Články

4.2: Ekvivalentné zlomky - matematika


V tejto časti sa zaoberáme zlomkami, číslami alebo výrazmi tvaru a / b.

Definícia: Zlomky

Číslo formulára

[ dfrac {a} {b} nonumber ]

kde (a ) a (b ) sú čísla sa nazýva a zlomok. Číslo (a ) sa nazýva čitateľ zlomku, zatiaľ čo číslo (b ) sa nazýva menovateľ zlomku.

Na konci tejto časti uvidíme, že čitateľ a menovateľ zlomku môžu byť tiež algebraické výrazy, ale momentálne sa obmedzujeme na zlomky, ktorých čitateľom a menovateľom sú celé čísla. Štúdium frakcií začíname definíciou ekvivalentné zlomky.

Ekvivalentné zlomky

Dve frakcie sú ekvivalent ak predstavujú rovnakú číselnú hodnotu.

Ako však môžeme zistiť, či dve zlomky predstavujú rovnaké číslo? Jedna technika zahŕňa niekoľko jednoduchých vizualizácií. Zvážte obrázok zobrazený na obrázku 4.1, kde tieňovaná oblasť predstavuje 1/3 celkovej plochy obrázka (jedna z troch rovnakých oblastí je tieňovaná).

Na obrázku 4.2 sú vytieňované 2/6 celej oblasti (tieňované sú dve zo šiestich rovnakých oblastí).

Na obrázku 4.3 sú vytieňované 4/12 celej oblasti (tieňované sú štyri z dvanástich rovnakých oblastí).

Zoberme si diagramy z obrázkov 4.1, 4.2 a 4.3 a naskladajme ich na seba, ako je to znázornené na obrázku 4.4.

Obrázok 4.4 poskytuje spoľahlivé vizuálne dôkazy o tom, že nasledujúce zlomky sú ekvivalentné.

[ dfrac {1} {3} = dfrac {2} {6} = dfrac {4} {12} nonumber ]

Kľúčové pripomienky

1. Ak začneme zlomkom 1/3, potom vynásobíme čitateľa aj menovateľa číslom 2, dostaneme nasledujúci výsledok.

[ begin {aligned} dfrac {1} {3} = dfrac {1 cdot 2} {3 cdot 2} ~ & textcolor {red} { text {Vynásobte čitateľa a menovateľa číslom 2.} } = dfrac {2} {6} ~ & textcolor {red} { text {Zjednodušte čitateľa a menovateľa.}} end {zarovnané} nonumber ]

Je to presne to isté, čo sa stane od obrázku 4.1 až 4.2, kde zdvojnásobíme počet dostupných polí (z 3 dostupných na 6 dostupných) a zdvojnásobíme počet tieňovaných polí (od 1 od tieňovaného k 2 tieňovaným).

2. Ak začneme zlomkom 1/3, potom vynásobíme čitateľa aj menovateľa číslom 4, dostaneme nasledujúci výsledok.

[ begin {aligned} = dfrac {1} {3} = dfrac {1 cdot 4} {3 cdot 4} ~ & textcolor {red} { text {Vynásobte čitateľa a menovateľa číslom 4.} } = dfrac {4} {12} ~ & textcolor {red} { text {Zjednodušte čitateľa a menovateľa.}} end {zarovnané} nonumber ]

Je to presne to isté, čo sa stane od obrázku 4.1 až 4.3, kde vynásobíme počet dostupných políčok 4 (od 3 k dispozícii k 12 dostupným) a vynásobíme počet tieňovaných políčok 4 (od 1 odfarbeného k 4 zatienené).

Vyššie uvedená diskusia motivuje k nasledujúcemu zásadnému výsledku.

Vytváranie ekvivalentných zlomkov

Ak začínate na zlomok, potom vynásobte jeho čitateľ aj menovateľ rovnakým číslom, výsledný zlomok je ekvivalentný (má rovnakú číselnú hodnotu) ako pôvodný zlomok. V symboloch,

[ dfrac {a} {b} = dfrac {a cdot x} {b cdot x} nonumber ]

Hádam opačne

Obrátenie sa k uvedenému argumentu tiež platí.

