Články

3.8: Reťazové pravidlo - matematika


Videli sme techniky diferenciácie základných funkcií ((x ^ n, sin x, cos x atď.) ), Ako aj súčtov, rozdielov, súčinov, kvocientov a konštantných násobkov týchto funkcií. V tejto časti študujeme pravidlo pre hľadanie derivácie zloženia dvoch alebo viacerých funkcií.

Odvodenie reťazového pravidla

Keď máme funkciu, ktorá je zložením dvoch alebo viacerých funkcií, môžeme na jej rozlíšenie použiť všetky techniky, ktoré sme sa už naučili. Používanie všetkých týchto techník na rozdelenie funkcie na jednoduchšie časti, ktoré sme schopní rozlíšiť, však môže byť nepríjemné. Namiesto toho používame reťazové pravidlo, v ktorom sa uvádza, že derivácia zloženej funkcie je deriváciou vonkajšej funkcie hodnotenej v časoch vnútornej funkcie deriváciou vnútornej funkcie.

Ak chcete dať toto pravidlo do súvislostí, pozrime sa na príklad: (h (x) = sin (x ^ 3) ). Deriváciu tejto funkcie vzhľadom na (x ) môžeme považovať za rýchlosť zmeny ( sin (x ^ 3) ) vo vzťahu k zmene (x ). Následne by sme chceli vedieť, ako sa ( sin (x ^ 3) ) mení, keď sa (x ) mení. Túto udalosť si môžeme predstaviť ako reťazovú reakciu: Keď sa (x ) zmení, (x ^ 3 ) sa zmení, čo vedie k zmene ( sin (x ^ 3) ). Táto reťazová reakcia nám dáva náznaky, čo sa týka výpočtu derivácie ( sin (x ^ 3) ). Najskôr zmena v (x ) vynútená zmena v (x ^ 3 ) naznačuje, že je nejakým spôsobom zahrnutá aj derivácia (x ^ 3 ). Okrem toho zmena v (x ^ 3 ) vynútená zmena v ( sin (x ^ 3) ) naznačuje, že derivácia ( sin (u) ) vo vzťahu k (u ) , kde (u = x ^ 3 ), je tiež súčasťou výslednej derivácie.

Môžeme sa formálnejšie pozrieť na deriváciu (h (x) = sin (x ^ 3) ) nastavením limitu, ktorý by nám dal deriváciu v doméne so špecifickou hodnotou (a ) z (h (x) = sin (x ^ 3) ).

[h ′ (a) = lim_ {x → a} dfrac { sin (x ^ 3) - sin (a ^ 3)} {x − a} ]

Tento výraz sa nejaví ako zvlášť užitočný; môžeme ho však upraviť vynásobením a vydelením výrazom (x ^ 3 − a ^ 3 ) ), aby sme získali

[h ′ (a) = lim_ {x → a} dfrac { sin (x ^ 3) - sin (a ^ 3)} {x ^ 3 − a ^ 3} ⋅ dfrac {x ^ 3 −a ^ 3} {x − a}. ]

Z definície derivácie vidíme, že druhým faktorom je derivácia (x ^ 3 ) pri (x = a. ), Tj.

[ lim_ {x → a} dfrac {x ^ 3 − a ^ 3} {x − a} = dfrac {d} {dx} (x ^ 3) = 3a ^ 2. ]

Môže však byť trochu náročnejšie uznať, že prvý výraz je tiež derivát. Môžeme to vidieť tak, že necháme (u = x ^ 3 ) a pozorujeme, že ako (x → a, u → a ^ 3 ):

[ begin {align} lim_ {x → a} dfrac { sin (x ^ 3) - sin (a ^ 3)} {x ^ 3 − a ^ 3} & = lim_ {u → a ^ 3} dfrac { sin u− sin (a ^ 3)} {u − a ^ 3} & = dfrac {d} {du} ( sin u) _ {u = a ^ 3} & = cos (a3) ​​ end {align}. ]

Teda (h ′ (a) = cos (a ^ 3) ⋅3a ^ 2 ).

Inými slovami, ak (h (x) = sin (x ^ 3) ), potom (h ′ (x) = cos (x ^ 3) ⋅3x ^ 2 ). Ak teda uvažujeme o (h (x) = sin (x ^ 3) ) ako o zložení ((f∘g) (x) = f (g (x)) ) kde (f ( x) = sin x ) a (g (x) = x ^ 3 ), potom je derivácia (h (x) = sin (x ^ 3) ) produktom derivácie (g (x) = x ^ 3 ) a derivát funkcie (f (x) = sin x ) vyhodnotený pri funkcii (g (x) = x ^ 3 ). V tomto okamihu predpokladáme, že pre (h (x) = sin (g (x)) ) je dosť pravdepodobné, že (h ′ (x) = cos (g (x)) g ′ ( X)). Ako sme určili vyššie, je to prípad (h (x) = sin (x ^ 3) ).

Teraz, keď sme odvodili špeciálny prípad pravidla reťaze, uvedieme všeobecný prípad a potom ho vo všeobecnej podobe použijeme na ďalšie zložené funkcie. Neformálny dôkaz je uvedený na konci tejto časti.

Pravidlo: Reťazové pravidlo

Nech (f ) a (g ) sú funkcie. Pre všetky (x ) v doméne (g ), pre ktoré (g ) je diferencovateľné na (x ) a (f ) je diferencovateľné na (g (x) ), derivát zloženej funkcie

[h (x) = (f∘g) (x) = f (g (x)) ]

je daný

[h ′ (x) = f ′ (g (x)) g ′ (x). ]

Alternatívne, ak (y ) je funkciou (u ) a (u ) je funkciou (x ), potom

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy} {du} ⋅ dfrac {du} {dx} ).

Stratégia riešenia problémov: Uplatňovanie reťazového pravidla

  1. Ak chcete odlíšiť (h (x) = f (g (x)) ), začnite identifikáciou (f (x) ) a (g (x) ).
  2. Nájdite (f '(x) ) a vyhodnotte ho na (g (x) ), aby ste získali (f' (g (x)) ).
  3. Nájdite (g ′ (x). )
  4. Napíšte (h ′ (x) = f ′ (g (x)) ⋅g ′ (x). )

Poznámka: Pri uplatňovaní pravidla reťazca na zloženie dvoch alebo viacerých funkcií nezabúdajte, že postupujeme od vonkajšej funkcie dovnútra. Je tiež užitočné pamätať na to, že deriváciu zloženia dvoch funkcií možno považovať za dve časti; derivácia zloženia troch funkcií má tri časti; a tak ďalej. Pamätajte tiež, že deriváciu nikdy nevyhodnocujeme.

Reťaz a pravidlá moci sú kombinované

Pravidlo reťaze teraz môžeme použiť na zložené funkcie, ale uvedomte si, že ho musíme často používať s inými pravidlami. Napríklad, aby sme našli derivácie funkcií tvaru (h (x) = (g (x)) ^ n ), musíme použiť reťazové pravidlo spojené s mocninovým pravidlom. Aby sme to mohli urobiť, môžeme myslieť (h (x) = (g (x)) ^ n ) ako (f (g (x)) ) kde (f (x) = x ^ n ) . Potom (f ′ (x) = nx ^ {n − 1} ). Teda (f ′ (g (x)) = n (g (x)) ^ {n − 1} ). To nás vedie k derivácii mocninovej funkcie pomocou reťazového pravidla,

(h ′ (x) = n (g (x)) ^ {n − 1} g ′ (x) )

Pravidlo: Pravidlo napájania pre zloženie funkcií

Pre všetky hodnoty (x ), pre ktoré je definovaná derivácia, ak

(h (x) = (g (x)) ^ n ).

Potom

(h ′ (x) = n (g (x)) ^ {n − 1} g ′ (x) ).

Príklad ( PageIndex {1} ): Použitie pravidiel reťazca a napájania

Nájdite deriváciu (h (x) = dfrac {1} {(3x ^ 2 + 1) ^ 2} ).

Riešenie

Najskôr prepíšte (h (x) = dfrac {1} {(3x ^ 2 + 1) ^ 2} = (3x ^ 2 + 1) ^ {- 2} ).

Aplikujeme pravidlo napájania s (g (x) = 3x ^ 2 + 1 ), máme

(h ′ (x) = - 2 (3x ^ 2 + 1) ^ {- 3} (6x) ).

Prepísanie späť do pôvodnej podoby nám dáva

(h ′ (x) = dfrac {−12x} {(3x ^ 2 + 1) ^ 3} )

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Nájdite deriváciu (h (x) = (2x ^ 3 + 2x − 1) ^ 4 ).

Pomôcka

Použite rovnicu s (g (x) = 2x ^ 3 + 2x − 1 )

Odpoveď

(h ′ (x) = 4 (2x ^ 3 + 2x − 1) ^ 3 (6x + 2) = 8 (3x + 1) (2x ^ 3 + 2x − 1) ^ 3 )

Príklad ( PageIndex {2} ): Použitie reťazových a výkonových pravidiel s trigonometrickou funkciou

Nájdite deriváciu (h (x) = sin ^ 3x ).

Riešenie

Najprv si pripomeňme, že (sin ^ 3x = ( sin x) ^ 3 ), takže môžeme prepísať (h (x) = sin ^ 3x ) ako (h (x) = ( sin x) ^ 3 ).

Použitím pravidla sily s (g (x) = sin x ) získame

(h ′ (x) = 3 ( sin x) ^ 2 cos x = 3sin ^ 2x cos x ).

Príklad ( PageIndex {3} ): inding rovnice dotyčnice

Nájdite rovnicu priamky dotyčnicu grafu (h (x) = dfrac {1} {(3x − 5) ^ 2} ) na (x = 2 ).

Riešenie

Pretože nachádzame rovnicu priamky, potrebujeme bod. Súradnica x bodu je 2. Ak chcete zistiť súradnicu y, vložte 2 do (h (x) ). Pretože (h (2) = dfrac {1} {(3 (2) -5) ^ 2} = 1 ), bod je ((2,1) ).

Pre sklon potrebujeme (h ′ (2) ). Ak chcete nájsť (h ′ (x) ), najskôr prepíšeme (h (x) = (3x − 5) ^ {- 2} ) a použijeme pravidlo napájania na získanie

(h ′ (x) = - 2 (3x − 5) ^ {- 3} (3) = - 6 (3x − 5) ^ {- 3} ).

Nahradením máme (h ′ (2) = - 6 (3 (2) −5) ^ {- 3} = - 6. )

Preto má priamka rovnicu (y − 1 = −6 (x − 2) ). Pri prepisovaní je rovnica riadku (y = −6x + 13 ).

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Nájdite rovnicu dotyčnice priamky ku grafu (f (x) = (x ^ 2−2) ^ 3 ) v (x = −2 ).

Pomôcka

Predošlý príklad použite ako pomôcku.

Odpoveď

(y = −48x − 88 )

Derivát prirodzenej exponenciálnej funkcie

Nech (E (x) = e ^ x ) je prirodzená exponenciálna funkcia. Potom

(E ′ (x) = e ^ x. )

Všeobecne,

( frac {d} {dx} (e ^ {g (x)}) = e ^ {g (x)} g ′ (x) ).

Príklad ( PageIndex {1} ): Derivácia exponenciálnej funkcie

Nájdite deriváciu (f (x) = e ^ {tan (2x)} ).

Riešenie:

Pomocou derivačného vzorca a reťazcového pravidla

(f ′ (x) = e ^ {tan (2x)} frac {d} {dx} (tan (2x)) = e ^ {tan (2x)} sek ^ 2 (2x) ⋅2 ).

Príklad ( PageIndex {2} ): Kombinácia pravidiel diferenciácie

Nájdite deriváciu (y = frac {e ^ {x ^ 2}} {x} ).

Riešenie

Použite deriváciu prirodzenej exponenciálnej funkcie, pravidlo kvocientu a reťazové pravidlo.

(y ′ = frac {(e ^ {x ^ 2} ⋅2) x⋅x − 1⋅e ^ {x ^ 2}} {x ^ 2} ) Použite pravidlo kvocientu.

(= frac {e ^ {x ^ 2} (2x ^ 2−1)} {x ^ 2} ) Zjednodušte.

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Nájdite deriváciu (h (x) = xe ^ {2x} ).

Pomôcka

Nezabudnite použiť pravidlo produktu.

Odpoveď

(h ′ (x) = e ^ {2x} + 2xe ^ {2x} )

Príklad ( PageIndex {3} ): Aplikácia prirodzenej exponenciálnej funkcie

Kolónia komárov má počiatočnú populáciu 1 000. Po (t ) dňoch je populácia daná (A (t) = 1000e ^ {0,3t} ). Ukážte, že pomer rýchlosti zmeny populácie (A ′ (t) ) k populácii (A (t) ) je konštantný.

Riešenie

Najprv nájdite (A ′ (t) ). Použitím reťazcového pravidla máme (A ′ (t) = 300e ^ {0,3t}. ) Pomer rýchlosti zmeny populácie k populácii je teda daný

(A ′ (t) = frac {300e ^ {0,3t}} {1 000e ^ {0,3t}} = 0,3. )

Pomer rýchlosti zmeny obyvateľstva k obyvateľstvu je konštantných 0,3.

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Ak (A (t) = 1000e ^ {0,3t} ) popisuje populáciu komárov po (t ) dňoch, ako v predchádzajúcom príklade, aká je miera zmeny (A (t) ) po 4 dni?

Pomôcka

Nájdite (A '(4) ).

Odpoveď

(996)

Kombinácia reťazového pravidla s inými pravidlami

Teraz, keď môžeme skombinovať reťazové pravidlo a pravidlo moci, preskúmame, ako skombinovať reťazové pravidlo s ostatnými pravidlami, ktoré sme sa naučili. Môžeme ho použiť najmä so vzorcami pre deriváty trigonometrických funkcií alebo s pravidlom produktu.

Príklad ( PageIndex {4} ): Použitie reťazcového pravidla na všeobecnú funkciu kosínusu

Nájdite deriváciu (h (x) = cos (g (x)). )

Riešenie

Predstavte si (h (x) = cos (g (x)) ) ako (f (g (x)) ) kde (f (x) = cos x ). Pretože (f ′ (x) = - sin x ). máme (f ′ (g (x)) = - sin (g (x)) ). Potom urobíme nasledujúci výpočet.

