Komentáre

História algebry (prehľad)


Zdroj: Témy histórie matematiky - John K. Baumgart

Podivné a zaujímavé je pôvod slova „algebra“. Nepodlieha jasnej etymológii, akou je slovo „aritmetika“, ktoré pochádza z gréčtiny arithmos ( "Číslo"). algebra je latinská varianta arabského slova al Jabr (niekedy prepísané al Jebri), ktorá bola použitá v názve knihy Hisab al-jabr w'al-muqabalah, napísaná v Bagdade okolo roku 825 arabským matematikom Mohammed ibn-Musa al Khowarizmi (Mohammed, syn Mojžiša z Khowarizmu). Táto práca algebry sa často označuje skratkou Al-Jabr.

Doslovným prekladom úplného názvu knihy je „veda o obnove (alebo znovuzjednotení) a redukcii“, ale matematicky by bolo lepšie „veda o transpozícii a zrušení“ - alebo podľa Bohera „transpozícia odpočítaných výrazov druhému členovi knihy. rovnica "a" zrušenie podobných (rovnakých) výrazov v opačných členoch rovnice ". Vzhľadom na túto rovnicu:

x2 + 5x + 4 = 4 - 2x + 5x3
al-jabr poskytuje
x2 + 7x + 4 = 4 + 5x3
a al muqabalah poskytuje
x2 + 7x = 5x3
Možno najlepším prekladom bola jednoducho „veda rovníc“.
Aj keď pôvodne „algebra“ odkazuje na rovnice, slovo dnes má oveľa širší význam a uspokojivá definícia vyžaduje dvojfázový prístup:
(1) Staroveká (elementárna) algebra je štúdium rovníc a metód ich riešenia.
(2) Moderná (abstraktná) algebra je štúdium matematických štruktúr, ako sú skupiny, prstene a telá - aby sme vymenovali aspoň niektoré z nich.
Je skutočne vhodné sledovať vývoj algebry z hľadiska týchto dvoch fáz, pretože rozdelenie je chronologické aj koncepčné.

Algebraické rovnice a zápisy

Starodávna (elementárna) fáza, ktorá pokrýva obdobie od roku 1700 pred Kristom do asi 1700 nášho letopočtu, bola charakterizovaná postupným vynálezom symbolizmu a rozlišovaním rovníc (všeobecne numerických koeficientov) rôznymi metódami, ktoré ukazovali malý pokrok až do rozlíšenia. „všeobecné“ kubických a kvartických rovníc a inšpirované spracovanie polynomiálnych rovníc všeobecne Françoisom Viètom, známym tiež ako Vieta (1540 - 1603).

Vývoj algebraického zápisu sa vyvíjal v troch etapách: rétorika (alebo ústne), synkopovaný (v ktorom boli použité slovné skratky) a symbolický, V poslednej fáze notácia prešla niekoľkými úpravami a zmenami, až kým sa nestala primerane stabilná v čase Izáka Newtona. Je zaujímavé poznamenať, že aj dnes neexistuje úplná jednotnosť v používaní symbolov. Napríklad Američania píšu "3.1416" ako približnú hodnotu pia mnohí Európania píšu „3,1416“. V niektorých európskych krajinách symbol „÷“ znamená „mínus“. Pretože algebra pravdepodobne pochádza z Babylonu, zdá sa byť vhodné ilustrovať rétorický štýl na príklade z tejto oblasti. Nasledujúci problém ukazuje relatívny stupeň sofistikovanosti babylonskej algebry. Je to typický príklad problémov, ktoré sa vyskytujú pri písaní klínového tvaru, na hlinených tabletkách, ktoré siahajú do obdobia kráľa Hammurabiho. Vysvetlenie je, samozrejme, v portugalčine; a indoarabská desatinná notácia sa používa namiesto klínového tvaru sexagesimálnej notácie. Pravý stĺpec poskytuje zodpovedajúce pasáže v modernom zápise. Tu je príklad:

1 Dĺžka, šírka. Vynásobil som dĺžku šírkou, čím som získal plochu: 252. Pridal som dĺžku a šírku: 32. Jeden sa pýta: dĺžka a šírka.

2 Uvedená 32 suma; Oblasť 252.x + y = k

xy = P}… (A)

3 Odpoveď 18 dĺžka; 14 šírka.
4 Nasleduje táto metóda: Vezmite polovicu z 32, čo je 16.k / 2
16 x 16 = 256(k / 2)2
256 - 252 = 4(k / 2)2 - P = t2 }… (B)
Druhá odmocnina 4 je 2.
16 + 2 = dĺžka 18.(k / 2) + t = x.
Šírka 16 - 2 = 14(k / 2) - t = y.
5 Dôkaz som vynásobil 18 dĺžok 14 šírkou.