1. Ak začneme zlomkom 2/6, potom delíme čitateľa aj menovateľa číslom 2, dostaneme nasledujúci výsledok.

[ begin {aligned} dfrac {2} {6} = dfrac {2 div 2} {6 div 2} ~ & textcolor {red} { text {Vydeľte čitateľa a menovateľa 2.}} = dfrac {1} {3} ~ & textcolor {red} { text {Zjednodušte čitateľa a menovateľa.}} end {zarovnané} nonumber ]

Ide presne o tú istú vec, ktorá sa stane pri postupe dozadu od obrázka 4.2 k bodu 4.1, kde vydelíme počet dostupných políčok číslom 2 (od 6 dostupných po 3 dostupné) a vydelíme počet tieňovaných políčok 2 (od 2 tieňovaných k 1 v tieni).

2. Ak začneme zlomkom 4/12, potom vydelíme čitateľa aj menovateľa číslom 4, dostaneme nasledujúci výsledok.

[ begin {aligned} dfrac {4} {12} = dfrac {4 div 4} {12 div 4} ~ & textcolor {red} { text {Vynásobiť čitateľa a menovateľa číslom 4.}} = dfrac {1} {3} ~ & textcolor {red} { text {Zjednodušte čitateľa a menovateľa.}} end {zarovnané} nonumber ]

Ide presne o tú istú vec, ktorá sa stane pri prechode dozadu od obrázku 4.3 k 4.1., Kde počet dostupných políčok vydelíme 4 (od 12 dostupných po 3 dostupné) a počet alignof tieňovaných polí vydelíme 4 (od 4 tieňovaných do 1 v tieni).

Vyššie uvedená diskusia motivuje k nasledujúcemu zásadnému výsledku.

Vytváranie ekvivalentných zlomkov

Ak začínate na zlomok, potom jeho čitateľ aj menovateľ vydeľte rovnakým číslom, výsledný zlomok je ekvivalentný (má rovnakú číselnú hodnotu) ako pôvodný zlomok. V symboloch,

[ dfrac {a} {b} = dfrac {a div x} {b div x}. nonumber ]

Najväčší spoločný deliteľ

Potrebujeme trochu viac terminológie.

Deliteľ

Ak sú d a a prirodzené čísla, hovoríme, že „d rozdeľuje a“ práve vtedy, keď a je delené d, zvyšok je nula. V tomto prípade hovoríme, že „d je deliteľom a.“

Napríklad keď je 36 vydelené 4, zvyšok je nula. V tomto prípade hovoríme, že „4 je deliteľ 36“. Na druhej strane, keď je 25 delené 4, zvyšok nie je nula. V tomto prípade hovoríme, že „4 nie je deliteľom 25“.

Najväčší spoločný deliteľ

Nech a a b sú prirodzené čísla. Spoločnými deliteľmi a a b sú tie prirodzené čísla, ktoré rozdeľujú a aj b. The najväčší spoločný deliteľ je najväčší z týchto spoločných deliteľov.

Príklad 1

Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa 18 a 24.

Riešenie

Najskôr uveďte rozdeľovače každého čísla, čísla, ktoré rozdeľujú každé číslo s nulovým zvyškom.

Delitelia 18: 1, 2, 3, 6, 9 a 18

Delitelia 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 a 24

Spoločnými deliteľmi sú:

Spoloční delitelia: 1, 2, 3 a 6

Najväčší spoločný deliteľ je najväčší zo spoločných deliteľov. To znamená,

Najväčší spoločný deliteľ = 6.

To znamená, že najväčšie číslo, ktoré delí 18 aj 24, je číslo 6.

Cvičenie

Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa 12 a 18.

Odpoveď

6

Zníženie frakcie na najnižšie podmienky

Najprv definícia.

Najnižšie podmienky

Hovorí sa, že zlomok znížená na najnižšiu úroveň ak je najväčší spoločný deliteľ čitateľa aj menovateľa 1.

Napríklad napríklad 2/3 sa redukuje na najnižšie členy, pretože najväčší spoločný deliteľ 2 a 3 je 1. Na druhej strane 4/6 je nie znížená na najnižšiu hodnotu, pretože najväčší spoločný deliteľ 4 a 6 je 2.

Príklad 2

Znížte zlomok 18/24 na najnižšiu hodnotu.

Riešenie

Jednou z techník, ktorá funguje dobre, je rozdelenie čitateľa a menovateľa najväčším spoločným deliteľom čitateľa a menovateľa. V príklade 1 sme videli, že najväčší spoločný deliteľ 18 a 24 je 6. Delíme čitateľa aj menovateľa číslom 6, aby sme dostali

[ begin {aligned} dfrac {18} {24} = dfrac {18 div 6} {24 div 6} ~ & textcolor {red} { text {Vydeliť čitateľa a menovateľa číslom 6.}} = dfrac {3} {4} ~ & textcolor {red} { text {Zjednodušte čitateľ a kocky.}} end {zarovnané} nonumber ]

Všimnite si, že najväčší spoločný deliteľ 3 a 4 je teraz 1. Teda 3/4 je redukovaná na najnižšie členy.

