použite Newtonovu metódu na vyhľadanie hodnoty (x ), pre ktorú má škatuľa objem 100, s presnosťou na 3 platné číslice. (odpoveď)

6.4: Lineárne aproximácie

Ex 6.4.1 Nech (f (x) = x ^ 4 ). Ak (a = 1 ) a (dx = Delta x = 1/2 ), čo sú ( Delta y ) a (dy )? (odpoveď)

Ex 6.4.2 Nech (f (x) = sqrt {x} ). Ak (a = 1 ) a (dx = Delta x = 1/10 ), čo sú ( Delta y ) a (dy )? (odpoveď)

Ex 6.4.3 Nech (f (x) = sin (2x) ). Ak (a = pi ) a (dx = Delta x = pi / 100 ), čo sú ( Delta y ) a (dy )? (odpoveď)

Ex 6.4.4 Pomocou diferenciálov odhadnite množstvo farby potrebnej na nanesenie vrstvy farby hrubej 0,02 cm na guľu s priemerom (40 ) metrov. (Pripomeňme, že objem gule s polomerom (r ) je (V = (4/3) pi r ^ 3 ). Všimnite si, že vám je dané (dr = 0,02 ).) (odpoveď)

Ex 6.4.5 Ukážte podrobne, že lineárna aproximácia ( sin x ) v (x = 0 ) je (L (x) = x ) a lineárna aproximácia ( cos x ) v (x = 0 ) je (L (x) = 1 ).

6.5: Veta o strednej hodnote

Ex 6.5.1Nech $ ds f (x) = x ^ 2 $. Nájdite hodnotu $ c in (-1,2) $ tak, aby sa $ f '(c) $ rovnala strmosti medzi koncovými bodmi $ f (x) $ na $ [- 1,2] $. (odpoveď)

Ex 6.5.2Overte, či $ f (x) = x / (x + 2) $ spĺňa hypotézy vety o strednej hodnote v intervale $ [1,4] $, a potom nájdite všetky hodnoty, $ c $, ktoré vyhovujú záveru vety. (odpoveď)

Ex 6.5.3Overte, či $ f (x) = 3x / (x + 7) $ spĺňa hypotézy vety o strednej hodnote v intervale $ [- 2, 6] $, a potom vyhľadajte všetky hodnoty, $ c $, ktoré vyhovujú záver vety.

Ex 6.5.4Nech $ f (x) = tan x $. Ukážte, že $ f ( pi) = f (2 pi) = 0 $, ale nie je tam žiadne číslo $ c in ( pi, 2 pi) $ také, že $ f '(c) = 0 $. Prečo to nie je v rozpore s Rolleovou vetou?

Ex 6.5.5Nech $ ds f (x) = (x-3) ^ {- 2} $. Ukážte, že neexistuje hodnota $ c v (1,4) $, takže $ f '(c) = (f (4) -f (1)) / (4-1) $. Prečo to nie je v rozpore s vetou o strednej hodnote?

Ex 6.5.6Popíšte všetky funkcie pomocou derivácie $ ds x ^ 2 + 47x-5 $. (odpoveď)

Ex 6.5.7Popíšte všetky funkcie s deriváciou $ ds {1 nad 1 + x ^ 2} $. (odpoveď)

Ex 6.5.8Popíšte všetky funkcie s deriváciou $ ds x ^ 3- {1 over x} $. (odpoveď)

Ex 6.5.9Popíšte všetky funkcie pomocou derivácie $ sin (2x) $. (odpoveď)

Ex 6.5.10Ukážte, že rovnica $ ds 6x ^ 4 -7x + 1 = 0 $ nemá viac ako dva odlišné skutočné korene.

Ex 6.5.11Nech je $ f $ rozlíšiteľné na $ R $. Predpokladajme, že $ f '(x) neq 0 $ za každých $ x $. Dokážte, že $ f $ má najviac jeden skutočný koreň.

Ex 6.5.12Dokážte to pre všetkých skutočných $ x $ a $ y $ $ | cos x - cos y | leq | x-y | $. Uveďte a preukázajte analogický výsledok zahŕňajúci sínus.

Ex 6.5.13Ukážte, že $ ds sqrt {1 + x} le 1 + (x / 2) $, ak $ -1

Riešenia NCERT pre matematickú aplikáciu derivátov triedy 12

Ahoj študenti, vitajte na Amans Maths Blogs (AMB) . V tomto príspevku získate Riešenia NCERT pre matematiku triedy 12, aplikácia odvodených cvičení 6.4 .

Riešenia NCERT pre matematiku triedy 12 nie sú len riešením matematického cvičenia, ale buduje základňu ďalších dôležitých predmetov. Získanie vedomostí o koncepcii hĺbky CBSE trieda 12. matematika ako algebra, kalkul, trigonometria, súradnicová geometria vám pomôžu pochopiť pojem fyzika a fyzikálna chémia.

Ako vieme, všetky školy združené v CBSE sa riadia knihami NCERT pre všetky predmety. Môžete skontrolovať Osnova CBSE NCERT . Teda Riešenia NCERT pomáha študentom vyriešiť otázky z cvičení uvedené v Knihy NCERT.

Knihy PDF Riešenia NCERT pre triedu 12 sú prvým krokom k osvojeniu a pochopeniu jednotlivých častí matematiky, fyziky, chémie a biológie, pretože to všetko pomáha pri prijímacích skúškach na technické lekárstvo. Ak to chcete vyriešiť, stačí kliknúť na odkazy na stiahnutie z Riešenia NCERT pre triedu 12.

Riešenia NCERT pre triedu 12 je veľmi odporúčaný skúseným učiteľom pre študentov, ktorí sa chystajú vystúpiť v CBSE trieda 12 a JEE Mains a Pokročilé a skúšky NEET. Tu dostanete Riešenia NCERT pre matematiku triedy 12 - aplikácia derivačných cvičení 6.2 všetkých otázok uvedených v učebniciach NCERT triedy 12 podrobne s procesom krok za krokom.

CBSE trieda 12. tis je vo vašom živote dôležitou školskou triedou, pretože sa rozhodujete o svojej kariére vážne. A zo všetkých predmetov je matematika dôležitým a základným predmetom. Takže Riešenia CBSE NCERT pre 12. matematiku triedy je hlavnou úlohou pri príprave na skúšku, pretože obsahuje podrobné kapitoly pre všetky cvičenia. Toto Riešenia NCERT je možné stiahnuť v PDF súbore. Odkaz na stiahnutie je uvedený nakoniec.


Iné CVIČENIE pre triedu 12 Kapitola 6 Aplikácia derivátov NCERT Solutions

Otázka 1:Nájdite sklon dotyčnice ku krivke y = 3x4 - 4x pri x = 4.

Otázka 2:Nájdite sklon dotyčnice ku krivke 1, 2 2 x y x x - = ¹ - pri x = 10.

Ncert trieda 12 matematika kapitola 6 Aplikácia derivátov

Otázka 3:Nájdite sklon dotyčnice ku krivke y = x3 - x + 1 v bode, ktorého súradnica x je 2.

Otázka 4:Nájdite sklon dotyčnice ku krivke y = x3 –3x + 2 v bode, ktorého súradnica x je 3.

Cvičenie 6,3 matematická trieda 12 Kapitola 6 Aplikácia derivátov

Otázka 5:Nájdite sklon normály ku krivke 3 3 x = acos q, y = asin q at. 4 p q =

Otázka 6:Nájdite sklon normály k krivke 2 x = 1− asinq, y = bcos q at. 2 p q =

Riešenie matematiky cbse triedy 12 Kapitola 6

Otázka 7:Nájdite body, v ktorých je dotyčnica krivky y = x3 - 3x2 - 9x + 7 rovnobežná s osou x.

Otázka 8:Nájdite bod na krivke y = (x - 2) 2, v ktorom je dotyčnica rovnobežná s akordom spájajúcim body (2, 0) a (4, 4).

Otázka 10:Nájdite rovnicu všetkých priamok so sklonom –1, ktoré sú dotyčnicami krivky 1 1 y x = -, x ¹ 1.

Ncert triedy 12 chémia kapitola 6 riešenie cvičení

Otázka 11:Nájdite rovnicu všetkých priamok so sklonom 2, ktoré sú dotyčnicami krivky 1 3 y x = -, x ¹ 3.

Otázka 12:Nájdite rovnice všetkých priamok so sklonom 0, ktoré sú dotyčnicami krivky 2 1. 2 3 y x x = - +

Aplikácia ncert riešení derivátov triedy 12

Otázka 13:Nájdite body na krivke 2 2 1 9 16 x y + =, pri ktorých sú dotyčnice (i) rovnobežné s osou x (ii) rovnobežné s osou y.

