Články

9.3: Sčítanie a odčítanie racionálnych výrazov - matematika


Zhrnutie

Na konci tejto časti budete môcť:

  • Sčítajte a odčítajte racionálne výrazy pomocou spoločného menovateľa
  • Sčítajte a odčítajte racionálne výrazy, ktorých menovateľom sú protiklady
  • Nájdite najmenšieho spoločného menovateľa racionálnych výrazov
  • Sčítajte a odčítajte racionálne výrazy s odlišnými menovateľmi
  • Sčítajte a odčítajte racionálne funkcie

Než začnete, absolvujte tento kvíz o pripravenosti.

  1. Pridať: ( dfrac {7} {10} + dfrac {8} {15} ).
    Ak ste tento problém prehliadli, skontrolujte ho [odkaz].
  2. Odčítať: ( dfrac {3x} {4} - dfrac {8} {9} ).
    Ak ste tento problém prehliadli, skontrolujte ho [odkaz].
  3. Odčítanie: (6 (2x + 1) −4 (x − 5) ).
    Ak ste tento problém prehliadli, skontrolujte ho [odkaz].

Sčítajte a odčítajte racionálne výrazy pomocou spoločného menovateľa

Aký je prvý krok, ktorý urobíte, keď pridáte číselné zlomky? Skontrolujete, či majú spoločného menovateľa. Ak áno, pridáte čitateľov a uvediete súčet nad spoločného menovateľa. Ak nemajú spoločného menovateľa, pred pridaním ich nájdete.

Rovnako je to aj s racionálnymi prejavmi. Ak chcete pridať racionálne výrazy, musia mať spoločného menovateľa. Ak sú menovatele rovnaké, pridáte čitateľa a uvediete súčet nad spoločného menovateľa.

ZMYSELNÉ PRIDÁVANIE A ODBER

Ak (p ), (q ) a (r ) sú polynómy, kde (r neq 0 ), potom

[ dfrac {p} {r} + dfrac {q} {r} = dfrac {p + q} {r} quad text {a} quad dfrac {p} {r} - dfrac {q} {r} = dfrac {p − q} {r} nonumber ]

Ak chcete racionálne výrazy sčítať alebo odčítať pomocou spoločného menovateľa, pridajte alebo odčítajte čitateľa a umiestnite výsledok nad spoločného menovateľa.

Racionálne výrazy vždy zjednodušujeme. Nezabudnite zohľadniť, ak je to možné, po odpočítaní čitateľov, aby ste mohli identifikovať akékoľvek bežné faktory.

Pamätajte tiež, že nepovoľujeme hodnoty, vďaka ktorým by bol menovateľ nulový. Aká hodnota (x ) by mala byť vylúčená v nasledujúcom príklade?

Príklad ( PageIndex {1} )

Pridať: ( dfrac {11x + 28} {x + 4} + dfrac {x ^ 2} {x + 4} ).

Odpoveď

Pretože menovateľ je (x + 4 ), musíme vylúčiť hodnotu (x = −4 ).

( begin {pole} {ll} & dfrac {11x + 28} {x + 4} + dfrac {x ^ 2} {x + 4}, space x neq −4 begin {pole } {l} text {Zlomky majú spoločného menovateľa,} text {takže pridajte čitateľa a umiestnite súčet} text {nad spoločného menovateľa.} end {pole} & dfrac {11x + 28 + x ^ 2} {x + 4} & text {Napíšte stupne v zostupnom poradí.} & Dfrac {x ^ 2 + 11x + 28} {x + 4} & text {Faktor čitateľa.} & dfrac {(x + 4) (x + 7)} {x + 4} & text {Zjednodušte to odstránením bežných faktorov.} & dfrac { zrušiť { (x + 4)} (x + 7)} { zrušiť {x + 4}} & text {zjednodušiť.} & x + 7 end {pole} )

Výraz sa zjednodušuje na (x + 7 ), ale pôvodný výraz mal menovateľa (x + 4 ), takže (x neq −4 ).

Príklad ( PageIndex {2} )

Zjednodušte: ( dfrac {9x + 14} {x + 7} + dfrac {x ^ 2} {x + 7} ).

Odpoveď

(x + 2 )

Príklad ( PageIndex {3} )

Zjednodušte: ( dfrac {x ^ 2 + 8x} {x + 5} + dfrac {15} {x + 5} ).

Odpoveď

(x + 3 )

Na odpočítanie racionálnych výrazov musia mať tiež spoločného menovateľa. Ak sú menovatele rovnaké, odpočítate čitateľov a rozdiel umiestnite nad spoločného menovateľa. Pri odpočítaní binomického alebo trojčlenného si dajte pozor na značky.

Príklad ( PageIndex {4} )

Odčítať: ( dfrac {5x ^ 2−7x + 3} {x ^ 2−3x + 18} - dfrac {4x ^ 2 + x − 9} {x ^ 2−3x + 18} ).

Odpoveď

( begin {array} {ll} & dfrac {5x ^ 2−7x + 3} {x ^ 2−3x + 18} - dfrac {4x ^ 2 + x − 9} {x ^ 2−3x + 18} & begin {pole} {l} text {Odčítajte čitateľa a rozdiel} text {oddeľuj nad spoločným menovateľom.} End {pole} & dfrac {5x ^ 2− 7x + 3− (4x ^ 2 + x − 9)} {x ^ 2−3x + 18} & text {Distribuujte znamienko do čitateľa.} & Dfrac {5x ^ 2−7x + 3 −4x ^ 2 − x + 9} {x ^ 2−3x − 18} & text {Kombinujte ako výrazy.} & Dfrac {x ^ 2−8x + 12} {x ^ 2−3x− 18} & text {Faktor čitateľa a menovateľa.} & Dfrac {(x − 2) (x − 6)} {(x + 3) (x − 6)} & text {Zjednodušte to odstránením bežných faktorov.} & dfrac {(x − 2) zrušiť {(x − 6)}} {(x + 3) zrušiť {(x − 6)}} & & (x − 2) (x + 3) end {pole} )

Príklad ( PageIndex {5} )

Odčítať: ( dfrac {4x ^ 2−11x + 8} {x ^ 2−3x + 2} - dfrac {3x ^ 2 + x − 3} {x ^ 2−3x + 2} ).

Odpoveď

( dfrac {x − 11} {x − 2} )

Príklad ( PageIndex {6} )

Odčítať: ( dfrac {6x ^ 2 − x + 20} {x ^ 2−81} - dfrac {5x ^ 2 + 11x − 7} {x ^ 2−81} ).

Odpoveď

( dfrac {x − 3} {x + 9} )

Sčítajte a odčítajte racionálne výrazy, ktorých menovatelia sú protikladmi

Ak sú menovatelia dvoch racionálnych výrazov protikladmi, je ľahké získať spoločného menovateľa. Musíme len vynásobiť jednu zo zlomkov ( dfrac {−1} {- 1} ).

Pozrime sa, ako to funguje.

Vynásobte druhý zlomok znakom ( dfrac {−1} {- 1} ).
Menovatelia sú rovnakí.
Zjednodušiť.

Pri odpočítaní zlomkov buďte pri značkách opatrní.

Príklad ( PageIndex {8} )

Odčítať: ( dfrac {y ^ 2−5y} {y ^ 2−4} - dfrac {6y − 6} {4-y ^ 2} ).

Odpoveď

( dfrac {y + 3} {y + 2} )

Príklad ( PageIndex {9} )

Odčítanie: ( dfrac {2n ^ 2 + 8n − 1} {n ^ 2−1} - dfrac {n ^ 2−7n − 1} {1 − n ^ 2} ).