Existuje druhý spôsob, ako môžeme zobraziť rozdelenie čitateľa a menovateľa na 6. Najprv spočítame čitateľa aj menovateľa takto:

[ begin {aligned} dfrac {18} {24} = dfrac {3 cdot 6} {4 cdot 6} ~ & textcolor {red} { text {Rozdeliť na 6.}} end {zarovnané} nonumber ]

Potom môžete zobraziť „delenie“ čitateľa aj menovateľa číslom 6 „vyčiarknutím“ alebo „zrušením“ 6 v čitateľovi pre 6 v menovateli, napríklad takto:

[ begin {aligned} = dfrac {3 cdot cancel {6}} {4 cdot cancel {6}} ~ & textcolor {red} { text {Zrušiť spoločný faktor.}} = dfrac {3} {4} end {zarovnané} nonumber ]

Upozorňujeme, že dostaneme rovnaký ekvivalentný zlomok redukovaný na najnižšie členy, konkrétne 3/4.

Cvičenie

Znížte zlomok 12/18 na najnižšiu hodnotu.

Odpoveď

2/3

Dôležitý bod

V príklade 2 sme videli, že 6 bolo obidvoch a deliteľ a a faktor z 18. Slov deliteľ a faktor sú rovnocenné.

V našom druhom riešení v príklade 2 sme použili nasledujúcu techniku.

Pravidlo zrušenia

Ak vyjadríte čitateľa a menovateľa ako produkt, potom môžete z čitateľa a menovateľa zrušiť bežné faktory. Výsledkom bude ekvivalentný zlomok.

Kvôli „pravidlu zrušenia“ je jedným z najefektívnejších spôsobov redukcie zlomku na najnižšiu hodnotu najprv nájsť prvočíselné faktorizácie pre čitateľa aj menovateľa, potom zrušiť všetky bežné faktory.

Príklad 3

Znížte zlomok 18/24 na najnižšiu hodnotu.

Riešenie

Použite stromy faktorov na privedenie čitateľa a menovateľa faktora.

Po zohľadnení čitateľa a menovateľa zrušíme bežné faktory.

[ begin {aligned} dfrac {18} {24} = dfrac {2 cdot 3 cdot 3} {2 cdot 2 cdot 2 cdot 3} ~ & textcolor {red} { text { Čitateľ a menovateľ prime factor.}} = dfrac { zrušiť {2} cdot zrušiť {3} cdot 3} { zrušiť {2} cdot 2 cdot 2 cdot zrušiť {3}} ~ & textcolor {red} { text {Zrušiť bežné faktory.}} = dfrac {3} {2 cdot 2} ~ & textcolor {red} { text {Ostatné faktory.}} = dfrac {3} {4} ~ & textcolor {red} { text {Zjednodušiť menovateľa.}} end {zarovnané} nonumber ]

Teda 18/24 = 3/4.

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Znížte zlomok 28/35 na najnižšie hodnoty.

Odpoveď

4/5

Príklad 4

Znížte zlomok 28/42 na najnižšie hodnoty.

Riešenie

Použite stromy faktorov na privedenie čitateľa a menovateľa faktora.

Teraz môžeme zrušiť bežné faktory.

[ begin {aligned} dfrac {28} {42} = dfrac {2 cdot 2 cdot 7} {2 cdot 3 cdot 7} ~ & textcolor {red} { text {čitateľ primárneho faktora a menovateľ.}} = dfrac { zrušiť {2} cdot 2 cdot zrušiť {7}} { zrušiť {2} cdot 3 cdot zrušiť {7}} ~ & textcolor {červená } { text {Zrušiť bežné faktory.}} = dfrac {2} {3} end {zarovnané} nonumber ]

Teda 28/42 = 2/3.

Cvičenie

Znížte zlomok 36/60 na najnižšie hodnoty.

Odpoveď

3/5

Znižovanie zlomkov pomocou premenných

Rovnakú techniku ​​používame na redukciu zlomkov, ktorých čitatelia a menovatelia obsahujú premenné.