(h ′ (x) = f ′ (g (x)) g ′ (x) ) Použite reťazové pravidlo.

(= - sin (g (x)) g ′ (x) ) Náhradník f '(g (x)) = - sin (g (x)).

Teda derivácia (h (x) = cos (g (x)) ) je daná vzťahom (h ′ (x) = - sin (g (x)) g ′ (x). )

V nasledujúcom príklade použijeme pravidlo, ktoré sme práve odvodili.

Príklad ( PageIndex {5} ): Použitie reťazcového pravidla pre funkciu kosínus

Nájdite deriváciu (h (x) = cos (5x ^ 2). )

Riešenie

(Nech g (x) = 5x ^ 2 ). Potom (g ′ (x) = 10x ). Na základe výsledku z predchádzajúceho príkladu

(h ′ (x) = - sin (5x2) ⋅10x = −10x sin (5x2) )

Príklad ( PageIndex {6} ): Použitie reťazcového pravidla pre inú trigonometrickú funkciu

Nájdite deriváciu (h (x) = sek (4x ^ 5 + 2x). )

Riešenie

Použite reťazové pravidlo na (h (x) = sec (g (x)) ), ktoré chcete získať

(h ′ (x) = s (g (x) tan (g (x)) g ′ (x). )

V tomto probléme (g (x) = 4x ^ 5 + 2x, ) teda máme (g ′ (x) = 20x ^ 4 + 2. ) Preto získame

(h ′ (x) = sek (4x ^ 5 + 2x) pálenie (4x ^ 5 + 2x) (20x ^ 4 + 2) = (20x ^ 4 + 2) sek (4x ^ 5 + 2x) pálenie (4x ^ 5 + 2x). )

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Nájdite deriváciu (h (x) = sin (7x + 2). )

Pomôcka

Použite reťazové pravidlo na (h (x) = sing (x) ) a potom použite (g (x) = 7x + 2 ).

Odpoveď

(h ′ (x) = 7 cos (7x + 2) )

V tomto bode poskytujeme zoznam derivátových vzorcov, ktoré je možné získať použitím reťazcového pravidla v spojení s vzorcami pre deriváty trigonometrických funkcií. Ich derivácie sú podobné deriváciám použitým v príklade a príklade. Pre pohodlie sú vzorce uvedené aj v Leibnizovej notácii, ktorú si niektorí študenti ľahšie zapamätajú. (Diskutujeme o reťazovom pravidle pomocou Leibnizovej notácie na konci tejto časti.) Nie je úplne nevyhnutné pamätať si ich ako samostatné vzorce, pretože sú to všetky aplikácie reťazcového pravidla na predtým naučené vzorce.

Použitie reťazového pravidla s trigonometrickými funkciami

Pre všetky hodnoty (x ), pre ktoré je definovaná derivácia,

( dfrac {d} {dx} ( sin (g (x)) = cos (g (x)) g '(x) ) ( dfrac {d} {dx} sin u = cos u dfrac {du} {dx} )
( dfrac {d} {dx} ( cos (g (x)) = - sin (g (x)) g '(x) ) ( dfrac {d} {dx} cos u = - sin u dfrac {du} {dx} )
( dfrac {d} {dx} (tan (g (x)) = sek ^ 2 (g (x)) g '(x) ) ( dfrac {d} {dx} tanu = sek ^ 2u dfrac {du} {dx} )
( dfrac {d} {dx} (detská postieľka (g (x)) = - csc ^ 2 (g (x)) g '(x) ) ( dfrac {d} {dx} cotu = −csc ^ 2u dfrac {du} {dx} )
( dfrac {d} {dx} (sek (g (x)) = sek (g (x) tan (g (x)) g '(x) ) ( dfrac {d} {dx} secu = secutanu dfrac {du} {dx} )
( dfrac {d} {dx} (csc (g (x)) = - csc (g (x)) postieľka (g (x)) g '(x) ) ( dfrac {d} {dx} cscu = −cscucotu dfrac {du} {dx}. )

Príklad ( PageIndex {7} ): Kombinácia reťazového pravidla s produktovým pravidlom

Nájdite deriváciu (h (x) = (2x + 1) ^ 5 (3x − 2) ^ 7 ).

Riešenie

Najskôr použite pravidlo produktu, potom pravidlo reťaze pre každý výraz produktu.

(h ′ (x) = dfrac {d} {dx} ((2x + 1) ^ 5) ⋅ (3x − 2) ^ 7 + dfrac {d} {dx} ((3x − 2) ^ 7 ) ⋅ (2x + 1) ^ 5 )

(= 5 (2x + 1) ^ 4⋅2⋅ (3x − 2) ^ 7 + 7 (3x − 2) ^ 6⋅3⋅ (2x + 1) ^ 5 )

(= 10 (2x + 1) ^ 4 (3x − 2) ^ 7 + 21 (3x − 2) ^ 6 (2x + 1) ^ 5 )

(= (2x + 1) ^ 4 (3x − 2) ^ 6 (10 (3x − 7) +21 (2x + 1)) )

(= (2x + 1) ^ 4 (3x − 2) ^ 6 (72x − 49) )

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Nájdite deriváciu (h (x) = dfrac {x} {(2x + 3) ^ 3} ).

Pomôcka

Začnite uplatnením pravidla kvocientu. Nezabudnite použiť pravidlo reťaze na odlíšenie menovateľa.

Odpoveď

(h ′ (x) = dfrac {3−4x} {(2x + 3) ^ 4} )

Zloženie troch alebo viacerých funkcií

Teraz môžeme kombinovať reťazové pravidlo s inými pravidlami pre diferenciáciu funkcií, ale keď rozlišujeme zloženie troch alebo viacerých funkcií, je potrebné reťazové pravidlo použiť viackrát. Ak sa na túto situáciu pozrieme všeobecne, môžeme vygenerovať vzorec, ktorý si však nemusíme pamätať, pretože jednoducho môžeme reťazové pravidlo použiť viackrát.

Všeobecne povedané, najskôr to necháme

[k (x) = h (f (g (x))). ]

Potom použijeme reťazové pravidlo, akonáhle to dostaneme

[k ′ (x) = dfrac {d} {dx} (h (f (g (x))) = h '(f (g (x))) ⋅ dfrac {d} {dx} f ( (g (x))). ]

Znovu aplikujeme pravidlo reťaze a získame

[k ′ (x) = h ′ (f (g (x)) f ′ (g (x)) g ′ (x)). ]

Príklad ( PageIndex {8} ): Pravidlo: Reťazové pravidlo pre zloženie troch funkcií

Riešenie

Pre všetky hodnoty (x ), pre ktoré je funkcia diferencovateľná, ak

(k (x) = h (f (g (x))), )

potom

(k ′ (x) = h ′ (f (g (x))) f ′ (g (x)) g ′ (x). )

Inými slovami, reťazové pravidlo uplatňujeme dvakrát.

Všimnite si, že derivácia zloženia troch funkcií má tri časti. (Podobne má derivácia zloženia štyroch funkcií štyri časti atď.) Tiež, Pamätajte, že vždy môžeme pracovať zvonku dovnútra a brať vždy jednu deriváciu.

Príklad ( PageIndex {9} ): Rozlišovanie zložených z troch funkcií

Nájdite deriváciu (k (x) = cos ^ 4 (7x ^ 2 + 1). )

Riešenie

Najskôr prepíšte (k (x) ) ako

(k (x) = ( cos (7x ^ 2 + 1)) ^ 4 ).

Potom niekoľkokrát použite reťazové pravidlo.

(k ′ (x) = 4 ( cos (7x2 + 1)) 3 (ddx ( cos (7x2 + 1)) )

(= 4 ( cos (7x ^ 2 + 1)) ^ 3 (- sin (7x ^ 2 + 1)) ( dfrac {d} {dx} (7x ^ 2 + 1)) )

(= 4 ( cos (7x ^ 2 + 1)) ^ 3 (- sin (7x ^ 2 + 1)) (14x) )

(= - 56x sin (7x ^ 2 + 1) cos ^ 3 (7x ^ 2 + 1) )

Cvičenie ( PageIndex {5} )

Nájdite deriváciu (h (x) = sin ^ 6 (x ^ 3). )

Pomôcka

Prepíšte (h (x) = sin ^ 6 (x ^ 3) = ( sin (x ^ 3)) ^ 6 ) a použite ako príklad sprievodcu.

Odpoveď

(h ′ (x) = 18x ^ 2sin ^ 5 (x ^ 3) cos (x ^ 3) )

Príklad ( PageIndex {10} ): Použitie reťazcového pravidla pri probléme rýchlosti

Častica sa pohybuje pozdĺž súradnicovej osi.Jeho poloha v čase t je daná vzťahom (s (t) = sin (2t) + cos (3t) ). Aká je rýchlosť častice v čase (t = dfrac {π} {6} )?

Riešenie

Aby sme našli (v (t) ), rýchlosť častice v čase (t ), musíme rozlišovať (s (t) ). Teda

[v (t) = s ′ (t) = 2 cos (2t) -3 sin (3t). ]

Doklad o reťazovom pravidle

V tejto chvíli predkladáme veľmi neformálny dôkaz o reťazovom pravidle. Pre jednoduchosť ignorujeme určité problémy: Predpokladáme napríklad, že (g (x) ≠ g (a) ) pre (x ≠ a ) v nejakom otvorenom intervale obsahujúcom (a ). Začneme aplikovaním definície limitu derivácie na funkciu (h (x) ), aby sme získali (h ′ (a) ):

(h ′ (a) = lim_ {x → a} dfrac {f (g (x)) - f (g (a))} {x − a} ).

Prepisujeme, získavame

(h ′ (a) = lim_ {x → a} dfrac {f (g (x)) - f (g (a))} {g (x) −g (a)} ⋅ dfrac {g (x) −g (a)} {x − a} ).

Aj keď je zrejmé, že

( lim_ {x → a} dfrac {g (x) −g (a)} {x − a} = g ′ (a) ),

to nie je zrejmé

( lim_ {x → a} dfrac {f (g (x)) - f (g (a))} {g (x) −g (a)} = f ′ (g (a)) ) .

Aby ste videli, že je to pravda, najskôr si uvedomte, že keďže g je diferencovateľné v (a, g ), je tiež spojité v (a. )

( lim_ {x → a} g (x) = g (a) ).

Ďalej urobte zámenu (y = g (x) ) a (b = g (a) ) a použite zmenu premenných v limite na získanie

( lim_ {x → a} dfrac {f (g (x)) - f (g (a))} {g (x) −g (a)} = lim_ {y → b} dfrac { f (y) −f (b)} {y − b} = f ′ (b) = f ′ (g (a)). )

Nakoniec

(h ′ (a) = lim_ {x → a} dfrac {f (g (x)) - f (g (a))} {g (x) −g (a)} ⋅ dfrac {g (x) −g (a)} {x − a} = f ′ (g (a)) g ′ (a) ).

Príklad ( PageIndex {11} ): Použitie reťazcového pravidla s funkčnými hodnotami

Nech (h (x) = f (g (x)). ) Ak (g (1) = 4, g '(1) = 3 ) a (f' (4) = 7 ) , vyhľadajte (h ′ (1). )

Riešenie

Použite reťazové pravidlo a potom ho nahraďte.

(h ′ (1) = f ′ (g (1)) g ′ (1) ) Použite reťazové pravidlo.

(= f ′ (4) ⋅3 ) Náhradník (g (1) = 4 ) a (g ′ (1) = 3.)

(= 7⋅3 ) Náhradník (f '(4) = 7. )

(= 21 ) Zjednodušte

Cvičenie ( PageIndex {6} )

Dané (h (x) = f (g (x)) ). Ak (g (2) = - 3, g ′ (2) = 4, ) a (f '(- 3) = 7 ), nájdime (h ′ (2) ).

Pomôcka

Postupujte podľa príkladu.

Odpoveď

28

Reťazové pravidlo pomocou Leibnizovej notácie

Rovnako ako v prípade iných derivátov, ktoré sme videli, môžeme pravidlo reťazca vyjadriť pomocou Leibnizovej notácie. Tento zápis pre reťazové pravidlo sa vo fyzických aplikáciách často používa.

Pre (h (x) = f (g (x)), ) nech (u = g (x) ) a (y = h (x) = g (u). )

(h ′ (x) = dfrac {dy} {dx} ]

[f ′ (g (x)) = f ′ (u) = dfrac {dy} {du} ]

a

[g ′ (x) = dfrac {du} {dx}. ]

V dôsledku toho

( dfrac {dy} {dx} = h ′ (x) = f ′ (g (x)) g ′ (x) = dfrac {dy} {du} ⋅ dfrac {du} {dx} ) .

Pravidlo: Reťazové pravidlo pomocou Leibnizovej notácie

Ak (y ) je funkciou (u ) a (u ) je funkciou (x ), potom

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy} {du} ⋅ dfrac {du} {dx} ).

Príklad ( PageIndex {12} ): Odvodenie pomocou Leibnizovej notácie I

Nájdite deriváciu [y = left ( dfrac {x} {3x + 2} right) ^ 5. ]

Riešenie

Najskôr nechajte (u = dfrac {x} {3x + 2} ). Teda (y = u ^ 5 ). Ďalej nájdite ( dfrac {du} {dx} ) a ( dfrac {dy} {du} ). Pomocou pravidla kvocientu

( dfrac {du} {dx} = dfrac {2} {(3x + 2) ^ 2} )

a

( dfrac {dy} {du} = 5u ^ 4 ).

Nakoniec sme to všetko spojili.

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy} {du} ⋅ dfrac {du} {dx} ) Použite pravidlo reťaze.

(= 5u ^ 4⋅ dfrac {2} {(3x + 2) ^ 2} ) Substitutedydu = 5u4anddudx = 2 (3x + 2) 2.

(= 5 ( dfrac {x} {3x + 2}) ^ 4⋅ dfrac {2} {(3x + 2) ^ 2} ) Náhradník = x3x + 2.