Otázka 14:Nájdite rovnice dotyčnice a normály k daným krivkám v uvedených bodoch: (i) y = x4 - 6x3 + 13x2 - 10x + 5 v (0, 5) (ii) y = x4 - 6x3 + 13x2 - 10x + 5 at (1, 3) (iii) y = x3 at (1, 1) (iv) y = x2 at (0, 0) (v) x = cos t, y = sint at 4 tp =


Aplikácie derivátov ML Aggarwal ISC Class-12 Maths APC Ch-7

Trieda: 12
Predmet: Matematika
Kapitola: Ch-7 Aplikácie derivátov Strany-533 až 652
Doska ISC
Spisovateľ ML Aggarwal ISC porozumenie zväzku I
Publikácie Publikácie APC Arya

Aplikácie derivátov ML Aggarwal ISC Class-12 Maths APC Ch-7

Sadzby zmeny

Cieľom tejto časti je pripomenúť nám aplikáciu / interpretáciu derivátov, ktorej sme sa venovali v predchádzajúcej kapitole. Menovite miery zmeny.

Kritické body

V tejto časti definujeme kritické body. Kritické body sa objavia v mnohých častiach tejto kapitoly, takže bude dôležité ich pochopiť.

Minimálna a maximálna hodnota :

V tejto časti sa pozrieme na niektoré základné definície a fakty týkajúce sa minimálnych a maximálnych hodnôt funkcií.

Nájdenie absolútnej extrémy:

Toto je prvá aplikácia derivátov, ktorej sa v tejto kapitole venujeme. Budeme určovať najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v intervale.

Tvar grafu, časť I:

Začneme sa zaoberať informáciami, ktoré nám prvé derivácie môžu povedať o grafe funkcie. Pozrime sa na zvýšenie alebo zníženie funkcií, ako aj na prvý derivačný test.

Tvar grafu, časť II :

V tejto časti sa pozrieme na informácie o grafe funkcie, ktoré nám môžu druhé derivácie povedať. Pozrime sa na inflexné body, konkávnosť a druhý derivačný test.

Lineárne aproximácie:

Tu použijeme derivácie na výpočet lineárnej aproximácie funkcie. Ako však uvidíme, v skutočnosti sme to už urobili.

Diferenciály:

V tejto časti sa pozrieme na diferenciály a na ich aplikáciu.

DERIVATÍV AKO MERAČ CENY: -

Na výpočet okamžitých rýchlostí zmeny je možné použiť deriváty. Rýchlosť zmeny polohy vzhľadom na čas je rýchlosť a rýchlosť zmeny rýchlosti vzhľadom na čas predstavuje zrýchlenie. Pomocou týchto myšlienok budeme schopní analyzovať jednorozmerný pohyb častíc v danej polohe ako funkciu času.

TANGENTY A NORMÁLNE.

Na deriváciu v bode krivky sa dá pozerať ako na sklon priamky dotýkajúcej sa tejto krivky v danom bode. Vzhľadom na to je prirodzenou ďalšou otázkou, čo je rovnica tejto dotyčnice. Dá sa pomocou kalkulu zistiť, kedy funkcia získa lokálnu alebo globálnu maximálnu hodnotu? Absolútne. Nielen to, ale derivácie a druhé derivácie nám tiež môžu pomôcť pochopiť tvar funkcie (či už sú konkávne smerom nahor alebo nadol). Ak máte základné koncepčné znalosti o deriváciách, môžete tu začať tieto znalosti používať na identifikáciu kritických bodov, extrémov, inflexných bodov a dokonca aj na funkcie grafov.


6.E: Aplikácie derivácie (cvičenia)

Základná matematická úroveň bola vyvinutá pre tých, ktorí nevedia nič o deriváciách funkcií. Bez ohľadu na to, koľko máte rokov, bez ohľadu na to, či ste na strednej, vysokej škole alebo na univerzite, táto matematická metóda slúži na to, aby vás rýchlo a ľahko naučila, ako vypočítať deriváciu matematickej funkcie. Najprv sa naučíte, ako odvodiť základné funkcie, a potom sa naučíte, ako zvládať zložitejšie a zložitejšie funkcie.

Stredná matematická úroveň

Stredná matematická úroveň bola napísaná pre tých, ktorí už vedia, ako používať 18 derivačných pravidiel / derivačné vzorce. Tieto cvičenia používajú deriváty na fyziku a analytickú geometriu.

Pokročilá matematická úroveň

Pokročilá matematická úroveň je NIE úroveň pre matematického génia. Nie! Táto pokročilá matematická úroveň pre umiestňovanie je vyrobená z náročnejších cvičení, ale obsahuje aj praktickejšie matematické cvičenia prispôsobené skutočným prípadom vedeckého sveta. V tejto pokročilej úrovni uvidíte cvičenia aplikované na rôzne oblasti vedy, ako napríklad: biológia, fyzika, medicína, priemysel a ekonomiky. Táto úroveň vám umožní lepšie pochopiť použitie derivátov v súčasnom vedeckom vesmíre.