Príklad 5

Znížiť

[ dfrac {56x ^ 2y} {60xy ^ 2} nonumber ]

na najnižšiu úroveň.

Riešenie

Pomocou faktorových stromov určte koeficienty čitateľa a menovateľa.

Teraz zrušte bežné faktory.

[ begin {Zarovnané} dfrac {56x ^ 2y} {60xy ^ 2} = dfrac {2 cdot 2 cdot 2 cdot 7 cdot x cdot x cdot y} {2 cdot 2 cdot 3 cdot 5 cdot x cdot y cdot y} ~ & textcolor {red} { text {čitateľ a menovateľ primárneho faktora.}} = dfrac { zrušiť {2} cdot zrušiť {2 } cdot 2 cdot 7 cdot zrušiť {x} cdot x cdot zrušiť {y}} { zrušiť {2} cdot zrušiť {2} cdot 3 cdot 5 cdot zrušiť {x } cdot y cdot cancel {y}} ~ & textcolor {red} { text {Cancel cmmon faktory.}} = dfrac {2 cdot 7 cdot x} {3 cdot 5 cdot y} ~ & textcolor {red} { text {Ostatné faktory.}} = dfrac {14x} {15y} ~ & textcolor {red} { text {Zjednodušte čitateľa a menovateľa.}} end { zarovnané} nonumber ]

Teda 56x2y / (60xy2) = 14x / (15r).

Cvičenie

Znížiť:

[ dfrac {25a ^ 3b} {40a ^ 2b ^ 3} nonumber ]

Odpoveď

[ dfrac {5a} {8b ^ 2} nonumber ]

Slovo o matematickej notácii

Existujú dva typy matematického zápisu: (1) vložený matematický zápis a (2) zobrazený matematický zápis.

Vložená matematická notácia

Zápis 14X/(15r) sa volá vložená matematická notácia. Keď je rovnaký výraz sústredený na svoj vlastný riadok, ako v

[ dfrac {14x} {15y}, nonumber ]

tento typ zápisu sa nazýva zobrazený matematický zápis.

Keď pracujete na probléme ručne a pomocou výpočtov ceruzkou a papierom, preferovaným formátom je zobrazený zápis, ako je zobrazený zápis použitý na zjednodušenie daného výrazu v príklade 5. Počítače a kalkulačky však vyžadujú, aby ste svoje výrazy zadávali pomocou vloženého matematického zápisu . Preto je nesmierne dôležité, aby ste boli rovnako kompetentní buď s matematickým zápisom: zobrazeným alebo riadkovým.

Mimochodom, poradie operácií, keď sa použije na inline výraz 14x / (15y), vyžaduje, aby sme najskôr vykonali násobenie vo vnútri zátvoriek. Potom musíme vykonať množenie a rozdelenie tak, ako sa vyskytujú, keď sa pohybujeme zľava doprava cez výraz. Preto je vložený zápis 14x / (15y) ekvivalentný zobrazenému zápisu

[ dfrac {14x} {15y}. nonumber ]

Výraz 14x / 15y je však iná beštia. Neexistujú žiadne zátvorky, preto vykonávame množenie a delenie, keď sa vyskytujú, pohybom zľava doprava cez výraz. Najprv teda musíme vziať súčin 14 a x, výsledok vydeliť 15 a potom vynásobiť y. V zobrazenom zápise je tento výsledok rovnocenný s

[ dfrac {14x} {15} cdot y, nonumber ]

čo je iný výsledok.

Niektorí čitatelia by sa mohli čudovať, prečo sme na opísanie riešenia v príklade 5 nepoužili notáciu (14x) / (15y). Koniec koncov, táto vložená notácia je ekvivalentná zobrazenej notácii.

[ dfrac {14x} {15y}. nonumber ]

Jedná sa však o to, že to nemusíme, pretože poradie operácií už vyžaduje, aby sme vzali súčin 14 a x pred vydelením 15r. Ak to bolí vašu hlavu, vedzte, že je celkom prijateľné použiť ekvivalentnú notáciu (14x) / (15y) namiesto 14x / (15y). Obidve sú správne.

Ekvivalentné zlomky vo vyšších termínoch

Niekedy vzniká potreba nájsť ekvivalentný zlomok s iným, väčším menovateľom.

Príklad 6

Vyjadrite 3/5 ako ekvivalentný zlomok, ktorý má menovateľa 20.

