Články

8.2.E: Problémy s merateľnými funkciami v ((S, mathcal {M}, m) ) - matematika


Cvičenie ( PageIndex {1} )

Vo Vete (1, ) uveďte podrobnosti pri dokazovaní rovnocennosti ( left (i ^ {*} right) - left (i v ^ {*} right) ).

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Dokážte poznámku 1.

Cvičenie ( PageIndex {2 '} )

Dokážte to (f = f ^ {+} - f ^ {-} ) a (| f | = f ^ {+} + f ^ {-} ).

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Podrobne vyplňte dôkaz o vete (2, ).

Cvičenie ( PageIndex {4} )

( Rightarrow 4 ). Dokážte vetu 3.
[Rada: Podľa našich konvencií (A (f geq g) = A (fg geq 0) ), aj keď (g ) alebo (f ) je pre niektorých ( pm infty ) (x v A. ) (Overte všetky prípady!) Podľa viet 1 a (2, A (fg geq 0) in mathcal {M}; ) takže (A (f geq g) in mathcal {M}, text {a} A (f

Cvičenie ( PageIndex {5} )

Ukážte, že merateľnosť (| f | ) neznamená, že z (f ).
[Rada: Nech (f = 1 ) na (Q ) a (f = -1 ) na (AQ ) pre niektoré (Q notin mathcal {M} (Q podmnožina A) ; ) napr. použite (Q ) Úlohy (6 text {v kapitole} 7, § 8.] )

Cvičenie ( PageIndex {6} )

( Rightarrow 6 ). Ukážte, že funkcia (f geq 0 ) je merateľná na (A ) iff (f_ {m} nearrow f ) (bodovo) na (A ) pre niektoré konečné jednoduché mapy (f_ { m} geq 0, left {f_ {m} right } uparrow ).
[Tip: Upravte dôkaz nastavenia Lemma (2, ) (H_ {m} = A (f geq m) ) a (f_ {m} = m ) na (H_ {m} ) a definovanie (A_ {mk} ) iba pre (1 leq k leq m 2 ^ {m} ).]

Cvičenie ( PageIndex {7} )

( Rightarrow 7 ). Dokážte vetu 3 v (§ 1.)
[Osnova: Pri problémoch 7 a 8 v ( xi 1, ) sú (q_ {i} v T ) také, že
[
( forall n) quad f [A] subseteq bigcup_ {i = 1} ^ { infty} G q_ {i} left ( frac {1} {n} right).
]
Nastaviť
[
A_ {n i} = A cap f ^ {- 1} doľava [G_ {q_ {i}} doľava ( frac {1} {n} doprava) doprava] in mathcal {M}
]
dodatok (2; ) takže ( rho ^ { prime} doľava (f (x), q_ {i} doprava) < frac {1} {n} ) na (A_ {ni } ).
Dodatok 1 v kapitole 7 §1
[
A = bigcup_ {i = 1} ^ { infty} A_ {n i} = bigcup_ {i = 1} ^ { infty} B_ {n i} ( text {disjoint})
]
pre niektoré množiny (B_ {ni} in mathcal {M}, B_ {ni} subseteq A_ {ni}. ) Teraz definujte (g_ {n} = q_ {i} ) na (B_ { ni}; ) takže ( rho ^ { prime} vľavo (f, g_ {n} vpravo) < frac {1} {n} ) na každom ( vľavo.B_ {ni}, text {odtiaľ ďalej} A. text {Podľa vety} 1 text {v kapitole} 4, §12, g_ {n} rightarrow f text {(rovnomerne) na} A. right] )

Cvičenie ( PageIndex {8} )

( Rightarrow 8 ). Dokážte, že (f: S rightarrow E ^ {1} ) je ( mathcal {M} ) merateľný na (A ) iff (A cap f ^ {- 1} [B] v mathcal {M} ) pre každú množinu Borel (B text {(ekvivalentne pre každú otvorenú množinu} B) ) v (E ^ {1}. ) (V prípade (f: S rightarrow E ^ {*}, ) pridať: "a pre (B = { pm infty }. )")
[Osnova: Nech
[
mathcal {R} = doľava {X subseteq E ^ {1} | A cap f ^ {- 1} [X] v mathcal {M} vpravo }.
]
Ukážte, že ( mathcal {R} ) je ( sigma ) -krúžok v (E ^ {1} ).
Teraz podľa vety (1, ) ak (f ) je merateľný na (A, mathcal {R} ) obsahuje všetky otvorené intervaly; pre
[
A cap f ^ {- 1} [(a, b)] = A (f> a) cap A (f ]
Potom pomocou lemmy 2 v kapitole (7, 2, mathcal {R} supseteq mathcal {G}, ) teda ( mathcal {R} supseteq mathcal {B}. ) (Prečo?)
Naopak, ak je to tak,
[
left. (a, infty) in mathcal {R} Rightarrow A cap f ^ {- 1} [(a, infty)] in mathcal {M} Rightarrow A (f> a) in mathcal {M}. vpravo]
]

Cvičenie ( PageIndex {9} )

( Rightarrow 9 ). Urobte úlohu 8 pre (f: S rightarrow E ^ {n} ).
[Tip: Ak (f = left (f_ {1}, ldots, f_ {n} right) ) a (B = ( overline {a}, overline {b}) podmnožina E ^ {n}, ) s ( bar {a} = doľava (a_ {1}, ldots, a_ {n} doprava) ) a ( bar {b} = ) ( doľava (b_ {1}, ldots, b_ {n} vpravo), ) to ukazujú
[
f ^ {- 1} [B] = bigcap_ {k = 1} ^ {n} f_ {k} ^ {- 1} doľava [ doľava (a_ {k}, b_ {k} doprava) doprava ].
]
Aplikujte úlohu 8 na každý (f_ {k}: S rightarrow E ^ {1} ) a použite vetu 2 v §1. Postupujte ako v probléme (8.) )

Cvičenie ( PageIndex {10} )

Urobte úlohu 8 pre (f: S rightarrow C ^ {n}, ) zaobchádzanie s (C ^ {n} ) ako (E ^ {2 n} ).

Cvičenie ( PageIndex {11} )

Dokážte, že (f: S rightarrow left (T, rho ^ { prime} right) ) je merateľný na (A ) v ((S, mathcal {M}) ) iff
(i) (A cap f ^ {- 1} [G] v mathcal {M} ) pre každú otvorenú planétu (G subseteq T, ) a
(ii) (f [A] ) je možné oddeliť v (T ( text {Problém} 7 ​​text {v} § 1). )
[Tip: Ak je to tak, pokračujte ako v probléme (7 text {(bez predpokladu merateľnosti} f) ), aby ste ukázali, že (f = lim g_ {n} ) pre niektoré základné mapy (g_ {n } ) on (A. ) Na konverzáciu použite úlohu 7 v (§ 1 ) a Dodatok 2 v (§ 2 ).]

Cvičenie ( PageIndex {12} )

(i) Ukážte, že ak je všetok (T text {oddeliteľný (Problém} 7 ​​text {v} § 1), ) existuje postupnosť glóbusov (G_ {k} subseteq T ) takých, že každý neprázdny otvorený set
(B subseteq T ) je spojenie niektorých z nich (G_ {k} ).
(ii) Ukážte, že (E ^ {n} ) a (C ^ {n} ) sú oddeliteľné.
[Rady: (i) Použite (G_ {q_ {i}} ľavé ( frac {1} {n} pravé) ) úlohy 8 v (§ 1, ) a vložte ich do jednej postupnosti.
(ii) Vezmite ( doľava.D = R ^ {n} podmnožina E ^ {n} text {v probléme} 7 ​​text {of} § 1. vpravo] )

Cvičenie ( PageIndex {13} )

Urobte úlohu 11 s „globus (G subseteq T ^ { prime prime} ) nahradený„ Borel set (B subseteq T ). "
[Rady: Považovať (f ) za (f: A pravá šípka T ^ { prime}, T ^ { prime} = f [A], ) berúc na vedomie
[
A cap f ^ {- 1} [B] = A cap f ^ {- 1} vľavo [B cap T ^ { prime} vpravo].
]
Podľa problému (12, ) ak (B neq emptyset ) je otvorený v (T, ), potom (B cap T ^ { prime} ) je spočítateľné spojenie "glóbusov" (G_ {q} cap T ^ { prime} ) in ( left (T ^ { prime}, rho ^ { prime} right); ) pozri vetu 4 v kapitole (3, § 12. ) Postupujte ako v probléme (8, ) a nahraďte (E ^ {1} ) znakom (T ).]

