Články

3.10: Reťazové pravidlo pre funkcie viacerých premenných


Učebné ciele

  • Uveďte reťazové pravidlá pre jednu alebo dve nezávislé premenné.
  • Použite stromové diagramy ako pomôcku na pochopenie reťazového pravidla pre niekoľko nezávislých a stredných premenných.
  • Vykonajte implicitnú diferenciáciu funkcie dvoch alebo viacerých premenných.

Pri výpočte s jednou premennou sme zistili, že jedným z najužitočnejších pravidiel diferenciácie je reťazové pravidlo, ktoré nám umožňuje nájsť deriváciu zloženia dvoch funkcií. To isté platí pre početnosť premenných, ale tentoraz sa musíme zaoberať viac ako jednou formou reťazcového pravidla. V tejto časti študujeme rozšírenia reťazového pravidla a učíme sa, ako brať deriváty skladieb funkcií viac ako jednej premennej.

Reťazové pravidlá pre jednu alebo dve nezávislé premenné

Pripomeňme, že reťazové pravidlo pre deriváciu zloženej z dvoch funkcií možno napísať vo forme

[ dfrac {d} {dx} (f (g (x))) = f ′ (g (x)) g ′ (x). ]

V tejto rovnici sú obidve ( Displaystyle f (x) ) a ( Displaystyle g (x) ) funkcie jednej premennej. Teraz predpokladajme, že ( Displaystyle f ) je funkcia dvoch premenných a ( Displaystyle g ) je funkcia jednej premennej. Alebo sú to možno obidve funkcie dvoch premenných alebo dokonca viac. Ako by sme v týchto prípadoch vypočítali deriváciu? Nasledujúca veta nám dáva odpoveď na prípad jednej nezávislej premennej.

Reťazové pravidlo pre jednu nezávislú premennú

Predpokladajme, že ( Displaystyle x = g (t) ) a ( Displaystyle y = h (t) ) sú diferencovateľné funkcie ( Displaystyle t ) a ( displaystyle z = f (x, y) ) ) je diferencovateľná funkcia ( Displaystyle x ) a ( Displaystyle y ). Potom ( Displaystyle z = f (x (t), y (t)) ) je diferencovateľná funkcia ( Displaystyle t )

[ dfrac {dz} {dt} = dfrac {∂z} {∂x} ⋅ dfrac {dx} {dt} + dfrac {∂z} {∂y} ⋅ dfrac {dy} {dt} , label {chain1} ]

kde sa obyčajné deriváty hodnotia na ( Displaystyle t ) a čiastkové deriváty sa hodnotia na ( Displaystyle (x, y) ).

Dôkaz

Dôkazom tejto vety je definícia diferencovateľnosti funkcie dvoch premenných. Predpokladajme, že f je diferencovateľný v bode ( Displaystyle P (X_0, y_0), ) kde ( Displaystyle x_0 = g (t_0) ) a ( Displaystyle y_0 = h (t_0) ) pre pevnú hodnotu ( Displaystyle t_0 ). Prajeme si dokázať, že ( Displaystyle z = f (x (t), y (t)) ) je diferencovateľné na ( displaystyle t = t_0 ) a že rovnica ref {chain1} v tomto bode platí ako dobre.

Pretože ( Displaystyle f ) je diferencovateľné na ( Displaystyle P ), vieme to

[z (t) = f (x, y) = f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x − x_0) + f_y (x_0, y_0) (y − y_0) + E (x, y) ), nonumber ]

kde

[ lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} dfrac {E (x, y)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} = 0 . nonumber ]

Potom od oboch strán tejto rovnice odčítame ( Displaystyle z_0 = f (x_0, y_0) ):

[ begin {align *} z (t) −z (t_0) = f (x (t), y (t)) - f (x (t_0), y (t_0)) [4pt] = f_x (x_0, y_0) (x (t) −x (t_0)) + f_y (x_0, y_0) (y (t) −y (t_0)) + E (x (t), y (t)). end {zarovnať *} ]

Ďalej vydelíme obe strany znakom ( Displaystyle t − t_0 ):

[z (t) −z (t_0) t − t_0 = fx (x_0, y_0) (x (t) −x (t_0) t − t_0) + f_y (x_0, y_0) (y (t) −y ( t_0) t − t_0) + E (x (t), y (t)) t − t_0. nonumber ]

Potom vezmeme limit ako ( Displaystyle t ) sa blíži ( displaystyle t_0 ):

[ begin {align *} lim_ {t → t_0} dfrac {z (t) −z (t_0)} {t − t_0} = f_x (x_0, y_0) lim_ {t → t_0} vľavo ( dfrac {x (t) −x (t_0)} {t − t_0} vpravo) [4pt] + f_y (x_0, y_0) lim_ {t → t_0} vľavo ( dfrac {y (t) −y (t_0)} {t − t_0} vpravo) [4pt] + lim_ {t → t_0} dfrac {E (x (t), y (t))} {t − t_0}. end {zarovnať *} ]

Ľavá strana tejto rovnice sa rovná ( Displaystyle dz / dt ), čo vedie k

[ dfrac {dz} {dt} = f_x (x_0, y_0) dfrac {dx} {dt} + f_y (x_0, y_0) dfrac {dy} {dt} + lim_ {t → t_0} dfrac {E (x (t), y (t))} {t − t_0}. nonumber ]

Posledný termín možno prepísať na

[ begin {align *} lim_ {t → t_0} dfrac {E (x (t), y (t))} {t − t_0} = lim_ {t → t_0} dfrac {(E ( x, y)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} dfrac { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} { t − t_0}) [4pt] = lim_ {t → t_0} doľava ( dfrac {E (x, y)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2 }} right) lim_ {t → t_0} left ( dfrac { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} {t − t_0} right). end {zarovnať *} ]