Riešenie

Kľúčom je zapamätať si, že vynásobením čitateľa a menovateľa rovnakým počtom vznikne ekvivalentný zlomok. Aby sme dostali ekvivalentný zlomok s menovateľom 20, budeme musieť vynásobiť čitateľ a menovateľ 3/5 číslom 4.

[ begin {aligned} dfrac {3} {5} ~ & textcolor {red} { text {Vynásobte čitateľa a menovateľa číslom 4.}} = dfrac {12} {20} ~ & textcolor {red} { text {Zjednodušte čitateľa a menovateľa.}} end {zarovnané} nonumber ]

Preto sa 3/5 rovná 12/20.

Cvičenie

Express 2/3 ako ekvivalentný zlomok, ktorý má menovateľa 21.

Odpoveď

14/21

Príklad 7

Express 8 ako ekvivalentný zlomok, ktorý má menovateľa 5.

Riešenie

Kľúčom je poznamenať, že

[ begin {aligned} 8 = dfrac {8} {1} ~ & textcolor {red} { text {pochopený menovateľ je 1.}} end {zarovnané} nonumber ]

Aby sme dostali ekvivalentný zlomok s menovateľom 5, budeme musieť vynásobiť čitateľ a menovateľ 8/1 číslom 5.

[ begin {aligned} = dfrac {8 cdot 5} {1 cdot 5} ~ & textcolor {red} { text {Vynásobte čitateľa a menovateľa číslom 5.}} = dfrac {40} {5} ~ & textcolor {red} { text {Zjednodušte čitateľa a menovateľa.}} End {zarovnané} nonumber ]

Preto sa 8 rovná 40/5.

Cvičenie

Express 5 ako ekvivalentný zlomok, ktorý má menovateľa 7.

Odpoveď

35/7

Príklad 8

Express 2/9 ako ekvivalentný zlomok, ktorý má menovateľa 18a.

Riešenie

Ak chcete získať ekvivalentný zlomok s menovateľom 18a, budeme musieť vynásobiť čitateľa a menovateľa 2/9 číslom 2a.

[ begin {aligned} dfrac {2} {9} = dfrac {2 cdot 2a} {9 cdot 2a} ~ & textcolor {red} { text {Vynásobiť čitateľa a menovateľa} 2a.} = dfrac {4a} {18a} ~ & textcolor {red} { text {Zjednodušte čitateľa a menovateľa.}} end {zarovnané} nonumber ]

Preto sa 2/9 rovná 4a/(18a) alebo ekvivalentne (4a)/(18a).

Cvičenie

Vyjadrite 3/8 ako ekvivalentný zlomok, ktorý má menovateľa 24a.

Odpoveď

[ dfrac {9a} {24a} nonumber ]

Negatívne zlomky

Musíme sa vysporiadať aj so zlomkami, ktoré sú záporné. Najprv si povieme niečo o umiestnení záporného znamienka.

  • Pozitívne delené záporným je negatívne, takže

[ dfrac {3} {- 5} = - dfrac {3} {5}. nonumber ]

  • Ale je tiež pravda, že záporné delené kladným je záporné. Teda

[ dfrac {−3} {5} = dfrac {3} {5}. nonumber ]

Tieto dve pozorovania naznačujú, že všetky tri nasledujúce frakcie sú ekvivalentné (rovnaký počet):

[ dfrac {3} {- 5} = - dfrac {3} {5} = dfrac {-3} {5}. nonumber ]

Upozorňujeme, že pre záporné znamienko existujú tri možné umiestnenia: (1) menovateľ, (2) zlomok alebo (3) čitateľ. Ktorékoľvek z týchto umiestnení vytvorí ekvivalentný zlomok.

Zlomky a záporné znaky

Poďme a a b byť celé čísla. Všetky tri z nasledujúcich frakcií sú ekvivalentné (rovnaký počet):

[ dfrac {a} {- b} = - dfrac {a} {b} = dfrac {-a} {b}. nonumber ]

Matematici uprednostňujú umiestnenie záporného znamienka buď do čitateľa, alebo na zlomok. Používanie záporného znamienka v menovateli sa neodporúča.

Príklad 9

Znížiť:

[ dfrac {50x ^ 3} {- 75x ^ 5} nonumber ]

na najnižšiu úroveň.

Riešenie

Prime factor čitateľ a menovateľ a zrušiť.