Problémy

6.1 Riešenie problémov so zákonmi Newton & rsquos

  1. 30,0 kg dievča v hojdačke je stlačené na jednu stranu a držané v pokoji vodorovnou silou ( vec) takže natáčacie laná sú 30,0 ° voči vertikále. a) Vypočítajte napätie v každom z dvoch lán podporujúcich hojdačku za týchto podmienok. (b) Vypočítajte veľkosť ( vec).
  2. Nájdite napätie v každom z troch káblov podporujúcich semafor, ak má hmotnosť 2,00 x 10 2 N.
  1. Tri sily pôsobia na objekt považovaný za časticu, ktorý sa pohybuje konštantnou rýchlosťou v = (3 ( hat) & mínus 2 ( klob)) pani. Dve zo síl sú ( vec_ <1> ) = (3 ( klobúk) + 5 ( klobúk) & mínus 6k ( klobúk)) N a ( vec_ <2> ) = (4 ( klobúk) & mínus 7 ( klob) + 2 ( klobúk)) N. Nájdite tretiu silu.
  2. Blcha vyskočí vyvinutím sily 1,20 x 10 a mínus 5 N priamo dole na zem. Vánok fúkajúci na blchu rovnobežne so zemou vyvíja na blchu silu 0,500 x 10 & mínus 6 N, zatiaľ čo je blcha stále v kontakte so zemou. Nájdite smer a veľkosť zrýchlenia blchy, ak je jej hmotnosť 6,00 x 10 & mínus 7 kg. Nezanedbávajte gravitačnú silu.
  3. Dva svaly v zadnej časti nohy sa tiahnu smerom hore na Achillovu šľachu, ako je to znázornené nižšie. (Tieto svaly sa nazývajú stredné a bočné hlavy svalu gastrocnemius.) Nájdite veľkosť a smer celkovej sily pôsobiacej na Achillovu šľachu. Aký typ pohybu môže táto sila spôsobiť?
  1. Po nehode sa 76,0-kg cirkusový umelec drží na trapéze, ktorý je strhávaný na stranu ďalším cirkusovým umelcom, ako je to znázornené tu. Ak je osoba chvíľu nehybná, vypočítajte napätie v dvoch lanách. Zahrňte do riešenia diagram voľného tela.
  1. Delfín s hmotnosťou 35,0 kg spomalí z 12,0 na 7,50 m / s za 2,30 s, aby sa pripojil k ďalšiemu delfínovi v hre. Aká priemerná sila bola vyvinutá na spomalenie prvého delfína, ak sa pohyboval vodorovne? (Gravitačná sila je vyvážená vztlakovou silou vody.)
  2. Pri začatí pretekov v nohách vyvíja šprintér s hmotnosťou 70,0 kg priemernú silu 650 N dozadu na zem počas 0,800 s. a) Aká je jeho konečná rýchlosť? b) Ako ďaleko cestuje?
  3. Veľká raketa má pri štarte hmotnosť 2,00 x 10 6 kg a jej motory vyprodukujú ťah 3,50 x 10 7 N. (a) Nájdite svoje počiatočné zrýchlenie, ak vzlietate kolmo. b) Ako dlho trvá dosiahnutie rýchlosti 120 km / h priamo za predpokladu konštantnej hmotnosti a ťahu?
  4. Basketbalista skočí priamo za loptou. Za týmto účelom zníži svoje telo o 0.300 m a potom cez túto vzdialenosť zrýchli prudkým narovnaním nôh. Tento hráč opúšťa podlahu s vertikálnou rýchlosťou dostatočnou na to, aby ho uniesol 0,900 m nad podlahou. (a) Vypočítajte jeho rýchlosť, keď opustí podlahu. (b) Vypočítajte jeho zrýchlenie, kým vyrovnáva nohy. Prejde z nuly na rýchlosť zistenú v bode (a) vo vzdialenosti 0,300 m. c) Vypočítajte silu, ktorú na to vyvíja na podlahu, pretože jeho hmotnosť je 110,0 kg.
  5. Plášť ohňostroja s hmotnosťou 2,50 kg je vystrelený priamo z mínometu a dosahuje výšku 110,0 m. (a) Zanedbaním odporu vzduchu (zlý predpoklad, ale urobíme to pre tento príklad), vypočítajte rýchlosť náboja, keď opustí maltu. b) Samotná malta je trubica dlhá 0,450 m. Vypočítajte priemerné zrýchlenie škrupiny v trubici pri prechode z nuly na rýchlosť uvedenú v bode (a). c) Aká je priemerná sila na náboj v malte? Odpoveď vyjadrite v newtonoch a ako pomer k hmotnosti mušle.
  6. Zemiak s hmotnosťou 0,500 kg sa vypaľuje v uhle 80,0 ° nad horizontálou z PVC rúrky použitej ako zbraň & ldquopotato gun & rdquo a dosahuje výšku 110,0 m. a) Zanedbaním odporu vzduchu vypočítajte rýchlosť zemiakov a rsquos, keď opustí zbraň. b) Samotná zbraň je trubica dlhá 0,450 m. Vypočítajte priemerné zrýchlenie zemiakov v trubici pri prechode z nuly na rýchlosť uvedenú v písmene a). c) Aká je priemerná sila na zemiak v pištoli? Odpoveď vyjadrite v newtonoch a ako pomer k hmotnosti zemiakov.
  7. Výťah naplnený cestujúcimi má hmotnosť 1,70 x 10 3 kg. a) Výťah akceleruje nahor z pokoja rýchlosťou 1,20 m / s 2 po dobu 1,50 s. Vypočítajte napätie v kábli podopierajúcom výťah. (b) Výťah pokračuje nahor konštantnou rýchlosťou po dobu 8,50 s. Aké je napätie v kábli počas tejto doby? (c) Výťah spomalí rýchlosťou 0,600 m / s 2 na 3,00 s. Aké je napätie v lanku pri spomalení? d) Ako vysoko sa výťah posunul nad pôvodný východiskový bod a aká je jeho konečná rýchlosť?
  8. Guľa s hmotnosťou 20,0 g visí zo strechy nákladného automobilu pomocou šnúrky. Keď sa nákladný automobil začne pohybovať, reťazec zviera so zvislosťou uhol 35,0 °. a) Aké je zrýchlenie nákladného automobilu? b) Aké je napätie v šnúrke?
  9. Študentský batoh plný učebníc je zavesený na pružinovej stupnici pripevnenej k stropu výťahu. Keď sa výťah zrýchľuje smerom dole rýchlosťou 3,8 m / s 2, stupnica má hodnotu 60 N. a) Aká je hmotnosť batohu? b) Čo zobrazuje stupnica, ak sa výťah pohybuje nahor a spomaľuje rýchlosťou 3,8 m / s 2? c) Čo zobrazuje stupnica, ak sa výťah pohybuje konštantnou rýchlosťou nahor? d) Ak by výťah nemal brzdy a kábel, ktorý by ho podopieral, by sa mal uvoľniť, aby mohol výťah voľne spadnúť, čo by z toho vyplývala stupnica pružiny?
  10. Servisný výťah zoberie z garážovanej budovy mrakodrapy s hmotnosťou 10,0 kg odpadky s hmotnosťou 10,0 kg až na úroveň terénu, pričom smerom nadol zrýchľuje rýchlosťou 1,2 m / s 2. Nájdete veľkosť sily, ktorú smeti vyvíjajú na podlahu služobného výťahu?
  11. Horská dráha začína od pokoja na vrchole trate dlhej 30,0 m a je sklonená o 20,0 ° k vodorovnej rovine. Predpokladajme, že trenie možno ignorovať. a) Aké je zrýchlenie automobilu? b) Koľko času trvá, kým sa dostane na dno koľaje?
  12. Zariadenie zobrazené nižšie je stroj Atwood & rsquos uvedený v príklade 6.5. Za predpokladu, že hmotnosti reťazca a kladky bez trenia sú zanedbateľné, (a) nájdite rovnicu pre zrýchlenie oboch blokov (b) nájdite rovnicu pre napätie v reťazci a (c) nájdite zrýchlenie aj napätie, keď blok 1 má hmotnosť 2,00 kg a blok 2 má hmotnosť 4,00 kg.
  1. Dva bloky sú spojené bezhmotným lanom, ako je to znázornené nižšie. Hmotnosť bloku na stole je 4,0 kg a závesná hmotnosť je 1,0 kg. Stôl a kladka sú bez trenia. (a) Nájdite zrýchlenie systému. (b) Nájdite napätie v lane. c) Nájdite rýchlosť, s ktorou visiaca hmota dopadne na podlahu, ak vychádza z pokoja a je pôvodne umiestnená 1,0 m od podlahy.
  1. Ďalej sú zobrazené dva vozíky spojené šnúrou, ktorá prechádza cez malú kladku bez trenia. Každý vozík sa voľne pohybuje so zanedbateľným trením. Vypočítajte zrýchlenie vozíkov a napätie v lanku.
  1. Blok 2,00 kg (hmotnosť 1) a blok 4,00 kg (hmotnosť 2) sú spojené svetelnou šnúrkou, ako je znázornené, sklon rampy je 40,0 °. Trenie je zanedbateľné. Aké je (a) zrýchlenie každého bloku a (b) napätie v reťazci?

