Informácie

Pythagorove obleky


Teória čísel je oblasť matematiky, ktorá skúma hlboké a jemné vzťahy medzi pozitívnymi celými číslami. Pythagoras a jeho nasledovníci spájali tieto čísla s geometriou, a tak začal jeden z najúspešnejších prvkov teórie čísel, a to binomický: aritmetický a geometrický. V Babylone bolo nájdených okolo roku 1700 pnl tabuľky obsahujúce zoznamy celých čísel vyhovujúcich majetku s tým, že jedno z čísel na druhej strane sa rovná súčtu druhých štvorcov. Pretože tieto zoznamy boli rozsiahle, verí sa, že Babylončania už mali systematickú metódu vytvárania takýchto oblekov. Existujú historické záznamy, ktoré dokazujú existenciu a použitie takýchto tabuliek v starovekom Egypte. Zoberme si štvorce prirodzených čísel 1², 2², 3², 4², 5², ... Ak vezmeme súčet dvoch štvorcov, nakoniec dostaneme ďalší štvorec. Najslávnejším príkladom tejto skutočnosti je: 3² + 4² = 5², ale existujú aj ďalšie príklady: 5² + 12² = 13², 20² + 21² = 29² a mnoho ďalších. Avšak 2² + 3² = 13 nie je štvorec. Preto je prirodzené sa pýtať, či existuje nekonečný počet pythagorských oblekov. Odpoveď je áno a dôvod je veľmi jednoduchý: ak (x, y, z) je pythagorský tender, potom vynásobením kladným celým číslom c dostaneme (cx, cy, cz), čo je nový pythagorský tender, preto (cx) ² + (cy) ² = c² (x² + y²) = czz = (cz) ². Na druhej strane tieto obleky nie sú najzaujímavejšie, a preto definujeme primitívne obleky, tj tie, kde a, b a c nemajú žiadny spoločný faktor a spĺňajú vzťah x² + y² = z².

Na druhej strane Pythagorejci sa zaujímali o pravouhlé trojuholníky, ktorých goliere majú celú dĺžku x a y a dĺžka z prepony sa vzťahuje na xay, takže z² = x² + y². Takýto vzťah je slávny pythagorský teorém. Hľadanie všetkých pozitívnych celých čísel, ktoré spĺňajú identitu x² + y² = z², je ekvivalentné problému stanovenia všetkých pravouhlých trojuholníkov, ktorých strany sú celé čísla.

Pythagorejci boli okolo roku 600 pnl ako prví, ktorí dali metódu určovania nekonečných oblekov tohto druhu, dnes nazývaných Pythagorove obleky. Použitím súčasného zápisu popíšeme túto metódu nasledovne: nech x = n, y = 1 (n² -1), z = 1 (n² + 1) kde n je nepárne celé číslo väčšie ako 1; takže výsledná šľacha (x, y, z) je pythagorská terna, kde z = y + 1. Všimnite si niektoré príklady: 3² + 4² = 5², 5² + 12² = 13², 7² + 24² = 25², 9² + 40² = 41², 11² + 60² = 61². Všimnite si, že existujú aj iné obleky: napríklad, keď z = y + 2, tj 8² + 15² = 17², 12² + 35² = 37², 16² + 63² = 99², 20² + 65² = 101². Filozof Platón (430 - 349 pnl) našiel ďalšiu metódu na určenie všetkých týchto tendencií, ktoré sú v modernej notácii vzorce: x = 4n², y = 4n² -1, z = 4n² +1. Grécky matematik Tales of Miletus priniesol podstatnú zmenu vedomostí, keď z matematiky, ktorá sa praktizovala ako nejaká forma numerológie, stala deduktívna veda. Okolo roku 300 pred Kristom, keď Euclid uverejnil zbierku 13 kníh s názvom Prvky, boli všetky uvedené matematické fakty formálne demonštrované. V desiatej knihe dal Euclid metódu získania všetkých pythagorských oblekov. Hoci Euclid nepredložil formálnu ukážku svojej metódy, získal všetky obleky. Pri použití súčasného zápisu sa metóda skladá z nasledujúcich vzorcov: x = t (a²-b²), y = 2tab, z = t (a² + b²), kde t, aab sú ľubovoľné kladné celé čísla, takže a> b, a a b nemajú spoločné žiadne faktory, a ak a je nepárne, potom b je párne a naopak. Toto úplne rieši prirodzený problém vedieť, ktoré sú všetko Pythagorove obleky.

Späť na stĺpce

<