[ begin {zarovnané} dfrac {50x ^ 3} {- 75x ^ 5} & = dfrac {2 cdot 5 cdot 5 cdot x cdot x cdot x} {- 3 cdot 5 cdot 5 cdot x cdot x cdot x cdot x cdot x} & = dfrac {2 cdot zrušiť {5} cdot zrušiť {5} cdot zrušiť {x} cdot zrušiť {x} cdot zrušiť {x}} {- 3 cdot zrušiť {5} cdot zrušiť {5} cdot zrušiť {x} cdot zrušiť {x} cdot zrušiť {x} cdot x cdot x} & = dfrac {2} {- 3 cdot x cdot x} & = dfrac {2} {- 3x ^ 2} end {zarovnaný} nonumber ]

Je však preferované, aby v menovateli neboli žiadne záporné znamienka, preto dajme záporné znamienko na zlomkovú čiarku (vyhovoval by aj čitateľ). Teda

[ dfrac {50x ^ 3} {- 75x ^ 5} = - dfrac {2} {3x ^ 2} nonumber ]

Máme tiež nasledujúci výsledok.

Zlomky a záporné znaky

Nech (a ) a (b ) sú celé čísla. Potom,

[ dfrac {-a} {- b} = dfrac {a} {b}. nonumber ]

Príklad 10

Znížiť:

[ dfrac {-12xy ^ 2} {- 18x ^ 2y} nonumber ]

Riešenie

Na rozdiel od príkladu 9 sa niektorí radi najskôr postarajú o znamienko odpovede.

[ dfrac {-12xy ^ 2} {- 18x ^ 2y} = dfrac {12xy ^ 2} {18x ^ 2y} nonumber ]

Teraz môžeme faktorovať čitateľa a menovateľa a zrušiť bežné faktory.

[ begin {Zarovnané} & = dfrac {2 cdot 2 cdot 3 cdot x cdot y cdot y} {2 cdot 3 cdot 3 cdot x cdot x cdot y} & = dfrac { zrušiť {2} cdot 2 zrušiť {3} cdot zrušiť {x} cdot y cdot zrušiť {y}} { zrušiť {2} cdot zrušiť {3} cdot 3 cdot cancel {x} cdot x cdot cancel {y}} & = dfrac {2y} {3x} end {zarovnaný} nonumber ]

Teda

[ dfrac {-12xy ^ 2} {- 18x ^ 2y} = dfrac {2y} {3x}. nonumber ]

Cvičenie

Znížiť:

[ dfrac {-21a ^ 2b ^ 3} {- 56a ^ 3b} nonumber ]

Odpoveď

[ dfrac {3b ^ 2} {8a} nonumber ]

Cvičenia

V Cvičeniach 1–12 vyhľadajte GCD daných čísel.

1. 72, 8

2. 76, 52

3. 52, 20

4. 56, 96

5. 36, 63

6. 63, 21

7. 72, 44

8. 10, 40

9. 16, 56

10. 54, 66

11. 84, 24

12. 75, 45


V cvičeniach 13 - 28 zredukujte daný zlomok na najnižšie hodnoty.

13. ( dfrac {22} {98} )

14. ( dfrac {28} {56} )

15. ( dfrac {93} {15} )

16. ( dfrac {90} {39} )

17. ( dfrac {69} {21} )

18. ( dfrac {74} {62} )

19. ( dfrac {74} {12} )

20. ( dfrac {66} {10} )

21. ( dfrac {66} {57} )

22. ( dfrac {34} {30} )

23. ( dfrac {33} {99} )

24. ( dfrac {20} {58} )

25. ( dfrac {69} {24} )

26. ( dfrac {18} {96} )

27. ( dfrac {46} {44} )

28. ( dfrac {92} {24} )


29. Expres 3 ako ekvivalentný zlomok so menovateľom 24. 30. Expres 3 ako ekvivalentný zlomok so menovateľom 8. 31. Expresia ( dfrac {25} {19} ) ako ekvivalentný zlomok so menovateľom 57. 32. Expresia ( dfrac {29} {22} ) ako ekvivalentný zlomok so menovateľom 44. 33. Expresia 2 ako ekvivalentný zlomok so menovateľom 2. 34. Express 2 ako ekvivalentný zlomok so menovateľom 8. 35. Express ( dfrac {18} {19} ) ako ekvivalentný zlomok s menovateľom 95. 36. Express ( dfrac {17} {22} ) ako ekvivalentný zlomok s menovateľom 44. 37. Express ( dfrac {1} {3} ) ako ekvivalentný zlomok so menovateľom 24. 38. Expresia ( dfrac {15} {19} ) ako ekvivalentný zlomok so menovateľom 95. 39. Express 16 ako ekvivalentný zlomok so menovateľom 4. 40. Express 5 ako ekvivalentný zlomok, ktorý má menovateľa 2.