Odpoveď

( dfrac {3n − 2} {n − 1} )

Nájdite najmenej spoločného menovateľa racionálnych výrazov

Keď sčítame alebo odčítame racionálne výrazy s odlišnými menovateľmi, budeme musieť získať spoločných menovateľov. Ak preskúmame postup, ktorý sme použili pri numerických zlomkoch, budeme vedieť, čo robiť s racionálnymi výrazmi.

Pozrime sa na tento príklad: ( dfrac {7} {12} + dfrac {5} {18} ). Pretože menovatelia nie sú rovnakí, prvým krokom bolo nájsť najmenej spoločného menovateľa (LCD).

Aby sme našli LCD frakcií, započítali sme 12 a 18 do prvočísel, ktoré zoradili všetky bežné prvočísla do stĺpcov. Potom sme z každého stĺpca „zrazili“ jednu prime. Nakoniec sme násobili faktory, aby sme našli LCD.

Keď pridáme číselné zlomky, akonáhle sme našli LCD, prepísali sme každú zlomok ako ekvivalentný zlomok s LCD vynásobením čitateľa a menovateľa rovnakým číslom. Teraz sme pripravení pridať.

To isté robíme pre racionálne vyjadrovanie. Displej LCD však nechávame vo výrobnej podobe.

NÁJDETE NAJNIŽŠÍ SPOLOČNÝ DENOMINÁTOR RACIONÁLNYCH VÝRAZOV.

  1. Započítajte každého menovateľa úplne.
  2. Uveďte faktory každého menovateľa. Ak je to možné, priraďte faktory vertikálne.
  3. Zúžte stĺpce tak, že zahrniete všetky faktory, ale bežné faktory nezahŕňajte dvakrát.
  4. Napíšte LCD ako súčin faktorov.

Pamätajte, že vždy vylúčime hodnoty, vďaka ktorým by bol menovateľ nulový. Aké hodnoty xx by sme mali vylúčiť v tomto nasledujúcom príklade?

Príklad ( PageIndex {10} )

a. Nájdite LCD pre výrazy ( dfrac {8} {x ^ 2−2x − 3} ), ( dfrac {3x} {x ^ 2 + 4x + 3} ) a b. prepísať ich ako ekvivalentné racionálne výrazy s najmenším spoločným menovateľom.

Odpoveď

a.

Nájdite LCD pre ( dfrac {8} {x ^ 2−2x − 3} ), ( dfrac {3x} {x ^ 2 + 4x + 3} ).
Započítajte každého menovateľa úplne, zoradte spoločné faktory.

Zložte stĺpce.

Napíšte LCD ako súčin faktorov.

b.

Faktor každý menovateľ.
Vynásobte každého menovateľa „chýbajúcim“
Faktor LCD a vynásobte každý čitateľ rovnakým faktorom.
Zjednodušte čitateľov.

Príklad ( PageIndex {11} )

a. Nájdite LCD pre výrazy ( dfrac {2} {x ^ 2 − x − 12} ), ( dfrac {1} {x ^ 2−16} ) b. prepísať ich ako ekvivalentné racionálne výrazy s najmenším spoločným menovateľom.

Odpoveď

a. ((x − 4) (x + 3) (x + 4) )
b. ( dfrac {2x + 8} {(x − 4) (x + 3) (x + 4)} ),
( dfrac {x + 3} {(x − 4) (x + 3) (x + 4)} )

Príklad ( PageIndex {12} )

a. Nájdite LCD pre výrazy ( dfrac {3x} {x ^ 2−3x + 10} ), ( dfrac {5} {x ^ 2 + 3x + 2} ) b. ((x + 2) (x − 5) (x + 1) )
b. ( dfrac {3x ^ 2 + 3x} {(x + 2) (x − 5) (x + 1)} ),
( dfrac {5x − 25} {(x + 2) (x − 5) (x + 1)} )

Sčítajte a odčítajte racionálne výrazy na rozdiel od menovateľov

Teraz máme všetky kroky, ktoré potrebujeme na pridanie alebo odčítanie racionálnych výrazov na rozdiel od menovateľov.

Príklad ( PageIndex {13} ): Ako pridať racionálne výrazy na rozdiel od menovateľov

Pridať: ( dfrac {3} {x − 3} + dfrac {2} {x − 2} ).

Odpoveď

Príklad ( PageIndex {14} )

Pridať: ( dfrac {2} {x − 2} + dfrac {5} {x + 3} ).

Odpoveď

( dfrac {7x − 4} {(x − 2) (x + 3)} )

Príklad ( PageIndex {15} )

Pridať: ( dfrac {4} {m + 3} + dfrac {3} {m + 4} ).

Odpoveď

( dfrac {7m + 25} {(m + 3) (m + 4)} )

Tu sú zhrnuté kroky použité na pridanie racionálnych výrazov.

PRIDAJTE ALEBO ODBERTE DOPADY.

  1. Zistite, či majú výrazy spoločného menovateľa.
    • Áno - prejdite na krok 2.
    • Nie - Každý racionálny výraz prepíšte pomocou LCD.
      • Nájdite LCD.
      • Na LCD prepíšte každý racionálny výraz ako ekvivalentný racionálny výraz.
  2. Sčítajte alebo odčítajte racionálne výrazy.
  3. Ak je to možné, zjednodušte to.

Vyvarujte sa pokušeniu zjednodušovať príliš skoro. Vo vyššie uvedenom príklade musíme nechať prvý racionálny výraz ako ( dfrac {3x − 6} {(x − 3) (x − 2)} ), aby sme ho mohli pridať do ( dfrac {2x− 6} {(x − 2) (x − 3)} ). Zjednodušiť iba po kombinovaní čitateľov.

Príklad ( PageIndex {17} )

Pridajte: ( dfrac {1} {m ^ 2 − m − 2} + dfrac {5m} {m ^ 2 + 3m + 2} ).

Odpoveď

( dfrac {5m ^ 2−9m + 2} {(m + 1) (m − 2) (m + 2)} )

Príklad ( PageIndex {18} )

Pridajte: ( dfrac {2n} {n ^ 2−3n − 10} + dfrac {6} {n ^ 2 + 5n + 6} ).

Odpoveď

( dfrac {2n ^ 2 + 12n −30} {(n + 2) (n − 5) (n + 3)} )

Proces, ktorý používame na odčítanie racionálnych výrazov s rôznymi menovateľmi, je rovnaký ako pri sčítaní. Pri odčítaní čitateľov musíme byť veľmi opatrní na značky.

Príklad ( PageIndex {20} )

Odčítať: ( dfrac {2x} {x ^ 2−4} - dfrac {1} {x + 2} ).

Odpoveď

( dfrac {1} {x − 2} )

Príklad ( PageIndex {21} )

Odčítať: ( dfrac {3} {z + 3} - dfrac {6z} {z ^ 2−9} ).

Odpoveď

( dfrac {−3} {z − 3} )

V nasledujúcom príklade je veľa negatívnych znamienok. Buďte zvlášť opatrní.

Príklad ( PageIndex {23} )

Odčítať: ( dfrac {3x − 1} {x ^ 2−5x − 6} - dfrac {2} {6 − x} ).

Odpoveď

( dfrac {5x + 1} {(x − 6) (x + 1)} )

Príklad ( PageIndex {24} )

Odčítať: ( dfrac {−2y − 2} {y ^ 2 + 2y − 8} - dfrac {y − 1} {2 − y} ).

Odpoveď

( dfrac {y + 3} {y + 4} )

Veci môžu byť veľmi chaotické, keď sa obidva zlomky musia vynásobiť dvojčlenom, aby sa získal spoločný menovateľ.