Ako ( Displaystyle t ) sa blíži ( displaystyle t_0, (x (t), y (t)) ) sa blíži ( displaystyle (x (t_0), y (t_0)), ) takže môžeme prepíš posledný produkt na

[ Displaystyle lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} dfrac {(E (x, y)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2} } lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} ( dfrac { sqrt {(x-x_0) ^ 2 + (y-y_0) ^ 2}} {t-t_0}). nonumber ]

Pretože prvý limit sa rovná nule, musíme iba ukázať, že druhý limit je konečný:

[ begin {align *} lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} dfrac { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} {t − t +0} = lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} sqrt { dfrac {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2} {(t − t_0) ^ 2} } [4pt] = lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} sqrt { zľava ( dfrac {x − x_0} {t − t_0} doprava) ^ 2 + doľava ( dfrac {y − y_0} {t − t_0} doprava) ^ 2} [4pt] = sqrt { dolava [ lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} dolava ( dfrac { x − x_0} {t − t_0} doprava) doprava] ^ 2 + doľava [ lim _ {(x, y) → (x_0, y_0)} doľava ( dfrac {y − y_0} {t − t_0 } right) right] ^ 2}. end {zarovnať *} ]

Pretože ( Displaystyle x (t) ) a ( Displaystyle y (t) ) sú diferencovateľné funkcie ( displaystyle t ), vo vnútri posledného radikálu existujú obidve limity. Preto je táto hodnota konečná. Toto dokazuje reťazové pravidlo na ( Displaystyle t = t_0 ); zvyšok vety vyplýva z predpokladu, že všetky funkcie sú diferencovateľné v celej ich doméne.

Bližšie preskúmanie rovnice ref {chain1} odhalí zaujímavý vzorec. Prvý člen v rovnici je ( displaystyle dfrac {∂f} {∂x} cdot dfrac {dx} {dt} ) a druhý člen je ( displaystyle dfrac {∂f} {∂ y} ⋅ dfrac {dy} {dt} ). Pripomeňme, že pri vynásobení zlomkov je možné použiť zrušenie. Ak s týmito derivátmi zaobchádzame ako s zlomkami, potom sa každý produkt „zjednoduší“ na niečo, čo sa podobá ( displaystyle ∂f / dt ). Premenné ( Displaystyle x ) a ( Displaystyle y ), ktoré v tomto zjednodušení zmiznú, sa často nazývajú prechodné premenné: sú to nezávislé premenné pre funkciu ( Displaystyle f ), ale sú to závislé premenné pre premennú ( Displaystyle t ). Na pravej strane vzorca sa nachádzajú dva výrazy a ( displaystyle f ) je funkciou dvoch premenných. Tento vzor funguje aj s funkciami viac ako dvoch premenných, ako vidíme ďalej v tejto časti.

Príklad ( PageIndex {1} ): Použitie reťazcového pravidla

Vypočítajte ( Displaystyle dz / dt ) pre každú z nasledujúcich funkcií:

  1. ( Displaystyle z = f (x, y) = 4x ^ 2 + 3y ^ 2, x = x (t) = sin t, y = y (t) = cos t )
  2. ( Displaystyle z = f (x, y) = sqrt {x ^ 2 − y ^ 2}, x = x (t) = e ^ {2t}, y = y (t) = e ^ {- t } )

Riešenie

a. Aby sme mohli použiť pravidlo reťaze, potrebujeme štyri veličiny - ( Displaystyle ∂z / ∂x, ∂z / ∂y, dx / dt ) a ( Displaystyle dy / dt ):

  • ( Displaystyle dfrac {∂z} {∂x} = 8x )
  • ( Displaystyle dfrac {dx} {dt} = cos t )
  • ( Displaystyle dfrac {∂z} {∂y} = 6r )
  • ( Displaystyle dfrac {dy} {dt} = - sin t )

Teraz všetky z nich nahradíme výrazom Equation ref {chain1}:

[ dfrac {dz} {dt} = dfrac { čiastočný z} { čiastočný x} cdot dfrac {dx} {dt} + dfrac { čiastočný z} { čiastočný y} cdot dfrac {dy} {dt} = (8x) ( cos t) + (6y) (- sin t) = 8x cos t - 6y sin t. nonumber ]

Táto odpoveď obsahuje tri premenné. Ak ho chcete znížiť na jednu premennú, využite skutočnosť, že ( Displaystyle x (t) = sin t ) a (y (t) = cos t. ) Získame

[ Displaystyle dfrac {dz} {dt} = 8x cos t − 6y sin t = 8 ( sin t) cos t − 6 ( cos t) sin t = 2 sin t cos t . nonumber ]

Tento derivát sa dá tiež vypočítať tak, že sa najskôr nahradí ( Displaystyle x (t) ) a ( Displaystyle y (t) ) ( Displaystyle f (x, y), ) ( Displaystyle t ):

[ Displaystyle z = f (x, y) = f (x (t), y (t)) = 4 (x (t)) ^ 2 + 3 (y (t)) ^ 2 = 4 sin ^ 2 t + 3 cos ^ 2 t. nonumber ]

Potom

[ Displaystyle dfrac {dz} {dt} = 2 (4 sin t) ( cos t) +2 (3 cos t) (- sin t) = 8 sin t cos t − 6 sin t cos t = 2 sin t cos t, nonumber ]

čo je rovnaké riešenie. Rozlišovanie v tejto podobe však nemusí byť vždy také ľahké.

