Články

4.1.E: Problémy týkajúce sa limitov a spojitosti - matematika


Cvičenie ( PageIndex {1} )

Preukázať Dodatok (2.) Prečo je možné tu vymeniť (G_ {p} ( delta) ) a (G _ { neg p} ( delta) )?

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Preukázať Dodatok (3. ) Indukciou rozšíriť svoju prvú klauzulu na spojenia ciest (n ). Vyvracajte to pre nekonečné spojenia ciest (pozri problém 9 v §3).

Cvičenie ( PageIndex {2 '} )

Dokážte, že funkcia (f: E ^ {1} rightarrow left (T, rho ^ { prime} right) ) je spojitá pri (p ) iff
[
f (p) = f doľava (p ^ {-} doprava) = f doľava (p ^ {+} doprava).
]

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Ukážte, že relatívne limity a spojitosť na (p ) (nad (B) ) sú ekvivalentné s bežnými, ak (B ) susedí s (p ) (kapitola 3, §12); napríklad ak je to nejaké (G_ {p} ).

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Podrobne diskutujte o obrázkoch (13 - 15 ), porovnávajúcich (f (p), f ľavé (p ^ {-} pravé), ) a (f ľavé (p ^ {+} pravé) ; ) pozri Problém (2 ^ { prime}. )
Všimnite si, že na obrázku (13, ) majú rôzne hodnoty ( delta ) za následok (p ) a (p_ {1} ) pre rovnaký ( varepsilon. ) Teda ( delta ) závisí od ( varepsilon ) aj od voľby (str. )

Cvičenie ( PageIndex {5} )

Vyplňte chýbajúce podrobnosti v príkladoch (( mathrm {d}) - ( mathrm {g}). Operatorname {In} ( mathrm {d}), ) predefinujte (f (x) ) najmenšie celé číslo ( geq x. ) Ukážte, že (f ) je potom vľavo spojité na (E ^ {1} ).

Cvičenie ( PageIndex {6} )

Zadajte explicitné definície (napríklad ((3)) ) pre
[
begin {pole} {ll} { text {(a)} lim _ {x rightarrow + infty} f (x) = - infty;} & { text {(b)} lim _ {x rightarrow- infty} f (x) = q}; { text {(c)} lim _ {x rightarrow p} f (x) = + infty;} & { text {(d)} lim _ {x rightarrow p} f (x ) = - infty}; { text {(e)} lim _ {x rightarrow p ^ {-}} f (x) = + infty;} & { text {(f)} lim _ {x rightarrow p ^ {+}} f (x) = - infty}. end {pole}
]
V obidvoch prípadoch nakreslite diagram (napríklad Obrázky (13-15) ) a určite, či doména aj rozsah (f ) musia byť v (E ^ {*} ).

Cvičenie ( PageIndex {7} )

Definujte (f: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) podľa
[
f (x) = frac {x ^ {2} -1} {x-1} text {if} x neq 1, text {a} f (1) = 0.
]
Ukážte, že ( lim _ {x rightarrow 1} f (x) = 2 ) existuje, ale (f ) je diskontinuálne v (p = 1.) Znovu definujte (f (1) ). )
([ {Tip: Pre} x neq 1, f (x) = x + 1. text {Postupujte ako v príklade (b), pomocou vymazaného glóbusu) ) (G _ { neg p} ( delta).] )

Cvičenie ( PageIndex {8} )