Príklad ( PageIndex {26} )

Odčítanie: ( dfrac {3} {b ^ 2−4b − 5} - dfrac {2} {b ^ 2−6b + 5} ).

Odpoveď

( dfrac {1} {(b + 1) (b − 1)} )

Príklad ( PageIndex {27} )

Odčítať: ( dfrac {4} {x ^ 2−4} - dfrac {3} {x ^ 2 − x − 2} ).

Odpoveď

( dfrac {1} {(x + 2) (x + 1)} )

Postupujeme podľa rovnakých krokov ako predtým, aby sme našli LCD, keď máme viac ako dva racionálne výrazy. V nasledujúcom príklade začneme faktorovaním všetkých troch menovateľov, aby sme našli ich LCD.

Príklad ( PageIndex {29} )

Zjednodušte: ( dfrac {v} {v + 1} + dfrac {3} {v − 1} - dfrac {6} {v ^ 2−1} ).

Odpoveď

( dfrac {v + 3} {v + 1} )

Príklad ( PageIndex {30} )

Zjednodušte: ( dfrac {3w} {w + 2} + dfrac {2} {w + 7} - dfrac {17w + 4} {w ^ 2 + 9w + 14} ).

Odpoveď

( dfrac {3w} {w + 7} )

Sčítajte a odčítajte racionálne funkcie

Na sčítanie alebo odčítanie racionálnych funkcií používame rovnaké techniky, aké sme používali na sčítanie alebo odčítanie polynomických funkcií.

Príklad ( PageIndex {32} )

Nájdite (R (x) = f (x) −g (x) ) kde (f (x) = dfrac {x + 1} {x + 3} ) a (g (x) = dfrac {x + 17} {x ^ 2 − x − 12} ).

Odpoveď

( dfrac {x − 7} {x − 4} )

Príklad ( PageIndex {33} )

Nájdite (R (x) = f (x) + g (x) ) kde (f (x) = dfrac {x − 4} {x + 3} ) a (g (x) = dfrac {4x + 6} {x ^ 2−9} ).

Odpoveď

( dfrac {x ^ 2−3x + 18} {(x + 3) (x − 3)} )

Získajte prístup k tomuto online zdroju, kde získate ďalšie pokyny a precvičovanie sčítania a odčítania racionálnych výrazov.

  • Sčítajte a odčítajte racionálne výrazy - na rozdiel od menovateľov

Kľúčové koncepty

  • Racionálne sčítanie a odčítanie výrazov
    Ak (p ), (q ) a (r ) sú polynómy, kde (r neq 0 ), potom
    [ dfrac {p} {r} + dfrac {q} {r} = dfrac {p + q} {r} quad text {a} quad dfrac {p} {r} - dfrac {q} {r} = dfrac {p − q} {r} nonumber ]
  • Ako nájsť najmenšieho spoločného menovateľa racionálnych výrazov.
    1. Každý výraz úplne zohľadnite.
    2. Uveďte faktory každého výrazu. Ak je to možné, priraďte faktory vertikálne.
    3. Zložte stĺpce.
    4. Napíšte LCD ako súčin faktorov.
  • Ako sčítať alebo odčítať racionálne výrazy.
    1. Zistite, či majú výrazy spoločného menovateľa.
      • Áno - choďte na krok 2.
      • Nie - každý racionálny výraz prepíšte pomocou LCD.
        • Nájdite LCD.
        • Na LCD prepíšte každý racionálny výraz ako ekvivalentný racionálny výraz.
    2. Sčítajte alebo odčítajte racionálne výrazy.
    3. Ak je to možné, zjednodušte to.

9.3: Sčítanie a odčítanie racionálnych výrazov - matematika

Sčítanie a odčítanie racionálnych výrazov

· Pridajte racionálne výrazy a zjednodušte to.

· Odpočítajte racionálne výrazy a zjednodušte ich.

· Nájdite najmenej spoločného násobku niekoľkých algebraických výrazov.

· Zjednodušte problémy, ktoré kombinujú sčítanie aj odčítanie.

Na začiatku matematiky sa študenti zvyčajne naučia sčítať a odčítať celé čísla, skôr ako sa naučia násobenie a delenie. Avšak s zlomkami a racionálne výrazy, násobenie a delenie sa niekedy učia ako prvé, pretože tieto operácie sa dajú ľahšie vykonať ako sčítanie a odčítanie. Sčítanie a odčítanie racionálnych výrazov nie je také ľahké ako násobenie, pretože tak ako v prípade číselných zlomkov, aj v tomto prípade je potrebné nájsť spoločného menovateľa. Pri opatrnej práci a postupnom zapisovaní krokov môžete sledovať všetky čísla a premenné a vykonávať operácie presne.

Sčítanie a odčítanie racionálnych výrazov s podobnými menovateľmi

Najjednoduchšie je začať pridaním racionálnych výrazov s rovnakým menovateľom, tak poďme na to.

Ak chcete pridať zlomky s podobnými menovateľmi, pridajte čitateľa a ponechajte rovnaký menovateľ. Potom sumu zjednodušte. Viete, ako to urobiť s číselnými zlomkami.

Rovnakým postupom môžete pridávať racionálne výrazy s rovnakými menovateľmi. Vyskúšajme jeden.

Pridať. Uveďte sumu v najjednoduchšej forme.

Pretože menovatelia sú rovnakí, pridajte čitateľa. Pamätajte, že x nemôže byť -4, pretože menovatelia by boli 0.

Spoločný faktor prepíšte na násobenie 1 a zjednodušte.

Pamätajte, že by ste mali opísať aj doména, sada všetkých možných hodnôt pre premenné. The vylúčené hodnoty domény sú ľubovoľné hodnoty premenných, ktorých výsledkom je akýkoľvek menovateľ rovný 0. Vo vyššie uvedenom probléme sú doménou všetky reálne čísla okrem −4, pretože hodnota X = −4 vytvorí menovateľa 0. Niekedy, keď zjednodušíme výraz, čitateľ, ktorý sa pozerá iba na zjednodušenú odpoveď, by si neuvedomil, že existujú vylúčené hodnoty. V príklade vyššie sa pozrieme na zjednodušenú formu čísla 2X ako náhradu za originál /> by čitateľ nemal ako vedieť, že hodnotu −4 nemožno použiť pre X. Takže keď tvrdíme, že 2X je ekvivalent />, musíme uviesť, že −4 je vylúčená hodnota.

Ak chcete odčítať racionálne výrazy s rovnakými menovateľmi, postupujte rovnakým spôsobom, aký používate na odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi. Tento proces je ako pridanie racionálnych výrazov, okrem toho, že namiesto sčítania odčítate.

Odčítať. Rozdiel uveďte v najjednoduchšej forme.

Odčítajte druhý čitateľ od prvého a udržujte menovateľ rovnaký. Pamätajte, že x nemôže byť -6, pretože menovatelia by boli 0.

Dávajte pozor, aby ste záporné hodnoty rozdelili do oboch výrazov druhého čitateľa.

Kombinujte ako termíny. Tento racionálny výraz nemožno ďalej zjednodušovať.

Odčítajte a uveďte rozdiel v najjednoduchšej forme. , x ≠ 5

A)

A)

Nesprávne. Odčítanie ste vykonali správne, ale tento racionálny výraz sa dá zjednodušiť, pretože čitateľ a menovateľ majú spoločný faktor (X - 5). Správna odpoveď je x + 5 .

Správne. Pretože existuje spoločný menovateľ, odčítaním čitateľov získate . Je možné zohľadniť čitateľa a spoločný faktor (X - 5) je prítomný v čitateľovi a menovateli. .