6.2 Trenie

  1. (a) Pri prestavbe svojho motora automobilu musí hlavný fyzikálny pracovník vyvinúť silu 3,00 x 10 2 N, aby vložil suchý oceľový piest do oceľového valca. Aká je normálna sila medzi piestom a valcom? b) Akú silu by musel vyvinúť, ak by boli oceľové časti naolejované?
  2. a) Aká je maximálna trecia sila v kolennom kĺbe osoby, ktorá na toto koleno nesie 66,0 kg svojej hmotnosti? b) Pri namáhavom cvičení je možné vyvinúť sily na kĺby, ktoré sú ľahko 10-krát väčšie ako podporovaná váha. Aká je maximálna sila trenia za takýchto podmienok? Trecie sily v kĺboch ​​sú za každých okolností relatívne malé, okrem prípadov, keď sa kĺby zhoršujú, napríklad pri poranení alebo artritíde. Zvýšené trecie sily môžu spôsobiť ďalšie poškodenie a bolesť.
  3. Predpokladajme, že máte 120 kg drevenú debnu položenú na drevenej podlahe so koeficientom statického trenia 0,500 medzi týmito drevenými povrchmi. (a) Akú maximálnu silu môžete na prepravku vyvinúť vodorovne bez toho, aby ste s ňou pohli? (b) Ak budete naďalej vyvíjať túto silu, keď prepravka začne kĺzať, aké bude jej zrýchlenie? Je známe, že koeficient klzného trenia je pre túto situáciu 0,300.
  4. a) Ak je polovica hmotnosti malého úžitkového nákladného vozidla s hmotnosťou 3 kg a hmotnosti 1,00 x 10 podporovaná jeho dvoma hnanými kolesami, aké maximálne zrýchlenie je možné dosiahnuť na suchom betóne? b) Skĺzne kovová skrinka ležiaca na drevenej posteli nákladného vozidla, ak sa zrýchľuje touto rýchlosťou? (c) Vyriešte obidva problémy za predpokladu, že vozidlo má pohon všetkých kolies.
  5. Tím ôsmich psov ťahá sánky s bežcami z voskovaného dreva na mokrom snehu (kaša!). Psy majú priemernú hmotnosť 19,0 kg a naložené sane s jazdcom hmotnosť 210 kg. a) Vypočítajte zrýchlenie psov od pokoja, ak každý pes vyvinie na sneh priemernú silu 185 N dozadu. (b) Vypočítajte silu v spojení medzi psami a sánkami.
  6. Zvážte, že 65,0 kg korčuliara tlačí ďalší dvaja, ktorí sú uvedení nižšie. (a) Nájdite smer a veľkosť Ftot, celková sila, ktorú na ňu vyvinuli ostatní, vzhľadom na to, že veličiny F1 a F2 sú 26,4 N a 18,6 N, v uvedenom poradí. b) Aké je jej počiatočné zrýchlenie, ak je pôvodne nehybná a nosí korčule s oceľovými čepeľami, ktoré smerujú k Ftot? c) Aké je jej zrýchlenie za predpokladu, že sa už pohybuje v smere F.tot? (Pamätajte, že trenie vždy pôsobí v opačnom smere ako pohyb alebo pokus o pohyb medzi kontaktnými povrchmi.)
  1. Ukážte, že zrýchlenie ktoréhokoľvek objektu smerom nadol bez trenia, ktoré vytvára uhol ( theta ) s horizontálou, je a = g sin ( theta ). (Upozorňujeme, že toto zrýchlenie nezávisí od hmotnosti.)
  1. Ukážte, že zrýchlenie ľubovoľného objektu smerom dole, kde sa trenie správa jednoducho (tj. Keď fk = ( mu_) N) je a = g (sin ( theta ) & mínus ( mu_) cos ( theta )). Upozorňujeme, že zrýchlenie je nezávislé od hmotnosti a redukuje sa na výraz zistený v predchádzajúcom probléme, keď sa trenie stane zanedbateľne malým ( ( mu_) = 0).
  1. Vypočítajte spomalenie snowboardistu idúceho po svahu 5,00 stupňa za predpokladu koeficientu trenia pre voskované drevo na mokrom snehu. Výsledok predchádzajúceho problému môže byť užitočný, ale treba brať do úvahy skutočnosť, že snowboardista ide do kopca.
  2. Stroj na pošte posiela balíky von zo žľabu a z rampy, aby sa naložili do dodávkových vozidiel. (a) Vypočítajte zrýchlenie krabice smerujúcej dole svahom 10,0 stupňa za predpokladu, že koeficient trenia pre balík na voskovanom dreve je 0,100. (b) Nájdite uhol sklonu, pod ktorým by sa toto políčko mohlo pohybovať konštantnou rýchlosťou. V obidvoch častiach môžete zanedbať odpor vzduchu.
  3. Ak má predmet spočívať na stúpaní bez pošmyknutia, musí sa trenie rovnať zložke hmotnosti predmetu rovnobežnej so stúpaním. To si vyžaduje čoraz väčšie trenie pre prudšie svahy. Ukážte, že maximálny uhol sklonu nad vodorovnou rovinou, pre ktorý objekt nekĺzne nadol, je ( theta ) = tan & minus1 ( mu_). Môžete použiť výsledok predchádzajúceho problému. Predpokladajme, že a = 0 a že statické trenie dosiahlo svoju maximálnu hodnotu.
  1. Vypočítajte maximálnu akceleráciu automobilu, ktorý smeruje dole svahom 6,00 stupňa (ten, ktorý zviera s horizontálou uhol 6,00 stupňov) za nasledujúcich podmienok na ceste. Môžete predpokladať, že hmotnosť vozidla je rovnomerne rozložená na všetky štyri pneumatiky a že je zahrnutý koeficient statického trenia, čo znamená, že pneumatiky nemôžu počas spomalenia kĺzať. (Ignorujte valcovanie.) Výpočet pre auto: (a) Na suchom betóne. b) Na vlhkom betóne. (c) Na ľade za predpokladu, že ( mu_) = 0,100, to isté ako pri topánkach na ľade.
  2. Vypočítajte maximálnu akceleráciu automobilu, ktorý smeruje hore svahom 4,00 stupňa (taký, ktorý zviera s vodorovnou rovinou uhol 4,00 stupňov) za nasledujúcich podmienok na ceste. Predpokladajme, že obe hnacie kolesá nesú iba polovičnú hmotnosť vozidla a že je zahrnutý koeficient statického trenia, čo znamená, že pneumatiky nesmú počas akcelerácie kĺzať. (Ignorujte valcovanie.) A) Na suchom betóne. b) Na vlhkom betóne. (c) Na ľade za predpokladu, že ( mu_) = 0,100, to isté ako pri topánkach na ľade.
  3. Zopakujte predchádzajúci problém pre auto s pohonom všetkých kolies.
  4. Nákladný vlak sa skladá z dvoch motorov s hmotnosťou 8,00 x 10 5 kg a 45 automobilov s priemernou hmotnosťou 5,50 x 10 5 kg. a) Akú silu musí vyvinúť každý motor smerom dozadu na trať, aby vlak zrýchlil rýchlosťou 5,00 x 10 & mínus 2 m / s 2, ak je sila trenia 7,50 x 105 N, za predpokladu, že motory vyvíjajú rovnaké sily? Pre taký masívny systém to nie je veľká trecia sila. Valivé trenie pre vlaky je malé, a preto sú vlaky veľmi energeticky účinnými dopravnými systémami. b) Aká je sila v spojení medzi 37. a 38. autom (to je sila, ktorou pôsobia na druhé) za predpokladu, že všetky automobily majú rovnakú hmotnosť a že trenie je rovnomerne rozdelené medzi všetky automobily a motory?
  5. Zvážte nižšie uvedeného horolezca s hmotnosťou 52,0 kg. a) Nájdite napätie v lane a silu, ktorú musí horolezkyňa vyvíjať nohami na zvislú skalnú plochu, aby zostala stáť. Predpokladajme, že sila je vyvíjaná rovnobežne s jej nohami. Predpokladajme tiež zanedbateľnú silu vyvíjanú jej pažami. b) Aký je minimálny koeficient trenia medzi jej topánkami a útesom?
  1. Pretekár v rámci zimného športového podujatia tlačí 45,0-kilogramový blok ľadu cez zamrznuté jazero, ako je to znázornené nižšie. a) Vypočítajte minimálnu silu F, ktorú musí vyvinúť, aby sa blok dostal do pohybu. b) Aké je jeho zrýchlenie, keď sa začne pohybovať, ak je táto sila zachovaná?
  1. Súťažiaci teraz ťahá blok ľadu pomocou lana cez rameno v rovnakom uhle nad vodorovnou rovinou, ako je znázornené nižšie. Vypočítajte minimálnu silu F, ktorú musí vyvinúť, aby sa blok dostal do pohybu. b) Aké je jeho zrýchlenie, keď sa začne pohybovať, ak je táto sila zachovaná?
  1. Na pošte balík, ktorý je krabicou s hmotnosťou 20,0 kg, skĺzne po rampe sklonenej k vodorovnej rovine o 30 °. Koeficient kinetického trenia medzi schránkou a rovinou je 0,0300. (a) Nájdite zrýchlenie poľa. (b) Nájdite rýchlosť schránky, keď dosahuje koniec roviny, ak je dĺžka roviny 2 m a schránka začína v pokoji.