Cvičenie ( PageIndex {14} )

Mapa (g: left (T, rho ^ { prime} right) rightarrow left (U, rho ^ { prime prime} right) ) je považovaná za triedu Baire (0 left (g in mathrm {B} _ {0} right) ) na (D subseteq T ) iff (g ) je relatívne kontinuálne na (D. ) indukčne, (g ) je triedy Baire (n vľavo (g v mathbf {B} _ {n}, n geq 1 vpravo) ) iff (g = lim g_ {m} ) ( bodovo) na (D ) pre niektoré mapy (g_ {m} v mathbf {B} _ {n-1} ). Indukciou ukážte, že dodatok 4 v (§ 1 ) platí aj vtedy, ak (g in mathbf {B} _ {n} ) v (f [A] ) pre niektoré (n. )


Maximálne ideály algebry merateľných funkcií

Je všeobecne známe, že pre akýkoľvek kompaktný topologický priestor $ rm S $ je množina jej bodov v bijekcii so súpravou maximálnych ideálov $ mathcal C ( rm S) $, algebra spojitých funkcií $. rm S to mathbb R $.

Teraz uvažujme kruh $ rm S ^ 1 $ s jeho obvyklou $ sigma $ -algebra. Poznámka $ mathcal M $ algebra merateľných funkcií $ rm S ^ 1 až mathbb R $ a $ mathcal N $ ideál funkcií miznúcich takmer všade.

Zornovým lematom má algebra $ mathcal M / mathcal N $ aspoň jeden maximálny ideál. V tomto príklade však nie je možné získať maximálny ideál zvážením zmiznutia funkcií v jednom bode.

Aký je príklad maximálneho ideálu tejto algebry?


Aron, R.M., Bernal-González, L., Pellegrino, D.M., Seoane-Sepúlveda, J.B .: Lineability: The Search for Linearity in Mathematics. Monografie a poznámky z výskumu v matematike. CRC Press, Boca Raton (2016)

Aron, R.M., Gurariy, V.I., Seoane-Sepúlveda, J.B .: Lineability and spaceability of sets of functions on (< mathbb> ). Proc. Am. Matematika. Soc. 133(3), 795–803 (2005)

Balcerzak, M .: Niekoľko poznámok k sup-merateľnosti. Real Anal. Výmena 17(2), 597–607 (1992)

Balcerzak, M., Ciesielski, K .: K problému sup-merateľných funkcií. Real Anal. Výmena 23(2), 787–797 (1998)

Bartoszewicz, A., Bienias, M., Gła̧b, S .: Nezávislé Bernsteinove množiny a algebraické konštrukcie. J. Math. Anal. Appl. 393, 138–143 (2012)

Bartoszewicz, A., Gıa̧b, S., Pellegrino, D., Seoane-Sepúlveda, J.B .: Algebrability, nelineárne vlastnosti a špeciálne funkcie. Proc. Am. Matematika. Soc. 141(10), 3391–3402 (2013)

Bernal-González, L., Pellegrino, D.M., Seoane-Sepúlveda, J.B .: Lineárne podmnožiny nelineárnych množín v topologických vektorových priestoroch. Bull. Am. Matematika. Soc. (N.S.) 51(1), 71–130 (2014)

Bernal-González, L., Muñoz-Fernández, G.A., Rodriguez-Vidanes, D.L., Seoane-Sepúlveda, J.B .: Algebraická genericita v rámci triedy merateľných funkcií. J. Math. Anal. Appl. 483(1), 16 (2020). (ID článku 123576)

Bruckner, A .: Diferenciácia reálnych funkcií, poznámky k prednáške v matematike, roč. 659. Springer (1978)

Carathéodory, C .: Vorlesungen über reelle Funktionen. Lipsko-Berlín (1927)

Ciesielski, K .: Teória množín pre pracujúceho matematika. Cambridge University Press, Cambridge (1997)

Ciesielski, K.C., Gámez-Merino, J.L., Natkaniec, T., Seoane-Sepúlveda, J.B .: O funkciách, ktoré sú takmer nepretržité a perfektne všade surjektívne, ale nie Jones. Lineabilita a aditivita. Topol. Appl. 235, 73–82 (2018)

Ciesielski, K.C., Rosenblatt, J .: Obmedzená kontinuita a Lusinova veta. Colloq. Matematika. 135(2), 211–225 (2014)

Davis, R.O .: Samostatná približná kontinuita znamená merateľnosť. Proc. Camb. Philos. Soc. 73, 461–465 (1973)

Davis, R.O., Dravecký, J .: O merateľnosti funkcií dvoch premenných. Mat. Časopis 23, 285–289 (1973)

Grande, Z .: La mesurabilité des fonctions de deux variables. Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Matematika. Astronom. Phys. 22, 657–661 (1974)

Grande, Z .: Semiéquicontinuité přibližné a mesurabilité. Colloq. Matematika. 45, 133–135 (1981)

Grande, Z., Lipiński, J.S .: Un exemple d’une fonction sup-mesurable qui n’est pas mesurable. Colloq. Matematika. 39, 77–79 (1978)

Jarník, V .: Sur la dérivabilité des fonctions continue. Spisy Privodov. Fak. Univ. Karlove 129(2), 3–9 (1934)

Jech, T .: Teória množín. Tretie tisícročné vydanie, prepracované a rozšírené. Springer, Berlín (2003)

Fichtenholz, G., Kantorovitch, L .: Sur les opérations linéaires dans l’espace des fonctions bornees. Stud. Matematika. 5, 69–98 (1934)

Kharazishvili, A.B .: Niektoré otázky z teórie invariantných mier. Soobshch. Akad. Nauk Gruz. SSR 100533 - 536 (1980). (v ruštine)

Kharazishvili, A.B .: Sup-merateľné a slabo sup-merateľné zobrazenia v teórii bežných diferenciálnych rovníc. J. Appl. Anal. 3, 211–225 (1997)

Kharazishvili, A.B .: Strange Functions in Real Analysis, 3. vydanie. CRC Press, Boca Raton (2018)

Krasnosel’skiĭ, M.A., Pokrovskiĭ, A.V .: Systems with Hysteresis. Springer, Berlín (1988)

Kuratowski, K .: Topológia, roč. 1. Academic Press, New York (1966)

Laczkovich, M., Miller, A.W .: Merateľnosť funkcií s približne súvislými vertikálnymi úsekmi a merateľnými vodorovnými úsekmi. Colloq. Matematika. 69(2), 299–308 (1995)

Lipiński, J.S .: O merateľnosti funkcií dvoch premenných. Bull. Acad. Polon. Matematika. Sci. Sér. Sci. Matematika. Astronom. Phys. 20, 131–135 (1972)

Lusin, N.N .: Teória funkcií reálnej premennej, 2. vydanie. National Educational Publishers, Moskva (1948). (v ruštine)

Miller, A .: Špeciálne podmnožiny skutočnej priamky. In: Kunen, K., Vaughan, J. E. (eds.) Handbook of Set-Theoretic Topology, s. 201–233. Severný Holland, Amsterdam (1984)

Rosłanowski, A., Shelah, S .: Merateľné tvory. Isr. J. Math. 151, 61–110 (2006)

Sierpiński, W .: Sur un probleme affinant les ensembles mesurables superficiellement. Fond. Matematika. 1, 112–115 (1920)

Sierpiński, W .: Sur l’hypothése du continue ( (2 ^ < aleph _0> = aleph _1 )). Fond. Matematika. 5, 177–187 (1924)

Zahorski, Z .: Sur la premiére dérivée. Trans. Am. Matematika. Soc. 69, 1–54 (1950)


Acosta, M., Kamińska, A .: Slabé susedstvá a Daugavetova vlastnosť interpolačných priestorov (L ^ 1 + L ^ infty ) a (L ^ 1 cap L ^ infty ). Indiana Univ. Matematika. J. 57(1), 77–96 (2008)

