Články

7.4: Problémy s prehľadom - Matematika


1. Vypočítajte nasledujúce maticové produkty
$$
begin {pmatrix} 1 & 2 & 1 4 & 5 & 2 7 & 8 & 2 end {pmatrix}
begin {pmatrix} -2 & frac {4} {3} & - frac {1} {3} 2 & - frac {5} {3} & frac {2} {3} - 1 & 2 & -1 end {pmatrix} ,,
qquad
begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 end {pmatrix}
begin {pmatrix} 1 2 3 4 5 end {pmatrix} ,,
$$
$$
begin {pmatrix} 1 2 3 4 5 end {pmatrix} begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 end {pmatrix} ,, qquad
begin {pmatrix} 1 & 2 & 1 4 & 5 & 2 7 & 8 & 2 end {pmatrix}
begin {pmatrix} -2 & frac {4} {3} & - frac {1} {3} 2 & - frac {5} {3} & frac {2} {3} - 1 & 2 & -1 end {pmatrix}
begin {pmatrix} 1 & 2 & 1 4 & 5 & 2 7 & 8 & 2 end {pmatrix} ,,
$$
$$
begin {pmatrix} x & y & z end {pmatrix}
begin {pmatrix}
2& 1& 1 \ 1 & 2 & 1 \ 1 & 1 & 2
end {pmatrix}
begin {pmatrix} x y z end {pmatrix} ,, qquad
begin {pmatrix} 2 & 1 & 2 & 1 & 2 0 & 2 & 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 & 1 & 2 0 & 2 & 1 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 2 end {pmatrix}
begin {pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 & 1 & 2 0 & 2 & 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 1 end {pmatrix} ,,
$$

$$
begin {pmatrix} -2 & frac {4} {3} & - frac {1} {3} 2 & - frac {5} {3} & frac {2} {3} - 1 & 2 & -1 end {pmatrix}
begin {pmatrix} 4 & frac {2} {3} & - frac {2} {3} 6 & frac {5} {3} & - frac {2} {3} 12 & - frac {16} {3} & frac {10} {3} end {pmatrix}
begin {pmatrix} 1 & 2 & 1 4 & 5 & 2 7 & 8 & 2 end {pmatrix} ,.
]

2. Dokážme vetu ((MN) ^ {T} = N ^ {T} M ^ {T} ).

Poznámka: Toto je bežná technika preukazovania maticových identít.

a) Nech (M = (m ^ {i} _ {j}) ) a nech (N = (n ^ {i} _ {j}) ). Vyplňte niekoľko záznamov každej matice vo forme uvedenej na začiatku časti 7.3.

b) Vynásobte (MN ) a vypíšte niekoľko jeho záznamov v rovnakom tvare ako v časti (a). Čo sa týka záznamov (M ) a záznamov (N ), čo je záznam v riadku (i ) a stĺpci (j ) v (MN )?

c) Vezmite transpozíciu ((MN) ^ {T} ) a napíšte niekoľko jej záznamov v rovnakom tvare ako v časti a). Pokiaľ ide o položky (M ) a položky (N ), čo je položka v riadku (i ) a stĺpci (j ) v ((MN) ^ {T} )?

d) Vezmite transpozície (N ^ {T} ) a (M ^ {T} ) a napíšte niekoľko ich záznamov v rovnakom tvare ako v časti (a).

e) Vynásobte (N ^ {T} M ^ {T} ) a vypíšte niekoľko jeho záznamov v rovnakom tvare ako v časti a. Pokiaľ ide o položky (M ) a položky (N ), čo je položka v riadku (i ) a stĺpci (j ) v (N ^ {T} M ^ { T} )?

f) Ukážte, že odpovede, ktoré ste dostali v častiach (c) a (e), sú rovnaké.