(= dfrac {10x ^ 4} {(3x + 2) ^ 6} ) Zjednodušte.

Je dôležité mať na pamäti, že pri použití Leibnizovej formy reťazového pravidla musí byť konečná odpoveď vyjadrená v celom rozsahu pôvodnej premennej uvedenej v úlohe.

Príklad ( PageIndex {13} ): Derivácia pomocou Leibnizovej notácie II

Nájdite deriváciu [y = tan (4x ^ 2−3x + 1). ]

Riešenie

Najskôr nechajme (u = 4x ^ 2−3x + 1. ) Potom (y = tanu ). Ďalej nájdite ( dfrac {du} {dx} ) a ( dfrac {dy} {du} ):

( dfrac {du} {dx} = 8x − 3 ) a ( dfrac {dy} {du} = sek ^ 2u. )

Nakoniec sme to všetko spojili.

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy} {du} ⋅ dfrac {du} {dx} ) Použite pravidlo reťaze.

(= sek ^ 2u⋅ (8x − 3) ) Použite ( dfrac {du} {dx} = 8x − 3 ) a ( dfrac {dy} {du} = sek ^ 2u ).

(= s ^ 2 (4x ^ 2−3x + 1) ⋅ (8x − 3) ) Náhradník (u = 4x ^ 2−3x + 1 ).

Cvičenie ( PageIndex {7} )

Pomocou Leibnizovej notácie nájdite deriváciu (y = cos (x ^ 3) ). Uistite sa, že konečná odpoveď je úplne vyjadrená v premennej (x ).

Pomôcka

Nech (u = x ^ 3 ).

Odpoveď

[ dfrac {dy} {dx} = - 3x ^ 2 sin (x ^ 3). ]

Kľúčové koncepty

  • Reťazové pravidlo nám umožňuje odlíšiť zloženie dvoch alebo viacerých funkcií. Uvádza sa, že pre (h (x) = f (g (x)), )

(h ′ (x) = f ′ (g (x)) g ′ (x). )

V Leibnizovej notácii má toto pravidlo formu

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy} {du} ⋅ dfrac {du} {dx} ).

  • Pravidlo reťaze môžeme použiť s inými pravidlami, ktoré sme sa naučili, a pre niektoré z nich môžeme odvodiť vzorce.
  • Reťazové pravidlo sa spája s pravidlom moci a vytvára nové pravidlo:

Ak (h (x) = (g (x)) ^ n ), potom (h ′ (x) = n (g (x)) ^ {n − 1} g ′ (x) ).

  • Pri použití na zloženie troch funkcií možno reťazové pravidlo vyjadriť nasledovne: Ak (h (x) = f (g (k (x))), ), potom (h ′ (x) = f ′ (g (k (x)) g ′ (k (x)) k ′ (x). )

Kľúčové rovnice

  • Reťazové pravidlo

(h ′ (x) = f ′ (g (x)) g ′ (x) )

  • Pravidlo napájania pre funkcie

(h ′ (x) = n (g (x)) ^ {n − 1} g ′ (x) )

Glosár

reťazové pravidlo
reťazové pravidlo definuje deriváciu zloženej funkcie ako deriváciu vonkajšej funkcie hodnotenej v časoch vnútornej funkcie deriváciu vnútornej funkcie

Prispievatelia

  • Gilbert Strang (MIT) a Edwin „Jed“ Herman (Harvey Mudd) s mnohými prispievajúcimi autormi. Tento obsah OpenStax je licencovaný s licenciou CC-BY-SA-NC 4.0. Stiahnite si zadarmo na http://cnx.org.


3.8: Reťazové pravidlo - matematika

V priebehu niekoľkých posledných sekcií sme vzali veľa derivátov. Ak sa však pozriete späť, všetko boli funkcie podobné nasledujúcim druhom funkcií.

[R doľava (z doprava) = sqrt z hspace <0,25in> f doľava (t doprava) = > hspace <0,25in> y = tan left (x right) hspace <0,25in> , , , h left (w right) = << bf> ^ w> hspace <0,25in> , , , g dolava (x doprava) = , ln x ]

Všetko sú to dosť jednoduché funkcie, pretože všade, kde sa premenná objaví, je sama o sebe. A čo funkcie ako nasledujúce,

[začaťR doľava (z doprava) = sqrt <5z - 8> & hspace <0,5in> f doľava (t doprava) = < doľava (<2+ cos left (t right)> right) ^ <50>> hspace <0,5in> hspace <0,25in> y = tan left (< sqrt [3] << 3>> + tan doľava (<5x> doprava)> doprava) h doľava (w doprava) = << bf>^ <- 3 + 9 >> & hspace <0,5in> , , , g doľava (x doprava) = , ln doľava (<> + > vpravo) koniec]

Žiadne z našich pravidiel nebude pracovať na týchto funkciách, a napriek tomu sú niektoré z týchto funkcií bližšie k derivátom, s ktorými sa pravdepodobne stretneme, ako k funkciám v prvej sade.

Zoberme si napríklad prvý. V časti venovanej definícii derivácie sme v skutočnosti použili definíciu na výpočet tejto derivácie. V tejto časti sme zistili, že

Keby sme na to mali použiť iba pravidlo moci, dostali by sme

čo nie je derivát, ktorý sme vypočítali pomocou definície. Je to blízko, ale nie je to to isté. Samotné pravidlo moci teda jednoducho nebude fungovať, aby sme tu dostali deriváciu.

Pozrime sa ďalej na túto funkciu a všimnime si, že ak definujeme,

[f doľava (z doprava) = sqrt z hspace <0,25in> hspace <0,25in> g left (z right) = 5z - 8 ]

potom môžeme funkciu napísať ako kompozíciu.

[R doľava (z doprava) = doľava ( right) left (z right) = f left ( right) = sqrt <5z - 8> ]

a ukazuje sa, že je skutočne dosť jednoduché odlíšiť funkčné zloženie pomocou Reťazové pravidlo. Existujú dve formy reťazového pravidla. Tu sú.

Reťazové pravidlo

Predpokladajme, že máme dve funkcie (f ľavá (x pravá) ) a (g ľavá (x pravá) ) a obe sú diferencovateľné.

  1. Ak definujeme (F doľava (x doprava) = doľava ( right) left (x right) ), potom derivácia (F left (x right) ) je, [F ' left (x right) = f' left ( right) , , , g ' left (x right) ]
  2. Ak máme (y = f ľavé (u pravé) ) a (u = g ľavé (x pravé) ), potom derivácia (y ) je, [ frac <><> = frac <><> , , frac <><>]

Každá z týchto foriem má svoje využitie, avšak v tejto triede budeme pracovať väčšinou s prvým formulárom. Dôkaz reťazcového pravidla nájdete v časti Doplnky v časti Dôkaz o rôznych odvodených vzorcoch.

Teraz sa vráťme späť a použime reťazcové pravidlo na funkciu, ktorú sme použili pri otvorení tejto sekcie.

Už sme identifikovali dve funkcie, ktoré sme pre zloženie potrebovali, ale aj tak si ich zapíšme a vezmime ich deriváty.

[začaťf ľavý (z pravý) = sqrt z & hspace <0,5in> g ľavý (z pravý) = 5z - 8 f ' ľavý (z pravý) = displaystyle frac <1> << 2 sqrt z >> & hspace <0,5in> g ' left (z right) = 5 end]

Takže pomocou pravidla reťaze, ktoré dostaneme,

A to je to, čo sme dostali pomocou definície derivácie.

Všeobecne pri použití reťazového pravidla nerobíme všetky veci týkajúce sa zloženia. To sa môže trochu skomplikovať a v skutočnosti zakrýva skutočnosť, že existuje rýchly a ľahký spôsob zapamätania si reťazového pravidla, ktoré nevyžaduje, aby sme premýšľali z hľadiska zloženia funkcií.

Zoberme si funkciu z predchádzajúceho príkladu a mierne ju prepíšme.

Táto funkcia má „vnútornú funkciu“ a „vonkajšiu funkciu“. Vonkajšou funkciou je druhá odmocnina alebo exponent (< textstyle <1 nad 2 >> ) v závislosti od toho, ako si o tom chcete myslieť, a vnútorná funkcia je obsah, z ktorého berieme druhú odmocninu alebo zvýšenie na (< textstyle <1 nad 2 >> ), opäť podľa toho, ako sa na to chcete pozrieť.

Všeobecne si takto myslíme na reťazové pravidlo. Identifikujeme „vnútornú funkciu“ a „vonkajšiu funkciu“. Potom diferencujeme vonkajšiu funkciu a vnútornú ponecháme osamote a toto všetko vynásobíme deriváciou vnútornej funkcie. Vo všeobecnej podobe to je

„Vonkajšiu funkciu“ môžeme v nasledujúcich príkladoch kedykoľvek identifikovať tak, že si položíme otázku, ako by sme funkciu vyhodnotili. Napríklad v prípade (R doľava (z doprava) ), ak by sme si mali položiť otázku, čo (R doľava (2 doprava) ), najskôr by sme vyhodnotili veci pod radikálom a potom nakoniec druhá odmocnina tohto výsledku. Druhá odmocnina je posledná operácia, ktorú vykonáme pri hodnotení, a to je tiež vonkajšia funkcia. Vonkajšia funkcia bude vždy poslednou operáciou, ktorú by ste vykonali, ak by ste sa chystali funkciu vyhodnotiť.

Pozrime sa na niekoľko príkladov reťazového pravidla.

  1. (f doľava (x doprava) = sin doľava (<3+ x> vpravo) )
  2. (f doľava (t doprava) = < doľava (<2+ cos left (t right)> right) ^ <50>> )
  3. (h doľava (w doprava) = << bf>^ <- 3 + 9>>)
  4. (g doľava (x doprava) = , ln doľava (<> + > vpravo) )
  5. (y = sec doľava (<1 - 5x> doprava) )
  6. (P doľava (t doprava) = < cos ^ 4> doľava (t doprava) + cos doľava (<> vpravo) )

Vyzerá to, že vonkajšia funkcia je sínus a vnútorná funkcia je 3x 2 + x. Derivát je potom.

Alebo s malým prepisom,

[f ' doľava (x doprava) = doľava (<6x + 1> doprava) cos doľava (<3+ x> vpravo) ]

V tomto prípade je vonkajšia funkcia exponentom 50 a vnútornou funkciou je všetok obsah vo vnútri zátvorky. Derivát je potom.

Identifikácia vonkajšej funkcie v predchádzajúcich dvoch bola pomerne jednoduchá, pretože to bola v určitom zmysle slova skutočne „vonkajšia“ funkcia. V tomto prípade musíme byť trochu opatrní. Pripomeňme si, že vonkajšia funkcia je posledná operácia, ktorú by sme vykonali pri hodnotení. V takom prípade, ak by sme mali vyhodnotiť túto funkciu, posledná operácia by bola exponenciálna. Preto je vonkajšia funkcia exponenciálnou funkciou a vnútorná funkcia je jej exponentom.

Pamätajte, že vnútornú funkciu necháme pokojnú, keď rozlišujeme vonkajšiu. Takže derivácia exponenciálnej funkcie (s vnútorným ľavým okrajom) je iba pôvodná funkcia.

Tu je vonkajšou funkciou prirodzený logaritmus a vnútornou funkciou je obsah vo vnútri logaritmu.

Pri rozlišovaní vonkajšej funkcie nezabudnite znova nechať vnútornú funkciu. Takže pri diferenciácii logaritmu neskončíme s 1 / (x ), ale s 1 / (vnútorná funkcia).

V tomto prípade je vonkajšia funkcia sekáncová a vnútorná strana (1 - 5x ).

V tomto prípade je derivácia vonkajšej funkcie ( sec left (x right) tan left (x right) ). Pretože však vnútornú funkciu necháme na pokoji, nedostaneme (x ) v oboch. Namiesto toho dostaneme (1 - 5x ) v oboch.

Tento problém má dva body. Najprv existujú dva pojmy a každý z nich bude vyžadovať odlišné použitie reťazového pravidla. Často to tak bude, takže pri riešení týchto problémov neočakávajte iba pravidlo jediného reťazca. Po druhé, musíme byť veľmi opatrní pri výbere vonkajšej a vnútornej funkcie pre každý termín.

Pripomeňme, že prvý termín možno v skutočnosti napísať ako,

Takže v prvom termíne je vonkajšia funkcia exponentom 4 a vnútorná funkcia je kosínus. V druhom volebnom období je to presne naopak. V druhom termíne je vonkajšou funkciou kosínus a vnútornou funkciou (). Tu je derivát pre túto funkciu.

Existuje niekoľko všeobecných vzorcov, ktoré môžeme získať pre niektoré špeciálne prípady reťazového pravidla. Poďme sa na ne rýchlo pozrieť.

a Vonkajšia funkcia je exponent a vnútorná strana je (g ľavý (x pravý) ).

b Vonkajšia funkcia je exponenciálna funkcia a vnútorná funkcia je (g ľavý (x pravý) ).

c Vonkajšia funkcia je logaritmus a vnútorná funkcia je (g ľavý (x pravý) ).

Vzorce v tomto príklade sú v skutočnosti iba špeciálnymi prípadmi reťazcového pravidla, ale je možné si ich zapamätať, aby ste rýchlo vytvorili niektoré z týchto derivátov.

Nezabúdajme teraz ani na ďalšie pravidlá, ktoré máme pre vykonávanie derivátov. Vo zvyšnej časti problémov v tejto časti nebudeme výslovne identifikovať vnútorné a vonkajšie funkcie. Budeme predpokladať, že vidíte naše možnosti založené na predchádzajúcich príkladoch a práci, ktorú sme si ukázali.

  1. (T doľava (x doprava) = < tan ^ <- 1 >> doľava (<2x> doprava) , , sqrt [3] << 1 - 3>>)
  2. (f doľava (z doprava) = sin doľava ( <>> ^ z >> vpravo) )
  3. ( Displaystyle y = frac <<<< doľava (<+ 4> vpravo)> ^ 5 >>> <<<< doľava (<1 - 2> vpravo)> ^ 3 >>> )
  4. ( Displaystyle h doľava (t doprava) = < doľava (< frac << 2t + 3 >> << 6 - >>> vpravo) ^ 3> )

Najprv si všimnime, že tento problém je v prvom rade problémom s pravidlom produktu. Toto je produkt dvoch funkcií, inverznej tangenty a koreňa, takže prvá vec, ktorú musíme urobiť pri derivovaní, je použitie pravidla produktu. Avšak pri používaní pravidla produktu a každej derivácie bude tiež potrebné použitie pravidla reťazca.