Astashkin, S.V .: Interpolácia operátorov v kvázinormovaných skupinách merateľných funkcií. Sib. Matematika. J. 35(6), 1075–1082 (1994)

Astashkin, S.V., Maligranda, L .: Interpolácia medzi (L_1 ) a (L_p ), (1 & ltp & lt infty ). Proc. Am. Matematika. Soc. 132(10), 2929–2938 (2004)

Bergh, J., Löfström, J .: Interpolačné priestory, úvod. Springer, Berlín (1976)

Calderón, A .: Medzery medzi (L ^ 1 ) a (L ^ infty ) a Marcinkiewiczovou vetou. Stud. Matematika. 26, 273–299 (1966)

Chilin, V., Krygin, A., Sukochev, F .: Lokálna uniformita a uniformná konvexita nekomutatívnych symetrických priestorov merateľných operátorov. Matematika. Proc. Camb. Philos. Soc. 111, 355–368 (1992)

Dixmier, J .: Les algebres d’operateurs dans l’Espace Hilbertien, 2. vyd. Gauthier-Vallars, Paríž (1969)

Dodds, P., Dodds, T., de Pagter, B .: Plne symetrické operátorské priestory. Integr. Ekv. Oper. Teória 15, 942–972 (1992)

Dodds, P., Dodds, T., de Pagter, B .: Noncommutative Köthe dualita. Trans. Am. Matematika. Soc. 339(2), 717–750 (1993)

Dodds, P., Dodds, T., Sukochev, F .: On (p ) -konvexita a (q ) -konkavita v nekomutatívnych symetrických priestoroch. Integr. Ekv. Oper. Teória 78, 91–114 (2014)

Dodds, P., de Pagter, B .: Normované Kötheho priestory: nekomutatívne hľadisko. Indag. Matematika. 25, 206–249 (2014)

Dodds, P., de Pagter, B., Sukochev, F .: Theory of noncommutative integration. nepublikovaný rukopis

Dykema, K., Sukochev, F., Zanin, D .: Horná trojuholníková veta o rozklade pre niektoré neobmedzené operátory pridružené k (II_1 ) -faktorom. Izrael J. Math. 222(2), 645–709 (2017)

Fack, T., Kosaki, H .: Zovšeobecnené (s ) - počty ( tau ) merateľných operátorov. Pacific J. Math. 123(2), 269–300 (1986)

Gohberg, I., Kerin, M .: Úvod do teórie lineárnych neselfadjointových operátorov. Preklady matematických monografií, roč. 18. American Mathematical Society, Providence, R.I. (1969)

Gohberg, I., Kerin, M .: Teória a aplikácie operátorov Volterry v Hilbertovom priestore. Preklady matematických monografií, roč. 24. Americká matematická spoločnosť, Providence, R.I. (1970)

Huang, J., Levitina, G., Sukochev, F .: Úplnosť symetrických ( Delta ) -normovaných priestorov ( tau ) -merovateľných operátorov. Stud. Matematika. 237(3), 201–219 (2017)

Hudzik, H., Maligranda, L .: Veta o interpolácii v symetrických priestoroch (F ). Proc. Am. Matematika. Soc. 110(1), 89–96 (1990)

Kadison, R., Ringrose, J .: Základy teórie operátora Algebras I. Academic Press, Orlando (1983)

Kadison, R., Ringrose, J .: Základy teórie operátora Algebras II. Academic Press, Orlando (1986)

Kalton, N., Peck, N., Rogers, J .: Vzorkovač F-priestoru. London Math. Soc. Lecture Note Ser., Zv. 89, Cambridge University Press, Cambridge (1985)

Kalton, N., Sukochev, F .: Symetrické normy a priestory operátorov. J. Reine Angew. Matematika. 621, 81–121 (2008)

Kerin, S., Petunin, Yu., Semenov, E .: Interpolácia lineárnych operátorov. Z ruštiny preložil J. Szũcs. Preklady matematických monografií, roč. 54. American Mathematical Society, Providence, R.I., (1982)

Lord, S., Sukochev, F., Zanin, D .: Singular traces: theory and applications, De gruyter studies in Mathematical. Fyzika 46, (2012)

Maligranda, L .: The (< cal> ) -funkčné pre symetrické priestory. Prednáška Notes Math. 1070, 169–182 (1984)

Maligranda, L., Ovchinnikov, V .: O interpolácii medzi (L_1 + L_ infty ) a (L_1 cap L_ infty ). J. Funct. Anal. 107, 342–351 (1992)

Maligranda, L., Persson, L .: Funkcia (E ) pre niektoré páry skupín. Matematika výsledkov. 20, 538–553 (1991)

Mitjagin, B .: Veta o interpolácii pre modulárne priestory. Mat. Sb. 66(108), 473–482 (1965)

Muratov, M., Chilin, V .: Algebry merateľných a lokálne merateľných operátorov, Kyjev. Pratsi In-ty matematiki NAN Ukraini 69, (2007) (v ruštine)

Nelson, E .: Poznámky k nekomutatívnej integrácii. J. Funct. Anal. 15, 103–116 (1974)

Rotfel’d, S .: Analogy of the Interpolation Theorems of Mitjagin and Semenov for Operators in Non-normed Symetric Spaces, Problems of Mathematical Analysis Izdat. Leningradská univerzita, Leningrad (1973)

Segal, I .: Nekomutatívne rozšírenie abstraktnej integrácie. Ann. Matematika. 57, 401–457 (1953)

Simon, B .: Stopové ideály a ich aplikácie, druhé vydanie. Mathematical Surveys and Monographs, 120. American Mathematical Society, Providence, RI, (2005).

Sukochev, F .: Úplnosť kvázi normovaných symetrických operátorských priestorov. Indag. Matematika. 25, 376–388 (2014)

Sukochev, F., Tulenov, K., Zanin, D .: Veta typu Nehari pre nekomutatívne Hardyho priestory. J. Geom. Anal 27, 1789–1802 (2017)

Takesaki, M .: Teória operátora Algebras I. Springer, New York (1979)

Takesaki, M .: Teória operátorovej algebry II. Springer, Berlín (2003)


Kritériá existencie problému (1)

V súčasnej situácii súčasného výskumu začneme sledovať základné dedukcie o poňatí existencie možných riešení problému (1) prostredníctvom existujúcich nelineárnych techník v teórii pevných bodov predpokladaného operátora. Ak chcete začať požadovaný prístup, nastavte ( mathcal= < upsilon (z): upsilon (z), <> ^ < mathcal> mathfrak_ <0> ^ <1> upsilon (z) v C ( mathbb, mathbb) > ) považovaný za Banachov priestor je vybavený ( | upsilon | _ < mathcal> = sup_> | upsilon (z) | + sup_> | <> ^ < mathcal> mathfrak_ <0> ^ <1> upsilon (z) | ) pre všetky ( upsilon in mathcal). V nasledujúcej lemme je riešenie predpokladanej úlohy (1) vystavené v rámci integrálnej rovnice, ktorá bude užitočná pre ďalšie argumenty.

Lemma 3.1

Poďme ( theta ^ <*> & gt0 ), (0 & lt sigma ^ <*> & lt 1 ), (1 & lt delta ^ <*> & lt2 ), (a_ <1>, a_ <2 >, a_ <3>, a_ <4> v mathbb^<+>) , a ( phi v C ( mathbb, mathbb)) . V tom prípade, riešenie frakčného BVP, ktoré má štruktúru

sú nenulové konštanty.