18 x 14 = plocha 252

((k / 2) + t) ((k / 2) -t)

= (k2/ 4) - t2 = P = xy.

Všimnite si, že v kroku 1 je problém formulovaný, v 2 sú uvedené údaje, v 3 je uvedená odpoveď, v 4 je vysvetlená metóda riešenia. s číslami a nakoniec na 5 je testovaná odpoveď.

Vyššie uvedený „recept“ sa opakovane používa na podobné problémy. Má historický význam a súčasný záujem z niekoľkých dôvodov.

Pokračuje po inzercii

Po prvé, toto nie je spôsob, ako by sme dnes systém vyriešili (A). Štandardným postupom v súčasných algebraských školských textoch je vyriešenie, povedzme, prvej rovnice y (pokiaľ ide o x), nahradiť v druhej rovnici a potom vyriešiť výslednú kvadratickú rovnicu v x; to znamená, že by sme použili metódu substitúcie. Babylončania tiež vedeli, ako riešiť systémy substitúciou, ale často uprednostňovali použitie ich parametrickej metódy. To znamená, že pomocou modernej notácie koncipovali x a y v zmysle nového neznámeho (alebo parametra) T making x = (k / 2) + t a y = (k / 2) -t.

Potom produkt:

xy = ((k / 2) + t) ((k / 2) - t) = (k / 2)2 - t2 = P

viedol ich k vzťahu (B):

(k / 2)2 - P = t2

Po druhé, vyššie uvedený problém má historický význam, pretože grécka (geometrická) algebra Pythagorejcov a Euklidov používala rovnakú metódu riešenia - preloženú však z hľadiska úsečiek a oblastí a ilustrovanú geometrickými obrázkami. O niekoľko storočí neskôr, ďalší Grék, Diophantus, tiež použil parametrický prístup vo svojej práci s „diofantínovými“ rovnicami. Začal modernú symboliku zavádzaním slovných skratiek a vyhýbaním sa trochu zložitému štýlu geometrickej algebry.

Po tretie, arabskí matematici (vrátane al-Khowarizmi) nepoužili metódu použitú vo vyššie uvedenom probléme; Radšej odstránili jednu z neznámych substitúcií a všetko vyjadrili slovami a číslami.

Pred opustením babylonskej algebry si uvedomme, že boli schopní vyriešiť prekvapivú škálu rovníc, vrátane určitých špeciálnych typov kubických a kvartických - samozrejme s číselnými koeficientmi.

Algebra v Egypte

Algebra vznikla v Egypte približne v rovnakom čase ako v Babylone; ale egyptskej algebre chýbali sofistikované metódy babylonskej algebry, ako aj rozmanitosť riešených rovníc, ktoré súdili Papyrus Moskva a Papyrus Rhind - egyptské dokumenty z obdobia okolo roku 1850 pred Kristom a 1650 pred Kristom, ale odrážajúce matematické metódy skoršie obdobie. V prípade lineárnych rovníc Egypťania použili metódu rozlíšenia pozostávajúcu z pôvodného odhadu, po ktorom nasledovala konečná korekcia - metódu, ktorú Európania neskôr pomenovali ako „pravidlo nepravdivých pozícií“. Egyptská algebra, podobne ako Babylon, bola rétorická.

Pomerne primitívny egyptský systém číslovania v porovnaní so systémom Babylončanov pomáha vysvetliť nedostatok sofistikovanosti egyptskej algebry. Európski matematici šestnásteho storočia museli rozšíriť indoarabskú predstavu o čísle, aby mohli výrazne pokročiť za babylonské výsledky riešení rovníc.

Grécka geometrická algebra

Grécka algebra formulovaná Pythagorejcami a Euklidom bola geometrická. Napríklad to, čo píšeme ako:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

bol navrhnutý Grékmi v zmysle schémy znázornenej na obrázku 1 a kuriózne ho uviedol Euclid v roku 2007 prvky, kniha II, výrok 4:

Ak je priama čiara rozdelená na akékoľvek dve časti, štvorec na celej čiare sa rovná štvorcom na obidvoch častiach spolu s dvojnásobným obdĺžnikom, ktorý tieto časti obsahujú. To je (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Sme v pokušení povedať, že za Grékov Euklidovho času2 Bol to naozaj štvorec.

Niet pochýb o tom, že Pythagorejci dobre poznali babylonskú algebru a skutočne postupovali podľa štandardných babylonských metód riešenia rovníc. Euclid zaznamenal tieto pythagorovské výsledky. Na ilustráciu sme vybrali vetu, ktorá zodpovedá vyššie uvedenému babylonskému problému.