b. Na použitie reťazového pravidla potrebujeme opäť štyri veličiny - ( Displaystyle ∂z / ∂x, ∂z / dy, dx / dt, ) a ( Displaystyle dy / dt: )

  • ( Displaystyle dfrac {∂z} {∂x} = dfrac {x} { sqrt {x ^ 2 − y ^ 2}} )
  • ( Displaystyle dfrac {dx} {dt} = 2e ^ {2t} )
  • ( displaystyle dfrac {∂z} {∂y} = dfrac {−y} { sqrt {x ^ 2 − y ^ 2}} )
  • ( Displaystyle dfrac {dx} {dt} = - e ^ {- t}. )

Každý z nich nahradíme výrazom Equation ref {chain1}:

[ begin {align *} dfrac {dz} {dt} = dfrac { čiastočný z} { čiastočný x} cdot dfrac {dx} {dt} + dfrac { čiastočný z} { čiastočný y} cdot dfrac {dy} {dt} [4pt] = left ( dfrac {x} { sqrt {x ^ 2 − y ^ 2}} right) (2e ^ {2t}) + left ( dfrac {−y} { sqrt {x ^ 2 − y ^ 2}} right) (−e ^ {- t}) [4pt] = dfrac {2xe ^ {2t} ye ^ {- t}} { sqrt {x ^ 2 −y ^ 2}}. end {zarovnať *} ]

Aby sme to znížili na jednu premennú, použijeme skutočnosť, že ( displaystyle x (t) = e ^ {2t} ) a ( displaystyle y (t) = e ^ {- t} ). Preto

[ begin {align *} dfrac {dz} {dt} = dfrac {2xe ^ 2t + ye ^ {- t}} { sqrt {x ^ 2 − y ^ 2}} [4pt] = dfrac {2 (e ^ {2t}) e ^ {2t} + (e ^ {- t}) e ^ {- t}} { sqrt {e ^ {4t} −e ^ {- 2t}}} [4pt] = dfrac {2e ^ {4t} + e ^ {- 2t}} { sqrt {e ^ {4t} −e ^ {- 2t}}}. end {zarovnať *} ]

Aby sme vylúčili záporné exponenty, vynásobíme hornú časť ( displaystyle e ^ {2t} ) a dolnú časť ( displaystyle sqrt {e ^ {4t}} ):

[ begin {align *} dfrac {dz} {dt} = dfrac {2e ^ {4t} + e ^ {- 2t}} { sqrt {e ^ {4t} −e ^ {- 2t}} } ⋅ dfrac {e ^ {2t}} { sqrt {e ^ {4t}}} [4pt] = dfrac {2e ^ {6t} +1} { sqrt {e ^ {8t} −e ^ {2t}}} [4pt] = dfrac {2e ^ {6t} +1} { sqrt {e ^ {2t} (e ^ {6t} −1)}}} [4pt] = dfrac {2e ^ {6t} +1} {e ^ t sqrt {e ^ {6t} −1}}. end {zarovnať *} ]

Opäť platí, že tento derivát možno tiež vypočítať tak, že sa najskôr diferencuje s ( Displaystyle X (t) ) a ( Displaystyle y (t) ) ( Displaystyle f (x, y), ) do ( Displaystyle t ):

[ begin {align *} z = f (x, y) [4pt] = f (x (t), y (t)) [4pt] = sqrt {(x (t)) ^ 2− (y (t)) ^ 2} [4pt] = sqrt {e ^ {4t} −e ^ {- 2t}} [4pt] = (e ^ {4t} −e ^ {- 2t}) ^ {1/2}. end {zarovnať *} ]

Potom

[ begin {align *} dfrac {dz} {dt} = dfrac {1} {2} (e ^ {4t} −e ^ {- 2t}) ^ {- 1/2} doľava (4e ^ {4t} + 2e ^ {- 2t} vpravo) [4pt] = dfrac {2e ^ {4t} + e ^ {- 2t}} { sqrt {e ^ {4t} −e ^ {- 2t}}}. end {zarovnať *} ]

Jedná sa o rovnaké riešenie.

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Vypočítajte (dz / dt ) vzhľadom na nasledujúce funkcie. Konečnú odpoveď vyjadrte v zmysle ( Displaystyle t ).

[ begin {align *} z = f (x, y) = x ^ 2−3xy + 2y ^ 2 [4pt] x = x (t) = 3 sin2t, y = y (t) = 4 cos 2t end {align *} ]

Pomôcka

Vypočítajte ( Displaystyle ∂z / ∂x, ∂z / dy, dx / dt, ) a ( displaystyle dy / dt ), potom použite rovnicu ref {chain1}.

Odpoveď

( displaystyle dfrac {dz} {dt} = dfrac {∂f} {∂x} dfrac {dx} {dt} + dfrac {∂f} {∂y} dfrac {dy} {dt} )

( Displaystyle = (2x − 3y) (6 cos2t) + (- 3x + 4y) (- 8 sin2t) )

( Displaystyle = −92 sin 2t cos 2t − 72 ( cos ^ 22t− sin ^ 22t) )

( Displaystyle = −46 sin 4t − 72 cos 4t. )

Pre pravidlo reťaze je často užitočné vytvoriť vizuálne znázornenie rovnice. Toto sa nazýva a stromový diagram pre reťazové pravidlo pre funkcie jednej premennej a poskytuje spôsob, ako si zapamätať vzorec (Obrázok ( PageIndex {1} )). Tento diagram je možné rozšíriť pre funkcie viacerých premenných, ako uvidíme veľmi skoro.