Nájdite ( lim _ {x rightarrow p} f (x) ) a skontrolujte spojitosť na (p ) v nasledujúcich prípadoch za predpokladu, že (D_ {f} = A ) je množina všetkých (x v E ^ {1} ), pre ktoré má daný výraz pre (f (x) ) zmysel. Uveďte túto množinu.
[
begin {pole} {l} { text {(a)} lim _ {x rightarrow 2} doľava (2 x ^ {2} -3 x-5 doprava); quad text {(b)} lim _ {x rightarrow 1} frac {3 x + 2} {2 x-1}} { text {(c)} lim _ {x rightarrow -1} left ( frac {x ^ {2} -4} {x + 2} -1 right);} & { text {(d)} lim _ {x rightarrow 2} frac { x ^ {3} -8} {x-2}} { text {(e)} lim _ {x rightarrow a} frac {x ^ {4} -a ^ {4}} {xa };} & { text {(f)} lim _ {x rightarrow 0} left ( frac {x} {x + 1} right) ^ {3}} { text {(g )} lim _ {x rightarrow-1} left ( frac {1} {x ^ {2} +1} right) ^ {2}} end {array}
]
([ text {Príklad riešenia: Nájsť} lim _ {x rightarrow 1} frac {5 x ^ {2} -1} {2 x + 3}. )
Tu
[
f (x) = frac {5 x ^ {2} -1} {2 x + 3}; A = E ^ {1} - doľava {- frac {3} {2} doprava }; p = 1.
]
Ukazujeme, že (f ) je spojité na (p, ) a tak (podľa Dodatku 2 () )
[
f (x) = frac {5x ^ {2} - 1} {2x + 3}; A = E ^ {1} - large {- frac {3} {2} large }; p = 1.
]
Ukazujeme, že (f ) je spojité na (p ), a teda (podľa Dodatku 2)
[
lim _ {x rightarrow p} f (x) = f (p) = f (1) = frac {4} {5}.
]
Pomocou vzorca ((1), ) opravíme ľubovoľný ( varepsilon> 0 ) a hľadáme ( delta ) taký, aby
[
left ( forall x in A cap G_ {p} ( delta) right) quad rho (f (x), f (1)) = | f (x) -f (1) | < varepsilon, text {tj.}, doľava | frac {5 x ^ {2} -1} {2 x + 3} - frac {4} {5} doprava | < varepsilon;
]
alebo vložením všetkého nad spoločného menovateľa a použitím vlastností absolútnych hodnôt,
[
| x-1 | frac {| 25 x + 17 |} {5 | 2 x + 3 |} < varepsilon text {kedykoľvek} | x-1 | < delta text {a} x v A.
]
(Zvyčajne je pri takýchto problémoch vhodné vylúčiť (x-p.) )
Podľa poznámky (4, ) môžeme predpokladať (0 < delta leq 1. ) Potom (| x-1 | < delta ) znamená (- 1 leq x-1 leq 1 ) tj (0 leq x leq 2, ) tak
[
5 | 2 x + 3 | geq 15 text {and} | 25 x + 17 | leq 67.
]
Preto (6) bude určite platiť, ak
[
| x-1 | frac {67} {15} < varepsilon, text {tj. ak} | x-1 | < frac {15 varepsilon} {67}.
]
Aby sme to dosiahli, zvolíme ( delta = min (1,15 varepsilon / 67). ) Potom obrátením všetkých krokov získame ((6), ) a teda ( lim _ {x rightarrow 1} f (x) = f (1) = 4/5.] )

Cvičenie ( PageIndex {9} )

Nájsť (pomocou definícií, ako napríklad ((3)) )
[
begin {array} {ll} { text {(a)} lim _ {x rightarrow + infty} frac {1} {x};} & { text {(b)} lim _ {x rightarrow- infty} frac {3 x + 2} {2 x-1}}; { text {(c)} lim _ {x rightarrow + infty} frac {x ^ {3}} {1-x ^ {2}};} & { text {(d)} lim _ {x rightarrow 3 ^ {+}} frac {x-1} {x-3}}; { text {(e)} lim _ {x rightarrow 3 ^ {-}} frac {x-1} {x-3};} & { text {(f)} lim _ { x rightarrow 3} doľava | frac {x-1} {x-3} doprava |}. end {pole}
]

Cvičenie ( PageIndex {10} )

Dokážte, že ak
[
lim _ {x rightarrow p} f (x) = overline {q} v E ^ {n} vľavo (^ {*} C ^ {n} vpravo),
]
potom pre každý skalár (c ),
[
lim _ {x rightarrow p} c f (x) = c overline {q}.
]

Cvičenie ( PageIndex {11} )

Definujte (f: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) podľa
[
f (x) = x cdot sin frac {1} {x} text {if} x neq 0, text {a} f (0) = 0.
]
Ukážte, že (f ) je spojité na (p = 0, ), t. J.
[
lim _ {x rightarrow 0} f (x) = f (0) = 0.
]
Nakreslite približný graf (je obsiahnutý medzi riadkami (y = pm x) ).
( left [ text {Tip:} left | x cdot sin frac {1} {x} -0 right | leq | x |. right] )

Cvičenie ( PageIndex {* 12} )

Diskutujte o výroku: (f ) je spojité na (p ) iff
[
left ( forall G_ {f (p)} right) left ( existuje G_ {p} right) quad f left [G_ {p} right] subseteq G_ {f (p)}.
]

Cvičenie ( PageIndex {13} )

Definujte (f: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) podľa
[
f (x) = x text {ak} x text {je racionálny}
]
a
[
f (x) = 0 text {inak}.
]
Ukážte, že (f ) je spojitá na 0, ale nikde inde. Čo tak relatívna kontinuita?

Cvičenie ( PageIndex {14} )