6.3 Dostredivá sila

  1. a) Dieťa s hmotnosťou 22,0 kg jazdí na kolotoči na ihrisku, ktoré sa otáča rýchlosťou 40,0 ot / min. Aká dostredivá sila sa vyvíja, ak je od jeho stredu 1,25 m? b) Aká dostredivá sila sa vyvíja, ak sa kolotoč otáča rýchlosťou 3,00 ot./min a je 8,00 m od jeho stredu? (c) Porovnajte každú silu s jeho hmotnosťou.
  2. Vypočítajte dostredivú silu na konci listu veternej turbíny s polomerom 100 m, ktorý sa otáča rýchlosťou 0,5 ot / s. Predpokladajme, že hmotnosť je 4 kg.
  3. Aký je ideálny uhol náklonu pre miernu zákrutu s polomerom 1,20 km na diaľnici s rýchlostným limitom 10 5 km / h (asi 65 míľ / h) za predpokladu, že všetci cestujú na danom limite?
  4. Aká je ideálna rýchlosť na zaoblenie polomeru 100,0 m pod uhlom 20,0 °?
  5. a) Aký je polomer zákruty bobovej dráhy, ktorá je naklonená na 75,0 stupňa a urobená pri 30,0 m / s, za predpokladu, že je ideálne naklonená? b) Vypočítajte dostredivé zrýchlenie. c) Zdá sa vám toto zrýchlenie veľké?
  6. Časť jazdy na bicykli spočíva v naklonení sa v zákrute do správneho uhla, ako je to vidieť nižšie. Aby bola stabilná, musí sila vyvíjaná na zem pôsobiť na čiaru prechádzajúcu ťažiskom. Sila na koleso bicykla sa dá rozdeliť na dva kolmé komponenty a trenie rovnobežné s vozovkou (musí dodávať dostredivú silu) a vertikálnu normálnu silu (ktorá sa musí rovnať hmotnosti systému). (a) Ukážte, že ( theta ) (ako je definované, ako je znázornené) súvisí s rýchlosťou v a polomerom zakrivenia r zákruty rovnakým spôsobom ako pre ideálne prevýšenú vozovku & mdashthat je ( theta ) = tan & mínus1 ( vľavo ( dfrac>správny)). (b) Vypočítajte ( theta ) pre zákrut o polomeru 30,0 m (s rýchlosťou 12,0 m / s) (ako v závode).
  1. Ak auto zalomí zákrutu nižšou ako ideálnou rýchlosťou, je potrebné trenie, aby nekĺzalo smerom dovnútra zákruty (problém na zľadovatených horských cestách). (a) Vypočítajte ideálnu rýchlosť na získanie krivky s polomerom 100,0 m, naklonenej pri 15,0 °. b) Aký je minimálny koeficient trenia potrebný na to, aby vystrašený vodič prešiel rovnakou zákrutou pri 20,0 km / h?
  2. Moderné horské dráhy majú vertikálne slučky, ako je tu zobrazené. Polomer zakrivenia je zhora menší ako po stranách, takže dostredivé zrýchlenie nadol na vrchole bude väčšie ako gravitačné zrýchlenie, čím bude cestujúci pevne zatlačený na svoje sedadlá. Aká je rýchlosť horskej dráhy v hornej časti slučky, ak je polomer zakrivenia 15,0 m a zrýchlenie automobilu smerom dole je 1,50 g?
  1. Dieťa s hmotnosťou 40,0 kg je v automobile na horskej dráhe, ktorý cestuje v slučke s polomerom 7,00 m. V bode A je rýchlosť automobilu 10,0 m / s a ​​v bode B je rýchlosť 10,5 m / s. Predpokladajme, že sa dieťa nedrží a nemá zapnutý bezpečnostný pás. a) Aká je sila autosedačky na dieťa v bode A? b) Aká je sila autosedačky na dieťa v bode B? c) Aká minimálna rýchlosť je potrebná na udržanie dieťaťa na jeho sedadle v bode A?
  1. V jednoduchom Bohrovom modeli základného stavu atómu vodíka sa elektrón pohybuje po kruhovej dráhe okolo pevného protónu. Polomer obežnej dráhy je 5,28 x 10 & mínus 11 m a rýchlosť elektrónu je 2,18 x 10 6 m / s. Hmotnosť elektrónu je 9,11 x 10 & mínus 31 kg. Aká je sila na elektrón?
  2. Železničné koľaje sledujú kruhový oblúk s polomerom 500,0 m a sú naklonené pod uhlom 5,0 °. Pre vlaky, s akou rýchlosťou sú tieto trate určené?
  3. Urýchľovač častíc CERN je kruhový s obvodom 7,0 km. (a) Aká je akcelerácia protónov (m = 1,67 x 10 a mínus 27 kg), ktoré sa pohybujú okolo akcelerátora pri 5% rýchlosti svetla? (Rýchlosť svetla je v = 3,00 x 10 8 m / s.) B) Aká je sila na protóny?
  4. Osobné auto zaokrúhľuje neoblúkovú zákrutu s polomerom 65 m. Ak je koeficient statického trenia medzi cestou a autom 0,70, aká je maximálna rýchlosť, pri ktorej auto prejde zákrutou bez šmyku?
  5. Zalomená diaľnica je navrhnutá pre dopravu s rýchlosťou 90,0 km / h. Polomer zákruty je 310 m. Aký je uhol sklonu diaľnice?

6.4 Ťažná sila a rýchlosť terminálu

  1. Konečná rýchlosť osoby padajúcej do vzduchu závisí od hmotnosti a plochy osoby, ktorá čelí tekutine. Nájdite konečnú rýchlosť (v metroch za sekundu a kilometroch za hodinu) parašutistu s hmotnosťou 80,0 kg, ktorý padá v šťukovej (čelnej) polohe s povrchom 0,140 m 2.
  2. Parašutista s hmotnosťou 60,0 kg a 90,0 kg skočil z lietadla vo výške 6,00 x 10 3 m, pričom obaja spadli do polohy šťuky. Urobte predpoklad o ich čelných plochách a vypočítajte ich konečné rýchlosti. Ako dlho bude trvať, kým každý parašutista dosiahne zem (za predpokladu, že čas na dosiahnutie konečnej rýchlosti je malý)? Predpokladajme, že všetky hodnoty sú presné na tri platné číslice.
  3. Veverica 560 g s povrchovou plochou 930 cm 2 padá zo 5,0 m stromu na zem. Odhadnite jeho konečnú rýchlosť. (Použite koeficient odporu pre horizontálneho parašutistu.) Aká bude rýchlosť 56-kilogramovej osoby, ktorá dopadne na zem, za predpokladu, že na tak malú vzdialenosť nebude prispievať žiadna sila?
  4. Aby sa udržala konštantná rýchlosť, musí sa sila vyvíjaná motorom automobilu rovnať odporu vzduchu a sile trenia vozovky (valivý odpor). a) Aké sú brzdné sily pri 70 km / ha 100 km / h pre Toyota Camry? (Plocha ťahu je 0,70 m 2) (b) Aká je sila ťahu pri 70 km / ha 100 km / h pre Hummer H2? (Plocha pretiahnutia je 2,44 m 2) Predpokladajme, že všetky hodnoty sú presné na tri platné číslice.
  5. O aký faktor sa zvýši brzdná sila z automobilu z 65 na 110 km / h?
  6. Vypočítajte rýchlosť, ktorú by sférický dážď dosiahol pri poklese z 5,00 km (a) pri absencii vzdušného odporu (b). Vezmite veľkosť priečnej kvapky 4 mm, hustotu 1,00 x 10 3 kg / m 3 a povrchovú plochu 2 ( pi ).
  7. Pomocou zákona Stokes & rsquo overte, či sú jednotky viskozity kilogramy na meter za sekundu.
  8. Nájdite konečnú rýchlosť sférickej baktérie (priemer 2,00 ( mu_)) spadnutie do vody. Najprv si musíte uvedomiť, že sila odporu sa rovná hmotnosti pri konečnej rýchlosti. Zoberte hustotu baktérie 1,10 x 10 3 kg / m 3.
  9. Zákon Stokes & rsquo popisuje sedimentáciu častíc v kvapalinách a je možné ich použiť na meranie viskozity. Častice v kvapalinách rýchlo dosiahnu konečnú rýchlosť. Je možné zmerať čas potrebný na to, aby častica klesla na určitú vzdialenosť, a potom pomocou zákona Stokes & rsquo vypočítať viskozitu kvapaliny. Predpokladajme, že do nádoby s motorovým olejom spadne oceľové guľkové ložisko (hustota 7,8 x 103 kg / m 3, priemer 3,0 mm). Trvanie cesty 0,60 m trvá 12 s. Vypočítajte viskozitu oleja.
  10. Predpokladajme, že odporovú silu vzduchu na parašutistu je možné priblížiť hodnotou f = & minusbv 2. Ak je konečná rýchlosť parašutistu s hmotnosťou 50,0 kg 60,0 m / s, aká je hodnota b?
  11. Malý diamant s hmotnosťou 10,0 g vypadne z náušnice plavca a rsquosa a padá cez vodu a dosahuje konečnú rýchlosť 2,0 m / s. (a) Za predpokladu, že trecia sila na diamant sa podriaďuje f = & minusbv, čo je b? (b) Ako ďaleko klesá diamant, kým nedosiahne 90 percent svojej koncovej rýchlosti?

Francesco Giannino a raquo 9. Deriváty vyšších objednávok. Aplikácie diferenciácie: lokálne a absolútne extrémy funkcie

Deriváty radu dvoch alebo viacerých sa nazývajú vyššie deriváty a sú reprezentované nasledujúcou notáciou:

Posledná sa číta ako & # 8220 n-ta derivácia f vzhľadom na x. & # 8221
Definícia je uvedená indukciou takto:

Cvičenia

Cvičenie 1. Vypočítajte druhú deriváciu pre nasledujúcu funkciu:

Riešenie. Najprv vypočítame prvú deriváciu a potom druhú deriváciu pre priradenú funkciu:

Cvičenia

Cvičenie 2. Vypočítajte druhú deriváciu pre nasledujúcu funkciu:

Riešenie. Vypočítame prvú deriváciu a potom druhú deriváciu pre priradenú funkciu:

Cvičenia

Cvičenie 3. Vypočítajte druhú deriváciu pre nasledujúcu funkciu:

Riešenie. Vypočítame prvú deriváciu a potom druhú deriváciu pre priradenú funkciu:

Cvičenia

Cvičenie 4. Vypočítajte druhú deriváciu pre nasledujúcu funkciu:

Riešenie. Vypočítame pred prvou deriváciou a potom druhou deriváciou pre priradenú funkciu:

Aplikácie diferenciácie: lokálne a absolútne extrémy funkcie

Definícia. O funkcii f s doménou D sa hovorí, že má absolútne maximum pri c, ak f (x) ≤ f (c) pre všetky x D. Číslo f (c) sa nazýva absolútne maximum f na D. O funkcii f sa hovorí, že má a miestne maximálne (alebo príbuzný maximálne) pri c, ak existuje nejaký otvorený interval (a, b) obsahujúci c a f (c) je absolútne maximum f on (a, b).
Definícia. O funkcii f s doménou D sa hovorí, že má absolútne minimum pri c, ak f (x) ≥ f (c) pre všetky x D. Číslo f (c) sa nazýva absolútne minimum f na D. Funkcia f je povedal, že má lokálne minimum (alebo relatívne minimum) v c, ak existuje nejaký otvorený interval (a, b) obsahujúci c a f (c) je absolútne minimum f v (a, b).