Nesprávne. Spoločný faktor prítomný v čitateľovi a menovateli je X - 5, nie X + 5. Po faktoringu získate: . Správna odpoveď je x + 5 .

Nesprávne. Ak chcete zistiť rozdiel, odčítajte čitateľ druhej frakcie od čitateľa prvej, napríklad takto: . Potom spočítajte čitateľa a zjednodušte. Správna odpoveď je x + 5.

Sčítanie a odčítanie racionálnych výrazov na rozdiel od menovateľov

Pred sčítaním a odčítaním racionálnych výrazov pomocou na rozdiel od menovatele, musíte si nájsť spoločného menovateľa. Tento proces je opäť podobný procesu použitému na sčítanie a odčítanie číselných zlomkov, na rozdiel od menovateľov. Na úvod sa pozrime na numerický príklad.

Pretože menovatelia sú 6, 10 a 4, chcete nájsť najmenší spoločný menovateľ a pred pridaním vyjadrite každú frakciu týmto menovateľom. (Mimochodom, zlomky môžete pridať vyhľadaním akýkoľvek spoločného menovateľa to nemusí byť najmenej. Zameriavate sa na použitie najmenej pretože potom existuje menej zjednodušenia. Ale oba spôsoby fungujú.)

Hľadanie najmenšieho spoločného menovateľa je rovnaké ako hľadanie najmenší spoločný násobok zo 4, 6 a 10. Existuje niekoľko spôsobov, ako to urobiť. Prvým je zoznam násobkov každého čísla a určenie, ktoré násobky majú spoločné. Najmenej z týchto čísel bude najmenším spoločným menovateľom.

Druhou metódou je použitie prvočíselná faktorizácia, proces hľadania hlavných faktorov čísla. Takto funguje metóda s číslami.

Použite prime faktorizáciu na nájdenie najmenšieho spoločného násobku 6, 10 a 4.

Najskôr nájdite prvočíselnú faktorizáciu každého menovateľa.

LCM bude obsahovať faktory 2, 3 a 5. Vynásobte každé číslo maximálnym počtom prípadov, ktoré sa vyskytnú v jednej faktorizácii.

V tomto prípade sa 3 objaví raz, 5 sa objaví raz a 2 sa použije dvakrát, pretože sa objaví dvakrát v prime faktorizácii 4.

Preto je LCM 6, 10 a 4 3 • 5 • 2 • 2 alebo 60.

Najmenší spoločný násobok 6, 10 a 4 je 60.

Pozrite sa na to - pomocou obidvoch metód ste našli rovnaký najmenej spoločný násobok. Prime faktorizácia bola rýchlejšia, pretože na to, aby ste našli spoločný násobok, ste nemuseli robiť graf plný násobkov.

Teraz, keď ste našli najmenej spoločný násobok, môžete toto číslo použiť ako najmenší spoločný menovateľ zlomkov. Vynásobte každú frakciu zlomkovou formou 1, ktorá vytvorí menovateľa 60:

Teraz, keď máte podobných menovateľov, pridajte zlomky:

Môžete nájsť aj najmenej bežných menovateľov pre racionálne výrazy a použiť ich na pridanie racionálnych výrazov s odlišnými menovateľmi:

Pridať. Uveďte sumu v najjednoduchšej forme.

15m 2 = 3 • 5 • m • m

Nájdite hlavnú faktorizáciu každého menovateľa.

15m 2 = 35m m

21m = 3 • 7m

LCM: 3 • 5 • 7 m • m

Nájdite najmenší spoločný násobok. 3 sa v obidvoch výrazoch zobrazuje presne raz, takže sa v najmenšom spoločnom násobku objaví raz. 5 aj 7 sa objavia nanajvýš raz. Pre premenné najviac m objaví sa dvakrát.

Použite najmenší spoločný násobok pre svojho nového spoločného menovateľa, bude ním LCD.

Porovnajte každého pôvodného menovateľa a nového spoločného menovateľa. Teraz prepíšte racionálne výrazy tak, aby každý mal spoločného menovateľa 105m 2. Zapamätaj si to m nemôže byť 0, pretože menovatelia by boli 0.

Prvý menovateľ je 15m 2 a LCD je 105m 2. Musíte vynásobiť 15m 2 x 7, aby ste dostali LCD, takže celý racionálny výraz vynásobte číslom .

Druhý menovateľ je 21m a LCD je 105m 2. Musíte znásobiť 21m o 5m aby ste dostali LCD, tak vynásobte celý racionálny výraz číslom .

Pridajte čitateľov a udržujte menovateľ rovnaký.

Ak je to možné, zjednodušte to hľadaním bežných faktorov v čitateľovi a menovateli. Tento racionálny výraz je už v najjednoduchšej forme, pretože čitateľ a menovateľ nemajú spoločné žiadne faktory.

To chvíľu trvalo, ale dostali ste sa z toho. Pridávanie racionálnych výrazov môže byť zdĺhavý proces, ale je možné vykonať ho krok za krokom.

Teraz skúsme odpočítať racionálne výrazy. Použijete rovnakú základnú techniku ​​na nájdenie najmenej spoločného menovateľa a prepisovanie každého racionálneho výrazu, aby mal tohto menovateľa.

Odčítať. Rozdiel uveďte v najjednoduchšej forme.

Nájdite hlavnú faktorizáciu každého menovateľa. t + 1 nemožno ďalej zohľadniť, ale môže byť. Zapamätaj si to t nemôže byť -1 alebo 2, pretože menovatelia by boli 0.

Nájdite najmenší spoločný násobok. t + 1 sa v obidvoch výrazoch zobrazuje presne raz, takže sa objaví raz v najmenej spoločnom menovateli. t - 2 sa tiež objaví raz.

To znamená, že (t - 2)(t + 1) je najmenej spoločný násobok. V takom prípade je jednoduchšie ponechať spoločný násobok z hľadiska faktorov, takže ho nebudete znásobovať.

Použite najmenší spoločný násobok pre svojho nového spoločného menovateľa, bude ním LCD.

Porovnajte každého pôvodného menovateľa a nového spoločného menovateľa. Teraz prepíšte racionálne výrazy tak, aby mali všetky spoločného menovateľa (t + 1)(t – 2).

Musíte sa množiť t + 1 od t - 2, aby ste dostali LCD, takže celý racionálny výraz vynásobte číslom .

Druhý výraz už má menovateľa (t + 1)(t - 2), takže to nemusíte ničím znásobovať.

Potom prepíšte problém s odčítaním pomocou spoločného menovateľa.

Odpočítajte čitateľov a zjednodušte ich. Pamätajte, že okolo druhej zátvorky je potrebné zahrnúť zátvorky (t - 2) v čitateli, pretože sa odčíta celé množstvo. Inak by ste odčítali iba znak t.”

Čitateľ a menovateľ majú spoločný faktor t - 2, aby bolo možné racionálny výraz zjednodušiť.

Zatiaľ všetky racionálne výrazy, ktoré ste pridali a odčítali, zdieľali niektoré faktory. Čo sa stane, keď nemajú spoločné faktory?

Odčítať. Rozdiel uveďte v najjednoduchšej forme.

LCM = (2r - 1)(r - 5)

Ani 2 r - 1 ani y - 5 je možné zohľadniť. Pretože nemajú spoločné faktory, najmenší spoločný násobok, ktorý sa stane najmenším spoločným menovateľom, je produktom týchto menovateľov. Pamätajte, že y nemôžu byť ½ alebo 5, pretože menovatelia by boli 0.

Vynásobte každý výraz ekvivalentom 1, čím získate spoločného menovateľa.