Nech (A = (0, + infty) podmnožina E ^ {1}. ) Definujte (f: A pravá šípka E ^ {1} ) pomocou
[
f (x) = 0 text {if} x text {je iracionálny}
]
a
[
f (x) = frac {1} {n} text {if} x = frac {m} {n} ( text {v najnižších termínoch})
]
pre niektoré prirodzené (m ) a (n. ) ukážte, že (f ) je spojité v každej iracionálnej polohe, ale v žiadnom racionálnom prípade bod (p v A. )
[Rady: Ak je (p ) iracionálne, opravte ( varepsilon> 0 ) a celé číslo (k> 1 / varepsilon. ) V (G_ {p} (1), ) sú iba definitívne veľa neredukovateľných zlomkov
[
frac {m} {n}> 0 text {s} n leq k,
]
takže jeden z nich, nazvime to (r, ) je najbližšie k (str.) Putovi
[
delta = min (1, | r-p |)
]
a ukáž to
[
left ( forall x in A cap G_ {p} ( delta) right) quad | f (x) -f (p) | = f (x) < varepsilon,
]
rozlišovanie prípadov, kde (x ) je racionálny a iracionálny.
Ak je (p ) racionálne, využite skutočnosť, že každé (G_ {p} ( delta) ) obsahuje iracionálne hodnoty (x ), pri ktorých
[
f (x) = 0 Longrightarrow | f (x) -f (p) | = f (p).
]
Vezmite ( varepsilon

Cvičenie ( PageIndex {15} )

Vzhľadom na dve reálne rovnice (p> 0 ) a (q> 0, ) definujú (f: E ^ {1} pravý šíp E ^ {1} )
[
f (0) = 0 text {and} f (x) = left ( frac {x} {p} right) cdot left [ frac {q} {x} right] text {if } x neq 0.
]
tu ([q / x] ) je neoddeliteľnou súčasťou (q / x ).
(i) Je (f ) vľavo alebo vpravo spojitý na 0 (? )
(ii) Rovnaká otázka s (f (x) = [x / p] (q / x) ).

Cvičenie ( PageIndex {16} )

Dokážte, že ak je ((S, rho) ) diskrétne, potom sú všetky funkcie (f: S pravá šípka ľavá (T, rho ^ { prime} pravá) ) spojité. Čo keď ( left (T, rho ^ { prime} right) ) je diskrétne, ale ((S, rho) ) nie je?


Väčšinou sa kandidátom nedarí v predmetovej maturitnej / vstupnej skúške. pretože málo kapitol z matematiky je numericky založených na teoretických základoch a málo IQ na to, prečo sa im nedarí. Napríklad limitná kapitola, Po prečítaní diferenciálnej kapitoly chceme urobiť všetky príklady diferenciálnej kapitoly a NCERT, ilustrácie,

Dôležitosť minuloročných a úplných učebných osnov JEE, ktoré sú užitočné pri dosahovaní najvyšších skóre ...

Väčšinou sa študentom nedarí v prijímacích skúškach na univerzitu jee. Dôvodom je to, že maximálny počet študentov, ktorí nájdu dobrých trénerských inštitútov, sú špičkoví učitelia a sú v rozpätí jeho 3 až 5 mesiacov, na ktoré nesúhlasia so štúdiom. Potom študenti hlavnej školy, ktorí absolvujú iba úplné osnovy, sú závislý iba koučovací inštitút, iit koučovací inštitút, ak dokážeme z času na čas doplniť náš sylabus a potom dokážeme skompletizovať jee mains predchádzajúcich 5 až 8 rokov dotazníky s overením všetkých riešení.

Nakoniec, ak dokážeme pripraviť ukážkový papier s úplnou osnovou, najťažšiu otázku s úplnou osnovou a kompletnú osnovu príkladov z fyziky, chémie a matematiky, precvičiť si papier s otázkami s vyriešenou ilustráciou riešenia na maximum až do maxima vyriešeného a nevyriešeného, ​​čo je najdôležitejšie, a preto môžeme ľahko PORUŠIŤ sieť JEE, JEE Advanced a NEET Medical (AIPMT) Prijímacie skúšky a výsledky tak užitočné pre dobré skóre Otázka, ktorá je brahmastra pre všetky predmety (fyzika, chémia, matematická botanika a zoológia) sieťová matematika vyšetrenie.


4.1.E: Problémy týkajúce sa limitov a spojitosti - matematika

Matematické videá sú hlavným zdrojom informácií pre študentov, aby sa mohli pohodlne učiť matematiku. Ak študent chodí na konkrétnu hodinu z matematiky, musí sa úplne sústrediť a robiť si poznámky o tom, čo sa na hodine vyučuje. A študent nemôže zaznamenať všetko a všetko, čo mu vysvetlil lektor v triede. Študent si bude robiť poznámky iba k niektorým dôležitým bodom. Keď je študent niekoľko sekúnd mimo sústredenia, školiteľ môže povedať niektoré dôležité body. A študent nemusí mať možnosť požiadať školiteľa, aby to zopakoval. V & # xa0táto situácia, ak chce študent zrekapitulovať, čo sa v triede učilo alebo vysvetľovalo o konkrétnej veci, môže mať zmätok. & # Xa0

Ak má študent videozáznam z konkrétnej triedy, môže si z triedy prehrať videozáznam a zrekapitulovať ľubovoľný okamih triedy podľa požiadavky. Takže ak majú študenti video zo všetkých tried, môžu si kedykoľvek prehrať video z ktorejkoľvek konkrétnej triedy a získať to, čo chceli. Mať video na konkrétnu tému je ako učiteľ, ktorý je so študentmi.