Dôkaz

Nech ( upsilon (z) ) je riešením (3). S náležitou pozornosťou k návrhu 2.4, tri konštanty (c_ <0>, c_ <1>, c_ <2> v mathbb) existujú také, že

Pomocou ( upsilon (0) = 0 ) máme (c_ <0> = 0 ), takže (6) sa stane

Použitím druhej okrajovej podmienky (a_ <1> ^ < mathcal> mathfrak_ <0> ^ <1> upsilon (0) + a_ <2> <<> ^ < mathcal>> mathfrak_ <0> ^ < delta ^ <* >> upsilon (1) = 0 ), toto dáva

Použitím tretej okrajovej podmienky (a_ <3> ^ < mathcal> mathfrak_ <0> ^ <2> upsilon (0) + a_ <4> <<> ^ < mathcal>> mathfrak_ <0> ^ < theta ^ <* >> upsilon (1) = 0 ), máme to

a teda vyššie uvedenými zápismi zobrazenými v (5) dostaneme

Vložením získanej hodnoty pre (c_ <1> ) do (8) sa dostaneme

a tak znovu o (5) sa to stane

Na druhú stranu, vložením hodnoty (c_ <2> ) do (9) sa pokúsime nájsť (c_ <1> ) ako

Nakoniec z hľadiska notácií (5) máme

Nakoniec do (6) dáme hodnoty (c_ <0> ), (c_ <1> ), (c_ <2> ) vypočítané vyššie uvedenými postupmi a dosiahneme

Týmto sa dokončuje náš dôkaz o štruktúre riešení pre BVP (3). □

Inšpirovaní predchádzajúcou lemmou teraz predpokladáme operátor ( mathfrak: mathcal to mathcal) definované

Je potrebné poznamenať, že ( upsilon _ <0> ) sa považuje za riešenie pre predpokladané BVP (1), ak ( upsilon _ <0> ) je pevným bodom pre novo definovanú mapu ( mathfrak). Sada:

V tejto chvíli sme pripravení vyjadriť a overiť prvú vetu súvisiacu s podmienkami existencie riešení pre BVP (1).

Veta 3.2

Poďme ( psi v Pi ) a ( chi ^ <*>: mathbb^ <2> times mathbb^ <2> rightarrow mathbb) byť mapou spolu s nepretržitou mapou ( Phi ^ <*>: mathbb times mathcal times mathcal rightarrow mathcal) . Predpokladajme, že:

pre všetkých ( upsilon _ <1>, upsilon _ <1> ', upsilon _ <2>, upsilon _ <2>' in mathcal) s ( chi ^ <*> (( upsilon _ <1> (z), upsilon _ <2> (z)), ( upsilon _ <1> '(z), upsilon _ <2>' (z))) geq 0 ) a ( lambda ^ <*> = frac <1> < Omega _ <1> ^ <*> + Omega _ <2> ^ <* >> ), máme

existuje ( upsilon _ <0> v mathcal) také, že, pre všetkých (z v mathbb) ,

pre všetkých (z v mathbb ) a ( upsilon _ <1>, upsilon _ <2> in mathcal)

pre ľubovoľnú postupnosť ( < upsilon _>_ subseteq mathcal) s ( upsilon _ rightarrow upsilon ) a

pre hocikoho (n v mathbb) a (z v mathbb) , platí táto nerovnosť:

Potom daný BVP (1) má aspoň jedno riešenie.

Dôkaz

Nech ( upsilon _ <1>, upsilon _ <2> in mathcal) podlieha ( chi ^ <*> (( upsilon _ <1> (z), <> ^ < mathcal> mathfrak_ <0> ^ <1> upsilon _ <1> (z)), ( upsilon _ <2> (z), <> ^ < mathcal> mathfrak_ <0> ^ <1> upsilon _ <2> (z))) geq 0 ) pre každý (z in mathbb). V takom prípade sa dá odhadnúť

Preto (| mathfrak upsilon _ <1> (z) - mathfrak upsilon _ <2> (z) | leq ( Omega _ <1> ^ <*> + Omega _ <2> ^ <*>) lambda ^ <*> psi ( | upsilon _ < 1> - upsilon _ <2> |) = psi ( upsilon _ <1> - upsilon _ <2>) ). Teraz staviame α na ( mathcal times mathcal) od

pre všetkých ( upsilon _ <1>, upsilon _ <2> in mathcal). Potom máme ( alpha ( upsilon _ <1>, upsilon _ <2>) d ( mathfrak upsilon _ <1>, mathfrak upsilon _ <2>) leq psi (d ( upsilon _ <1>, upsilon _ <2>)) ) pre všetky ( upsilon _ <1>, upsilon _ <2> v mathcal). Z toho vidíme, že ( mathfrak) je ( alfa - psi ) kontrakcia. Navyše je možné ľahko zistiť, že je α-prípustný a ( alpha ( upsilon _ <0>, mathfrak upsilon _ <0>) geq 1 ) podľa definície ( chi ^ <*> ).

Teraz v tejto situácii pre všetkých n, predpokladáme, že ( < upsilon _> ) je sekvencia patriaca do ( mathcal) s ( upsilon _ rightarrow upsilon ) a ( alpha ( upsilon _, upsilon _) geq 1 ). Z hľadiska štruktúry α,

Hypotézou teda dostaneme

Overuje, že ( alpha ( upsilon _, upsilon) geq 1 ). Preto Banachov priestor ( mathcal) má vlastnosť (B). Z vety 2.12 zistíme, že ( mathfrak) má ( upsilon ^ <*> v mathcal) ako pevný bod a v dôsledku toho predpokladaný BVP (1) obsahuje riešenie. Argument je dokončený. □

Sledovaním argumentu sa zameriame na náš zámer nájsť ďalšie existenčné požiadavky riešení pre BVP (1) pomocou iného nástroja založeného na pevnom bode.

Veta 3.3

Zvážte nepretržitú funkciu ( Phi ^ <*>: mathbb times mathcal times mathcal rightarrow mathcal) . Predpokladajme, že:

Nepretržitá funkcia ξ je formulovaný na uzavretom intervale ( mathbb) také, že

pre všetkých (z v mathbb) a ( upsilon _ <1>, upsilon _ <2>, upsilon _ <1> ', upsilon _ <2>' in mathcal)

Existujú nepretržité funkcie ( eta ^ <*>: mathbb rightarrow mathbb^<+>) a neklesajúca funkcia ( psi: mathbb^ <+> rightarrow mathbb^<+>) také, že

pre všetkých (z v mathbb) a ( upsilon _ <1>, upsilon _ <2> in mathcal) .

Potom BVP (1) má aspoň jedno riešenie kedykoľvek

z hľadiska konštánt ( Omega _ <3> ^ <*> ) a ( Omega _ <4> ^ <*> ) daná (10).

Dôkaz

Nech ( | eta ^ <*> | = sup_> | eta ^ <*> (z) | ) a vložte (m ^ <*> = sup _ < upsilon do mathcal> psi ( | upsilon |) ) a predpokladajme, že existuje ( epsilon & gt 0 ) taký, že

Pre všetkých (z v mathbb) a pre ( upsilon _ <1>, upsilon _ <2> in mathcal _ < epsilon> ) máme

Takže (| mathfrak^ <1> upsilon (z_ <2>) - mathfrak^ <1> upsilon (z_ <1>) | to 0 ) when (z_ <1> to z_ <2> ). Podobným spôsobom

kde ( | xi | = sup_> | xi (z) | ). Preto ( | mathfrak^ <2> upsilon _ <1> (z) - mathfrak^ <2> upsilon _ <2> (z) | leq ( Omega _ <3> ^ <*> + Omega _ <4> ^ <*>) | upsilon _ <1> - upsilon _ <2> | ), z čoho vyplýva, že

Teda ( mathfrak^ <2> ) je kontrakcia ( mathcal _ < epsilon> ) s konštantou (K ^ <*> = Omega _ <3> ^ <*> + Omega _ <4> ^ <* > & lt1 ). Takže od vety 2.13 má BVP (1) aspoň jedno riešenie a dôkaz je dokončený. □


Folland Problémy: Kapitola 2

Oddiel 2.5 # 46 Nechajte Lebesgue merať a počítať mieru. Ak, potom a sú všetky nerovnaké.

Dôkaz:Najskôr pozorujte, pretože je nenulové, iba ak napr. Na množine, ktorá má Lebesgueovu nulu. Ďalej si všimnite, že keďže predtým je iba nenulová na množine a, takže integrál sa stáva číslom 1. Pre prvé pripomenutie sa definovalo opatrenie, ktoré je výsledkom stavby uskutočnenej v Caratheodoryovej vete a vete 1.14 (Folland str. 36) tak máme

pre každý . Tak potom. Subadditivitou a monotónnosťou

takže pre niektorých máme a tak a. To znamená, že má nekonečnú mohutnosť

Súčet, teda, je nekonečný a keďže boli ľubovoľné,.