V tomto diagrame najľavejší roh zodpovedá ( Displaystyle z = f (x, y) ). Keďže ( Displaystyle f ) má dva nezávislé premenné, z tohto rohu vychádzajú dva riadky. Horná vetva zodpovedá premennej ( Displaystyle x ) a dolná vetva zodpovedá premennej ( Displaystyle y ). Pretože každá z týchto premenných je potom závislá na jednej premennej, jedna vetva potom pochádza z ( Displaystyle x ) a jedna vetva pochádza z ( Displaystyle y ). Napokon má každá z vetiev úplne vpravo štítok, ktorý predstavuje cestu, ktorou ste sa dostali k tejto vetve. Horná vetva sa dosiahne sledovaním vetvy ( Displaystyle x ), potom vetvy t; preto je označená ( Displaystyle (∂z / ∂x) × (dx / dt). ) Spodná vetva je podobná: najskôr vetva ( Displaystyle y ), potom ( Displaystyle t ) pobočka. Táto vetva je označená ( displaystyle (∂z / ∂y) × (dy / dt) ). Ak chcete získať vzorec, ( Displaystyle dz / dt, ) pridajte všetky výrazy, ktoré sa nachádzajú na pravej strane diagramu. To nám dáva rovnicu.

V poznámke, ( Displaystyle z = f (x, y) ) je funkcia ( Displaystyle x ) a ( displaystyle y ) a obidve ( displaystyle x = g (u, v) ) ) a ( Displaystyle y = h (u, v) ) sú funkcie nezávislých premenných ( displaystyle u ) a ( displaystyle v ).

Reťazové pravidlo pre dve nezávislé premenné

Predpokladajme, že ( Displaystyle x = g (u, proti) ) a ( Displaystyle y = h (u, v) ) sú diferencovateľné funkcie ( Displaystyle u ) a ( displaystyle v ), a ( Displaystyle z = f (x, y) ) je diferencovateľná funkcia ( displaystyle x ) a ( displaystyle y ). Potom je ( Displaystyle z = f (g (u, v), h (u, v)) ) diferencovateľná funkcia ( Displaystyle u ) a ( displaystyle v ))

[ dfrac {∂z} {∂u} = dfrac {∂z} {∂x} dfrac {∂x} {∂u} + dfrac {∂z} {∂y} dfrac {∂y} {∂u} label {chain2a} ]

a

[ dfrac {∂z} {∂v} = dfrac {∂z} {∂x} dfrac {∂x} {∂v} + dfrac {∂z} {∂y} dfrac {∂y} {∂v}. label {chian2b} ]

Pre každý z týchto vzorcov môžeme nakresliť stromový diagram, ako aj nasledovne.

Ak chcete odvodiť vzorec pre ( Displaystyle ∂z / ∂u ), začnite od ľavej strany diagramu, potom sledujte iba vetvy, ktoré končia znakom ( displaystyle u ), a pridajte výrazy, ktoré sa vyskytujú na konci. týchto pobočiek. Pri vzorci pre ( Displaystyle ∂z / ∂v ) sledujte iba vetvy, ktoré sa končia znakom ( displaystyle v ), a pridajte výrazy, ktoré sa vyskytujú na konci týchto vetiev.

Medzi týmito dvoma vetami o pravidle reťazca je dôležitý rozdiel. V poznámke nie je ľavá strana vzorca pre deriváciu čiastkovým derivátom, ale v poznámke je. Dôvod je ten, že v poznámke je ( Displaystyle z ) v konečnom dôsledku iba funkciou ( Displaystyle t ), zatiaľ čo v poznámke je ( Displaystyle z ) funkciou oboch ( Displaystyle z ) ) a ( Displaystyle v ).

Príklad ( PageIndex {2} ): Použitie reťazcového pravidla pre dve premenné

Vypočítajte ( Displaystyle ∂z / ∂u ) a ( Displaystyle ∂z / ∂v ) pomocou nasledujúcich funkcií:

[ Displaystyle z = f (x, y) = 3x ^ 2−2xy + y ^ 2, ; x = x (u, v) = 3u + 2v, ; y = y (u, v) = 4u − v. nonumber ]

Riešenie

Na implementáciu reťazového pravidla pre dve premenné potrebujeme šesť parciálnych derivácií - ( Displaystyle ∂z / ∂x, ; ∂z / ∂y, ; ∂x / ∂u, ; ∂x / ∂v, ; ∂y / ∂u, ) a ( Displaystyle ∂y / ∂v ):

[ begin {align *} dfrac {∂z} {∂x} = 6x − 2y dfrac {∂z} {∂y} = - 2x + 2y [4pt] displaystyle dfrac {∂x} {∂u} = 3 dfrac {∂x} {∂v} = 2 [4pt] dfrac {∂y} {∂u} = 4 dfrac {∂y} {∂v} = - 1. end {zarovnať *} ]

Na nájdenie ( Displaystyle ∂z / ∂u, ) použijeme Rovnicu ref {chain2a}:

[ begin {align *} dfrac {∂z} {∂u} = dfrac {∂z} {∂x} ⋅ dfrac {∂x} {∂u} + dfrac {∂z} {∂y } ⋅ dfrac {∂y} {∂u} [4pt] = 3 (6x − 2y) +4 (−2x + 2y) [4pt] = 10x + 2y. end {zarovnať *} ]

Ďalej dosadíme ( Displaystyle x (u, v) = 3u + 2v ) a ( displaystyle y (u, v) = 4u − v: )

[ begin {align *} dfrac {∂z} {∂u} = 10x + 2y [4pt] = 10 (3u + 2v) +2 (4u − v) [4pt] = 38u + 18v . end {zarovnať *} ]