V tejto časti buďte opatrní pri inverznej dotyčnici. My to vieme,

Keď robíme toto pravidlo reťazca, pamätáme, že musíme nechať vnútornú funkciu na pokoji. To znamená, že kde máme () v derivácii (< tan ^ <- 1 >> x ) budeme musieť mať (< left (<< mbox>> vpravo) ^ 2> ).

Teraz to porovnajte s predchádzajúcim problémom. V predchádzajúcom probléme sme mali produkt, ktorý od nás vyžadoval, aby sme pri uplatňovaní pravidla produktu používali reťazové pravidlo.V tomto probléme budeme najskôr musieť použiť pravidlo reťaze a keď pôjdeme rozlišovať vnútornú funkciu, budeme musieť použiť pravidlo produktu.

Tu je časť problému s reťazovým pravidlom.

V tomto prípade sme vlastne ešte neurobili deriváciu vnútra. Iba sme to nechali v derivačnej notácii, aby bolo jasné, že na to, aby sme mohli robiť deriváciu vnútornej funkcie, máme teraz produktové pravidlo.

Tu je zvyšok práce týkajúcej sa tohto problému.

Pre tento problém máme jednoznačne racionálne vyjadrenie, takže prvá vec, ktorú musíme urobiť, je použiť pravidlo kvocientu. V procese používania pravidla kvocientu budeme musieť pri rozlišovaní čitateľa a menovateľa použiť pravidlo reťaze.

Tieto bývajú trochu strapaté. Všimnite si, že keď pôjdeme zjednodušiť, budeme schopní docieliť spravodlivé množstvo faktoringu v čitateľovi, čo často veľmi zjednoduší deriváciu.

Po faktoringu sme boli schopní zrušiť niektoré výrazy v čitateľovi proti menovateľovi. Takže aj keď bolo pôvodné pravidlo reťaze dosť chaotické, konečná odpoveď je vďaka faktoringu podstatne jednoduchšia.

Na rozdiel od predchádzajúceho problému je prvým krokom pre deriváciu použitie pravidla reťazca a potom, keď ideme rozlišovať vnútornú funkciu, budeme musieť urobiť pravidlo kvocientu.

Tu je práca pre tento problém.

Rovnako ako v druhej časti vyššie, ani v prvom kroku sme spočiatku nerozlišovali vnútornú funkciu, aby bolo jasné, že od tohto momentu bude kvocientom.

V poslednom príklade bolo niekoľko bodov. Najskôr nezabúdajme, že ešte stále máme ďalšie pravidlá týkajúce sa derivátov, ktoré sú občas potrebné. To, že teraz máme reťazové pravidlo, neznamená, že pravidlo produktu a kvocientu už nebude potrebné.

Ako je ilustrované v poslednom príklade, bude sa tiež líšiť poradie ich vykonania. Niektoré problémy budú problémy s pravidlami produktu alebo kvocientu, ktoré zahŕňajú reťazové pravidlo. Ďalšie problémy si však najskôr budú vyžadovať použitie pravidla reťaze a pri postupe pri tom budeme musieť použiť pravidlo produktu alebo kvocientu.

Väčšina príkladov v tejto časti nebude obsahovať pravidlo produktu alebo kvocientu, aby sa problémy trochu skrátili. V praxi však budú mať často rovnaký problém, takže na tieto druhy problémov musíte byť pripravení.

Poďme sa teraz pozrieť na zopár komplikovanejších príkladov.

  1. ( Displaystyle h doľava (z doprava) = frac <2> <<<< doľava (<4z + << bf> ^ <- 9z >>> vpravo)> ^ <10> >>> )
  2. (f doľava (y doprava) = sqrt <2r + << doľava (<3r + 4> vpravo)> ^ 3 >> )
  3. (y = tan doľava (< sqrt [3] << 3>> + ln doľava (<5> right)> right) )
  4. (g doľava (t doprava) = < sin ^ 3> doľava (<<< bf> ^ <1 - t >> + 3 sin vľavo (<6t> vpravo)> vpravo) )

V takom prípade najskôr prepíšeme funkciu do podoby, s ktorou sa bude pracovať o niečo ľahšie.

Teraz začnime deriváciu.

Všimnite si, že sme vlastne ešte neurobili deriváciu vnútornej funkcie. To nám umožňuje všimnúť si, že keď rozlišujeme druhé volebné obdobie, budeme znova potrebovať reťazové pravidlo. Všimnite si tiež, že reťazové pravidlo budeme potrebovať iba na exponenciálnom a nie na prvom člene. V mnohých funkciách budeme používať pravidlo reťaze viackrát, aby ste z toho neboli nadšení, keď sa to stane.

Poďme na to a dokončime tento príklad.

Pri druhej aplikácii reťazového pravidla buďte opatrní. Iba exponenciál sa vynásobí „-9“, pretože to je derivácia vnútornej funkcie iba pre tento výraz. Jednou z najbežnejších chýb v týchto problémoch je vynásobenie celej chyby znakom „-9“, nielen druhým.

V tomto príklade nebudeme uvádzať toľko slov, ale s týmto derivátom budeme stále opatrní, takže postupujte podľa týchto krokov.

Rovnako ako v prvom príklade, aj druhý člen vnútornej funkcie vyžadoval odlíšenie pomocou reťazcového pravidla. Upozorňujeme tiež, že pri vynásobení pravidla reťazca pre druhý člen musíme byť pri vynásobení deriváciou vnútornej funkcie opatrní.

Poďme priamo do tejto.

V tomto príklade oba pojmy vo vnútornej funkcii vyžadovali samostatné použitie reťazového pravidla.

S týmto budeme musieť byť trochu opatrní.

Tento problém si vyžadoval dokončenie celkom 4 reťazových pravidiel.

Niekedy to môže byť nepríjemné a vyžadovať veľa aplikácií reťazového pravidla. Spočiatku je v týchto prípadoch zvyčajne najlepšie byť opatrný, ako sme to urobili v tejto predchádzajúcej množine príkladov, a namiesto toho, aby ste sa snažili zvládnuť to všetko v jednom kroku, napísať radšej pár ďalších krokov. Len čo sa zorientujete v pravidle reťaze, zistíte, že to môžete urobiť pomerne rýchlo vo svojej hlave.

Nakoniec, predtým, ako prejdeme k ďalšej časti, je potrebné vyriešiť ešte jednu otázku. V časti Deriváty exponenciálnych a logaritmových funkcií sme tvrdili, že

[f doľava (x doprava) = hspace <0,25in> hspace <0,25in> Rightarrow hspace <0,25in> hspace <0,25in> f ' dolava (x sprava) = ln doľava (a doprava) ]

ale v tom čase sme na to nemali vedomosti. Teraz to robíme. Potrebovali sme reťazové pravidlo.

Najprv si všimnite, že pomocou vlastnosti logaritmov môžeme napísať (a ) ako,

Môže sa to zdať ako hlúposť, ale je potrebné vypočítať deriváciu. Teraz pomocou toho môžeme napísať funkciu ako,

Dobre, teraz, keď sme sa postarali o všetko, čo si musíme pamätať, je to, že (a ) je konštanta, a teda ( ln a ) je tiež konštanta. Teraz je odlíšenie finálnej verzie tejto funkcie (dúfajme) pomerne jednoduchý problém s reťazcovými pravidlami.

Všetko, čo musíme urobiť, je prepísať prvý výraz späť ako () získať,

[f ' doľava (x doprava) = ln doľava (a doprava) ]

Nie je to teda zlé, ak vidíte trik na prepisovanie znaku (a ) a pomocou reťazcového pravidla.


Calculus Early Transcendentals: Differential & amp Multi-Variable Calculus for Social Sciences

Nech (h (x) = sqrt <625-x ^ 2> text <.> ) Pravidlá uvedené vyššie nám neumožňujú nájsť (h '(x) text <.> ) Avšak (h (x) ) je zloženie dvoch funkcií. Nech (f (x) = sqrt x ) a (g (x) = 625-x ^ 2 text <.> ) Potom uvidíme, že

Z našich pravidiel vieme, že (f '(x) = frac <1> <2> x ^ <- 1/2> ) a (g' (x) = - 2x text <,> ) preto by bolo vhodné mať pravidlo, ktoré nám umožní rozlíšiť (f circ g ) z hľadiska (f ') a (g' text <.> ). Z toho vznikne.

Veta 4.42. Reťazové pravidlo.

Ak (g ) je diferencovateľné na (x ) a (f ) je diferencovateľné na (g (x) text <,> ), potom je zložená funkcia (h = f circ g ) [recall (f circ g ) je definovaný ako (f (g (x)) )] je diferencovateľné na (x ) a (h '(x) ) je dané:

Reťazové pravidlo má obzvlášť jednoduchý výraz, ak pre deriváciu použijeme Leibnizovu notáciu. Veličina (f '(g (x)) ) je derivácia (f ) s (x ) nahradeným (g text <> ) toto sa dá zapísať (df / dg text <.> ) Ako obvykle, (g '(x) = dg / dx text <.> ) Potom sa reťazcové pravidlo stane

Vyzerá to ako triviálna aritmetika, ale nie je to: (dg / dx ) nie je zlomok, to znamená nie doslovné delenie, ale jediný symbol, ktorý znamená (g '(x) text <.> ) Napriek tomu sa ukazuje, že to, čo vyzerá ako triviálna aritmetika, a preto je ľahké si ho zapamätať, je skutočne pravda.

Bude trvať trochu cviku, aby sa použitie pravidla reťazca stalo prirodzeným - je to komplikovanejšie ako predchádzajúce pravidlá diferenciácie, ktoré sme videli.

Príklad 4.43. Reťazové pravidlo.

Vypočítajte deriváciu ( ds sqrt <625-x ^ 2> text <.> )

Už vieme, že odpoveď je ( ds -x / sqrt <625-x ^ 2> text <,> ) vypočítaná priamo z limitu. V kontexte reťazcového pravidla máme ( ds f (x) = sqrt text <,> ) ( ds g (x) = 625-x ^ 2 text <.> ) Vieme, že ( ds f '(x) = (1/2) x ^ <- 1/2> text <,> ) tak ( ds f '(g (x)) = (1/2) (625-x ^ 2) ^ <- 1/2> text <.> ) Upozorňujeme, že ide o dvojstupňový výpočet: najskôr vypočítajte (f '(x) text <,> ), potom nahraďte (x ) za (g (x) text <.> ) Od ( g '(x) = - 2x ) máme

Príklad 4.44. Reťazové pravidlo.

Vypočítajte deriváciu ( ds 1 / sqrt <625-x ^ 2> text <.> )

Toto je kvocient s konštantným čitateľom, takže by sme mohli použiť pravidlo kvocientu, ale je jednoduchšie použiť reťazcové pravidlo. Funkciou je ( ds (625-x ^ 2) ^ <- 1/2> text <,> ) zloženie ( ds f (x) = x ^ <- 1/2> ) a ( ds g (x) = 625-x ^ 2 text <.> ) Vypočítame ( ds f '(x) = (- 1/2) x ^ <- 3/2> ) pomocou pravidla napájania a potom

Predpokladajme, že jedinými údajmi, ktoré máte k dispozícii, sú niektoré body v grafoch funkcie (y = f (x) ) a jej derivátu (f '(x) text <.> )

Príklad 4.45. Reťazové pravidlo a dátové body.

Ak je to možné, vyhľadajte nasledujúce deriváty:

( left (f circle g right) '(2) = f' left (g (2) right) cdot g '(2) = f' (2) cdot 7 = 4 cdot 7 = 28 )

( left (f circle f right) '(2) = f' left (f (2) right) cdot f '(2) = f' (- 1) cdot 4 = (-5 ) cdot 4 = -20 )

( left (g circ f right) '(- 1) = g' left (f (-1) right) cdot f '(- 1) = g' (3) cdot (-5 ) text <,> ), ktorý sa nedá nájsť, pretože nevieme, na čo sa hodnotí (g '(- 3) ).

Príklad 4.46. Vyšetrovanie (f (g (a)) ) a (g (f (a)) ).

Grafy funkcií (y = f (x) ) a (y = g (x) ) sú uvedené nižšie. Predpokladajme (h (x) = f (g (x)) ) a (k (x) = g (f (x)) text <.> )

Nájdite (h (4) ) a (k (4) text <.> ) Sú tieto hodnoty rovnaké?

Nájdite (h '(4) ) a (k' (4) text <.> ) Sú tieto hodnoty rovnaké?

Z grafu (g ) (červeným) odčítame, že (g (4) = 2 text <,> ) preto

Z grafu (f ) (modrou farbou) vyčítame, že (f (2) = 0 text <,> ) preto

Pretože (k (x) = g (f (x)) text <,> ) podobne odčítame z grafov (f ) a (g ), aby sme dostali

Pri porovnaní hodnôt vidíme, že (h (4) neq k (4) text <.> )

Podľa reťazového pravidla máme

Už z (1) vieme, že (g (4) = 2 text <,> ) a tak ďalej

Teraz sa sklon grafu (f ) v (x = 2 ) odčíta ako (- 2/1 = -2 text <,> ) a sklon grafu ( g ) o (x = 4 ) sa odčíta ako (- 1/1 = -1 text <.> ) počítame

Pri porovnaní hodnôt dospejeme k záveru, že (h '(4) neq k' (4) text <.> )

V praxi budete samozrejme musieť na výpočet derivácie komplikovanej funkcie použiť viac ako jedno z pravidiel, ktoré sme vyvinuli.

Príklad 4.47. Derivát kvocientu.