Ak sa chcete dozvedieť viac o dôležitosti matematických videí, zvážme nasledujúcu príhodu.

„Na začiatku akademického roka študuje študent na škole. V tom čase učiteľ na škole učí niektoré témy z matematiky. Robí si z toho poznámky. Na konci roka sa študent pripravuje na záverečnú skúšku. V čase prípravy zabúda na veľa vecí z matematiky, ktoré sa naučil na začiatku akademického roka. Teraz potrebuje pomoc učiteľa, aby vysvetlil, na čo si nepamätá. Pre učiteľa je ale trochu ťažké vyriešiť všetky pochybnosti v škole. V tejto situácii môžu byť rodičia študenta povinní najať si tútora, aby si študenti zrekapitulovali to, čo si v skutočnosti nepamätá. Ak je školiteľ prijatý do zamestnania, školiteľ musí byť zaplatený a peniaze vyplatené školiteľovi sú ďalším výdavkom pre rodičov.

Z vyššie uvedeného incidentu je zrejmé, že sa to stáva mnohým študentom. A rodičia budú možno musieť minúť nejaké peniaze, aby prekonali vyššie uvedený problém. Aby sa tomu zabránilo, musia študenti mať videá s tým, čo sa učia. Na tejto stránke poskytujeme videá z matematiky, aby bolo učenie lepšie. Videá, ktoré sme poskytli na tejto stránke, nie sú konečné. Každý deň matematicky aktualizujeme nové videá na rôzne témy. Často navštevujte naše webové stránky, aby ste získali nové videá z matematiky. & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0 & # xa0

Ak si chcete pozrieť video s konkrétnou témou, kliknite na uvedený odkaz.


Otázky týkajúce sa kontinuity riešení

Otázky s odpoveďami na kontinuitu funkcií s dôrazom na racionálne a čiastkové funkcie. Diskutuje sa o spojitosti funkcie a jej derivácie v danom bode. Zahrnutý je aj grafický význam a interpretácia spojitosti.

Príklad 1: Pre aké hodnoty x je každá z nasledujúcich funkcií nespojitá?

Riešenie z príkladu 1
a) Pre x = 0, menovateľ funkcie f (x) rovná sa 0 a f (x) nie je definované a nemá limit na x = 0. Preto fungujú f (x) je diskontinuálny v x = 0.
b) Pre x = 2 menovateľ funkcie g (x) sa rovná 0 a funkcia g (x) nie je definované na x = 2 a nemá to nijaké obmedzenie. Funkcia g (x) nie je spojitá na x = 2.
c) Menovateľ funkcie h (x) možno zohľadniť nasledovne: x 2 -1 = (x - 1) (x + 1). Menovateľ sa rovná 0 pre hodnoty x = 1 a x = -1, pre ktoré je funkcia nedefinovaná a nemá žiadne obmedzenia. Funkcia h je diskontinuálne pri x = 1 a x = -1.
d) opálenie (x) nie je definované pre všetky hodnoty X také, že x = & # 960/2 + k & # 960, kde k je akékoľvek celé číslo (k = 0, -1, 1, -2, 2) a preto je diskontinuálny pre tie isté hodnoty X.
e) Menovateľ funkcie j (x) sa rovná 0 pre X také, že cos (x) - 1 = 0 alebo x = k (2 & # 960), kde k je akékoľvek celé číslo, a preto je táto funkcia nedefinovaná a preto pre všetky rovnaké hodnoty X.
f) Funkcia k (x) je definovaná ako pomer dvoch spojitých funkcií (s menovateľom x 2 + 5 nikdy rovným 0), je definovaná pre všetky reálne hodnoty X a preto nemá žiadny bod diskontinuity.
g) l (x) = (x + 4) / (x + 4) = 1 . Preto lim l (x), keď sa x blíži -4 = 1 = l (-4) . Funkcia l (x) je spojitá pre všetky skutočné hodnoty x, a preto nemá žiadny bod diskontinuity.

Príklad 2: Nájsť b také, že f (x) uvedené nižšie je nepretržité?

Riešenie z príkladu 2
Pre x> -1 je f (x) = 2 x 2 + b polynomiálna funkcia, a teda spojitá.
Pre x & lt -1 je f (x) = -x 3 polynomiálna funkcia, a teda spojitá.
Pre x = -1
f (-1) = 2 (-1) 2 + b = 2 + b
uvažujme limity ľavej a pravej ruky
limit zľava od -1

Príklad 3: Nájsť a a b také, že oboje g (x) uvedený nižšie a jeho prvá derivácia sú spojité?

Riešenie z príkladu 3
Spojitosť funkcie g
Pre x> 2 je g (x) = a x 2 + b polynomiálna funkcia, a teda spojitá.
Pre x & lt 2 je g (x) = -2 x + 2 polynomiálna funkcia, a teda spojitá.
nechajme

Funkcia g (x) je uvedená nižšie a je zrejmé, že funkcia aj jej derivácia (sklon) sú spojité pri x = 2.