Potom prepíšte problém s odčítaním pomocou spoločného menovateľa. Je logické ponechávať menovateľa vo faktorizovanej podobe, aby sa mohli skontrolovať spoločné faktory.

Pridať. Uveďte sumu v najjednoduchšej forme.

A)

B)

C)

D)

A)

Nesprávne. Prístup je správny, odpoveď však nebola zjednodušená. Čitateľ racionálneho výrazu sa dá zjednodušiť vynásobením a kombinovaním podobných výrazov. Správna odpoveď je .

B)

Nesprávne. Ak chcete pridať racionálne výrazy s odlišnými menovateľmi, musíte najskôr nájsť spoločného menovateľa. Spoločným menovateľom týchto racionálnych výrazov je pretože menovatelia nemajú žiadne spoločné faktory. Napíšte obe prílohy so spoločným menovateľom, , a potom zjednodušiť. Správna odpoveď je .

C)

Nesprávne. Čitateľa a menovateľa môžete zjednodušiť, iba ak existujú faktorov, nie ako podmienky. Nemôžete zrušiť X 2 volebné obdobia a 12-te roky. Správna odpoveď je .

D)

Správne. Najprv nájdite spoločného menovateľa, (X + 4)(X - 3) a každú prílohu prepísať pomocou tohto menovateľa: . Vynásobte a pridajte čitateľa: .

Kombinácia viacerých racionálnych výrazov

Možno budete musieť skombinovať viac ako dva racionálne výrazy. Aj keď sa to môže zdať celkom jednoduché, ak majú všetci rovnakého menovateľa, čo sa stane, ak nie?

V príklade nižšie si všimnite, ako sa nachádza spoločný menovateľ pre tri racionálne výrazy. Po dokončení vyzerá sčítanie a odčítanie výrazov rovnako ako predtým, keď ste sa zaoberali iba dvoma výrazmi.

Zjednodušiť. Výsledok uveďte v najjednoduchšej forme.

X 2 – 4 = (X + 2)(X – 2)

LCM = (X + 2)(X – 2)

Nájdite najmenší spoločný násobok rozčlenením každého menovateľa. Vynásobte každý faktor maximálnym počtom zobrazení v jednej faktorizácii. Zapamätaj si to X nemôže byť 2 alebo -2, pretože menovatelia by boli 0.

(X + 2) sa zobrazuje maximálne raz, rovnako ako (X - 2). To znamená, že LCM je (X + 2)(X – 2).

LCM sa stáva spoločným menovateľom. Vynásobte každý výraz ekvivalentom 1, čím získate spoločného menovateľa.

Prepíšte pôvodný problém na spoločného menovateľa. Je logické ponechávať menovateľa vo faktorizovanej podobe, aby sa mohli skontrolovať spoločné faktory.

Skontrolujte najjednoduchší formulár. Keďže ani jeden ani je faktorom , tento výraz je v najjednoduchšej podobe.

Zjednodušiť. Výsledok uveďte v najjednoduchšej forme.

3r = 3 • r

LCM = 3 • 3 • Xr

Nájdite najmenší spoločný násobok rozčlenením každého menovateľa. Vynásobte každý faktor maximálnym počtom zobrazení v jednej faktorizácii. Zapamätaj si to X a r nemôže byť 0, pretože menovatelia by boli 0.

LCM sa stáva spoločným menovateľom. Vynásobte každý výraz ekvivalentom 1, čím získate spoločného menovateľa.


Ako nájsť sčítanie a odčítanie racionálnych výrazov?

Pridanie racionálnych výrazov: Môžeme pridať čitateľa a menovateľa a potom produkt zjednodušiť.

  • Ak sú hodnoty menovateľa rovnaké, pridajte čitateľa a vyjadrte racionálny výraz v najjednoduchšej podobe.
  • Ak sú hodnoty menovateľa odlišné, nájdite LCM menovateľov, aby boli rovnaké, a potom pridajte čitateľa.

Napríklad pridajte 4/5 a 9/5 = 4/5 + 9/5 = 13/5. To isté možno uplatniť aj pri racionálnych výrazoch.

Odčítanie racionálnych výrazov: Môžeme odpočítať čitateľa a menovateľa a potom produkt zjednodušiť.

  • Ak sú hodnoty menovateľa rovnaké, odčítajte čitateľov a vyjadrite racionálny výraz v najjednoduchšej podobe.
  • Ak sú hodnoty menovateľa odlišné, nájdite LCM menovateľov, aby boli rovnaké, a potom odpočítajte čitateľov.

Napríklad, Odčítajte 2/3 a 5/9 = 2/3 - 9/5 = -17 / 15. To isté možno použiť aj na racionálne výrazy.

Vyriešený príklad:

Nájdite súčet dvoch daných racionálnych výrazov (x + 3) / (x + 1) a (x + 2) / (x + 1)

Riešenie:

Pridať (x + 3) / (x + 1) a (x + 2) / (x + 1)

Podobne môžete vyskúšať kalkulačku a vyhľadať sčítanie a odčítanie racionálnych výrazov pre


Sčítanie a odčítanie racionálnych výrazov Matematické bludisko

Študenti absolvovaním matematického bludiska precvičujú sčítanie a odčítanie racionálnych výrazov!

Kreslia šípky, ktoré ukazujú cestu, po ktorej sa dostali od začiatku bludiska k východu.

Toto stiahnutie obsahuje tri rôzne bludiská, ktoré majú učitelia používať na odlíšenie svojich inštrukcií.

Otázky bludiska úrovne 1 boli určené pre študentov, ktorí sa snažia tento koncept prevziať. Všetky problémy v tomto bludisku majú spoločného menovateľa.

Otázky bludiska úrovne 2 boli navrhnuté pre priemerného študenta. Aby bolo možné vyriešiť problémy v tomto bludisku, študenti si najskôr budú musieť nájsť spoločného menovateľa.

Otázky bludiska úrovne 3 boli určené pre silnejších študentov ako aktivita obohatenia. Pred pridaním alebo odpočítaním racionálnych výrazov v tomto bludisku budú musieť študenti najskôr nájsť spoločného menovateľa pomocou faktoringu.


DODATOK A ODBER ODMYSLOVÝCH VÝRAZOV

ii) Napíšte súčet alebo rozdiel čitateľov nájdených v kroku i) cez spoločného menovateľa.

(iii) Znížte výsledné racionálne vyjadrenie na najnižšiu formu

Sčítanie a odčítanie racionálnych výrazov na rozdiel od menovateľov:

(i) Určite najmenší spoločný násobok menovateľa.

(ii) Každú frakciu prepíšte ako ekvivalentnú frakciu pomocou LCM získaného v kroku (i). To sa deje vynásobením čitateľov aj menovateľa každého výrazu akýmikoľvek faktormi potrebnými na získanie LCM.

(iii) Postupujte podľa rovnakých krokov pri sčítaní alebo odčítaní racionálneho výrazu s podobnými menovateľmi.

Pretože menovateľ oboch zlomkov je rovnaký, musíme dať iba jedného menovateľa a pridať zlomky.

Preto je hodnota daného racionálneho výrazu (x 2 + xy + y 2).