Na nájdenie ( Displaystyle ∂z / ∂v, ) použijeme Rovnicu ref {chain2b}:

[ begin {align *} dfrac {∂z} {∂v} = dfrac {∂z} {∂x} dfrac {∂x} {∂v} + dfrac {∂z} {∂y} dfrac {∂y} {∂v} [4pt] = 2 (6x − 2y) + (- 1) (- 2x + 2y) [4pt] = 14x − 6y. end {zarovnať *} ]

Potom dosadíme ( Displaystyle x (u, v) = 3u + 2v ) a ( displaystyle y (u, v) = 4u − v: )

[ begin {align *} dfrac {∂z} {∂v} = 14x − 6y [4pt] = 14 (3u + 2v) −6 (4u − v) [4pt] = 18u + 34v end {zarovnať *} ]

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Vypočítajte ( Displaystyle ∂z / ∂u ) a ( Displaystyle ∂z / ∂v ) vzhľadom na tieto funkcie:

[z = f (x, y) = dfrac {2x − y} {x + 3y}, ; x (u, v) = e ^ {2u} cos 3v, ; y (u, v) = e ^ {2u} sin 3v. nonumber ]

Pomôcka

Vypočítajte ( Displaystyle ∂z / ∂x, ; ∂z / ∂y, ; ∂x / ∂u, ; ∂x / ∂v, ; ∂y / ∂u, ) a ( Displaystyle ∂y / ∂v ), potom použite rovnicu ref {chain2a} a rovnicu ref {chain2b}.

Odpoveď

( displaystyle dfrac {∂z} {∂u} = 0, dfrac {∂z} {∂v} = dfrac {−21} {(3 sin 3v + cos 3v) ^ 2} )

Všeobecné pravidlo reťaze

Teraz, keď vidíme, ako rozšíriť pôvodné pravidlo reťazca na funkcie dvoch premenných, je prirodzené sa opýtať: Môžeme rozšíriť pravidlo na viac ako dve premenné? Odpoveď je áno zovšeobecnené reťazové pravidlo uvádza.

Zovšeobecnené pravidlo reťaze

Nech ( Displaystyle w = f (x_1, x_2, ..., x_m) ) je diferencovateľná funkcia ( displaystyle m ) nezávislých premenných a pre každú ( displaystyle i∈ {1, ..., m} , ) nech je ( displaystyle x_i = x_i (t_1, t_2, ..., t_n) ) diferencovateľná funkcia ( displaystyle n ) nezávislých premenných. Potom

[ dfrac {∂w} {∂t_j} = dfrac {∂w} {∂x_1} dfrac {∂x_1} {∂t_j} + dfrac {∂w} {∂x_2} dfrac {∂x_2} {∂t_j} + ⋯ + dfrac {∂w} {∂x_m} dfrac {∂x_m} {∂t_j} ]

pre akékoľvek ( Displaystyle j∈ {1,2, ..., n}. )

V nasledujúcom príklade vypočítame deriváciu funkcie troch nezávislých premenných, v ktorej je každá z troch premenných závislá od dvoch ďalších premenných.

Príklad ( PageIndex {3} ): Použitie zovšeobecneného pravidla reťaze

Vypočítajte ( Displaystyle ∂w / ∂u ) a ( Displaystyle ∂w / ∂v ) pomocou nasledujúcich funkcií:

[ begin {align *} w = f (x, y, z) = 3x ^ 2−2xy + 4z ^ 2 [4pt] x = x (u, v) = e ^ u sin v [4pt] y = y (u, v) = e ^ u cos v [4pt] z = z (u, v) = e ^ u. end {zarovnať *} ]

Riešenie

Vzorce pre ( Displaystyle ∂w / ∂u ) a ( Displaystyle ∂w / ∂v ) sú

[ begin {align *} dfrac {∂w} {∂u} = dfrac {∂w} {∂x} ⋅ dfrac {∂x} {∂u} + dfrac {∂w} {∂y } ⋅ dfrac {∂y} {∂u} + dfrac {∂w} {∂z} ⋅ dfrac {∂z} {∂u} [4pt] dfrac {∂w} {∂v} = dfrac {∂w} {∂x} ⋅ dfrac {∂x} {∂v} + dfrac {∂w} {∂y} ⋅ dfrac {∂y} {∂v} + dfrac {∂w} {∂z} ⋅ dfrac {∂z} {∂v}. end {zarovnať *} ]

Existuje teda deväť rôznych parciálnych derivácií, ktoré je potrebné vypočítať a nahradiť. Musíme vypočítať každý z nich:

[ begin {align *} dfrac {∂w} {∂x} = 6x − 2y dfrac {∂w} {∂y} = - 2x dfrac {∂w} {∂z} = 8z [ 4pt] dfrac {∂x} {∂u} = e ^ u sin v dfrac {∂y} {∂u} = e ^ u cos v dfrac {∂z} {∂u} = e ^ u [4pt] dfrac {∂x} {∂v} = e ^ u cos v dfrac {∂y} {∂v} = - e ^ u sin v dfrac {∂z} {∂v} = 0. end {zarovnať *} ]

Teraz nahradíme každý z nich do prvého vzorca na výpočet ( Displaystyle ∂w / ∂u ):

[ begin {align *} dfrac {∂w} {∂u} = dfrac {∂w} {∂x} ⋅ dfrac {∂x} {∂u} + dfrac {∂w} {∂y } ⋅ dfrac {∂y} {∂u} + dfrac {∂w} {∂z} ⋅ dfrac {∂z} {∂u} [4pt] = (6x − 2y) e ^ u sin v - 2xe ^ u cos v + 8ze ^ u, end {zarovnať *} ]

potom nahraďte ( Displaystyle x (u, proti) = e ^ u sin v, y (u, v) = e ^ u cos v, ) a ( displaystyle z (u, v) = e ^ u ) do tejto rovnice:

[ begin {align *} dfrac {∂w} {∂u} = (6x − 2y) e ^ u sin v − 2xe ^ u cos v + 8ze ^ u [4pt] = (6e ^ u sin v − 2eu cos v) e ^ u sin v − 2 (e ^ u sin v) e ^ u cos v + 8e ^ {2u} [4pt] = 6e ^ {2u} sin ^ 2 v − 4e ^ {2u} sin v cos v + 8e ^ {2u} [4pt] = 2e ^ {2u} (3 sin ^ 2 v − 2 sin v cos v + 4 ). end {zarovnať *} ]

Ďalej vypočítame ( Displaystyle ∂w / ∂v ):

[ begin {align *} dfrac {∂w} {∂v} = dfrac {∂w} {∂x} ⋅ dfrac {∂x} {∂v} + dfrac {∂w} {∂y } ⋅ dfrac {∂y} {∂v} + dfrac {∂w} {∂z} ⋅ dfrac {∂z} {∂v} [4pt] = (6x − 2y) e ^ u cos v − 2x (−e ^ u sin v) + 8z (0), end {zarovnať *} ]

potom dosadíme ( Displaystyle x (u, proti) = e ^ u sin v, y (u, v) = e ^ u cos v, ) a ( displaystyle z (u, v) = e ^ u ) do tejto rovnice:

[ begin {align *} dfrac {∂w} {∂v} = (6x − 2y) e ^ u cos v − 2x (−e ^ u sin v) [4pt] = (6e ^ u sin v − 2e ^ u cos v) e ^ u cos v + 2 (e ^ u sin v) (e ^ u sin v) [4pt] = 2e ^ {2u} sin ^ 2 v + 6e ^ {2u} sin v cos v − 2e ^ {2u} cos ^ 2 v [4pt] = 2e ^ {2u} ( sin ^ 2 v + sin v cos v− cos ^ 2 v). end {zarovnať *} ]

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Vypočítajte ( Displaystyle ∂w / ∂u ) a ( Displaystyle ∂w / ∂v ) nasledujúce funkcie:

[ begin {align *} w = f (x, y, z) = dfrac {x + 2y − 4z} {2x − y + 3z} [4pt] x = x (u, v) = e ^ {2u} cos3v [4pt] y = y (u, v) = e ^ {2u} sin 3v [4pt] z = z (u, v) = e ^ {2u}. end {zarovnať *} ]

Pomôcka

Vypočítajte deväť čiastkových derivácií a potom použite rovnaké vzorce z príkladu ( PageIndex {3} ).

Odpoveď

( Displaystyle dfrac {∂w} {∂u} = 0 )

( Displaystyle dfrac {∂w} {∂v} = dfrac {15−33 sin 3v + 6 cos 3v} {(3 + 2 cos 3v− sin 3v) ^ 2} )

Príklad ( PageIndex {4} ): Kreslenie stromového diagramu

Vytvorte stromový diagram pre prípad, keď

[w = f (x, y, z), x = x (t, u, v), y = y (t, u, v), z = z (t, u, v) nečíslo ]

a napíš vzorce pre tri čiastkové derivácie ( Displaystyle w ).

Riešenie

Počnúc zľava má funkcia ( Displaystyle f ) tri nezávislé premenné: ( displaystyle x, y ) a ( displaystyle z ). Z prvého uzla preto musia vychádzať tri vetvy. Každá z týchto troch vetiev má tiež tri vetvy, a to pre každú z premenných. ( Displaystyle t, u, ) a ( displaystyle v ).

Tri vzorce sú

[ begin {align *} dfrac {∂w} {∂t} = dfrac {∂w} {∂x} dfrac {∂x} {∂t} + dfrac {∂w} {∂y} dfrac {∂y} {∂t} + dfrac {∂w} {∂z} dfrac {∂z} {∂t} [4pt] dfrac {∂w} {∂u} = dfrac { ∂w} {∂x} dfrac {∂x} {∂u} + dfrac {∂w} {∂y} dfrac {∂y} {∂u} + dfrac {∂w} {∂z} dfrac {∂z} {∂u} [4pt] dfrac {∂w} {∂v} = dfrac {∂w} {∂x} dfrac {∂x} {∂v} + dfrac {∂ w} {∂y} dfrac {∂y} {∂v} + dfrac {∂w} {∂z} dfrac {∂z} {∂v}. end {zarovnať *} ]

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Vytvorte stromový diagram pre prípad, keď

[ Displaystyle w = f (x, y), x = x (t, u, v), y = y (t, u, v) nonumber ]

a napíš vzorce pre tri čiastkové derivácie ( Displaystyle w. )

Pomôcka

Určte počet vetiev, ktoré vychádzajú z každého uzla v strome.

Odpoveď

[ begin {align *} dfrac {∂w} {∂t} = dfrac {∂w} {∂x} dfrac {∂x} {∂t} + dfrac {∂w} {∂y} dfrac {∂y} {∂t} [4pt] dfrac {∂w} {∂u} = dfrac {∂w} {∂x} dfrac {∂x} {∂u} + dfrac { ∂w} {∂y} dfrac {∂y} {∂u} [4pt] dfrac {∂w} {∂v} = dfrac {∂w} {∂x} dfrac {∂x} { ∂v} + dfrac {∂w} {∂y} dfrac {∂y} {∂v} end {zarovnať *} ]

Implicitná diferenciácia

Pripomenutie z implicitnej diferenciácie poskytuje metódu na zistenie ( Displaystyle dy / dx ), kedy je ( Displaystyle y ) implicitne definované ako funkcia ( Displaystyle x ). Metóda spočíva v diferenciácii oboch strán rovnice, ktorá definuje funkciu vzhľadom na ( Displaystyle x ), a potom riešenie alternatívy k tejto metóde. Displaystyle dy / dx. ) Parciálne derivácie.