Oddiel 2.5 # 47 Nech je nespočetná lineárne usporiadaná množina tak, aby pre každú bola

spočítateľné. Dovoliť musí byť -algebra spočítateľných alebo spolupočítateľných množín a nechať byť definované na $ mathcal$

podľa if je spočítateľné a if je spolučitateľné. Poďme

Potom a sú merateľné pre všetkých a existujú, ale sú nerovnaké.

Dôkaz:Prvá poznámka, že pri opravovaní je to možné predpokladať. Pri oprave je sada spočítateľná, pretože je možné počítať aj jej doplnok, opäť za predpokladu. Teda pre každého.

Pre výpočet všimnite si, že vnútorný integrál je

Pre výpočet všimnite si, že vnútorný integrál je

Oddiel 2.5 # 48 Nechajte počítať mieru. Definujte, či, ak a inak. Potom a a existujú a sú nerovnaké.

Dôkaz:Všimnite si, že hodnota integrálu je mierou množiny, na ktorej a mimo ktorej. Odkedy máme. Interpretáciu integrálu ako súčtu nájdeme

Oddiel 2.5 # 50 Predpokladajme, že je priestor - konečná miera a. Poďme

Potom je –merateľný a to isté platí aj vtedy, ak je nerovnosť v definícii nahradená znakom.

Dôkaz:Najprv si všimnite, že mapy sú merateľné. Prvý, pretože jeho súradnicové funkcie sú merateľné, a druhý, pretože odčítanie skutočných čísel, je spojité, a teda merateľné. Z toho vyplýva, že ich zloženie je merateľné. Odvtedy je sada -merateľná.

Teraz zvážte charakteristickú funkciu, ktorá je merateľná, pretože je. Upevnenie,

Oddiel 2.5 # 51 Dovoliť a byť ľubovoľným merať medzery.

Dôkaz:(1) Môžeme písať ako zloženie merateľnej mapy a spojitej (teda merateľnej) mapy, takže krát m) = iint chi_ dm d m = int f (x) dh $ je -merateľný.
(2) Najskôr zvážte prípad, kde a kde. Všimnite si

z čoho z lineárnosti vyplýva, že

kde sú nezáporné jednoduché funkcie.
Teraz pre a, nechajme byť sekvencie jednoduchých funkcií zvyšujúce sa a resp. Potom,

kde sme dvakrát použili vetu o monotónnej konvergencii.

Z toho vyplýva, že ak a potom.
Pre ľubovoľné funkcie a písať a pokiaľ ide o pozitívne a negatívne časti reálnej a imaginárnej časti a použiť tieto výsledky na produkty pozitívnych merateľných funkcií vyplývajúcich z produktu a. Toto dokazuje pôvodné tvrdenie.

Cvičenie: je Banachov priestor.

Dôkaz:Z vyššie uvedeného problému vidíme, že jediné, čo zostáva dokázať, je to, že je úplné.
Dovoliť byť Cauchyova sekvencia v. Nech také, že ak

potom. Môžeme zvoliť takú merateľnú množinu

za všetky, ak a. Nech tak a pre, je Cauchy. Poďme

pre a všimnite si, že jednotne na tak

. To znamená, že existuje taký, že pre,.

Najmä preto, že dáva. Takto v a.

Oddiel 2.6 # 60 Ukážte, že pre.

Dôkaz:Všimnite si

Nech a. Použijeme vzorec zmeny premenných. Jakobián pre túto transformáciu je

Od a, máme a. Potom

Oddiel 2.6 # 60 Ak je zapnuté nepretržité, pre a nech

Dôkaz:(1) Oznámenie

kde sme použili Tonelliho vetu. Teraz pomocou zmeny premennej máme a všimneme si to, takže a. Potom sa stane vyššie uvedené

kde sme použili výsledok z úlohy 2.6.60.

(2) Postupujeme indukciou.
Pre ktoré je základná veta počtu primitívnym prvkom prvého poriadku. Predpokladajme, že pre niektorých je tvrdenie pravdivé. Potom pomocou časti (1) a indukčnej hypotézy, ktorú máme, je teda primitívom th-rádu.

Predpokladajme, kde je monomiál. Potom ak existuje

je nepárne a ak sú všetky párne

Dôkaz:Prvá poznámka, že stačí ukázať, ako integrovať monomiál do, pretože v prípade všeobecného polynómu bude nasledovať lineárnosť integrálu. Predpokladajme, že je monomiál. Ak sú niektoré nepárne, potom podľa symetrie, tak.
Predpokladajme, že všetky sú párne a zvážime integrál

Použitím karteziánskych súradníc na vyhodnotenie vyššie uvedeného dostaneme

Oznámenie o striedaní, ktoré dostaneme

s využitím skutočnosti, že. Takže s použitím karteziánskych súradníc sa stane vyššie

Teraz integrujeme vyššie uvedené s polárnymi súradnicami prvú notu, aby sme podľa vety 2.49 (Folland str. 78) dostali


504 poznámok k záverečnej skúške

Nerozumel som niektorým veciam o zastavení času a debutová veta keď som učil túto triedu, tak som sem pridal nejaké poznámky navyše. Nabudúce určite zostavím nejaké všeobecnejšie predstavy o stochastických procesoch, ako sú spoločná a progresívna merateľnosť po vykonaní Brownovho pohybu. Myslím si, že by to mohlo byť užitočnejšie ako robiť drobné veci o princípe odrazu a Hausdorffovej dimenzii.

Carl Mueller mi ukázal poznámky Grega Lowthera o stochastických procesoch. Sú veľmi dobre napísané. Použil som ich dosť ťažko na problém 11 a problém 12.

Opakovanie Poincare (ľahké zahriatie). Máme obvyklé nastavenie $ ( W, mathcal, Prob, T) $ s $ T $ mierou zachovania a ergodiky. Dokázať

[ lim_ frac1 n # vľavo (k leq n: T ^ k x v Q vpravo) = Prob (Q) ]

Potom, ak je $ R $ návratový čas na $ Q $, dokážte, že (dôkaz môžete opakovať v triede) ( Prob (R & lt infty) = 1 )

Riešenie: Toto bola v podstate ergodická veta a všetci ste mali pravdu.

Krajný bod konvexnej množiny nemožno zapísať ako netriviálnu konvexnú kombináciu dvoch ďalších bodov v množine. Nech $ mathcal$ je invariantný $ sigma $ -algebra. Nech $ mathcal$ je priestorom všetkých pravdepodobnostných mier s premennými $ T $.

Ukážte, že pravdepodobnostná miera je ergodická, ak je krajným bodom $ mathcal$.

Riešenie: Krajný bod konvexnej množiny nemožno zapísať ako netriviálnu konvexnú kombináciu dvoch ďalších bodov tejto množiny. Ak $ P $ nie je ergodické, potom existuje netriviálna invariantná množina $ A $ pre $ Prob $. $ Mu $ a $ nu $ ste našli napísaním $ mu (B) = P (B | A) $ a $ nu (B) = P (B | A ^ c) $. Preto nemôže byť $ P $ extrémnym bodom. Všetci ste túto časť hádky dostali správne.

Väčšina z vás druhú časť nepochopila správne. Ak $ P $ nie je krajný bod $ mathcal$, potom ho možno zapísať ako kombináciu $ nu $ a $ mu $, kde $ nu $ a $ mu $ sú oba krajné body. Tvrdíme, že $ P $ nemôže byť ergodické.

Jediná vec, ktorú môžeme v tomto okamihu použiť, je ergodická veta, takže si to pri postupe pamätajme. Ak sú $ nu $ a $ mu $ rôzne miery, musí existovať ohraničená funkcia (ukazovateľ množiny napr.) taká, že

[ int f d nu neq int f d mu ]

Takže bodová ergodická veta ukazuje, že existuje $ nu $ - nulová množina $ B $ taká, že ergodický priemer $ S_n f až int fd nu $ na $ W setminus B $ a ďalej $ B $ je nemenný. Podobne $ S_n f to int f d mu $ na $ W setminus B ‘$. Mali by sme však mať $ W setminus B ‘ podmnožinu B $, čo znamená, že musíme mať $ mu (B) = 1 $. Našli sme teda invariantnú množinu $ B $ takú, že

Predpokladajme, že $ W $ je „pekné“. Potom z triedy pravdepodobnosti vášho predchádzajúceho semestra má každé opatrenie $ Prob $ pravidelnú podmienenú pravdepodobnosť vzhľadom na invariantnú $ sigma $ -algebra tak, že

Ukážte, že pravidelná podmienená pravdepodobnosť je pre prekladovú mapu $ T $ ergodická.

