Komentáre

Logaritmické a exponenciálne funkcie


Keď boli logaritmy zavedené v sedemnástom storočí ako výpočtový nástroj, poskytovali vedcom v tom čase nepredstaviteľnú výpočtovú silu.

Hoci počítače a kalkulačky v numerických výpočtoch do značnej miery nahradili logaritmy, logaritmické a relatívne funkcie majú široké uplatnenie v matematike a prírodných vedách.

Iracionálni exponenti

V algebre sú celé a racionálne sily čísla b sú definované pomocou

ak b negatívne, potom niektoré zlomkové sily b bude mať imaginárne hodnoty; napríklad , Aby sme sa vyhli tejto komplikácii, predpokladajme to aj keď to nie je výslovne uvedené.

Upozorňujeme, že predchádzajúce definície nezahŕňajú právomoci iracionálne z bako napr

Existuje niekoľko metód na definovanie iracionálnych právomocí. Jedným z prístupov je vymedzenie iracionálnych právomocí b ako limit racionálnych právomocí. Napríklad, definovať mali by sme začať desatinnou reprezentáciou , to znamená,

3,1415926

Z tohto desatinného čísla môžeme vytvoriť postupnosť racionálnych čísel, ktoré sa priblížia a priblížia to znamená,

3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159

a z nich môžeme vytvoriť mocenskú postupnosť racionálne z 2:

Pretože exponenti tejto postupnosti majú tendenciu limitovať , zdá sa pravdepodobné, že samotné podmienky majú tendenciu obmedzovať; preto je to rozumné definovať ako tento limit. Tabuľka nižšie poskytuje číselný dôkaz, že postupnosť má limit a hodnota tohto limitu pre štyri desatinné miesta je 8,8250. Všeobecne platí pre všetkých iracionálnych exponentov p a kladné číslo bmôžeme definovať ako limit racionálnych právomocí b, vytvorené desatinnou expanziou p.

stôl

x
38,000000
3,18,574188
3,148,815241
3,1418,821353
3,14158,824411
3,141598,824962
3,1415928,824974

Rodina exponenciálnych funkcií

Funkcia formy F (x) = kde b > 0 a volá sa b 1 základná exponenciálna funkcia b, ktorých príklady sú

F (x) = , F (x) = , F (x) =

Všimnite si, že exponenciálna funkcia má konštantnú bázu a premenlivý exponent. Takto fungujú napr F (x) = a F (x) = neboli klasifikované ako exponenciálne funkcie, pretože majú premennú bázu a konštantný exponent.

Môže sa ukázať, že exponenciálne funkcie sú nepretržité a majú jeden z dvoch základných aspektov znázornených na obrázku obrázok 1podľa toho, či 0 < b <1 alebo b > 1. Obrázok 2 zobrazuje grafy niektorých špecifických exponenciálnych funkcií.

POZNÁMKA. ak b = 1, potom funkcia je od tej doby konštantná = = 1. Tento prípad tu nie je v našom záujme, preto ho vylučujeme z rodiny exponenciálnych funkcií.

Ďalej: Logaritmy