Vypočítajte deriváciu

„Poslednou“ operáciou je tu rozdelenie, takže aby sme mohli začať, musíme najskôr použiť pravidlo kvocientu. Toto dáva

Teraz musíme vypočítať deriváciu ( ds x sqrt text <.> ) Toto je produkt, takže používame pravidlo produktu:

Nakoniec použijeme pravidlo reťaze:

A dať to všetko dohromady:

To sa dá samozrejme zjednodušiť, ale urobili sme celý počet, takže zostala iba algebra.

Použitím reťazcového pravidla, pravidla napájania a pravidla produktu je možné vyhnúť sa použitiu pravidla kvocientu úplne.

Príklad 4.48. Derivát kvocientu bez pravidla kvocientu.

Vypočítajte deriváciu ( ds f (x) = text <.> )

Všimnite si, že deriváciu sme už mali na druhom riadku, všetko ostatné je zjednodušenie. Je jednoduchšie sa k tejto odpovedi dostať pomocou pravidla kvocientu, takže je tu kompromis: viac práce za menej zapamätaných vzorcov.

Príklad 4.49. Reťazové pravidlo a dotyčnica.

Nájdite sklon dotyčnice k grafu funkcie

v bode ( vľavo (0, frac <1> <8> vpravo) text <.> )

Sklon dotyčnej čiary ku grafu (f ) v ktoromkoľvek bode je daný (f '(x) text <.> ) Na výpočet (f' (x) text <,> ) používame všeobecné pravidlo moci, za ktorým nasleduje pravidlo kvocientu, získavanie,

Najmä sklon dotyčnice k grafu na ( vľavo (0, frac <1> <8> vpravo) ) je daný

Príklad 4.50. Reťazec zloženia.

Vypočítajte deriváciu ( ds sqrt <1+ sqrt <1+ sqrt>> text <.> )

Tu máme zložitejší reťazec skladieb, takže reťazové pravidlo použijeme trikrát. Na najvzdialenejšej „vrstve“ máme funkciu ( ds g (x) = 1 + sqrt <1+ sqrt> ) zapojené do ( ds f (x) = sqrt text <,> ), takže použitie reťazového pravidla raz dá

Teraz potrebujeme deriváciu ( ds sqrt <1+ sqrt> text <.> ) Opätovné použitie pravidla reťaze:

Takže pôvodný derivát je

Ak chcete vidieť celú moc reťazcového pravidla, zvážime zložitejšie zloženie funkcií.

Príklad 4.51. Komplexný reťazec zloženia.

Predpokladajme, že máme dané funkcie (f (x) = sqrt [5])), (g (x) = doľava (x ^ <2> + 3x doprava) ^ <24> text <,> ) a, (h (x) = frac <1> text <.> ) Nájdite prvý derivát nasledujúcich kompozícií:

( doľava (f cir. h cirkus g doprava) (x) )

( doľava (g cirkus f cirkus h doprava) (x) )

Najprv urobíme niekoľko všeobecných pozorovaní. Použitím reťazcového pravidla dvakrát zistíme, že derivácia ( left (f circ g circle h right) (x) ) je

Derivácia ((f circ h circ g) (x) ) je preto daná vzťahom

Teraz môžeme použiť derivácie (f text <,> ) (g ) a (h ), ktoré sme vypočítali vyššie, a vyhodnotiť ich pomocou vhodných vnútorných funkcií.

Konečne môžeme dať dohromady derivát, ktorý hľadáme,

Podobným spôsobom nájdeme prvú deriváciu ( left (g circ f circle h right) (x) ), ktorá má byť

Príklad 4.52. Žiadosť o zmenu.

Členstvo vo Fitness centre, ktoré bolo otvorené pred niekoľkými rokmi, je približne funkčné

kde (N (t) ) udáva počet členov na začiatku týždňa (t text <.> )

Ako rýchlo sa spočiatku zvyšovalo členstvo strediska ( (t = 0 ))?

Ako rýchlo sa zvyšovalo členstvo na začiatku (40 ) týždňa?

Aké bolo členstvo pri prvom otvorení centra? Na začiatku (40 ) týždňa?

Pomocou všeobecného pravidla napájania získame

Tempo, ktorým sa členstvo zvyšovalo pri prvom otvorení centra, je dané číslom

alebo približne (67 ) ľudí týždenne.

Miera zvyšovania počtu členov na začiatku (40 ) týždňa je daná

alebo približne (44 ) ľudí týždenne.

Členstvo pri prvom otvorení strediska dáva

alebo približne (1600 ) ľudí. Členstvo na začiatku (40 ) týždňa je dané

alebo približne (3688 ) ľudí.

Cvičenia k časti 4.4.
Cvičenie 4.4.1.

Nájdite deriváty funkcií. Precvičte si niektoré veci a skontrolujte svoje odpovede, ak je to možné, urobte niektoré z nich viac ako jedným spôsobom.


3.8: Reťazové pravidlo - matematika

Doteraz sme videli, ako vypočítať deriváciu funkcie zostavenej z iných funkcií sčítaním, odčítaním, násobením a delením. Existuje ešte jeden veľmi dôležitý spôsob kombinovania jednoduchých funkcií na vytvorenie komplikovanejších funkcií: zloženie funkcií, ako je popísané v časti 2.3. Zvážte napríklad $ ds sqrt <625-x ^ 2> $. Táto funkcia má mnoho jednoduchších komponentov, napríklad 625 a $ ds x ^ 2 $, a potom existuje symbol odmocniny, takže funkcia odmocniny $ ds sqrt= x ^ <1/2> $ je zapojených. Zjavná otázka znie: môžeme vypočítať deriváciu pomocou derivácií zložiek $ ds 625-x ^ 2 $ a $ ds sqrt$? Skutočne môžeme. Všeobecne platí, že ak $ f (x) $ a $ g (x) $ sú funkcie, môžeme vypočítať deriváty $ f (g (x)) $ a $ g (f (x)) $ z hľadiska $ f '(x) $ a $ g' (x) $.

Príklad 3.5.1 Vytvorte dve možné zloženia $ ds f (x) = sqrt$ a $ ds g (x) = 625-x ^ 2 $ a vypočítať deriváty. Najskôr $ ds f (g (x)) = sqrt <625-x ^ 2> $ a derivát je $ ds -x / sqrt <625-x ^ 2> $, ako sme videli. Po druhé, $ ds g (f (x)) = 625 - ( sqrt) ^ 2 = 625-x $ s derivátom $ -1 $. Tieto výpočty samozrejme nepoužívajú nič nové a najmä odvodenie funkcie $ f (g (x)) $ bolo z definície trochu zdĺhavé.

Reťazové pravidlo má obzvlášť jednoduchý výraz, ak pre deriváciu použijeme Leibnizovu notáciu. Množstvo $ f '(g (x)) $ je derivátom $ f $, pričom $ x $ je nahradené $ g $, dá sa to zapísať $ df / dg $. Ako obvykle, $ g '(x) = dg / dx $. Potom sa reťazové pravidlo zmení na $ = . $ Vyzerá to ako triviálna aritmetika, ale nie je to: $ dg / dx $ nie je zlomok, to znamená nie doslovné delenie, ale jediný symbol, ktorý znamená $ g '(x) $. Napriek tomu sa ukazuje, že to, čo vyzerá ako triviálna aritmetika, a preto je ľahké si ho zapamätať, je skutočne pravda.

Bude trvať trochu cviku, aby sa použitie pravidla reťazca stalo prirodzeným & mdashit je komplikovanejší ako predchádzajúce pravidlá diferenciácie, ktoré sme videli.

Príklad 3.5.2 Vypočítajte deriváciu $ ds sqrt <625-x ^ 2> $. Už vieme, že odpoveď je $ ds -x / sqrt <625-x ^ 2> $ vypočítaná priamo z limitu. V kontexte reťazcového pravidla máme $ ds f (x) = sqrt$, $ ds g (x) = 625-x ^ 2 $. Vieme, že $ ds f '(x) = (1/2) x ^ <- 1/2> $, takže $ ds f' (g (x)) = (1/2) (625-x ^ 2) ^ <- 1/2> $. Toto je výpočet pozostávajúci z dvoch krokov: najskôr vypočítajte $ f '(x) $, potom nahraďte $ x $ za $ g (x) $. Pretože $ g '(x) = - 2x $ máme $ f' (g (x)) g '(x) = <1 nad 2 sqrt <625-x ^ 2 >> (- 2x) = <- x over sqrt <625-x ^ 2 >>. $

Príklad 3.5.3 Vypočítajte deriváciu $ ds 1 / sqrt <625-x ^ 2> $. Toto je kvocient s konštantným čitateľom, takže by sme mohli použiť pravidlo kvocientu, ale je jednoduchšie použiť reťazcové pravidlo. Funkciou je $ ds (625-x ^ 2) ^ <- 1/2> $, zloženie $ ds f (x) = x ^ <- 1/2> $ a $ ds g (x) = 625-x ^ 2 $.Pomocou pravidla napájania vypočítame $ ds f '(x) = (- 1/2) x ^ <- 3/2> $ a potom $ f' (g (x)) g '(x) = <- 1 nad 2 (625-x ^ 2) ^ <3/2 >> (- 2x) =>. $

V praxi budete samozrejme musieť na výpočet derivácie komplikovanej funkcie použiť viac ako jedno z pravidiel, ktoré sme vyvinuli.

Príklad 3.5.4 Vypočítajte deriváciu $ f (x) =>. $ „Poslednou“ operáciou je rozdelenie, takže na začiatok musíme najskôr použiť pravidlo kvocientu. Toto dáva $ eqalign - (x ^ 2-1) (x sqrt) ' nad x ^ 2 (x ^ 2 + 1)> cr & = <2x ^ 2 sqrt- (x ^ 2-1) (x sqrt) ' nad x ^ 2 (x ^ 2 + 1)>. cr> $ Teraz musíme vypočítať deriváciu $ ds x sqrt$. Toto je produkt, takže používame pravidlo produktu: $x sqrt= x sqrt+ sqrt$ Nakoniec použijeme reťazové pravidlo: $ sqrt=(x ^ 2 + 1) ^ <1/2> = <1 nad 2> (x ^ 2 + 1) ^ <- 1/2> (2x) =>. $ A dať to dohromady: $ eqalign - (x ^ 2-1) (x sqrt) ' nad x ^ 2 (x ^ 2 + 1)>. cr & = <2x ^ 2 sqrt- (x ^ 2-1) doľava (x < ds>> + sqrt right) over x ^ 2 (x ^ 2 + 1)>. cr> $ To sa samozrejme dá zjednodušiť, ale urobili sme celý počet, takže zostala iba algebra.

Príklad 3.5.5 Vypočítajte deriváciu $ ds sqrt <1+ sqrt <1+ sqrt>> $. Tu máme zložitejší reťazec skladieb, takže pravidlo reťaze použijeme dvakrát. Na najvzdialenejšej „vrstve“ máme funkciu $ ds g (x) = 1 + sqrt <1+ sqrt> $ zapojené do $ ds f (x) = sqrt$, takže uplatnenie reťazového pravidla raz dá $ sqrt <1+ sqrt <1+ sqrt>> = <1 nad 2> vľavo (1+ sqrt <1+ sqrt> vpravo) ^ <- 1/2> doľava (1+ sqrt <1+ sqrt> right). $ Teraz potrebujeme deriváciu $ ds sqrt <1+ sqrt> $. Opätovné použitie reťazového pravidla: $ sqrt <1+ sqrt> = <1 nad 2> vľavo (1+ sqrt right) ^ <- 1/2> <1 over 2> x ^ <- 1/2>. $ Takže pôvodná derivácia je $ eqalign < sqrt <1+ sqrt <1+ sqrt>> & = <1 nad 2> vľavo (1+ sqrt <1+ sqrt> vpravo) ^ <-1/2> <1 nad 2> doľava (1+ sqrt right) ^ <- 1/2> <1 nad 2> x ^ <- 1/2>. cr & = <1 nad 8 sqrt sqrt <1+ sqrt> sqrt <1+ sqrt <1+ sqrt>>> >$

Pomocou pravidla reťaze, pravidla napájania a pravidla produktu je možné vyhnúť sa použitiu pravidla kvocientu úplne.


Vyššie matematické zdroje

.

1. Informácie o reťazovom pravidle

Ak sa chcete dozvedieť viac o Pravidle reťazca, kliknite na odkaz Ďalšia teória kalkulu (HSN) a prečítajte si ho na strane 151. Ďalej v sekciách 2 a 3 nižšie nájdete videá, myšlienkové mapy (pozri časť Ďalší počet) a pracovné listy na túto tému, ktoré vám porozumenie. Pracovný list Essential Skills 22 spolu s pracovnými listami vrátane aktuálnych otázok na skúšku SQA sa veľmi odporúčajú.

Ak by ste chceli viac pomôcť porozumieť Reťazové pravidlo k dispozícii sú úplné a ľahko sledovateľné podrobné riešenia desiatok otázok zo skúšky Higher Maths Past & amp Practice týkajúcich sa všetkých tém v online študijnom balíku. Dajte prosím každú príležitosť na úspech, hovorte so svojimi rodičmi a prihláste sa na odber skúška zameraná Online študijný balíček dnes.

Reťazové pravidlo

Reťazové pravidlo sa používa v ďalšom kalkulu.

  • N smeruje do prednej časti zátvorky
  • Vo vnútri konzoly zostáva rovnaká ⇒ (sekera + b)
  • Vynásobte diferencovanou prvou zátvorkou ⇒ a
  • Zjednodušte to tak, že & # 8216a & # 8217 umiestnite na prednú časť konzoly
  • Napájanie smeruje do prednej časti
  • Výkon sa potom odpočíta o 1
  • Prvá zátvorka zostáva rovnaká
  • Druhá zátvorka je prvá diferencovaná zátvorka

2. Diferenciácia a pracovné listy # 8211

Ďakujeme organizácii SQA a autorom za to, že nižšie uvedené vynikajúce zdroje sú voľne dostupné. Pred hodnotením, testami a záverečnou skúškou ich používajte pravidelne. Jasné a ľahko sledovateľné podrobné riešenia všetkých pracovných listov uvedené nižšie sú k dispozícii v online študijnom balíku.