Zvážte elipsu definovanú rovnicou ( Displaystyle x ^ 2 + 3y ^ 2 + 4y − 4 = 0 ) nasledovne.

Táto rovnica implicitne definuje ( Displaystyle y ) ako funkciu ( Displaystyle x ). Ako taký môžeme nájsť deriváciu ( Displaystyle dy / dx ) pomocou metódy implicitnej diferenciácie:

[ begin {align *} dfrac {d} {dx} (x ^ 2 + 3y ^ 2 + 4y − 4) = dfrac {d} {dx} (0) [4pt] 2x + 6y dfrac {dy} {dx} +4 dfrac {dy} {dx} = 0 [4pt] (6r + 4) dfrac {dy} {dx} = −2x [4pt] dfrac {dy} {dx} = - dfrac {x} {3y + 2} end {zarovnať *} ]

Môžeme tiež definovať funkciu ( Displaystyle z = f (x, y) ) pomocou ľavej strany rovnice definujúcej elipsu. Potom ( Displaystyle f (x, y) = x ^ 2 + 3y ^ 2 + 4y − 4. ) Elipsa ( Displaystyle x ^ 2 + 3y ^ 2 + 4y − 4 = 0 ) potom môže byť popísané rovnicou ( Displaystyle f (x, y) = 0 ). Používanie tejto funkcie a nasledujúcej vety nám poskytuje alternatívny prístup k výpočtu. ( Displaystyle dy / dx. )

Veta: Implicitná diferenciácia funkcie dvoch alebo viacerých premenných

Predpokladajme, že funkcia ( Displaystyle z = f (x, y) ) definuje ( Displaystyle y ) implicitne ako funkciu ( Displaystyle y = g (x) ) z ( Displaystyle x ) rovnica ( Displaystyle f (x, y) = 0. ) Potom

[ dfrac {dy} {dx} = - dfrac {∂f / ∂x} {∂f / ∂y} label {implicitdiff1} ]

za predpokladu ( Displaystyle f_y (x, y) ≠ 0. )

Ak rovnica ( Displaystyle f (x, y, z) = 0 ) definuje ( Displaystyle z ) implicitne ako diferencovateľnú funkciu ( Displaystyle x ) a ( Displaystyle y ), potom

[ dfrac {dz} {dx} = - dfrac {∂f / ∂x} {∂f / ∂z} ; text {a} ; dfrac {dz} {dy} = - dfrac {∂f / ∂y} {∂f / ∂z} label {implicitdiff2} ]

pokiaľ ( Displaystyle f_z (x, y, z) ≠ 0. )

Rovnica ref {implicitdiff1} je priamym dôsledkom rovnice ref {chain2a}. Najmä ak predpokladáme, že ( Displaystyle y ) je definovaná implicitne ako funkcia ( Displaystyle x ) pomocou rovnice ( Displaystyle f (x, y) = 0 ), môžeme použiť reťazové pravidlo nájsť ( Displaystyle dy / dx: )

[ begin {align *} dfrac {d} {dx} f (x, y) = dfrac {d} {dx} (0) [4pt] dfrac {∂f} {∂x} ⋅ dfrac {dx} {dx} + dfrac {∂f} {∂y} ⋅ dfrac {dy} {dx} = 0 [4pt] dfrac {∂f} {∂x} + dfrac {∂ f} {∂y} ⋅ dfrac {dy} {dx} = 0. end {zarovnať *} ]

Vyriešením tejto rovnice pre ( Displaystyle dy / dx ) sa získa rovnica ref {implicitdiff1}. Rovnicu ref {implicitdiff1} možno odvodiť podobným spôsobom.

Vráťme sa teraz k problému, ktorý sme začali pred predchádzajúcou vetou. Pomocou poznámky a funkcie získame ( Displaystyle f (x, y) = x ^ 2 + 3y ^ 2 + 4y − 4, )

[ begin {align *} dfrac {∂f} {∂x} = 2x [4pt] dfrac {∂f} {∂y} = 6y + 4. end {zarovnať *} ]

Potom dáva Rovnica ref {implicitdiff1}

[ dfrac {dy} {dx} = - dfrac {∂f / ∂x} {∂f / ∂y} = - dfrac {2x} {6y + 4} = - dfrac {x} {3y + 2}, ]

čo je rovnaký výsledok získaný skorším použitím implicitnej diferenciácie.

Príklad ( displaystyle PageIndex {5} ): Implicitná diferenciácia pomocou parciálnych derivátov

  1. Vypočítajte ( Displaystyle dy / dx ), ak y je definované implicitne ako funkcia ( Displaystyle x ) pomocou rovnice ( displaystyle 3x ^ 2−2xy + y ^ 2 + 4x − 6y − 11 = 0 ). Aká je rovnica dotyčnice k grafu tejto krivky v bode ( Displaystyle (2,1) )?
  2. Vypočítajte ( Displaystyle ∂z / ∂x ) a ( Displaystyle ∂z / ∂y, ) dané ( Displaystyle x ^ 2e ^ y − yze ^ x = 0. )