Aplikácie diferenciácie: lokálne a absolútne extrémy funkcie

Definícia. Absolútne maximum alebo absolútne minimum f sa nazýva an absolútna extrém z f. Miestne maximum alebo minimum f sa nazýva miestne extrém z f.
Veta 1. (Veta o extrémnej hodnote). Ak je funkcia f spojitá v uzavretom a ohraničenom intervale [a, b], potom existujú dva body, c1 a c2, v [a, b] také, že f (c1) je absolútne minimum f na [a, b] a f (c2) je absolútne maximum f na [a, b].

Veta 2. Ak je f definované na otvorenom intervale (a, b) obsahujúcom c, f (c) je lokálny extrém f a existuje f & # 8217 (c), potom f & # 8217 (c) = 0.

Aplikácie diferenciácie: lokálne a absolútne extrémy funkcie

Definícia. Ak je f diferencovateľné na c a f & # 8217 (c) = 0, potom hovoríme c a kritický bod alebo stacionárny bod z f.

Definícia. Hovorí sa, že funkcia f rastie v otvorenom intervale (a, b), ak je f (x1) & lt f (x2) pre všetky x1 a x2 v (a, b) také, že x1& lt x2. Hovorí sa, že funkcia f klesajúci na (a, b) ak f (x1) & gt f (x2) pre všetky x1 a x2 v (a, b) také, že x1& lt x2. Hovorí sa, že funkcia f ne-klesajúci na (a, b) ak f (x1) ≤ f (x2) pre všetky x1 a x2 v (a, b) také, že x1& lt x2. O funkcii f sa hovorí, že sa nezvyšuje na (a, b), ak f (x1) ≥ f (x.)2) pre všetky x1 a x2 v (a, b) také, že x1& lt x2.

Aplikácie diferenciácie: lokálne a absolútne extrémy funkcie

Veta 3. Predpokladajme, že dve funkcie f a g sú spojité v uzavretom a ohraničenom intervale [a, b] a dajú sa rozlíšiť v otvorenom intervale (a, b). Potom sú nasledujúce tvrdenia pravdivé:

(i) Ak f & # 8217 (x)> 0 pre každé x v (a, b), potom f rastie na (a, b).
(ii) Ak f & # 8217 (x) <0 pre každé x v (a, b), potom f klesá na (a, b).
(iii) Ak f & # 8217 (x) ≥ 0 pre každé x v (a b), potom f neklesá na (a, b).
(iv) Ak f & # 8217 (x) ≤ 0 pre každé x v (a, b), potom sa f nezvyšuje na (a, b).
(v) Ak f & # 8217 (x) = 0 pre každé x v (a, b), potom je f konštantné na (a, b).

Aplikácie diferenciácie: lokálne a absolútne extrémy funkcie

Veta 4. (Prvý derivačný test na extrém). Nech f je spojité v otvorenom intervale (a, b) a a & lt c & lt b.

(i) Ak f & # 8217 (x)> 0 na (a, c) a f & # 8217 (x) & lt 0 na (c, b), potom f (c) je lokálne maximum f na (a, b) ).
(ii) Ak f & # 8217 (x) & lt 0 na (a, c) a f & # 8217 (x) & gt 0 na (c, b), potom f (c) je lokálne minimum f na (a, b) ).

Cvičenia

Cvičenie 5. Vezmite funkciu

a lokalizujte intervaly, v ktorých sa graf f zväčšuje alebo zmenšuje, lokálne extrémy a absolútne extrémy na [-3, 3].

Riešenie. Funkcia f (x) je definovaná pre všetky reálne čísla. Preto je jej doména: x [-3, 3]. Teraz vypočítame prvú deriváciu na nájdenie stacionárnych bodov a potom použijeme prvý test derivácie na extrémy:

Cvičenia

Ak chcete použiť prvý derivačný test na extrémy, vyriešime nasledujúcu nerovnosť:

a vyhodnotiť znak f & # 8217.

Funkcia f klesá a rastie so

Cvičenia

Potom pomocou prvého derivačného testu na extrémy hovoríme:

Teraz vyhodnotíme funkciu f v koncových bodoch intervalu [-3, 3]:

Cvičenia

Cvičenie 6. Vezmite funkciu a vyhľadajte intervaly, v ktorých sa graf f zväčšuje alebo zmenšuje, lokálne extrémy a absolútne extrémy na doméne funkcie & # 8217s.

Riešenie. Funkcia f (x) je definovaná pre všetky reálne čísla. Preto je jeho doménou: X ] & # 8211 ∞, + ∞ [. Teraz vypočítame prvú deriváciu na nájdenie stacionárnych bodov a potom použijeme prvý test derivácie na extrémy:

Cvičenia

Takže f & # 8217 (x) = 0, keď 1 & # 8211 x 2 = 0. Funkcia f má teda dva kritické body:

Teraz, aby sme použili prvý derivačný test na extrémy, vyriešime nasledujúcu nerovnosť:

a vyhodnotiť znak f & # 8217.

Cvičenia

Teraz, pri použití prvého derivačného testu na extrémy, hovoríme:

Cvičenia

Ďalej študujeme správanie funkcie f v koncových bodoch jej domény] -, + [:

Ukazujúce, že os x je vodorovná asymptota pre graf f.

Cvičenia

Ak teda dáme tieto pozorovania dohromady, môžeme povedať, že:

Cvičenia

Cvičenie 7. Vezmite funkciu a vyhľadajte intervaly, v ktorých sa graf f zväčšuje alebo zmenšuje, lokálne extrémy a absolútne extrémy na doméne funkcie & # 8217s.


Čo je analógová modulácia?

Analógový signál je spojitá vlna, kde je časovo premenná veličina vlny predstavovaná vo vzťahu k inej časovo odlišnej kvalite, ktorá je analogická s ostatnými časovo meniacimi sa signálmi. A analógová modulácia je postup prenosu nízkofrekvenčných signálov, ako sú televízne signály alebo zvukové signály, pomocou vysokofrekvenčných nosných signálov, ako sú vysokofrekvenčné signály. Pri tomto type modulácie sa vyžaduje pásmový kanál, ktorý zodpovedá špecifikovanému rozsahu frekvencií. Tieto frekvencie sa prenášajú cez pásmový filter, ktorý umožňuje priechod určitých frekvencií a zabrániť tak signálom pri nežiaducich frekvenciách.

Keď je nosný signál predstavovaný rovnicou

Tu Ac člen predstavuje amplitúdu, fc člen predstavuje frekvenciu a Ф člen predstavuje fázu nosného signálu.


Ex 6.5 Trieda 12 Matematika Otázka 1.
Vyhľadajte maximálnu a minimálnu hodnotu, ak existujú, z nasledujúcich funkcií uvedených v
(i) f (x) = (2x & # 8211 1) ² + 3
(ii) f (x) = 9x² + 12x + 2
(iii) f (x) = & # 8211 (x & # 8211 1) ² + 10
(iv) g (x) = x 3 + 1
Riešenie:
(i) Minimálna hodnota (2x & # 8211 1) ² je nula.
Minimálna hodnota (2x & # 8211 1) ² + 3 je 3
Je zrejmé, že nemá maximálnu hodnotu,
(ii) f (x) = 9x² + 12x + 2
⇒ f (x) = (3x + 2) ² & # 8211 2
Minimálna hodnota (3 + 2) ² je nula.
∴ Min. Hodnota (3x + 2) ² & # 8211 2 = 9x² + 12x + 2 je & # 8211 2
f (x) nemá konečnú maximálnu hodnotu
(iii) f (x) = & # 8211 (x & # 8211 1) ² + 10
Maximálna hodnota & # 8211 (x & # 8211 1) ² je nula
Maximálny odhadca f f (x) = & # 8211 (x & # 8211 1) ² + 10 je 10
f (x) nemá konečnú minimálnu hodnotu.
(iv) Ako x— »∞, g (x) -» ∞Tiež x - »- ∞, g (x) -» - ∞
Neexistuje teda žiadna maximálna ani minimálna hodnota f (x)