Listy
___________________________
Téma
_____________________________
Odpovede
________
Cvičenie so základnými zručnosťami 3DiferenciáciaOdpovede
Cvičenie so základnými zručnosťami 9Ďalej kalkulOdpovede
Základné zručnosti 4Rovnica dotyčnice a krivkyOdpovede
Základné zručnosti 5Stacionárne bodyOdpovede
Základné zručnosti 17Grafy odvodených funkciíOdpovede
Základné zručnosti 22Ďalšia diferenciáciaOdpovede
Základné zručnosti 23Ďalšia integráciaOdpovede
Otázky týkajúce sa vyšších skúšokOdvodené grafyOdpovede
Otázky týkajúce sa vyšších skúšokDiferenciácia - 1Odpovede
Otázky týkajúce sa vyšších skúšokDiferenciácia - 2Odpovede
Otázky týkajúce sa vyšších skúšokDiferenciácia (optimalizácia)Odpovede
Otázky týkajúce sa vyšších skúšokĎalej kalkulOdpovede

3. Diferenciácia a # 8211 videí, teoriálni sprievodcovia a myšlienkové mapy zosilňovača

Ďakujeme autorom za to, že nižšie uvedené vynikajúce zdroje sú voľne dostupné. Pred hodnotením, testami a záverečnou skúškou ich používajte pravidelne.

Larbert Maths Videá
__________________________________
maths180.com Videá
______________________________________
Sprievodcovia teóriou HSN
____________________________
Myšlienkové mapy
____________________________
Aplikácie derivátovReťazové pravidlo - zväčšovanie / zmenšovanieTeória diferenciácie (HSN)Diferenciácia (HSN)
Reťazové pravidloOptimalizácia - náročnejšie príkladyĎalšia teória počtu (HSN)Diferenciácia (príprava na)
Uzavreté intervalyRýchlosť zmeny a zosilnenie dotyčnice k krivke Diferenciácia 1
Komplexná diferenciáciaSpúšťacie funkcie a pravidlo reťazca zosilňovača Diferenciácia 2
Kreslenie kriviek Diferenciácia (ďalšie)
Odvodené grafy
Rovnice dotyčníc
Zlomky a korene zosilňovača
Zvyšovanie a znižovanie funkcií
Úvod do diferenciácie
Leibnizova notácia
Optimalizácia
Stacionárne body
Sin x & amp Cos x

4. Základné matematické znalosti vyššej matematiky

Ďakujeme pánovi G Renniemu za bezplatné sprístupnenie vynikajúcich zdrojov uvedených nižšie. Pracovné listy so základnými zručnosťami sa dajú použiť na všeobecné revízie, domáce úlohy, konsolidáciu témy alebo na prípravu na hodnotenie, testy a skúšky. Jasné a ľahko sledovateľné podrobné riešenie všetkých 33 pracovných listov základných zručností uvedených nižšie je k dispozícii v online študijnom balíku.

Základné zručnosti
__________________
Téma
________________________________
Odpovede
________
Základné zručnosti
_______________
Téma
_________________________
Odpovede
___________
Praktická príručka pre skúškyPríručka o skúške s odpoveďamiOdpovedeZákladné zručnosti 17Grafy odvodených funkciíOdpovede
Základné zručnosti 1Medián trojuholníkaOdpovedeZákladné zručnosti 18Logaritmické rovniceOdpovede
Základné zručnosti 2Kolmé úsečkyOdpovedeZákladné zručnosti 19Preukázanie totožnosti spúšťačaOdpovede
Základné zručnosti 3Nadmorská výška trojuholníkaOdpovedeZákladné zručnosti 20Súvisiace grafyOdpovede
Základné zručnosti 4Rovnica dotyčnice a krivkyOdpovedeZákladné zručnosti 21Skalárny produktOdpovede
Základné zručnosti 5Stacionárne bodyOdpovedeZákladné zručnosti 22Ďalšia diferenciáciaOdpovede
Základné zručnosti 6Kvadratické nerovnostiOdpovedeZákladné zručnosti 23Ďalšia integráciaOdpovede
Základné zručnosti 7Dokončenie námestiaOdpovedeZákladné zručnosti 24Opakovanie: Postupné podmienkyOdpovede
Základné zručnosti 8Tangens to a CircleOdpovedeZákladné zručnosti 25Diferenciálne rovniceOdpovede
Základné zručnosti 9Priesečník čiar a kruhov zosilňovačaOdpovedeZákladné zručnosti 26Jednoznačné integrályOdpovede
Základné zručnosti 10Vzorec oddieluOdpovedeZákladné zručnosti 27Zložené funkcieOdpovede
Základné zručnosti 11Trig FormulaOdpovedeZákladné zručnosti 28Inverzné funkcieOdpovede
Základné zručnosti 12Súvisiace uhlyOdpovedeZákladné zručnosti 29Uhol medzi osou priamky a zosilňovačaOdpovede
Základné zručnosti 13Trigové rovnice (vzorec dvojitého uhla)OdpovedeZákladné zručnosti 30Uhol medzi vektormiOdpovede
Základné zručnosti 14Syntetické delenieOdpovedeZákladné zručnosti 31Prirodzené logaritmyOdpovede
Základné zručnosti 15Limit vzťahu opakovaniaOdpovedeZákladné zručnosti 32Denníky: Pripojenie 2 premennýchOdpovede
Základné zručnosti 16Funkcia WaveOdpovedeZákladné zručnosti 33Používanie diskriminujúcehoOdpovede

.

5. Pracovné listy pre matematické skúšky podľa témy

Ďakujeme organizácii SQA a autorom za to, že nižšie uvedené vynikajúce zdroje sú voľne dostupné. Pracovné listy podľa tém sú skvelým študijným zdrojom, pretože sú skutočnými otázkami z minulých písomných skúšok. Jasné, ľahko sledovateľné a krok za krokom vypracované riešenia všetkých nových CfE Higher Maths Questions nižšie sú k dispozícii v online študijnom balíku.

Číslo
______
Téma
___________________________
Odpovede
____________
Číslo
______
Téma
___________________________
Odpovede
_____________
1Kruhy Odpovede21PolynómyOdpovede
2Kruhy (staršie vyššie)Ans v cene22Polynomy (staršie vyššie)Ans v cene
3Diferenciácia - 1Odpovede23KvadratikaOdpovede
4Diferenciácia - 2Odpovede24Kvadratika (staršia vyššia)Ans v cene
5Diferenciácia (optimalizácia)Odpovede25Vzťahy opakovania - 1Odpovede
6Diferenciácia (staršia vyššia)Ans v cene26Vzťahy opakovania - 2Odpovede
7Exponenciály a protokoly zosilňovačaOdpovede27Vzťahy opakovania (staršie vyššie)Ans v cene
8Exponenciály a protokoly zosilňovača (staré vyššie)Ans v cene28Rovné čiary - 1Odpovede
9FunkcieOdpovede29Rovné čiary - 2Odpovede
10Funkcie a grafy zosilňovačaOdpovede30Rovné čiary (staršie vyššie)Ans v cene
11Funkcie (staršie vyššie)Ans v cene31Trigové vzorce a rovnice zosilňovača - 1Odpovede
12Ďalej kalkulOdpovede32Trigové vzorce a rovnice zosilňovača - 2Odpovede
13Ďalší kalkul (starší vyšší)Ans v cene33Formula pridania spúšťača (staršia vyššia)Ans v cene
14Grafy funkciíOdpovede34Trigové grafy a ekvalizéry zosilňovača (staršie vyššie)Ans v cene
15Grafy funkcií (staršie vyššie)Ans v cene35VektoryOdpovede
16Integrácia - 1Odpovede36Vektory (staršie vyššie)Ans v cene
17Integrácia - 2Odpovede37Vlnová funkciaOdpovede
18Integrácia - oblasť pod krivkouOdpovede38Vlnová funkcia (stará vyššia)Ans v cene
19Integrácia (staršia vyššia)Ans v cene39Špeciálna predlimitná revíziaOdpovede
20Polynomy a kvadratické zosilňovačeOdpovede

6. Príspevky k vyššej matematike z minulosti a cvičné príspevky podľa témy

Ďakujeme agentúre SQA za bezplatné sprístupnenie vynikajúcich zdrojov uvedených nižšie. Pre ľahšiu orientáciu sú otázky a odpovede rozdelené podľa tém. V online študijnom balíku sú k dispozícii jasné, ľahko sledovateľné podrobné riešenia všetkých otázok uvedených nižšie.

.

7. Videá s vyššou matematikou, sprievodcovia teóriou, myšlienkové mapy a pracovné listy

Desiatky videí z vyššej matematiky poskytujú kvalitné lekcie podľa tém. Zahrnutí sú aj vynikajúci Sprievodcovia teóriou, Myšlienkové mapy a Revízne listy s aktuálnymi otázkami na skúšky z Vyššej matematiky. Kliknite na našu novú stránku Vyššie matematické videá a pracovné hárky podľa tém.

8. Príspevky k vyššej matematike z minulosti a praxe

Ďakujeme agentúre SQA za bezplatné sprístupnenie vynikajúcich zdrojov uvedených nižšie. Jasné, ľahko sledovateľné a krok za krokom prepracované riešenia všetkých vyššie uvedených dokumentov CfE sú k dispozícii v online študijnom balíku.

.

9. 40 Nekalkulátor Vyššie matematické otázky a odpovede na zosilňovače

Ďakujeme organizácii SQA a autorom za to, že nižšie uvedené vynikajúce zdroje sú voľne dostupné. Začnite týmito otázkami, aby ste si zvýšili svoju dôveru. Po dokončení by ste sa chceli presunúť na 200 otázok z maturitnej skúšky v nasledujúcej časti priebežne kontrolujte svoje odpovede. Ak uviaznu, vždy čo najskôr požiadaj svojho učiteľa o pomoc. Jasné, ľahko sledovateľné a podrobné riešenie všetkých 40 otázok uvedených nižšie je k dispozícii v online študijnom balíku.

Otázky ku skúške
_______________________
Odpovede
__________
List A - 10 otázokOdpovede
List B - 10 otázokOdpovede
List C - 10 otázokOdpovede
List D - 10 otázokOdpovede
Celá brožúra na tlačOdpovede

10. 200 vyšších matematických otázok a odpovedí na zosilňovače

Ďakujeme organizácii SQA a autorom za to, že nižšie uvedené vynikajúce zdroje sú voľne dostupné. Snažte sa urobiť čo najviac otázok a priebežne si kontrolujte svoje odpovede. Ak uviaznu, vždy čo najskôr požiadaj svojho učiteľa o pomoc. Jasné, ľahko sledovateľné a podrobné riešenie všetkých 200 otázok uvedených nižšie je k dispozícii v online študijnom balíku.

Otázky ku skúške
_____________________
Odpovede
___________
Otázky ku skúške 1 - 20Odpovede
Otázky ku skúške 21 - 40Odpovede
Otázky ku skúške 41 - 60Odpovede
Otázky ku skúške 61 - 80Odpovede
Otázky ku skúške 81 - 100Odpovede
Otázky ku skúške 101 - 120Odpovede
Otázky ku skúške 121 - 140Odpovede
Otázky ku skúškam 141 - 160Odpovede
Otázky ku skúškam 161 - 180Odpovede
Otázky ku skúškam 181 - 200Odpovede
Celá brožúra na tlačOdpovede

.

11. Precvičte si príspevky z testov A až H & # 8211 Zahrnuté odpovede

Ďakujeme organizáciám SQA a Larkhall Academy za bezplatné sprístupnenie vynikajúcich zdrojov uvedených nižšie. Pred hodnotením, testami a záverečnou skúškou ich používajte pravidelne. Jasné, ľahko sledovateľné a krok za krokom vypracované riešenia cvičných prác A až E sú k dispozícii v online študijnom balíku.

Cvičný papier
_____________
Papier 1
_____________
Papier 2
_____________
Príspevky 1 a 2
_____________________
Odpovede
_____________
Papier APapier 1Papier 2Príspevky 1 a 2Odpovede
Papier BPapier 1Papier 2Príspevky 1 a 2Odpovede
Papier C.Papier 1Papier 2Príspevky 1 a 2Odpovede
Papier DPapier 1Papier 2Príspevky 1 a 2Odpovede
Papier EPapier 1Papier 2Príspevky 1 a 2Odpovede
Papier FPapier 1Papier 2Príspevky 1 a 2Odpovede
Papier GPapier 1Papier 2Príspevky 1 a 2Odpovede
Papier HPapier 1Papier 2Príspevky 1 a 2Odpovede
Prelim SpecialOtázky Otázky a odpovedeOdpovede
Prelim SpecialVianočná téma Otázky a odpovedeOdpovede

.

12. 264 Skúška SQA Otázky a odpovede na rôzne otázky

Ďakujeme organizácii SQA a autorom za to, že nižšie uvedené vynikajúce zdroje sú voľne dostupné. Viaceré možnosti sú predovšetkým otázky na úrovni C a skvelé miesto na začatie revízie. Ak uviaznu, vždy čo najskôr požiadaj svojho učiteľa o pomoc.

Otázky
__________
Rok
______
Preskúmajte viac možností
__________________
Preskúmajte viac možností
__________________
Preskúmajte viac možností
__________________
1 - 202015Iba otázkyOtázky a odpovedeIba odpovede
21 - 402014Iba otázkyOtázky a odpovedeIba odpovede
41 - 602013Iba otázkyOtázky a odpovedeIba odpovede
61 - 802012Iba otázkyOtázky a odpovedeIba odpovede
81 - 1002011Iba otázkyOtázky a odpovedeIba odpovede
101 - 1202010Iba otázkyOtázky a odpovedeIba odpovede
121 - 264ZmiešanéIba otázkyOtázky a odpovedeIba odpovede


13. Kontrolné zoznamy skúšky z vyššej matematiky

Ďakujeme organizácii SQA a autorom za to, že nižšie uvedené vynikajúce zdroje sú voľne dostupné. Sú to fantastické kontrolné zoznamy, pomocou ktorých môžete zhodnotiť svoje vedomosti z matematiky. Snažte sa ich pravidelne používať na revízie pred testami, prípravnými skúškami a záverečnou skúškou.