Riešenie: Peknosť priestoru vám umožňuje predpokladať, že existuje pravidelná podmienená pravdepodobnosť. Naša verzia jemnosti vždy obsahovala predstavu, ktorá hovorila, že naša $ sigma $ -algebra bola spočítateľne vygenerovaná. Stačí teda skontrolovať všetko, čo máme, na početnej zbierke generujúcich množín.

Väčšina z vás túto časť správne pochopila. V zásade musíte u každej invariantnej množiny $ E $ skontrolovať

[ Prob ( w, E) = E [1_E | mathcal ] = 1_E v <0,1 > ]

Pretože $ E $ je $ mathcal$ invariant, podmienené očakávanie ponecháva indikátor nezmenený. Toto sa dá dokázať testovaním na spočítateľnej generovacej množine.

Nech $ mathcal_e $ je množina všetkých ergodických invariantných mier. Potom ukážte, že pre každú invariantnú mieru $ P $ existuje pravdepodobnostná miera $ mu_P $ na množine $ mathcal_e $ také, že

Tip: Pre každú merateľnú množinu $ A $ to dokážte

Poznámka: Toto je dôležitý fakt. Akékoľvek opatrenie invariantnej pravdepodobnosti je možné rozkladať ako konvexnú kombináciu jeho ergodických zložiek pomocou regulárnej podmienenej pravdepodobnosti vzhľadom na invariantnú $ sigma $ -algebra.

Riešenie: Všetci ste skontrolovali majetok veže.

Ľudia majú tendenciu používať Choquetovu vetu alebo Kerin-Milmanovú pre posledné dve časti namiesto použitia podmienenej pravdepodobnosti. Viď wikipedia alebo tento pdf. V jednom riadku je priestor invariantných mier topologický vektorový priestor obmedzený na pravdepodobnostné miery ho robí kompaktným. Preto platí Choquetova veta.

Pripomeňte si definíciu jedinečnej ergodicity a všeobecných bodov z vašich poznámok (alebo mojich, na tomto webe). Hovorí sa v ňom, že nasledujúce sú rovnocenné.

Pripomeňme si, že druhové body sú body, pre ktoré platí ergodická veta všetko spojité funkcie na $ W $ (prichádza s topológiou). Systém je jedinečne ergodický, ak existuje iba jedna miera $ mu $, ktorá je nemenná pod $ T $.

Dokážte, že Haarova miera je jedinečne ergodická pre rotáciu kruhu $ T_ theta colon [0,1) mapsto [0,1) $ kde $ T_ theta ( w) = w + theta mod 1 $. Tip: Pozri sa do Durretta.

Riešenie: Durrett ukazuje, že ergodická veta platí pre ukazovatele pootvorených intervalov vo vete 7.2.4 (verzia 4.1 na jeho webovej stránke).

Zapíšte si pravdepodobnosť, že

[ Prob_0 ((B (t_1), ldots, B (t_n)) in A_1 times cdots times A_n) ]

pre Brownov pohyb v $ R ^ d $. Tu sú $ A_i $ merateľné množiny v $ R ^ d $ a & lt t_1 & lt cdots & lt t_n $.

Áno, tento problém je taký ľahký.

Ďalej - tým máme na mysli, že som požiadal Carla o referenciu a on náhodne vybral McKeanovu knihu. Nie je možné mu uniknúť. - skonštruujte Brownov pohyb na [0,1] $ pomocou Haarovej báze. Tento dôkaz má na starosti Paul Lévy a neskôr ho zjednodušil Ciesielski. Zvážte Haarovu bázu definovanú $ f_0 = 1 _ <[0,1]> $ a

pre nepárne $ k & lt 2 ^ n $. Ukážte, že $<>> >_$ tvorí ortornormálny základ pre $ L ^ 2 [0,1] $. Všimnite si, že integrálnym základom tohto základu je Schauderov základ

ktorý vytvára funkcie v tvare stanu (Nakreslite obrázky sami)

Levy’s idea is to use the formal Haar series to define Brownian motion. Let $g_>$ be an independent Gaussian family of mean-$ random variables with variance $1$. Define

There are two things to check:

The process $b(t)$ has the right correlations

You will have to show the second equality above. Then, estimate

[Prob( e_n > heta sqrt <(2^<-n>log 2^n)>)]

and then use the Borel-Cantelli lemma.

For the correlations in $2.$, use Parseval’s relations for the Haar basis applied to the indicator functions $j_1$ and $j_2$ of the intervals $[0,t]$ and $[0,t]$. (This part is cute).

Riešenie: All of you got this problem right, except for the correlation part. There is a bit of work to show that the basis is complete in $L^2$, but that’s quite easy to see. For example, SQ and DS showed that indicators of dyadic intervals can be written as a (limit of) a linear combination of the Haar basis.

where the last identity follows from Parseval’s relationship for the Haar basis. Parseval’s relationship is fairly straightforward to prove for yourself.

Exercise 8.1.2 from Durrett. Show that Brownian motion is not Hölder 1/2 + 1/k.

Exercise 8.2.3 from Durrett. The set of local maxima of Brownian motion is an almost surely a dense set.

Riešenie: Show it first for some rational interval. Given some $(a,b)$, there is a point in the interior of $(a,b)$ where the local maximum is taken since there is a sequence of times $t_k o a$ such that $B_ = B_a$. Recall that this was a consequence of Blumenthal’s 0-1 law. Then, use the Markov property.

Both NC and DS noticed the following: show that the $pi$-system containing sets of the form (for a fixed sequence $< t_k >$ and measurable set $E$ in the product space $mathcal(R^<^+>)$

is also a $lambda$-system and is hence a $sigma$-algebra. So any $sigma$-algebra containing cylinders should contain this set.

To complete the argument, you do the following: suppose continous functions were measurable, then there is a sequence $$ and a set $E$ such that $mathcal$ is in the form above. However, consider the indicator of the point $c in R^+$, $1_(x)$, which is not continuous. Therefore, some $t_k = c$, otherwise $1_c$ will belong to $mathcal$. But there are uncountably many $c$ and only a countable number of $t_k$.

Suppose $f(t) > 0 forall t > 0$. Show that for some $c in [0,infty]$ we have

[overline> frac = c quad Prob_0 , almostsurely]

Riešenie This was Blumenthal. I liked SQ’s solution which also used the law of the iterated logarithm for Brownian motion here.

[začať mathcal_x & = left < A colon A subset D , Prob_x(D) = 0 ight> mathcal_s^x & = sigma left( mathcal^+_s cup mathcal_x ight) mathcal_s & = cap_x mathcal^x_s end]

Show that $mathcal$ is a right-continuous $sigma$-algebra.

Riešenie: The key here, is to notice (like NC did) that since $sigma left( mathcal^+_s cup mathcal_x ight)$ is a completion of a measure space, all sets in the $sigma$-algebra can be written in the form

where $A in mathcal^+_s AND B in mathcal_x$.

If $G$ is open let $T = inf left< t geq 0 colon B_t in G ight>$, where $B_t$ is a d-dimensional Brownian motion. Show that $T$ is a stopping time. Repeat the problem with $K$ closed instead of $G$.

Do you need continuity of the Brownian motion here?

Can you find a discontinuous Markov process for which $T$ is not a stopping time?

Riešenie: This is a problem that I didn’t fully understand when I gave it, but while solving it myself, I learned about the full debut theorem. I’ll give you a short explanation of it. All of these concepts are better explained in Greg Lowther’s notes.

There are three ways to describe stochastic processes.

  1. As a collection of random variables $_$, one for each $t$,
  2. As a path $t o X_t(w)$, one for each $w$,
  3. And as a function from the product space $R^+ imes Omega o R^d$.

The third is a useful way to think about things, especially when you want to talk about stopping times and such.

Indistinguishability: Two processes $X_t$ and $Y_t$ are indistinguishable if

[Prob(X_t = Y_t forall t geq 0 ) = 1]

This is also called equivalent up to evanescence.

However, as we did in class, processes are usually described by their finite-dimensional distributions. So we need another weaker notion of equivalence.