Z knihy VI prvky, máme návrh 28 (zjednodušená verzia):

Vzhľadom na priamku AB to znamená, x + y = k, postavte pozdĺž tejto priamky obdĺžnik s danou oblasťou xy = P, za predpokladu, že obdĺžnik „nedosahuje“ v AB o sumu „vyplnenú“ iným obdĺžnikom štvorec BF na obrázku 2, podobné danému obdĺžniku ktoré tu priznávame ako akýkoľvek štvorec.

Pri riešení tejto požadovanej konštrukcie (obr. 2) je práca Euklidov takmer presne paralelná s babylonským riešením ekvivalentného problému. Ako uvádza T.L.Heath / EUCLID: II, 263 /, kroky sú nasledujúce:

Bisecte AB v M:k / 2
Zostavte štvorec MBCD:(k / 2)2
Použitím VI, 25 vytvorte štvorec DEFG s plochou rovnajúcou sa prebytku MBCD nad danou plochou P:T2 = (k / 2)2 - P
Takže samozrejmey = (k / 2) - t

Ako často robil, Euclid nechal druhý prípad na študentovi - v tomto prípade x = (k / 2) + t, ktoré si Euclid určite uvedomil, ale netvoril.

Je skutočne pozoruhodné, že väčšina babylonských štandardných problémov bola týmto spôsobom „prerobená“ Euclidom. Ale prečo? Čo viedlo Grékov, aby dali svojej algebre túto nepríjemnú formuláciu? Odpoveď je základná: mali koncepčné ťažkosti s iracionálnymi zlomkami a číslami.

Aj keď grécki matematici dokázali obísť zlomky tým, že ich považovali za celočíselné pomery, mali neprekonateľné ťažkosti napríklad s číslami, ako je druhá odmocnina 2. Spomenuli sme si na „logický škandál“ Pythagorejcov, keď zistili, že uhlopriečka jednotkového štvorca je nezmerateľná so stranou (tj diag / strana sa líši od pomeru dvoch celých čísel).

Preto ich prísna matematická prísnosť donútila používať rad úsečiek ako vhodnú doménu prvkov. Napriek tomu druhá odmocnina 2 nie je možné vyjadriť pomocou celých čísel alebo ich pomerov, môže byť reprezentovaný ako úsečka, ktorá je presne uhlopriečkou štvorca jednotky. Možno to nie je len vtip, že lineárne kontinuum bolo doslova lineárne.

Pokračuje po inzercii

Pri prechode by sme mali spomenúť Apolloniusa (cca 225 pnl), ktorý aplikoval geometrické metódy na štúdium kužeľových rezov. V skutočnosti je to jeho veľká rozprava Kónické profily obsahuje viac analytickej kužeľovej geometrie - všetko formulované v geometrickej terminológii - ako súčasné univerzitné kurzy.

Grécka matematika sa náhle zastavila. Rímska okupácia sa začala a nepodporovala matematické štipendium, aj keď stimulovala niektoré ďalšie odvetvia gréckej kultúry. Kvôli ťažkému štýlu geometrickej algebry nemohol prežiť iba v písomnej tradícii; Potreboval som živé orálne médium. Tok nápadov bolo možné sledovať, pokiaľ inštruktor ukázal na schémy a vysvetlil ich; ale priame školy neprežili.

Algebra v Európe

Algebra, ktorá vstúpila do Európy (prostredníctvom Liber abaci de Fibonacci a prekladov), ustúpila štýlom aj obsahom. Semio-symbolizmus Diophantusa a Brahmagupty (synkopácia) a ich relatívne pokročilé úspechy nemali za cieľ prispieť k prípadnej erupcii algebry.

Renesancia a rýchle kvitnutie algebry v Európe boli spôsobené týmito faktormi:

  1. ľahká manipulácia s numerickými dielami prostredníctvom indoarabského systému číslovania, oveľa lepšia ako systémy (napríklad rímske), ktoré vyžadovali použitie počítadla;

  2. vynález pohyblivého lisu, ktorý urýchlil štandardizáciu symbolizmu zlepšením komunikácie založenej na rozšírenej distribúcii;

  3. obnova hospodárstva, udržanie intelektuálnej činnosti; a obnovenie obchodu a cestovania, uľahčenie výmeny názorov a tovaru.

Komerčne silné mestá sa prvýkrát objavili v Taliansku a práve tam sa začala algebraická renesancia v Európe.

Ďalej: História obchodnej a finančnej matematiky <