Popis
___________________________________________________
Odkaz
________
Poďakovanie
_________________________
Opis kurzu pre vyššiu matikuTU
Zoznam vyšších vzorcov matematickej skúšky SQATUS láskavým dovolením SQA
Kontrolný zoznam 1 - Skúška z vyššej matematiky v celom kurze
TUS láskavým dovolením Zeta Maths
Kontrolný zoznam 2 - Zoznam vyšších matematických vzorcov, ktorý nie je uvedený v skúškeTU
Kontrolný zoznam 3 - Skúška z vyššej matematiky v celom kurzeTU
Kontrolný zoznam 4 - hárok revízie spúšťajúcej vyššiu matematikuTU
Kontrolný zoznam 5 - Súhrnná príručka pre jednu stránku, jednotka 1 (HSN)TUS láskavým dovolením HSN
Kontrolný zoznam 6 - Súhrnná príručka pre jednu stránku Jednotka 2 (HSN)TUS láskavým dovolením HSN
Kontrolný zoznam 7 - Súhrnná príručka pre jednu stránku, jednotka 3 (HSN)TUS láskavým dovolením HSN

14. Otázky ku skúške zo staršej vyššej matematiky podľa témy

Ďakujeme agentúre SQA za bezplatné sprístupnenie vynikajúcich zdrojov uvedených nižšie. Pracovné listy podľa tém sú skvelým doplňujúcim študijným zdrojom.

Téma
________
Názov témy
___________________________
Odkaz
________
Poznámky
___________________
Téma 1KruhyTUZahrnuté odpovede
Téma 2DiferenciáciaTUZahrnuté odpovede
Téma 3Exponenciály a logaritmy zosilňovačaTUZahrnuté odpovede
Téma 4FunkcieTUZahrnuté odpovede
Téma 5Ďalej kalkulTUZahrnuté odpovede
Téma 6Grafy funkciíTUZahrnuté odpovede
Téma 7IntegráciaTUZahrnuté odpovede
Téma 8PolynómyTUZahrnuté odpovede
Téma 9KvadratikaTUZahrnuté odpovede
Téma 10Vzťahy opakovaniaTUZahrnuté odpovede
Téma 11PriamkaTUZahrnuté odpovede
Téma 12Spustiť vzorce pridaniaTUZahrnuté odpovede
Téma 13Spúšťacie grafy a rovnice zosilňovačaTUZahrnuté odpovede
Téma 14VektoryTUZahrnuté odpovede
Téma 15Vlnová funkciaTUZahrnuté odpovede

15. Vyššie matematické učebnicové riešenia

Ďakujeme AHS za poskytnutie nižšie uvedených učebných riešení pre učebnice Heinemann Higher Maths. Tieto sa ukážu ako veľmi užitočné pri napomáhaní k rozšíreniu vašich vedomostí z Vyššej matematiky. Upozorňujeme, že môže dôjsť k nepárnej aritmetickej chybe.

Téma
______________
Názov témy
____________________
Téma 1Priamka1A1B1D1E1F1G1I1 tis1 mil1N1O1O
Téma 2Funkcie a grafy zosilňovača 12A2B2C2D2F2G2I
Téma 3Funkcie a grafy zosilňovača 2 3A3C3K3N3O3P
Téma 4Opakovanie5A5B5B5C5D5F5H5I
Téma 5Diferenciácia6A6C6D6E6F6G6H6I6J6L6 mil6N6O6P6Q6R6S
Téma 6Polynómy7B7C7D7E7F7G7H7I7J
Téma 7Kvadratika8C8D8E8F8H8I8J8K
Téma 8Integrácia9G9H9I9L9N9P9Q
Téma 9Trigonometria11B11C11D11E11F11G11H
Téma 10Kruhy12B12D12F12H12J12 tis12L
Téma 11Vektory13A13C13D13E13F13G13I13 tis13L13 mil13N13O13P13Q13R13S13U
Téma 12Ďalej kalkul14B14C14C14E14G14H14I14J14 tis
Téma 13Exp's & amp logs15C15D15E15F15G15H15I15I15J15 tis15L
Téma 14Vlnová funkcia16A16C16D16E16F16G16H

16. Sprievodcovia teóriou vyššej matematiky

Ďakujeme spoločnosti HSN za sprístupnenie vynikajúcich Sprievodcov teóriou matematiky zadarmo pre všetkých. Ukážu sa ako fantastický zdroj, ktorý vám pomôže upevniť si porozumenie vysokej matematiky.

Sprievodcovia teóriou
_________________
Téma
____________________________________________
Odkaz
_______
Sprievodca teóriou 1Všetky témy Teória jednotky 1 (HSN)TU
Sprievodca teóriou 2All Témics Unit 1 - One Page Summary Guide (HSN)TU
Sprievodca teóriou 3Všetky témy Teória jednotky 2 (HSN)TU
Sprievodca teóriou 4All Témics Unit 2 - One Page Summary Guide (HSN)TU
Sprievodca teóriou 5Všetky témy Teória jednotky 3 (HSN)TU
Sprievodca teóriou 6Jednotka 3 s témami - Sprievodca súhrnom jednej stránky (HSN)TU
Sprievodca teóriou 7Všetky témy Jednotky 1,2 a zosilňovač 3 Teória (HSN)TU
Sprievodca teóriou 8Teória kruhov (HSN)TU
Sprievodca teóriou 9Teória diferenciácie (HSN)TU
Sprievodca teóriou 10Teória logaritmov exponenciálov a zosilňovačov (HSN)TU
Sprievodca teóriou 11Funkcie a teória grafov zosilňovača (HSN)TU
Sprievodca teóriou 12Ďalšia teória počtu (HSN)TU
Sprievodca teóriou 13Teória transformácií grafov (pohyb a reflexia zosilňovača)TU
Sprievodca teóriou 14Súhrnný list transformácií grafovTU
Sprievodca teóriou 15Teória integrácie (HSN)TU
Sprievodca teóriou 16Teória polynómov a kvadratických zosilňovačov (HSN)TU
Sprievodca teóriou 17Teória sekvencií (HSN)TU
Sprievodca teóriou 18Teória priamky (HSN)TU
Sprievodca teóriou 19Teória trigonometrie (HSN)TU
Sprievodca teóriou 19Teória vektorov (HSN)TU
Sprievodca teóriou 20Teória vlnových funkcií (HSN)TU

17. Myšlienkové mapy pre vyššiu matematiku

Ďakujeme autorom za poskytnutie vynikajúcich zdrojov uvedených nižšie. Ukážu sa ako vynikajúci zdroj, ktorý vám pomôže pripraviť sa na hodnotenie, testy a záverečnú skúšku.

Myšlienkové mapy
____________
Téma
____________________________
Myšlienkové mapy
___________
Téma
____________________________
Myšlienková mapa 1Kruh 1 Myšlienková mapa 16Polynomy a kvadratické zosilňovače
Myšlienková mapa 2Kruh 2Myšlienková mapa 17Polynómy
Myšlienková mapa 3Zložené funkcieMyšlienková mapa 18Kvadratika
Myšlienková mapa 4Vzorec zloženého uhlaMyšlienková mapa 19Vzťahy opakovania 1
Myšlienková mapa 5Diferenciácia (príprava na)Myšlienková mapa 20Vzťahy opakovania 2
Myšlienková mapa 6Diferenciácia 1Myšlienková mapa 21Rovné čiary 1
Myšlienková mapa 7Diferenciácia 2Myšlienková mapa 22Rovné čiary 2
Myšlienková mapa 8Diferenciácia (ďalšie)Myšlienková mapa 23Trigonometria 1
Myšlienková mapa 9Funkcie a grafy zosilňovačaMyšlienková mapa 24Trigonometria 2
Myšlienková mapa 10Transformácie grafovMyšlienková mapa 25Vektory 1
Myšlienková mapa 11Integrácia (príprava na)Myšlienková mapa 26Vektory 2
Myšlienková mapa 12Integrácia 1Myšlienková mapa 27Vektory 3
Myšlienková mapa 13Integrácia 2Myšlienková mapa 28Vlnová funkcia 1
Myšlienková mapa 14Denníky a exponenciály zosilňovača 1Myšlienková mapa 29Vlnová funkcia 2
Myšlienková mapa 15Denníky a exponenciály zosilňovača 2

18. Posúdenie jednotky pre vyššiu matematickú prax a zahrnuté riešenia # 8211

Ďakujeme autorom za to, že nižšie uvedené vynikajúce zdroje sú voľne dostupné pre všetkých. Pred hodnotením, testami a záverečnou skúškou ich používajte pravidelne.

Jednotka
_________
Papier
____________
Riešenia
___________
Jednotka jednaPrax ARiešenia
Jednotka jednaCvičenie BRiešenia
Jednotka dvaPrax ARiešenia
Jednotka dvaCvičenie BRiešenia
Jednotka triPrax ARiešenia
Jednotka triCvičenie BRiešenia
Jednotka štvrtáPrax ARiešenia

19. Vyššia matematika z minulých riešení pre papierové video

Kliknutím na DLB Maths zobrazíte video riešenia Higher Maths Past Paper. To sa ukáže ako vynikajúci zdroj, ktorý vám pomôže pripraviť sa na hodnotenie, testy a záverečnú skúšku.

20. Vyššia matematika odporúčaná učebnica

Nižšie nájdete našu vysoko odporúčanú učebnicu, ktorú si môžete objednať kliknutím na knihu / odkaz.

21. Vyššia matematika online študijný balíček

Prostredníctvom podrobných riešení testovacích otázok, ktoré sú k dispozícii v balíku Online Study Pack, pokrývame všetko, čo potrebujete vedieť o reťazovom pravidle, aby ste mohli úspešne absolvovať záverečnú skúšku.

Pre študentov, ktorí hľadajú „dobrú“ skúšku na maturite, možno budete chcieť zvážiť predplatné ďalších fantastických zdrojov zameraných na skúšky, ktoré sú k dispozícii v online študijnom balíku. Predplatné by sa mohlo nakoniec stať jednou z vašich najlepších investícií vôbec.

Dajte prosím každú príležitosť na úspech, hovorte so svojimi rodičmi a prihláste sa na odber skúška zameraná Online študijný balíček dnes.

Dúfame, že sa zdroje na tomto webe ukážu ako užitočné a prajeme vám veľa úspechov v kurze Vyššia matematika v roku 2022.

Moja dcéra hovorí, že webová stránka Vyššia bola skutočne užitočná. Tento rok dosiahla & # 8216A & # 8217 za hru Higher Maths a teraz sa venuje hre Advanced Higher Maths, pre ktorú by chcela, aby som sa prihlásil na váš web AH. Pôjdem to urobiť teraz a ešte raz ďakujem.


Blog Symbolab

V našom predchádzajúcom príspevku sme hovorili o tom, ako nájsť limit funkcie pomocou pravidla L'Hopital. Ďalším užitočným spôsobom, ako nájsť limit, je reťazové pravidlo. Keď nám napadne reťazové pravidlo, často myslíme na reťazové pravidlo, ktoré používame pri odvodení funkcie. Reťazové pravidlo použité na nájdenie limitu je však odlišné od reťazcového pravidla, ktoré používame pri odvodzovaní.

Reťazové pravidlo:


Čo znamená reťazové pravidlo?

Keď dáme funkciu f (g (x)), nastavíme vnútornú funkciu na rovnú g (x) a nájdime hranicu b, keď sa x blíži k a. Potom nahradíme g (x) v f (g (x)) za u, aby sme dostali f (u). Pomocou b nájdeme hranicu L f (u), keď sa u blíži k b. Limita f (g (x)), keď sa x blíži k a, sa rovná L.

To znie ako sústo. Tu prejdeme krok za krokom pri prvom probléme, aby sme lepšie pochopili reťazové pravidlo (kliknite sem):

Pretože g (x) je vnútorná funkcia, nastavíme g (x) = sin (x ^ 2). Potom nahradíme g (x) v f (g (x)) za u. Teda f (u) = e ^ u.

2. Nájdite limit, b, g (x)

3. Nájdite limit, L, f (u)

Pochopenie reťazového pravidla môže byť trochu ťažké, ale akonáhle si nacvičíte nejaké problémy, ktoré nájdete na našej webovej stránke, reťazové pravidlo je oveľa jednoduchšie.


Sťažnosť DMCA

Ak sa domnievate, že obsah dostupný prostredníctvom webových stránok (ako je definované v našich Podmienkach služby) porušuje jedno alebo viac vašich autorských práv, oznámte nám to písomným oznámením („Oznámenie o porušení“) obsahujúcim nižšie popísané informácie určené osobe. agent uvedený nižšie. Ak Varsity Tutors podnikne kroky v reakcii na Oznámenie o porušení, bude sa v dobrej viere snažiť kontaktovať stranu, ktorá takýto obsah sprístupnila, pomocou najnovšej e-mailovej adresy, ak takáto strana poskytuje Varsity Tutors.

Vaše oznámenie o porušení môže byť postúpené strane, ktorá sprístupnila obsah, alebo tretím stranám, ako napríklad ChillingEffects.org.

Vezmite prosím na vedomie, že budete zodpovední za škody (vrátane nákladov a poplatkov za právne zastúpenie), ak podstatne nepravdivo vyhlásite, že produkt alebo činnosť porušuje vaše autorské práva. Ak si teda nie ste istí, že obsah umiestnený na alebo prepojený s webovou stránkou porušuje vaše autorské práva, mali by ste najskôr zvážiť kontaktovanie právnika.

Ak chcete podať oznámenie, postupujte podľa týchto pokynov:

Musíte zahrnúť nasledujúce položky:

Fyzický alebo elektronický podpis vlastníka autorských práv alebo osoby oprávnenej konať v ich mene Identifikácia autorských práv, ktoré boli údajne porušené Popis povahy a presného umiestnenia obsahu, o ktorom tvrdíte, že porušuje vaše autorské práva, v dostatočnom rozsahu detail umožniť Varsity Tutors vyhľadať a pozitívne identifikovať tento obsah, napríklad požadujeme odkaz na konkrétnu otázku (nielen na názov otázky), ktorá obsahuje obsah a popis konkrétnej časti otázky - obrázok, obrázok odkaz, text atď. - vaša sťažnosť sa týka vášho mena, adresy, telefónneho čísla a e-mailovej adresy a vášho vyhlásenia: (a) že v dobrej viere veríte, že použitie obsahu, o ktorom tvrdíte, že porušuje vaše autorské práva, je neautorizované zákonom alebo vlastníkom autorských práv alebo agentom tohto vlastníka; (b) že všetky informácie uvedené vo vašom oznámení o porušení sú presné; a (c) pod hrozbou krivej prísahy ste buď vlastník autorských práv alebo osoba oprávnená konať v ich mene.