Stochastically equivalent: Two processes are stochastically equivalent if they have the same finite-dimensional distributions. A simpler way to say this is to say for each time $t geq 0$,

As we have seen before, stochastic equivalence does not imply indistinguishability. BUT, the following lemma is quite relates stochastic equivalence and indistinguishability when you have some extra continuity.

Lemma: All right-continuous processes and left-continuous processes that are stochastically equivalent are indistinguishable.

The next important concept is joint-measurability.

Joint-measurability: A process is jointly measurable if it is measurable with respect to the product $sigma$-algebra $mathcal(R^+) imes mathcal$.

Note the Borel $sigma$-algebra is on the whole positive real line. Also notice that we’re not using the fact $mathcal_t$ is a filtration for the process $X_t$. There is a related notion called progressive measurability, that uses the fact that $mathcal_t$ is a filtration. I’ll touch upon that in a minute.

Lemma: All right-continuous and left-continuous processes are jointly measurable.

Suppose $ au$ is any random time, $ au colon Omega o R$. Note that $ au$ is not a stopping time like joint measurability, it’s not using the fact that $mathcal_t$ is a filtration.

Lemma: If $X_t$ is a jointly measurable process, then $X_ au$ is a measurable random variable.

With what we have so far, let us state a baby version of the Debut Theorem. We assume that the filtration is right-continuous.

Theorem: Let $X$ be an adapted right-continuous stochastic process taking values in $R$ that is defined on a complete filtered probability space. If $K$ is any real number, let

Then $ au(w)$ is a stopping time. This is proved in this post about stopping times and the debut theorem.

I think the proof extends quite easily to any closed set $K in R^d$. However, this is not the most general result possible if we’re allowed to assume that the process (like Brownian motion) is progressively measurable. This general version of the debut theorem does not assume anything about the continuity of the process either.

Next, we talk a little bit about measurable selection. This will lead into the generalized debut theorem, which talks about entrance times into measurable sets.

I’ll ignore some of the material from the post titled Filtrations and Adapted Processes, but I highly recommend reading it. The one definition we need from it is the following.

Progressive measurability: A process is called progressive measurable if for each fixed $t geq 0$, the map $X_s(w) colon [0,t] imes W o R^d$ is $mathcal([0,t]) imes mathcal$ measurable.

Let $pi_B$ be the projection operator from sets $A imes B$ onto $B$. That is $pi_B((a,b)) = b$.

Theorem (Measurable Projection): If $(OFP)$ is a complete probability space and $A in mathcal(R) imes mathcal$, then $pi_W(A) in mathcal$.

This seems obvious, but it’s not. It’s also important for the space to be complete here.

There is an interesting mistake related to this that Lebesgue made. The mistake was discovered by Suskin, which eventually led into the study of descriptive set theory.

Definition (Graph): The graph of a random time is

Measurable projection allows us to classify stopping times by graph measurability.

Lemma: Let $ au colon W o R^+ cup infty$ be any map. Potom

  • $ au$ is measurable iff $[ au]$ is jointly measurable.
  • $ au$ is a stopping time iff $[ au]$ is progressive.

The second line could use some explanation: it means that

is a progressively measurable process.

The debut of a set $A subset R^+ imes W$ is a map $D_A colon W o R^+$ defined by

That is, it’s the first time $t geq 0$ when the process enters the set $A$.

Theorem (Debut): If $A subset R^+ imes W$ is progressively measurable and the filtration is right-continuous, then $D_A$ is a stopping time.

Corollary: If $X$ is a progressively measurable process, $K subset R^d$ is Borel, and $mathcal$ is right continuous, then

Comments: Since it’s clear that breaking continuity is not going it work so easily to beat the debut theorem, we should try to break something else. One way to make something not be a stopping time is to break the right-continuous filtration property. DS did the following: let $X$ be a Bernoulli(1/2) random variable, and define the process $A(t)$ as follows

Notice that the debut time $T$ of the set $(1/2,infty)$ is not a stopping time since $T leq 0$ is not $mathcal_0$ measurable. The property that DS broke is the following: $mathcal_0 eq cap_ mathcal_t = cap_ sigma(X)$.

Give an example of a process that is Markov but not strong Markov.

There are several simple examples. Here is one. Let $X(t)$ be the process

where $B(t)$ is a standard Brownian motion.

We may check that it is Markov. For this, one has to check the following property.

[E_x [ f(X_) | mathcal_t ] = E_ [ f(X_t) ]]

The left hand side is a conditional expectation. For $x=0$, this is easy to verify of course. So pick a set $B in mathcal_t$ and let $x eq 0$. Then, since $X_t$ is a Brownian motion, one only needs to note that $Prob(X_t = 0) = 0$ for any fixed $t$, and therefore

where in the last step we just used the Markov property for Brownian motion.

I’ll also sketch Ito’s example to you, which is also quite simple. This is from the series of lectures he gave at the Tata Institute for Fundamental Research, Bombay in 1961. He uses a deterministic process

[xi^<(a)>_t = egin a + t & a eq 0 0 & a = 0, t < au(w) t - au(w) & a = 0, t geq au(w) end]

That is, the process just increases linearly from its starting point $a$, except when it starts at the origin $a=0$. In the latter case, it waits for an exponential waiting time $ au(w)$ and then starts increasing linearly.

Again, it’s easy to verify the Markov property. For the strong Markov property, Ito uses the hitting time $sigma$ of the set $(0,infty)$, and considers

[Prob_0( sigma(w) > 0, sigma( heta_sigma w) > 0)]

where, like Durrett, I’ve used $ heta_t$ for the time-shift operator. It’s easy to show that the strong Markov property does not hold for this probability.

There are processes called the strong Feller processes that always have the strong Markov property. It’s worth visiting their definition to see how we’re breaking the strong Markov property. In the proof of the Strong Markov property, Durrett uses the continuity of the function

where $f$ is some bounded continuous function. He then uses

This was easily shown to be true for Brownian motion, and essentially followed from the continuity of the process.

the Feller property is usually defined using the semigroup (in time) $P_t$ acting on the space of continuous functions $C(R^d)$:

where $X_t$ represents the Markov Process at time $t$. Of course, we just called this $phi(t,x) = P_t f(x)$. A Feller semigroup on $C(R^d)$ satisfies:

  • $P_t f$ is a map from $C(R^d)$ to $C(R^d)$.
  • $P_t$ forms a semigroup i.e., $P_ = P_t P_s$
  • $Norm<> = Norm<>$ for all $t geq 0$.
  • $lim_ Norm<> = 0$

One has to build some theory to show that Feller semigroups define Markov processes, and then show that the process has the strong Markov property.

In our examples, we break the first property. $P_t f(x)$ does not turn out to be continuous function for all continuous $f$. In our case, we get $P_t f(0) = f(0)$ for all bounded functions $f$. We then choose a function such that $lim_ P_t f(x) eq f(0)$.

More questions for the future: Give me a process that is adapted but not jointly measurable. Give me a process that is jointly measurable but not progressively measurable.


Úvod a hlavné výsledky

Throughout this article, let (mathbf^) , (ngeq2) , be the n-dimensional Euclidean space and (mathbf^) be the unit sphere in (mathbf^) equipped with the normalized Lebesgue surface measure (dsigma= dsigma(cdot)) . Also, let (x^= x/|x|) for (xinmathbf ^ setminus<0>) and (p^) denote the exponent conjugate to p that is, (1/p+1/p'=1) .

Let (K_(y)=varOmega(y)h( vert y vert ) vert y vert ^<-n>) , where (h:[0,infty) ightarrowmathbf) is a measurable function and Ω is a homogeneous function of degree zero on (mathbf^) that is integrable on (mathbf^) and satisfies the cancelation property

For (1leqgamma<infty) , define (mathfrak^( extbf^<+>)) to be the set of all measurable functions (h: extbf^<+> ightarrow extbf) that satisfy the condition (Vert h Vert _( mathbf ^<+>,frac)>= (int_<0>^ vert h(r) vert ^,frac )^<1/gamma>leq1 ) , and define (mathfrak^( extbf^<+>)=( mathbf ^<+>,frac)>) .

For a suitable mapping (phi: extbf^<+> ightarrow extbf) , we define the maximal operator (mathcal_^<(gamma)>) for (f inmathcal(mathbf ^)) by

where (P: extbf^ ightarrow extbf) is a real-valued polynomial.