4.2 Limity a kontinuita

Teraz sme preskúmali funkcie viac ako jednej premennej a videli sme, ako ich grafovať. V tejto časti vidíme, ako vziať limit funkcie viac ako jednej premennej a čo to znamená, keď je funkcia viac ako jednej premennej spojitá v bode v jej doméne. Ukázalo sa, že tieto koncepty majú aspekty, ktoré sa pri funkciách jednej premennej jednoducho nevyskytujú.

Limit funkcie dvoch premenných

Pripomeňme si z limitu funkcie definíciu limitu funkcie jednej premennej:

Predtým, ako budeme môcť prispôsobiť túto definíciu tak, aby definovala limit funkcie dvoch premenných, je potrebné najskôr zistiť, ako rozšíriť myšlienku otvoreného intervalu v jednej premennej na otvorený interval v dvoch premenných.

Definícia

ako ukazuje nasledujúci graf.

Vo viac ako jednej dimenzii používame disk δ δ.

Definícia

Preukázať existenciu limitu pomocou definície limitu funkcie dvoch premenných môže byť náročné. Namiesto toho použijeme nasledujúcu vetu, ktorá nám poskytne skratky pri hľadaní limitov. Vzorce v tejto vete sú rozšírením vzorcov v teórii limitných zákonov v Limitných zákonoch.

Limitné zákony pre funkcie dvoch premenných

Konštantné právo:

Zákony o totožnosti:

Zákon rozdielu:

Konštantné viacnásobné právo:

Zákon o produkte:

Kvocient zákona:

pre každé kladné celé číslo n. n.

Dôkazy týchto vlastností sú podobné ako v prípade limitov funkcií jednej premennej. Tieto zákony môžeme uplatniť pri hľadaní obmedzení rôznych funkcií.

Príklad 4.8

Nájdenie limitu funkcie dvoch premenných

Nájdite každý z nasledujúcich limitov:

Riešenie

Vyhodnoťte nasledujúci limit:

Príklad 4.9

Limity, ktoré neexistujú

Ukážte, že neexistuje ani jedno z nasledujúcich obmedzení:

Riešenie

  1. Doména funkcie f (x, y) = 2 xy 3 x 2 + y 2 f (x, y) = 2 xy 3 x 2 + y 2 sa skladá zo všetkých bodov v rovine xy-plane xy -plane okrem bod (0, 0) (0, 0) (obrázok 4.16). Aby sme ukázali, že limit neexistuje tak, ako sa (x, y) (x, y) blíži (0, 0), (0, 0), všimneme si, že nie je možné splniť definíciu limitu funkcie dvoch premenné, pretože funkcia nadobúda rôzne hodnoty pozdĺž rôznych línií prechádzajúcich bodom (0, 0). (0, 0). Najskôr zvážte priamku y = 0 y = 0 v rovine x y. x y -rovina. Dosadenie y = 0 y = 0 do f (x, y) f (x, y) dáva

Vnútorné body a hraničné body

Aby sme mohli študovať kontinuitu a diferencovateľnosť funkcie dvoch alebo viacerých premenných, musíme sa najskôr naučiť novú terminológiu.

Definícia

Definícia

Definícia

Definícia

Príklad 4.10

Limit funkcie v hraničnom bode

Dokážte lim (x, y) → (4, 3) 25 - x 2 - y 2 = 0. lim (x, y) → (4, 3) 25 - x 2 - y 2 = 0.

Riešenie

Môžeme použiť limitné zákony, ktoré platia pre limity na hranici domén aj vnútorných bodov:

Vyhodnoťte nasledujúci limit:

Spojitosť funkcií dvoch premenných

V Kontinuite sme definovali spojitosť funkcie jednej premennej a videli sme, ako sa spoliehala na limit funkcie jednej premennej. Najmä sú potrebné tri podmienky, aby f (x) f (x) bola spojitá v bode x = a: x = a:

Tieto tri podmienky sú nevyhnutné aj pre spojitosť funkcie dvoch premenných.

Definícia

Príklad 4.11

Demonštrácia spojitosti funkcie dvoch premenných

Ukážte, že funkcia f (x, y) = 3 x + 2 y x + y + 1 f (x, y) = 3 x + 2 y x + y + 1 je v bode (5, -3) spojitá. (5, -3).

Riešenie

Podľa definície kontinuity musia byť splnené tri podmienky. V tomto príklade a = 5 a = 5 a b = -3. b = -3.

Ukážte, že funkcia f (x, y) = 26 - 2 x 2 - y 2 f (x, y) = 26 - 2 x 2 - y 2 je spojitá v bode (2, −3). (2, -3).

Súčet spojitých funkcií je spojitý

Produkt nepretržitých funkcií je nepretržitý

Zloženie spojitých funkcií je spojité

Poďme si teraz pomocou predchádzajúcich viet ukázať kontinuitu funkcií v nasledujúcich príkladoch.