(i) & # xa0 [(2x + 1) (x - 2) / (x - 4)] - [(2x 2 - 5x + 2) / (x - 4)]

& # xa0 = & # xa0 [(2x 2 - 4x + x - 2) - & # xa0 (2x 2 & # xa0- 5x + 2)] / (x - 4)

& # xa0 = & # xa0 4x / (x + 1) (x - 1) & # xa0 - (x + 1) (x + 1) / (x - 1) (x + 1)

& # xa0 = & # xa0 [4x - (x + 1) 2] / (x + 1) (x - 1)

& # xa0 = & # xa0 [4x - (x 2 + 2x + 1)] / (x + 1) (x - 1)

& # xa0 = & # xa0 (-x 2 + 2x - 1) / (x + 1) (x - 1)

& # xa0 = & # xa0 - (x 2 & # xa0- 2x + 1) / (x + 1) (x - 1)

& # xa0 = & # xa0 - (x - 1) (x - 1) / (x + 1) (x - 1)

& # xa0 = & # xa0 - (x - 1) / (x + 1)

& # xa0 = & # xa0 (1 - x) / (1 + x)

Odčítajte 1 / (x 2 + 2) od (2x 3 + x 2 + 3) / (x 2 + 2) 2

= & # xa0 (2x 3 + x 2 + 3 - x 2 - 2) / (x 2 & # xa0 + 2) 2

Okrem vyššie uvedených vecí, ak potrebujete ďalšie veci v matematike, použite tu naše vlastné vyhľadávanie google.

Ak máte nejaké pripomienky k nášmu matematickému obsahu, pošlite nám e-mail: & # xa0

Vždy si ceníme vašu spätnú väzbu. & # Xa0

Môžete tiež navštíviť nasledujúce webové stránky s rôznymi témami v matematike. & # Xa0


Otvorené zdroje pre Community College Algebra

Ciele: Sprievodca obsahom a výsledkami kurzu PCC

V poslednej časti sme sa naučili, ako množiť a deliť racionálne výrazy. V tejto časti sa naučíme, ako sčítať a odčítať racionálne výrazy.

Obrázok 12.3.1. Lekcia alternatívneho videa

Pododdiel 12.3.1 Úvod

Príklad 12.3.2.

Julia vezme svoju rodinu na výlet loďou (12 ) míľ po rieke a späť. Rieka tečie rýchlosťou 2 míle za hodinu a ona chce riadiť čln konštantnou rýchlosťou 2 míle za hodinu po prúde a späť proti prúdu. Vzhľadom na prúd rieky je skutočná rýchlosť jazdy (v + 2 ) míľ za hodinu smerom po prúde a (v-2 ) míľ za hodinu smerom proti prúdu. Ak Julia plánuje stráviť (8 ) hodín po celú cestu, ako rýchlo by mala riadiť loď?

Musíme preskúmať tri formy vzorca pre pohyb konštantnou rýchlosťou:

kde (d ) znamená vzdialenosť, (v ) predstavuje rýchlosť a (t ) predstavuje čas. Podľa tretej formy je čas potrebný na plavbu loďou po prúde ( frac <12> text <,> ) a čas potrebný na návrat späť proti prúdu je ( frac <12> text <.> )

Funkcia na modelovanie času celej cesty je

kde (t ) predstavuje čas v hodinách a (v ) predstavuje rýchlosť člna v míľach za hodinu. Pozrime sa na graf tejto funkcie na obrázku 12.3.3. Pamätajte, že pretože rýchlosť (v ) a čas (t (v) ) by mali byť v kontexte pozitívne, záleží iba na prvom kvadrante obrázku 12.3.3.

Aby sme zistili rýchlosť, ktorú by mala Julia riadiť, aby spiatočná cesta trvala posledných (8 ) hodín, môžeme pomocou rovnice vyriešiť graf

graficky a vidíme, že (v = 4 text <.> ) Toto nám hovorí, že rýchlosť (4 ) míľ za hodinu poskytne celkový čas (8 ) hodín na dokončenie cesty. Prejsť po prúde by trvalo ( frac <12>= frac <12> <4 + 2> = 2 ) hodiny a prejsť proti prúdu by trvalo ( frac <12>= frac <12> <4-2> = 6 ) hodín.

Cieľom tejto časti je pracovať s výrazmi ako ( frac <12>+ frac <12> text <,> ), kde sú pridané (alebo odčítané) dva racionálne výrazy. Sú chvíle, kedy je užitočné ich spojiť do jednej frakcie. Dozvieme sa, že výraz ( frac <12>+ frac <12>) sa rovná výrazu ( frac <24v> text <,> ) a naučíme sa, ako to zjednodušiť.

Pododdiel 12.3.2 Sčítanie a odčítanie racionálnych výrazov s rovnakým menovateľom

Proces sčítania a odčítania racionálnych výrazov bude veľmi podobný procesu sčítania a odčítania čisto číselných zlomkov.

Ak majú dva výrazy rovnakého menovateľa, môžeme sa spoľahnúť na vlastnosť sčítania a odčítania zlomkov a výsledok zjednodušiť.

Pozrime sa, ako pridať zlomky s rovnakým menovateľom:

Racionálne výrazy môžeme sčítať a odčítať rovnakým spôsobom:

Určite najmenší spoločný menovateľ zo všetkých menovateľov.

Ak je to potrebné, zostavte každý výraz tak, aby boli menovatelia rovnaké.

Výsledný racionálny prejav čo najviac zjednodušte. Môže to vyžadovať faktorovanie čitateľa.

Príklad 12.3.5.

Pridajte racionálne výrazy: ( dfrac <2x>+ dfrac <2y> text <.> )

Tieto výrazy už majú spoločného menovateľa:

Všimnite si, že sme sa nezastavili na ( frac <2x + 2y> text <.> ) Pokiaľ je to možné, musíme zjednodušiť čitateľa a menovateľa. Pretože sa jedná o výraz s viac premennými, táto učebnica pri zrušení ignoruje obmedzenia domény.

Pododdiel 12.3.3 Sčítanie a odčítanie racionálnych výrazov s rôznymi menovateľmi

Ak chcete pridať racionálne výrazy s rôznymi menovateľmi, budeme musieť zostaviť každú frakciu s najmenším spoločným menovateľom, rovnako ako s číselnými zlomkami. Pozrime sa stručne na tento proces pridaním ( frac <3> <5> ) a ( frac <1> <6> text <:> )

Túto presnú metódu je možné použiť pri pridávaní racionálnych výrazov obsahujúcich premenné. Kľúčové je, že výrazy musieť mať rovnakého menovateľa, než ich bude možné sčítať alebo odčítať. Ak to pôvodne nemajú, identifikujeme najmenej spoločného menovateľa a každý výraz zostavíme tak, aby mal tohto menovateľa.

Použijeme to na pridanie dvoch výrazov s menovateľmi, ktoré sú (v-2 ) a (v + 2 ) z príkladu 12.3.2.

Príklad 12.3.6.

Pridajte racionálne výrazy a úplne zjednodušte funkciu danú znakom (t (v) = frac <12>)+ frac <12> text <.> )

Príklad 12.3.7.

Pridajte racionálne výrazy: ( dfrac <2> <5x ^ 2y> + dfrac <3> <20xy ^ 2> )

Najmenší spoločný menovateľ (5x ^ 2y ) a (20xy ^ 2 ) musí obsahovať dva (x ) a dva (y ), rovnako ako (20 text <. > ) Teda je to (20x ^ 2y ^ 2 text <.> ) Pred vykonaním sčítania postavíme oboch menovateľov do (20x ^ 2y ^ 2 ).

Pozrime sa na niekoľko komplikovanejších príkladov.

Príklad 12.3.8.

Odčítajte racionálne výrazy: ( dfrac- dfrac <8y-8>)

Na začiatok sa ubezpečíme, že je zohľadnený každý menovateľ. Potom nájdeme najmenej spoločného menovateľa a každý výraz postavíme do tohto menovateľa. Potom budeme môcť kombinovať čitateľa a zjednodušiť výraz.

Pamätajte, že musíme čitateľa započítať do ( frac<(y + 2) (y-2)> ) a pokúste sa zmenšiť zlomok (čo sme urobili).