Ex 6.5 Matematická trieda 12, otázka 2.
Vyhľadajte maximálnu a minimálnu hodnotu, ak existujú, z nasledujúcich funkcií uvedených v
i) f (x) = | x + 2 | & # 8211 1
ii) g (x) = - | x + 1 | + 3
(iii) h (x) = hriech 2x + 5
(iv) f (x) = | sin (4x + 3) |
(v) h (x) = x + 1, x∈ (-1,1)
Riešenie:
(i) Máme: f (x) = | x + 2 | -1 ∀x∈R
Teraz | x + 2 | ≥0∀x∈R
| x + 2 | & # 8211 1 ≥ & # 8211 1 ∀x∈R,
Takže -1 je min. hodnota f (x)
teraz f (x) = -1
⇒ | x + 2 | -1
⇒ | x + 2 | = 0
⇒ x = & # 8211 2
(ii) Máme g (x) = - | x + 1 | + 3 ∀x∈R
Teraz | x + 1 | ≥ 0 ∀x∈R
- | x + 1 | + 3 ≤3 ∀x∈R
Takže 3 je minimálna hodnota f (x).
Teraz f (x) = 3
⇒ - | x + 1 | + 3
⇒ | x + 1 | = 0
⇒ x = & # 8211 1.
(iii) Maximálna hodnota f (x) je teda 6 a minimálna hodnota 4.
(iv) Nech f (x) = | sin4x + 3 |
Maximálna hodnota hriechu 4x je 1
∴ Maximálna hodnota | sin (4x + 3) | je | 1 + 3 | = 4
Minimálna hodnota hriechu 4x je -1
∴ Minimálna hodnota f (x) je | -1 + 3 | = | 2 | = 2
(v) Najvyššia hodnota f (x) je 2 a najmenšia hodnota je 0.

Ex 6.5 Matematická trieda 12, otázka 3.
Vyhľadajte miestne maximá a miestne minimá, ak existujú, z nasledujúcich funkcií. Nájdite tiež miestne maximum a miestne minimálne hodnoty, podľa okolností:
(i) f (x) = x 2
(ii) g (x) = x 3 & # 8211 3x
(iii) h (x) = sinx + cosx, 0 & ltx & lt
(iv) f (x) = hriech 4 x + cos 4 x, 0 & ltx & lt
(v) f (x) = x 3 & # 8211 6x 2 + 9x: +15
(vi) g (x) =, x a> 0
(vii) g (x) =, x & gt0
(viii) f (x) =, x & gt0
Riešenie:
(i) Nech f (x) = x² ⇒ f ‘(x) = 2x
Teraz f '(x) = 0 ⇒ 2x = 0, tj. X = 0
Pri x = 0 Keď x je mierne gt 0, f (x) je + ve
∴ f (x) zmení znamienko z -ve na + ve, keď x stúpa o 0.
⇒ f & # 8217 (x) má lokálne minimum pri x = 0 lokálna minimálna hodnota f (0) = 0.





Ex 6.5 Matematická trieda 12, otázka 4.
Dokážte, že nasledujúce funkcie neobsahujú maximá ani minimá:
(i) f (x) = e x
ii) f (x) = log x
(iii) h (x) = x 3 + x 2 + x + 1
Riešenie:
(i) f '(x) = e x
Pretože f & # 8217 (x) ≠ 0 pre ľubovoľnú hodnotu x.
Takže f (x) = e x nemá max. alebo min.
(ii) f & # 8217 (x) = Jednoznačne f & # 8217 (x) ≠ 0 pre ľubovoľnú hodnotu x.
Takže f & # 8217 (x) = log x nemá maximum alebo minimum.
(iii) Máme f (x) = x 3 + x 2 + x + 1
⇒f & # 8217 (x) = 3x 2 + 2x + 1
Teraz f & # 8217 (x) = 0 = & gt 3x 2 + 2x + 1 = 0

tj f '(x) = 0 v imaginárnych bodoch
f '(x) ≠ 0 pre akúkoľvek skutočnú hodnotu x
Preto neexistuje ani max. ani min.

Ex 6.5 Matematická trieda 12, otázka 5.
Nájdite absolútnu maximálnu hodnotu a absolútnu minimálnu hodnotu nasledujúcich funkcií v daných intervaloch:
(i) f (x) = x 3, x∈ [-2,2]
(ii) f (x) = sin x + cos x, x ∈ [0, π]
(iii) f (x) =
(iv) f (x) =
Riešenie:
(i) Máme f & # 8217 (x) = x 3 v [-2,2]
∴ f '(x) = 3x² Teraz, f & # 8217 (x) = 0 pri x = 0, f (0) = 0
Teraz f (-2) = (-2) 3 = & # 8211 8 f (0) = (0) ² = 0 af (0) = (2) = 8
Absolútna maximálna hodnota f (x) je teda 8, ktorú dosiahla pri x = 2, a absolútna minimálna hodnota f (x) = & # 8211 8, ktorá sa dosiahne pri x = -2.
(ii) Máme f (x) = sin x + cos x v [0, π]
f & # 8217 (x) = cos x & # 8211 sin x pre extrémne hodnoty f & # 8217 (x) = 0

Ex 6.5. Trieda 12, matematika, otázka 6.
Nájdite maximálny zisk, ktorý môže spoločnosť dosiahnuť, ak je funkcia zisku daná parametrom p (x) = 41 & # 8211 24x & # 8211 18x²
Riešenie:
Zisková funkcia v p (x) = 41 & # 8211 24x & # 8211 18x²
∴ p '(x) = & # 8211 24 & # 8211 36x = & # 8211 12 (2 + 3x)
pre maximá a minimá, p '(x) = 0
Teraz p '(x) = 0
⇒ & # 8211 12 (2 + 3x) = 0
⇒ x =,
p '(x) zmení znamienko od + ve do -ve.
⇒ p (x) má maximálnu hodnotu pri x =
Maximálny zisk = 41 + 16 & # 8211 8 = 49.

Ex 6.5 Trieda 12, matematika, otázka 7.
Nájdite maximálnu aj minimálnu hodnotu 3x 4 & # 8211 8x 3 + 12x 2 & # 8211 48x + 25 v intervale [0,3].
Riešenie:
Nech f (x) = 3x 4 & # 8211 8x 3 + 12x 2 & # 8211 48x + 25
∴f '(x) = 12x 3 & # 8211 24x 2 + 24x & # 8211 48
= 12 (x 2 + 2) (x & # 8211 2)
Pre maximá a minimá f '(x) = 0
⇒ 12 (x 2 + 2) (x & # 8211 2) = 0
⇒ x = 2
Teraz nájdeme f (x) na x = 0,2 a 3, f (0) = 25,
f (2) = 3 (2 4) & # 8211 8 (2 3) + 12 (2 2) & # 8211 48 (2) + 25 = & # 8211 39
a f (3) = (3 4) & # 8211 8 (3 3) + 12 (3 2) & # 8211 48 (3) + 25
= 243 – 216 + 108 – 144 + 25 = 16
Preto pri x = 0, maximálna hodnota = 25
pri x = 2, minimálna hodnota = & # 8211 39.

Ex 6.5 Matematická trieda 12, otázka 8.
V ktorých bodoch v intervale [0,2π] dosiahne funkcia sin 2x svoju maximálnu hodnotu?
Riešenie:
Máme f (x) = sin 2x v [0,2π], f & # 8217 (x) = 2 cos 2 x
Pre maximá a minimá f & # 8217 (x) = 0 = & gt cos 2 x = 0

Ex 6.5 Matematická trieda 12, otázka 9.
Aká je maximálna hodnota funkcie sin x + cos x?
Riešenie:
Zvážte interval [0, 2π],
Nech f (x) = sinx + cosx,
f & # 8217 (x) = cosx & # 8211 sinx
Pre maximá a minimá platí f & # 8217 (x) = 0

Ex 6.5 Matematická trieda 12, otázka 10.
Nájdite maximálnu hodnotu 2x 3 & # 8211 24x + 107 v intervale [1,3]. Maximálnu hodnotu tej istej funkcie vyhľadajte v [-3, -1].
Riešenie:
∵ f (x) = 2x 3 & # 8211 24x + 107
∴f (x) = 6x 2 & # 8211 24,
Pre maximá a minimá f '(x) = 0⇒ x = ± 2
Pre interval [1,3] nájdeme hodnoty f (x)
pri x = 1,2,3 f (1) = 85, f (2) = 75, f (3) = 89
Preto maximum f (x) = 89 pri x = 3
Pre interval [-3, -1] nájdeme hodnoty f (x) na x = & # 8211 3, & # 8211 2, & # 8211 1
f (-3) = 125
f (-2) = 139
f (-1) = 129
∴ max.f (x) = 139 pri x = & # 8211 2.