Príklad 4.12

Ďalšie príklady kontinuity funkcie dvoch premenných

Riešenie

Funkcie troch alebo viacerých premenných

Definícia

Príklad 4.13

Nájdenie limitu funkcie troch premenných

Nájdite lim (x, y, z) → (4, 1, −3) x 2 y - 3 z 2 x + 5 y - z. lim (x, y, z) → (4, 1, -3) x 2 r - 3 z 2 x + 5 r - z.

Riešenie

Predtým, ako budeme môcť uplatniť zákon kvocientu, musíme si overiť, či je limit menovateľa nenulový. Použitím rozdielového zákona, zákona o totožnosti a stáleho zákona,

Pretože toto nie je nula, potom nájdeme hranicu čitateľa. Pomocou zákona o výrobkoch, rozdielového zákona, konštantného viacnásobného zákona a zákona o totožnosti

Napokon, uplatnenie zákona o podieloch:

Nájdite lim (x, y, z) → (4, −1, 3) 13 - x 2 - 2 y 2 + z 2. lim (x, y, z) → (4, -1, 3) 13 - x 2 - 2 y 2 + z 2.

Oddiel 4.2 Cvičenia

Pri nasledujúcich cvičeniach vyhľadajte limit funkcie.

lim (x, y) → (1, 2) 5 x 2 y x 2 + y 2 lim (x, y) → (1, 2) 5 x 2 y x 2 + y 2

Pre nasledujúce cvičenia vyhodnotte limity pri uvedených hodnotách x a y. x a r. Ak limit neexistuje, uveďte to a vysvetlite, prečo limit neexistuje.

lim (x, y) → (0, 0) 4 x 2 + 10 y 2 + 4 4 x 2 - 10 y 2 + 6 lim (x, y) → (0, 0) 4 x 2 + 10 y 2 + 4 4 x 2 - 10 y 2 + 6

lim (x, y) → (11, 13) 1 x y lim (x, y) → (11, 13) 1 x y

lim (x, y) → (0, 1) y 2 sin x x lim (x, y) → (0, 1) y 2 sin x x

lim (x, y) → (0, 0) sin (x 8 + y 7 x - y + 10) lim (x, y) → (0, 0) sin (x 8 + y 7 x - y + 10)

lim (x, y) → (π / 4, 1) y tan x y + 1 lim (x, y) → (π / 4, 1) y tan x y + 1

lim (x, y) → (0, π / 4) s x + 2 3 x - opálenie lim (x, y) → (0, π / 4) s x + 2 3 x - opálenie

lim (x, y) → (2, 5) (1 x - 5 r.) lim (x, y) → (2, 5) (1 x - 5 r)

lim (x, y) → (4, 4) x ln y lim (x, y) → (4, 4) x ln y

lim (x, y) → (4, 4) e - x 2 - y 2 lim (x, y) → (4, 4) e - x 2 - y 2

lim (x, y) → (0, 0) 9 - x 2 - y 2 lim (x, y) → (0, 0) 9 - x 2 - y 2

lim (x, y) → (1, 2) (x 2 y 3 - x 3 y 2 + 3 x + 2 y) lim (x, y) → (1, 2) (x 2 y 3 - x 3 y 2 + 3 x + 2 r)

lim (x, y) → (π, π) x sin (x + y 4) lim (x, y) → (π, π) x sin (x + y 4)

lim (x, y) → (0, 0) x y + 1 x 2 + y 2 + 1 lim (x, y) → (0, 0) x y + 1 x 2 + y 2 + 1

lim (x, y) → (0, 0) x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 - 1 lim (x, y) → (0, 0) x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 - 1

lim (x, y) → (0, 0) ln (x 2 + y 2) lim (x, y) → (0, 0) ln (x 2 + y 2)

Pri nasledujúcich cvičeniach dokončite vyhlásenie.

Pri nasledujúcich cvičeniach použite algebraické techniky na vyhodnotenie limitu.

lim (x, y) → (2, 1) x - y - 1 x - y - 1 lim (x, y) → (2, 1) x - y - 1 x - y - 1

lim (x, y) → (0, 0) x 4 - 4 y 4 x 2 + 2 y 2 lim (x, y) → (0, 0) x 4 - 4 y 4 x 2 + 2 y 2

lim (x, y) → (0, 0) x 3 - y 3 x - y lim (x, y) → (0, 0) x 3 - y 3 x - y

lim (x, y) → (0, 0) x 2 - x y x - y lim (x, y) → (0, 0) x 2 - x y x - y

V nasledujúcich cvičeniach zhodnoťte limity funkcií troch premenných.

lim (x, y, z) → (1, 2, 3) x z 2 - y 2 z x y z - 1 lim (x, y, z) → (1, 2, 3) x z 2 - y 2 z x y z - 1

lim (x, y, z) → (0, 0, 0) x 2 - y 2 - z 2 x 2 + y 2 - z 2 lim (x, y, z) → (0, 0, 0) x 2 - y 2 - z 2 x 2 + y 2 - z 2

