Články

Gaussovské celé aritmetické číslo


Práca nemeckého matematika Carla F. Gaussa je univerzálna. Gauss sa vyrábal ľahko vo všetkých odvetviach matematiky. Dokonca urobil dôležité príspevky v astronómii a vyvinul metódu výpočtu obežných dráh nebeských telies z malého počtu pozorovaní. V súčasnosti sa táto metóda využíva na sledovanie satelitných dráh. Avšak potešenie, ktoré som cítil pri výskume aritmetiky, je notoricky známe. Jeho monumentálne dielo „Disquisitiones Arithmeticae“ položilo základy modernej teórie čísel.

V roku 1825 publikoval dokument, ktorý uvádza komplexné čísla nasledovne. + bjakde a b sú celé čísla a ja = (-1)1/2, Táto sada je označená Zja a nazýva sa gaussovské celé čísla alebo množina gaussovských celých čísel na počesť ich tvorcu.

Gauss skúmal problémy súvisiace s bikadratickou reciprocitou, tj vzťahy medzi prvočíslami p a q, takže bratranec q boli bratrancom zvyšok bratranca p, x4 = q(mod p)keď si uvedomil, že výskum sa stal zjednodušením práce na Zja, Gauss tak pri definovaní Z rozšíril myšlienku celého číslajapretože zistil, že veľká časť Euclidovej starej teórie celočíselnej faktorizácie by sa mohla preniesť do tohto súboru, čo má pre teóriu čísel teoretické dôsledky.

Táto zovšeobecnenie celého súboru čísel poskytuje špeciálne príklady oveľa hlbšieho vývoja, ktorý nazývame teória algebraických čísel. Táto teória je hlboká a silná. Okrem záujmu a fascinácie vlastnými vlastnosťami poskytuje mnoho aplikácií pre teóriu čísel, ktoré umožňujú pochopenie rôznych predtým nejasných a záhadných javov. Napríklad uvažujeme omnoho všeobecnejšie algebraické iracionality, tj korene algebraických rovníc všetkých stupňov, ktoré sú mimo kvadratických iracionalít.

Poďme diskutovať o niektorých aritmetických vlastnostiach gaussovských celých čísel. Najprv si všimneme, že Zja je podskupina C, množina komplexných čísel. Preto zvážte množinu Zja s operáciami sčítania a množenia zdedenými z C. To znamená, že z1 = + jab a z 2 = + jab potom

z 1 + z 2 = ( + C) + ja(b + d)

a

z 1 . z 2 = ( + C) + ja(b + d).

Neutrálny prvok pridávania je 0 = 0 + 0ja, neutrálny prvok násobenia je 1 = 1 + 0ja a nakoniec -1 = -1 + 0ja, Všetky ostatné vlastnosti, ako je asociatívne sčítanie a množenie, komutatívne sčítanie a násobenie, distribúčné, sú zdedené od C. Všimnite si, že pre každé celé číslo n máme ID n = n + 0jaalebo ešte n = n, preto, 0 = 0, ±1 = ±1, ±2 = ±2,…

Problémy s deliteľnosťou sa v tomto súbore stávajú zložitými. Všimnite si, že celé číslo 5 je najlepšie v Z. Avšak v Zja máme

(1 + 2ja).(1 - 2ja) = 1 - 2<>

ja + 2ja - 4ja2 = 1 - 4(-1) = 5.

Pretože nie každé celé číslo je gaussovským prvočíslom, vyvstávajú prirodzene niektoré otázky: Aké sú prvočísla tohto kruhu? Existujú nekonečné gaussovské bratrance? Je možné rozložiť gaussovské celé čísla na hlavné faktory jediným spôsobom, s výnimkou poradia?

Komentovať tieto problémy, ktoré zahŕňajú pojem deliteľnosti v Zja, musíme definovať, čo je v systéme Z deliteľnéja.

Predpokladajme, že x a y sú odlišné gaussovské celé čísla, kde y ¹ 0. Hovoríme to y rozdelený x, a označíme to pomocou y çxak existuje gaussovské celé číslo w taký x = wy, Napríklad,

(1 + ja) ç2, pretože 2 = (1 + ja)(1 - ja)

a

(1 + ja) ç(1 - ja), pretože 1 + ja = ja(1 - ja).

Teraz si všimnite, že 1 + 2ja nerozdeľ 1 - ja, Inak by sme mali 1 + 2ja = (C + dja)(1 - ja) kde C a d patríme Z. Dostaneme 1 + 2ja = C + d + (d - C)ja, tj C + d = 1 a d - C = 2 rovná sa skutočnej časti a imaginárnej časti. Sčítaním dvoch predchádzajúcich rovníc dostaneme 2d = 3. Avšak, d Je to celé číslo!

Bude definícia deliteľnosti v Zja kompatibilné s definíciou deliteľnosti v Z? Chceme napríklad vedieť, či je možné 3 rozdeliť 7 na Zja, Odpoveď nemôže byť významnejšia:

existuje definícia zlučiteľnosti

uvedené pre gaussovské celé čísla v porovnaní s definíciou danou pre celé čísla.