Riešenie

a. Nastaviť ( Displaystyle f (x, y) = 3x ^ 2−2xy + y ^ 2 + 4x − 6y − 11 = 0, ) potom vypočítať ( Displaystyle f_x ) a ( displaystyle f_y: f_x = 6x − 2y + 4 ) ( displaystyle f_y = −2x + 2y − 6. )

Derivát je daný

[ displaystyle dfrac {dy} {dx} = - dfrac {∂f / ∂x} {∂f / ∂y} = dfrac {6x − 2y + 4} {- 2x + 2y − 6} = dfrac {3x − y + 2} {x − y + 3}. nonumber ]

Sklon dotykovej čiary v bode je daný ( Displaystyle (2,1) )

[ displaystyle dfrac {dy} {dx} ∣ _ {(x, y) = (2,1)} = dfrac {3 (2) −1 + 2} {2−1 + 3} = dfrac {7} {4} nonumber ]

Na nájdenie rovnice dotyčnice použijeme tvar bodu-sklon (Obrázok ( PageIndex {5} )):

[ begin {align *} y − y_0 = m (x − x_0) [4pt] y − 1 = dfrac {7} {4} (x − 2) [4pt] y = dfrac { 7} {4} x− dfrac {7} {2} +1 [4pt] y = dfrac {7} {4} x− dfrac {5} {2}. End {zarovnať *} ]

b. Máme ( Displaystyle f (x, y, z) = x ^ 2e ^ y − yze ^ x. ) Preto

[ begin {align *} dfrac {∂f} {∂x} = 2xe ^ y − yze ^ x [4pt] dfrac {∂f} {∂y} = x ^ 2e ^ y − ze ^ x [4pt] dfrac {∂f} {∂z} = −ye ^ x end {zarovnať *} ]

Pomocou rovnice ref {implicitdiff2},

[ begin {align *} dfrac {∂z} {∂x} = - dfrac {∂f / ∂x} {∂f / ∂y} dfrac {∂z} {∂y} = - dfrac {∂f / ∂y} {∂f / ∂z} [4pt] = - dfrac {2xe ^ y − yze ^ x} {- ye ^ x} text {and} = - dfrac {x ^ 2e ^ y − ze ^ x} {- ye ^ x} [4pt] = dfrac {2xe ^ y − yze ^ x} {ye ^ x} = dfrac {x ^ 2e ^ y − ze ^ x} {ye ^ x} end {align *} ]

Cvičenie ( PageIndex {5} )

Nájsť ( Displaystyle dy / dx ) ak ( Displaystyle y ) je implicitne definované ako funkcia ( Displaystyle x ) rovnicou ( displaystyle x ^ 2 + xy − y ^ 2 + 7x −3y −26 = 0 ). Aká je rovnica dotyčnice k grafu tejto krivky v bode ( Displaystyle (3, −2) )?

Pomôcka

Vypočítajte ( Displaystyle ∂f / dx ) a ( Displaystyle ∂f / dy ) a potom použite rovnicu ref {implicitdiff1}.

Riešenie

[ dfrac {d y} {d x} = vľavo. frac {2 x + y + 7} {2 r - x + 3} vpravo | _ {(3, - 2)} = dfrac {2 (3) + (- 2) + 7} {2 (- 2) - (3) + 3} = - dfrac {11} {4} nonumber ]

Rovnica dotyčnice: ( Displaystyle y = - dfrac {11} {4} x + dfrac {25} {4} )

Kľúčové koncepty

  • Reťazové pravidlo pre funkcie viac ako jednej premennej zahŕňa parciálne derivácie vzhľadom na všetky nezávislé premenné.
  • Stromové diagramy sú užitočné na odvodenie vzorcov pre reťazové pravidlo pre funkcie viac ako jednej premennej, kde každá nezávislá premenná závisí aj od iných premenných.

Kľúčové rovnice

  • Reťazové pravidlo, jedna nezávislá premenná

( displaystyle dfrac {dz} {dt} = dfrac {∂z} {∂x} ⋅ dfrac {dx} {dt} + dfrac {∂z} {∂y} ⋅ dfrac {dy} { dt} )

  • Reťazové pravidlo, dve nezávislé premenné

( displaystyle dfrac {dz} {du} = dfrac {∂z} {∂x} ⋅ dfrac {∂x} {∂u} + dfrac {∂z} {∂y} ⋅ dfrac {∂ y} {∂u} dfrac {dz} {dv} = dfrac {∂z} {∂x} ⋅ dfrac {∂x} {∂v} + dfrac {∂z} {∂y} ⋅ dfrac {∂y} {∂v} )

  • Zovšeobecnené reťazové pravidlo

( displaystyle dfrac {∂w} {∂t_j} = dfrac {∂w} {∂x_1} dfrac {∂x_1} {∂t_j} + dfrac {∂w} {∂x_2} dfrac {∂ x_1} {∂t_j} + ⋯ + dfrac {∂w} {∂x_m} dfrac {∂x_m} {∂t_j} )

Glosár

zovšeobecnené reťazové pravidlo
reťazové pravidlo rozšírené o funkcie viac ako jednej nezávislej premennej, v ktorej môže každá nezávislá premenná závisieť od jednej alebo viacerých ďalších premenných
stredná premenná
s daným zložením funkcií (napr. ( Displaystyle f (x (t), y (t)))) ) sú premenné premenné, ktoré sú nezávislé vo vonkajšej funkcii, ale tiež závisia od iných premenných; vo funkcii ( Displaystyle f (X (t), y (t)), ) premenné ( displaystyle x ) a ( displaystyle y ) sú príklady prechodných premenných)
stromový diagram
ilustruje a odvodzuje vzorce pre zovšeobecnené pravidlo reťazca, v ktorom sa zohľadňuje každá nezávislá premenná