V nasledujúcich cvičeniach vyhodnotte limit funkcie určením hodnoty, ku ktorej sa funkcia približuje po naznačených dráhach. Ak limit neexistuje, vysvetlite prečo nie.

lim (x, y) → (0, 0) x y + y 3 x 2 + y 2 lim (x, y) → (0, 0) x y + y 3 x 2 + y 2

lim (x, y) → (0, 0) x 2 y x 4 + y 2 lim (x, y) → (0, 0) x 2 y x 4 + y 2

Diskutujte o kontinuite nasledujúcich funkcií. Nájdite najväčšiu oblasť v rovine x y, v ktorej sú nasledujúce funkcie spojité.

Pri nasledujúcich cvičeniach určite oblasť, v ktorej je funkcia spojitá. Vysvetli svoju odpoveď.

(Pomôcka: Ukážte, že funkcia pristupuje k rôznym hodnotám na dvoch rôznych cestách.)

f (x, y) = hriech (x 2 + y 2) x 2 + y 2 f (x, y) = hriech (x 2 + y 2) x 2 + y 2

Určte, či g (x, y) = x 2 - y 2 x 2 + y 2 g (x, y) = x 2 - y 2 x 2 + y 2 je spojité na (0, 0). (0, 0).

Vytvorte graf pomocou grafického softvéru na určenie, kde limit neexistuje. Určte oblasť súradnicovej roviny, v ktorej je spojnica f (x, y) = 1 x 2 - y f (x, y) = 1 x 2 - y.

V ktorých bodoch v priestore je g (x, y, z) = x 2 + y 2 - 2 z 2 g (x, y, z) = x 2 + y 2 - 2 z 2 spojité?

V ktorých bodoch v priestore je g (x, y, z) = 1 x 2 + z 2 - 1 g (x, y, z) = 1 x 2 + z 2 - 1 spojitý?

Použite polárne súradnice na nájdenie lim (x, y) → (0, 0) sin x 2 + y 2 x 2 + y 2. lim (x, y) → (0, 0) hriech x 2 + y 2 x 2 + y 2. Limit nájdete aj pomocou pravidla L’Hôpital.

Použite polárne súradnice na nájdenie lim (x, y) → (0, 0) cos (x 2 + y 2). lim (x, y) → (0, 0) cos (x 2 + y 2).

Ako spolupracovník spoločnosti Amazon zarábame na kvalifikovaných nákupoch.

Chcete citovať, zdieľať alebo upravovať túto knihu? Táto kniha je Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike licencia 4.0 a musíte pripísať OpenStax.

    Ak redistribuujete celú knihu alebo jej časť v tlačenom formáte, musíte na každú fyzickú stránku uviesť nasledujúce uvedenie zdroja:

  • Informácie uvedené nižšie použite na vygenerovanie citácie. Odporúčame použiť citačný nástroj, ako je tento.
    • Autori: Gilbert Strang, Edwin „Jed“ Herman
    • Vydavateľ / web: OpenStax
    • Názov knihy: Calculus Volume 3
    • Dátum zverejnenia: 30. marca 2016
    • Miesto: Houston, Texas
    • URL knihy: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/1-introduction
    • URL sekcie: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/4-2-limits-and-continuity

    © 21. decembra 2020 OpenStax. Obsah učebnice produkovaný OpenStax je licencovaný pod licenciou Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0. Názov OpenStax, logo OpenStax, obálky kníh OpenStax, názov OpenStax CNX a logo OpenStax CNX nepodliehajú licencii Creative Commons a nemôžu byť reprodukované bez predchádzajúceho a výslovného písomného súhlasu Rice University.


    JEE Hlavné matematické limity, spojitosť, diferencovateľnosť a diferenciácia


    Ans.


    Ans.


    Ans.


    Ans.


    Ans.


    Ans.


    Ans.


    Ans.


    Ans.


    Ans.


    Ans.


    Ans.


    Ans.


    Ans.(3)


    Ans.


    Ans.


    Ans.


    Ans.


    Ans.


    Ans.


    Ans.


    Ans.


    Ans.


    Ans.


    Ans.


    Ans.


    Ans.


    Ans.


    Ans.


    Ans.


    Ans.


    Ans.


    Ans.


    Ans.


    Ans.


    Ako zistiť, kedy limity neexistujú

    Limity zvyčajne neexistujú z jedného zo štyroch dôvodov:

    1. Jednostranné limity nie sú rovnaké
    2. Funkcia sa nepribližuje k konečnej hodnote (pozri Základné vymedzenie limitu).
    3. Funkcia sa nepribližuje k určitej hodnote (oscilácia).
    4. Hodnota $ x $ sa blíži ku koncovému bodu uzavretého intervalu

    Príklady

    Príklad 1: Jednostranné limity nie sú rovnaké

    Použite nižšie uvedený graf na pochopenie toho, prečo $ displaystyle lim limits_ f (x) $ neexistuje.