V Cvičeniach 41 - 56 zredukujte daný zlomok na najnižšie hodnoty.

41. ( dfrac {34} {- 86} )

42. ( dfrac {−48} {14} )

43. ( dfrac {−72} {- 92} )

44. ( dfrac {27} {- 75} )

45. ( dfrac {−92} {82} )

46. ​​ ( dfrac {−44} {- 62} )

47. ( dfrac {−21} {33} )

48. ( dfrac {57} {- 99} )

49. ( dfrac {22} {- 98} )

50. ( dfrac {−33} {69} )

51. ( dfrac {42} {- 88} )

52. ( dfrac {−100} {48} )

53. ( dfrac {94} {- 6} )

54. ( dfrac {−36} {- 38} )

55. ( dfrac {10} {- 86} )

56. ( dfrac {−100} {- 46} )


57. Express ( dfrac {3} {2} ) ako ekvivalentný zlomok, ktorý má menovateľa 62n.

58. Express ( dfrac {6} {25} ) ako ekvivalentný zlomok, ktorý má menovateľa 50a.

59. Express ( dfrac {13} {10} ) ako ekvivalentný zlomok, ktorý má menovateľa 60 m.

60. Express ( dfrac {1} {16} ) ako ekvivalentný zlomok, ktorý má menovateľ 80p.

61. Express ( dfrac {3} {2} ) ako ekvivalentný zlomok, ktorý má menovateľa 50n.

62. Express ( dfrac {43} {38} ) ako ekvivalentný zlomok, ktorý má menovateľa 76a.

63. Expres 11 ako ekvivalentný zlomok, ktorý má menovateľa 4m. 64. Expres 13 ako ekvivalentný zlomok, ktorý má menovateľa 6n.

65. Expres 3 ako ekvivalentný zlomok, ktorý má menovateľa 10 m.

66. Expres 10 ako ekvivalentný zlomok, ktorý má menovateľa 8b.

67. Expres 6 ako ekvivalentný zlomok, ktorý má menovateľa 5n.

68. Expres 16 ako ekvivalentný zlomok, ktorý má menovateľa 2y.


V cvičeniach 69 - 84 znížte daný zlomok na najnižšie hodnoty.

69. ( dfrac {82y ^ 5} {- 48y} )

70. ( dfrac {−40y ^ 5} {- 55y} )

71. ( dfrac {−77x ^ 5} {44x ^ 4} )

72. ( dfrac {−34x ^ 6} {- 80x} )

73. ( dfrac {−14r ^ 5} {54r ^ 2} )

74. ( dfrac {96y ^ 4} {- 40y ^ 2} )

75. ( dfrac {42x} {81x ^ 3} )

76. ( dfrac {26x ^ ​​2} {32x ^ 6} )

77. ( dfrac {−12x ^ 5} {14x ^ 6} )

78. ( dfrac {−28y ^ 4} {72y ^ 6} )

79. ( dfrac {−74x} {22x ^ 2} )

80. ( dfrac {56x ^ 2} {26x ^ ​​3} )

81. ( dfrac {−12r ^ 5} {98r ^ 6} )

82. ( dfrac {96x ^ 2} {14x ^ 4} )

83. ( dfrac {18x ^ 6} {- 54x ^ 2} )

84. ( dfrac {32x ^ 6} {62x ^ 2} )


V cvičeniach 85 - 100 znížte daný zlomok na najnižšie hodnoty.

85. ( dfrac {26y ^ 2x ^ 4} {- 62y ^ 6x ^ 2} )

86. ( dfrac {6x ^ 2y ^ 3} {40x ^ 3y ^ 2} )

87. ( dfrac {−2y ^ 6x ^ 4} {- 94y ^ 2x ^ 5} )

88. ( dfrac {90y ^ 6x ^ 3} {39y ^ 3x ^ 5} )

89. ( dfrac {30y ^ 5x ^ 5} {- 26yx ^ 4} )

90. ( dfrac {74x ^ 6y ^ 4} {- 52xy ^ 3} )

91. ( dfrac {36x ^ 3y ^ 2} {- 98x ^ 4y ^ 5} )

92. ( dfrac {84x ^ 3y} {16x ^ 4y ^ 2} )