Zašlite svoju sťažnosť nášmu určenému zástupcovi na adrese:

Charles Cohn Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, suita 300
St. Louis, MO 63105


Reťazové pravidlo

Asi si pamätáte deriváty $ sin (x) $, $ x ^ <8> $ a $ e ^$. Ale čo funkcie ako $ sin (2x-1) $, $ (3x ^ <2> -4x + 1) ^ <8> $ alebo $ e ^ <- x ^ <2>> $? Ako vezmeme deriváciu zloženia funkcií?

The zloženie $ f (g (x)) $, často označované ako $ f circ g $, funkcií $ f $ a $ g $ je funkcia získaná použitím funkcie $ f $ na $ g (x) $.

The Reťazové pravidlo umožňuje nám použiť naše znalosti o deriváciách funkcií $ f (x) $ a $ g (x) $ na nájdenie derivácie zloženia $ f (g (x)) $:

Predpokladajme, že funkcia $ g (x) $ je diferencovateľná na $ x $ a $ f (x) $ je diferencovateľná na $ g (x) $. Potom je zloženie $ f (g (x)) $ diferencovateľné na $ x $.

Nechajte $ y = f (g (x)) $ a $ u = g (x) $, $ frac= frac cdot frac. $ Používanie alternatívnej notácie, begin frac left [f (g (x)) right] & amp = & amp f '(g (x)) g' (x), frac left [f (u) right] & amp = & amp f '(u) frac. koniec

Nech $ g (x) $ možno rozlíšiť na $ x $ a $ f (x) $ sa dá rozlíšiť na $ g (x) $. Nech $ y = f (g (x)) $ a $ u = g (x) $.

Použijeme skutočnosť, že ak $ y = h (x) $ je diferencovateľné na $ x $, potom $ Delta y = h '(x) Delta x + varepsilon Delta x $ kde $ varepsilon rightarrow 0 $ ako $ Delta x rightarrow 0 $. Máme to začať Delta u & amp = & amp g '(x) Delta x + varepsilon_1 Delta x mbox varepsilon_1 rightarrow 0 mbox Delta x rightarrow 0, Delta y & amp = & amp f '(u) Delta u + varepsilon_2 Delta u mbox varepsilon_2 rightarrow 0 mbox Delta u rightarrow 0. end Nahradenie $ Delta u $ z prvej rovnice do druhej, $ frac < Delta y> < Delta x> = left [f '(u) + varepsilon_2 right] left [g' (x) + varepsilon_1 vpravo]. $ Vezmeme limit ako $ Delta x rightarrow 0 $, begin frac & amp = & amp f '(u) cdot g' (x) & amp = & amp frac cdot frac koniec (prevzaté z KalkulHoward Anton.)

Tri formulácie reťazcového pravidla, ktoré sú tu uvedené, majú rovnaký význam. Slovom, derivácia $ f (g (x)) $ je derivácia $ f $, hodnotená na $ g (x) $, vynásobená derivátom $ g (x) $.

Príklady

začať frac left [ sin (2x-1) right] & amp = & amp frac left [ sin (u) right] cdot frac left [2x-1 right] & amp = & amp cos (u) cdot 2 & amp = & amp 2 cos (2x-1). koniec

začať frac left [ left (3x ^ <2> & # 8211 4x + 1 right) ^ <8> right] & amp = & amp frac doľava [u ^ 8 doprava] cdot frac doľava [3x ^ 2-4x + 1 doprava] & amp = & amp 8u ^ 7 cdot (6x-4) & amp = & amp 8 (6x-4) doľava (3x ^ <2> & # 8211 4x + 1 vpravo) ^ <7>. koniec

začať frac left [e ^ <- x ^ <2>> right] & amp = & amp frac doľava [e ^ u doprava] cdot frac left [-x ^ 2 right] & amp = & amp e ^ u cdot (-2x) & amp = & amp -2xe ^ <- x ^ 2>. koniec

Niekedy budete musieť na odlíšenie funkcie použiť reťazové pravidlo niekoľkokrát.

Príklad

Budeme rozlišovať $ sqrt < sin ^ <2> (3x) + x> $. $ začať frac left [ sqrt < sin ^ <2> (3x) + x> right] & amp = & amp frac <1> <2 sqrt < sin ^ <2> (3x) + x >> cdot frac left [ sin ^ <2> (3x) + x right] & amp f (u) = sqrt & amp = & amp frac <1> <2 sqrt < sin ^ <2> (3x) + x >> cdot left (2 sin (3x) frac left [ sin (3x) right] + 1 right) & amp begin f (u) & amp = & amp u ^ 2 frac [x] & amp = & amp 1 end & amp = & amp frac <1> <2 sqrt < sin ^ <2> (3x) + x >> cdot left (2 sin (3x) cos (3x) frac [3x] + 1 vpravo) & amp f (u) = sin (u) & amp = & amp frac <1> <2 sqrt < sin ^ <2> (3x) + x >> cdot doľava (2 sin (3x) cos (3x) cdot 3 + 1 vpravo) & amp = & amp displaystyle frac <6 sin (3x) cos (3x) + 1> <2 sqrt < sin ^ <2> (3x) + x >> koniec $

Kľúčové koncepty

Nech $ g (x) $ možno rozlíšiť na $ x $ a $ f (x) $ sa dá rozlíšiť na $ f (g (x)) $. Potom, ak $ y = f (g (x)) $ a $ u = g (x) $, $ frac = frac cdot frac. $


Príklady použitia reťazového pravidla

Keď použijeme pravidlo reťaze, vždy sa zameriame na zistenie, čo sú funkcie & # 8220outside & # 8221 a & # 8220inside & # 8221 prvé. Od tej chvíle je to už len ísť spolu s receptom.

Príklad

Nájdite deriváciu (f (x) = (3x + 1) ^ 5 ).

Riešenie

V tomto príklade je funkcia (3x + 1 ), ktorá sa prenáša na piatu moc. Existujú teda dva kúsky: (3x + 1 ) (vnútorná funkcia) a prevedenie do 5. sily (vonkajšia funkcia). Podľa mocninového pravidla viete, že derivácia (x ^ 5 ) je (5x ^ 4 ). Zakryte teda (3x + 1 ) a na chvíľu sa tvárte, že je to (x ). Jedinou dohodou je, že budete musieť zaplatiť pokutu. Pretože to vlastne nebol iba (x ), budete musieť vynásobiť deriváciou (3x + 1 ).

Zjednodušte a získajte konečnú odpoveď:

Príklad

Nájdite deriváciu (f (x) = ln (x ^ 2-1) ).

Riešenie

Rovnaká myšlienka bude fungovať aj tu. Normálne, ak by to bolo iba ( ln (x) ), povedali by ste, že derivácia je ( dfrac <1>). Existuje tam však niečo iné ako (x ) (vnútorná funkcia). Takže to zakryte a derivát aj tak zoberte. Po dokončení nezabudnite vynásobiť deriváciou vnútornej funkcie.

Teraz môžete zjednodušiť a získať konečnú odpoveď:


8.3: Reťazové pravidlo

  • Prispel Marcia Levitus
  • Docent (Biodesign Institute) na Arizonskej štátnej univerzite

Všetci vieme, že poloha bodu v priestore môže byť určená dvoma súradnicami, ktoré sa nazývajú karteziánske súradnice, (x ) a (y ). Vieme tiež, že namiesto toho môžeme určiť polohu bodu pomocou vzdialenosti od počiatku ( (r )) a uhla, ktorý vektor robí s osou (x ) ( ( theta ) ). Posledné menované nazývame rovinné polárne súradnice, ktorým sa budeme podrobnejšie venovať v kapitole 10.

Obrázok ( PageIndex <1> ): karteziánske a polárne súradnice. (CC BY-NC-SA Marcia Levitus)

Tieto dva súradnicové systémy súvisia:

Nechajme & rsquos predpokladať, že dostaneme funkciu v polárnych súradniciach, napríklad (f (r, theta) = e ^ <-3r> cos < theta> ), a budeme požiadaní, aby sme našli parciálne derivácie v karteziánskej súradnice, (( čiastočné f / čiastočné x) _y ) a (( čiastočné f / čiastočné y) _x ). Samozrejme môžeme funkciu prepísať na (x ) a (y ) a nájsť potrebné derivácie, ale nebolo by úžasné, keby sme mali univerzálny vzorec, ktorý prevádza derivácie na polárne súradnice ( (( čiastočné f / čiastočné r) _ theta ) a (( čiastočné f / čiastočné theta) _r )) k derivátom v kartézskych súradniciach? To by nám umožnilo vziať deriváty do systému, v ktorom je vyjadrená rovnica (čo je ľahké), a potom bez nadmerného premýšľania preložiť deriváty do iného systému. Reťazové pravidlo nám umožní vytvoriť tieto & lsquouniversal & rsquo vzťahy medzi derivátmi rôznych súradnicových systémov.

Pred použitím pravidla reťazca nechajme & rsquos získať (( čiastočné f / čiastočné x) _y ) a (( čiastočné f / čiastočné y) _x ) prepísaním funkcie z hľadiska (x ) a (y ). Chcem vám ukázať, koľko práce by to vyžadovalo, aby ste ocenili, aké užitočné je použitie reťazového pravidla. Používanie rovníc ref a ref, môžeme prepísať (f (r, theta) = e ^ <-3r> cos < theta> ) ako

Ľahko môžeme získať (( čiastočné f / čiastočné x) _y ) a (( čiastočné f / čiastočné y) _x ), ale je to určite dosť práce. Čo keby som vám povedal, že (( čiastočné f / čiastočné x) _y ) je jednoducho

nezávisle od funkcie (f )? Tento výsledok čoskoro odvodíme, ale teraz mi dovoľte len spomenúť, že postup zahŕňa použitie reťazového pravidla. Pravdepodobne si povzdychnete úľavou, pretože deriváty (( čiastočné f / čiastočné r) _ theta ) a (((čiastočné f / čiastočné theta) _r ) sa dajú získať oveľa ľahšie:

a pomocou rovnice ref, môžeme získať deriváciu, ktorú hľadáme:

Dúfajme, že to nebolo & rsquot príliš bolestivé, alebo aspoň menej zdĺhavé, že by to bolo hadn & rsquot, použili sme pravidlo reťaze. A čo (( čiastočné f / čiastočné y) _x )? Môžeme vytvoriť výraz podobný rovnici ref a použite ho na spojenie (( čiastočné f / čiastočné y) _x ) s (( čiastočné f / čiastočné r) _ theta ) a (( čiastočné f / čiastočné theta) _r ).

V tomto okamihu si možno myslíte, že to všetko dobre fungovalo, pretože funkcia, ktorú sme mali, sa dala ľahšie odvodiť v polárnych súradniciach ako v kartézskych súradniciach. Je pravda, ale toto je celá podstata. Mnoho fyzikálnych systémov je opísaných v polárnych súradniciach prirodzenejšie ako v kartézskych súradniciach (najmä v troch dimenziách). To súvisí so symetriou systému. Napríklad pre atóm je oveľa prirodzenejšie použiť sférické súradnice ako kartézske súradnice. Mohli by sme použiť kartezián, ale výrazy by boli oveľa zložitejšie a ťažko by sa s nimi pracovalo. Ak máme rovnice, ktoré sa ľahšie vyjadrujú v polárnych súradniciach, získanie derivácií v polárnych súradniciach bude vždy jednoduchšie. Ale prečo by sme potom chceli deriváty v kartézskych súradniciach? Skvelým príkladom je Schr & oumldingerova rovnica, ktorá je jadrom kvantovej mechaniky. O tom si ešte povieme, keď budeme diskutovať o operátoroch, ale Schr & oumldingerova rovnica je nateraz parciálna diferenciálna rovnica (pokiaľ sa častica nepohybuje v jednej dimenzii), ktorú je možné zapísať ako:

Kvôli symetrii systému je pre atómy a molekuly jednoduchšie vyjadriť polohu častice ( ( vec)) v sférických súradniciach. Avšak operátor ( nabla ^ 2 ) (známy ako laplacián) je definovaný v kartézskych súradniciach ako:

Inými slovami, laplaciánsky jazyk vám dá pokyn, aby ste vzali druhé derivácie funkcie vzhľadom na (x ), vzhľadom na (y ) a vzhľadom na (z ) a tieto tri spočítajte. Mohli by sme vyjadriť funkcie (V ( vec) ) a ( psi <( vec)> ) na kartézskych súradniciach, ale opäť by to viedlo k strašne zložitej diferenciálnej rovnici. Namiesto toho môžeme Laplacián vyjadriť v sférických súradniciach, čo je v skutočnosti najlepší prístup. Aby sme to dosiahli, museli by sme dať do súvislosti deriváty v sférických súradniciach s derivátmi v kartézskych súradniciach, a to pomocou reťazcového pravidla.

Dúfajme, že vás to všetko presvedčilo o použití reťazového pravidla vo fyzikálnych vedách, takže teraz už len musíme vidieť, ako ho použiť na naše účely. V dvoch dimenziách hovorí reťazové pravidlo, že ak máme funkciu v jednom súradnicovom systéme (u (x, y) ), a tieto súradnice sú funkciami dvoch ďalších premenných (napr. (X = x ( theta, r ) ) a (y = y ( theta, r) ​​)) potom:

Niektorým študentom pripadajú užitočné nasledujúce konštrukcie & rsquotree & rsquo:

Obrázok ( PageIndex <2> ): Reťazové pravidlo (CC BY-NC-SA Marcia Levitus)

Môžeme tiež zvážiť (u = u (r, theta) ) a ( theta = theta (x, y) ) a (r = r (x, y) ), čo dáva:


Pozri si video: 03. Porovnávání zlomků (Október 2021).