V skutočnosti predpokladajme, že x a y, y - 0, sú prvky Z také, že y çx v Zja, Takže existuje w = C + dja v Zja taký x = wy, tj x = (C + dja)y = cy + dyja, čoskoro x = cy a 0 = dy, ako y ¹ 0, 0 = dy naznačuje to d = 0 a teda w = C Je to celé číslo! preto, x = wy = cy, Dospeli sme k záveru, že ak y çx v Zjapotom y çx v Z.

Vieme, že 1 a -1 delia všetky celé čísla. Podobne sa ukazuje, že ± 1 a ± ja rozdeľte všetky gaussovské celé čísla. Preto ± 1 a ± ja sa nazývajú jednotky gaussovských celých čísel. ak w je jednotka gaussovských celých čísel a x a y sú gaussovské celé čísla také x = wy, potom to hovoríme x a y sú spojené prvky. Všimnite si, že 1 + ja a 1 - ja sú spojené prvky, pretože 1 + ja = ja (1 - ja).

Teraz sme schopní definovať gaussovské bratrance: gaussovské celé číslo x je gaussovský bratranec, ak je jediný delič x sú ich spolupracovníci a jednotky Zja, Napríklad celé číslo 2 nie bratranec v Zjapretože

<>

ja(1 - <>

ja)2 = ja(1 - 2ja + ja2) = ja(-2ja) = -2ja2 = <>

2.

Ako už bolo uvedené, existuje mnoho vlastností, ktoré majú gaussovské celé čísla a celé čísla spoločné. Z predchádzajúcich stĺpcov vieme, že existujú nekonečné prvotné celé čísla formy 4k + 3. Na druhej strane sa ukazuje, že každé najvyššie celé číslo formy 4k + 3 je gaussiánsky bratranec! Takže sú to nekonečné gaussovské bratrance. Gaussovci bratranci sú presní:

Celý gaussián 1+ ja a ich spolupracovníci; prvé celé čísla formulára 4k + 3 a jeho členovia; a čísla do ± bjakde2 + b2 je najvyššie celé číslo formy 4k +1,

a jeho spolupracovníci.

Zistili sme, že spolupracovníci gaussovského celého čísla x sa získajú vynásobením x ± 1 alebo ± ja.

ak p = 3 potom p = 3 = 4,0 + 3; čoskoro celý gaussián 3 Je to Gaussov bratranec. ak p = 5potom p = 5 = 4.1 + 1 z toho vyplýva, že 2 + ja a 2 - ja a ich spolupracovníci sú Gaussovci bratranci.

Ako každé prvočíslo alebo má tvar 4k + 1 alebo forma 4k + 3, usudzujeme, že existujú dva gaussovské bratrance zodpovedajúce každému prvému celému číslu formy 4k + 1 a gaussovské prvočíslo, ktoré zodpovedá každému prvému číslu formy 4k + 3. Každé Gaussovo prvočíslo je teda faktorom jediného prvočísla. Často hovoríme, že bratranci formy 4k + 3 zostávajú prvoradé v Zjaže bratranci formy 4k + 1 sa rozkladá v Zjaa to 2 = -ja(1 + ja) pobočky do Zja.

Zistili sme, že doteraz nemáme prvky na porovnávanie gaussovských celých čísel podľa známeho vzťahu rádu „<“. Predpokladajme, že túto definíciu možno rozšíriť na gaussovské celé čísla. Vieme, že bez ohľadu na rozšírenú definíciu, ktorú budeme musieť vždy 0 < 1, ako ja ¹ 0, ak predpokladáme ja < 0, tak nevyhnutne 0 < -ja a preto 0 < (-ja)2 = -1, čo je nepravdivé! Na druhej strane, ak predpokladáme 0 < japotom 0 < ja2 = -1, čo je tiež nepravdivé!

Na porovnanie gaussovských celých čísel môžeme definovať funkciu pravidla s doménou v nich, ktorá preberá hodnoty v prirodzených látkach N. Preto definujeme N gaussovského čísla x = + bjapodľa N(x) = N( + bja) = 2 + b2, Norma hrá dôležitú úlohu, pretože, ako vieme, nerovnosti sú pri štúdiu aritmetických a algebraických vlastností celých čísel zásadné.

V Zja divízia so zvyškom je veľmi podobná euklidovskej divízii definovanej v celých číslach:

x a y gaussovské celé čísla, s y ¹ 0, Takže existujú gaussovské celé čísla w a z

taký: x = wy + z, s N.(z) <N(w).

Takže rozdelenie so zvyškom v Zja Je to algoritmické. Táto skutočnosť nám umožňuje vypočítať najväčšieho spoločného deliteľa dvoch null nulových gaussovských celých čísel.

Celé čísla spĺňajú veľmi dôležitú vlastnosť v teórii čísel: jednotlivá faktorizácia, to znamená, že každé kladné celé číslo je vyjadrené jedinečným spôsobom, ak nie je usporiadané podľa faktorov, ako súčin prvočísel. Gaussovské celé čísla tiež spĺňajú túto dôležitú aritmetickú vlastnosť, to znamená, že umožňujú prvotný rozklad, a tento rozklad je jedinečný menej ako poradie faktorov.

Späť na stĺpce

<