    $ f (x) $ sa blíži k dvom rôznym hodnotám.

    . podľa toho, z ktorého smeru sa $ x $ blíži.

    V grafe si všimneme, že $ displaystyle lim_ f (x) približne 2 $ a $ displaystyle lim_ f (x) približne 3 $

    Aj keď nám graf umožňuje iba priblížiť jednostranné limity, je isté, že hodnota $ f (x) $ sa blíži, závisí od smeru, odkiaľ $ x $ vychádza. Limit teda neexistuje.

    Príklad 2: Nekonečne veľká hodnota

    Použite nižšie uvedený graf na pochopenie toho, prečo $ displaystyle lim limits_ f (x) $ neexistuje.

    Aby limit mohol existovať, musí sa funkcia blížiť ku konkrétnej hodnote. V prípade zobrazenom vyššie ukazujú šípky na funkcii, že sa funkcia nekonečne zväčšuje. Pretože sa funkcia nepribližuje k konkrétnej hodnote, limit neexistuje.

    Príklad 3: Nekonečné oscilácie

    Čo je $ displaystyle lim limits_ sin ( frac 1 x) $?

    Keď preskúmate $ f (x) = sin doľava ( frac 1 x doprava) $, keď sa $ x $ blíži k hodnote 0. Funkcia začne oscilovať čoraz rýchlejšie.

    Čím bližšie je $ x $ k 0, tým rýchlejšie funkcia osciluje medzi 1 a -1. Blíži sa $ f (x) $ a samostatná, konkrétna hodnota? Nie, nie je. V dôsledku toho limit neexistuje.

    Príklad 4: Koncové body intervalu

    Preskúmajte $ lim limits_ sqrt x $

    Zvážte graf $ f (x) = sqrt x $ uvedený nižšie. Ako by sme určili limit, keď sa $ x $ blíži k 0?

    Pretože je táto funkcia definovaná iba pre hodnoty $ x $ vpravo od 0, nemôžeme dovoliť prístup $ x $ zľava.

    Aby bolo možné povedať, že limit existuje, musí sa funkcia priblížiť k rovnakej hodnote bez ohľadu na to z ktorého smeru pochádza $ x $ (označovali sme to ako smerová nezávislosť). Pretože to nie je pravda pre túto funkciu, keď sa $ x $ blíži k 0, limit neexistuje.


    2.4 Kontinuita

    Mnoho funkcií má tú vlastnosť, že ich grafy je možné sledovať pomocou ceruzky bez toho, aby ste ceruzku zdvihli zo stránky. Takéto funkcie sa nazývajú nepretržitý. Ostatné funkcie majú body, v ktorých dôjde k prerušeniu grafu, ale uspokojujú túto vlastnosť v intervaloch obsiahnutých v ich doménach. Sú v týchto intervaloch spojité a hovorí sa o nich, že diskontinuita v bode kde nastáva zlom.

    Naše vyšetrovanie kontinuity začíname skúmaním toho, čo to znamená pre funkciu kontinuita v bode. Intuitívne je funkcia spojitá v konkrétnom bode, ak v danom bode nedôjde k prerušeniu jej grafu.

    Kontinuita v bode

    Predtým, ako sa pozrieme na formálnu definíciu toho, čo to znamená, aby bola funkcia v danom okamihu spojitá, pouvažujme nad rôznymi funkciami, ktoré nespĺňajú našu intuitívnu predstavu o tom, čo znamená byť v danom okamihu spojitou. Potom vytvoríme zoznam podmienok, ktoré takýmto zlyhaniam zabránia.

    Ako však vidíme na obrázku 2.34, tieto dve podmienky samy o sebe nezaručujú kontinuitu v danom bode. Funkcia na tomto obrázku spĺňa obe naše prvé dve podmienky, stále však nie je spojitá a. Na náš zoznam musíme pridať tretiu podmienku:

    Teraz spojíme náš zoznam podmienok a vytvoríme definíciu spojitosti v jednom bode.

    Definícia

    Funkcia je v danom okamihu nespojitá a ak nebude kontinuálny na a.

    Nasledujúci postup možno použiť na analýzu spojitosti funkcie v bode pomocou tejto definície.

    Stratégia riešenia problémov

    Stratégia riešenia problémov: Určenie kontinuity v bode

    Nasledujúce tri príklady demonštrujú, ako použiť túto definíciu na určenie, či je funkcia v danom bode spojitá. Tieto príklady ilustrujú situácie, v ktorých každá z podmienok kontinuity v definícii uspeje alebo zlyhá.

    Príklad 2.26

    Určenie spojitosti v bode, podmienka 1

    Pomocou definície určite, či je funkcia f (x) = (x 2 - 4) / (x - 2) f (x) = (x 2 - 4) / (x - 2) spojitá pri x = 2. x = 2. Záver zdôvodnite.