Varovanie 12.3.9.

V príklade 12.3.8 opatrne odčítajte celý čitateľ (8y-8 text <.> ), Keď je tento výraz v čitateli ( frac <8y-8> <(y + 2) ( y-2)> text <,> ) je implicitne zoskupený a nepotrebuje zátvorky. Ale akonáhle sa (8y-8 ) odčíta od (y ^ 2 + 2y text <,> ), musíme pridať zátvorky, takže sa odčíta celý výraz.

V nasledujúcom príklade sa pozrieme na pridanie racionálneho výrazu k polynómu. Rovnako ako pri pridávaní zlomku a celého čísla sa budeme spoliehať na to, že tento výraz napíšeme ako jeden výraz, aby sme si vytvorili jeho menovateľ.

Príklad 12.3.10.

Pridajte výrazy: (- dfrac <2>+ r )

Všimnite si, že sme zohľadnili čitateľa, aby sa zlomok zmenšil, pokiaľ je to možné. Aj keď to v tomto prípade nebolo možné, ponechanie v prevedenej podobe uľahčuje zistenie jeho zníženia.

Príklad 12.3.11.

Na začiatok budeme musieť zohľadniť každého z menovateľov. Potom identifikujeme LCD a podľa toho zostavíme každého menovateľa. Potom môžeme kombinovať čitateľa a výsledný výraz zjednodušiť.

Čítanie otázok 12.3.4 Čítanie otázok

Popíšte, ako pridať dva racionálne výrazy, keď majú rovnakého menovateľa.

Predpokladajme, že pridávate dva racionálne výrazy, kde jeden z nich má kvadratický menovateľ a druhý lineárny menovateľ. Čo je prvé, čo by ste sa mali pokúsiť urobiť, pokiaľ ide o kvadratický menovateľ?


Pridávanie racionálnych výrazov

Sčítanie a odčítanie racionálnych výrazov je podobné ako pri sčítaní a odčítaní číselných pomerov.

Aby bolo možné racionálny výraz sčítať alebo odčítať, musí sa najskôr nájsť spoločný menovateľ a potom sa operácia môže uskutočniť v čitateľovi.

S ako menovatelia , jednoducho pridajte dva čitateľa a nájdite súčet.

4 x + 1 + x x + 1 & # x00A0 & # x00A0 & # x00A0 & # x00A0 = & # x00A0 & # x00A0 & # x00A0 & # x00A0 x + 4 x + 1 Pridajte čitateľov (menovateľ sa nemení).

S na rozdiel od menovateľov

najprv nájsť spoločného menovateľa

Autor: násobiace menovatele

Príklad 2: Pomery jednotlivých období 3 2 x + 5 7
7 7 & # x00D7 3 2 x + 2 x 2 x & # x00D7 5 7 Vynásobte každý pomer jedným pomocou druhého menovateľa.

21 14 x + 10 x 14 x Znásobiť.

10 x + 21 14 x Pridajte čitateľa.

Autor: hľadanie najmenšieho spoločného násobku menovateľov

Príklad 3: Jednorazové pomery 7 8 x + 16 5 x
Najmenší spoločný násobok (LCM) z 8x a 5x je 40x

5 5 & # x00D7 7 8 x & # x00A0 & # x00A0 + & # x00A0 & # x00A0 8 8 & # x00D7 16 5 x Vynásobte pomery jednou, aby ste získali spoločného menovateľa.

35 40 x + 128 40 x Znásobte viac.

163 40 x Pridajte čitateľa, ak je to možné, zjednodušte to.

163 a 40 sú relatívne najlepšie, takže tento pomer nie je možné zjednodušiť.

Príklad 4: Faktorovanie trojčlenov v menovateli.

2 x x 2 + 5 x & # x2212 24 + 4 x & # x2212 3
x 2 + 5x - 24 = (x + 8) (x - 3) Faktor menovateľa.

2 x (x + 8) (x & # x2212 3) + (x + 8) (x + 8) & # x00D7 4 (x & # x2212 3) Vynásobte druhý pomer, aby ste získali spoločného menovateľa.

2 x + 4 (x + 8) (x + 8) (x & # x2212 3) Pridajte čitateľa.

2 x + 4 x + 32 (x + 8) (x & # x2212 3) Na kombinovanie podobných výrazov použite distribučnú vlastnosť.

6 x + 32 (x + 8) (x & # x2212 3) Prepíšte v zjednodušenej podobe.

Príklad 5: Špeciálne výrobky v menovateli.

x x 2 & # x2212 4 + x + 2 x 2 + 4 x + 4
x 2 - 4 = (x + 2) (x - 2) a x 2 + 4x + 4 = (x + 2) (x + 2) Faktor menovateľov.

(x + 2) (x + 2) & # x00D7 x (x + 2) (x & # x2212 2) & # x00A0 & # x00A0 + & # x00A0 & # x00A0 (x & # x2212 2) (x & # x2212 2) & # x00D7 (x + 2) (x + 2) (x + 2) Vynásobte pomery, aby ste získali spoločných menovateľov.

x (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x & # x2212 2) + (x & # x2212 2) (x + 2) (x & # x2212 2) (x + 2) (x + 2) Prepísať.

x (x + 2) + (x & # x2212 2) (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x & # x2212 2) Pridajte čitateľa.

(x + (x & # x2212 2)) (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x & # x2212 2) Znova zoskupte výrazy, aby ste čitateľa rozdelili do koeficientov.

(2 x & # x2212 2) (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x & # x2212 2) Eliminujte bežné faktory.

(2 x & # x2212 2) (x + 2) (x & # x2212 2) Prepíšte v zjednodušenej podobe.

Príklad 6: Odčítanie x + 3 x 2 & # x2212 2 x & # x2212 8 & # x2212 x & # x2212 5 x 2 & # x2212 12 x + 32
x 2 - 2x - 8 = (x - 4) (x + 2) Faktor menovateľov.

(x & # x2212 8) (x & # x2212 8) & # x00D7 (x + 3) (x & # x2212 4) (x + 2) & # x2212 (x + 2) (x + 2) & # x00D7 (x & # x2212 5) (x & # x2212 8) (x & # x2212 4) Vynásobte pomery, aby ste získali spoločných menovateľov.

x 2 & # x2212 5 x & # x2212 24 (x & # x2212 8) (x & # x2212 4) (x + 2) & # x2212 x 2 & # x2212 3 x & # x2212 10 (x & # x2212 8) ) (x & # x2212 4) (x + 2) Vynásobte, aby ste určili nové čitateľa

& # x2212 2 x & # x2212 14 (x & # x2212 8) (x & # x2212 4) (x + 2) Od prvého čitateľa odčíta druhý čitateľ.

Pri -2x - 14 = -2 (x + 7) neexistujú žiadne spoločné faktory, ktoré by zjednodušili pomer, aby bol pomer zachovaný.

Príklad 7: Sčítanie a odčítanie spolu

x + 3 x 2 & # x2212 25 + x & # x2212 1 x & # x2212 5 & # x2212 2 x + 5
x 2 - 25 = (x + 5) (x - 5) Faktor menovateľa.

( x + 3 ) ( x − 5 ) ( x + 5 ) + ( x + 5 ) ( x + 5 ) × ( x − 1 ) ( x − 5 ) − ( x − 5 ) ( x − 5 ) × 2 ( x + 5 ) Multiply the ratios to obtain a common denominator.

  ( x + 3 ) + ( x 2 + 4 x − 5 ) − ( 2 x − 10 ) ( x + 3 ) ( x − 5 ) ( x + 5 ) Rewrite the numerator.

x 2 + 3 x + 8 ( x + 3 ) ( x − 5 ) ( x + 5 ) Combine like terms.