3.
a) Nech (A = begin {pmatrix}
1 & 2 & 0\
3 & -1 & 4\
end {pmatrix} ). Nájdite (AA ^ {T} ) a (A ^ {T} A ) a ich stopy.

b) Nech (M ) je ľubovoľná (m krát n ) matica. Ukážte, že (M ^ {T} M ) a (MM ^ {T} ) sú symetrické. (Rada: Použite výsledok predchádzajúceho problému.) Aké sú ich veľkosti? Aký je vzťah medzi ich stopami?

4. Nech (x = begin {pmatrix} x_ {1} vdots x_ {n} end {pmatrix} ) a (y = begin {pmatrix} y_ {1} vdots y_ {n} end {pmatrix} ) sú vektory stĺpcov. Ukážte, že bodový súčin (x cdot y = x ^ {T} I y ).



5. Vyššie sme ukázali, že ( textit {left} ) násobenie maticou (r times s ) (N ) bola lineárna transformácia (M ^ {s} _ {k} stackrel {N} { longrightarrow} M ^ {r} _ {k} ). Ukážte, že ( textit {right} ) násobenie maticou (k krát m ) (R ) je lineárna transformácia (M ^ {s} _ {k} stackrel {R} { longrightarrow} M ^ {s} _ {m} ). Inými slovami, ukážte, že násobenie pravej matice sa riadi linearitou.

6. Nech (V ) je vektorový priestor, kde (B = (v_ {1}, v_ {2}) ) je usporiadaný základ. Predpokladajme
$$
L: V stackrel { rm lineárne} {- ! ! - ! ! ! Longrightarrow} V
$$
a $$ L (v_ {1}) = v_ {1} + v_ {2} ,, quad L (v_ {2}) = 2v_ {1} + v_ {2} ,. $$ Vypočítajte maticu z (L ) v základe (B ) a potom vypočítať stopu tejto matice. Predpokladajme, že (ad-bc neq 0 ) a zvážte nový základ
$$
B '= (av_ {1} + b v_ {2}, cv_ {1} + dv_ {2}) ,.
$$
Vypočítajte maticu (L ) v základe (B '). Vypočítajte stopu tejto matice. Čo nájdete Čo uzatváraš o stope po matici? Má zmysel hovoriť o „stope lineárnej transformácie“?

7. Vysvetlite, čo sa stane s maticou, keď:

a) Vynásobíte to vľavo diagonálnou maticou?
b) Vynásobíte to napravo diagonálnou maticou?

Skôr ako začnete vysvetľovať, dajte niekoľko jednoduchých príkladov.

8. Vypočítaj ( exp (A) ) pre nasledujúce matice:

a) (A = begin {pmatrix}
lambda a 0
0 & lambda
end {pmatrix} )
b) (A = begin {pmatrix}
1 & lambda
0 & 1 \
end {pmatrix} )
c) (A = begin {pmatrix}
0 & lambda
0 & 0 \
end {pmatrix} )

9. Nech (M = začiatok {pmatrix})
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \
end {pmatrix} ). Rozdeľte (M ) na pomenované bloky, pričom jedným blokom bude matica identity (4 times4 ), a potom násobením blokov vypočítajte (M ^ {2} ).

10. Matica (A ) sa nazýva ( textit {anti-symetrická} ) (alebo zošikmená symetrická matica), ak (A ^ {T} = -A ). Ukážte, že pre každú (n krát n ) maticu (M ) môžeme napísať (M = A + S ), kde (A ) je anti-symetrická matica a (S ) je symetrická matica.

( textit {Tip: Aký druh matice je (M + M ^ {T} )? Čo tak (M - M ^ {T} )?} )

11. Príkladom operácie, ktorá nie je asociatívna, je krížový produkt.

a) Uveďte jednoduchý príklad troch vektorov z 3priestoru (u, v, w ) takých, že (u times (v times w) neq (u times v) times w ).
b) V kapitole 1 sme videli, že operátor (B = u times ) (krížový súčin s vektorom) je lineárny operátor. Môže sa preto písať ako matica (vzhľadom na usporiadaný základ, napríklad štandardný základ). Ako to, že skladanie takýchto lineárnych operátorov je neasociatívne, hoci násobenie matíc je asociatívne?