Ex 6.5. Trieda 12, matematika, otázka 11.
Je uvedené, že pri x = 1 dosiahne funkcia x 4 & # 8211 62x 2 + ax + 9 svoju maximálnu hodnotu v intervale [0,2]. Nájdite hodnotu a.
Riešenie:
∵ f (x) = x 4 & # 8211 62x 2 + sekera + 9
∴ f & # 8217 (x) = 4x 3 & # 8211 124x + a
Teraz f & # 8217 (x) = 0 pri x = 1
⇒ 4 & # 8211 124 + a = 0
⇒ a = 120
Teraz f & # 8221 (x) = 12x 2 & # 8211 124:
Pri x = 1 f & # 8221 (1) = 12 & # 8211 124 = & # 8211 112 & lt 0
⇒ f (x) má maximum pri x = 1, keď a = 120.

Ex 6.5 Matematická trieda 12, otázka 12.
Nájdite maximálnu a minimálnu hodnotu x + sin 2x na [0,2π]
Riešenie:
∴f (x) = x + sin2x dňa [0,2π]
∴f & # 8217 (x) = 1 + 2 cos2x
Pre maximá a minima f & # 8217 (x) = 0

Ex 6.5 Trieda 12 Matematika Otázka 13.
Nájdite dve čísla, ktorých súčet je 24 a ktorých súčin je čo najväčší.
Riešenie:
Nechajte požadované čísla hex a (24-x)
∴Ich produkt, p = x (24 & # 8211 x) = 24x & # 8211 x²
Teraz = 0 ⇒24 & # 8211 2x = 0 ⇒ x = 12
Tiež = -2 & lt0: ⇒ p je max pri x = 12
Preto sú požadované čísla 12 a (24-12), t.j. 12.

Ex 6.5. Trieda 12, matematika, otázka 14.
Nájdite dve kladné čísla xay tak, aby x + y = 60 a xy 3 boli maximálne.
Riešenie:
Máme x + y = 60
⇒ y = 60 & # 8211 x & # 8230 (i)

Preto je požiadavka čísla sú 15 a (60-15), t. j. 15 a 45.

Ex 6.5. Trieda 12, matematika, otázka 15.
Nájdite dve kladné čísla x a y, takže ich súčet je 35 a súčin x 2 y 5 je maximum.
Riešenie:
Máme x + y = 35 ⇒ y = 35 & # 8211 x
Produkt p = x 2 y 5
= x 2 (35 a # 8211 x) 5

Ex 6.5. Trieda 12, matematika, otázka 16.
Nájdite dve kladné čísla, ktorých súčet je 16 a súčet ich kociek je minimálny.
Riešenie:
Nech sú dve čísla x a 16 & # 8211 x

Preto sú požadované čísla 8 a (16-8), t. J. 8 a 8.

Ex 6.5 Trieda 12, matematika, otázka 17.
Zo štvorca cínu zo strany 18 cm sa má vyrobiť krabica bez vrchnej časti tak, že sa z každého rohu vyreže štvorec a vyklopením chlopní sa vytvorí krabica. Aká by mala byť strana štvorca, ktorá sa má odrezať, aby bol objem krabice maximálny možný.
Riešenie:
Každá strana štvorca, ktorý sa má odrezať, nech je x cm.
∴ pre dĺžku krabice = 18 & # 8211 2x: šírka = 18 & # 8211 2x a výška = x

Ex 6.5 Class 12 Maths Question 18.
Z obdĺžnikového plechu z plechu 45 cm x 24 cm sa urobí krabica bez vrchu, odrezaním štvorca od každého rohu a vyklopením chlopní. Aká by mala byť strana štvorca, ktorá sa má odrezať, aby bol objem škatule maximálny?
Riešenie:
Každá strana štvorca odrezaná od každého rohu musí byť x cm.
∴ Strany obdĺžnikového boxu sú (45 & # 8211 2x), (24 & # 8211 2x) a x cm.

Ex 6.5. Trieda 12, matematika, otázka 19.
Ukážte, že zo všetkých obdĺžnikov vpísaných do daného pevného kruhu má štvorec maximálnu plochu.
Riešenie:
Nech je dĺžka a šírka obdĺžnika vpísaného do kruhu s polomerom a x, respektíve y.
∴ x² + y² = (2a) ² = & gt x² + y² = 4a² & # 8230 (i)
∴ Obvod = 2 (x + y)

Ex 6.5 Class 12 Maths Question 20.
Ukážte, že pravý kruhový valec daného povrchu a maximálneho objemu je taký, že jeho výška sa rovná priemeru základne.
Riešenie:
Nech S je daná povrchová plocha uzavretého valca, ktorého polomer je r a výška h, nech v je jeho Objem. Potom

Ex 6.5 Class 12 Maths Question 21.
Nájdite zo všetkých uzavretých valcových plechoviek (vpravo kruhové) s daným objemom 100 centimetrov kubických rozmery plechovky, ktorá má minimálny povrch?
Riešenie:
Nech r je polomer a h je výška valcovej plechovky.

Ex 6.5. Trieda 12, matematika, otázka 22.
Drôt s dĺžkou 28 m sa má prerezať na dva kusy. Jeden z kusov má byť vyrobený do štvorca a druhý do kruhu. Aká by mala byť dĺžka dvoch kusov, aby kombinovaná plocha štvorca a kruhu bola minimálna?
Riešenie:
Jedna časť má dĺžku x, potom druhá časť = 28 & # 8211 x
Nechajte časť dĺžky x previesť na kružnicu s polomerom r.


Ex 6.5 Class 12 Maths Question 23.
Dokážte, že objem najväčšieho kužeľa, ktorý je možné vpísať do gule s polomerom R, je objemom gule.
Riešenie:
Nechajte šišku. VAB s najväčším objemom sú vpísané do gule, nech AOC = θ
∴ AC, polomer základne kužeľa = R sin θ
a VC = VO + OC = R (1 + kozθ)
= R + Rcosθ
= výška kužeľa.,
V, objem kužeľa.

Ex 6.5 Class 12 Maths Question 24.
Ukážte, že pravý kruhový kužeľ s najmenej zakriveným povrchom a daným objemom má nadmorskú výšku rovnajúcu sa √2-násobku polomeru základne.
Riešenie:
Nech r a h sú polomer a výška kužeľa.

Ex 6.5. Trieda 12, matematika, otázka 25.
Ukážte, že semi-vertikálny uhol kužeľa maximálneho objemu a danej výšky sklonu je tan -1 √2.
Riešenie:
Nech v je objem, l je šikmá výška a 0 je polo vertikálny uhol kužeľa.

Ex 6.5. Trieda 12, matematika, otázka 26.
Ukážte, že semi-vertikálny uhol pravého kruhového kužeľa danej plochy a maximálneho objemu je
Riešenie:
Nech r je polomer, l je šikmá výška a h je výška kužeľa s danou povrchovou plochou s. Potom

Vyberte správnu odpoveď v Cvičeniach 27 a 29.

Ex 6.5 Class 12 Maths Question 27.
Bod na krivke dielu x² = 2y, ktorý je najbližšie k bodu (0,5), je
a) (2 √2,4)
b) (2 √ 2,0)
c) (0,0)
d) (2,2)
Riešenie:
a) Nech P (x, y) je bod na krivke. Druhým bodom je A (0,5).
Z = PA² = x² + y² + 25 & # 8211 10r [∵ x² = 2r]

Ex 6.5. Trieda 12, matematika, otázka 28.
Pre všetky skutočné hodnoty x minimálna hodnota
a) 0
b) 1
c) 3
d)
Riešenie:
(d) Nech

Ex 6.5. Trieda 12, matematika, otázka 29.
Maximálna hodnota je
a)
b)
c) 1
d) 0
Riešenie:
c) Nech y =

Dúfame, že vám pomôžu riešenia NCERT pre matematiku triedy 12, kapitola 6, Aplikácia derivátov Ex 6.5. Ak máte akékoľvek otázky týkajúce sa riešení NCERT pre matematiku triedy 12, kapitola 6, Aplikácia derivátov Ex 6.5, vložte komentár nižšie a my sa vám ozveme najskôr.


Cvičenia 4.1

Podmienky a koncepcie

T / F: Pri riešení problémov typu „súvisiace sadzby“ sa často používa implicitná diferenciácia.

T / F: Štúdia súvisiacich sadzieb je súčasťou štandardného výcviku policajta.

Problémy

Plocha štvorca sa zväčšuje rýchlosťou 42 ft 2 / min. Ako rýchlo sa zvyšuje dĺžka strany, keď je dĺžka 7 stôp?

Zvážte dopravnú situáciu uvedenú v príklade 4.1.3. Ako rýchlo cestuje „druhé auto“, ak je dôstojník a druhé auto každý kilometer od križovatky, druhé auto ide na západ, dôstojník cestuje na sever rýchlosťou 50 míľ / h a hodnota radaru je - 80 mph. ?

Lietadlo F-22 letí rýchlosťou 500 míľ za hodinu s prevýšením 10 000 stôp po priamke, ktorá ho privedie priamo nad protilietadlové delo.