Now that you can add and subtract rational expressions, you are ready to start solving rational equations.

To link to this Adding Rational Expressions page, copy the following code to your site:


To divide two Rational Expressions, first flip the second expression over (make it a reciprocal) and then do a multiply like above:

Príklad:

First flip the second one over and make it a multiply:

2x &minus 2 / 3x+1 = 2x &minus 2 & krát x+13

2 x &minus 2 & krát x+13 = 2(x+1)3(x &minus 2)


Sčítanie a odčítanie racionálnych výrazov na rozdiel od menovateľov

There are a few steps to follow when you add or subtract rational expressions with unlike denominators.

  1. To add or subtract rational expressions with unlike denominators, first find the LCM of the denominator. The LCM of the denominators of fraction or rational expressions is also called least common denominator , or LCD.
  2. Write each expression using the LCD. Make sure each term has the LCD as its denominator.
  3. Add or subtract the numerators.
  4. Simplify as needed.

Since the denominators are not the same, find the LCD.

Since 3 a and 4 b have no common factors, the LCM is simply their product: 3 a &sdot 4 b .

That is, the LCD of the fractions is 12 a b .

Rewrite the fractions using the LCD.

Since the denominators are not the same, find the LCD.

Here, the GCF of 4 x 2 and 6 x y 2 is 2 x . So, the LCM is the product divided by 2 x :

Rewrite the fractions using the LCD.

Since the denominators are not the same, find the LCD.

The LCM of a and a &minus 5 is a ( a &minus 5 ) .

That is, the LCD of the fractions is a ( a &minus 5 ) .

Rewrite the fraction using the LCD.

2 a &minus 3 a &minus 5 = 2 ( a &minus 5 ) a ( a &minus 5 ) &minus 3 a a ( a &minus 5 )

= 2 a &minus 10 a ( a &minus 5 ) &minus 3 a a ( a &minus 5 )

Since the denominators are not the same, find the LCD.

The LCM of c + 2 and c &minus 3 is ( c + 2 ) ( c &minus 3 ) .

That is, the LCD of the fractions is ( c + 2 ) ( c &minus 3 ) .

Rewrite the fraction using the LCD.

5 c + 2 + 6 c &minus 3 = 5 ( c &minus 3 ) ( c + 2 ) ( c &minus 3 ) + 6 ( c + 2 ) ( c + 2 ) ( c &minus 3 )

= 5 c &minus 15 ( c + 2 ) ( c &minus 3 ) + 6 c + 12 ( c + 2 ) ( c &minus 3 )

= 5 c &minus 15 + 6 c + 12 ( c + 2 ) ( c &minus 3 )

Download our free learning tools apps and test prep books

Names of standardized tests are owned by the trademark holders and are not affiliated with Varsity Tutors LLC.

4.9/5.0 Satisfaction Rating over the last 100,000 sessions. As of 4/27/18.

Media outlet trademarks are owned by the respective media outlets and are not affiliated with Varsity Tutors.

Award-Winning claim based on CBS Local and Houston Press awards.

Varsity Tutors does not have affiliation with universities mentioned on its website.

Varsity Tutors connects learners with experts. Instructors are independent contractors who tailor their services to each client, using their own style, methods and materials.


1) Make the denominators of the rational expressions the same by finding the Least Common Denominator (LCD).

Note: The Least Common Denominator is the same as the Least Common Multiple (LCM) of the given denominators.

2) Next, combine the numerators by the indicated operations (add and/or subtract) then copy the common denominator.

Note: Don’t forget to simplify further the rational expression by canceling common factors, if possible.

As they say, practice makes perfect. So we will go over six (6) worked examples in this lesson to illustrate how it is being done. Let’s get started!

Examples of Adding and Subtracting Rational Expressions

Príklad 1: Add and subtract the rational expressions below.

In this case, we are adding and subtracting rational expressions with unlike denominators. Our goal is to make them all the same.

Since I have monomials in the denominators, the LCD can be obtained by simply taking the Least Common Multiple of the coefficients, where LCM ( 3 , 6 ) = 6 , and multiply that to the variable x with the highest exponent.

The LCD should be (LCM of coefficients) times (LCM of variable x ) which gives us left( 6 ight)left( <> ight) = 6 .

The “blue fractions” are the appropriate multipliers to do the job!

Now that we have the same denominators, it is easy to simplify.

Combine similar terms (see the x variables?).

  • When you reach the point of having a single rational expression, your next critical step is to factor the top and the bottom completely.

The reason is that you may have common factors, which can be canceled out.

To make this a better answer, I will exclude the value of x that can make the original rational expression undefined.

I can add the condition that x e 0 .

Príklad 2: Add the rational expressions below.

This problem contains like denominators. We want this because it is the LCD itself – the given denominator of the rational expression.

So then the LCD that we are going to use is 2x + 1 .

Tip: Don’t rush by immediately doing all the calculations in your head. I suggest that you place each term inside the parenthesis before performing the required operation. This extra step may be your lifesaver to avoid careless mistakes.

  • Unless you have a good grasp on how to effectively combine like terms, I suggest you take another “baby step” as an additional precaution.

Do you see how I decided to place the like terms side-by-side on the numerator?

To prevent the original rational expression to have a denominator of zero, we say that x e - <1 over 2>.

Príklad 3: Add the rational expressions below.

This time I have the same trinomial in both denominators. This is similar to problem #2 but the quadratic trinomial adds a layer of fun. Later, I can factor out the denominator to see if there are common factors to cancel against the numerator.

  • Copy the common denominator and set it up just like this – placing each numerator in the parenthesis before adding them.
  • Rearrange the terms in such a way that similar terms are next to each other for ease of computation later.

You may say that x e - ,4 and x e + ,5 from the original denominator.

Príklad 4: Subtract the rational expressions below.

This is a good example because the denominators are different. I need to find the LCD by doing the following steps.

Factor each denominator completely, and line up the common factors. Identify each unique factor with the highest power.

Multiply together the ones with the highest exponents for each unique factor.

  • In this step, I haven’t done anything but factor out the denominator of the first rational expression.

The first denominator is okay but the second one is lacking left( ight) .

This is why I multiply it by the blue fraction .

  • Put them all together in one fraction with a common denominator of left( pravá ľavá( ight) . However, keep each numerator inside a parenthesis.

Group similar terms together before simplifying them.

  • We got it! You may include the restrictions that x e 5 and x e - ,5 based on the original denominator of the given rational expression. This is to prevent the division of zero, which is not good.

Example 5: Subtract and add the rational expressions below.

This problem is definitely interesting. To solve this, hold on to the things that you already know. Find the LCD by doing the steps below.

Factor each denominator completely and neatly line up the common factors. Identify each unique factor with the highest power.

Multiply together the ones with the highest exponents for each unique factor.

  • Combine them in one fraction while keeping each numerator within a parenthesis. Make sure to copy the indicated operations correctly.
  • Now, we’ll factor out the numerator and hope to see common factors between the numerator and denominator that can be canceled.
  • We now have our final answer. Add the restrictions x e 4 and x e - ,3 to avoid dividing by zero.

Example 6: Subtract and add the rational expressions below.

This is our last example in this lesson. I must say this is very similar to example 5. By now, you should already have a solid understanding of how to add and subtract rational expressions.

Let’s start finding the LCD again.

Factor each denominator completely and neatly line up the common factors. Identify each unique factor with the highest power.

Multiply together the ones with the highest exponents for each unique factor.


Pozri si video: LOMENÉ VÝRAZY #1 - definícia, úpravy (Október 2021).