93. ( dfrac {−8x ^ 6y ^ 3} {54x ^ 3y ^ 5} )

94. ( dfrac {70y ^ 5x ^ 2} {16y ^ 4x ^ 5} )

95. ( dfrac {34yx ^ 6} {- 58y ^ 5x ^ 4} )

96. ( dfrac {99y ^ 2x ^ 3} {88y ^ 6x} )

97. ( dfrac {−36y ^ 3x ^ 5} {51y ^ 2x} )

98. ( dfrac {44y ^ 5x ^ 5} {- 88y ^ 4x} )

99. ( dfrac {91y ^ 3x ^ 2} {- 28y ^ 5x ^ 5} )

100. ( dfrac {−76y ^ 2x} {- 57y ^ 5x ^ 6} )


101. Hurikány. Podľa Národného úradu pre atmosféru a oceány bolo v roku 2008 16 búrok s menami, z ktorých 8 prerástlo do hurikánu a 5 bolo veľkých.

i) Aký zlomok pomenovaných búrok prerástol do hurikánov? Znížte svoju odpoveď na najnižšie hodnoty.

ii) Aký zlomok pomenovaných búrok boli veľké hurikány? Znížte svoju odpoveď na najnižšie hodnoty.

iii) Aký zlomok hurikánov bol hlavný? Znížte svoju odpoveď na najnižšie hodnoty.

102. Tigre. Tigre sú v kritickom úpadku z dôvodu zásahov človeka, straty viac ako deviatich desatín ich biotopu a rastúceho obchodu s tigrími kožami a časťami tela. Associated Press-Times-Standard 01/24/10 Zvyšovanie tlaku pre záchranu tigra.

i) Stratu biotopu napíšete ako zlomok.

ii) Popíšte slovami, čo predstavuje čitateľ a menovateľ tejto frakcie.

iii) Ak zlomok predstavuje stratu celého pôvodného biotopu, koľko z pôvodného biotopu zostáva?


Odpovede

1. 8

3. 4

5. 9

7. 4

9. 8

11. 12

13. ( dfrac {11} {49} )

15. ( dfrac {31} {5} )

17. ( dfrac {23} {7} )

19. ( dfrac {37} {6} )

21. ( dfrac {22} {19} )

23. ( dfrac {1} {3} )

25. ( dfrac {23} {8} )

27. ( dfrac {23} {22} )

29. ( dfrac {72} {24} )

31. ( dfrac {75} {57} )

33. ( dfrac {4} {2} )

35. ( dfrac {90} {95} )

37. ( dfrac {8} {24} )

39. ( dfrac {64} {4} )

41. ( dfrac {−17} {43} )

43. ( dfrac {18} {23} )

45. ( dfrac {−46} {41} )

47. ( dfrac {- 7} {11} )

49. ( dfrac {−11} {49} )

51. ( dfrac {−21} {44} )

53. ( dfrac {−47} {3} )

55. ( dfrac {- 5} {43} )

57. ( dfrac {93 n} {62 n} )

59. ( dfrac {78 m} {60 m} )

61. ( dfrac {75 n} {50 n} )

63. ( dfrac {44 m} {4 m} )

65. ( dfrac {30 m} {10 m} )

67. ( dfrac {30 n} {5 n} )

69. ( dfrac {−41 y ^ 4} {24} )

71. ( dfrac {- 7x} {4} )

73. (- dfrac {7 r ^ 3} {27} )

75. ( dfrac {14} {27 x ^ 2} )

77. (- dfrac {6} {7x} )

79. (- dfrac {37} {11 x} )

81. (- dfrac {6} {49 r.} )

83. (- dfrac {x ^ 4} {3} )

85. (- dfrac {13 x ^ 2} {31 y ^ 4} )

87. ( dfrac {y ^ 4} {47 x} )

89. (- dfrac {15 rokov ^ 4 x} {13} )

91. (- dfrac {18} {49xy ^ 3} )

93. (- dfrac {4 x ^ 3} {27 rokov ^ 2} )

95. (- dfrac {17 x ^ 2} {29 y ^ 4} )

97. (- dfrac {12yx ^ 4} {17} )

99. (- dfrac {13} {4r ^ 2x ^ 3} )

101.

i) ( dfrac {1} {2} )

ii) ( dfrac {5} {16} )

iii) ( dfrac {5} {8} )


Pozri si video: Odčítání zlomků s různými jmenovateli. Zlomky. Matematika. Khan Academy (Október 2021).