When (P(y)=0) , we denote (mathcal_^<(gamma)>) by (mathcal_^<(gamma)>) . Also, when (phi(t)=t) , we denote (mathcal_^<(gamma)>) by (mathcal_^<(gamma)>) which is the classical maximal operator that was introduced by Chen and Lim in [17]. The authors of [17] proved that when (varOmegainmathcal>^mathcal<)>) and (hinmathfrak^( mathbf ^ <+>)) for some (1leqgammaleq2) , then the (L^

) boundedness of (mathcal_^<(gamma)>) is satisfied for ((ngamma)'< p<infty) . This result was improved by Al-Salman in [10] he established the (L^

(mathbf < mathbf>^)) boundedness of (mathcal_^<(2)>) for all (pgeq 2) provided that (varOmegain L(log L)^<1/2>(mathcal>^) ). Moreover, he pointed out that the condition (varOmegain L(log L)^<1/2>(mathcal>^)) is optimal in the sense that (1/2) in (L(log L)^<1/2>(mathcal>^)) cannot be replaced by any smaller positive number. In addition, the last result was generalized by Al-Qassem (see [4, Theorem 1.5]). Indeed, he verified that (mathcal_^<(gamma)>) is bounded on (L^

(mathcal>^)) for all (pgeqgamma') and (1<gammaleq2) under the condition (varOmegain L(log L)^<1/>(mathcal>^) ). Later on, Al-Qassem in [4] improved the above results. Precisely, he obtained that if (hinmathfrak^( extbf^<+>)) for some (1leqgammaleq2) , (varOmegain L(log L)^<1/gamma'>(mathcal>^)) and ϕ is (C^<2>([0,infty))) , convex and increasing function with (phi(0)=0) , then (mathcal_^<(gamma)>) is bounded on (L^

(mathbf < mathbf>^)) for any (gamma'leq p<infty) with (1<gammaleq2) and it is bounded on (L^(mathbf < mathbf>^)) for (gamma=1) . On the other hand, when Ω belongs to the block spaces (B_^<(0,-1/2)>(mathbf^)) for some (q>1) , then the author of [3] showed that (mathcal_^<(2)>) is bounded on (L^

(mathbf < mathbf>^)) for all (pgeq2) . Furthermore, he found Ω which lies in (B_^<(0,-1/2-varepsilon)>(mathbf^)) for all (varepsilon >0) such that (mathcal_^<(2)>) in not bounded on (L^<2>(mathcal>^) ). Subsequently, the study of the (L^

) boundedness of (mathcal_^<(gamma)>) under various conditions on the function has been performed by many authors. The readers can see [9, 12, 20, 21, 23,24,25], and [28] for the significance of considering integral operators with oscillating kernels.

We point out that the study the maximal operator (mathcal_^<(gamma)>) was initiated by Al-Salman in his work in [11]. In fact, he investigated the (L^

) ( (pgeq2) ) boundedness of (mathcal_^<(2)>) under the condition (varOmegain L(log L)^<1/2>(mathcal< mathbf>^)cup B_^<(0,-1/2)>( mathcal>^)) for some (q>1) . For more information about the importance and the recent advances on the study of such operators, the readers are referred to [1, 2, 5, 27], and the references therein.

In view of the results in [4] as well as the results in [11], it is natural to ask whether the parametric maximal operator (mathcal_^<(gamma)>) is bounded on (L^

( mathbf ^)) under weak conditions on Ω, ϕa y. We shall obtain an answer to this question in the affirmative as described in the next theorem. Precisely, we will establish the following result.

Theorem 1.1

Predpokladajme, že (varOmegain L^(mathbf ^)) , (q> 1) , and satisfy condition (1.1) s (Vert varOmega Vert _(mathbf^)>leq1) . Suppose also that (phi:mathbf> ightarrowmathbf) is in (C^<2>([0,infty))) , convex and increasing function with (phi(0)=0) . Poďme (P:mathbf^ ightarrowmathbf) be a polynomial of degree m a (mathcal_^<(gamma)>) be given by (1.2). Then there exists a constant (C_>0) také, že

pre (gamma'leq p<infty) a (1<gammaleq2) a

kde (eta_=log(e+ Vert varOmega Vert _<>(mathbf^)>)) , (C_=frac<2^<1/q'>><2^<1/q'>-1>C_

) , a (C_

) is a positive constant that may depend on the degree of the polynomial P but it is independent of Ω, ϕ, q, and the coefficients of the polynomial P.

By the conclusion from Theorem 1.1 and applying an extrapolation argument (see [8, 11] and [26]), we get the following.

Theorem 1.2

Predpokladajme, že Ω is given as in Theorem 1.1 a (mathcal_^<(gamma)>) je daný (1.2), kde ϕ is in (C^<2>([0,infty))) , convex and increasing function with (phi(0)=0) . Ak (varOmegain L(log L)^<1/gamma'>(mathcal< mathbf>^)cup B_^<(0,-1/gamma)>( mathcal>^)) , potom (mathcal_^<(gamma)>) is bounded on (L^

( extbf^)) pre (gamma'leq p<infty) a (1<gammaleq2) and it is bounded on (L^( extbf^)) pre (gamma=1) .

Here and henceforth, the letter C. denotes a bounded positive constant that may vary at each occurrence but is independent of the essential variables.


SIAM Journal on Control and Optimization

Suppose $(T,mathcal)$ is a measurable space, X is a topological space, and $emptyset e F(t) subset X$ for $t in T$. Denote $>F = < (t,x):x in F(t)>$. The problem surveyed (reviewing work of others) is that of existence off: $f:T o X$ such that $f(t) in F(t)$ for $t in T$ and $f^ < - 1>(U) in mathcal$ for open $U subset X$. The principal conditions that yield such f are (i) X is Polish, each $F(t)$ is closed, and $ < t:F(t) cap U e emptyset >in mathcal$ a .tit whenever $U subset X$ is open (Kuratowski and Ryll-Nardzewski and, under stronger assumption, Castaing), or (ii) T is a Hausdorff space, $>F$ is a continuous image of a Polish space, and M is the $sigma $-algebra of sets measurable with respect to an outer measure, among which are the open sets of T (primarily von Neumann). The latter result follows from the former by lifting F in a natural way to a map into the closed sets of a Polish space. This procedure leads to the theory of set-valued functions of Suslin type (Leese), which extends the , result (i) to comprehend a considerable portion of the results on the problem surveyed. Among the topics addressed, measurable implicit functions and the case where X is a linear space and each $F(t)$ is convex and compact are particularly important to control theory, for example. With $T = X = [0,1]$ and $>F$ Borel, an elegant partition of $>F$ into Lebesgue measurable maps from T do X, parameterized by Borel functions, has been found (Wesley) via Cohen forcing methods. Other topics discussed include pointwise optimal selections, selections of partitions, uniformization, non-$sigma $-algebras in place of $mathcal$, Lusin measurability, and set-valued measures. Substantial historical comments and an extensive bibliography are included. (See addenda (i)–(iii).)


1 odpoveď 1

I found a solution that suffices for what I do. It is based on strengthening the assumption that the graph $A$ is universally measurable to it being analytic. The notion of analyticity being used is that a subset $S$ of a measurable space $(M,mathcal)$ is analytic if there is a compact metric space $T$ with Borel $sigma$-algebra $mathcal(T)$ and a product measurable set $Xinmathcalotimesmathcal(T)$ such that $S=pi_M(X)$, where $pi_M$ is the projection onto $M$. Analytic sets are always universally measurable. This notion of analyticity is extensively developed in the book Probability and Potential by Dellacherie and Meyer. A nice guide to the essentials can be found in this paper (JSTOR required).

The countable intersection or union of analytic sets is again analytic. If an analytic set is analytic in the product of some measurable space and a compact metric space, then the projection on the first coordinate is again analytic. An important fact from the theory of set-valued functions on a measurable space is that if the values are closed subsets of separable metric space, then the following condition is sufficient for the graph to be product measurable: The set $$ is measurable for each open set $O$.

So assume that $A$ is analytic and $O$ is open. Then $=pi_Omega ig(Acap(Omega imes O)ig)$ and hence analytic by the facts above and therefore universally measurable.